Gu´ıa 3. Semejanzas de tri´angulos, Teorema de Tales, Teorema de la Bisectriz, Teorema del Seno. Sof´ıa Taylor Enero 2011

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Principios Te´ oricos

1.1

Semejanza de Tri´ angulos

Se dice que un tri´ angulo es semejante a otro cuando sus ´angulos internos son respectivamente congruentes. Esto implica que cada lado de un tri´angulo tiene un an´ alogo en el otro, y cada par guarda una proporci´on espec´ıfica. Para comprender esto, conviene pensar en un tri´angulo como la ampliaci´ on o reducci´ on de otro. As´ı, los ´angulos de cada tri´angulo se mantienen, pero los lados pueden ser diferentes. Para estudiar las condiciones de semejanza, consideremos que a, b y c son los lados de un tri´ angulo y A, B y C los ´angulos internos opuestos a a, b y c respectivamente.

Consideremos otro tri´ angulo de lados a0 , b0 y c0 y ´angulos A0 , B 0 y C 0 . Para demostrar que son semejantes, se pueden utilizar tres criterios: 1.

a b c = 0 = 0 a0 b c

1

 2. Un par de lados correspondientes proporcionales

a b = 0 0 a b

 y los ´angulos

comprendidos iguales (C = C 0 ) 3. Tienen dos pares de ´ angulos iguales, por ejemplo: A = A0 y C = C 0 Notamos que el u ´ltimo criterio implica que los tres ´angulos son iguales, ya que la suma de ´ angulos internos de un tri´angulo es siempre 180 ◦ . Por lo tanto, si se demuestra la igualdad para dos pares de ´angulos, inevitablemente el tercer par tambi´en la cumple.

1.2

Teorema de Tales

El Teorema de Tales determina que si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Formalmente, sean l1 , l2 , . . . , ln un conjunto de rectas paralelas. Las rectas a y b, que no son paralelas a las li , cortan a l1 , . . . , ln en A1 , A2 , . . . , An y B1 , B2 , . . . , Bn respectivamente. Entonces se cumple lo siguiente: A1 A2 A2 A3 An−1 An−1 = = ··· = B1 B2 B2 B3 Bn Bn

(1)

Demostraci´ on Utilizaremos el conepto del ´area de un tri´angulo y denotemos el ´ area de 4ABC como |4ABC|. Consideremos dos rectas paralelas que intersectan a las rectas a y b.

Como la distancia entre las dos rectas paralelas es constante: |4ACD| = |4ACB| y por lo tanto |4SCB| = |4SAD|. Al combinar estos resultados

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obtenemos:

|4SCA| |4SCA| = |4ACD| |4ACB|

(2)

|4SCA| |4SCA| = |4SAD| |4SCB|

(3)

y

Sabemos que: |4ABC| =

base · altura 2

(4)

Y por lo tanto: SC · AF SA · EC = CD · AF AB · EC SC · AF SA · EC = SD · AF SB · EC Cancelando los factores comunes, obtenemos:

(5) (6)

SC SA = CD AB

(7)

SA SC = SD SB

(8)

SC CD SD = = SA AB SB

(9)

Y finalmente,

1.3

Teorema de la Bisectriz

En un tr´ angulo, las rectas que dividen por la mitad los ´angulos internos se llaman bisectrices. El Teorema de la Bisectriz enuncia que las bisectrices internas y externas de un ´ angulo en un tri´angulo cortan al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes a dicho ´angulo. Es decir, la bisectriz interna del ´ angulo BAC corta a BC en D y la biscetriz externa corta a la extensi´ on de BC en E tal que: BD AB = DC AC

(10)

BE AB = EC AC

(11)

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Demostraci´ on De la figura se puede ver que 2α+2β = 180 ◦ y por lo tanto ◦ α +β = 90 . Es decir que la bisectriz interna y externa son perpendiculares. La recta PQ es paralela a AC y ∠CAD = ∠AP B = α ya que son alternos internos. Como ∠BAD = α concluimos que 4ABP es es´oceles y AB = BP An´ alogamente, ∠BQA = ∠QAR = ∠QAB = β. Por lo tanto 4QBA es is´oceles y AB = BQ Los tri´ angulos BDP y CDA son semejantes (Demostrar como ejercicio), de donde BD BP AB = = (12) DC AC AC Igualmente, los tri´ angulos BEQ y CEA son semejantes, BE BQ AB = = EC AC AC 1.3.1

