UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL

CIENCIA DEL DEPORTE CURSO INTRODUCTORIO - MATEMÁTICA-

GUIA DIDACTICA

Despeje de variables en Números Reales

Autor: Prof. Dennar Oropeza San Felipe, Octubre 2010

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL

CIENCIA DEL DEPORTE CURSO INTRODUCTORIO - MATEMÁTICA-

GUIA DIDACTICA

Despeje de variables en Números Reales

Datos de Identificación Elaborado por: Dennar Oropeza e-mail: [email protected] Fecha Elaboración: Octubre de 2010 Fecha de Última Actualización: Febrero de 2011

Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Tabla de Contenidos Objetivos Específicos. ................................................................................................................ 3 Contenidos…………………………………………………………………………………………….4 Desarrollo del Aprendizaje ........................................................................................................ 4 1.- El problema de la mitad de x de la vida ....................................................................... 4 2.- La Ecuación ........................................................................................................................ 4 2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita ................................... 6 3.- El epitafio de Diofanto ....................................................................................................13 4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado. .......................................................13 4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas .............................14 4.2.- Propiedades de las soluciones ...............................................................................17 4.3.- Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones ...............................................17 4.3.1.- La ecuación de tipo: ; ..........................................................17 4.3.2.- Factorización de un trinomio de segundo grado ........................................17 5.- Ecuaciones racionales....................................................................................................18 6.- Ecuaciones bicuadradas ...............................................................................................18 LECTURA .................................................................................................................................19 Referencias Bibliográficas .......................................................................................................21

Introducción Ya habiendo revisado las operaciones básicas en los diferentes conjuntos de números, se puede repasar lo referido al despeje de una variable en una ecuación, la cual surge de En esta parte del curso, te invitamos a repasar acerca de los Números Naturales y Enteros, sus operaciones básicas de adición, sustracción, producto y cociente, en las que ahondaremos en la Ley de los Signos. En ti está el lograr el aprendizaje, si con entusiasmo estudias esta guía. Cualquier duda o interés en particular, puedes escribir un correo electrónico a tu facilitador. Entonces, a

trabajar!!!!

Objetivos Específicos. Luego de culminar esta unidad de estudio, amigo estudiantes serás capaz de:  Identificar los elementos de una ecuación lineal y cuadrática  Resolver las operaciones básicas para el despeje de las variables en ecuaciones lineales y cuadráticas. Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Contenidos Despeje de variables en Números Reales 1.- El problema de la mitad de x de la vida 2.- La Ecuación 2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita 3.- El epitafio de Diofanto 4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado. 4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas 4.2.- Propiedades de las soluciones 4.3.- Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones 4.3.1.- La ecuación de tipo: ; 4.3.2.- Factorización de un trinomio de segundo grado 5.- Ecuaciones racionales 6.- Ecuaciones bicuadradas LECTURA

Desarrollo del Aprendizaje 1.- El problema de la mitad de x de la vida El matemático diría que la vida del condenado debería ser dividida en una infinidad de períodos de tiempo iguales y, por tanto, infinitamente pequeños. Según tal razonamiento, veríamos que cada periodo de tiempo dt, ¡Podría ser mucho menor que la diezmillonésima parte de un segundo! Desde el punto de vista del Análisis Matemático este problema no tiene solución. La única fórmula, la más humana y más de acuerdo con el espíritu de Justicia y de Bondad, fue la sugerida por Beremiz (famoso matemático Persa, que tenía notables aptitudes para la ciencia de los números, conocido como el Hombre que calculaba). (Tomado de El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan. Capitulo XXIV) Sin nos ponemos a ver con calma, pudiésemos plantearnos una expresión matemática que agrupe toda la información mencionada, pero tranquilo! Lo haremos al final de la lección. 2.- La Ecuación Para comenzar, veamos primero si recuerdas o que tan claros tienes algunos conceptos importantes de este tema: ¿Qué significan los términos: variable, constante, exponente, radical? Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π ¿Qué entiendes por ecuación o fórmula? ¿A que se llama despejar una variable de una ecuación o fórmula? Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Entonces, una ecuación está conformada por dos miembros: el primero, una suma algebraica de términos antes de una igualdad y luego de ella, el segundo miembro, que también consta de otra suma algebraica de términos. En dicha suma, pueden existir términos que contengan a la incógnita acompañada de un coeficiente y de términos independientes (Valores constantes que no contienen a la incógnita). Acá lo puedes ver: Términos

