II

III

Agradecimientos

Quiero dar las gracias a mis padres: Lina y Hugo por el enorme esfuerzo y sacrificio que hicieron para darme la oportunidad de estudiar y por la confianza que me han tenido siempre. Doy gracias también a mi familia, que de una u otra manera contribuyeron y ayudaron en mi formación y en especial a mis tíos Feli y Silvia por su apoyo y ayuda. Le agradezco a don Roberto Cárdenas por darme la oportunidad de realizar mi tesis con él y por la ayuda brindada durante este trabajo. También agradezco a los profesores don Milton Lemarie y don Claudio Bastidas. Finalmente, a todos aquellos que han hecho posible que este proceso haya tenido tan satisfactorio término.

IV

Dedicatoria

A mis padres Lina y Hugo.

V

Índice

Resumen .............................................................................................................................................. 1 Summary ............................................................................................................................................. 2 Introducción ........................................................................................................................................ 3 Objetivo General ............................................................................................................................. 7 Objetivos Específicos ..................................................................................................................... 7 Metodología ........................................................................................................................................ 8 1.

Conceptos y principios básicos del mantenimiento..................................................................... 9 1.1.

2.

3.

Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos ................................................................. 9

1.1.1.

Curva de Bañera o de Davies ...................................................................................... 9

1.1.2.

Curvas de Fallos actuales .......................................................................................... 11

1.2.

Confiabilidad ..................................................................................................................... 13

1.3.

Mantenibilidad .................................................................................................................. 15

1.4.

Disponibilidad ................................................................................................................... 16

Caracterización del potencial eólico.......................................................................................... 17 2.1.

Potencia contenida en el viento y potencia aprovechable ................................................ 18

2.2.

Curva de potencia de los aerogeneradores ........................................................................ 20

2.3.

Cálculo de potencia generada ........................................................................................... 21

Variables aleatorias continuas ................................................................................................... 22 3.1.

Variable aleatoria .............................................................................................................. 22

3.2.

Función densidad de probabilidad ..................................................................................... 23

3.3.

Función de distribución acumulada ................................................................................... 24

3.4.

Función de Confiabilidad o distribución acumulada complementaria .............................. 25

3.5.

Función de riesgo .............................................................................................................. 26

3.6.

Distribuciones de probabilidad continuas ......................................................................... 27

3.6.1.

Distribución Normal .................................................................................................. 28

3.6.2.

Distribución Log-Normal .......................................................................................... 31

3.6.3.

Distribución de Gamma............................................................................................. 33

3.6.4.

Distribución Rayleigh................................................................................................ 35

3.6.5.

Distribución Exponencial .......................................................................................... 36

3.6.6.

Distribución de Weibull ............................................................................................ 39

VI 4.

5.

Métodos de estimación de parámetros ...................................................................................... 44 4.1.

Máxima verosimilitud ....................................................................................................... 44

4.2.

Mínimos Cuadrados .......................................................................................................... 46

4.3.

Pruebas de bondad de ajuste .............................................................................................. 50

4.3.1.

Test de Kolmogorov-Smirnov ................................................................................... 50

4.3.2.

Prueba Chi-Cuadrado ................................................................................................ 55

4.3.3.

Niveles de confianza ................................................................................................. 58

Desarrollo del programa ............................................................................................................ 60 5.1.

MATLAB .......................................................................................................................... 60

5.2.

Tratamiento de datos ......................................................................................................... 61

5.2.1. 5.3.

7.

Funcionamiento del programa ........................................................................................... 63

5.3.1.

Diagramas de flujo de cada interfaz .......................................................................... 63

5.3.2.

Diagramas de flujo discriminados de acuerdo a su función ...................................... 65

5.4.

6.

Nivel de significancia ................................................................................................ 62

Interfaz de usuario ............................................................................................................. 70

5.4.1.

Interfaz gráfica para análisis de fallas y confiabilidad .............................................. 71

5.4.2.

Interfaz para el análisis del potencial eólico.............................................................. 77

Resultados y Análisis ................................................................................................................ 81 6.1.

Pruebas de cálculo de parámetros ..................................................................................... 81

6.2.

Aplicaciones prácticas ....................................................................................................... 82

6.2.1.

Análisis de fallas y confiabilidad .............................................................................. 83

6.2.2.

