I.4 PROYECTIVIDADES, INVOLUCIONES Y AFINIDADES ´Indice del cap´ıtulo. §1 Proyectividades entre espacios proyectivos §2 El teorema fundamental de la Geometr´ıa proyectiva §3 Proyectividades entre rectas de un plano §4 Involuciones §5 El teorema de Fano §6 Cuaterna arm´ onica §7 Transformaciones entre haces de rectas §8 Ejercicios

A. Castell´ on

PROYECTIVIDADES, INVOLUCIONES Y AFINIDADES En geometr´ıa, desde la antig¨ uedad, siempre ha subyacido la idea de movimiento o transformaci´ on de un espacio en otro o en s´ı mismo hasta el punto de que era indisociable el estudio de los objetos geom´etricos del de las transformaciones (funciones) entre ellos. M´ as a´ un, una vez que F´elix Klein introdujera en su tesis doctoral de la Universidad alemana de Erlangen los grupos de transformaciones, estos sirvieron incluso para clasificar y denominar a las distintas geometr´ıas. Este cap´ıtulo se ocupar´ a de estas transformaciones en espacios proyectivos y afines.

§1 Proyectividades entre espacios proyectivos Si en ´ algebra lineal, las aplicaciones lineales juegan un papel fundamental, se intentar´ a trasladar este concepto a la geometr´ıa proyectiva. Para ello, sup´ ongase que f es una aplicaci´ on lineal entre dos espacios vectoriales V y V 0 sobre K. Un punto P =< v > de P(V ) no es m´ as que un subespacio < v > unidimensional engendrado por un vector no nulo v ∈ V . Recon´ozcase que tienta la idea de definir una aplicaci´ on P(f ) entre P(V ) y P(V 0 ) por medio de la igualdad P(f )(P ) =< f (v) >. Sin embargo, para que el vector f (v) determine un punto de P(V 0 ), debe ser no nulo. ¿Qu´e ocurrir´ıa entonces si v ∈ ker f ?, pues que el punto P se queda sin imagen. Pero como a´ un no se ha enunciado nada, se tiene la posibilidad de exigirle a f que su n´ ucleo se reduzca al 0 o, equivalentemente, que f sea inyectiva. A tales aplicaciones lineales se las conoce como transformaciones regulares. Ahora se evidencia que cada transformaci´ on regular f : V → V 0 entre espacios vectoriales sobre K determina una aplicaci´ on P(f ) : P(V ) → P(V 0 ), I.4-1

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva que se denominar´ a la inducida por f , mediante P(f ) < v >=< f (v) > . Un sencillo c´alculo (h´ agase) demuestra que < f (v) > no depende de la elecci´on del vector que genera a < v >. N´ otese que P adquiere car´ acter functorial al satisfacerse P(1V ) = 1P(V ) y

P(f ◦ g) = P(f ) ◦ P(g).

Cuando f sea un isomorfismo de espacios vectoriales, se dir´ a de P(f ) que es una proyectividad. Algunos autores no imponen la condici´ on ker f = {0}. Unos por simple despiste ([Santalo], p. 94). Otros porque operan con funciones no definidas en todo el espacio proyectivo ([Burgos]). Y aunque estas aplicaciones parcialmente definidas tengan cierta importancia, las caracter´ısticas de iniciaci´ on del curso aconsejan abstenerse de tales malabarismos. Otra confusi´ on se produce con el vocabulario pues dif´ıcil encontrar dos libros que llamen a lo mismo de igual forma. Lo que aqu´ı se ha bautizado como proyectividad, en algunos lugares aparece como homograf´ıa, en otros como colineaci´on o aplicaci´ on lineal proyectiva... Total, una desgracia para quien desee poner orden y concierto al diccionario de t´erminos matem´aticos. A continuaci´ on se incluye una lista de propiedades inmediatas cuyas comprobaciones se proponen como ejercicios: * La existencia de una aplicaci´ on P(f ) entre dos espacios proyectivos inducida por una transformaci´ on regular conlleva que la dimensi´ on del primero es menor o igual que la del segundo. Recu´erdese que las transformaciones regulares conservan la independencia lineal de vectores. * Una condici´ on necesaria para que haya una proyectividad entre dos espacios es que ambos tengan la misma dimensi´ on. * Las proyectividades transforman subespacios en subespacios y conservan las dimensiones. I.4-2

A. Castell´ on * La inversa de una proyectividad es una proyectividad. * Cada proyectividad P(f ) : P(V ) → P(V 0 ) induce un isomorfismo entre el ret´ıculo de los subespacios de P(V ) y el ret´ıculo de los subespacios de P(V 0 ), o sea, conserva las inclusiones, las sumas y las intersecciones de subespacios. * Si σ : P → P 0 es una proyectividad, entonces σ es biyectiva y aplica puntos alineados en puntos alineados o, dicho de otra forma, cada vez que A ∈ BC para tres puntos A, B, C ∈ P, se tiene σ(A) ∈ σ(B)σ(C) 1. Operando como se hizo en la secci´on §I.2.4 con las aplicaciones lineales, se est´ a en condiciones de encontrar la ecuaci´on de una proyectividad. En concreto, si P(f ) es una proyectividad entre los espacios proyectivos P(V ) y P(V 0 ) de dimensi´ on n sobre K, en los que hay fijados sendos sistemas de coordenadas homog´eneas B y B 0 , entonces la relaci´ on entre las coordenadas homog´eneas de un punto P de P(V ) y las de su imagen P(f )(P ) viene dada por la expresi´ on λx0 = xA, donde x es el vector fila de las coordenadas homog´eneas de P respecto al sistema de coordenadas B, x0 las de su imagen respecto al sistema B 0 , y A la matriz inversible de orden n + 1 cuyas filas no son sino las coordenadas respecto al sistema B 0 de las im´ agenes de los vectores del sistema B. Se ilustrar´ a lo anterior con un ejemplo. Consid´erese el isomorfismo lineal f : Q3 → Q3 dado por f (x0 , x1 , x2 ) = (2x0 − x1 , x0 + x1 + x2 , −x1 − x2 ). Si se fija, tanto en el dominio como en la imagen, el sistema de coordenadas 1

Esta u ´ltima propiedad es la que inspira el concepto de colineaci´ on. En concreto, una colineaci´ on es una biyecci´ on entre dos espacios proyectivos de la misma dimensi´ on, eventualmente, sobre cuerpos distintos, que transforma puntos alineados de uno en puntos alineados del otro. En estos apuntes no se estudiar´ an las colineaciones, aunque se advierte de su importancia para un estudio m´ as profundo de la geometr´ıa proyectiva.

I.4-3

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva homog´eneas can´ onico, entonces P(f ) P0 =< (1, 0, 0) > 7−→ < (2, 1, 0) > = Q0 P1 =< (0, 1, 0) > 7−→ < (−1, 1, −1) > = Q1 . P2 =< (0, 0, 1) > 7−→ < (0, 1, −1) > = Q2 U =< (1, 1, 1) > 7−→ < (1, 3, −2) > =V Obs´ervese que la matriz del isomorfismo f ser´ıa   2 1 0  −1 1 −1  , 0 1 −1 y la proyectividad P(f ) vendr´ıa descrita por la ecuaci´on 

2 0 0 0  λ(x0 , x1 , x2 ) = (x0 , x1 , x2 ) −1 0

 1 0 1 −1  , 1 −1

cuya interpretaci´ on es la habitual, si (x0 , x1 , x2 ) son las coordenadas homog´eneas de un punto P (respecto al sistema de coordenadas can´ onico), la expresi´ on anterior proporciona las coordenadas (x00 , x01 , x02 ) de su imagen respecto, en este caso, al mismo sistema. Sin embargo, y se incluye este comentario por curiosidad, del car´ acter biyectivo de f se deduce que B 00 = {Q0 , Q1 , Q2 ; V } es otro sistema de coordenadas homog´eneas de P3 (Q) (raz´ onese). Pues bien, si se sigue ahora considerando en el dominio el mismo sistema can´ onico, pero se toma en la imagen el sistema B 00 , la ecuaci´on de P(f ) adquirir´ıa la forma λ(x00 , x01 , x02 ) = (x0 , x1 , x2 ). Ahora toca el turno de introducir aplicaciones entre espacios afines. Sea f : V → V 0 un isomorfismo lineal entre espacios vectoriales V y V 0 de dimensi´ on n + 1 sobre el cuerpo K. Un hiperplano H de V se transforma por f en un hiperplano H 0 = f (H) de V 0 . Como P(f )P(H) = P(H 0 ), la proyectividad P(f ) se restringe de dominio e imagen sin problemas a los afines A(V, H) y A(V 0 , H 0 ). A esta restricci´ on, que se denotar´ a por A(f ), se le llamar´ a una I.4-4

A. Castell´ on afinidad. Como ya se advirti´ o, prolifera un desmadre general a la hora de etiquetar las aplicaciones entre estructuras geom´etricas del que tampoco se libran estos apuntes. As´ı, en alguna literatura, a lo que aqu´ı se conoce como afinidades las denominan isomorfismos afines o, incluso, colineaciones. T´ omense ahora sistemas de coordenadas homog´eneas {u0 , u1 , . . . , un } de P(V ) y {v0 , v1 , . . . , vn } de P(V 0 ) tales que H =< u1 , . . . , un >

y

H 0 =< v1 , . . . , vn > .

Cada f (ui ) se expresa como combinaci´ on lineal de los vi por medio de f (ui ) = P arrafos previos se vio que la proyectividad P(f ) inducida j αij vj . En los p´ por f queda descrita por la ecuaci´on α00 . λ(µ0 , µ1 , . . . , µn ) = (λ0 , λ1 , . . . , λn )  .. αn0 

... ...

α0n αnn



,

donde si (λ0 , λ1 , . . . , λn ) representa a las coordenadas homog´eneas de P ∈ P(V ) en el primero de los sistemas, entonces (µ0 , µ1 , . . . , µn ) constituyen las de P(f )(P ) en el segundo. Como < u0 > no pertenece a P(H), su imagen por P(f ) caer´ a fuera de P(H 0 ) y α00 6= 0. No hay inconveniente en poner α00 = 1 debido a que se trata de coordenadas homog´eneas. (Razonando de −1 otra forma, sustit´ uyase el escalar λ por λα00 .) Por otro lado, cada < ui >

con i > 0 se aplica dentro de P(H 0 ) lo que implica que los αi0 = 0 para cada i ∈ {1, . . . , n}. Si P est´a en el af´ın (lo cual permite tomar λ0 = 1), entonces A(f )P tambi´en (y µ0 = 1). Reuniendo todas estas consideraciones se obtiene la ecuaci´on de la afinidad A(f ) 1 0 (1, y10 , . . . , yn0 ) = (1, y1 , . . . , yn )   ... 

α01 α11 .. .

... ...

0 αn1

...