3X

1er Miembro

2



5 2

Igualdad

 4X

2do miembro

Ecuación Donde: Coeficiente -2 y

3 X

–4. X

5 son Términos Independientes 2

Variable o Incógnita

En el caso de las ecuaciones con una incógnita, se catalogan según el exponente más alto de la incógnita.

Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

5

◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

2x + 4 = 10

es una ecuación lineal o de primer grado

2x2 + x + 5 = 9

es una ecuación cuadrática o de segundo grado

3x3 + 5x2 – 2x + 1 = 8

es una ecuación de tercer grado.

En esta guía trabajaremos las ecuaciones de primer y segundo grado.

2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita Por definición, Sean a, b y c constantes reales con a≠ 0, Se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita a toda ecuación de la forma a.x +b = c; cuyo valor de x es el conjunto solución de dicha ecuación. 2.1.1. Procedimiento para resolver estas ecuaciones. Una forma general para resolver las ecuaciones lineales de una incógnita es el siguiente: 1. Elimine todas las fracciones multiplicando cada lado por el mínimo común denominador. 2. Quite paréntesis. 3. Simplifique los términos semejantes, usando la propiedad aditiva de la igualdad para lograr que la ecuación tenga la forma: ax = b 4. Despeje la variable mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad 5. Verifique el resultado con la ecuación original

Para ello veremos algunos ejemplos: a.- Resolver la siguiente ecuación:

2x + 3 = 5

Solución Primero se simplifican los términos semejantes usando la propiedad aditiva. El objetivo es eliminar todo término que acompañe a la incógnita o variable, que en este caso es X, y para ello se le resta a ambos miembros el valor de 3 , o se le suma el valor de -3: Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 2x + 3 - 3 = 5 - 3



2x = 2

Seguidamente, se usa la propiedad multiplicativa, en otras palabras, 2x ( 1/2 ) = 2 ( 1/2 )

 x=1

De otra forma se puede resolver esta sencilla ecuación lineal. Se dice que se puede trasladar del primer al segundo miembro el término independiente +3, que está sumando, hacerlo restando: 2x + 3 = 5  2x = 5 - 3  2x = 2 Posteriormente, pasar al segundo miembro el coeficiente 2 que multiplica a la variable X, dividiendo:  x = 2/2



x=1

SOLO ESCOGES LA FORMA QUE MEJOR ENTIENDAS… Comprobación. En esta parte se sustituye el valor de x resultante en la ecuación para revisar la igualdad: 2( 1 ) + 3 = 5



5=5

b.- Resolver la siguiente ecuación:

✔

10x/2 = x + 6

Solución Multiplicas a cada lado por el mínimo común denominador (el 2) 10. x . 2 = (x + 6). 2 2 Simplificas los términos semejantes usando la propiedad aditiva 10x - 2x = 2x + 12 - 2x  8x = 12  8x ( 1/8 ) = 12 ( 1/8 )



x = 12 / 8

x = 3/2 Otra forma de hacerlo es: 10. x (x + 6) = 2

El denominador del coeficiente del primer término del primer miembro que está dividiendo, pasa multiplicando a todo el segundo miembro Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 

10. x = (x + 6). 2



10. x = 2.x + 12

(Aplicando propiedad distributiva) (Agrupamos términos semejantes: los términos que contienen a la variable X, por lo tanto el 2X que está sumando en el segundo miembro pasa al primero, restando (operación opuesta), valor 12 se queda intacto en el segundo miembro)

