MATRICES Y DETERMINANTES  Conceptos básicos  Determinantes  Matriz inversa CONCEPTOS BÁSICOS MATRIZ A de m filas y n columnas:

a1n   a11 a12 a  a a 21 22 2 n  A     amn   am1 am 2 i  1,2,..., m (filas) Se representa por A   aij    j  1,2,..., n (columnas) Dimensión de la matriz es el número m  n 1 2 Matriz cuadrada: m  n .   3 4  1 2 3   4 5 6 Matriz fila: m  1 . 1 2 3 1 2 Matriz columna: n  1 .   3   Matriz rectangular. m  n 

t

Matriz traspuesta: Se cambian filas por columnas. A

 1 2 3 A  ; 4 5 6  

1 4 At   2 5   3 6  

Las matrices cuadradas pueden ser

1 2 3 2 4 5 t  Simétrica: aij  a ji . A  A   3 5 7    0 1 2   t   Antisimétrica: aij  a ji . A   A  1 0 3   2 3 0    Para comprobar que aii  0 , donde pone j poner i: aii  aii  2aii  0  aii  0

1



Triangular superior: aij  0 si i  j . Ceros por debajo de la diagonal

1 2 0 0 2 1 principal.    0 0 3    Triangular inferior: aij  0 si i  j . Ceros por encima de la diagonal  2 0 0  0 1 0  principal.   1 1 2    Diagonal: aij  0 si i  j . Sólo elementos en la diagonal principal. 10 0 0  D   0 20 0   0 0 30    o Escalar Los elementos de la diagonal principal son iguales

3 E   0 0  1 0  o Unidad: aii  1 . I  0 1  0 0  0 0 o Nula: aij  0 0   0 0 0 0 

0 0 3 0  0 3  0 0  1  0 0  0 

Dos matrices con la misma dimensión son iguales si tienen los mismos elementos. La SUMA de matrices de la misma dimensión se hace sumando los elementos correspondientes que ocupan la misma posición. La suma de matrices tiene las propiedades  Asociativa A  ( B  C )  ( A  B)  C  Conmutativa A  B  B  A  Neutro: La matriz nula 0mxn . 0  A  A  0  Matriz Opuesta A  ( A)  ( A)  A  0 Ejemplo:

 1 2 3  2 2 3  3 4 5   4 3 1   1 3 1  5 6 2      

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Producto de escalar   por matriz A : Se multiplican todos los elementos de la matriz A por el escalar  y se expresa  A . Ejemplo:

1 2 3  3 6 9 3   6 3 6 2 1 2     Esta operación tiene las propiedades conocidas a) Distributiva respecto a la suma de matrices: k ( A  B)  kA  kB b) Distributiva respecto a la suma de escalares: (h  k ) A  hA  kA c) Asociativa del producto de escalares: (hk ) A  h(kA) d) 1 :1A  A . Con estas dos operaciones Suma de matrices: A  B y producto de escalar   por matriz A :  A el conjunto de las matrices m  n tiene estructura de espacio vectorial de dimensión m  n . El PRODUCTO de matrices Amxn  Bnxp  Cmxp se efectúa multiplicando las filas de la matriz A por las columnas de la matriz B, es decir cij  aik  bkj ; k  1..n todos los elementos de cada fila por sus correspondientes de cada columna obteniendo otra matriz Cmxp . Naturalmente para que sea posible realizar este producto es necesario que el número de columnas

n

de la matriz primera

Amxn coincida con el número de filas  n  de la matriz segunda Bnxp . Ejemplo:

1 2  1 2 3   8 12   2 4 6   2 2   16 24       2 x3 2x2 1 2 3x2

El producto de matrices tiene las propiedades  Asociativa A  ( B  C )  ( A  B)  C  Distributiva respecto a la suma A  ( B  C )  A  B  A  C  Matriz Unidad I  A  A  I  A  No es, en general, conmutativo A  B  B  A 1 1  Puede tener Inversa A  A  A  A  I  ATENCIÓN o A  B  0 no implica que alguna de ellas sea 0 o A  B  A  C no implica que B  C 2 2 2   A  B   A  2 A  B  B o En general  2 2   A  B  A  B   A  A  B  B  A  B