(13)

Corolario del Teorema de la Bisectriz BD DC BC = = AB AC AB + AC

Demostraci´ on

(14)

Del Teorema de la Bisectriz se tiene: BD DC = AB AC

Se puede demostrar que para todo a, b, c y d, si

(15) a c = entonces b d

c a+c a = = (16) b d b+d Esto se puede demostrar por una manipulaci´on algebraica sencilla. Tambi´en se puede demostrar geom´etricamente utilizando el Teorema de Tales. Intente demostralo por ambos m´etodos como ejercicio. As´ı obtenemos que: BD DC BD + DC BC = = = AB AC AB + AC AC + AB 4

(17)

De donde:

AB · BC AC · BC , DC = (18) AB + BC AC + BC Este corolario tambi´en puede demostrarse geom´etricamente de forma similar al Teorema de la Bisectriz. Tracemos una recta paralela a la bisectriz AD que corta a la recta AC en R. Sabemos que 4ADC tambi´en es semejante a 4RBC. BD =

Por otro lado, ∠ABR = ∠BAC, entonces en tri´angulo BAR es is´osceles y AB = AR. Por lo tanto, RC = AB + AC. As´ı llegamos a: DC BC = AC RC

(19)

BD DC BC = = AB AC AC + AB

(20)

Y finalmente,

1.4

Teorema del Seno

En un tri´ angulo, sean A, B, y C los ´angulos internos y sean a, b y c los lados opuestos a dichos ´ angulos. sen A sen B sen C = = a b c Demostraci´ on

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(21)

En la figura se ve el circuncentro O, el circunc´ırculo de un tri´angulo y un di´ ametro BP . Se sabe que ´angulo BCP es recto ya que circunscribe un di´ametro. Adem´ as el ∠A = ∠P ya que circunscriben el mismo arco BC. Entonces, sen ∠A = sen∠P =

Cateto opuesto a = Hipotenusa 2R

(22)

De esto resulta:

a = 2R (23) sen ∠A Se puede repetir el proceso anterior para los a´ngulos en B y C y se obtiene el Teorema del Seno: a b c = = = 2R sen ∠A sen ∠B sen ∠C

2

Problemas Resueltos 1. Demostrar que los tr´ angulos en la figura son semejantes

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(24)

Soluci´ on Como los datos del problema son de los lados de los tri´angulos, debemos usar el criterio de semejanza que se refiere a las proporciones entre dichos lados. Por lo tanto, primero debemos identificar los pares de lados. Si el tri´ angulo es semejante, las proporciones entre los lados del tri´angulo se mantienen, por lo tanto, el lado de mayor longitud de un tri´angulo ser´ a el hom´ ologo al lado de mayor longitud del otro, y an´alogamente para el de longitud menor e intermedia. Ahora s´ olo queda estudiar la proporci´on entre cada par: AC 3 BC 3 AB 3 = , = , = RP 2 PQ 2 RQ 2

(25)

Como la proporci´ on es la misma, los tri´angulos son semejantes. 2. Sea ABCD un paralelogramo, y P Q un segmento paralelo a AD√con P y Q√en los segmentos DC y AC respctivamente. AQ = 3 y DP = 2. Adem´ as se sabe que ]ABC = 120 ◦ . Encontrar el valor de ]BCA. Soluci´ on Como sabemos, al resolver un problema de geometr´ıa conviene realizar un dibujo o esquema con los datos del problemas. Podemos ver de la figura que AB = CD por ser un paralelogramo.