 α0n α1n  , 

αnn

donde y = (y1 , . . . , yn ) representa a las coordenadas cartesianas de un punto de A(V, H) y y 0 = (y10 , . . . , yn0 ) las de su imagen. Pero tambi´en puede escribirse I.4-5

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva la anterior igualdad mediante y 0 = a + yA, siendo a el vector fila (α01 , α02 , . . . , α0n ) y A la  α11 . . . .. . n con coeficientes en K 0 dada por  .. . αn1 . . . la afinidad A(f ) no es sino la composici´on τa ◦

matriz cuadrada de orden  α1n . En conclusi´ on, αnn g del automorfismo lineal

g : y 7→ yA del espacio vectorial K n con la traslaci´ on τa : y 7→ a + y de K n . De hecho, as´ı definen algunos textos las afinidades.

§2 El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva Se advierte que lo que aqu´ı se denomina “teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva” en otra bibliograf´ıa aparece como segundo teorema fundamental 2. Sea P(V ) un espacio proyectivo de dimensi´ on n ≥ 1 sobre un cuerpo K. T´ omense en ´el n + 1 puntos independientes P0 =< u0 >, P1 =< u1 >, . . . , Pn =< un > y otro punto m´as P =< u > con la propiedad de no pertenecer a ninguno de los hiperplanos engendrados por n de entre los primeros n + 1 puntos. Recu´erdese que esto fabrica un sistema de coordenadas homog´eneas de puntos base P0 , . . . , Pn y punto unidad P . En general, a la configuraci´ on de los n + 2 puntos anteriores se le denomina un s´ımplex. En cualquier caso, los vectores u0 , . . . , un determinan una base de V en la cual u se expresa mediante u = P λi ui con todos los escalares λi distintos de 0. P´ ongase ahora Pi =< vi > 2

En dichos textos, el primer teorema fundamental se refiere a las colineaciones introducidas en la anterior nota a pie de p´ agina. Simplificando el enunciado, el teorema afirma que si hay una colineaci´ on σ entre dos espacios proyectivos Pn (K) y Pn (K 0 ) (n>1), existe entonces 0 un isomorfismo τ :K ∼ =K entre los cuerpos, y σ es la inducida por un isomorfismo τ -semilineal entre los espacios vectoriales asociados. Se trata de un resultado de gran belleza (v´ ease [Artin]) que combina ´ algebra y geometr´ıa, pero cuya demostraci´ on, por desgracia, excede del prop´ osito de estos apuntes.

I.4-6

A. Castell´ on con cada vi = λi ui y consid´erese el sistema de coordenadas homog´eneas {v0 , . . . , vn } en el cual el punto P tiene a (1, 1, . . . , 1) por coordenadas. Sup´ ongase que σ = P(f ) : P(V ) → P(V ) es una proyectividad que deja fijos a los n + 2 puntos del s´ımplex. Entonces f (u) = λu y f (vi ) = αi vi para P n + 2 escalares no nulos λ, α0 , . . . , αn ∈ K. Ahora bien, de f (u) = f (vi ) = P αi vi se obtiene λ = αi para cada i, lo que implica que f (vi ) = λvi . Un c´ alculo directo prueba que f (v) = λv para cada v, o sea, f act´ ua como la homotecia de raz´ on λ y, por tanto, σ = 1P(V ) . Teorema I.4.1 (Teorema fundamental de la Geometr´ıa proyectiva Dados sendos s´ımplex {Pi }, {Qi } en espacios proyectivos P y P 0 de la misma dimensi´ on n > 0 sobre un cuerpo K, existe una u ´nica proyectividad σ : P → P 0 que transforma uno en el otro, o sea, σ(Pi ) = Qi para cada i. Demostraci´ on Sean σ y ρ proyectividades de P a P 0 que aplican el s´ımplex {Pi } en el s´ımplex {Qi }. El resultado se obtiene teniendo en cuenta que σ −1 ρ es una proyectividad que deja fijos a todos los puntos de {Pi } y que σ −1 ρ = 1P si y solo si σ = ρ. El teorema fundamental adquiere una provechosa importancia por el hecho de que basta con dar la imagen de un s´ımplex para determinar por completo una proyectividad. De ´el se har´ a uso con bastante frecuencia de aqu´ı en lo sucesivo. Por mencionar en este momento alguna de sus aplicaciones inmediatas, sup´ ongase que se dispone de dos fotograf´ıas a´ereas de una misma zona de modo que se reconocen en una de ellas cuatro puntos de la otra con la propiedad de que no haya tres de ellos alineados, esto es, que constituyan un s´ımplex del plano proyectivo real. En tal situaci´ on, el teorema fundamental afirma que se est´ a en condiciones de asociar al resto de los puntos su correspondiente pareja. Tal labor se lleva a cabo por medio de un sencillo m´etodo gr´ afico que se tratar´ a m´ as adelante. Advi´ertase que este problema tiene su inter´es en estereoscop´ıa, permitiendo reconstruir el relieve a partir de dos instant´ aneas planas. I.4-7

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva El concepto de s´ımplex ha resultado ser bastante fruct´ıfero, no solo en geometr´ıa proyectiva, sino en geometr´ıa af´ın, eucl´ıdea o en topolog´ıa algebraica. N´ otese que, al estar compuestos por n + 2 puntos con n la dimensi´ on del espacio proyectivo, los s´ımplex3 no son concebibles en espacios proyectivos vac´ıos o puntuales (n ∈ {−1, 0}). En ambos casos estar´ıan constituidos por m´ as puntos de los que hay en todo el espacio. De ah´ı la restricci´ on n > 0 en las hip´ otesis del teorema fundamental.

§3 Proyectividades entre rectas de un plano La siguiente definici´ on evoca el proceso pict´ orico que inspir´ o a Desargues sus conceptos proyectivos de la geometr´ıa, pero reducido todo en una dimensi´ on. Definici´ on I.4.1 Sean r y s dos rectas de un plano proyectivo y O un punto del plano no incidente con ninguna de las dos rectas. La perspectividad de centro O de r sobre s es la aplicaci´ on πO : r → s que transforma cada punto A de r en la intersecci´on A0 de s con la recta OA. En definitiva, πO (A) = A0 = s ∩ OA.

3

Antes de recurrir al cursi plural s´ımplices de alguna literatura, se prefiere considerar invariable en n´ umero al sustantivo s´ımplex.

I.4-8

A. Castell´ on Queda clara la procedencia del t´ermino perspectividad. Un ser bidimensional que observara la recta r desde el punto de vista O, la representar´ıa en perspectiva sobre la recta s, convertida en lienzo rectil´ıneo, por medio de procedimiento indicado por πO . En este caso, las rectas OA, OB, etc´etera hacen las veces de rayos luminosos que proyectan cada punto sobre su imagen, y nunca mejor dicho lo de la imagen porque esta es precisamente la g´enesis del vocablo. Se evidencia que toda perspectividad πO : r → s es biyectiva as´ı como que el punto de intersecci´on M de r y s constituye un punto doble (punto que se aplica en s´ı mismo). Una propiedad elemental afirma que r = s implica πO = 1r , luego la identidad constituye una perspectividad de centro cualquier punto del plano que no se sit´ ue en la recta dominio. Otra obviedad proviene del hecho de que la inversa de una perspectividad es otra perspectividad del mismo centro. Pues bien, el concepto de perspectividad entre rectas proyectivas est´ a bastante relacionado con el de proyectividad. Para verlo, se estudiar´ a qu´e ocurre con las perspectividades al introducir coordenadas. P´ artase para ello de una perspectividad πO : r → s y f´ıjese en r un sistema de coordenadas homog´eneas {A, B; C} con A =< a >, B =< b > y C =< a + b > (s´ıgase la Figura I.4.2). Den´ otense por A0 , B 0 y C 0 a las respectivas im´ agenes por πO de A, B y C. Como A0 no coincide con O =< o > y est´a sobre la recta OA, existe un u ´nico escalar α ∈ K tal que A0 =< αo + a >. En efecto, de A0 ∈ OA se deduce que A0 est´a engendrado por un vector v = λo + µa. Como A0 6= O, ha de ser µ 6= 0. As´ı, como cualquier m´ ultiplo escalar de v engendra a A0 , t´ omese A0 =< µ−1 v > y de ah´ı la afirmaci´ on anterior. Recu´erdese este razonamiento pues se realizar´ a de aqu´ı en adelante con bastante frecuencia sin advertencia expresa. Por la misma raz´on, se encontrar´ a un escalar β con B 0 =< βo + b >. Y no es preciso argumentar como antes para el punto C 0 puesto que ´este se sit´ ua tanto en OC como en A0 B 0 . As´ı, no queda m´ as remedio que satisfacerse C 0 =< (α + β)o + (a + b) >, sin m´ as que comprobar I.4-9

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva que el vector (α + β)o + (a + b) se expresa tanto como combinaci´ on lineal de o y del vector que genera a C, como combinaci´ on lineal de sendos vectores que generan a A0 y a B 0 .

El car´ acter biyectivo de πO permite afirmar que A0 , B 0 y C 0 son distintos dos a dos, luego es l´ıcito fijar en s el sistema de coordenadas homog´eneas {A0 , B 0 ; C 0 }. T´ omese ahora un punto D ∈ r distinto de A. Hay pues un u ´nico λ ∈ K que satisface D =< λa + b >. A este λ se le llamar´ a la abscisa de D en el sistema en el que A est´a en el infinito, B en el origen y C act´ ua como punto unidad. La abscisa no es m´ as que la coordenada cartesiana en la recta af´ın r − A. Se calcular´ a a continuaci´ on la abscisa de D0 = πO (D) en el sistema {A0 , B 0 ; C 0 } con A0 como punto del infinito. El punto D0 se sit´ ua en la intersecci´on de OD con A0 B 0 . ¿Qu´e vector se expresa como combinaci´ on lineal de o y λa + b y, al mismo tiempo, como combinaci´ on lineal de αo + a y βo + b? F´ acil, el vector (λα + β)o + (λa + b). Luego D0 =< (λα + β)o + (λa + b) >. Y como (λα + β)o + (λa + b) = λ(αo + a) + (βo + b), la abscisa de D0 coincide con la abscisa λ del punto del que era imagen.

Se ha encontrado un hecho

susceptible de definir. Definici´ on I.4.2 Sean A, B, C y D cuatro puntos sobre una recta proyectiva con los tres primeros distintos entre s´ı y D distinto de A. Por raz´ on doble de los cuatro puntos se entender´ a al valor que toma la abscisa λ I.4-10

A. Castell´ on del punto D en el sistema de coordenadas {A, B; C} con A en el infinito (para el paso a coordenadas cartesianas), en cuyo caso se escribir´ a (ABCD) = λ. Obs´ervese, antes de proseguir, que siempre ocurre (ABCB) = 0

y (ABCC) = 1.

