HOJA DE CÁLCULO COMO APLICACIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO

Autores:, ♦Lucia Agud Albesa; ♠Emilio Defez Candel ; ♥Vicente Soler Basauri Dirección: ♦Universidad Politécnica de Valencia (UPV). Escuela Politécnica Superior de Alcoy (EPSA). Departamento de Matemática Aplicada. Plaza Ferrandiz Carbonell , Edificio Ferrandiz Nº 2 03801- Alcoy, (ALICANTE) Correo electrónico: [email protected] ♥ Universidad Politécnica de Valencia (UPV). Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Diseño (ETSID). Departamento de Matemática Aplicada. Camino de Vera, s/n. 46022 Valencia Correo electrónico: [email protected] ♠Universidad Politécnica de Valencia (UPV). Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (ETSICCP). Departamento de Matemática Aplicada. Camino de Vera, s/n. 46022 Valencia Correo electrónico: [email protected] Fax: 963877159 RESUMEN En el presente trabajo, pretendemos exponer nuestra experiencia puesta en práctica el presente curso en la realización de prácticas de laboratorio en la asignatura Computación Numérica correspondiente a la titulación de Ingeniero Técnico en Informática de Gestión de la Escuela Politécnica Superior de Alcoy (Universidad Politécnica de Valencia). La experiencia consiste en ofrecer al alumno la posibilidad de realizar las prácticas de laboratorio, paralelamente al desarrollo normal de la asignatura y de forma optativa, utilizando las posibilidades de programación que ofrece una Hoja de Cálculo en la resolución de problemas para los cuales sea necesario la utilización del cálculo numérico. Con esto pretendemos que el alumno se familiarice con una herramienta de trabajo que le será muy útil, tanto para sus estudios como en su vida profesional.

1.- INTRODUCCIÓN. Con la implantación del nuevo plan de estudios para la titulación de Ingeniero Técnico en Informática de Gestión en la Escuela Politécnica Superior de Alcoy de la Universidad Politécnica de Valencia en el curso 2000/01, al Departamento de Matemática Aplicada le han correspondido las siguientes asignaturas así como la distribución de créditos que se refleja en la Tabla 1:

ASIGNATURAS

Tabla 1 CARÁCTER

MATEMÁTICA DISCRETA Y TRONCAL ÁLGEBRA ANÁLISIS MATEMÁTICO TRONCAL COMPUTACIÓN NUMÉRICA TRONCAL

CRÉDITOS ANUALES T. P.A. P.L. TOTAL 6 4.5 1.5 12 3

3

1.5

7.5

1.5

1.5

1.5

4.5

T: Créditos teóricos, PA: Créditos correspondientes a prácticas de Aula, P.L.: Créditos correspondientes a prácticas de Laboratorio.

El temario correspondiente a la asignatura de Computación Numérica que se imparte en el segundo cuatrimestre del primer curso, en resumen es: Tema 1.- Teoría y Análisis de errores. Tema 2.- Cálculo de raíces aproximadas de ecuaciones no lineales. Tema 3.- Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos e iterados. Transformaciones de Householder. Tema 4.- Interpolación: Interpolación polinomial, interpolación polinomial a trozos (splines). Método de mínimos cuadrados. Tema 5.- Derivación numérica. Tema 6.- Métodos de integración numérica. Tema 7.- Métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales. Desde la puesta en marcha de la asignatura, se ha utilizado como herramienta de apoyo en las prácticas de laboratorio, el paquete matemático MATLAB, el cual presenta grandes ventajas tanto por su potencia en cálculo simbólico, como por las librerias de aplicaciones que ya lleva implementadas el programa, y por la posibilidad y sencillez a la hora de programar, enfocado a un alumno que se inicia en la titulación de Ingeniero en Informática, para que así vaya adquiriendo una estructura y un pensamiento más acorde con la especialidad que él ha elegido.

Sin embargo, a partir del actual curso académico, nos hemos propuesto realizar una innovación en el método de impartición de las prácticas de laboratorio, permitiendo que de forma paralela y voluntaria, el alumno pueda realizar tales prácticas también programando con la hoja de cálculo, suponiendo el uso de ésta, por su sencillez, fácil acceso y otras ventajas que a continuación enunciaremos, un aliciente para el alumno en el desarrollo y superación de forma exitosa de la asignatura.

