IA TRANSFORMADA DE IAPLACE 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Definición de la transformada de Laplace Transformada inversa Teoremas de traslación y derivadas de una transformada Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones Funchh delta de Dirac Sistemas de ecuaciones lineales Ejercicios de repaso

En el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de una masa y resorte o de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial

+p$+kX=f(t)

0 sea

L ~+Rdt+Cq=-W) d2q dq 1

es una función forzada, y puede representar a una fuerza externa f(t) o a un voltaje aplicado E(t). En la sección 5.1 resolvimos problemas en que las funcionesfy E eran continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas por tramos; por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser uno de los que se muestran en la figura 7.1. Es difícil, pero no imposible, resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso. La transformada de Laplace que estudiaremos en este capítulo es una valiosa herramienta para resolver problemas como el anterior.

I

296

CAPíTULO

7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE

FIGURA 7.1

DEFINICIÓN DE IA TRANSFORMADA DE IAPLACE HPropiedad de linealidad n Transformada integral WDejinición de la transformación de Laplace n Funciones continuas por tramos n Funciones de orden exponencial n Existencia de la transformada de Laplace w Transformadas de algunas funciones básicas

Propiedad de linealidad En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y la integración transforman una función en otra función; por ejemplo, la función f(x) = 2 se transforma, respectivamente, en una función lineal, una familia de funciones polinomiales cúbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida: bXL~~

ak

’

I

2+ x2 dx = 3

c,

3 2 dx = 9 .

I0

Además, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes (Y y p,

siempre y cuando exista cada derivada e integral. Sif(x, y) es una función de dos variables, una integral definida defcon respecto a una de las variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante, j,’ 2$ & = 3~‘. De igual forma, una integral definida como j: K (s, r) f(t) transforma una funciónf(t) en una función de la variables. Nos interesan mucho las transformadas integrales de este último tipo, cuando el intervalo de integración es [0, -) no acotado.

.

Sección

7.1

Definición de la transfarmada de Laplace

297

Definición básica Sif(t) estit definida cuando t 2 0, la integral impropia j: K (s, t)f(t) dt se define como un límite: m K(s, t)f(t) dt =

0

Si existe el límite, se dice que la integral existe 0 que es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el límite anterior existe ~610 para ciertos valores de la variable s. La sustitución K(s, t) = e”’ proporciona una transformación integral muy importante.

Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es una función de s. En la descripción general emplearemos letras minúsculas para representar la función que se va a transformar y la mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace; por ejemplo, su-co>= F(s),

3 kW> = G(s),

wJw>= Y(s).

Aplicación de la definición 7.1

EvalúeY{l). SOLUCIÓN

Ce(l) = 1: e-$‘( 1) dt = Et 10 eeS’ dt b = límy b-m

S

0

= lh -e-Sb + b-m

s

1

= 1 s

siempre que s > 0; en otras palabras, cuando s > 0, el exponente -sb es negativo, y e-sb + 0 cuando b + m. Cuando s < 0, la integral es divergente.

n

El empleo del signo de límite se vuelve tedioso, así que adoptaremos la notación ITj’ como versión t~quigrhfica de límb + _ ( )$; por ejemplo, (e(l) = 1: e-Sr& = $f m = i, s > 0. 0

Se sobreentiende que en el límite superior queremos decir que e”’ + 0 cuando t + 00 y cuando s > 0.

2%

CAPíTULO

7 LA TRANSFORMADA DE LAPlACE

2 es una transformación lineal Rara una suma de funciones se puede escribir 11 eesf[af(t) + &(t)] dt = a /i e-“‘f(t) dt + B 1: e-“g(t) dt siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente, x{~f@)) + PgWl = ~~Cf(O> + W{g(t>l = cyF(s) + W(s). Se dice que Ce es una transformada lineal debido a la propiedad senalada

(3)

en (3).

Condiciones suficientes para la existencia de zv(t)} No es necesa.+ que converja la integral que define ala transformada de Laplace; por ejemplo, ni Ce{ llt} ni Cee’ }existen. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de 3 (f(t)} son que f sea continua por tramos en [0, -), y quef sea de orden exponencial cuando t > T. Recuerdese que una función es continua por tramos en [0, -) si, en cualquier intervalo 0 L a 5 t L b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk, k = 1,2, . . . , n (tk-r < tk) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto tk-1 < t < tk. (Fig. 7.2). A continuación definiremos el concepto de orden exponencial.

