Universidad de Talca Instituto de Matem´ atica y F´ısica

C´ alculo (Contador p´ ublico y auditor) Mayo de 2015

Gu´ıa - Funciones de Varias Variables (II) Regla de la cadena 1. En los siguientes problemas, obtenga las derivadas que se se˜ nalan apliacando la regla de la cadena. ∂z ∂z (a) z = 5x + 3y, x = 2r + 3s, y = r − 2s; , . ∂r ∂s √ (b) z = ex+y , x = t2 + 3, y = t3 ; dz/dt. (c) w = 3x2 y + xyz − 4y 2 z 3 , x = 2r − 3s, y = 6r + s, z = r − s;

∂w ∂w , . ∂r ∂s

∂z ∂z , . (d) z = x2 + 3xy + 7y 3 , x = r2 − 2s, y = 5s2 ; ∂r ∂s √ (e) z = 8x + y, x = t2 + 3t + 4, y = t3 + 4; dz/t. (f) w = ln(x2 + y 2 + z 2 ), x = 2 − 3t, y = t2 + 3, z = 4 − t; dw/dt. ∂w . (g) w = x2 + xyz + y 3 z 2 , x = r − s2 , y = rs, z = 2r − 5s; ∂s ∂w (h) w = exyz , x = r2 s3 , y = r − s, z = rs2 ; . ∂r ∂y (i) y = x2 − 7x + 5, x = 15rs + 2s2 t2 ; ∂r ∂y (j) y = 4 − x2 , x = 2r + 3s − 4t; ∂t 2. Para un fabricante de c´ amaras fotogr´aficas y pel´ıculas el costo total C de fabricar qC c´amaras y qF unidades de pel´ıculas, est´ a dado por C = 30qC + 0.015qC qF + qF + 900 La funciones de demanda para las c´amaras y para las pel´ıculas est´an dadas por qC =

9000 √ pC pF

y qF = 2000 − pC − 400pF

en donde pC es el precio por c´ amara y pF es el precio por unidad de pel´ıcula. Encontrar la tyasa de variaci´ on del costo total con respecto al precio de la c´amara cuando pC = 50 y pF = 2. 3. La producci´ on de trigo W , en un a˜ no dado, depende del promedio de temperatura T y la cantidad de lluvia anual R. Los expertos estiman que el promedio de temperatura est´ a subiendo a raz´ on de 0.15 ◦ C/a˜ no y la lluvia est´a decreciendo a raz´on de 0.1 cm/a˜ no. Tambi´en ∂W estiman que, a los niveles actuales de producci´on, ∂W ∂T = −2 y ∂R = 8. Estime la actual raz´ on de cambio de la producci´on de trigo, dW/dt.

M´ aximos y m´ınimos 1. Localice los puntos cr´ıticos de las funciones. Determine, mediante la prueba de la segunda derivada, si cada punto cr´ıtico corresponde a un m´aximo relativo, a un m´ınimo relativo, o a niguno de ellos. (a) f (x, y) = 2x2 + y 2 − 2xy + 5x − 3y + 1 (b) f (x, y) = x2 − 4x + 2y 2 + 4y + 7 (c) f (x, y) = x3 + y 3 − xy (d) f (x, y) = y 2 − x2 (e) f (x, y) = x2 + 3y 2 + 4x − 9y + 3 (f) f (x, y) = 2x3 − 6xy + 3y 2 (g) f (x, y) = xye−(x

2 +y 2 )/2

2. Un minorista vende dos productos que se hacen competencia, y cuyos precios son p1 y p2 . Encontrar p1 y p2 de forma que los ingresos sean m´aximos, siendo I = 500p1 + 800p2 + 1, 5p1 p2 − 1, 5p21 − p22 Resp: p1 = 1760/3 y p2 = 840 3. Sea P una funci´ on de producci´ on dada por P = f (l, k) = 0.54l2 − 0.02l3 + 1.89k 2 − 0.09k 3 , en donde l y k son las cantidades de mano de obra y capital, respectivamente, y P es la cantidad de productos que se fabrican. Calcular los valores de l y k que maximizan P. 4. Un fabricante de alimentos produce dos tipos de golosinas, A y B, cuyos costos promedio de producci´ on son constantes $2 y $3 (d´olares) por libra, respectivamente. Las cantidades qA , qB (en libras de A y B) que pueden venderse cada semana est´an dadas por las funciones de demanda conjuntas qA = 400(pB − pA ) y

qB = 400(9 + pA − 2pB )

en donde pA y pB son los precios de venta (en d´olares por libra) de A y B, respectivamente. Determinar los precios de venta que maximizan las utilidades P =(utilidad por libra)+(libras vendidas) del fabricante. Resp: El fabricante debe vender la golosina A a $5.50 por libra y la golosina B a $6.00 por libra. 5. El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y unidades del modelo B se aproxima mediante el modelo P (x, y) = 8x + 10y − (0, 001)(x2 + xy + y 2 ) − 10000

