Funciones continuas

Funciones continuas Continuidad de una función Si x0 es un número, la función f(x) es continua en este punto si el límite de la función en ese punto coincide con el valor de la función en dicho punto: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0

Gráficamente: una función es continua en un punto si en dicho punto su gráfica no se rompe

Función continua en x = 0

Función no continua en x = 0

Una función se dice que es continua si lo es en cualquier punto. Así pues, la gráfica de una función continua ha de poder dibujarse de un solo trazo. Discontinuidades Si una función no es continua en un punto, también se dice que dicha función tiene una discontinuidad en dicho punto. Los tipos básicos de discontinuidades son: • Evitables: la función f tiene una discontinuidad evitable en el punto x0 si existe el límite de la función en el punto x0 pero no coincide con el valor de la función en ese punto, o bien éste no existe, es decir, lim f ( x) = a ≠ f ( x0 ) x → x0

• Inevitables: discontinuidades en las que los límites laterales no coinciden. Es decir, f(x) tiene una discontinuidad inevitable en x0 si: lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) x → x0

x → x0

Son de dos tipos: o de primera especie o de salto finito, cuando ambos límites laterales son números reales. o asintótica, cuando los límites laterales son infinitos.

Discontinuidad evitable

Discontinuidad inevitable de 1.ª especie o de salto finito

Discontinuidad asintótica

Asíntotas oblicuas La función tiene una asíntota oblicua en la recta y = ax + b cuando la x tiende a +∞ o a –∞, y alguno de los siguientes límites son 0: lim f ( x) − ( ax + b ) = 0 o bien, lim f ( x) − ( ax + b ) = 0 x →+∞

Asíntota vertical

x →−∞

Asíntota horizontal

Asíntota oblicua

¿Cuándo una función es continua en un punto? Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto coincide con el valor de la función en dicho punto. Una función se dice que es continua cuando es continua en cualquier punto. Gráficamente puede observarse que una función es continua si su trazado no presenta cortes. A partir del concepto de límite en un punto puede definirse el concepto de función continua en un punto: una función es continua en un punto cuando el límite de la función en este punto es igual al valor de la función en el punto. Es decir, si x0 es un número, la función f es continua en este punto si lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0

Además, una función se dice que es continua si lo es en cualquier punto. Esto puede observarse en la gráfica de la función: una función es continua cuando su trazado no contiene cortes. En el siguiente ejemplo se puede observar una función continua y otra que no lo es (derecha).

Veamos, por ejemplo, que la función f(x) = 3x2 – 2x + 1 es una función continua; es fácil comprobar que el límite de la función en el punto x0 = –2 es 17. Falta, pues, calcular el valor de la función en ese punto, f(–2) = 17. Por lo tanto, en este caso se cumple que: lim f ( x) = f (−2) x →−2

Por lo tanto, la función f(x) = 3x2 – 2x + 1 es continua en el punto x0 = –2. Para demostrar que toda la función f es continua se debería comprobar este hecho para todo punto x0; normalmente, esto no es necesario hacerlo; esto es así porque la idea

de continuidad en un punto podemos asociarla, como se ha dicho, al hecho de que el trazo de la gráfica alrededor de ese punto debe hacerse sin separar el lápiz del papel (porque cuando nos acercamos al punto, el trazo del lápiz se acerca al valor de la función en ese punto). Así pues, contemplar la gráfica de la función es la forma más útil (aunque no rigurosa) de saber si la función es continua: siempre que se pueda dibujar con un solo trazo, sin separar el lápiz del papel, la función será continua. En el caso del ejemplo, f(x) = 3x2 – 2x + 1, podemos obtener fácilmente su representación, una parábola:

Esta función es continua porque puede dibujarse con un solo trazo sin levantar el lápiz del papel. De hecho, todas la funciones polinómicas son continuas por el mismo motivo. También las funciones exponenciales, logarítmicas, la función seno y la función coseno son continuas; sólo es necesario recordar sus gráficas, que pueden dibujarse con un solo trazo. En cambio, la función tangente, cotangente, secante y cosecante no son funciones continuas. Tampoco son continuas las funciones que tienen en su expresión un cociente: cuando el denominador es 0, la función no es continua, entre otras cosas porque en ese punto la función no existe.