FIGURA 7.2

Si f es una función creciente, la condición 1f(t)1 I Me”, t > T tan sólo expresa que la gráfica de f en el intervalo (T, -) no crece con más rapidez que la gráfica de la función exponencial Mect, donde c es una constante positiva (Fig. 7.3). Las funciones f(t) = t, f(t) = eer y f(t) = 2 cos t son de orden exponencial c = 1, para t > 0 porque, respectivamente, (2 cos tl 5 2e’.

le-‘] 5 e’,

MeC’ (c > 0)

f(t)

k f(t)

T

FIGURA 7.3

t

Sección 7.1

Definición de la transformada de Laplace

299

En la figura 7.4 se comparan la? gráficas en el intervalo [0, -). Una función comof(t) = et no es de orden exponencial porque, como vemos en la figura 7.5, su gráfica crece más rápido que cualquier potencia lineal positiva de e en t > c > 0. Una potencia entera positiva de t siempre es de orden exponencial porque, cuando c > 0, It”l5 Me” o sea

$ 5 M cuando t> T

/ /

equivale a demostrar que límt + oo t”/eC’ es finito para n = 1, 2, 3, . . . El resultado se obtiene con n aplicaciones de la regla de L’Hôpital.

Ca)

fW

4e’

t

(b)

FIGURA 7.4

FIGURA 7.5

300

CAPíTULO

7 IA TRANSFORMADA DE LAPIACE

DEMOSTRACIÓN

Ce{f(t)} = /iewsif(t) dt + 1; e-“f(t) dt = Il + Z2.

La integral Zr existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que e-‘y(t) es continua. Ahora 1121 5 1; Ie-“f(t)1 dt 5 M\r eTs’ec’dt ,-(x-c)t =M\:e -(s-c)1 dt = -MS

-

C

e-(~-c)T CMT S - C

cuando s > c. Como 1; Me-(s-c)tdt converge, la integral jw Ie-‘tf(t)ldt converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. E~&I, a su vez, implica que IZ existe para n s > c. La existencia de 11 e 12 implica que Y{ f(t)} = fc e-$tf(t) dt existe cuando s > c. En todo el capítulo nos ocuparemos solo de las funciones que son, a la vez, continuas por tramos y de orden exponencial; sin embargo, debemos notar que esas condiciones son suficientes, pero no necesarias, para la existencia de una transformada de Laplace. Ahora, la función f(t) = i’” no es continua por tramos en el intervalo [0, -), pero sí existe su transformada de Laplace. Véase el problema 40 de los ejercicios 7.1. Aplicación de la definición 7.1

Evalúe T(t). SOLUCIÓN

De acuerdo con la definición 7.1, Ce { t} = j: e-“t dt. Al integrar por partes y con lím te”’ = 0, s > 0 y el resultado del ejemplo 1, llegamos a t+-

1-. =-

n

S2’

Aplicación de la definición 7.1

Evalúe Ce { ee3’}. SOLUCIÓN

De acuerdo con esa definición, CJ{e-jf} = 1: e-sre- dt =

m @+3)’

f0

dt

Sección 7.1

-e-(s+3)t

Definición de la transformada de Laplace

301

m

=-

s+3 1 =s+3’

o s>-3.

El resultado se desprende del hecho de que Iím, -t _ CT-@+~)~

= 0 para s + 3 > 0 o bien s > -3.

n

Aplicación de la definición 7.1

Evalúe (e{sen 2t). SOLUCIÓN

De acuerdo con la definición 7.1 e integrando por partes, tenemos Ce(sen2f) = 1: e-“’ sen2t dt = -e-Sy 2t =-2 m emSr cos 2t dt, s I0

-

2 + ; å e+ cos 2t dt I0 1

s>0 Transformada de Laplace de sen 2t

lím e-” cos 2t = 0, s > 0

= $ - s (e(sen2t).

Hemos llegado a una ecuación con X{sen 2t) en ambos lados del signo igual. Despejamos esa cantidad y llegamos al resultado Z{sen2t} = -&,

s > 0.