Análisis de velocidades de viento y potencial eólico ................................................ 94

Conclusiones ........................................................................................................................... 112

Bibliografía...................................................................................................................................... 114 Anexo 1 ........................................................................................................................................... 118 Anexo 2 ........................................................................................................................................... 119 Anexo 3 ........................................................................................................................................... 120 Anexo 4 ........................................................................................................................................... 121 Anexo 5 ........................................................................................................................................... 141

VII

Índice de Figuras

Figura N°1. Curva de la Bañera. ....................................................................................................... 10 Figura N°2. Diferentes curvas de Fallos. .......................................................................................... 11 Figura N°3. Curvas que componen la Curva de Bañera. ................................................................... 12 Figura N°4. Soluciones posibles según tipo de Fallos. ..................................................................... 13 Figura N°5. Representación de los estados TBF y TTR. .................................................................. 14 Figura N°6. Valores de

para distintos tipos de aerogeneradores...................................................19

Figura N°7. Curva de potencia aerogenerador de 2000 kW................................................................20 Figura N°8. Función densidad de probabilidad ................................................................................. 23 Figura N°9. Función de distribución acumulada ............................................................................... 25 Figura N°10. Funciones de densidad y distribución de la distribución Normal. .............................. 29 Figura N°11. Función de riesgo de la distribución Normal............................................................... 30 Figura N°12. Funciones de densidad y distribucion de la distribucion Log-Normal. ...................... 32 Figura N°13. Función de riesgo de la distribución Log-Normal. ...................................................... 33 Figura N°14. Función de densidad y distribución para distintos valores de . ................................. 34 Figura N°15 Distribución de Rayleigh para distintos valores de σ. .................................................. 35 Figura N°16. Funciones de densidad y distribución Exponencial. .................................................... 37 Figura N°17. Función de riesgo de la distribución Exponencial. ...................................................... 38 Figura N°18. Distribución de Weibull para distintos valores de β. ................................................... 40 Figura N°19. Representación de la tasa de fallo para distintos valores de β. .................................... 41 Figura N°20. Diagrama de flujo del programa para el análisis de falla ............................................ 63 Figura N°21. Diagrama de flujo del programa para el análisis de velocidades del viento ................ 64 Figura N°22. Diagrama de flujo tipo de datos a analizar .................................................................. 65 Figura N°23. Diagrama de flujo de la carga de datos........................................................................ 65 Figura N°24. Diagrama de flujo Nivel de Significancia ................................................................... 66 Figura N°25. Diagrama de flujo Calcular parámetros ....................................................................... 66 Figura N°26. Diagrama de flujo Pruebas bondad de ajuste............................................................... 67 Figura N°27. Diagrama de flujo del cálculos posteriores análisis de fallas ...................................... 68 Figura N°28. Diagrama de flujo del Graficas análisis de fallas ........................................................ 68 Figura N°29. Diagrama de flujo del Cálculos análisis de viento ...................................................... 69 Figura N°30. Diagrama de flujo del Cálculo Potencia Aerogenerador ............................................. 69 Figura N°31. Diagrama de flujo del Gráficas análisis de viento ....................................................... 70 Figura N°32. Interfaz gráfica para el análisis de fallas y tiempos de vida ........................................ 71

VIII Figura N°33. Menú desplegable para el tipo de base de datos .......................................................... 72 Figura N°34. Botón “Abrir” .............................................................................................................. 72 Figura N°35. Sección Parámetros ..................................................................................................... 72 Figura N°36. Menú desplegable “Nivel de sensibilidad” .................................................................. 73 Figura N°37. Botón “Calcular Parámetros” ...................................................................................... 73 Figura N°38. Información mostrada al calcular parámetros ............................................................. 74 Figura N°39. Gráfica función de densidad de probabilidad calculada .............................................. 74 Figura N°40. Recuadro “Cálculos” Interfaz analisis de fallas .......................................................... 75 Figura N°41. Menú desplegable “Gráficas” ...................................................................................... 76 Figura N°42. Interfaz gráfica para el análisis de viento y potencial eólico ....................................... 77 Figura N°43. Recuadro “Cálculos” Interfaz análisis vientos ............................................................ 78 Figura N°44. Recuadro “Cálculo Potencia Aerogenerador” ............................................................. 79 Figura N°45. Recuadro “Gráficas” análisis de vientos ..................................................................... 80 Figura N°46. Parámetros tiempos entre fallas ejemplo 1 .................................................................. 83 Figura N°47. Parámetros tiempos de reparación ejemplo 1 .............................................................. 84 Figura N°48. Cálculo de confiabilidad usando la interfaz de usuario ............................................... 85 Figura N°49. Cálculo de confiabilidad usando la interfaz de usuario ............................................... 86 Figura N°50. Cálculo de confiabilidad usando la interfaz de usuario ............................................... 86 Figura N°51. Cálculo de confiabilidad usando la interfaz de usuario ............................................... 87 Figura N°52. Parámetros calculados sin considerar modos de fallas ................................................ 88 Figura N°53. Confiabilidad para esfuerzo de 500 mg. ...................................................................... 89 Figura N°54. Probabilidad de falla para esfuerzo de 500 mg. ........................................................... 89 Figura N°55. Parámetros calculados para modo de falla “A”. .......................................................... 90 Figura N°56. Confiabilidad para esfuerzo de 500 mg con modo de falla “A”. ................................. 91 Figura N°57. Probabilidad de falla para esfuerzo de 500 mg con modo de falla “A”. ..................... 91 Figura N°58. Parámetros calculados para el modo de falla “S”. ....................................................... 92 Figura N°59. Confiabilidad para esfuerzo de 500 mg con modo de falla “S”. ................................. 93 Figura N°60. Probabilidad de falla para esfuerzo de 500 mg con modo de falla “S”. ...................... 93 Figura N°61. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Enero ........................... 95 Figura N°62. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Febrero ........................ 96 Figura N°63. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Marzo .......................... 97 Figura N°64. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Abril ............................ 98 Figura N°65. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Mayo ........................... 99 Figura N°66. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Junio.......................... 100