¿Qué es una discontinuidad y cuáles son sus tipos? Si una función no es continua en un punto, también se dice que dicha función tiene una discontinuidad en dicho punto. Básicamente, existen dos tipos de discontinuidades: las evitables, cuando existe el límite de la función en el punto de discontinuidad; y las inevitables, en las que los límites laterales en dichos puntos son diferentes. En este último caso, si los límites son números, la discontinuidad es de primera especie o de salto finito, mientras que si alguno de los límites es infinito, la discontinuidad es de segunda especie o de salto infinito. La función tangente, en el punto p/2, no es continua porque ni existe la función en ese punto, ni sus límites laterales coinciden. De hecho, la gráfica de esta función muestra claramente los puntos en los que no es continua (llamados puntos de discontinuidad o, sencillamente, discontinuidades), es decir, puntos en los que la gráfica "se rompe", de manera que no podría dibujarse de un solo trazo sin levantar el lápiz; estos puntos son, en este caso, los puntos que no pertenecen al dominio de la función, como muestra la gráfica de la función tangente:

2

Otras funciones tienen discontinuidades de diferente tipo: por ejemplo, la función: 4 x 4 − 4 x3 − 3x 2 + 4 x − 1 g ( x) = x −1 no es continua cuando en x0 = 1, ya que el valor de esta función no existe, pues el denominador de la función da 0 en ese valor de x (y no puede dividirse nunca entre 0). Ahora bien, en este caso, puede comprobarse que el valor del límite en ese punto (haciendo una tabla, por ejemplo) es 2. Además, la gráfica quedaría así:

Es decir, la gráfica sólo se interrumpe en ese punto; de hecho, podríamos modificar ligeramente la función para que fuese continua añadiendo este único punto que falta. De esta manera, la gráfica se dibujaría con un solo trazo sin levantar el lápiz del papel. Este tipo de discontinuidades se denominan evitables, ya que es muy fácil subsanarlas añadiendo un solo punto; en el caso anterior (de la función tangente) se denominan discontinuidades de salto infinito por razones evidentes: las ramas por la izquierda y por la derecha del punto de discontinuidad se alejan de manera incesante. Así pues, existen dos tipos básicos de discontinuidades: • Evitables: La función f tiene una discontinuidad evitable en el punto x0 si existe el límite de la función en el punto x0 pero no coincide con el valor de la función en ese punto, o bien éste no existe, es decir, lim f ( x) = a ≠ f ( x0 ) x → x0

El caso de la función 4 x 4 − 4 x3 − 3x 2 + 4 x − 1 x −1 corresponde a este tipo de discontinuidades: en el punto x = 1, la función no existe, pero el límite en ese punto es 2. Para conseguir que la función sea continua, sólo es necesario otorgar el valor del límite a la función en ese punto. Es decir, si se define la función ⎧ 4 x 4 − 4 x3 − 3x 2 + 4 x − 1 si x ≠ 1 ⎪ g ( x) = ⎨ x −1 si x = 1 ⎪ 2 ⎩ sólo se ha modificado la función anterior en un punto, y con este cambio ya se evita la discontinuidad. g ( x) =

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• Inevitables: Son inevitables las discontinuidades en las que los límites laterales no coinciden. Es decir, f(x) tiene una discontinuidad inevitable en x0 si: lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) x → x0

x → x0

y son de dos tipos: o De primera especie o de salto finito, cuando ambos límites laterales son números reales. Por ejemplo, la siguiente función tiene una discontinuidad de salto finito en x0 = 1:

o

ya que el límite por la izquierda es 3, mientras que el límite por la derecha es 2. Asintóticas, cuando los límites laterales son infinitos. Por ejemplo, la función tangente tiene discontinuidades de salto infinito en todos los puntos que no son de su dominio, como puede comprobarse fácilmente en su gráfica.