Empleo de la linealidad

Evalúe Z{3t - 5 sen 2t). SOLUCIÓN

De acuerdo con los ejemplos 2 y 4, y la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, podemos escribir Se(3t - 5 senlt} = 3X{t} - 5S{sen2t} = 3+5.-& -7s*+ 1 2 s>. = s2(s2 + 4) ’ -

n

302

CAPíTULO

7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Aplicación de la definición 7.1

Evalúe SOLUCIÓN

a) ~{te-2’}

b) ~{~e-2’}

a) Según la definición 7.1, e integrando por partes,

2.Z{te-2} = 1: e-“‘(teT2) dt = [f te++*)’ dt

OD -te-(s+2)' 1 e-(s+*)r dt =- / +Im s+2 o s+2 0 0) -,-(st2)r SB-2

=(s +

2)2

o’

1 =-

(s + 2y

s> -2.

b) De nuevo, integrando por partes llegamos al resultado m

y{t2e-2'} = -Rif+*)'

s+2

I

o

+ & ; &-(st*)'& 1

= & f 0 e-sr(te-2) dt, s > -2 + según la parte a)

Transformada de una función definida por tramos

0 , Oste3 Evalúe Lf{f(t)} cuandof(t) = 2 t 1 3 > En la figura 7.6 se ilustra esta función continua por tramos. Puesto quefesth definida en dos partes, expresamos Ce{ f(t)} como la suma de dos integrales:

SOUJCIÓN

Y L 2

3

FIGURA 7.6

t

Sección

7.1

Definición de la transformada de Laplace

303

~{f(t)) = 1; e+f(t) dt = 10 e-"'(O) dt + 1: P(2) dt = -2ems1- m s

2e+ =s ’

n

3

s > 0.

Presentaremos la generalización de algunos de los ejemplos anteriores en forma del teorema siguiente. De aquí en adelante no citaremos las restricciones en s; se sobreentiende que s tiene las restricciones suficientes para garantizar la convergencia de la transformada de Laplace correspondiente.

La parte b) del teorema anterior se puede justificar como sigue: al integrar por partes se obtiene

0 sea

W”~ = f w-9,

n = 1,2,3,. . . .

Pero S{ 1) = lh, así que, por iteración, X(t) = ${l} = $,

ce{P}

= ; Y(f) = $,

ce(P) = $3?{l’} = 2.$ = z!,

Aunque para una demostración rigurosa se requiere la inducción matemática, de los resultados anteriores parece razonable concluir que, en general

Dejamos al lector la demostración de las partes f) y g) del teorema 7.2. Vhnse los problemas 33 y 34, en los ejercicios 7.1.

304

CAPíTULO

7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Identidad

trigonométrica

y

linealidad

Evalúe 3 { sen2t}. SOLUCIÓN

Con ayuda de una identidad trigonomkica, de la linealidad y de las partes a) y e) del teorema 7.2, llegamos a S{sent)=Y{1-~2t}=~9(lj-~S(COS2t] =L.l---.1 s

2 s 2 s2+4 = ,*.2 .\. S(S” + 4)

n

En los problemas 1 a 18 aplique la definición 7.1 para determinar 3 {f(t)}.

1. f(t) = { -1, 05t, entonces ft = f2 en dicho intervalo. Aplicación del teorema 7.3

Evalúe Ce-’ f . {} SOWClbN Para coincidir con la forma que aparece en la parte b) del teorema 7.3, vemos que n = 4, y después multiplicamos y dividimos entre 4!. En consecuencia,

I n

Aplicación del teorema 7.3

Evalúe Ce-’ & I 1 SOLUCIÓN Como R2 = 64, arreglamos la expresión multipli&dola entre 8. Segun la parte d) del teorema 7.3, 2-‘{&}=+P

{&}=$sengt.

y dividiéndola

n

Sección 7.2 Transfarmada

División tirmino

SOLUCIÓN

a tirmino

inversa 307

y linealidad

La función dada de s se puede expresar en dos partes, con un común

denominador: 3s + 5 3s 5 s2+7 =s2+s++77. De acuerdo con la propiedad de linealidad de la transformada inversa y las partes e) y d) del teorema 7.3, tenemos que r{~}=3P{&}++P{-&} =3cosxh+~ sen VS.