Por el Teorema de Tales, se sabe que: √ AB DP CD 2 = = =√ AC AC AQ 3

(26)

Luego, por el Teorema del Seno en 4ABC , tenemos que: sin ∠ABC sin ∠BCA = AC BA sin ∠BCA = sin 120 ◦ · 7

AB AC

(27) (28)

√

√ √ 3 2 2 sin ∠BCA = ·√ = 2 2 3

(29)

Por lo tanto, llegamos a que ∠BCA = 45 ◦ 3. El tri´ angulo ABC es recto en el ´angulo B. La bisectriz de ∠B divide 3 al lado AC en segmentos cuya proporci´on es . Si se traza la altura 4 que pasa por el vertice B, en qu´e proporci´on cortara al lado AC. Soluci´ on Sean D y E los pies de la bisectriz y la altura en AC respectivamente. Por el Teorema de la Bisectriz tenemos que: AB AD 3 = = BC DC 4

(30)

Luego, 4AEB ∼ 4ABC ya que comparten el ´angulo CAB y ambos tienen un ´ angulo recto. An´alogamente, 4BEC ∼ 4ABC ya que comparten el ´ angulo BCA y ambos tienen un ´angulo recto. Entonces, AE AB = , BE BC

BE AB = CE BC

(31)

Finalmente se multiplican las dos ecuaciones anteriores y se obtiene: AE = CE

3



AB BC

2 =

 2 3 4

(32)

Otros Problemas 1. Estudiar los rec´ıprocos del Teorema de Tales y el Teorema de la Bisectriz. Es decir: • l1 , l2 , . . . , ln son un conjunto de rectas y las rectas a y b las cortan en A1 , A2 , . . . , An y B1 , B2 , . . . , Bn respectivamente. Demostrar que si se cumple lo siguiente: 8

A1 A2 A2 A3 An−1 An−1 = = ... = B1 B2 B2 B3 Bn Bn

(33)

Entonces las rectas li son paralelas • Sea D un punto del segmento BC en el tri´angulo ABC. Demostrar AB que si BD DC = AC , entonces AD es la bisectriz de ∠BAC 2. Un tri´ angulo tiene lados a, b y c que miden 24, 18, 36. Otro tri´angulo tiene lados d, e y f que miden 12, 16 y 24 respectivamente. Determine si los tri´ angulos son semejantes. 3. En el tri´ angulo ABC, E es el pie de la altura que pasa por C, y D es el pie de la altura que pasa por A. Demostrar que CE · AB = AD · BC 4. Si en 4ABC, CD es la bisectriz de ∠BCA y ∠ABE = ∠ACD, demostrar que 4ACD ∼ 4DBE y que 4ADC ∼ 4CEB

5. Si los segmentos AB y CD se cortan en un punto E tal que CE · EB = ED · AE, demostrar que los segmentos AC y BD que unen sus extremos, son paralelos. 6. Sea 4ABC un tri´ angulo con ´angulo recto en B, y sean D y E puntos en los lados AC y BC respectivamente, tales que DE sea paralelo a AB. Si AB = 15, DE = 3, AC = 25, encontrar el valor de AD. 7. a, b y c son tres rectas paralelas. Encontrar el valor de X.

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AD 3 8. En un tri´ angulo ABC, D y E son puntos en AB y BC tal que = DB 5 1 CE = . Si F es la intersecci´on de AE y CD, encuentre el valor de y EB 1 CF . (Sugerencia: trace una paralela al lado CB que pase por D) FD 9. En un tri´ angulo ABC, la bisectriz interna del ∠A corta a BC en N. La bisectriz externa corta la extensi´on de BC en M. Si BC = 5, AC = 6 y AB = 4, entontrar el valor de M N 10. Los lados de un tri´ angulo son a, b y c y sus ´angulos opuestos respectivos son A, B y C. a = 49, b = 16 y A = 115 ◦ . Encontrar el valor de B. 11. En la siguiente figura CD = 15. Encontrar BC.

12. El punto A est´ a a 10Km de B. Desde cada punto se observa un barco a una distancia d de la costa. Encontrar d.

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13. Sea P un punto del lado BC ABC. Se tiene que √ en un tri´angulo √ 20 3 10 3 AB = 20, AC = 10,BP = , CP = . Encontrar el valor de 3 3 ]BAP − ]CAP . 14. Utilizando el Teorema de Tales, explique como dividir un segmento dado en n segmentos de igual longitud con regla y comp´as. 15. Si la bisectriz de ∠BAC corta el lado BC en D y AB es distinto de AC, demostrar que: BE EC BC = = AB AC |AC − AB|

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