GUÍA DE TRABAJO PRIMARIA Y BACHILLERATO

Código PGF-02-R07 Fecha 18 de Octubre al 14 de Diciembre del 2011

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ____________________________________________________________ Área:

Matemática (Algebra)

Grado:

Octavo

Período:

Segundo

Guía:

N° 2

Temática General: Expresiones Algebraicas y factorización 1. CONTEXTUALIZACIÓN La ecología es considerada una rama de la biología, la ciencia que estudia los seres vivos. Estos pueden ser estudiados en diferentes niveles, desde las proteínas y ácidos nucleícos, pasando por las células, tejidos, individuos, y finalmente al nivel de las poblaciones, comunidades, ecosistema y biosfera. Estos últimos son los sujetos de estudio de la ecología. Los trabajos de investigación en esta disciplina se diferencian de la mayoría de trabajos en las demás ramas de la biología, por el mayor uso de las herramientas matemáticas, como lo son la estadística, y los modelos matemáticos, que relacionan factores bióticos y abióticos. Un ecosistema siempre involucra a más de una especie vegetal que interactúa con factores abióticos. Invariablemente la comunidad vegetal está compuesta por un número de especies que pueden competir unas con otras, pero que también pueden ser de ayuda mutua. También existen otros organismos en la comunidad vegetal, animales, hongos y bacterias y otros microorganismos. Así que cada especie no solamente interactúa con los factores abióticos sino que está constantemente interactuando con otras especies para conseguir alimento, cobijo u otros beneficios mientras que compite con otras. Todas las interacciones con otras especies se clasifican como factores bióticos, algunos factores bióticos son positivos, otros negativos y otros neutros. 1.1. De acuerdo con el contenido de la lectura, respondo las siguientes preguntas: a. ¿Qué es la ecología? b. ¿Cuáles son los sujetos de estudio de la ecología? c. ¿Cuáles son las herramientas matemáticas utilizadas en el estudio de la ecología? d. ¿Cuáles son los factores bióticos y abióticos de un ecosistema? 2. ACTIVIDADES: 2.2. PRODUCTOS NOTABLES Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. 2.2.1. Investigo los diferentes tipos de grupos notables y doy dos ejemplos de cada uno de ellos. 2.3. MULTIPLICAR UN MONOMIO POR OTRO MONOMIO Para multiplicar dos monomios, multiplicamos sus coeficientes y empleamos la regla del producto de los exponentes para determinar los exponentes de las variables Ejemplo: Si se multiplica:

4 x 2 5x 5 4 x 2 5x 5

4 5 x 2 x 5 20 x 2

5

20 x 7

2.3.1. Reviso los ejemplos 1, 2 y 3 de la página 280 Cap. 4 (Exponentes y polinomios) Algebra elemental “ Allen R Ángel” Ed. Prentice Hall. (Libro virtual de Pearson) 2.3.2. Resuelvo los siguientes productos notables. a. (2x3)(5x3) d. (5x2 y3 z)(2 y2 z2) b. (12x3)(4x) e. (18x3 y2 z5) (6x3 y z2) c. 5 (2x2 y3 z) f. (−2x3)(−5x)(−3x2) _ 2.4. MULTIPLICAR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO. Para multiplicar un polinomio por un monomio, empleamos la propiedad distributiva. a (b+c) = ab + ac 1

Ejemplo: Multiplicar:

3x 2 x 2 4 3x 2 x 2 4

3x 2 x 2

3x 4

6 x 3 12x

2.4.1. Resuelvo los siguientes productos notables.

a. x (2x 3 + 45)

b. 5x (-4x 3 + 6x -4)

d. 3ab (2ab + 4ca)

c. x (x 3 + y)

c. 2x (x 2 +3x-1) 1 f. - x 3 (2x 2 +4x-6y 3 ) 2

2.5. MULTIPLICACION DE BINOMIOS Siempre que se multipliquen dos binomios se debe seguir el mismo procedimiento, cada término del binomio debe ser multiplicado por cada término del otro binomio de tal forma que se obtenga un polinomio de cuatro términos, que se puede convertir en un polinomio de menos términos según las operaciones y simplificaciones que se puedan realizar entre ellos. Ejemplo: 3x 2 x 5 Multiplicar:

3x x 3x 2

3x 15x

5

2 x

2x

2

5

10

3x 2 15x 2 x 10 3x 2 13x 10 2.5.1. Reviso los ejemplos 9, 10, 11, 12, 13 pág. 281, 282 y 283 Cap. 4 (Exponentes y polinomios) Algebra elemental “Allen R Ángel” Ed. Prentice Hall. (Libro virtual de Pearson) 2.5.2. Resuelvo los siguientes productos notables y simplifico la respuesta.

a. x 5 x 5

b. y 3 y 3

c. 3 x 3 x

d. 2 x 5 2 x 5

e. z 4 z 4

f.

