´INDICE I

PRELIMINARES

3

1

Identidades notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1

Productos y potencias notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Uso del s´ımbolo de sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1

6

2

3

S´ımbolo de sumatoria: Notaci´on y Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . .

Factoriales. Permutaciones. N´ umeros combinatorios. Binomio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.1

Factoriales y Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2

N´ umero combinatorio.Binomio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . .

9

2

´INDICE

UNIDAD I PRELIMINARES

1

Identidades notables

1.1

Productos y potencias notables.

A continuaci´on mostramos algunas identidades notables que por su uso frecuente es conveniente recordar, para ello utilizaremos letras a, b, c, ....: • Cuadrado de a + b (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 Luego: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Es decir, el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, m´ as el doble producto del primero por el segundo, m´ as el cuadrado del segundo. • Cuadrado de a − b (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ba + b2 Luego: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Es decir, el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, m´ as el cuadrado del segundo.

4

UNIDAD I. PRELIMINARES

Las reglas anteriores son v´alidas para la suma o diferencia de expresiones cualesquiera. • Producto de una suma por una diferencia (a + b)(a − b)

(a + b)(a − b) = a2 − ab + ba − b2 Luego: (a + b)(a − b) = a2 − b2 Es decir, el producto de una suma por su diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

Esta regla tambi´en es v´alida para para la suma y diferencia de expresiones cualesquiera. • Cubo de a + b (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a + b) = a3 + 2a2 b + b2 a + a2 b + 2ab2 + b3 Luego: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Es decir, el cubo de una suma es igual al cubo del primero, m´ as el triple del cuadrado del primero por el segundo, m´as el triple del primero por el cuadrado del segundo, m´as el cubo del segundo. • Cubo de a − b (a − b)3 = (a − b)2 (a − b) = (a2 − 2ab + b2 )(a − b) = a3 − 2a2 b + b2 a − a2 b + 2ab2 − b3 Luego: (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 Es decir, el cubo de una diferencia es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, m´ as el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. Las dos reglas anteriores tambi´en son v´alidas para expresiones cualesquiera. • Cuadrado de a + b + c (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = (a2 + 2ab + b2 ) + 2ac + 2bc + c2 = = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

§1. Identidades notables

5

Luego: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Es decir, el cuadrado de una suma de tres sumandos es igual al cuadrado del primero, m´ as el cuadrado del segundo, m´ as el cuadrado del tercero, m´ as el doble producto del primero por el segundo, m´as el doble producto del primero por el tercero, m´ as el doble producto del segundo por el tercero. Esta regla se generaliza para cuatro o m´as sumandos, por ejemplo:

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + +2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Ejemplo 1.1 (a) (2a3 + 6a)2 = (2a3 )2 + 2(2a3 )(6a) + (6a)2 = 4a6 + 24a4 + 36a2 (b) ( 32 a − bc)2 = ( 23 a)2 − 2( 32 a)(bc) + (bc)2 = 49 a2 − 43 abc + b2 c2 (c) (a2 − a)2 = (a2 )2 − 2a2 a + a2 = a4 − 2a3 + a2 (d) (a2 − 1)(a2 + 1) = (a2 )2 − 12 = a4 − 1 (e) (2ab2 + 6a)(2ab2 − 6a) = (2ab2 )2 − (6a)2 = 4a2 b4 − 36a2 (f ) (2a3 + 6a)3 = (2a3 )3 + 3(2a3 )2 6a + 3(2a3 )(6a)2 + (6a)3 = 8a9 + 72a7 + 196a5 + 196a3 (g) (3 − 5a)3 = 33 − 3 · 32 · 5a + 3 · 3 · (5a)2 − (5a)3 = 27 − 175a + 125a2 − 125a3 (h) (a2 + a + b)2 = (a2 )2 + a2 + b2 + 2(a2 )a + 2(a2 )b + 2ab = a4 + a2 + b2 + 2a3 + 2a2 b + 2ab

6

UNIDAD I. PRELIMINARES

2 2.1

Uso del s´ımbolo de sumatoria S´ımbolo de sumatoria: Notaci´ on y Ejemplos.

Supongamos que los sumandos de una suma S se pueden obtener dando valores enteros positivos consecutivos, desde m hasta n, a la variable k de una cierta expresi´on matem´atica E(k) dependiente de K, es decir, S = E(m) + E(m + 1) + E(m + 2) + ... + E(n − 2) + E(n − 1) + E(n) La escritura de la suma anterior se puede simplificar si utilizamos la letra griega

P

de la

siguiente forma:

S=

n X

E(k)

k=m

Ejemplo 2.1 (a) Para expresar en forma de sumatorio abreviado la suma S = 1 + r + r2 + r3 + ... + rn basta escribir: S=

n X

rk

k=0

(b) Si expresamos en forma de sumatorio abreviado la suma S = 1+1+2+22 +23 +...+2n escribiremos: S =1+

n X

2k

k=0

(c) Si queremos desarrollar la sumatoria n X k=0

n P

1 √ escribimos: n k=0 5 +

1 1 1 1 1 √ = √ + √ + √ + ... + √ 5+ n 5+ n 5+ 0 5+ 1 5+ 2 =

1 1 1 1 √ + ... + √ + + 5 5+1 5+ 2 5+ n

(d) Para desarrollar la sumatoria 5 X k=1

5 P

1 escribimos: k=1 k(k + 1)

