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U.E. Colegio Los Arcos divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía # 26A. Tema: Máximo común divisor. Fecha: ____________ Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno:___________________________________________ Sección del alumno:____________________________________________
CONDICIONES:
Trabajo individual. Sin libros, ni cuadernos, ni notas. Sin celulares. Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para resolver cada problema. No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo. No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni calculadoras prestadas.
Marco Teórico: El máximo común divisor (m.c.d.) de dos números es el mayor número de dos números que los divide exactamente. Ejemplo #1: Dados los números 18 y 24, ¿cuál es el m.c.d.? Solución: 2, 3 y 6 dividen a ambos números y el mayor de los tres es 6, por tanto, 6 es el m.c.d. de los dos números dados. Ejemplo #2: Dados los números 60, 100 y 120, ¿cuál es el m.c.d. ?. Solución: Estos números son divisibles por 2, 4 5, 10 y 20. No hay ningún número mayor que 20, por tanto, 20 es el m.c.d. de los tres números dados.
M.C.D. por inspección: Cuando los números son pequeños, puede hallarse el m.c.d. por simple inspección. Como el m.c.d. de varios números tiene que ser divisor del menor de ellos, se procederá así: Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás, será el m.c.d. Si no los divide, buscamos cual es el mayor de los divisores del menor que divide a todos los números y éste será el m.c.d.
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Ejemplo #3: Halla r el m.c.d. de 6, 12 y 18. Solución: El número 6 es el menor de los tres y divide exactamente a los otros dos, por, tanto, 6 es el m.c.d de los tres números dados. Ejemplo #4: Hallar el m.c.d. de 20, 90 y 70. Solución: En este caso 20 no es divisor de 70 y 90. Si tomamos ahora 10, éste es el máximo divisor de 20 y es, además, divisor de 70 y 90; por tanto, 10 es el m.c.d. de los tres números dados. Ejemplo #5: Hallar el m.c.d. de 48, 72 y 84. Solución: 48 no divide a los demás. El número 12 es el máximo divisor de 48 que adicionalmente es divisor de 72 y de 84.
METODOS PARA HALLAR EL M.C.D. Cuando no es fácil hallar el m.c.d. por inspección, se utilizan dos métodos: (a) Por divisiones sucesivas. (b) Por descomposición en factores primos.
M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas. La regla para encontrar el m.c.d. en este caso, se funda en el siguiente teorema: Se divide el mayor de los números dados por el menor. Si la división es inexacta, se divide el divisor por el primer residuo; el primer residuo por el segundo residuo; éste por el tercero y así sucesivamente hasta obtener una división exacta. El último divisor será el m.c.d. Ejemplo #6: Hallar el m.c.d. de 150 y 25. Solución: En este caso 150 es divisible por 25, por tanto, 25 es el m.c.d. de ambos números. Ejemplo #7: Hallar el m.c.d. de 2227 y 2125. 1 20 1 2227 2125 102 85 102 85 17 00
5 17
Entonces, el m.c.d. de 2227 y 2125 es 17.
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Nota: Si en el proceso de hallar el m.c.d. encontramos un resido que sea primo y la división siguiente no se exacta, no es necesario continuar la operación y podemos afirmar que el m.c.d. es 1 y que por tanto los números dados son primos entre si. Ejemplo #7: Hallar el m.c.d. de 1471 y 462. Solución: 3 462 37
1471 85
5 85 11
2 37
En este caso la solución es 1. Se ha encontrado el residuo primo 37 y la división siguiente no es exacta.
M.C.D. de más de dos números por divisiones sucesivas: Para hallar el m.c.d. de más de dos números por divisiones sucesivas se halla primero el m.c.d. de dos números, después se toma otro número y el m.c.d. encontrado y se encuentra el m.c.d. de ellos dos; después se toma otro número y el segundo m.c.d. encontrado y se encue3ntra el m.c.d. entre ellos dos y así sucesivamente hasta el último número. El último m.c.d. es el m.c.d. de todos los números dados. Ejemplo #8: Hallar el m.c.d. de 4940, 4420, 2418 1092. Primero se halla el m.c.d. de 2418 y 1092:
2418 234
2 1092 156
4 234 78
1 156 00
2 78
El m.c.d .1 78 Luego se halla el m.c.d. de 4420 y 78:
4420 52
56 78 26
1 52 0
1 26
El m.c.d 2 26 Y por último se halla el m.c.d. entre 4940 y 26:
4940 00 FVR (21/09/2011)
190 26
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Luego, el m.c.d. de todos los números es 26.