¿Qué es una asíntota y cuántos tipos de asíntotas existen? Una asíntota a una función es una recta que al tender la x a un número, a +∞, o a –∞, se acerca a la función de manera constante hasta hacerse, para decirlo de alguna forma, tangente en el infinito. Según su inclinación, las asíntotas pueden ser verticales, horizontales y oblicuas. Una asíntota a una función f(x) es una recta que al tender la x a un número, a +∞, o a –∞ se acerca a la función de manera constante hasta hacerse, para decirlo de alguna manera, tangente en el infinito. En estas gráficas pueden verse distintos tipos de asíntotas:

En la gráfica de la izquierda puede verse cómo cuando la x tiende al punto por el que la recta corta al eje X, la función, por ambos lados, tiende a la recta vertical; en la gráfica del centro, cuando la x tiende a +∞, la función tiende a la asíntota. Finalmente, en la gráfica de la izquierda puede observarse que cuando x tiende a −∞, la recta y la función tienden a acercarse. Estas gráficas presentan los tres tipos básicos de asíntotas: • Asíntotas verticales

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La función tiene una asíntota vertical cuando la x tiende a un valor, y la función tiende a +∞ o –∞, es decir: lim− f ( x ) = ∞ o bien lim+ f ( x) = ∞ x →a

x →a

En este caso, la recta x = a es una asíntota vertical. Por ejemplo, en el caso de la función f(x) = tg x, sabemos que en x = p/2 el límite de la función es +∞ por la izquierda y −∞ por la derecha. Por lo tanto, la recta x = p/2 es doblemente asíntota vertical. p/2

x

• Asíntotas horizontales La función tiene una asíntota horizontal cuando la x tiende a +∞ o a –∞, y la función tiende a un valor concreto, es decir: lim f ( x) = a o bien lim f ( x) = a x →+∞

x →−∞

En este caso, la recta y = a es una asíntota horizontal. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x 1 lim = 0 x →+∞ x Por lo tanto, la recta y = 0 es una asíntota horizontal, tal como puede verse en la gráfica adjunta.

• Asíntotas oblicuas La función tiene una asíntota oblicua en la recta y = ax + b cuando la x tiende a +∞ o a –∞, y alguno de los siguientes límites son 0: lim f ( x) − ( ax + b ) = 0 o bien lim f ( x) − ( ax + b ) = 0 x →+∞

x →−∞

2x − x + 2 2

Por ejemplo, la función

f ( x) =

x +1

tiene una asíntota oblicua en y = 2x – 3, ya

que 2 x2 − x + 2 − ( 2 x − 3) = 0 x →+∞ x +1 La gráfica de la función y la asíntota pueden ilustrar este hecho: lim

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Ejercicios 1.

Encuentra el dominio y los puntos de corte con los ejes (si existen), de las siguientes funciones: a. f(x) = x2 - 2x + 1 b. g(x) = 1/x c. h(x) = 3

x2 − 1 x+2 x +1 e. b(x) = d.

a( x) =

f.

c(x) =

g.

d ( x) =

x2 − 1 x2 − 4 x+5

2. Indica los puntos en los que estas funciones no son continuas. Razona tus respuestas. f ( x) = x 2 − 4 x+3 b. f ( x) = x ⎧1 ⎪ si x ≠ 0 c. f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ 1 si x = 0 d. f(x) = ln (ln (sin x)) (difícil)

a.

3. Considera la función

f ( x) =

x3 − 2 x 2 + x . ¿Qué valor debe asignarse a 8 x3 + 3x

f(0) para que la función f sea continua en x = 0? Explicalo. 4. Considera la siguiente función:

f ( x) =

x2 − 4 x + 3 x3 + 3x 2 − 4

Encuentra el límite de la función cuando x tiende a estos valores: 0, 1, -2, +∞, -∞. Estudia la continuidad de esta función, diciendo si presenta discontinuidades, y de qué tipo.

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Soluciones 1.

a. f(x) = x2 - 2x + 1 El dominio es toda la recta real ya que es un polinomio. Los puntos de corte son: Eje Y: Si x = 0, f(x) =1, por lo tanto, (0,1) Eje X: f(x) = 0 --> x = 1, por lo tanto, (1,0) b. g(x) = 1/x El dominio es toda la recta real excepto los números que anulan el denominador, es a decir, menos 0. Así R\{0} Los puntos de corte son: Eje Y: Ya que x no puede ser 0, no existen. Eje X: Si g(x) = 0 --> no existe ningún x que lo cumpla. Por lo tanto, no hay puntos de corte. c. h(x) = 3 El dominio es toda la recta real, porque cualquier número tiene la imagen igual a 3. Los puntos de corte son: Eje Y: si x = 0 --> h(x) = 3, por lo tanto (0,3) Eje X: h(x) no puede ser nunca 0. d.