10. x - 2.x = 12





8. x = 12



x = 12 / 8



x =6 /4



x =3 /2

(El coeficiente de la variable (8) que está multiplicando pasa al segundo miembro dividendo) (Se reduce el racional buscando mitad, hasta que sea irreducible)

En la Comprobación, se tiene: 

10 . 3 2 2

=

3 2

+6



30 4

=

3 + 12 2



15 2

=

15 2

c.- Resolver la siguiente ecuación:

(En el primer miembro se realiza un producto de racionales o fracciones, donde se multiplican directamente numerador con numerador y denominador con denominador. En el segundo miembro se opera una suma de racionales o fracciones cuyo m.c.m es 2)

✔ (En el primer miembro se realiza se reduce a

la mitad la fracción. En el segundo miembro se suman los términos de la fracción y se observa que son iguales lo resultados)

12 = - 2 (2.x - 6 )

Solución Ahora lo verás más directo. Primero, pasa el -2 que divide al otro miembro multiplicando y se quitan los paréntesis en el segundo miembro: 12 = - 2 (2.x - 6 )  12. ( -1/2 ) = ( 2x - 6 ) Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

8

◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π -6 = 2x - 6



Mediante la propiedad aditiva:

-6 +6= 2x -6 + 6

O Mediante la propiedad multiplicativa: 0 (1/2) = 2x ( 1/2 )

 

0 = 2x 0=x

x=0 ✔

y Mediante la propiedad reflexiva: En l a Comprobación: 12 = - 2 (2. (0) - 6 )

d.



12 = - 2 ( - 6 )

Resolver la siguiente ecuación:



12 = 12

✔

3.( 2x - 4 ) + 3.( x + 1 ) = 9

Solución: Se quitan paréntesis en cada término del primer término, aplicando propiedad distributiva: 

6.x - 12



(6.x + 3.x) + (– 12+3) = 9



+

9.x

3.x + 3 = 9

-

9

Se agrupan y suman términos semejantes

=9



9.x

= 9 +9



x

= 18 /9



x

=

2 ✔

El término independiente que resta en el primer miembro pasa sumando al segundo miembro. Finalmente, el coeficiente de la variable que multiplica pasa al dividiendo segundo miembro

En la comprobación: Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

9

◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 3.( 2.2 - 4 ) + 3.( 2 + 1 ) = 9  3.( 4 – 4 ) + 3 .( 3 ) = 9  (3. 0) + 9 = 9 9 = 9 ✔



e.- Resolver la siguiente ecuación:

x-8 + 5

x 3

=

8 5

Solución Acá observamos dos términos en el primer miembro y uno en el segundo. Todos ellos poseen denominadores diferentes y para eliminarlos y dejar la ecuación completamente lineal, procedemos a determinar el m.c.m. entre 3 y 5, y que resulta ser 15. Entonces se multiplica todos los términos de la ecuación por 15:



15. (x – 8) 15.x + 5 3

=

15. 8 5



15. (x – 8) 15.x + 5 3

=

15. 8 5

Se resuelve las fracciones de cada término



3. (x – 8) +

=

3. 8

Se quitan los paréntesis aplicando propiedad distributiva. Se agrupan términos semejantes.



3.x – 24

5.x +

5.x

=

24



3.x + 5.x

=

24 + 24



8.x

=

48



x

=

48 / 8



x

=

6

Comprobación:  6-8 + 5

✔

6 3

=

8 5





- 2 + 30 15

=

8 5





8 5

=

8 5

-2 5 28 15

+

6 3

=

=

8 5

8 5

✔

Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Actividad de Control : Identifica los términos de estas ecuaciones y los coeficientes de aquellos que posean a la incógnita o variable: i)

7/6.w +6.(w+1) = 1

ii)

z + 5. (5 – z) – 5 = 5

Las ecuaciones pueden ser redactadas completamente por letras que son a su vez términos independientes que poseen valores arbitrarios, según la necesidad. Acá se te muestran unos casos: i. Determine A en la ecuación (A+B)/C = B + D Solución Estas expresiones se tratan iguales que las anteriores: (A+B)/C = B + D ( Al observar la ecuación, la letra A es la variable y las (A+B) B+D = restantes son términos independientes. La letra C C que divide al primer término pasa multiplicando a ( (A+B) = C. (B + D) todo el segundo miembro. (

