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Matemáticas

Guía #1

Sexto grado Regla de tres

GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía #1. Tema: Regla de tres. Fecha: ____________ Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno:___________________________________________ Sección del alumno:____________________________________________

CONDICIONES:      

Trabajo individual. Sin libros, ni cuadernos, ni notas. Sin celulares. Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para resolver cada problema. No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo. No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni calculadoras prestadas.

Marco Teórico: (a). Regla de tres simple: Ejemplo #1: Si cuatro libros cuestan Bs. 8,00, ¿ cuánto costarán 15 libros: Solución: Como que a más libros, más bolívares, estas cantidades son directamente proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando las dos razones directas: Planteamiento del problema:

4  libros  ....................8, 00  Bs  15  libros  ...................x  Bs  Luego:

815  30, 0 Bs. 4 8  x   15 x  4 (b) Regla de tres simple inversa: FVR (30/07/2011)

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Ejemplo #2: Cuatro hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la obra 7 hombres?. Solución: Como a más hombres, menos días, estas cantidades son inversamente proporcionales y la proporción se forma igualando la razón directa de las dos primeras con la razón inversa de las dos últimas: Planteamiento del problema: 4  h  .......................12  d  7  h  ........................x  d 

Luego, por ser inversa se invierte una de las dos proporciones:

4 7  7 4

 4 12   48 dias  6 6 dias 7 12  x     4 x 7 7 7 © Regla de tres compuesta: Ejemplo #3: Tres hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿ Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obre?. Solución: El método de las proporciones consiste en descomponer la regla de tres compuestas en varias regla de tres simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas: Al formar cada regla de tres simple, se considera que las demás no varían: En este caso se formarán tres proporciones simples diferentes: 1.-

3  hom bres  ...............10  dias  5  hom bres  .................. y  dias 

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La regla de tres es inversa, a más hombres menos días:

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3 5  5 3

5 10  3 y 2.y  dias  ................8  horas  y´ dias  ................6  horas 

En este caso la regla de tres es también inversa, a menos horas más días:

8 6  6 8

6 y  8 y´ 3.y´ dias  ......................80  metros  x  dias  ......................60  metros 

La regla de tres es directa porque a más días, más metros:

80 y´  60 x Multiplicando ahora las proporciones, término a término y despejando x:

 5 6 80   10  y  y´  5  10  x  310   6 dias    38 60   y  y´ x  3 x  5 PREGUNTAS: 1.- Si cuatro libros cuestan Bs. 20, ¿cuánto costarán tres docenas de libros?.

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Solución: Tres docenas de libros son 36 libros. Esta es una regla de tres directa porque a más libros, más costo. Planteamiento del problema: 4  libros  ..............................20, 0  Bs. 36  libros  .................................x  Bs.

Luego:

4 20   x  9  20  180  Bs  36 x 2.- Si una vara de 2,15 metros de longitud da una sombra de 6,45 metros, ¿cuál será la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora, es de 51 metros?. Solución: Esta es una regla de tres directa porque a mayor sombra mayor altura. Planteamiento del problema: 2,15  m  altura  ...................................6, 45  m  sombra  x  m  altura  .......................................51, 0  m  sombra 

Luego:

51 x 51 2,15  x  17, 0  m  6, 45 2,15 6, 45 3.- Una torre de 25,05 metros de altura da una sombra de 33,40 metros, ¿cuál será, a la misma hora, la sombra de una persona cuya estatura es de 1,80 metros. Solución: Esta es una regla de tres directa porque a menor altura menor sombra. El planteamiento del problema es:

25, 05  m  altura  ............................33, 40  m  sombra  1,80  m  altura  ....................................x  m  sombra 

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Luego:

25, 05 33, 40 1,80  33, 40  x  2, 40  m  1,80 x 25, 05 4.- Si media docena de una mercancía cuesta Bs. 14,50, ¿cuánto costarán 5 docenas de la misma?. Esta es una regla de tres directa, porque a más mercancía, más costo. Planteamiento del problema: 0,5  doc. ............................14,50  Bs. 5  doc. ..................................x  Bs.