Fracciones parciales

Las fracciones parciales desempefhn un papel importante para determinar las transformadas inversas de Laplace. Como dijimos en la sección 2.1, esta descomposición en fracciones se puede efectuar con rapidez ~610 con un comando en algunos sistemas algebraicos computacionales. En realidad, algunos paquetes cuentan con dotados con comandos para la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace. Para los lectores que no tienen acceso a estos programas, en los tres ejemplos siguientes repasaremos las operaciones algebraicas básicas para los tres casos de descomposición en fracciones parciales; por ejemplo, los denominadores de

contienen, respectivamente, factores lineales distintos, factores lineales repetidos y una expresión cuadrkica sin factores reales. Consúltese la descripción mas completa de esta teoría en un libro de chlculo infinitesimal. Fracciones parciales y linealidad

Eva1úe se-1 SOLUCIÓN

I

1 (s - l)(s + 2)(s + 4) 1 * Existen constantes A, B y C únicas, tales que

A B C s - +l s+2+s+4 (s - l)(s : 2)(s + 4) = = A(s + 2)(s + 4) + B(s - l)(s + 4) + C(s - l)(s + 2) (s - l)(s + 2)(s + 4) Dado que los denominadores son idénticos, los numeradores deben ser idénticos: 1 = A(s + 2)(s + 4) + B(s - l)(s + 4) + C(s - l)(s + 2).

308

CAPíTULO

7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Comparamos los coeficientes de las potencias des en ambos lados de la igualdad y tenemos que esta ecuación equivale a un sistema de tres ecuaciones con las tres incógnitas A, B y C, sin embargo, debemos recordar el método siguiente para determinarlas. Si hacemos s = 1, s = -2 y s = -4, que son los ceros del común denominador (s - I)(s + 2)(s + 4), obtenemos, a su vez, 1 = A(3)(5),

1 = B(-3)(2),

1 = C(-5)(-2)

oseaqueA=$,B= - f y C = h; por consiguiente, podremos escribir 1/15 - ll6 + l/lO(s - l)(s : 2)(s + 4) = s - -l s+2 s+4 y así, según la parte c) del teorema 7.3, (s - l)(s : 2)(s + 4)

ce-1

}=&P{-&}-g!-l{--&}++?‘{&} =l,r&*r+ 1 - 4

15

6

\

n

iöe*

Fracciones parciales y linealidad

Evalúe Y-’ \

s+l s2(s +2)3 1 * 1

SOLUCIÓN

Suponemos que s+l A B -C E Ds2(s + 2)3 = s + 2 + s + 2 + (s + 2>* + (s + 2)3

, de modo que

s + 1 = As@ + 2)3 + B(s + 2)3 + Cs*(s + 2)* + Ds*(s + 2) + Es*. Cons=Oys =-2seobtienenB=$yE=-f, de s4, s3 y s llegamos a O=A+C,

respectivamente.

0 = 6A + B + 4C + D,

Igualamos

los

coeficientes

1 = 8A + 12B,

de donde se sigue que A = - A, C = i y D = 0; por consiguiente, de acuerdo con las partes a), b) y c) del teorema 7.3, ~-l{~~}=~-l{-~+~+~-~}

=-~~-l{~}+~~-l{~}+~~-l{~}-~~-l{~}

1 = -iL+it+-e-“+2e-2f. 16

En lo anterior también aplicamos Y-’ { 2/(s + 2)3} = t 2e-2’ del ejemplo 6, sección 7.1.

n

Sección 7.2 Transformada inversa 309

Fracciones parciales y linealidad

Evalúe Ce-’ SOLUCIÓN

Suponemos que

I

3s - 2 =A+B+C+Ds+E s3(s2 + 4) s s2 s3 s2 + 4 de modo que 3s - 2 = AsZ(s2 + 4) + Bs(s2 + 4) + C(s’ + 4) + (Ds + E)s3. Con s = 0 se obtiene de inmediato C = - i. Ahora bien, los coeficientes de s4, s3, s2 y s son, respectivamente, O=A+D,

O=B+E,

0 = 4A + C,

3 = 4B,

de donde obtenemos B = $ E = - f, A = $ y D = - i; así pues de acuerdo con las partes a), b), e) y d) del teorema 7.3,

Según sefíala el teorema siguiente, no toda función arbitraria de s es una transformada de Laplace de una función continua por tramos de orden exponencial.

DEMOSTRACIÓN Dado quef(t) es continua parte por parte en 0 I t I T, necesariamente es acotada en el intervalo; o sea, [f(t) 1I Mt I Mt eot. También, 1f(f) 1I MzeV cuando t > T. Si Mrepresenta el máximo de {MI, M2) y c indica el máximo de { 0, y}, entonces

1Z{f(t)}l 5 1: e-“‘/f(t)1 dt 5 M 10 e+. e”‘dt = -iVE m = & 0

para s > c. Cuando s + 00, se tiene que IZ(f(r)}) + 0, de modo que X( f(t)} + 0.