Una de las ventajas inmediatas que la hoja de cálculo ofrece es • su fácil disponibilidad para cualquiera de los alumnos que elijan esta opción. • Aprender a manejar con destreza una herramienta que le será útil más adelante, cuando el alumno se sumerja en el mundo laboral. • Facilidad de visualización en forma de tablas, tanto de los datos y resultados, como del conjunto de operaciones intermedias. • Gran potencia de cálculo, conjunto de funciones y relaciones lógicas matemáticas. Por otro lado, también observamos que este método de aprendizaje presenta algunas dificultades o inconvenientes, entre los cuales podemos destacar: • Limitación en cuanto a capacidad de programación. • No tiene posibilidad de realizar cálculo simbólico, no deriva ni integra funciones, etc. • Limitación en cuanto a representación gráfica. En cuanto a la elección de la Hoja de Cálculo Excel para esta asignatura, se han tenido en cuenta varias motivaciones: • Gran potencia de cálculo y facilidad de manejo al trabajar en entorno Windows. • Fuerte implantación en el mercado, y por tanto fácil accesibilidad al programa por parte de los alumnos.

2.- APLICACIONES: Este apartado lo vamos a dividir en dos partes: en la primera estableceremos una comparación para un ejemplo concreto como es, el cálculo aproximado de la raíz de una ecuación no lineal, mediante el Método de la Bisección y el Método de Newton, implementados con el paquete Matlab y realizados también en la hoja de cálculo. La segunda parte constará de otros ejercicios de aplicaciones de Métodos Numéricos, realizados con la hoja de cálculo.

COMPARACIÓN ENTRE AMBOS MÉTODOS: Dada la función y = x − 6 x + 2 , calcular de forma aproximada la raíz en el intervalo [0, 1], mediante el método de la bisección y el de Newton, comparando los resultados obtenidos. 3

Efectuar los cálculos mediante Hoja de Cálculo y programación en Matlab

BISECCIÓN: ERROR= 0.001 FUNCION: ITER

Ai

INTERVALO

X^3-6X+2=0 Bi

F(Ai)

Ao= 0 Bo= 1 Nº DE ITERACIONES= 10 F(Bi)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0000 0,0000 0,2500 0,2500 0,3125 0,3125 0,3281 0,3359 0,3398 0,3398

1,0000 0,5000 0,5000 0,3750 0,3750 0,3438 0,3438 0,3438 0,3438 0,3418

2,0000 2,0000 0,5156 0,5156 0,1555 0,1555 0,0666 0,0223 0,0002 0,0002

-3,0000 -0,8750 -0,8750 -0,1973 -0,1973 -0,0219 -0,0219 -0,0219 -0,0219 -0,0109

10

0,3398

0,3408

0,0002 -0,0053

Ci 0,5000 0,2500 0,3750 0,3125 0,3438 0,3281 0,3359 0,3398 0,3418 0,3408

F(Ci) -0,8750 0,5156 -0,1973 0,1555 -0,0219 0,0666 0,0223 0,0002 -0,0109 -0,0053

AMPLITUD AMP-ERROR

1,0000 0,5000 0,2500 0,1250 0,0625 0,0313 0,0156 0,0078 0,0039 0,0020

0,9990 0,4990 0,2490 0,1240 0,0615 0,0303 0,0146 0,0068 0,0029 0,0010 APROX.

0,3403 -0,0026 0,0010 SUFICIENTE

EJERCICIO DESARROLLADO CON MATLAB: A continuación vamos a describir el algoritmo de bisección, mediante su implementación con el paquete Matlab: function bisec(fun,a,b,tol) % En este método, se calcula una solución aproximada de una ecuación no lineal, mediante el % Método de Bisección. % Dado un intervalo de partida, se comprueba si verifica la condición suficiente dada % por Bolzano. % En caso positivo, se procede a ir tomando intervalos más pequeños, según verifiquen % de nuevo Bolzano, e ir tomando como aproximación a la raíz buscada, el punto medio % de dichos intervalos. fa=feval(fun,a);x=0;iter=0; fb=feval(fun,b); flag=0; if (fa*fb)>0

disp('No se garantiza la existencia de raíz en el intervalo dado') elseif (fa*fb)== 0 if fb==0 x=b; else x=a; end else c=(a+b)/2; while abs(b-a)>tol fc=feval(fun,c); if fb*fc