´ Estas constituyen las u ´nicas situaciones posibles en rectas proyectivas sobre Z2 las cuales no contienen m´ as que tres puntos. Por otro lado, la igualdad (ABCB) = 0 justifica el nombre de “punto origen” para B, as´ı como (ABCC) = 1, la de “punto unidad” para C. En algunos textos se encuentran expresiones del tipo (ABCA) = ∞, lo cual, aparte de da˜ nar la vista, exige manipulaciones algebraicas con el s´ımbolo ∞ muy cercanas a la chapuza. Con esta terminolog´ıa, los razonamientos que se acaban de efectuar no han hecho sino probar que las perspectividades conservan la raz´on doble. Expresado de otro modo, (πO (A)πO (B)πO (C)πO (D)) = (ABCD) cualesquiera que se tomen A, B, C y D alineados con A 6= B 6= C 6= A y D 6= A. Ya que este concepto de raz´ on doble parece gozar de un prometedor futuro, convendr´ a encontrar f´ ormulas que la calculen, dependiendo del formato en el sean proporcionados los datos. Sup´ ongase, por ejemplo, que r = P(V ) es una recta proyectiva sobre K y {a, b} constituye una base de V (un sistema de coordenadas homog´eneas de r). Escr´ıbase A =< a > y B =< b > (A 6= B). T´ omense puntos C =< c > y D =< d > con C ∈ / {A, B} y D 6= A. Entonces los vectores c y d se expresan como combinaci´ on lineal de a y b en la forma c = λ0 a + λ1 b y d = µ0 a + µ1 b, obteni´endose las coordenadas homog´eneas (λ0 , λ1 ) de C y (µ0 , µ1 ) de D. Para calcular la raz´ on doble (ABCD) hay que considerar a C como punto unidad, para lo cual se eligen sendos generadores λ0 a de A y λ1 b de B. El valor de (ABCD) coincidir´ a con el escalar ν que satisfaga D =< ν(λ0 a) + (λ1 b) >. Sabiendo que d = µ0 a + µ1 b, si se multiplican I.4-11

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva ambos miembros por

λ1 µ1

se tiene λ1 λ1 µ0 d= a + λ1 b, µ1 µ1

con lo que se logra endosarle a b el coeficiente λ1 . Por u ´ltimo, multipl´ıquese y div´ıdase el coeficiente de a por λ0 y resulta λ1 λ1 µ0 d= λ0 a + λ1 b, µ1 λ0 µ1 de donde

λ1 µ0 λ0 µ1

es la abscisa del punto D buscada.

En resumen, se ha

confeccionado la f´ ormula (1)

(ABCD) =

λ1 µ0 , λ0 µ1

que da la raz´on doble de cuatro puntos alineados en funci´ on de las respectivas coordenadas (λ0 , λ1 ) y (µ0 , µ1 ) de vectores que engendran a los dos u ´ltimos puntos con respecto a una base integrada por vectores que generan a los dos primeros. No incordia la existencia de dos escalares λ0 y µ1 en el denominador ya que, al tomar C 6= B y D 6= A, estos nunca se anular´ an. Se estudiar´ a ahora en el caso de que, en cierto sistema de coordenadas prefijado, son conocidas las abscisas α, β, γ y δ de los cuatro puntos anteriores A, B, C y D. Esto significa que hay vectores linealmente independientes u y v con a = αu + v, b = βu + v, c = γu + v y d = δu + v. En semejantes condiciones, se pretende hallar (ABCD) en t´erminos de abscisas. Primero se debe resolver la ecuaci´ on vectorial c = λa + µb para ver cu´ ales son las coordenadas de c en la base integrada por A y B, lo que equivale a plantear el siguiente sistema lineal en las variables λ0 y λ1 :   λ0 α + λ1 β = γ . λ0 + λ 1 = 1 Se trata de un sistema de Cramer ya que su determinante α − β nunca se anular´ a (¿por qu´e motivo?). Resolvi´endolo, se concluye con λ0 = I.4-12

γ−β α−β

y

λ1 =

α−γ . α−β

A. Castell´ on Un procedimiento an´ alogo llevar´ a a expresar d como combinaci´ on lineal de los vectores a y b en la forma d = µ0 a + µ0 b con µ0 =

δ−β α−β

y µ1 =

α−δ . α−β

Por u ´ltimo, sustituyendo las coordenadas de c y d en la f´ ormula (1) y operando se obtiene (2)

(ABCD) =

(γ − α)(δ − β) , (δ − α)(γ − β)

relaci´ on que proporciona la raz´ on doble, conocidas las abscisas de los puntos involucrados. Ahora que se dispone de algunas herramientas algebraicas, puede regresarse al problema de encontrar las biyecciones entre rectas proyectivas que conservan razones dobles. Las perspectividades entre rectas de un plano se cuentan entre ellas, as´ı como las biyecciones obtenidas como composici´ on de perspectividades. Sin embargo, con la actual formulaci´ on de los objetivos, en los que no se est´a obligado a situar dominio e imagen dentro de un mismo plano, se puede establecer un ambiente de mayor generalidad. Sea σ una biyecci´on entre dos rectas proyectivas r y s sobre el mismo cuerpo K y satisfaciendo (σ(P )σ(Q)σ(R)σ(S)) = (P QRS) para cualesquiera puntos P, Q, R, S ∈ r tales que la raz´ on doble (P QRS) tenga sentido. F´ıjense sendos sistema de coordenadas {A, B; C} de r y {A0 , B 0 ; C 0 } de s con A0 6= σ(A)4. Den´ otense por α, β y γ a las abscisas respectivas, referidas al u ´ltimo de los sistemas, de los puntos σ(A), σ(B) y σ(C). se pretende hallar una relaci´ on entre la abscisa x de un punto arbitrario X de r y la abscisa x0 de X 0 = σ(X). Dicho de otra manera, se desea encontrar la ecuaci´ on de σ en t´erminos de abscisas. Para X 6= A, se tiene x = (ABCX) = (σ(A)σ(B)σ(C)X 0 ). La f´ ormula (2) permite escribir x= 4

(γ − α)(x0 − β) . (γ 0 − β)(x0 − α)

El caso restante (A0 =A) ser´ a tratado en la tanda de ejercicios..

I.4-13

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva Para despejar x0 , habr´ a que quitar denominadores, trasponer y agrupar t´erminos semejantes. Tras ello, se llegar´ a a una igualdad del tipo (µ0 + µ1 x)x0 = λ0 + λ1 x,

(3)

en la cual, evitando complicaciones, no es preciso molestarse en calcular los valores de los escalares λ0 , λ1 , µ0 y µ1 . Aqu´ı hay que detenerse por un momento a reflexionar puesto que el coeficiente de x0 tal vez se anule para alg´ un valor de x. ¿Para cu´antos?: exactamente para uno, la u ´nica ra´ız del polinomio de primer grado µ0 + µ1 x. Esto no debe de extra˜ nar puesto que no todo punto de s tiene derecho a una abscisa, en concreto, el punto impropio de s es el u ´nico de tal recta sin abscisa (no posee coordenada cartesiana puesto que no pertenece a la recta af´ın). Luego se conviene, porque no hay otra posibilidad, en que el punto de r de abscisa − µµ01 se aplica por σ en el punto del infinito de s. Por otro lado, no se equivocar´ıa quien afirme que los vectores (µ0 , µ1 ) y (λ0 , λ1 ) del K-espacio vectorial K 2 han de ser independientes. En efecto, en caso de que fuesen dependientes, se considerar´ıa el isomorfismo (λ, µ) 7→ λ + µx de K 2 al espacio vectorial bidimensional de los polinomios de primer grado en la indeterminada x con coeficientes en K, que har´ıa del polinomio λ0 + λ1 x un proporcional al polinomio (µ0 + µ1 x). En tal situaci´ on, x0 se mantendr´ıa constante seg´ un la igualdad (3), en contra de la sobreyectividad de σ. De la independencia lineal de (µ0 , µ1 ) y (λ0 , λ1 ) se concluye con µ0 λ0

µ1 = λ0 µ1 − λ1 µ0 6= 0. λ1

Pues bien, para cada punto X de la recta r de abscisa x 6= − µµ01 , la abscisa x0 de su imagen toma la forma x0 = con λ0 µ1 − λ1 µ0 6= 0. I.4-14

λ0 + λ1 x , µ0 + µ1 x

A. Castell´ on ¿Y el punto del infinito de r?, ¿d´ onde va a parar? Vu´elvase a la expresi´ on (3) de m´ as arriba e int´entese ahora despejar x como si se pretendiera encontrar la ecuaci´on de σ −1 en lugar de la de σ. As´ı (−λ1 + µ1 x0 )x = λ0 − µ0 x0 , λ1 ´ µ1 . Este λ0 +λ1 x µ0 +µ1 x por

ecuaci´on que s´olo posee soluciones en x cuando x0 6=

es el u ´nico

punto de s al que no se llega por medio del cociente

mucho que

se var´ıe x entre los escalares de K. Y como da la casualidad de que s´ olo hay un punto de r sin abscisa, el impropio, ´este ha de aplicarse en el punto de s de abscisa

λ1 µ1 .

Resumiendo, dada una biyecci´on σ entre rectas proyectivas r y s sobre el mismo cuerpo K que conserve razones dobles, resulta factible encontrar una relaci´on del tipo λ0 + λ1 x , µ0 + µ1 x con λ0 , λ1 , µ0 , y µ1 cuatro escalares satisfaciendo λ0 µ1 − λ1 µ0 6= 0, que x0 =

proporciona la abscisa x0 de la imagen por σ de cada punto de abscisa x, pero con la salvedad de que el punto impropio de r se transforma en el punto de abscisa

λ1 µ1

y el punto de abscisa − µµ01 se aplica en el punto del infinito de s.

A la igualdad anterior se le denomina la ecuaci´on expl´ıcita de σ. A las im´ agenes y originales de los respectivos puntos impropios de r y s se las conoce bajo el nombre de puntos l´ımite. ¿Y si se hubiese recurrido a las coordenadas homog´eneas en vez de a las abscisas? Para ahorrarse comenzar de nuevo con una serie interminable de c´ alculos, se aprovechar´ a todo lo posible lo ya realizado. Sup´ ongase que el punto X de r de coordenadas homog´eneas (x0 , x1 ) se aplica en el punto X 0 de s de coordenadas (x00 , x01 ). Puestos en el caso de que X no es el punto del infinito de r ni es un punto l´ımite (X 0 no es es el punto impropio de s), resulta l´ıcito el paso a cartesianas haciendo x =

x1 x0

la abscisa de X y x0 =

x01 x00

la de X 0 . Sustituyendo en la ecuaci´ on expl´ıcita y operando se obtiene x00 x01 = , µ0 x0 + µ1 x1 λ0 x0 + λ1 x1 I.4-15

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva o, lo que es lo mismo, λ(x00 , x01 )

= (x0 , x1 )



µ0 µ1

λ0 λ1



.

Andando, qu´e sorpresa, la ecuaci´on de una proyectividad. S´ı, es la ecuaci´on de una proyectividad porque el determinante de la matriz no se anula. Ahora va a resultar que estas biyecciones entre rectas que conservan razones dobles son proyectividades. No hay que precipitarse. todav´ıa hay que examinar qu´e ocurre con las excepciones a la ecuaci´on expl´ıcita de σ. Cuando X cae en el infinito, sus coordenadas toman la forma (0, 1). Entonces (0, 1)



µ0 µ1

λ0 λ1



= (µ1 , λ1 ),

y el par (µ1 , λ1 ) coincide con las coordenadas homog´eneas del punto l´ımite de abscisa

λ1 µ1 .