IX Figura N°67. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Julio .......................... 101 Figura N°68. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Agosto ....................... 102 Figura N°69. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Septiembre ................ 103 Figura N°70. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Octubre ..................... 104 Figura N°71. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Noviembre ................ 105 Figura N°72. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Diciembre ................. 106 Figura N°73. Resultados análisis de velocidades del viento para el año 2006 ................................ 108

X

Índice de Cuadros Cuadro N°1. Estimadores de máxima verosimilitud ......................................................................... 46 Cuadro N°2. Números aleatorios entre 0 y 1.................................................................................... 52 Cuadro N°3. Datos seleccionados para aplicar Kolmogorov-Smirnov ............................................. 53 Cuadro N°4. Datos organizados de menor a mayor para prueba KS ................................................ 53 Cuadro N°5. Valores de

...................................................................................................... 54

Cuadro N°6. Organización para todos los valores ............................................................................ 61 Cuadro N°7. Organización de datos para pruebas de bondad ........................................................... 62 Cuadro N°8. Comparación de parámetros calculados ....................................................................... 81 Cuadro N°9. Tiempos de falla y tiempos de reparación ejemplo 1 ................................................... 83 Cuadro N°10. Esfuerzos y modos de falla ejemplo 2 ........................................................................ 87 Cuadro N°11. Resumen anual de la información obtenida. ............................................................ 107 Cuadro N°12. Comparación cálculo energías generadas ................................................................ 110

1

Resumen

La ley de distribución de Weibull es una de las más utilizadas en aplicaciones industriales y biomédicas, ya que es capaz de representar una gran variedad de datos reales, entre ellos la representación de confiabilidad de un componente, la vida útil de un artículo, planta o animal, distribución de la velocidad del viento, etc. Este trabajo tiene por objeto el desarrollo de un software, el cual basado en registros históricos permita calcular los parámetros de la distribución de Weibull, para su aplicación en el análisis de fallas mecánicas, además tomando como base este modelo también se desarrolló una aplicación para la caracterización del potencial eólico. Para lograr lo anteriormente mencionado se realizó la revisión bibliográfica de los distintos conceptos básicos necesarios para el trabajar con la distribución de Weibull, la estadística relacionada con el mantenimiento y con el análisis del recurso eólico. Se analizaron dos distintos métodos para la estimación de parámetros de Weibull, el método de Máxima Verosimilitud y el método de Mínimos Cuadrados. Posteriormente se estudiaron las pruebas de bondad de ajuste KolmogorovSmirnov y Chi Cuadrado o X2, las cuales son aplicadas a las bases de datos para verificar efectivamente que estos puedan ser modelados a través de una distribución de Weibull. El código de programación se realizó mediante el lenguaje del software MATLAB y la interfaz gráfica con la herramienta GUIDE, el cual es el editor de interfaz gráfica de usuario de MATLAB. Finalmente se realizaron una serie de aplicaciones prácticas para verificar el correcto funcionamiento del programa y demostrar su funcionalidad y alcance, obteniéndose un programa que es capaz de calcular los parámetros de la distribución de Weibull con una precisión a la altura de algunos software comerciales, con una interfaz de usuario sencilla y sin la necesidad de conocer el lenguaje de programación para su aplicación.