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2 2   A  B    A  B   A  B o En general  2 2   A  B    A  B   A  A  B  B  A  B

Propiedades de la matriz traspuesta:

A 

t t

 A ;  A  B   At  Bt ;   A   At ; t

t

Potencia: A  A  A n

 A  B

t

 Bt  At ; Dt  D

A; n

n

RANGO de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes se expresa rg ( A) . Ejemplo Hallar el rango de la matriz

 2 3 4 2  4 6 8 4    A  2 3 4 2    1 1 1 1  1 2 3 1    El rango es rg ( A)  2 pues sólo F1 y F4 son linealmente independientes. Operaciones con las líneas (filas o columnas) de una matriz que no afectan a su rango.  Sumar líneas combinación lineal de otras  Cambiar de lugar líneas.  Multiplicar una línea por un número no nulo.  Suprimir líneas que sean combinación lineal de otras DETERMINANTE El valor de un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada An que se representa por A o bien det( A) . Este número se consigue sumando (con su signo) todos los productos posibles que se obtienen multiplicando un elemento de cada fila por uno de cada columna. El signo de cada producto será (+) si la permutación de los primeros índices es de la misma clase que la de los segundos índices y (–) en caso contrario. Propiedades  A  0 si una línea es combinación lineal de otras   

At  A Al cambiar 2 líneas cambia el signo del determinante

A1 

1 A

 Casos particulares: det(0)  0 ; det( I )  1;det( D)  a11  a22 ann El cálculo de un determinante de orden 2 y de orden 3 se puede calcular por la Regla de Sarrus. En el caso de matrices de mayor orden se siguen otros

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procedimientos, fundamentalmente el método de Gauss que consigue una matriz escalonada. Menor de orden k una matriz cuadrada de orden n es el determinante de la submatriz cuadrada de orden k que se obtiene eligiendo k filas y k columnas. Ejemplo

1 4 A4   2  3

2 3 3 2

3 2 1 1

4 1 2 3 1  ; M3  4 3 2 4 2 3 1  4

Se han elegido las 3 primeras filas y columnas. Se ha suprimido la última fila y la última columna. Menor complementario del elemento aij de la matriz A es el determinante que se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho elemento. Ejemplo

 3 4 7 4 7 A   2 1 0   M 21   13 3 2  1 3 2    i j Adjunto del elemento aij de la matriz A : Aij  (1) M ij . 21

En el ejemplo anterior A21  (1) (13)  13 Ejemplo de signo de los adjuntos de una matriz de orden 4

     

             

Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila: De una matriz cuadrada se puede obtener su determinante como la suma de los elementos de una fila por sus adjuntos respectivos. a Se denomina Matriz Adjunta A la formada por los adjuntos de todos sus elementos. La INVERSA de una matriz cuadrada se puede obtener

A  

t a

A1 donde

A 

t a

A

es la matriz adjunta de su traspuesta

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También se puede obtener la matriz inversa de una matriz dada siguiendo el método de Gauss-Jordan que consiste en formar una tabla con dos matrices una la dada y a su derecha la matriz unidad. Se realizan operaciones elementales en la dada hasta transformarla en matriz unidad y realizando las mismas operaciones anteriores en la matriz unidad ésta última queda transformada en la matriz inversa de la dada.

2 9  1 4

Ejemplo Hallar la inversa de la matriz A   1. Mediante fórmula

A  

t a

A1

 2 1 t a A  1; At   ; A     9 4

A

 4 9   1 2   4 9  1     4 9  ; A    1 2   1    1 2 

2. Mediante Gauss-Jordan

2 9 1 4 

F1  F2

1 0  0 1

1 0 1 4  0 1   2 9

0 1 1 4  1 0   0 1

F2 ' F2  2 F1

4 1

9 ; 2 

0 1  1 2 

F1 ' F1  4 F2

 4 9  A1     1 2 

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