Regla práctica para encontrar el m.c.d. de varios números por descomposición de factores primos: Se descomponen los números dados en sus factores primos. El m.c.d. se forma con el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Ejemplo #9: Hallar el m.c.d. de 1800, 420, 1260 y 108. Solución: Se empieza por desglosar al número 1800: 1800 900 450 225 75 25 5 1
2 2 2 3 3 5 5
Se sigue con el número 320: 420 210 105 35 7 1
2 2 3 5 7
Se continua con el número 1260: 1260 630 315 105 35 7 1
2 2 3 3 5 7
Por último, se desglosa el número 108:
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108 54 27 9 3 1
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2 2 3 3 3
Resumiendo:
1800 2 3 5 3
2
2
420 2 3 5 7 2
1260 2 3 5 7 2
2
108 2 3 2
3
m.c.d . 2 3 4 3 12 2
Ejemplo # 10: Hallar el m.c.d. de 170, 2890, 204 y 5100. Solución: Como 2890 es múltiplo de 170 porque 2890 170 17 y como 5100 es múltiplo de 204 ya que 5100 204 25, prescindimos de 2890 y 5100 y hallamos el m.c.d. de 170 y 204: 170 85 17 1
2 5 17
204 102 51 17 1
2 2 3 17
El m.c.d. = 2 17 34
Método abreviado para cálculo del m.c.d.: El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor común, los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre si. El m.c.d. es el producto de los factores comunes. Ejemplo # 11: Hallar el m.c.d. de 208, 910 y 1690 por el método abreviado: Factor común 208 910 1690 2 104 455 845 13 8 35 65
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El m.c.d.= 2 13 26 Ejemplo #12: Hallar el m.c.d. de 3430, 2450, 980 y 4410.
3430 343 49 7
2450 245 35 5
980 98 14 2
4410 441 63 9
Factor común 10 7 7
El m.c.d.= 10 7 7 490
Método abreviado. El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor común., los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre si. El m.c.d. es el producto de todos los factores comunes. Ejemplo #12: Hallar el m.c.d. de 208, 910 y 1690. F.C. 208 104 8
910 455 35
1690 845 65
2 13
El m.c.d. es igual al producto de los factores comunes: 2 13 26
PREGUNTAS: Hallar el m.c.d. por simple inspección: 1.- 15 y 30: El m.c.d.= 15. 2.- 8 y 12: El m.c.d. = 4. 3.- 9 y 18 = El m.c.d. = 9. 4.- 20 y 16 =
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El m.c.d. = 4. 5.- 18 y 24 = El m.c.d. = 6. 6.- 21 y 28 = El m.c.d.= 7. 7.- 24 y 32 = El m.c.d. = 8. 8.- 3, 6 y 9 = El m.c.d.= 3. 9.- 7, 14 y 21 = El m.c.d.= 7 10.- 18, 27 y 36. El m.c.d.= 9 11.- 24, 36 y 72 = El m.c.d. = 12 12.- 30, 42 y 54 = El m.c.d.= 6. 13.- 16, 24 y 40 = El m.c.d.= 8. 14.- 22, 33 y 44 = El m.c.d. =11. 15.- 20, 28, 36 y 40 = El m.c.d. = 4.