A+B

(

A

=

C. (B + D)

= C. (B + D) ✔ -B

La letra B que suma en el primer miembro pasa restando al segundo

ii. Determine B en la misma ecuación (A+B)/C = B + D Solución Estas expresiones se tratan iguales que las anteriores: Al observar la ecuación, la letra B es la variable y las (A+B)/C = B + D  (A+B) B+D = restantes son términos independientes. La letra C C que divide al primer término pasa multiplicando a todo el segundo miembro.

(A+B)

= C. (B + D)



A+B

=

C.B + C.D



B – C.B =

C.D - A

Se agrupan términos semejantes: El término que contiene a B en el 2do miembro pasa restando al primero. La letra A pasa restando al 2do miembro.



B. (1– C) =

C.D - A

En el primer miembro se obtiene como factor común a B para agrupar los coeficientes que lo acompañan. Recuerda que B tiene como coeficiente a 1.





B

=

(C.D - A) (1– C)

La letra B en el segundo miembro debe salir del distributiva) para luego ser agrupado

✔ Finalmente el coeficiente que multiplica a B pasa dividiendo a todo al 2do miembro. Y listo!!!!

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Los valores de cada letra que representa variables y constantes se asignan según el problema planteado. Por ahora y a maneja de ejemplificación, imagínate que B =3; C = 2 y D = 1 y sustituimos en los despejes ya realizados, entonces el valor de A es: Así :

A

= 1. (3 + 2) - 3



A

= 1. (5) - 3 = 5 – 3



A

= 2

✔

Hagamos el mismo procedimiento para darle valor a B, suponga que A = 5; C = -2 y D = 4 y sustituimos en el despeje respectivo, entonces el valor de B es: B 

B

=

(C.D - A) (1– C)

(-2. 4 - 5) (-8 - 5) = (1– (-2)) = (1 + 2)



B

=

-13 ✔ 3

En resumidas cuentas: No debes abrumarte por tener que despejar una variable y que los demás términos sean letras. Trátalos como números, y sigue el procedimiento, luego se les sustituyen por valores reales. Actividad de Control: Resuelve estas ecuaciones. Recuerda algo: los términos se separan en sumas y restas, las multiplicaciones y/o divisiones forman parte de un término a.

x+3 6 = 4

Resp. x = 21

b.

- 3/5 .( 15 - 2x ) = - 3 ; Resp. x = 5.

c.

4x - 5 ( x + 3 ) = 2x – 3; Rep. X = 4

d.

2.(x + 2) = 5

x 3

; Resp: x = -12

2.x - 3 ; Resp: x = -6 e. x + 1 = x -4 4 2 4 Actividad de Control : Revisa este video, tiene información importante y entretenida para ti Matemática – Despeje de variables en Números Reales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Fibonacci. La Magia de los Números

3.- El epitafio de Diofanto Diofanto, fue un Matemático (Geómetra) griego nacido en Alejandría (325-409) que tenía un dilema existencial: “He aquí el túmulo de Diofanto –maravilla para quien lo contempla-; con artificio aritmético la piedra enseña su edad”. “Dios le concedió pasar la sexta parte de su vida en la juventud; un duodécimo en la adolescencia; un séptimo en un estéril matrimonio. Pasaron cinco años más y le nació un hijo. Pero apenas este hijo había alcanzado la mitad de la edad del padre, cuando murió. Durante cuatro años más, mitigando su dolor con el estudio de la ciencia de los números, vivió Diofanto, antes de llegar al fin de su existencia”. Es posible que Diofanto, preocupado en resolver los problemas indeterminados de la Aritmética, no hubiera pensado en obtener la solución perfecta del problema el rey Hierón, que no aparece en su obra. Tomado de El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan. Capitulo XXIV El problema de Diofanto El llamado problema de Diofanto o epitafio de Diofanto, puede ser resuelto fácilmente con auxilio de una ecuación de primer grado con una incógnita. Designando con X la edad de Diofanto, podemos escribir: X X X X    5  4  X 6 12 7 2 Resuelta esa ecuación encontramos que: X = 84 Es decir, la edad de Diofanto es 84 años. Esta es la solución del problema 4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado. Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: a.x2 + b.x +c = 0 con a ≠ 0, b y c valores reales. Se resuelve según sea el caso:

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas 1er caso: si b = 0 y c = 0, entonces: ax2 = 0, por tanto la solución es x = 0. Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 4.x2 = 0 Solución x=0 ✔

Como a = 4, b = c = 0, entonces

Es sencillo, todo número multiplicado por cero resulta cero

2do caso: Si c = 0, entonces: ax2 + bx = 0  Extraemos factor común x.  Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1er grado. Así : a x 2 + b x = 0  x.(a.x + b) = 0 

x=0

y

Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 4x2 + 7x= 0 Solución Como a = 4, b = 7 y c = 0, entonces 

x . (4x + 7) = 0



x=0

y

x=0

y

Cuando el término independiente c vale cero, queda una ecuación cuadrática donde x es el factor común

4x + 7 = 0 x = -7/4

De esta forma queda un producto y el resultado es cero, quiere decir que cada expresión se iguala a cero y se despeja el valor. Estos resultados representan las raíces buscadas

Así, las raíces del consunto solución es x1 = 0

y

x2 = -7/4

✔

3er caso: b = 0, entonces: ax2 + c = 0 Despejamos:

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 3Y2 - 27= 0 Solución Como a = 3, b = 0 y c = -27, se tiene que: Al tener este tipo de ecuaciones donde el término con  variable lineal (b.x), lo que queda es despejar la 3Y2 - 27= 0 variable (que puede ser cualquier letra)  Y2 = 27/3 

Y2 =   (27 / 3)



Y =  9



Y =  3

Por lo tanto:

Y=+3

y

Se extrae la raíz cuadrada como operación contraria a la potencia cuadrada en ambos miembros. Es de hacer notar que al despejar y aplicar este procedimiento se obtienen dos raíces: una positiva y otra negativa

Y = -3

Así, las raíces del consunto solución es Y1= 3

y

Y2 = -3

✔

4to Caso: b y c ≠ 0, entonces: ax2 +bx +c = 0, considerada ecuación cuadrática completa. En este caso, se hacen estudio de las soluciones

b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos: i. b2 − 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos. ii. b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble. iii. b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales.

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 5Y2 - 14Y - 3 = 0 Solución Como a = 5, b = -14 y c = -3, se tiene que plantear el valor discriminante:

Y



Y



=

+14

=

   196 + 60] 10 Y







Y

Y

=

=

Por lo tanto:

+14

Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula del discriminante manteniendo y respetado los signos

- (-14)    (-14)2 – (4.5.(-3))] 2.5

+ 16 10

30 10 Y=+3

=

+14

Se realizan los cálculos correspondientes Observe que la cantidad subradical (valor dentro de la raíz) es mayor que cero (256>0) y la solución está en el conjunto de los números reales: Caso i. Por otro lado, existe el doble signo, lo que significa que hay dos soluciones: una solución positiva y una negativa

  256 10

Resolvemos la raíz cuadrada y culminamos operando con la suma algebraica y la división

Y



Y



y

=

=

+14

- 16 10

-2 10

Y = -1/5

Así, las raíces del consunto solución es: Y1= 3 y Y2 = -1/5 ✔ Cuando realices correctamente las operaciones dentro de la raíz y resulte un número negativo, por ejemplo: 

Y

=

+2

   96 - 105] 6



Y

=

+ 2

  -9 6

Detengámonos en esto:  -9 , hay que recordar que las cantidades subradicales de una raíz par (raíz cuadrada: 2) deben ser positivas (mayores o iguales que cero), y como -9