Luego:

0,5 14,5   x  14,5 10  145  Bs. 5 x 2 3 de capacidad de un estanque son 500 litros, ¿cuál será la capacidad de los 5 8 del mismo estanque?. 5.- Los

Solución: Planteamiento: 2  Cap. ............................500  l  5 3  Cap. .............................x  l  8

Es una regla de tres directa porque a menor proporción, menor capacidad.

3 2   500 15  500 5  500  x   8    468, 75  l  3 x 16 2   8 5

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3 de la capacidad de un estanque son 8.136,0 litros. Hallar la capacidad del 7 estanque. 6.- Los

Solución: Planteamiento del problema: 3  Cap. ..........................8136, 0  l  7 1, 0  Cap. ...........................x  l 

Esta es una regla de tres directa porque a mayor proporción mayor capacidad.

3 7  8136  x  8136  1  8136  7  18.984  l  3 1 x 3 7 5 de la finca y paga Bs. 11 6000,0 de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo? 7.- Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa los

Solución:

5 6 de la finca el otro está alquilando el restante. La regla de tres es 11 11 directa porque a más terreno más pago de alquiler. Si uno alquila el

5  lote  .................................6000, 0  Bs. 11 6  lote  ...................................x  Bs. 11

5 11  6000  5  6000  x  6  6000  7.200, 00  Bs    6 x 6 x 5  año  11

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8.- Una casa es de dos hermanos. La parte del primero, que es los

5 de la casa, está 12

valuada en Bs. 15.300,0. Hallar el valor de la parte del otro hermano. Solución: Planteamiento del problema: 5  lote  ..................................15300,0  Bs. 12 7  lote  ......................................x  Bs. 12

5 7 del total, el otro tiene el restante. La regla de tres es directa porque 12 12 a mayor lote de terreno, mayor cantidad de dinero. Si uno tiene

5 12  15300  5  15300  x  7 15300  24.480, 0  Bs. 7 x 7 x 5 12 9.- Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en cuántos días habrían terminado la obra? Solución: Planteamiento del problema: 8  horas  .................................14  dias  7  horas  ...................................x  dias 

Esta es una regla de tres inversa, ya que a menos horas trabajadas por día, más días.

8 14  7 14  x  16  d  8 x 7 10.- Nueve hombres pueden hacer una obra en 5 días.(a). ¿Cuántos hombres más harán falta para hacerla en un día? .(b).- ¿ Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días. Soluciones: FVR (30/07/2011)

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(a).- Es una regla de tres inversa ya que a menos días, más hombres. Planteamiento del problema: 9  hom bres  ..................5  dias  x  hom bres  ..................1, 0  dias 

1 9    x  45  h   45  9  36  h  5 x (b).- Es una regla de tres inversa ya que a más días menos hombres. Planteamiento del problema: 9  hom bres  ............................5  dias  x  hom bres  ............................15  dias 

5 9   15 9   x  3  9  3  6  h 5 x 15 1  horas  en ir de 4 una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido triple? 11.- A la velocidad de 30 kilómetros por hora un automóvil emplea 8

Solución:

El triple de la velocidad inicial es

8

 km   km  V2  3 V1  3  30   90     h   h 

y

1 32  1 33   h .  h  4 4 4

Planteamiento del problema:

33  km  30   .................................  h  4  h   km  90   ..................................x  h   h  FVR (30/07/2011)

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La regla de tres es inversa porque al tener más velocidad de obtiene menos tiempo.

33 90 4 33 33 11  3  4x   11  x   h  30 x 4x 3 4 El tiempo menos empleado es

33 11 22 11 1  h   h  h  h  5 h 4 4 4 2 2

12.- Una pieza de tela tiene 32,32 metros de largo y 75 centímetros de ancho. ¿Cuál será la longitud de otra pieza de tela de la misma superficie, cuyo ancho es de 80 centímetros? Solución: Planteamiento:

32,32  m  l arg o  ...............................0, 75  m  ancho  x  m  l arg o  ......................................0,80  m  ancho  Esta es una regla de tres inversa porque a más ancho menos largo.

 7532,32   30,30 m 80 32,32 100  80 32,32    x   75 x 100  75 x 80 13.- Una mesa tiene 6,0 metros de largo y 1,5 metros de ancho. ¿Cuánto se debe disminuir la longitud, para que sin variar la superficie el ancho sea de 2,0 metros?. Solución: Planteamiento del problema: 6, 0  m  l arg o  ..............................1,5  m  ancho  x  m  l arg o  ...................................2,0  m  ancho 

La regla de tres es inversa porque a más ancho menos largo.