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16.- 15, 20, 30 y 60 = El m.c.d. = 5. 17.- 28, 42, 56 y 70 = El m.c.d. =14. 18.- 32, 48, 64 y 80 = El m.c.d. = 16. Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de: 1.- 137 y 2603: 19 137
2603 0
El m.c.d.= 137. 2.- 1189 y 123656 =
123656 0
104 1189
El m.c.d. = 1189. 3.- 144 y 520 =
520 88
3 144 56
1 88 32
1 56 24
1 34 0
2 17
1 32 8
1 24 0
3 8
. El m.c.d. = 8 4.- 51 y 187 =
187 34
3 51 17
El m.c.d. = 17. FVR (21/09/2011)
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5.- 76 y 1710 = 22 76 0
1710 38
2 38
El m.c.d. = 38. 6.- 93 y 2387 = 25 93 31
2387 62
1 62 0
2 31
1 74 0
2 37
1 159 0
3 53
El m.c.d. = 31. 7.- 111 y 518 = 4 111 37
518 74
El m.c.d. = 37 8.- 212 y 1431 = 6 212 53
1431 159
El m.c.d. = 53. 9.- 948 y 1975 = 1975 79
2 948 0
12 79
El m.c.d. = 79 10.- 1164 y 3686 = 3686 194
3 1164 0
6 194
El m.c.d. = 194. 11.- 303 y 1313 = 4
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3
9
U.E. Colegio Los Arcos divisor 1313 101
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303 0
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101
El m.c.d. = 101 12.- 19578 y 47190 = 2 19578 3510
47190 8034
2 8034 1014
2 3510 468
3 1014 78
2 468 0
6 78
2 5457 2461
1 2996 535
1 2461 321
4 535 214
1 321 107
1 214 0
5 12294 1791
3 3501 1710
1 1791 81
1 1710 9
21 81 0
9 9
3 2331 111
4 555 0
5 111
1 12463 2178
1 10285 1573
4 2178 605
El m.c.d. = 78. 13.- 19367 y 33277 = 1 19367 5457
33277 13910
1 13910 2996
El m.c.d. = 107. 14.- 207207 y 479205 = 479205 64791
2 207207 12294
3 64971 3501
El m.c.d. = 9 15.- 9879 y 333555 = 333555 7548
33 9879 2331
1 7548 555
El m.c.d. = 111. 16.-
35211 y 198803 =
198803 22748
5 35211 12463
1 22748 10285
1 1573 363
2 605 242
1 363 121
1 2 242 121 0
El m.c.m =121 17.-
77615 y 108661 =
108661 31046
1 77615 15523
2 31046 0
2 15523
El m.c.d. = 15523.
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2 107
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18.- 65880 y 92415 = 92415 26535
1 65880 12810
2 26535 915
2 12810 0
14 915
7 1 132132 77077 55055 22o22
1 55055 11011
El m.c.d. = 915 19.- 1.002.001 y 2.136.134 = 2 2136134 1002001 132132 77077
2 22022 0
2 11011
El m.c.d. = 11.011 20.- 4.008.004
y
1 4280276 4008004 272272 196196
4.280.276 = 14 272272 76076
1 196196 44044
2 76076 32032
1 44044 12012
1 2 32032 12012 8008 4004
1 2 8008 4004 0
El m.c.d. = 4.004.
Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de tres números o más: 1.- 2168, 7336 y 9184 =
7336 832
3 2168 504
2 832 328
1 504 176
1 328 152
7 50 0
2 25
1 176 24
1 152 8
6 24 0
3 8
El m.c.d .1 8 Luego: 9184 0
1148 8
Entonces: el m.c.d. = 8. 2.- 425, 800 y
800 375
1 425 50
950 = 1 375 25
El m.c.d .1 25
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38 25
950 0
El m.c.d. = 25. 3.- 1560, 2400 y 5400 = 2400 840
El
1 1560 720
1 840 120
1 720 0
1 52 0
2 26
6 120
m.c.d .1 120
Luego: 5400 0
45 120
El m.c.d. = 120. 4.- 78, 130 y 143 = 1 78 26
130 52
El
m.c.d .1 26
Luego: 5 26 0
143 13
2 13
Entonces, el m.c.d. = 13. 5.-
153, 357 187 34
y 1 153 17
187 = 4 34 0
2 17
El m.c.d .1 17 Luego: 357 0
21 17
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Sexto grado Máximo común
El m.c.d. = 17. 6.- 236, 590
y
1239 =
590 118
2 236 0
2 118
El m.c.d .1 118. Luego: 1239 59
10 118 0
2 59
El m.c.d. = 59. 7.- 465, 651 y 651 186
El
1 465 93
682 = 2 186 0
2 93
m.c.d .1 93.
Luego: 7 93 0
682 31
3 31
El m.c.d. = 31. 8.- 136, 204, 221 y 272 = 204 68
1 136 0
2 68
El m.c.d .1 68 Luego: 221 17
3 68 0
4 17
El m.c.d .2 17.
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Sexto grado Máximo común
Luego: 272 0
16 17
El m.c.d. = 17. 9.- 168, 252, 280 y 917 = 1 168 0
252 84
2 84
El m.c.d .1 84
Luego: 3 84 0
280 28
El
3 28
m.c.d .2 28
Luego: 32 28 7
917 21
1 21 0
3 7
El m.c.d. = 7. 10.- 770, 990, 1265 y 3388 = 990 220
El
1 770 110
3 220 0
2 110
m.c.d .1 110.