Hallar el nivel de producci´ on que reporta un beneficio m´aximo. Resp: El nivel de producci´ on de x = 2000 unidades y y = 4000 unidades conduce a un beneficio m´ aximo. 6. En cierto proceso automatizado de manufactura, se utilizan las m´aquinas M y N durante m y n horas, respectivamente. Si la producci´on diaria Q es funci´on de m y n, es decir, Q = 4.5m + 5n − 0.5m2 − n2 − 0.25mn Determinar los valores de m y n que maximizan Q. 7. Una empresa fabrica dos tipos de zapatillas, para correr y para baloncesto. El ingreso total de x1 unidades para correr y x2 unidades para baloncesto es R = −5x21 − 8x22 − 2x1 x2 + 42x1 + 102x2 , donde x1 y x2 est´ an en miles de unidades. Hallar las x1 y x2 que maximizan el ingreso. 8. El u ´nico almac´en de comestibles de una peque˜ na comunidad rural vende dos marcas de jugo de naranja helado: una marca local, que obtiene a un costo de $300 por lata, y una marca nacional, muy conocida, que obtiene a un costo de $400 la lata. El vendedor calcula que si la marca local se vende a x pesos la lata y la marca nacional se vende a y pesos la lata, cada d´ıa vender´ a aproximadamente 70 − 5x + 4y latas de la marca local y 80 + 6x − 7y latas de la marca nacional. ¿Qu´e precio deber´ıa fijar el vendedor a cada marca para maximizar las utilidades obtenida de la venta del jugo? Resp: x = 53 e y = 55 9. Una tienda al por menor vende dos tipos de cortadoras de c´esped, los precios son p1 y p2 . Hallar las p1 y p2 que maximicen el ingreso total, donde R = 515p1 + 805p2 + 1.5p1 p2 − 1.5p21 − p22 . 10. Una caja de cart´ on sin tapa debe tener un volumen de 32000 cm3 . Encuentre las dimensiones que hagan m´ınima la cantidad de cart´on utilizado. Resp: x = 40, y = 40 y z = 20 11. Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de producci´on de x1 unidades en el lugar 1 es C1 = 0.02x21 + 4x1 + 500 y el costo de producci´on de x2 unidades en el lugar 2 es C2 = 0.05x22 + 4x2 + 275. Las velas se venden a $15 por unidad. Hallar la cantidad que debe producirse en cada lugar para aumentar el m´ aximo el beneficio P = 15(x1 + x2 ) − C1 − C2 . 12. Piense en un experimento en el que un sujeto desarrolla una tarea mientras est´a expuesto a dos est´ımulos diferentes (por ejemplo, sonido y luz). Ante niveles bajo de est´ımulo, el desempe˜ no del sujeto puede mejorar, pero a medida que los est´ımulos aumentan se convierten en una distracci´ on y el desempe˜ no comienza a desmejorar. Si en cierto experimento en el que se aplican x unidades del est´ımulo A e y unidades del est´ımulo B, el desempe˜ no de un sujeto se mide por la funci´ on 2 2 f (x, y) = C + xye1−x −y

donde C es una constante positiva, ¿cu´antas unidades de cada est´ımulo provocan el m´aximo desempe˜ no? √ √ Resp: x = 2/2 e y = 2/2

Multiplicadores de Lagrange 1. Determine, mediante el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, los puntos cr´ıticos de la funciones sujetas a las restricciones dadas. (a) f (x, y) = x2 − y 2 ; x2 + y 2 = 1 Resp: f (±1, 0) = 1 es el valor m´aximo y f (0, ±1) = −1 es el valor m´ınimo de f. (b) f (x, y) = 4x + 6y; x2 + y 2 = 13 Resp: f (2, 3) = 26 es el valor m´aximo y f (−2, −3) = −26 es el valor m´ınimo de f. (c) f (x, y, z) = xyz; x2 + 2y 2 + 3z 2 = 6. p p √ √ √ √ Resp:√f ( 2, ±1, 2/3) = 2/ 3 , f (− 2, ±1, − 2/3) = 2/ p p √ √ √ 3 son los valores m´aximos y f (− 2, ±1, 2/3) = −2/ 3 , f ( 2, ±1, − 2/3) = −2/ 3 son los valores m´ınimos de f. (d) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ; (e) f (x, y, z) = x + 2y;

x4 + y 4 + z 4 = 1.

y 2 + z 2 = 4;

x + y + z = 1.