Adem´ as, si se resuelve la ecuaci´ on λ(0, 1) = (x0 , x1 )



µ0 µ1

λ0 λ1



,

multiplicando a la derecha por la adjunta de la traspuesta de la matriz de la proyectividad, se concluye con que el otro punto l´ımite no es sino el de coordenadas homog´eneas (µ1 , −µ0 ), que cuadra con la abscisa que ha de poseer. Se confirma pues que las biyecciones entre rectas proyectivas sobre el mismo cuerpo que conservan razones dobles son proyectividades. En particular, las biyecciones obtenidas como composici´ on de perspectividades son proyectividades entre rectas del mismo plano. ¿Se dar´ a tambi´en el rec´ıproco? Debe investigarse. P´ artase de una proyectividad σ entre dos rectas distintas r y s del mismo plano proyectivo P. Por el teorema fundamental (teorema I.4.1 ) bastar´ a dar la imagen de tres puntos distintos de r (un s´ımplex) para determinar por completo a σ. Esc´ojanse A, B y C en r distintos dos a dos y den´ otense por A0 , B 0 y C 0 a sus respectivas im´ agenes de s (v´ease la figura I.4.3). En la recta AA0 , el´ıjanse dos puntos arbitrarios O fuera de r y O0 fuera de s. I.4-16

A. Castell´ on Constr´ uyanse ahora los puntos B 00 = OB ∩ O0 B 0 y C 00 = OC ∩ O0 C 0 . Si se llama t a la recta determinada por B 00 y C 00 , sea A00 = t ∩ AA0

Se denotar´ a por πO a la perspectividad de r sobre t de centro O, y por πO0 a la perspectividad de t sobre s de centro O0 . Se afirma entonces que σ = πO0 ◦ πO . En efecto, por un lado (πO0 ◦ πO )(A) = πO0 (A00 ) = A0 y, del mismo modo, se comprueba que πO0 ◦πO transforma B en B 0 , y C en C 0 . Recu´erdese que la composici´on de perspectividades πO0 ◦ πO , por lo demostrado m´as arriba, es una proyectividad. Se tienen pues dos proyectividades, σ y πO0 ◦ πO , que act´ uan de la misma forma sobre el s´ımplex {A, B, C}. El teorema fundamental (teorema I.4.1) obliga a que ambas coincidan y, por lo tanto, σ es composici´ on de perspectividades. ¿Se ha acabado? A´ un no, debe examinarse el caso en que r = s. Sea ahora σ : r → r una proyectividad con r una recta sumergida en un plano proyectivo. T´omense como antes tres puntos A, B y C de r distintos entre s´ı. Esc´ojase otra recta s distinta de r y un punto O no situado ni en r ni en s. La perspectividad πO de r sobre s y de centro O lleva A a un A000 , B a un B 000 y C a un C 000 (figura I.4.4 ). Descomp´ongase ahora, haciendo uso del procedimiento anterior, la proyectividad τ de s a r, que I.4-17

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva satisface τ (A000 ) = σ(A), τ (B 000 ) = σ(B) y τ (C 000 ) = σ(C) en producto de dos perspectividades πO00 ◦ πO0 .

En estas circunstancias, la proyectividad σ queda expresada como composici´on de tres perspectividades en la forma σ = πO ◦ πO00 ◦ πO0 . No s´ olo ha sido resuelto el problema original, sino que se ha obtenido bastante informaci´ on, si se ordenan con l´ ogica los resultados. Las composiciones de perspectividades conservan razones dobles. Las biyecciones entre rectas que conservan razones dobles son proyectividades. Las proyectividades entre rectas del mismo plano se descomponen en producto de, a lo sumo, tres perspectividades. El haber cerrado un razonamiento circular, permite tambi´en hacerle corresponder a cada proyectividad entre rectas r y s sobre el mismo cuerpo una ecuaci´on expl´ıcita. Recapacitando: con anterioridad se vio c´omo una biyecci´on entre r y s que conservaba razones dobles induc´ıa una relaci´ on del tipo x0 =

λ0 +λ1 x µ0 +µ1 x ,

entre las abscisas x de los puntos de r y las abscisas x0 de

sus im´ agenes. Tal relaci´ on estaba sujeta a determinadas restricciones que no es preciso repetir. En aquel momento, para justificar el t´ermino “ecuaci´ on”, se debi´ o comprobar que cualquier relaci´ on de ese tipo entre abscisas defin´ıa una biyecci´on con la propiedad de conservar razones dobles. Ya no hace falta, I.4-18

A. Castell´ on pues aquellas ecuaciones determinaban proyectividades y la proyectividades, a la postre, conservan razones dobles. La serie de hechos demostrados se compendian en el siguiente Teorema I.4.2 Sea σ : r → s una biyecci´on entre rectas de un mismo plano proyectivo. Entonces, son equivalentes: i) σ conserva razones dobles, ii) σ es una proyectividad y iii) σ se descompone en producto de perspectividades. Adem´ as, en la situaci´ on descrita en iii), el n´ umero de perspectividades en que σ factoriza puede reducirse a una cantidad no superior a 3, o incluso a 2, si las rectas son distintas. Otra verdad sencilla de probar se recoge en el siguiente Teorema I.4.3 Una condici´ on necesaria y suficiente para que una proyectividad σ entre dos rectas r y s del mismo plano sea una perspectividad es que el punto de intersecci´on de r con s constituya un punto doble. Demostraci´ on En un sentido ya se vio al comienzo de esta secci´on: cada perspectividad entre dos rectas deja fijo al punto de corte. Para el rec´ıproco, escr´ıbase A = r ∩ s y t´ omense B y C en r − {A} distintos entre s´ı. Las rectas Bσ(B) y Cσ(C) han de compartir un punto O. La perspectividad πO de centro O de r sobre s lleva B a σ(B), C a σ(C) y deja invariante al punto A. Pero σ opera de igual forma sobre esos tres puntos del s´ımplex (A, B, C). El teorema fundamental obliga a que σ coincida con πO . Una aplicaci´ on inmediata de los razonamientos que desembocan en el teorema I.4.2 permite el trazado gr´ afico de proyectividades, y no s´olo entre rectas del mismo plano, sino de todo un plano en s´ı mismo. Para ello se representan en la figura I.4.5 los puntos A, B y C de una recta r y sus im´ agenes A0 , B 0 y C 0 en s por cierta proyectividad σ. Se pretende encontrar la imagen X 0 del punto X.

I.4-19

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva

Primero se procede a descomponer σ en producto de perspectividades. En la recta AA0 habr´ a que elegir los centros de perspectiva. Puesto que, en este ejemplo, tales puntos difieren del punto r ∩ s, pueden tomarse ellos mismos para tal menester reduciendo el n´ umero de elementos geom´etricos y simplificando el trazado. H´ agase pues B 00 = A0 B ∩ AB 0 y C 00 = A0 C ∩ AC 0 . Ahora σ = πA ◦ πA0 . La recta A0 X corta a B 00 C 00 en X 00 . El punto X 0 se obtiene ahora como intersecci´on de AX 00 con s. Para dibujar los puntos l´ımite se debe recurrir al paralelismo. El punto impropio de r se transforma por πA0 en la intersecci´on L00 de B 00 C 00 con una paralela a r por A0 (figura I.4.6). La perspectividad πA transforma L00 en L0 = AL00 ∩ s.

I.4-20

A. Castell´ on Para el otro punto l´ımite se trazar´ıa una paralela a s por A, cuya intersecci´on con B 00 C 00 se denota por L000 . Entonces, el punto L de r que se transforma en el punto del infinito de s vendr´ a dado por L = A0 L000 ∩ r. Cuando se trate de una proyectividad de una recta en s´ı misma se obrar´ a de forma similar, pero con el engorro de manejar tres perspectividades en lugar de dos. Se finalizar´ a esta secci´on con algunas propiedades acerca de razones dobles. Se probar´ a, por ejemplo, que (ABCD) = (BADC). Puede optarse por una demostraci´ on algebraica, haciendo uso de las f´ ormulas (1) y (2) que proporcionan la raz´ on doble, o por una prueba sint´etica. Para ´esta u ´ltima, sum´erjase en un plano a la recta r, a la que pertenecen los cuatro puntos, y tr´ acese por D otra recta s distinta de r (figura I.4.7). El´ıjase un punto P fuera de r y de s y constr´ uyanse los puntos Q, R y S como las respectivas im´ agenes de A, C y B por la perspectividad πP : r → s. Sea T = AS ∩ P C.

Pues bien, la perspectividad de centro P proporciona la igualdad (ABCD) = (QSRD), la de centro A, la igualdad (QSRD) = (P T RC) y, por u ´ltimo, teniendo en cuenta la perspectividad de centro S, se tiene (P T RC) = (BADC) que es I.4-21

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva lo que se pretend´ıa demostrar. M´etodos como ´este o el uso directo de las f´ ormulas sobre razones dobles permiten enunciar el Teorema I.4.4 Sean A, B, C y D cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva con (ABCD) = λ. Se tiene entonces: (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) = λ (ABDC) = (BACD) = (DCAB) = (CDBA) =

1 λ

(ACBD) = (CADB) = (BDAC) = (DBCA) = 1 − λ (ADBC) = (DACB) = (BCAD) = (CBDA) = 1 −

1 λ

(ACDB) = (CABD) = (DBAC) = (BDCA) =

1 1−λ

(ADCB) = (DABC) = (CBAD) = (BCDA) =

λ λ−1 .

El resultado anterior reduce a un m´ aximo de 6 las posibles razones dobles de cuatro puntos distintos que, en principio, podr´ıan ordenarse de 24 = 4! maneras.