1 1 1 1 1 1 = + + + + k(k + 1) 1·2 2·3 3·4 4·5 5·6

7

§2. Uso del s´ımbolo de sumatoria

(e) Podemos expresar una sumatoria mediante otra cuyos ´ındices sean distintos: n+1 n+2 n X X X 1 1 1 = = k! k=1 (k − 1)! k=2 (k − 2)! k=0

n X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + ... + = 1 + 1 + + + ... + k! 0! 1! 2! 3! n! 2! 3! n! k=0 n+1 X k=1

Tambi´en

1 1 1 1 1 1 = + + + + ... + (k − 1)! 0! 1! 2! 3! n!

n 1 n+1 P P k = , ya que: k=0 k! k=1 k!

n X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + ... + = 1 + 1 + + + ... + k! 0! 1! 2! 3! n! 2! 3! n! k=0

y n X k 1 2 3 4 n+1 1 1 1 = + + + + ... + = 1 + 1 + + + ... + k! 1! 2! 3! 4! (n + 1)! 2! 3! n! k=1 3 P 2 i−1 P , desarrollando en primer lugar la k−i k=1 i=1 2 sumatoria interna de ´ındice i y despu´es la externa de ´ındice k:

(f ) Podemos utilizar sumatorias dobles

 X  2 3 X 3  3  X 2−1 i−1 X 1−1 2−1 = + k−2 = 0 + k−2 = 2k−i 2k−1 2 2 k=1 i=1 k=1 k=1 =

1 21−2

+

1 22−2

+

1 23−2

=2+1+

1 7 = 2 2

8

UNIDAD I. PRELIMINARES

3

Factoriales.

Permutaciones.

N´ umeros combinato-

rios. Binomio de Newton. 3.1

Factoriales y Permutaciones.

Definici´ on de factorial de un n´ umero. Sea r ∈ N ∪ {0}, se define el factorial de r, se representa r!, de la forma siguiente: ( def

r! = (factorial de r) =

1

, r=0

r(r − 1)! , r > 0.

En la pr´actica decimos que el factorial de un n´ umero n ∈ N, n > 1 es el producto de los n primeros n´ umeros naturales n! = n · (n − 1) · (n − 2)...3 · 2 · 1. Observaciones. • Por la definici´on 0! = 1 y 1! = 1. • (n + 1)! = (n + 1) · n!. En efecto, ya que z }| { (n + 1)! = (n + 1) · n · (n − 1) · (n − 2)...3 · 2 · 1 = (n + 1) · n! Definici´ on de permutaci´ on ordinaria. Dado el conjunto A = {1, 2, 3, ...n}, llamamos permutaciones ordinarias de n elementos a las distintas ordenaciones que se pueden hacer con esos n elementos y se expresa Pn . El n´ umero de permutaciones de n elementos viene dado por n!, es decir: Pn = n! = n · ·(n − 1) · (n − 2)...3 · 2 · 1

Ejemplo 3.1 Consideremos el conjunto A = {1, 2, 3}, el n´ umero de permutaciones distintas que podemos formar con esos tres elementos viene dado por P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6 y las distintas permutaciones ser´ıan: 123

132 213 231 312

321

9

§3. Factoriales. Permutaciones. N´ umeros combinatorios. Binomio de Newton.

Observaciones. ´ • En Algebra las permutaciones de tres elementos A = {1, 2, 3} forman el grupo S3 y la notaci´on espec´ıfica es: ! 1 2 3 σi = ; 1 2 3

3.2

σj =

1 2 3

!

1 3 2

;

σk =

2 1 2 2 1 3

! · ··

N´ umero combinatorio.Binomio de Newton.

Definici´ on de n´ umero combinatorio. Dados p, q ∈ N∪{0}, con p ≥ q se define el n´ umero
p combinatorio de ´ındice p y denominador q, se denota q y se lee p sobre q, en la forma:   p p! = , q q !(p − q)! Los n´ umeros combinatorios juegan un papel muy importante en Matem´aticas. Observaciones 1. Se cumplen las propiedades:     p p 1. = = 1, ∀p ∈ N ∪ {0}, p 0   p 2. = p, ∀p ∈ N. 1     p p 3. = , ∀p, q ∈ N ∪ {0}, p ≥ q. q p−q       p p p+1 4. + = , ∀p, q ∈ N ∪ {0}, q q+1 q+1

p ≥ q.

Observaciones 2. Si tenemos en cuenta la propiedad 4 anterior podemos calcular de una forma sencilla todos los n´ umeros combinatorios :   0 0   1 0   2 0   3 0   4 0

  1 1   2 1

  3 1   4 1

  2 2   3 2

  4 2

  3 3   4 3

  4 4

...............................................................................

10

UNIDAD I. PRELIMINARES

Esta disposici´on nos permite calcular cada n´ umero combinatorio como la suma de los dos que hay sobre ´el, y se obtiene la tabla conocida como tri´angulo de Tartaglia o de Pascal: 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

..........................................................

A partir de la definici´on de n´ umero combinatorio podemos expresar     1 1 a+b=1·a+1·b= ·a+ ·b 0 0       2 2 2 2 2 2 2 (a + b) = a + 2 · a · b + b = ·a + ·a·b+ · b2 0 1 2 Si continuamos indefinidamente esta ley de formaci´on hasta la potencia n-´esima podemos escribir:           n n n n n n n−1 n−2 2 n−1 (a + b) = ·a + ·a ·b+ ·a ·b +···+ ·a·b + · bn 0 1 2 n−1 n n

La f´ormula anterior se conoce como Binomio de Newton y la probaremos por inducci´on en el Tema 1 de la asignatura An´alisis y M´etodos Num´ericos.