(f) f (x, y, z) = 3x − y − 3z; x2 + 2z 2 = 1; x + y − z = 0. √ √ √ √ √ √ √ Resp: √ f ( 6/3, 6/2, 6/6) = 2 6 es el valor m´aximo y f (− 6/3, − 6/2, − 6/6) = −2 6 es el valor m´ınimo de f. (g) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 + x2 + . . . + xn ; x21 + x22 + . . . + x2n = 1 √ √ √ √ √ √ √ Resp: f (1/ n, 1/ n, 1/ n) = n es el valor m´aximo y f (−1/ n, −1/ n, −1/ n) = √ − n es el valor m´ınimo de f. 2. H´allese las dimensiones de una caja rectangular de volumen m´aximo sujeto a la restricci´ on de que la suma de la longitud y el per´ımetro transversal no excedan de 108 pulgadas. (Maximizar V = xyz sujeto a la restricci´ on x + 2y + 2z = 108.) 3. Para surtir un pedido de 100 unidades de su producto, una empresa desea distribuir la producci´ on entre sus dos plantas, la 1 y la 2. La funci´on de costos totales est´a dada por c = f (q1 , q2 ) = 0.1q12 + 7q1 + 15q2 + 1000 en donde q1 y q2 son los n´ umeros de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. ¿C´omo se debe distribuir la producci´on con el objeto de minimizar los costos?. Resp: f (40, 60) = 2340 4. La funci´ on de producci´ on de una empresa esta dada por f (l, k) = 12l + 20k − l2 − 2k 2 . El costo para la compa˜ nia es de 4 y 8, por unidad de l y k, respectivamente. Si la empresa desea que el costo total de los insumos se 88, calcule la m´axima producci´on posible, sujeta a esta restricci´ on presupuestal. Resp: f (8, 7) = 74

5. La funci´ on de produci´ on de Cobb-Douglas para un fabricante concreto viene dada por f (x, y) = 100x3/4 y 1/4 donde x representa las unidades de trabajo (a $150 por unidad) e y las unidades de capital (a $250 por unidad). El costo total de trabajo y capital est´a limitado a $50000. Calcular el nivel m´ aximo de producci´ on para esta fabricante. Resp: f (250, 50) ≈ 16719 unidades producidas. 6. Una sonda espacial con forma de elipsoide 4x2 + y 2 + 4z 2 = 16 entra en la atm´ osfera de la Tierra y su superficie comienza a calentarse. Despu´es de una hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la superficie de la sonda es T (x, y, z) = 8x2 + 4yz − 16z + 600. Determine el punto m´ as caliente sobre la superficie de la sonda. Resp: (±4/3, −4/3, −4/3) 7. En econom´ıa, la utilidad de las cantidades x e y de dos bienes G1 y G2 en ocasiones se mide mediante una funci´ on U (x, y). Por ejemplo, G1 y G2 podr´ıan ser dos sustancias qu´ımicas requeridas por una compa˜ nia farmac´eutica y U (x, y) la ganancia al fabricar un producto cuya s´ıntesis requiere diversas cantidades de las sustancias, dependiendo del proceso utilizado. Si G1 cuesta a d´ olares, entonces los administradores de la compa˜ nia quieren maximizar U (x, y) dado que ax + by = c. Entonces, necesitan resolver un problema t´ıpico de multiplicadores de Lagrange. Suponga que U (x, y) = xy + 2x y la ecuaci´ on ax + by = c se simplifica como 2x + y = 30. Determine el valor m´ aximo de U y los valores correspondientes de x e y sujetos a esta u ´ltima restricci´ on. Resp: U (8, 14) = $128 8. Usted debe construir un radiotelescopio en un planeta reci´en descubierto. Para minimizar la interferencia, requiere colocarlo donde el campo magn´etico del planeta es m´as d´ebil. El planeta es esf´erico, con un radio de 6 unidades.Con base en un sistema de coordenadas cuyo origen es el centro del planeta, la fuerza del campo magn´etico est´a dada por M (x, y, z) = 6x − y 2 + xz + 60. ¿D´ onde debe colocar el radiotelescopio? 9. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de metal es T (x, y) = 4x2 − 4xy + y 2 . Una hormiga camina sobre la placa alrededor de una circunferencia de radio 5 con centro en el origen. ¿Cu´ ales son las temperaturas m´axima y m´ınima encontradas por la hormiga? Resp: M´ınimo 0◦ y m´ aximo 125◦ . 10. A un editor le han asignado 60000 d´olares para invertir en desarrollo y promoci´on de un nuevo libro. Se estima que si se invierte x miles de d´olares en desarrollo e y miles de d´olares en promoci´ on, se vender´ an aproximadamente f (x, y) = 20x3/2 y ejemplares del libro. ¿Cu´ anto dinero deber´ıa asignar el editor a desarrollo y cu´anto a promoci´on para maximizar las ventas? Resp: f (36, 24) = 103680