§4 Involuciones Dada una proyectividad σ entre rectas r y s sobre el mismo cuerpo K y fijados en ellas sendos sistemas de coordenadas, existen escalares λ0 , λ1 , µ0 y µ1 donde λ0 µ1 − λ1 µ0 6= 0 que proporcionan la ecuaci´ on expl´ıcita de σ x0 =

λ0 + λ1 x . µ0 + µ1 x

Operando, se llega a λxx0 + µx + νx0 + ζ = 0, con λ = µ1 , µ = −λ1 , ν = −µ0 y ζ = −µ1 , expresi´on esta denominada ecuaci´on general o impl´ıcita de σ. Habida cuenta de las sustituciones, se tiene que λζ − µν 6= 0 y los puntos l´ımite vienen dados por aquellos cuyas abscisas respectivas son x = − λν y x0 = − µλ . Hay un procedimiento tosco y falto de rigor, pero que sirve como regla nemot´ecnica, para acordarse de estas u ´ltimas f´ ormulas. Sup´ ongase que se quiere obtener el punto l´ımite de s, es decir, la imagen del punto del infinito I.4-22

A. Castell´ on de r. Div´ıdase entonces la ecuaci´on general por x y “h´ agase tender x a infinito”: lim (λx0 + µ +

x→∞

ζ νx0 + ) = 0. x x

Por supuesto que, en general, no se puede hablar de un l´ımite aut´entico pues no se tiene definida una topolog´ıa ni una m´etrica ni nada de lo preciso para usar l´ımites, sin embargo, razonando como en la recta real, en donde una fracci´ on racional tiende a cero si el denominador posee grado mayor que el numerador, se llega, por pura casualidad, a la expresi´ on, λx0 + µ = 0, y despejando x0 aparece la abscisa del punto l´ımite. De modo an´ alogo se proceder´ıa para el otro punto l´ımite 5. La ecuaci´ on general de una proyectividad ofrece, como se ver´ a a continuaci´ on y en los ejercicios, una herramienta muy c´omoda para su estudio. Si en la proyectividad σ de ecuaci´on general λxx0 + µx + νx0 + ζ = 0 coinciden dominio e imagen, tiene sentido hablar de puntos dobles (recu´erdese, puntos que se aplican en s´ı mismos y para los cuales, por consiguiente, se tiene x = x0 ). El c´alculo de los puntos dobles de tal proyectividad se reducir´ a a la resoluci´ on de la ecuaci´on λx2 + (µ + ν)x + ζ = 0, la cual puede ser de primero o de segundo grado seg´ un λ se anule o no, pero tambi´en de grado 0 si σ = 1r (¿por qu´e causa?) Las ecuaciones de primer grado se interpretar´ an en la tanda final de problemas. Para las de segundo grado, hay tres opciones, que el polinomio λx2 + (µ + ν)x + ζ posea dos ra´ıces, en cuyo caso se dir´ a de σ que es una proyectividad hiperb´ olica, que s´ olo tenga una ra´ız, y se la llamar´ a parab´ olica, o ninguna, y se hablar´ a de proyectividad el´ıptica. La raz´ on de tales apellidos se justificar´ a cuando se estudien m´ as adelante las c´onicas. 5

Se advierte de nuevo que esta es solo una regla mnemot´ ecnica para memorizar las abscisas de los puntos l´ımite de una proyectividad dada por su ecuaci´ on general, y que el menor parecido con un razonamiento matem´ atico de mediano rigor es pura coincidencia.

I.4-23

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva Definici´ on I.4.3 De una proyectividad σ de una recta r en s´ı misma se dice que es una involuci´ on, si σ 2 = 1r . Lema I.4.1 Una condici´ on suficiente para que una proyectividad σ de una recta r en s´ı misma sea una involuci´ on distinta de la identidad es que exista un punto A ∈ r tal que σ(A) 6= A y σ 2 (A) = A. Demostraci´ on En un sentido es trivial pues si σ : r → r no es la identidad, ha de existir un A ∈ R con σ(A) 6= A. El car´ acter involutivo de σ implica σ 2 (A) = A. Sup´ ongase entonces que σ es una proyectividad de una recta r en s´ı misma para la que existe un punto A ∈ r con B = σ(A) 6= A y σ 2 (A) = σ(B) = A. Escr´ıbase ahora σ = P(f ) y A =< v >, donde f es el automorfismo lineal que induce la proyectividad. Como B =< f (v) > y σ(B) = A, ha de ocurrir que f 2 (v) = λv para alg´ un escalar no nulo λ. Consid´erese el sistema de coordenadas homog´eneas {A, B; C} con C =< v + f (v) >. (Raz´ onese por qu´e C no puede coincidir ni con A ni con B.) Se comprobar´ a que la proyectividad σ 2 deja invariable al s´ımplex {A, B, C}, lo cual finalizar´ a la prueba por simple aplicaci´ on del teorema fundamental. En efecto, σ 2 (B) =< f 2 (f (v)) >=< λf (v) >= B y σ 2 (C) =< f 2 (v + f (v)) >=< λv + λf (v) >= C. Es f´ acil reconocer cu´ ando una proyectividad σ : r → r es una involuci´ on dando un simple vistazo a su ecuaci´on general. Que (4)

λxx0 + µx + νx0 + ζ = 0

sea la ecuaci´ on general de una proyectividad σ, significa que las abscisas x y x0 de un punto y de su imagen est´ an ligadas por tal relaci´ on. Pero si σ es involutiva, entonces el punto de abscisa x0 se transforma en el de abscisa x y los papeles de original e imagen se intercambian. Esto llevar´ıa a escribir (5) I.4-24

λx0 x + µx0 + νx + ζ = 0.

A. Castell´ on Restando (5) de (4) y operando se llega a (µ − ν)(x − x0 ) = 0. Basta que haya un punto que no sea doble (uno con abscisa x 6= x0 ), para que µ = ν. Si, por el contrario, todo punto fuera doble, entonces se tratar´ıa de la involuci´ on identidad, de ecuaci´ on x − x0 = 0. En cualquier caso, la ecuaci´ on general es sim´etrica en las variables x, x0 . Rec´ıprocamente, sea σ : r → r una proyectividad con ecuaci´on general sim´etrica en las variables x y x0 , o sea, del tipo, λxx0 + µ(x + x0 ) + ζ = 0. T´ omese un punto cualquiera B ∈ r de abscisa β y ll´ amese β 0 la abscisa de B 0 = σ(B). Se tiene λββ 0 + µ(β + β 0 ) + ζ = 0. Pero esto implica tambi´en que σ(B 0 ) = B, luego σ 2 (B) = B para cada punto de r. En definitiva, la simetr´ıa en las variables x, x0 resulta ser un rasgo distintivo de las involuciones. Las involuciones jugar´ an un papel decisivo en cap´ıtulos posteriores, gracias, en particular, al teorema con que finalizar´ a esta secci´on. Adem´ as, este importante resultado proporcionar´ a un m´etodo para el c´ alculo gr´ afico de una involucion m´ as c´ omodo que el de descomponerla en producto de tres perspectividades. A tal fin se introducen los siguientes conceptos. A un s´ımplex de un plano proyectivo P tambi´en se le denomina un cuadriv´ertice, esto es, un conjunto de cuatro puntos {A, B, C, D} llamados v´ertices tales que no hay tres de ellos alineados. Estos cuatro puntos determinan seis rectas distintas, a saber, AB, AC, AD, BC, BD y CD, las cuales se cortan en siete puntos: los cuatro v´ertices de partida y los dados por E = AB ∩ CD, F = AC ∩ BD y G = AD ∩ BC, designados como puntos diagonales. (Raz´onese por qu´e han de ser distintos entre s´ı tanto los siete puntos como las seis rectas anteriores.) Por cuadril´ atero se entender´ a al concepto dual de cuadriv´ertice. As´ı, un cuadril´ atero estar´ a constituido por cuatro rectas {a, b, c, d} tales que no haya tres de ellas concurrentes. A tales rectas se las conoce como los lados del cuadril´ atero. Los cuatro lados se intersecan en seis puntos que determinan siete rectas, tres de las cuales, las diagonales, se diferencian de las cuatro de partida. En la figura I.4.8 han sido etiquetadas estas tres rectas como e, f y g con e = (a ∩ b)(c ∩ d), f = (a ∩ c)(b ∩ d) y I.4-25

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva g = (a ∩ d)(b ∩ c). (Observe el lector el proceso de dualizaci´ on: E = AB ∩CD dualiza en e = (a ∩ b)(c ∩ d), puesto que la recta determinada por dos puntos distintos es el subespacio suma de ambos.)

Se evidencia que cada cuadriv´ertice {A, B, C, D} determina varios cuadril´ ateros. Por exhibir uno, el {AB, BC, CD, DA}, aunque tambi´en podr´ıa escogerse el

{AC, BC, BD, DA} o el

{AB, BD, CD, AC}.

De ah´ı que a veces se disloque el lenguaje entreverando t´erminos de cuadriv´ertices en un ambiente referido a cuadril´ ateros o viceversa. Teorema I.4.5 (Segundo teorema de Desargues 6) Sea {A, B, C, D} un cuadriv´ertice de un plano proyectivo y r una recta del plano que no contiene a ninguno de los v´ertices y que corta a BC en P , a AD en P 0 , a AB en Q, a CD en Q0 , a BD en R y a AC en R0 (figura I.4.9). Entonces, la u ´nica proyectividad σ : r → r que aplica P en P 0 , Q en Q0 y R en R0 es una involuci´ on 7. 6

La raz´ on de llamarlo segundo teorema de Desargues estriba en que es otro el resultado que el mundo matem´ atico conoce universalmente como teorema de Desargues (sin ordinal). A ´ el se dedicar´ a un intesivo estudio en el cap´ıtulo siguiente. 7 En prosa arcaica el teorema se enunciaba diciendo que una recta corta a los lados opuestos de un cuadriv´ ertice seg´ un parejas de puntos que est´ an en involuci´ on. Aqu´ı, por lado se ha entendido a cualquiera de las 6 rectas determinadas por dos de los v´ ertices, y por lado opuesto de este, al que pasa por los otros dos v´ ertices del cuadriv´ ertice, por ejemplo, el lado opuesto al BD ser´ ıa el AC .

I.4-26

A. Castell´ on

Demostraci´ on Sup´ ongase, en primer lugar, que al menos uno de los puntos P , Q o R no se transforma en s´ı mismo, por ejemplo P 6= P 0 . La perspectividad de centro B de r sobre el lado AD lleva Q a A, R a D, P al punto diagonal F = AD ∩ BC y deja fijo a P 0 . Del teorema I.4.2 se desprende la igualdad (QRP P 0 ) = (ADF P 0 ). Por otro lado, la perspectividad de centro C permite escribir (ADF P 0 ) = (R0 Q0 P P 0 ) y, junto con el teorema I.4.4, (R0 Q0 P P 0 ) = (Q0 R0 P 0 P ). Pero σ conserva razones dobles, por lo cual (QRP P 0 ) = (Q0 R0 P 0 σ(P 0 )). De ah´ı que σ(P 0 ) tenga, en el sistema de coordenadas {Q0 , R0 ; P 0 }, la misma abscisa que P . As´ı σ 2 (P ) = σ(P 0 ) = P y el lema I.4.1 hace de σ una involuci´ on. En el caso restante, las condiciones P = P 0 , Q = Q0 y R = R0 exigen a r que circule sobre los tres puntos diagonales, situaci´ on en verdad posible. S´ı, aunque parezca poco intuitivo, hay ciertos cuerpos, que se caracterizar´an en cuanto se acabe esta demostraci´on, con la peculiaridad de que en los planos proyectivos sobre ellos los puntos diagonales de los cuadriv´ertices est´an alineados. Pero aunque esto resulte algo chocante, tampoco importa pues si P = P 0 , Q = Q0 y R = R0 , entonces el teorema fundamental asegura que σ = 1r y de nuevo se obtiene una involuci´ on, lo que finaliza la prueba. Como ya se anunci´ o con anterioridad, este segundo teorema de DesarI.4-27

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva gues proporciona un m´etodo gr´ afico para el c´ alculo de las im´ agenes de una involuci´ on que ser´ a tratado en los ejercicios.