3 10

CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

De acuerdo con el teorema 7.4 podemos decir que F,(s) = 1 y Fo = S/(S + 1) no son transformadas de Laplace de funciones continuas por tramos de orden exponencial en virtud de que F](s) + 0 y Fo f, 0 cuando s + 00. El lector no debe sacar como conclusión, por ejemplo, que no existe Ce-’ {F,(s)}. Hay otros tipos de funciones.

I

Esta observación va dirigida a quienes se les pidan descomposiciones en fracciones parciales a mano. Hay otra forma de determinar los coeficientes en esas descomposiciones, en el caso especial cuando Y{f(t)} = P(S)@(S), donde P y Q son polinomios, y Q es un producto de factores distintos: P(s) F(s) = (s - r,)(s - ~-2) . (s - r,,)’ Veamos un ejemplo específico. De acuerdo con la teoría de las fracciones parciales, sabemos que existen constantes A, B y C únicas tales que

s2+4s- 1 A B C (s - l)(S - 2)(S + 3) = s-l + s-2 + s+3’

(1)

Supongamos que multiplicamos ambos lados de esta ecuación por, digamos, s - 1, simplificamos e igualamos s = 1. Como los coeficientes de B y c son cero, obtenemos

s2 + 4s - 1 (~-2)(~+3)

s=, =A

0 sea

A=-1.

Expresado de otro modo,

2 + 4s - 1 =A, (s - 1) (s - 2)(S + 3) s-l en donde hemos sombreado, o cubierto, el factor que se anuló cuando el lado izquierdo de (1) fue multiplicado por s - 1. No evaluamos este factor cubierto en s = 1. Para obtener B y C, tan sólo evaluamos el lado iz uierdo de (1) cubriendo, en Su turno, a s - 2 y a s + 3: 7

s2 + 4s - 1 = (s - 1) (8 - 2) (S + 3) s=2

B

s2 + 4s - 1 = (s - l)(s - 2) (S f 3) s--3

C

osea B=fi

5

osea C=-i.

Obsérvese con cuidado que en el cálculo de c evaluamos en s = -3. Si reconstruye los detalles de la llegada a esta última expresión, el lector descubrirá por qué es así. También debe comprobar con otros métodos que

s2 + 4s - 1 LL+ 1115 -ll5 (s - l)(s - 2)(s + 3) s - l s-2+s+3. Este m&odo de cubierta es una versión simplificada de algo que se conoce como teorema de desarrollo de Heaviside.

Sección 7.2 Transfarmada inversa 311

Aplique el problema 7.3, en los problemas 1 a 34, para determinar la transformada inversa que se pide.

312

CAPíTULO

7 LA TRANSFORMADA DE IAPLACE

Problema para discusión

35. Forme dos funciones, f y g, que tengan la misma transformada de Laplace. complicaciones.

No busque

TEOREMAS DE TRASLACIÓN Y DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA n

Primer teorema de traslación n Forma inversa del primer teorema de traslación W Función escalón unitario W Funciones expresadas en términos defunciones escalón unitario w Segundo teorema de traslación w Transformada de una función escalón unitario N Forma inversa del segundo teorema de traslación n Derivadas de una transformada

No conviene aplicar la definición 7.1 cada vez que se desea hallar la transformada de Laplace de una función f(t); por ejemplo, la integración por partes que se usa para evaluar, digamos Z{e’$ sen 3t) es imponente, y el calificativo es modesto. En la descripción siguiente presentaremos varios teoremas que ahorran trabajo, sin necesidad de recurrir a la definición de la transformada de Laplace. En realidad, es relativamente fácil evaluar transformadas como Ce{e4’ cos 6t}, Ce{? sen 2t) y Z{t”e”}, siempre y cuando conozcamos Ce{cos 6t}, Z{sen 2t) y Y{t”}, respectivamente. Si bien se pueden formar tablas extensas (y en el apendice III aparece una tabla) se aconseja conocer las transformadas de Laplace de las funciones básicas como t”, ea’, sen kt, cos kt, senh kt y cosh kt. Si conocemos (ev(t)} = F(s), podemos hallar la transformada de Laplace Z{e”‘j’(t) sin más que trasladar, o desplazar, F(s) a F(s - u). Este resultado se llama primer teorema de traslación.