Luego: 1265 55
11 110 0
2 55
El m.c.d .2 55 Luego:
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U.E. Colegio Los Arcos divisor 61 55 22
3388 33
Matemáticas 1 33 11
1 22 0
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2 11
El m.c.d. = 11. 11.- 1240, 1736, 2852 y 3131 = 1736 496
1 1240 248
2 496 0
2 248
El m.c.d .1 248 Luego: 2852 124
El
11 248 0
2 124
m.c.d .2 124
Luego: 25 124 0
3131 31
4 31
El m.c.d. = 31. 12.- 31740, 47610, 95220 y 126960 = 47610
El
1 31740 0
2 15870
m.c.d .1 15.870.
Luego:
95220 0
6 15870
El m.c.d .2 15.870 Luego: 126960 0
8 15870
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El m.c.d. =15.870. 13.- 45150, 51600, 78045 y 108489 =
51600 6450
El
1 45150 0
7 6450
m.c.d .1 6.450
Luego: 78045 645
El
12 6450 0
10 645
m.c.d .2 645
Luego: 108489 129
168 645 0
5 129
El m.c.d. = 129. 14.- 63860, 66340, 134385 y 206305 = 66340 2480
El
1 63860 1860
25 2480 620
1 1860 0
1 465 0
3 155
3 620
m.c.d .1 620
Luego: 134385 465
El
216 620 155
m.c.d .2 155
Luego: 206305 0
1331 155
El m.c.d. = 155.
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15.- 500, 560, 725, 4350 y 8200 = 1 500 20
560 60
El
8 60 0
3 20
m.c.d .1 20
Luego: 36 20 0
725 5
4 5
El m.c.d .2 5 Luego: 870 5
4350 0
El m.c.d .3 5 Luego: 1640 5
8200 0
El m.c.d. = 5 16.- 432, 648, 756, 702, y 621 = 1 432 54
621 189
El
2 189 27
3 54 0
2 27
m.c.d .1 27
Luego: 648 0
24 27
El m.c.d .2 27 Luego: 702 0
26 27
FVR (21/09/2011)
17
U.E. Colegio Los Arcos divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
El m.c.d .3 27 Luego: 28 27
756 0
El m.c.d. = 27 17.- 3240, 5400, 5490, 6300 y 7110 = 5400 2160
1 3240 1080
1 2160 0
2 1080
El m.c.d .1 1.080 Luego: 5490 90
5 1080 0
12 90
El m.c.d .2 90 Luego:
70 90
6300 0
El m.c.d .3 90 Luego: 7110 0
79 90
El m.c.d. = 90. 18.-
486, 729, 891, 1944 y 4527 = 729 243
El
1 486 0
2 243
m.c.d .1 243
Luego: 891 162
3 243 81
FVR (21/09/2011)
1 162 0
2 81
18
U.E. Colegio Los Arcos divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
El m.c.d .2 81 Luego: 24 81
1944 0
El m.c.d .3 81 Luego: 55 81 9
4527 72
1 72 0
8 9
El m.c.d. = 9.
Hallar por descomposición de factores primos el m.c.d. de: 1.- 20 y 80: 20 10 5 1
2 2 5
80 40 20 10 5 1
2 2 2 2 5
20 2 5 2
80 2 5 4
m.c.d . 2 5 20 2.- 144 y 520: 2
144 72 36 18 9 3 1
2 2 2 2 3 3
144 2 3 4
520 260 130 65 13 1
2 2 2 5 13
2
520 2 5 13 3
m.c.d . 2 8 3
FVR (21/09/2011)
19
U.E. Colegio Los Arcos divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
3.- 345 y 850: 345 115 23 1
3 5 23
850 425 85 17 1
2 5 5 17
345 3 5 23 850 2 5 17 2
m.c.d . 5 4.- 19578 y 47190: Se hará por el método abreviado: F.C 19578 9789 3263 251
47190 23595 7865 605
2 3 13
m.c.d . 2 3 13 78 Nótese que 251 y 605 son primos entre si. 5.- 33, 77 y 121: Se hará por el método abreviado. 33 3
77 7
121 11
F.C. 11
m.c.d.= 11. 6.- 425, 800 y 950: Se hará por el método abreviado. F.C. 425 85 17
800 160 32
950 3190 38
5 5
m.c.d . 5 5 25 7.- 2168, 7336, 9184: Se hará por el método abreviado. F.C. 2168 1084 542 271
7336 3668 1834 917
9184 4592 2296 1148
2 2 2
m.c.d . 2 2 2 8
8.- 54, 76, 114 y 234: Se hará por el método abreviado.