3x 3

3x 3

2.5.3. Investigo en qué consiste el método PIES para la multiplicación de binomios, desarrollo tres ejemplos mediante dicho método. 2.6. PRODUCTO DE LA SUMA Y LA RESTA DE DOS BINOMIOS IGUALES (BINOMIOS CONJUGADOS) En este producto, a representa un término y b representa otro. Entonces (a+b) representa la suma de los términos y (a-b) representa la resta de los mismos, ese producto también se conoce como la fórmula para la diferencia de cuadrados, ya que al realizar el producto obtenemos el cuadrado de la diferencia de los dos términos mencionados.

(a + b)(a - b)= a2 - b2 2.6.1. Resuelvo los siguientes productos mediante el método de binomios conjugados.

a. (x + 5)(x - 5)

b. (2x + 4)(2x - 4)

c. (3x + 2y)(3x - 2y)

2.7. CUADRADO DE UN BINOMIO. Para elevar un binomio al cuadrado, sumamos el cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. 2

(a + b) = (a + b)(a + b)= a2 + 2ab + b2 2

(a - b) = (a - b)(a - b)= a2 - 2ab + b2 2.7.1. Resuelvo la siguiente situación teniendo en cuenta el grafico. a. Utilizando el cuadrado de un binomio, determino el área total y el área de cada una de las partes del siguiente rectángulo. b. Si el valor de x es 2 metros, cual es el valor del área total y de cada una de las partes del rectángulo.

2

2.8. ACTIVIDAD DE INGENIO: Una fotografía para una valla publicitaria mide 8 metros por 10 metros. La fotografía se coloca sobre un cartón rectangular dejando un ancho uniforme alrededor de la misma. El área conjunta de la fotografía y del ancho uniforme es de 120 metros cuadrados. Halla la medida del ancho uniforme y responde las siguientes preguntas: A. ¿Cuál sería la expresión que representa el ancho del cartón? B. ¿Cuál sería la expresión que representa el largo del cartón? C. ¿Cuál sería la expresión geométrica que representa el área de cualquier rectángulo? D. ¿Cuál es la ecuación simplificada que representa la medida del ancho uniforme?

Me debo asegurar de entender completamente la multiplicación de polinomios ya que la factorización es el proceso inverso a la multiplicación de polinomios. Para poder hacer un correcto desarrollo de la factorización debemos entender perfectamente la multiplicación de polinomios.

2.9. DIVISION DE POLINOMIOS 2.9.1. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada termino del polinomio entre el monomio. Ejemplo: Dividir

a. 2x + 16 entre 2 a.

2x + 16 2 2x 2

+

16 2

b. 10x2 - 4x entre 2x

b.

10x 2 - 4x 2x 10x

2

-

4x

2x 2x 5x - 2

x+ 8

2.9.2. DIVISION DE UN POLINOMIO ENTRE UN BINOMIO La división de un polinomio entre un binomio requiere un procedimiento muy parecido a la división aritmética que aprendimos cuando pequeños Ejemplo: 2 resultado el primer termino del resultado de la Dividir x + 6x + 8 entre x + 2 resta de los polinomios. Primero escribimos el problema de división de forma clásica. 2

x + 6x + 8 x + 2 Ahora buscamos un término que multiplicado por el primer término del divisor, obtenga el primer término del dividendo.

x 2 + 6x + 8 x + 2 x Multiplicamos dicho término por el divisor, restando el resultado al dividendo.

x 2 + 6x + 8 x + 2 - x 2 - 2x x 0 4x + 8

x 2 + 6x + 8 x + 2 - x 2 - 2x 4x + 8

x+ 4

Multiplicamos dicho término por el divisor, restando el resultado al dividendo.

x 2 + 6x + 8 x + 2 - x 2 - 2x

x+ 4

4x + 8 4x + 8 0 Para comprobar si el proceso que realizamos es correcto, multiplicamos el divisor por el resultado y debemos obtener como resultado el dividendo

Ahora buscamos un término que multiplicado por el primer término del divisor, obtenga como 3

(x + 2)(x + 4)= x 2 + 2x + 4x + 8

Por lo tanto

= x 2 + 6x + 8

x2 + 6x + 8 = x+ 4 x+ 2

2.10. FACTORIZACION La factorización de polinomios es el proceso inverso a la multiplicación de polinomios, por eso cuando factorizamos un polinomio, lo reescribimos como el producto de dos o más factores. 2.10.1. IDENTIFICACIÓN DE FACTORES Factorizar una expresión significa escribirla como el producto de sus factores, la factorización tiene una gran importancia ya que nos ayudara para la solución de algunas ecuaciones. Un numero o una expresión matemática puede tener muchos factores, es decir muchos números que multiplicados den como resultado el numero. Consideremos el numero 30.