§5 El teorema de Fano Pero ahora lo que ha suscitado nuestro inter´es es caracterizar esos planos en los que los tres puntos diagonales de un cuadriv´ertice est´an alineados. Para ello, sup´ ongase que A =< a >, B =< b >, C =< c > y D =< d > disponen un cuadriv´ertice en un plano proyectivo P sobre el cuerpo K. Por lo ya desarrollado en secciones anteriores no deber´ıan existir inconvenientes a la hora de escribir D =< a + b + c >. Entonces el punto < a + b >=< (a + b + c) − c > cae tanto sobre la recta AB como sobre la recta CD, por tanto E =< a+b >= AB ∩ CD. C´alculos an´ alogos llevar´ıan a encontrar expresiones para los otros dos puntos diagonales del cuadriv´ertice (figura I.4.10), en concreto, G =< a + c >=< (a + b + c) − b >= AC ∩ BD y F =< b + c >=< (a + b + c) − a >= AD ∩ BC.

Si se especula con la eventualidad de que estos tres puntos, E, F y G estuviesen en l´ınea recta, por ejemplo, con G descansando sobre la recta EF , I.4-28

A. Castell´ on se hace preciso expresar b + c como combinaci´ on lineal de a + b y a + c. En tal circunstancia, b + c = λ(a + b) + µ(a + c) = (λ + µ)a + λb + µc, ecuaci´on vectorial que s´olo se verifica cuando λ + µ = 0 y λ = µ = 1, lo cual conllevar´ıa que 1 + 1 = 0, o sea, que K haya de poseer caracter´ıstica 2. Y la gracia reside en el rec´ıproco: si la caracter´ıstica de K es 2, entonces < b + c >=< (a + b) + (a + c) > y G ∈ EF . Se concluye pues con el Teorema I.4.6 (Teorema de Fano) Los tres puntos diagonales de un cuadriv´ertice sobre un plano proyectivo est´an alineados si y solamente si la caracter´ıstica del cuerpo base es 2. La etiqueta se incluye en honor a Gino Fano. Sin embargo, este matem´atico italiano, que se ocup´ o de axiomatizar la geometr´ıa de Euclides en un intento previo al de Hilbert, no lo formul´ o como un teorema, sino como uno de sus postulados, aqu´el que prohib´ıa el alineamiento de los v´ertices diagonales de un cuadriv´ertice, algo innecesario en los m´etodos semi intuitivos de demostraci´on que utilizaban los griegos. Contemplando de nuevo el enunciado, un matem´atico deber´ıa de apreciar la curiosa imbricaci´ on entre propiedad geom´etrica y propiedad algebraica. Hay un sustrato de belleza art´ıstica en el hecho de que la imposici´on de una cualidad de estricto car´ acter geom´etrico, que los puntos diagonales est´en en l´ınea recta, implique que 1 + 1 = 0, lo cual representa un atributo algebraico del cuerpo base. Ahora, siguiendo la t´ actica establecida desde un principio, se enunciar´ an versiones afines del teorema de Fano sin m´as que examinar las circunstancias particulares que concurran cuando algunos de los elementos involucrados se los queda la recta del infinito. Eso s´ı, el lector deber´ıa de convencerse de que, en caso contrario, la tesis permanece invariable: el enunciado de Fano no miente si los lados de un cuadriv´ertice del plano af´ın se cortan en puntos del af´ın. I.4-29

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva En un plano af´ın, se define un trapecio como un cuadriv´ertice con un punto diagonal en el infinito (de su envolvente proyectiva), traducido, con un par de lados opuestos paralelos. Por paralelogramo se entender´ a a un cuadril´ atero con dos de sus puntos diagonales en el infinito (las dos parejas de lados paralelas). La u ´nica eventualidad con cierto inter´es af´ın se refiere a los paralelogramos, los cuales solo constan de dos diagonales ya que la tercera la constituye la recta impropia. En la tanda de ejercicios del final del cap´ıtulo se propondr´ a demostrar que una condici´ on necesaria y suficiente para que se corten las dos diagonales de un paralelogramo es que la caracter´ıstica del cuerpo difiera de 2. Por ejemplo, en el plano af´ın sobre Z2 , se dibuja el u ´nico cuadriv´ertice posible, el dado por A = (0, 0), B = (0, 1), C = (1, 1), y D = (1, 1). Se trata de un paralelogramo puesto que ABkCD y ADkBC. Pero tambi´en la diagonal AC es ¡paralela! a la diagonal BD. En efecto, si se calculan sus respectivas ecuaciones cartesianas se obtiene y = x y y = x + 1, las cuales plantean un sistema incompatible en caracter´ıstica 2. Se finalizar´ a esta secci´on examinando la proposici´ on dual del teorema de Fano: las tres rectas diagonales de un cuadril´ atero sobre un plano proyectivo concurren en un punto si y solamente si la caracter´ıstica del cuerpo es 2. Vu´elvase a la figura I.4.10, donde se representa el cuadril´ atero {a, b, c, d} sobre el plano proyectivo P. Consid´erese el cuadriv´ertice {A, B, C, D} dado por A = b∩c, B = c∩d, C = d∩a y D = a∩b. Las puntos diagonales del cuadriv´ertice vendr´ an determinados por E = AB ∩ CD = a ∩ c, F = AD ∩ BC = b ∩ d y G = AC ∩ BD, mientras que las rectas diagonales del cuadril´ atero original se describen por e = AC, f = BD y g = EF . Obs´ervese que G se obtiene como intersecci´on de dos de las rectas diagonales, lo cual produce una equivalencia entre las dos siguientes aseveraciones: * los tres puntos diagonales est´an alineados (G ∈ EF ), * las tres diagonales concurren (e ∩ f ∈ g), y el dual del teorema de Fano viene a decir lo mismo que el propio I.4-30

A. Castell´ on teorema no a˜ nadiendo nueva informaci´ on. Para calificar una situaci´ on como esta se suele utilizar el t´ermino autodual. En conclusi´ on: el teorema de Fano es autodual.

§6 Cuaterna arm´ onica Sea (A, B, F, E) un cuadriv´ertice de un plano proyectivo P de puntos diagonales C = AB ∩ EF , G = AE ∩ BF y L = AF ∩ BE (figura I.4.11). Considerando la diagonal GL y su intersecci´on D con con AB, se obtienen cuatro puntos alineados, a saber, A, B, C y D.

Se intentar´ a calcular lo que vale la raz´ on doble λ = (ABCD). Por la perspectividad de centro G se tiene (ABCD) = (EF CH), donde H = EC ∩ GD. La perspectividad de centro L prueba que (EF CH) = (BACD), por tanto (ABCD) = (BACD). Consultando la tabla de posibles razones dobles del teorema I.4.4, a λ no le quedan m´ as opciones que 1 y −1. En la primera de ellas, debe ser C = D puesto que (ABCC) = 1. En tal circunstancia, el teorema de Fano (I.4.6) obliga a que la caracter´ıstica del cuerpo sea 2. Ahora bien, 1 = −1 en caracter´ıstica 2. Se concluye por tanto con que, sea cual sea la caracter´ıstica del cuerpo, se tiene (ABCD) = −1. Definici´ on I.4.4 De los elementos de una cuaterna (A, B, C, D) de puntos de una recta proyectiva se dice que est´an en cuaterna arm´ onica si su raz´ on doble (ABCD) vale −1, en cuyo caso, a D se le llama el cuarto I.4-31

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva arm´ onico de la terna (A, B, C) y a los puntos C y D se les denomina los conjugados arm´ onicos de A y B. Obs´ervese que el teorema I.4.4 hace buena la definici´ on de conjugados arm´ onicos en el sentido de que no importa el orden en el que se den las parejas de puntos. Otra apostilla se refiere a la caracter´ıstica 2. En tal circunstancia, (ABCD) = −1 equivale a afirmar C = D y no parece que se vaya a obtener mucho juego del concepto de cuaterna arm´ onica. Por eso se incluye el siguiente

AVISO: De ahora en adelante, y si no se especifica lo contrario, se razonar´ a sobre cuerpos con caracter´ıstica distinta de 2.

Tambi´en conviene resaltar que el razonamiento de m´ as arriba brinda un m´etodo gr´ afico para el trazado del cuarto arm´ onico de una terna de puntos alineados. En efecto, seg´ un se acaba de ver, una definici´ on equivalente en t´erminos de geometr´ıa sint´etica dir´ıa que (A, B, C, D) est´an en cuaterna arm´ onica si hay un cuadriv´ertice del que A y B son v´ertices, C es punto diagonal y D reposa sobra la recta determinada por los otros dos puntos diagonales. Ahora se tratar´ıa de averiguar si colocados tres puntos distintos A, B y C sobre una recta r de un plano proyectivo, se es capaz de construir un punto D ∈ r con (ABCD) = −1, o, lo que es lo mismo, de dibujar un cuadriv´ertice del que formen parte A y B, con C como uno de los puntos diagonales y D en la recta determinada por los otros dos puntos diagonales. Para intentarlo, tr´ acese por C una recta arbitraria r distinta de AB y el´ıijanse en ella dos puntos E y F no coincidentes y diferentes de C. Ya se tiene un cuadriv´ertice, el (A, B, F, E), de puntos diagonales C = AB ∩ EF , I.4-32

A. Castell´ on G = AE ∩ BF y L = EB ∩ AF (figura I.4.12). El cuarto arm´ onico de la terna (A, B, C) ha de obtenerse entonces como intersecci´on de r con la diagonal GL, es decir, D = GL ∩ AB.

Obs´ervese de nuevo la figura que nos sugiri´ o la introducci´ on de cuaternas arm´ onicas y que se reproduce en la parte izquierda de la figura I.4.13). Imagin´ese el lector c´omo se deformar´ıa la configuraci´ on si se llevase el punto A cada vez m´ as lejos de la escena, m´as hacia la izquierda, mientras se mantienen firmes en su sitio, como clavados por chinchetas, los puntos B, C, F y G (dibujados en otro color).

El punto D, en apariencia, se alejar´ıa de B, pero no a tanta velocidad como A. Da la impresi´ on de que se desplazar´ıa con mayor lentitud. ¿Qu´e ocuI.4-33

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva rrir´ a cuando A “llegue” al infinito? No hay m´ as que hacer cuentas. P´ ongase A =< a >, B =< b >, C =< a + b >, en cuyo caso, al ser D el cuarto arm´ onico de la terna (A, B, C), se tendr´ıa, D =< −a + b >. Al pasar al af´ın con A en el infinito, los puntos B, C y D toman abscisas respectivas 0, 1 y −1, mientras que A queda sin abscisa. As´ı, como en el af´ın existe identidad entre puntos y vectores (en este caso unidimensional los vectores no son sino elementos del cuerpo base), se puede escribir B =

C+D 2

y ha quedado B justo

en la “mitad” del segmento determinado por C y D. En un espacio af´ın se define el punto medio R del segmento determinado por dos puntos P y Q como R =

P +Q 2 .