DEMOSTRACIÓN

La demostración es inmediata porque, según la definición 7.1, %e”tf(r)) = 10 e-s’e”rf(t) dt = 10 e-(s-a)lf(t) dt = F(s - a).

n

Si s es una variable real, la grafica de F(s - u) es la gráfica de F(s) desplazada Ial unidades sobre el eje s. Si u > 0, el desplazamiento de F(s) es u unidades hacia la derecha, mientras que si u < 0, es hacia la izquierda (Fig. 7. Il). A veces es útil, para enfatizar, emplear el simbolismo ~{e"ff(t)> = ~{f(O>s--ts-a,

en donde s + s - u indica que reemplazamos s en F(s) con s - u.

Sección

7.3

Teoremas de traslación y derivadas de una tmnsformada

313

F

t

yq...-& s=a,a >O

desplazamiento en el ejes FIGURA 7.11

’ 0 m

Evalúe

Primer teorema de traslación ‘~1 a) Ce{ e5’?}

SOLUCIÓN

b) Ce { ee2’ cos 4t).

Los resultados son consecuencia del teorema 7.5.

(a) (e{e5’t3} = Ce{t3}s_,s-5 = 5 (b) (e{e-*’ cos 4t) = ~{COS 4f}s+s+2

ta=-2sos-a=s-(-2)=s+2

s+2 s ==(s+2)*+ 16’ S2 + l6 s-w+2

Forma inversa del primer teorema de traslación

Sif(t) = (e-‘(F(S)},

la forma

inversa del teorema 7.5 es Ce-’ {F(s - a)} = 2-’ {F(s)l,,,} = eay(

(1)

Completar el cuadrado para determinar 2-l -1

EvalúeY~‘{~2+~+ll}. Si s2 + 6s + ll tuviera factores reales, emplearíamos fracciones parciales; pero como este término cuadrático no se factoriza, completamos su cuadrado.

SOLUCIÓN

(e-1{s2+~+,,}=Z-1{(~+~)2+2}

+-completarelcuadrado + sumar cero en el numerador

I

= ce-l (s +” g+ 2

- (s + i)2 + 1 2

=Y-1{(s~&3+2}-331{(s+:)2+2}

t división término a término -1inealidaddeZ’

314

CAPíTULO

7 LA TRANSFORMADA DE IAPLACE

=~-l{~li-ii)}-~~-‘{~l~~~+,j

t de acuerdo con (1) y el teorema 1.3

= em3’ cos tit - -& ev31 sen VS.

Completar el cuadrado y linealidad

Evahíe T’

1 ~ (s - 1)3

Completamos el cuadrado en el segundo denominador y aplicamos la lineaSOLUCIÓN lidad como sigue:

= Jj e’t* + f e-’ senh 3t.

Función escalón unitario En ingeniería se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden estar “encendidas” o “apagadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar después de cierto tiempo. Por ello, conviene definir una función especial, llamada función escalón unitario.

Obsérvese que definimos a %(t - a) sólo en la parte no negativa del eje t porque es todo lo que interesa al estudiar la transformada de Laplace. En sentido más amplio, õu(t - a) = 0 cuando t < a. Gráficas de funciones escalán unitario

Grafique

a) Q(t)

b) ‘%(t - 2)

SOLUCIÓN

a)%t)=L, t20 b) %(t - 2 ) = 1

Las gráficas respectivas están en la figura 7.12.

0 , 05t> = Ji Pf(t) dt + \F e-slf(t) dt.

330

CAPíTULO

7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Escribiendo t = u + T, la última de las integrales de (9) se transforma en m T Pt(t) dt = m e -s(u+T)f(~ + T) du = PT \o Puf(u) du = e-“‘LE{f(t)}. I I0 Por consiguiente, la ecuación (10) es Ce{ Al despejar Z{

f(t)}

f(t)}

= 1: e-“‘f(t) dt + e-‘*3{ f(t)}. n

se llega al resultado de la ecuación (9).

Transformada de laplace de una función periódica Determine la transformada de Laplace

de la función periódica que muestra la figura 7.29.

FIGURA 7.29

SOLUCIÓN

La función se puede definir en el intervalo 0 5 t c 2 como sigue:

y fuera del intervalo mediante integración por partes:

f(t

f(t) = {; > + 2) =

f(t),

Con T = 2 aplicamos la ecuacibn

(9) y la

y(f & Ji e-“‘f(t) dt = & [[ie-“rdt + /fe?ldt]

- (s -!- l)e-8 = 1,Z(i - e-“) -

1

(11)

El resultado en la ecuación (ll) del ejemplo anterior se puede obtener sin necesidad de integrar, aplicando el segundo teorema de traslación. Si definimos

t , O=t’ funciones periódicas

1.