1 ×30 = 30 2 ×15 = 30

3 ×10 = 30 5 ×6 = 30 2.10.1.1. Menciono los factores de los siguientes términos.

a. 6x 3

b. 4x 7

c. 10x 2

2.10.2. MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE DOS TERMINOS Pasos para determinar el MCD de dos números. 1. Escribo el numero como el producto de sus factores primos 2. Determino los factores primos comunes en los dos términos 3. Multiplico los factores comunes encontrados, el producto de estos es el MCD de los dos números.

2.10.2.1. Determino el MCD de las siguientes parejas de números.

a. 20,24

b. 45,27

c. 70,98

d. 120,96

e. 80,126

Pasos para determinar el MCD de dos o más términos 1. Calculo el MCD de los coeficientes de cada término. 2. Tomo las variables comunes de cada término. 3. De estas variables escojo las que estén elevadas al menor exponente. 4. Multiplico el MCD de los coeficientes por las variables elevadas al menor exponente. 2.10.2.2. Determino loa factores de los siguientes términos

a. 18y2 , 15y 3 , 27y 5 2.11. OLIMPIADAS MATEMÁTICAS:

b. - 20x 2 , 12x, 40x 3

c. 5s 4 , s7 , s 3

Suppose that a rectangular solid has length x 5 , width 3 x 4 , and height 2x 2 (see the figure). A. Write a polynomial that represents the area of the base by multiplying the length by the width B. The volume of the figure can be found by multiplying the area of the base by the height. Write a polynomial that represents the volume of the figure. C. Using the polynomial in part (B.) and find the volume of the figure if x is a 4 feet. D. Using the binomials given for the length, width, and height, find the volume if x is 4 feet E. Are you answers to parts C. and D. the same? If not, explain why

3. EVIDENCIAS DE EVALUACION: Trabajo personal: Son las actividades que realiza el estudiante en el desarrollo de la guía, la realización de las tareas, quices y los talleres propuestos, los cuales permitirán observar los avances en cuanto a la conceptualización, apropiación y aplicación. 4

Trabajo grupal: En éste se tiene en cuenta la participación de los estudiantes y el compromiso con el equipo con el fin de cumplir con los trabajos establecidos con la calidad requerida y de acuerdo con ello se determinará el nivel de logro alcanzado, en las diferentes actividades de la guía y talleres propuestos. Evaluación Mensual - Semestral: A mitad del primer y tercer periodo se realizará una evaluación mensual de los desempeños teniendo en cuenta los referentes conceptuales que se hayan trabajado hasta el momento. Así mismo al finalizar el segundo y cuarto periodo se realizará una evaluación semestral que tenga en cuenta de manera acumulativa los referentes trabajados hasta el momento. Esta prueba se desarrollará a partir de preguntas tipo Pruebas Saber. Actividad de Ingenio Matemático: Es una situación problema orientada por el docente y propuesta en la guía del periodo, en la cual los estudiantes relacionan los referentes conceptuales trabajados en contextos matemáticos, de otras ciencias o del contexto real, que permita procesos de conceptualización, apropiación y aplicación. 4. NIVELES DE DESEMPEÑO POR LOGRO SUBPROCESO 1 MODELACIÓN MATEMÀTICA

SUBPROCESO 2 COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

SUBPROCESO 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SUBPROCESO 4 RESOLUCIÓN Y FORMULACIÓN DE PROBLEMAS

LOGRO Representar situaciones cotidianas haciendo uso de los números reales y expresiones algebraicas.

LOGRO Expresar en lenguaje algebraico situaciones donde se apliquen las propiedades del conjunto de los números reales dentro del contexto matemático y de otras ciencias.

LOGRO Argumentar los resultados obtenidos al realizar operaciones con polinomios algebraicos, utilizando las estructuras de las expresiones algebraicas aplicadas con tal fin.

LOGRO Resolver situaciones problemas y simplificar cálculos entre polinomios algebraicos, usando las propiedades y las estructuras de las expresiones algebraicas.

