Funciones

Límites

Idea de Función. Elementos notables de la gráfica de una función. Funciones lineales. Función definida por intervalos. Función Valor Absoluto. Función Parte Entera. Función cuadrática. Funciones racionales. Función exponencial. Función logarítmica. Idea de límite de una función. Límite en infinito. Operaciones con límites finitos. Límites infinitos. Comparación de infinitos. Operaciones con expresiones infinitas. Indeterminaciones. Cálculo de límites en más infinito : cociente de polinomios , diferencias infinitas , límite de una potencia. Límites en menos infinito. Límite de una función en un punto: la indeterminación 0/0 , asíntotas verticales. Continuidad de una función.

E jercicios ! Reconocer los modelos funcionales básicos y saber aplicar sus propiedades para el estudio y análisis de situaciones contextualizadas.

! Dada gráfica de una función, saber describir sus aspectos notables. Conocidas las propiedades de una función, saber realizar un esbozo de su gráfica.

! Conocer el orden de los infinitos y su aplicación en el

Derivadas

Tasa de variación media de una función en un intervalo. Tasa de variación instantánea. Definición de Derivada de una función en un punto. Función Derivada. Derivadas laterales. Relación entre continuidad y derivabilidad. Reglas de derivación.

Aplicaciones

Recta tangente a una curva en uno de sus puntos. Información extraída de la primera derivada: criterio para identificar tramos crecientes o decrecientes a partir del signo de la primera derivada; regla para identificar los extremos relativos de una función. Información extraída de la segunda derivada: criterio para detectar la curvatura de una curva y sus inflexiones. Optimización de una función.

! Aplicando la definición, saber calcular la derivada en

Elementos fundamentales para la construcción y representación gráfica de curvas: dominio de definición, continuidad y derivabilidad, simetrías , periodicidad, ramas infinitas ( asíntotas horizontales , asíntotas verticales, asíntotas oblicuas , ramas parabólicas ) , tramos crecientes o decrecientes de la curva , máximos y mínimos , intervalos de concavidad o convexidad , puntos en los que la curva se inflexiona. Representación de funciones polinómicas. Representación de funciones racionales.

! Tangente a una curva en un punto. Determinar en

Gráficas

un punto y las funciones derivadas de: a) funciones polinómicas de orden menor o igual a dos; b) funciones racionales, cociente de polinomios de grados menor o igual a uno; c) radicales de polinomios de grado uno. Estudiar la continuidad y derivabilidad de una función por intervalos. Saber aplicar las reglas de derivación básicas.

qué puntos la función es creciente/decreciente. Puntos singulares de una curva. Decidir la curvatura de una curva así como si tiene o no inflexiones. Aplicar las derivadas a problemas de optimización.

! Calcular las ramas infinitas de una curva. Gráfica de funciones polinómicas y racionales. A partir de la gráfica de la función F´ , obtener las propiedades de la función F así como un esbozo de su gráfica

FUNCIONES : DERIVADAS

cálculo de límites infinitos. Saber calcular el límite en el que se presenta la indeterminación de infinito / infinito. Ante una diferencia de expresiones infinitas, superar la indeterminación: a) comparando los infinitos; b) realizando las operaciones; c) en otro caso. Calcular el límite de una potencia en los casos en los que no se presente una indeterminación. Calcular el límite de una función en un punto: a) casos inmediatos; b) cuando existe una rama infinita; c) superación de la indeterminación 0 / 0. Estudiar la continuidad de función: a) funciones racionales; b) funciones definidas por intervalos.

GUÍA DE LA UNIDAD

C ontenidos

Un ejemplo para introducir la idea de FUNCIÓN

Ejemplo . De una lámina rectangular queremos hacer una caja

Si cortamos en cada esquina de la lámina un cuadrado de lado x cm , obtendremos una caja cuyo volumen viene dado por la fórmula: Volumen de la caja = V = Se pueden formar muchas cajas distintas dependiendo de la longitud de los lados de las esquinas recortadas. Para cada valor de x , obtendremos una caja distinta y, por tanto, un volumen distinto. Cortando x cm | obtenemos una caja cuyo volumen designaremos por | V(x) 5 cm | V(5) = 30 . 20 . 5 = 3.000 cm3

10 cm | V(10) = 20 . 10 . 10 = 2.000 cm3

Tenemos relacionadas dos magnitudes, la longitud de las esquinas recortadas y el volumen de la caja correspondiente. A las magnitudes que se relacionan entre sí las llamaremos variables : la longitud x la llamaremos variable independiente ; al volumen le daremos el nombre de variable dependiente , ya que su valor depende del valor que va tomando la otra variable.

Resumiento....

| | |

Tenemos una relación entre dos magnitudes ( variables ) numéricas. Para cada valor de la variable independiente obtenemos un único valor de la variable dependiente. Existe una fórmula matemática que establece exactamente esa relación entre las dos variables y que permite, una vez conocido el valor de la variable independiente, x , hallar su correspondiente valor de la variable dependiente, V(x). A esta regla la llamaremos ecuación. x *)))))))))' V(x) = ( 40 - 2x ( 30 - 2x ) x

Ejercicio . Determina las funciones a partir del enunciado: variables y ecuación

|

Un fontanero cobra 12,50 i en concepto de desplazamiento. Además, por cada hora de trabajo cobra 30 i. Calcula la expresión que da lo que hay que pagar a ese fontanero en función de las horas trabajadas.

< variables que se relacionan < expresión matemática de la función |

El propietario de un bar vende 200 refrescos diarios, ganando 0,50 i por cada refresco vendido. Por experiencia sabe que por cada cinco céntimos que baje el precio de la botella vende 7 refrescos más. Determina la función que relaciona los beneficios obtenidos en función del descuento que hace.

< variables que se relacionan < expresión matemática

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares

Matemática Aplicada a las CC.SS II. Funciones

Conocida la gráfica, describir sus propiedades

dominio y recorrido

continuidad

dominio y recorrido

ver atrás

continuidad

derivabilidad

derivabilidad

corte con los ejes

corte con los ejes

simetrías

simetrías

crece

crece

decrece

decrece

máximos

máximos

mínimos

mínimos

inflexiones

inflexiones

cóncava

cóncava

convexa

convexa

ramas infinitas

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares

ver atrás

ramas infinitas:

ver atrás

ver atrás

Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II . Funciones

Conocida la gráfica, describir sus propiedades (2)

dominio y recorrido

continuidad

dominio y recorrido

ver atrás

continuidad

derivabilidad

derivabilidad

corte con los ejes

corte con los ejes

simetrías

simetrías

crece

crece

decrece

decrece

máximos

máximos

mínimos

mínimos

inflexiones

inflexiones

cóncava

cóncava

convexa

convexa

ramas infinitas

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares

ver atrás

ramas infinitas:

ver atrás

ver atrás

Matemática Aplicada a las CC. SS II . Funciones

Construir una curva que cumpla unas condiciones (1)

asíntota oblicua

F(-2) = 0

Mínimo : M(2,-2)

Punto de inflexión : P(2,2)

Función impar

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares

Matemática Aplicada a las CC.SS. II . Funciones

Construir una curva que cumpla unas condiciones (2)

asíntota oblicua

F(0) = 4

Función par

Dominio = R - { 2 }

Mínimo : P(6,0)

Máximo : Q(8,2)

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares

Matemática Aplicada a las CC. SS II . Funciones