331

= $-#{t - t%(t - 1))

t según (8), sección 7.3

Al examinar la expresión dentro de los paréntesis rectangulares vemos que es idéntica a (ll).

1 . Aplique el resultado (d/dt)e’ = et y la ecuación (1) de esy sección para evaluar Ce { e’} . 2. Aplique el resultado (CV&) cos’t = - sen 2t y la ecuacih (1) de esta sección para evaluar ce{cos2t}. En los problemas 3 y 4 suponga que una función y(t) cuenta con las propiedades y(O) = 1 y y’(O) = - 1. Determine la transformada de Laplace de las expresiones siguientes. 3. y” + 3y’

4. y” - 4y’ + sy

En los problemas 5 y 6 suponga que una función y (t) tiene las propiedades y (0) = 2 y y’(O) = 3. Despeje la transformada de Laplace Yb(t)} = Y(S). 5. y” - 2y’+y=0

6.y”+y=

1

En los problemas 7 a 20 evalúe la transformada de Laplace en cada uno, sin evaluar la integral.

12. Y 1; senTcos(t - T) dr 13. Y.{t[:skn~d~}

1 4 . 2 {t,;wd,}

15. ce{1 * P}

16. (e{l * e-*l}

17. (e{P * t4)

18. Z{t2 * te’}

19. %{eef * el cos t}

20. L!?{e2’ * sen t}

En los problemas 21 y 22 suponga que T’ {F(s)} =f(r). Determine la transformada inversa de Laplace de cada función. 21. 5 F(s)

22. & J’(s)

332

CAPíTULO

7 L4 TRANSFORMADA DE LAPLACE

En los problemas 23 a 28 use las ecuaciones (4) o (7) para calcularf(t).

29. Demuestre la propiedad conmutativa de la integral de convolución

f*g=g*f: 30. Demuestre la propiedad distributiva de la integral de convolución

f*(g+h)=f*g+f*h. En los problemas 3 1 a 38 aplique el teorema 7.10 para hallar la transformada de Laplace de la función periódica respectiva 31.

32.

fW 1

f(í)

-1

7 I I

I-

a I 2a 13a 14a I I II

1

7 I I

t

a

2a

3a

l4a

t

t

onda cuadrada

+-función meandro FIGURA 7.30

FIGURA 7.3 1

34.

fOI

k 1

1

función diente de sierra

3

4

t

onda triangular

FIGURA 7.32

35.

2

FIGURA 7.33

36. f"'j

rectificación de onda completa de sen t FIGURA 7.34

rectificación de media onda de sen t FIGURA 7.35

Sección 7.5 Aplicaciones

37.f(t)

= sen t

fo +

274

38.f@)

= cos t

fe +

= f-w

333

279

=m

Problemas para discusión

39. Explique la ecuación I * %(t - u) = i (I - a)’ %(t - a). 40. En la ecuación (7) vimos que el resultado Ce{j&r) dr} = F(s)/s, cuando F(s) = (e{ f(f)}, es consecuencia del teorema de la convolución cuando g(f) = 1. Aplique las definiciones y teoremas en este capítulo para hallar dos maneras más de llegar al mismo resultado.

APLICACIONES n Uso de la transformada de Laplace para resolver un problema de valor inicial W Ecuación integral de Volterra n Ecuación integrodgerencial W Uso de la transformada de Laplace para resolver un problema de valor en la frontera

Como Ce { y(“)(r)}, n > 1, depende de y(r) y de sus n - 1 derivadas, evaluadas en t = 0, la transformada de Laplace es lo ideal en problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Este tipo de ecuación diferencial se puede reducir a una ecuación algebraica en la función transformada, Y(s). Para comprenderlo, veamos el problema de valor inicial

Y(O) = YO,

y ’ ( O ) =y1> . .) y(qO)

=y,-1,

endondeai,i=O, l,..., nyyo,yl,. .., y,-l son constantes. De acuerdo con la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace podemos escribir

Según el teorema 7.8, la ecuación (1) equivale a a,[s”Y(s)

- s”-‘y(O)

+ u,-@‘-~Y(~)

- - * * - y’“-“(O)]

- s”-*y(O)

- - . . - y(“-*j(O)] + . - - + aoY(s) = G(s)

0 sea [uns” + u,-ls”-’ + - - * + ao]Y(s) = u,[s”-lyo + * - *+ ynq] + un-@-*yo

+ - . . + yn- + - . - + G(s),

(2)

en donde Y(S) = (e{y(r)} y G(s) = e{g(t)}. Despejamos Y(s) de (2) y llegamos a y(t) determinando la transformada inversa y(f) = ce-’ {Y(s)}.