NIVELES DE DESEMPEÑO

NIVELES DE DESEMPEÑO

NIVELES DE DESEMPEÑO

NIVELES DE DESEMPEÑO

5. Reconoce de manera clara las propiedades del conjunto de los números reales y hace una correcta aplicación de las mismas en la modelación de situaciones en donde se involucran polinomios algebraicos.

5. Identifica y reconoce las estructuras de las expresiones algebraicas. Describe con lenguaje algebraico las relaciones entre las variables de una situación problema de manera clara.

5. Establece relaciones claras entre las propiedades de los números reales en la simplificación de expresiones algebraicas. Justica y argumenta de manera coherente los procedimientos utilizados al realizar operaciones entre polinomios algebraicos.

4. Reconoce las propiedades del conjunto de los números reales y hace uso de las mismas en la modelación de situaciones en las que involucre operaciones entre polinomios algebraicos.

4. Reconoce las estructuras de las expresiones algebraicas. Describe con lenguaje algebraico las relaciones entre las variables de una situación problema.

3. Reconoce algunas de las propiedades del conjunto de los números reales y hace uso de las mismas en la modelación de situaciones que involucre la solución de operaciones entre polinomios algebraicos

3. Identifica algunas de las estructuras de las expresiones algebraicas. Se le dificulta describir con lenguaje algebraico las relaciones entre las variables de una situación problema

2. Se le dificulta reconocer las propiedades del conjunto de los números reales, haciendo uso inadecuado de las mismas en la modelación de situaciones en la que intervenga la solución de polinomios algebraicos. 1. Se le dificulta reconocer las propiedades del conjunto de los números reales y realizar aplicaciones de las mismas en la modelación de situaciones en las que intervenga la solución de operaciones entre polinomios algebraicos

2. Presenta dificultad al identificar las propiedades de las expresiones algebraicas, con el fin de realizar operaciones entre polinomios algebraicos.

4. Establece relaciones entre las propiedades de los números reales en la simplificación de expresiones algebraicas. Justica los procedimientos utilizados al realizar operaciones entre polinomios algebraicos. 3. Establece relaciones mínimas entre las propiedades de los números reales en la simplificación de expresiones algebraicas. Desarrolla de manera inadecuada los procedimientos al realizar operaciones entre polinomios algebraicos. 2. Se le dificulta establecer relaciones básicas entre las propiedades de los números reales para la simplificación de expresiones algebraicas.

5. Interpreta y plantea diferentes métodos de solución de problemas en donde intervienen expresiones algebraicas, haciendo uso de las propiedades de los números reales. Verifica y argumenta los resultados obtenidos teniendo en cuenta el contexto en el que se presentan dichas situaciones. 4. Interpreta y plantea métodos de solución de problemas en donde intervienen expresiones algebraicas haciendo uso de las propiedades de los números reales. Verifica los resultados obtenidos.

1. Se la dificulta Identificar y reconocer de forma adecuada las estructuras de las expresiones algebraicas, haciendo un uso inadecuado de estas en la descripción de las mismas al aplicarse en la solución de operaciones entre polinomios algebraicos.

1. Se le dificulta establecer relaciones básicas entre las propiedades de los números reales para la simplificación de expresiones algebraicas. Plantea de manera inadecuada los procedimientos al realizar operaciones entre polinomios algebraicos.

3. Plantea métodos de solución de problemas en donde intervienen expresiones algebraicas haciendo uso de las propiedades de los números reales.

2. Se le dificulta plantear métodos de solución de problemas en donde intervienen expresiones algebraicas haciendo uso inadecuado de las propiedades de los números reales. 1. Se le dificulta plantear métodos de solución de problemas y hacer uso adecuado de las propiedades en donde intervienen expresiones algebraicas.

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5. BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS  ANGEL, A. (2004), Algebra Intermedia, México: Ed. Pearson Educación  ANGEL, R. (2011), Elementary Algebra, Estados Unidos: Ed. Pearson Educación  DUEÑAS. H. (2007), Aciertos Matemáticos 8, Bogotá: Ed. Educar  LOPEZ, J. (2008), Fórmula 8,Bogotá. Ed. Voluntad  MESA, M. (2006), Símbolos 9. Bogotá: Ed. Voluntad  ROSAS, A. (1992), Algebra. México: Ed. Pearson Educación  RODRÍGUEZ, M. (2009). Cartilla de intensificación. Secretaria de educación  www.matemáticas/ecuaciones lineales/problemas.net  http://ichi.fismat.umich.mx/recursos/prob15/prob1a25.html  http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuIncio.html PROFESORES: JENNY MARCELA LÓPEZ MEDINA Y JULIO CESAR LONDOÑO LEON

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