2, 0 6, 0 1,5  6, 0  x  4,5  m  1,5 x 2, 0

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Disminución de largo:

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6,0  m   4,5  m   1,5  m 

14.- Una fuente da 120 Dls. de agua en 10 minutos. ¿Cuántos litros más dará en 1 12  min . ?. 12 Solución: Es una regla de tres directa porque a más tiempo más litros de agua: Además, 120  Dls   1200  l  y 12

1 144  1 145  min    min    min  12 12 12

Planteamiento:

1200  l  .......................10  min  x  l  .............................

145  min  12

Entonces:

10 1200 120 1200     x  10 145  1450  l  145 x 145 x 12 El aumento de litros será:

  l   1450  l   1200  l   250  l 

15.- Un móvil recorre 3 cordeles tres varas en 4 minutos. ¿Qué tiempo empleará en recorrer 198,432 metros ¿ Solución:

1, 0  cordel   45  var as   3  cordeles   135  var as  3  cordeles   6  var as   141 var as    m  141 var as   0,8359    117,861 m   var as  Esta regla de tres es directa porque a mayor distancia mayor tiempo. Planteamiento:

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117,861 m  ........................4  min  198, 432  m  .........................x  min 

x

198, 432  m   4  min  117,861 m 

 6, 734  min 

16.- Ganando Bs. 3,15 en cada metro de tela, ¿cuántos metros se han vendido si la ganancia es de Bs.945,9? Solución: Esta es una regla de tres directa , ya que a más metros de tela, más ganacia. Planteamiento del problema: 1, 0  m  tela  ......................................3,15  Bs.  ganancia  x  m  tela  ...........................................954, 0  Bs.ganancia 

Luego: x

1 945, 0   300, 0 m    3,15

17.- Dos piezas de paño de la misma calidad cuestan, una Bs. 450,0 y otra Bs. 300,0. Si la primera tiene 15,0 metros más que la segunda, ¿cuál es la longitud de cada pieza?. Esta es una regla de tres directa, a más dinero, más longitud. Tomando x metros como la longitud menor, se hará el planteamiento del problema:

 x  15  m  ............................450, 0  Bs. x  m  ....................................300,0  Bs. Luego: x  15 450   450 x  300 x  4500  150 x  4500  x 300 4500 x  30, 0  m  150 Entonces x  15  45  m 

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18.- Una guarnición de 1300 hombres tiene víveres para sobrevivir 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10 días más; ¿cuántos hombres habrá que rebajar de la guarnición?. Solución: Cuatro meses son 120 días y 4  meses   10  dias   130  dias  . Esta es una regla de tres inversa porque a menos hombres, más días. Planteamiento del problema: 1300  hom bres  ............................120  dias 

1300  x  hom bres  .....................130  dias  Entonces, por ser inversa:

1300  x   120 

1300  x 130   1300 120   1300 130  1300  x  1200  x  1300  1200  100  hom bres  19.- Un obrero tarda 12

3 7 de una obra; ¿cuánto tiempo le tomará  dias  en hacer 5 12

terminar la obra? Solución:

7 5 del total de la obra y para terminarla deberá realizar el , de 12 12 3 63 la obra, restante. Por otro lado, 12  dias    dias  . 5 5 Ya el obrero realizó

Esta es una regla de tres directa, ya que a menos porción de la obra menos tiempo. Planteamiento del problema:

 7   63       12    5   7  63  7  63  x  63  9 dias   x 5 5x x 7  5    12 

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20.- Un velero se mueve a 20 nudos, es decir, a 20 millas por hora. Si con 20 nudos puede desplazarse de un punto A a un punto B en una hora, ¿ a cuántos nudos se desplazará del punto A al B si lo hace en 2 horas? Solución: Al tomar más tiempo en llegar de A a B es porque se desplazó más lentamente; o sea que estamos ante una regla de tres inversa, más tiempo corresponde a menos velocidad de desplazamiento. Planteamiento del problema: 1, 0  hora  ................................20  nudos  2, 0  horas  ...............................x  nudos 

Luego, por ser inversa:

2 20 20  x  10  nudos  1 x 2

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