a( x) =

x2 − 1 x+2

El dominio es toda la recta real, excepto aquellos números que anulan el denominador. Por lo tanto, el dominio es R\{-2} Los puntos de corte son: Eje Y: si x = 0 --> a(0) = -1/2, por lo tanto, (0,-1/2) Eje X: si a(x) = 0 --> x2 - 1 = 0 --> x =1, o bien, x = -1. Por lo tanto, (1,0), (-1,0) e. b(x) = x + 1 La base de la raíz ha de ser positiva, por lo tanto, x + 1≥0, es decir, x≥-1. Así, el dominio es [-1,+ ∞ ) Los puntos de corte son: Eje Y: Si x = 0 --> b(0) = 1, por lo tanto, (0,1) Eje X: Si b(x) = 0 --> x+1=0 --> x = -1, por lo tanto, (-1,0) f.

g.

c(x) = x − 1 Como en el caso anterior, x2-1≥0, por lo tanto, el dominio es (- ∞ ,-1]»[1,+ ∞ ) Los puntos de corte son: Eje Y: si x = 0 --> c(0) no existe, por lo tanto, no hay puntos de corte. Eje X: si c(x) = 0 --> x = 1 ó x = -1, Por lo tanto, (-1,0) (1,0). 2

d ( x) =

x2 − 4 x+5

En este caso se ha de cumplir: x2-4≥0, es decir, x pertenece a (- ∞ , -2]»[2, ∞ ). además, x+5 no puede ser 0, por lo que x no puede ser -5. En definitiva, el dominio es: (- ∞ , -5)»(-5,-2]»[2, ∞ ) Los puntos de corte son: Eje Y: si x = 0 --> no es posible. Eje X: d(x) = 0 --> x = -2 ó x = 2. Por lo tanto, (2,0), (-2,0)

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2. f ( x) = x 2 − 4 Esta función no es continua (más concretamente, no existe) en los puntos en los que la raíz es negativa, que corresponden a los puntos del intervalo (-2,2). x+3 b. f ( x) = x La función puede no ser continua en los puntos en los que el denominador es 0, es decir, cuando x = 0. En este caso, el límite es igual a infinito, por la derecha y por la izquierda y tampoco existe la función en este punto. ⎧1 ⎪ si x ≠ 0 c. f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ 1 si x = 0 En este caso, los límite por la izquierda y por la derecha de la función cuando x tiende a 0, es igual a + ∞ , si la x es positiva, y - ∞ si la x es negativa; en cambio, el valor de la función en este punto es 1. Por lo tanto la función no es continua. d. f(x) = ln (ln (sen x)) La única dificultad de este ejercicio es comprobar que el dominio de la misma es vacio, por lo tanto, no puede hablarse propiamente de continuidad de la función cuando esta no tiene gráfica. Veámoslo. ln (ln (sin x))): el ln solo puede aplicarse a números estrictamente positivos, por lo tanto, ln (sen x) > 0. Para que se cumpla, la función debe evaluarse en puntos que sean mayores que 1. Por lo tanto, sen x > 1. Pero no es posible que el seno sea mayo que 1. En definitiva, el dominio de esta función es el conjunto vacio.

a.

3. El límite en el 0 debe ser igual al valor de la función; por lo tanto, si existe, debe ser el propio límite:

lim f ( x ) = lim x →0

x3 − 2 x 2 + x

x →0

8 x + 3x 3

= lim x →0

x2 − 2 x + 1 8x + 3 2

=

1 3

Por lo tanto, f(0) = 1/3 4. lim f ( x ) = x →0

−3

lim f ( x ) =

4

x →1

lim f ( x) = +∞

x →−2

−2 9

lim f ( x) = −∞

+

x →−2

lim f ( x ) = 0

−

lim f ( x ) = 0

x→+∞

x→−∞

Es continua en todos los reales, excepto en x = 1, x = 2, porque se trata de una función racional. Discontinuidad evitable en x = 1 Discontinuidad asintótica en x = -2

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