El “partido por dos” cobra sentido gracias a la suposici´ on

impl´ıcita de que la caracter´ıstica del cuerpo es distinta de 2. Lema I.4.2 Cuatro puntos A, B, C y D de una recta proyectiva se encuentran en cuaterna arm´ onica si y solo si B se localiza, cuando A est´a en el infinito, en el punto medio del segmento determinado por C y D. Demostraci´ on Se acaba de probar una de las implicaciones. Para la otra, t´ omense C y D puntos distintos de una recta af´ın K y h´ agase B =

C+D 2 .

Si A es el punto del infinito de la envolvente proyectiva P1 (K) de K, hay que comprobar que (ABCD) = −1. Para esto, el´ıjase en P1 (K) el sistema de coordenadas homog´eneas {B, A; C}. Con respecto a ´el, el punto A posee como coordenadas (0, 1), mientras que los pares (1, 0) y (1, 1) han de representar a las respectivas coordenadas de B y C. N´ otese c´omo la primera coordenada igual a 1 de estos u ´ltimos delata su condici´ on de puntos afines. Puesto que D descansa en el af´ın, sus coordenadas toman la forma (1, λ). La condici´ on 2B = C + D de partida exige que λ valga −1, por lo que, el lema se obtiene de aplicar la f´ ormula (1) para la raz´ on doble. Las competencias sobre el concepto del punto medio de un segmento recaen en exclusiva sobre el af´ın. En un espacio af´ın, en el cual los puntos no son sino vectores, tiene sentido la expresi´ on (A + B)/2 que se refiere al punto (vector) obtenido mediante el producto por el escalar

1 2

de la suma de

los vectores (puntos) A y B. Por el contrario, en un proyectivo la suma de I.4-34

A. Castell´ on puntos distintos se interpreta como una recta y, adem´ as, carece de significado la multiplicaci´ on de una recta por un escalar. Adem´ as, si σ : P(V ) → P(V 0 ) es una proyectividad entre espacios proyectivos que lleva el hiperplano P(H) al hiperplano P(H 0 ), una consecuencia inmediata del hecho de que las proyectividades conserven razones dobles demuestra que la restricci´on de σ a los espacios afines A(V, H) y A(V 0 , H 0 ) transforma el punto medio de un segmento en el punto medio del segmento determinado por sus im´ agenes. As´ı pues, mientras que las proyectividades conservan cuaternas arm´ onicas, las afinidades conservan tambi´en puntos medios. Lema I.4.3 Las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Demostraci´ on: Se han omitido las hip´ otesis de ambiente para no afear el enunciado, pero es obvio que la escena se desarrolla en un plano af´ın K 2 con K un cuerpo. Sea (A, E, B, F ) un paralelogramo de K 2 , con AEkBF y AF kBE. Denom´ınese C = EF ∩ AB a la intersecci´on de ambas diagonales. En la envolvente proyectiva P2 (K) de K 2 , ll´ amense D, L y G a los puntos impropios de las rectas AB, AF y AE respectivamente. Advi´ertase que las condiciones de paralelismo impuestas en el af´ın llevan a L = BE ∩ AF y G = AE ∩ BF (figura I.4.14).

Ahora, en la envolvente proyectiva, se tienen A y B dentro del cuadriv´ertice (A, B, F, E), del cual C constituye uno de los puntos diagonales y I.4-35

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva D pertenece a la recta que pasa por por los otros dos. Luego D constituye el cuarto arm´ onico de la terna (A, B, C). Utilizando el teorema I.4.4, se tiene −1 = (ABCD) = (DCBA). Y como D se queda en el infinito al retornar al af´ın, el lema I.4.2, obliga a que C se sit´ ue en el punto medio del segmento determinado por A y B. Un razonamiento an´ alogo probar´ıa que C =

E+F 2

considerados como puntos (vectores) del af´ın.

§7 Transformaciones entre haces de rectas Esta u ´ltima secci´on del cap´ıtulo transcurrir´ a en el escenario de los planos proyectivos y se dedicar´ a a dualizar, en este ´ ambito de dimensi´ on 2, las definiciones y resultados de las secciones precedentes que sean susceptibles de dualizaci´ on. Aquellas nociones expresables en los exclusivos t´erminos de incidencia entre puntos y rectas tendr´ an un reflejo dual inmediato. Por ejemplo, en varias ocasiones se ha razonado sobre la configuraci´ on geom´etrica integrada por cuatro puntos alineados A, B, C y D con los tres primeros distintos entre s´ı y D 6= A. A la configuraci´ on dual de esta en un plano proyectivo se la denominar´ a un l´ apiz. En concreto, un l´ apiz (a, b, c, d) constar´ a de cuatro rectas concurrentes a, b, c y d de un plano proyectivo con a 6= b 6= c 6= a 6= d. A un l´ apiz (a, b, c, d) se le adjudicar´ a el adjetivo arm´ onico8, si existe un cuadril´ atero que integre a a y b como dos de sus lados, a c como una de sus diagonales y d pase por el punto de corte de las otras dos diagonales (figura I.4.15). Si una recta cualquiera r corta a un l´ apiz arm´ onico en los puntos A = r ∩ a, B = r ∩ b, C = r ∩ c y D = r ∩ d distintos, es obvio que (A, B, C, D) habr´ an de formar cuaterna arm´ onica pues basta imaginar otra recta por C (diferente de r y que no pase por el punto base del l´ apiz) para construir un cuadriv´ertice de v´ertices A y B, punto diagonal C y con D en la recta determinada por los otros dos puntos diagonales. 8

El concepto dual de cuaterna arm´ onica ser´ a, como es de suponer, el de l´ apiz arm´ onico.

I.4-36

A. Castell´ on

Ahora se dualizar´ an los distintos tipos de transformaciones entre rectas estudiados. Los conceptos duales de aplicaciones entre conjuntos de puntos alineados (rectas) consistir´ an en aplicaciones entre haces de rectas concurrentes. Si A es un punto de un plano P, se denotar´ a por A∗ al haz de rectas de P que pasan por A. Recu´erdese que la perspectividad πR : a → b de centro R de la recta a sobre la recta b (R ∈ / a ∪ b) viene dada por la biyecci´on πR (A) = RA ∩ b. As´ı pues, para dos haces A∗ y B ∗ de un mismo plano P (s´ıgase la figura I.4.16), la perspectividad de eje r, con r una recta de P que no contiene ni a A ni a B, ha de definirse como la biyecci´on que asocia a cada recta a de A∗ la recta a0 de B ∗ determinada por B y a ∩ r (a0 = πr (a) = (a ∩ r)B).

Las proyectividades entre haces de rectas del mismo plano se introducen como composici´on de un n´ umero finito de perspectividades. Hasta ahora no se ha encontrado ning´ un problema en enunciar duales pues se han tratado nociones que s´ olo involucran relaciones de pertenencia I.4-37

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva entre puntos y rectas. Sin embargo, la raz´ on doble lleva consigo el pecado original de las coordenadas. Por ello se necesitar´ a descender al mecanismo interno del principio de dualidad para introducir la raz´on doble de un l´ apiz. Como es costumbre, se denotar´ a por ∗ tanto a la correlaci´ on est´andarentre un plano P(V ) y su dual P(V ∗ ) como a su inversa. Puntos alineados de P(V ) desembocan por ∗ en rectas concurrentes de P(V ), y viceversa, rectas concurrentes de P(V ) se aplican en puntos alineados. Pues bien, para que el concepto de raz´on doble de un l´ apiz sea compatible con el principio de dualidad, se requiere que ∗ conserve razones dobles. As´ı, se define la raz´ on doble del l´ apiz (a, b, c, d) mediante (abcd) = (a∗ b∗ c∗ d∗ ). El hecho de que (r∗ )∗ coincida con r para cualquier recta r demuestra que la inversa de la correlaci´ on est´ andar tambi´en deja invariantes las razones dobles. Hay que advertir que tal propiedad no convierte a ∗ en una proyectividad puesto que, aunque conserve razones dobles, no lo hace entre rectas del mismo plano, sino entre puntos de una recta y rectas de un haz. Ahora, de lo que se trata, es de lograr una caracterizaci´on m´ as c´omoda de la raz´ on doble de un l´ apiz que lo libre a uno del engorro de tener que recurrir a la correlaci´ on est´andar para determinar su valor. A continuaci´ on se ofrecen dos de ellas. T´ omense dos rectas a y b de un plano proyectivo P(V ) sobre un cuerpo K y escr´ıbase A = a∩b. Sup´ ongase que, fijado un sistema de coordenadas, las expresiones p(x0 , x1 , x2 ) = 0 y q(x0 , x1 , x2 ) = 0 representan a las respectivas ecuaciones de a y b, donde p y q son polinomios homog´eneos de primer grado con coeficientes en K en las variables x0 , x1 y x2 9. Con todas estas premisas, existe una biyecci´on entre K y A∗ −{a} que asocia a cada escalar λ la recta de ecuaci´on λp(x0 , x1 , x2 )+q(x0 , x1 , x2 ) = 0. Esta afirmaci´ on puede demostrarse bien por c´ alculo directo, bien mediante el uso del principio de dualidad. Para esto u ´ltimo, recu´erdese (ejercicio I.3.7) que, fijada una base en V , el punto de 9

De un polinomio p(x0 ,x1 ,...,xn ) se dice que es homog´ eneo de grado n si p(λx0 ,λx1 ,...,λxn )= λn p(x0 ,x1 ,...,xn ), o, de modo equivalente, si cada monomio de p(x0 ,...,xn ) es de grado n.

I.4-38

A. Castell´ on coordenadas homog´eneas (λ0 , λ1 , λ2 ) se transforma por la correlaci´ on est´andar en la recta de ecuaci´ on λ0 x0 +λ1 x1 +λ2 x2 = 0 respecto de la base dual de V ∗ . El´ıjanse ahora otras dos rectas c y d tales que (a, b, c, d) constituya un l´ apiz. No existe inconveniente en suponer que la ecuaci´on de c se obtiene como suma de las ecuaciones de a y b (¿por qu´e?). Bajo estas circunstancias, se afirma que la raz´ on doble (abcd) coincide con el u ´nico escalar λ tal que, al multiplicar por λ la ecuaci´on de a y sumar el resultado a la ecuaci´on de b, aparece la ecuaci´on de d. Esto, desde luego, proporciona un m´etodo para hallar la raz´ on doble de un l´ apiz conocidas las ecuaciones de sus integrantes. Por ejemplo, en el plano proyectivo sobre Q, consid´erense el punto A = (1, 0, 1) y las rectas a ≡ x0 b ≡ 2x0 c ≡ x0 d ≡ 5x0

− 2x1 + x1 − 3x1

− x2 − 2x2 − x2 − 5x2

= 0, = 0, =0y = 0,

que pasan por A. Se trata de calcular la raz´ on doble (abcd). Para ello, hay que expresar la ecuaci´ on de c como suma de ecuaciones que describan a a y a b, lo que lleva a plantear la igualdad entre polinomios homog´eneos x0 + x1 − x2 = λ0 (x0 − 2x1 − x2 ) + λ1 (2x0 − 2x2 ). Igualando coeficientes se obtiene λ0 =