334

CAPíTULO 7 LA TRANSFORhtADA

DE LAPLACE

FIGURA 7.36

El procedimiento se describe en la figura 7.36. Obsérvese que este método incorpora las condiciones iniciales dadas directamente en la solución; en consecuencia, no hay necesidad de las operaciones separadas para hallar las constantes en la solución general de la ecuacion diferencial. Ecuacih diferencial transformada en ecuación algebraica ‘-1 Resuelva Ti& dt -3y=e”,y(O)=l. SOLUCIÓN

Primero sacamos la transformada de ca& lado de la ecuación diferencial

dada: ce s - 3Y{y} = ze{e2’}. Il

A continuación desarrollamos Ee{ u”M} = sY - y (0) = sY - 1, y Ce { e”} = l/(s - 2). Entonces sY - 1 - 3Y(S) = -J-

s-2

despejamos Y(S) y descomponemos en fracciones parciales: 2 Y(s) = (s $$3) = - + s-2 s-3’

así que

1 ly(t) = -ce-* p2j+21f { s - 3} -

De acuerdo con la parte c) del teorema 7.3, y(t) = -e2’ + 2e3’.

Sección

7.5 Aplicaciones

Un problema de valor inicial

Resuelva y” - 6y’ + 9y = t 2e3y, y(O) = 2, y’(O) = 6. SOLUCIÓN

Ce - 6%{y’} f 9(e{y} = ifY{tze3’} s’Y(s) - sy(0) -y’(O) - ó[sY(s) -y(O)] + 9Y(s) = &.

Aplicamos las condiciones iniciales y simplificamos: (s2 - 6s + 9)Y(s) = 2s - 6 + Tsz;jjs (s - 3)2Y(S) = 2(S - 3) + & Y(s) = -2. + -

s - 3

Así,

(s-3)5’

y(t) = 22-1 ~s~3]+$&]. -

De acuerdo con el primer teorema de traslación,

2-1 $ {I 1 = t4e3* . s-M-3

Por consiguiente, llegamos a

y(t) = 2e3’ f I 12 &3’,

Apkacibn del primer teorema de traslacih

Resuelva y” + 4y’ + 6y = 1 + LI-~, y(O) = 0, y’(O) = 0. SOLUCIÓN

Z’{y”} + 4 (e{y’} + 6

(e(y) = Z{l} + Cee-‘}

s”Y(s) - sy(0) - y’(O) + 4[sY(s) - y(O)] + 6Y(s) = 3 + --& 2s f 1 (s* + 4s + 6)Y(s) = -

s(s + 1)

2s -l- 1 Y(s) = s(s -+ 1)(s2 + 4s + 6)’

La descomposicih de Y(s) en fracciones parciales es

335

336

CAPíTULO

7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Dispondremos lo necesario para sacar la transformada inversa; para ello arreglamos como sigue a Y(s): (-1/2)(s + 2) - 2/3 (s + 2)2 + 2 2 1 ll6 1/3 1 s+2 z-+-vS s + l 2(s+2)*+2-3(s+2)2+2’

Y(s) = F + $ +

Por ultimo, de acuerdo con las partes a) y c) del teorema 7.3 y el primer teorema de traslación, llegamos a

y(t)=g?l {‘} ; +jcel 1{&}-;~-1{(sI$2+2}-&+(s+$+2} =~+;e-‘-;~-21

cos

tit

- 2 e-2t sen VS. 3

n

Aplicación de los teoremas 7.3 y 7.7

Resuelva x” + 16~ = cos 4t, x(O) = 0, x’(O) = 1. SOLUCIÓN Recuérdese que este problema de valor inicial podría describir el movimiento forzado, no amortiguado y resonante de una masa en un resorte. La masa comienza con una velocidad inicial de 1 ft/s, en dirección hacia abajo, desde la posición de equilibrio. Transformamos la ecuación y obtenemos

(9 + 16)X(s) = 1 + -& S X(s) = -J-s2+16+(s2+16)*’

Con ayuda de la parte d) del teorema 7.3, y de acuerdo con el teorema 7.7,

= Isen4t + 1 t sen4t. 4 8

Empleo de una función escalón unitario

Resuelva x” + 16~ =f(t), x(O) = 0, x’(O) = 1, en donde SOLUCIÓN

cos4t,

f(t) = {()

9

Ost