FVR (21/09/2011)
20
U.E. Colegio Los Arcos divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
F.C. 54 27
76 38
114 57
234 117
2
m.c.d. = 2 9.- 320, 450, 560 y 600: Se hará por el método abreviado. F.C. 320 160 32
450 225 45
560 280 56
600 300 60
2 5
El m.c.d. es = 2 5 10 10.- 858, 2288 y 3575: 858 429 143 13 1
2 3 11 13
2288 1144 572 286 143 13 1
2 2 2 2 11 13
3575 715 143 13 1
5 5 11 13
812 406 203 29 1
2 2 7 29
870 435 145 29 1
2 3 5 29
El m.c.d . 11 13 143 11.- 464, 812 y 870: 464 232 116 58 29 1
2 2 2 2 29
464 2 29 4
812 2 7 29 2
870 2 3 5 29 m.c.d . 2 29 58
12.- 98, 294, 392 y
FVR (21/09/2011)
1176: Se hará por el método abreviado.
21
U.E. Colegio Los Arcos divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
F.C. 98 49 7 1
294 147 21 3
392 196 28 4
1176 588 84 12
2 7 7 1
m.c.d . 2 7 7 98 13.- 1560, 2400, 5400 y 6600: Se utilizará el método abreviado. F.C. 1560 780 390 195 65 13
2400 1200 600 300 100 20
5400 2700 1350 675 225 45
6600 3300 1650 825 275 55
2 2 2 3 5
m.c.d . 2 3 5 120 3
14.- 840, 960, 7260 y
9135: Se utilizará el método abreviado. F.C.
840 280 56
960 320 64
7260 2420 484
9135 3045 609
3 5
m.c.d . 3 5 15 15.- 3174, 4761, 9522 y 12696:Se hará por el método abreviado. F.C. 3174 1058 46 2
4761 1587 69 3
9522 3174 138 6
12696 4232 184 8
3 23 23
m.c.d . 3 23 1.587 2
16.-
171, 342, 513 y 684: Se hará utilizando el método abreviado. F.C. 171 1
342 2
513 3
684 4
171
m.c.d . 171
17.- 500, 560, 725,
FVR (21/09/2011)
4350, y 8200: Se hará utilizando el método abreviado.
22
U.E. Colegio Los Arcos divisor 500 100
560 112
725 145
Matemáticas
4350 870
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
F.C. 5
8200 1640
m.c.d. =5. 18.- 850,
2550, 4250 y 12750: Se hará utilizando el método abreviado. F.C.
850 425 85 17 1
2550 1275 255 51 3
4250 2125 425 85 5
12750 6375 1275 255 15
2 5 5 17
m.c.d . 2 5 17 850. 2
19.- 465, 744, 837 y 2511: Se utilizará el método abreviado. 465 155 31 1
3 5 31
744 372 186 93 31 1
2 2 2 3 31
837 279 93 31 1
3 3 3 31
2511 837 279 93 31 1
3 3 3 3 31
3 3 529
5819 529 1
11 529
m.c.d. = 3 31 93 20.- 600, 1200, 1800, 4800: Se utilizará el método abreviado. F.C. 600 1
1200 2
1800 3
4800 8
600
m.c.d. = 600. 21.- 57, 133, 532 1824: Se utilizará el método abreviado. F.C. 57 3
133 7
532 28
1824 96
19
m.c.d. = 19. 22.- 2645, 4232, 4761 y 5891: Se utilizará el método abreviado. 2645 529 1
5 529
FVR (21/09/2011)
4232 2116 1058 529
2 2 2
4761 1587 529 1
23
U.E. Colegio Los Arcos divisor
Matemáticas
Guía #26A
Sexto grado Máximo común
m.c.d. = 529. 23.- 2523, 5046, 5887 2523 841 1
3 841
y
7569:
5046 2523 841 1
2 3 841
5887 841 1
7 841
7569 2523 841 1
3 3 841
2418 1209 403 31 1
2 3 13 31
10571 961 31 1
11 31 31
m.c.d. = 841. 24.-
961,
961 31 1
2821,
31 31
2418
y
10571:
2821 91 1
31 91
m.c.d. = 31. 25.-
2738, 9583,
2738 2 1369 37 37 37 1
9583 1369 37 1
15059, 3367 y 12691: 7 37 37
15069 407 11 1
37 37 11
3367 91 1
37 91
12691 1813 259 37 1
7 7 7 37
m.c.d. =37
FVR (21/09/2011)
24