1 2

y λ1 = 34 . Por otro lado, la expresi´ on

1 1 3 3 5x0 − 3x1 − 5x2 = µ0 (− x0 + x1 − x2 ) + µ1 ( x0 − x2 ), 2 2 2 2 lleva a µ0 = −3 y µ1 = 73 , es decir, la recta d queda descrita por una ecuaci´on del tipo − 97 p(x0 , x1 , x2 ) + q(x0 , x1 , x2 ) = 0, donde p(x0 , x1 , x2 ) y q(x0 , x1 , x2 ) son las ecuaciones respectivas de a y b. Entonces (abcd) = − 97 . A´ un parece complicado todo este l´ıo. M´ as sencillo lo pone el siguiente teorema, cuya demostraci´on se propondr´ a en la tanda de ejercicios, al cual es al que se suele recurrir en la pr´ actica para el c´alculo de la raz´ on doble de un l´ apiz. Teorema I.4.7 Sea (a, b, c, d) un l´ apiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que no pase por a ∩ b. Entonces (abcd) = (ABCD), donde A = a ∩ r, B = b ∩ r, C = c ∩ r y D = d ∩ r. I.4-39

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva

En bastantes textos aparece el enunciado anterior como definici´ on de raz´ on doble de un l´ apiz. Si se hubiese obrado de tal forma, se habr´ıa tenido que citar al teorema I.4.2 para comprobar que (abcd) no depende de la elecci´on de la recta r. No se ha hecho aqu´ı as´ı porque, aunque el teorema I.4.7 ofrece un procedimiento muy c´ omodo para el c´ alculo, no sugiere una relaci´ on demasiado clara con la dualidad. Se realizar´ a de nuevo el c´alculo de la raz´ on doble (abcd) del ejemplo de m´ as arriba, pero usando el teorema I.4.7. T´ omese por ejemplo r ≡ x0 = 0. Entonces P Q R S

= a∩r = b∩r = c∩r = d∩r

= = = =

(0, 1, −2), (0, 1, 0), (0, 1, 1) y, (0, 5, −3).

F´ıjese en r el sistema de coordenadas homog´eneas {(0, 1, −2), (0, 1, 0)}. En ´el, las coordenadas homog´eneas de R se determinan haciendo (0, 1, 1) = λ0 (0, 1, −2) + λ1 (0, 1, 0), lo que implica λ0 = − 12 y λ1 =

3 2.

Del mismo

modo se calcular´ıan las coordenadas homog´eneas de S en el mismo sistema obteniendo µ0 =

3 2

y µ1 = 72 . La f´ ormula (1) da entonces (P QRS) =

33 22 − 12 72

9 =− . 7

Alquien podr´ıa pensar, si revisa las definiciones de las secciones anteriores, que el u ´nico concepto que queda por dualizar es el de punto medio de un segmento. Pero el principio de dualidad s´olo funciona en espacios proyectivos, no en espacios afines, y la geometr´ıa af´ın posee las competencias exclusivas I.4-40

A. Castell´ on en materia de puntos medios dejando al margen a la proyectiva. Por tanto, no hay noci´ on de “recta media” de dos rectas. Una vez dualizado todo concepto susceptible de dualizaci´ on, se compendian los correspondientes resultados en el Teorema I.4.8 i) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo sumo, tres perspectividades. ii) Las proyectividades entre haces de rectas del mismo plano conservan razones dobles de l´ apices. iii) Toda biyecci´on entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones dobles de l´ apices es una proyectividad. iv) Una proyectividad entre haces de rectas A∗ y B ∗ de un plano es una perspectividad si y solamente si la recta AB es doble. v) El l´ apiz (a, b, c, d) es arm´onico si y solamente si (abcd) = −1. vi) Una proyectividad σ de un haz en s´ı mismo es una involuci´ on distinta de la identidad si y solo si existe una recta a del haz tal que σ(a) 6= a y σ 2 (a) = a. vii) Una involuci´ on en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas dobles.

§8 Ejercicios * 1) Encu´entrese, en relaci´ on al sistema de coordenadas homog´eneo can´ onico {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); (1, 1, 1)}, la ecuaci´on de la proyectividad σ del plano proyectivo real en s´ı mismo que transforma (1, 1, 0) (0, 1, 2) (0, 1, 0) (2, 2, 2)

7→ (−1, 0, 2) 7 → (1, 1, 2) . 7 → (−1, 1, 0) 7 → (0, 0, 4)

2) Demu´estrese que el conjunto de las colineaciones de un espacio proyectivo en s´ı mismo es un grupo (el grupo proyectivo). I.4-41

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva 3) Expresando las afinidades de K n en s´ı mismo como composici´on de automorfismos lineales con traslaciones, pru´ebese que la totalidad de ellas constituyen un grupo (el grupo af´ın 10). 4) En el espacio af´ın Q3 , se considera la afinidad σ = τa ◦ f donde a = (−1, 0, 2) y f es la aplicaci´ on lineal dada por f (x, y, z) = (x − y + z, 2x + z, y − 2z). Dese la proyectividad φ cuya restricci´on al af´ın coincide con σ. 5) H´ allese la ecuaci´ on de la proyectividad σ : P1 (Z7 ) → P1 (Z7 ) que aplica los puntos de abscisas 2, 4 y 0 sobre los puntos de abscisas 1, 3 y 2 respectivamente. Reconstr´ uyase la matriz 2 × 2 de la proyectividad. 6) Pru´ebese que toda proyectividad de una recta en s´ı misma factoriza como composici´on de, a lo sumo, dos involuciones y, por consiguiente, las involuciones constituyen un conjunto de generadores del grupo proyectivo en dimensi´ on 1. Indicaci´ on: si σ : r → r es una proyectividad para la que existen puntos distintos A, A0 , A00 ∈ r con A0 = σ(A), A00 = σ(A0 ) y A000 = σ(A00 ), consid´erense las proyectividades τ1 y τ2 determinadas por A A0 A00

τ1 7−→ 7−→ 7−→

00

A A0 A

τ2 7−→ 7−→ 7−→

A0 . A00 A000

7) Calc´ ulense los puntos dobles y los puntos l´ımite de la proyectividad de la recta real en s´ı misma dada por 1 7→ 0, −2 7→ 2 y 0 7→ 1. Descomp´ongase tal proyectividad en producto de involuciones. 8) De una proyectividad de una recta en s´ı misma se conocen las im´ agenes A0 , B 0 y C 0 de tres puntos distintos A, B y C. Descr´ıbase un m´etodo gr´ afico para obtener los puntos l´ımite. 9) a) Cuando se quiso describir a una biyecci´on σ entre rectas r y s sobre el mismo cuerpo K con la propiedad de conservar razones dobles, se 10

Siguiendo el programa de Erlangen, la geometr´ıa proyectiva se definir´ıa como aquella que estudia las propiedades conservadas por elementos del grupo proyectivo, mientras que la af´ın se dedica a las que son invariantes por elementos del grupo af´ın.

I.4-42

A. Castell´ on fijaron sistemas de coordenadas {A, B; C} en r y {A0 , B 0 ; C 0 } en s con la condici´ on σ(A) 6= A0 . A la postre, σ resultaba ser una proyectividad. Pues bien, elim´ınese la restricci´on σ(A) 6= A0 y obt´engase, en tal caso, la ecuaci´ on expl´ıcita de σ. b) Interpr´etese la ausencia de coeficiente de segundo grado en la ecuaci´on general de una proyectividad entre rectas. Dicho de otra forma, ¿qu´e sucede cuando una proyectividad σ entre rectas proyectivas posee ecuaci´ on general del tipo µx + νx0 + ζ = 0? 10) Sea S = {A, B, C} un conjunto de tres puntos de una recta proyectiva r. Encu´entrense, en el sistema de coordenadas homog´eneas {A, B; C}, las ecuaciones de las 6 proyectividades de r a r que dejan a S invariante. 11) En P1 (R), consid´erese la familia de proyectividades cuya ecuaci´ on toma la forma λxx0 + (2 + λ)x + x0 − 4 = 0 para alg´ un real λ. Atendiendo a los valores del par´ ametro λ, clasif´ıquense las proyectividades de la familia. La clasificaci´on se entiende en decir cu´ ales son hiperb´ olicas, cu´ ales parab´ olicas y cu´ ales el´ıpticas. 12) Final´ıcese la demostraci´on del teorema I.4.4 dando una prueba sint´etica (que no precise de coordenadas) de al menos una de las igualdades distinta de la expuesta en el texto. 13) En´ unciese el dual del teorema I.4.5. 14) Exam´ınese la veracidad de la siguiente afirmaci´ on: una involuci´ on queda determinada por completo dando las im´ agenes de dos puntos. 15) Sup´ onganse conocidas las im´ agenes P 0 y Q0 de dos puntos P y Q por una involuci´ on σ de una recta r contenida en un plano. Si al menos uno de los dos puntos P y Q no es doble, util´ıcese el teorema I.4.5. para describir un m´etodo gr´ afico que permita el trazado de σ(X) cualquiera que sea X ∈ r. 16) Trazando el m´ınimo n´ umero de rectas, calc´ ulese el cuarto arm´ onico de una terna (a, b, c) de rectas distintas de un plano. I.4-43

Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva 17) Dense los pormenores de las demostraciones de los teorema I.4.7 y teorema I.4.8. 18) En un plano proyectivo, cierta biyecci´on τ : r → P ∗ entre los puntos de una recta r y el haz de rectas que pasan por un punto P tiene la propiedad de conservar razones dobles, es decir, (ABCD) = (τ (A)τ (B)τ (C)τ (D)) para cualesquiera A, B, C, D ∈ r con A 6= B 6= C 6= A 6= D. a) Si se conocen las rectas im´ agenes de tres puntos, descr´ıbase un m´etodo gr´ afico que permita el trazado de la recta imagen de cualquier otro punto de r. b) Rec´ıprocamente, dados los transformados de tres rectas distintas de P ∗ , obt´engase un procedimiento para el c´ alculo de la imagen de cualquier otra recta del haz. c) Si se pasa al af´ın con P fuera de la recta del infinito y esta distinta de r, la aplicaci´ on τ dejar´ıa de ser biyectiva pues se ha eliminado de su imagen la recta transformada del punto impropio de r . ¿C´ omo se trazar´ıa esta? d) Exam´ınese la situaci´ on cuando P est´a en el infinito. 19) Sean A, B, C y D cuatro puntos alineados de una recta proyectiva r tales que A 6= B 6= C 6= A 6= D. Pru´ebese que (ABCD) = λ si y solo si D − B = λ(C − B) en la recta af´ın r − {A} que tiene a A como punto del infinito 11. 20) Demu´estrese que un cuerpo K tiene caracter´ıstica 3 si y solo si cada permutaci´ on de cuatro puntos en cuaterna arm´ onica de un espacio proyectivo sobre K da lugar a nuevas cuaternas arm´ onicas.

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En un espacio af´ın, se define la raz´ on simple (BCD)=λ de tres puntos alineados B , C y D, con B6=C , precisamente de esta forma, es decir, como el escalar λ tal que D−B=λ(C−B).

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