2

Summary

The Weibull distribution law is one of the most used in industrials and biomedical applications, which is capable of representing a variety of real data, including representation of a component reliability, the useful life of an item, plant or animal, distribution of the wind speed, etc. This paper aims to develop a software that based on historical records allows the calculation of parameters of the Weibull distribution, for application to the analysis of mechanical failures, in addition based on this model an application for the characterization of the wind potential is also developed. To achieve the above, the literature review of the various basic concepts necessary to work with the Weibull distribution was performed, the statistics related to the maintenance and analysis of the wind resource. Two different methods for estimating Weibull parameters were analyzed, the maximum likelihood method and least squares method. Later goodness of fit test Kolmogorov-Smirnov and Chi Square or were studied, which are applied to the database to verify that they can be effectively modeled by a Weibull distribution. The programming code was performed using the language of MATLAB software and graphical interface with tool GUIDE, which is the graphical user interface editor of MATLAB. Finally a number of practical applications were performed to verify the correct operation of the program and demonstrate its functionality and scope, yielding a program that is able to calculate the parameters of the Weibull distribution with accuracy up to some commercial software, with a simple user interface without the need to know the programming language for its use.

3

Introducción

La calidad de los productos y sistemas es un concepto muy amplio que incluye: confiabilidad, desempeño inicial, durabilidad, fácil de usar, reputación, seguridad, compatibilidad con diferentes ambientes. De todos estos aspectos, la confiabilidad es la característica más importante de un producto, expresado por la probabilidad de que realizara sus funciones, bajo determinadas condiciones, durante un periodo específico de tiempo. Se debe hacer la distinción entre la confiabilidad actual de un sistema, la cual solo puede ser calculada durante el uso del producto y la confiabilidad predicha, la cual se calcula utilizando datos de laboratorio. El significado de la confiabilidad en la “vida” de una máquina, se puede comparar con el significado de la salud en la vida de una persona. La utilidad o la “calidad de vida” de una persona la determinan muchas propiedades: inteligencia, rasgos de carácter, dedicación al trabajo, su aspecto físico, etc. Sin embargo, la salud es la propiedad más importante de todas, porque de la misma, depende la manifestación de sus otras cualidades. La persona saludable se enferma menos y puede realizar más trabajo, también se necesitan menores gastos materiales, financieros y de tiempo para su descanso y recuperación. [5] En este sentido la confiabilidad de la maquina es su “salud” y las fallas mecanicas o la pérdida de capacidad de trabajo son sus “enfermedades”. La máquina que posee mayor confiabilidad tiene menor probabilidad de presentar fallas mecánicas, por consiguiente tendrá menor probabilidad perder total o parcialmente su capacidad de trabajo o producción. La medida cuantitativa de la confiabilidad es la tasa de fallo, tasa a la cual se espera que un componente falle bajo condiciones conocidas. La distribución Weibull es quizás el modelo de tiempos de vida más usado en aplicaciones industriales y biomédicas.

La distribución Weibull comienza a ser

referenciada después de que el físico sueco, Waloddi Weibull (1887-1979) la usara en el año de 1939 para representar la distribución del esfuerzo de rotura de materiales, especialmente para el análisis de falla en elementos metalúrgicos, con todo el método

4

no atrajo mucha atención. Sin embargo, en 1951 en su artículo “A statistical Distribution Function of Wide Applicability” en donde contempla varias de las aplicaciones de este modelo, la concordancia que Weibull demostró entre sus datos observados y aquellos que predijeron con los modelos Weibull era bastante impresionante. Él usó la distribución para modelar datos de problemas que tratan con el límite aparente de elasticidad del acero, la fuerza de la fibra de algodón de la india, la vida de fatiga de un acero, la estatura de niños nacidos en las Islas Británicas y anchura de frijoles de Phaseolus vulgaris. [22] [24]

La prevención de pérdidas o seguridad industrial aplicada con rigor científico está basada, en gran parte, en la aplicación de los métodos probabilísticos a los problemas de fallos en los procesos industriales. Todo ello se ha llevado a cabo a través de una disciplina denominada ingeniería de confiabilidad, para la cual se disponen de las adecuadas técnicas de predicción, que han sido fundamentales para el aseguramiento de la calidad de productos y procesos. [6]

La distribución de Weibull complementa a la distribución Exponencial, a la de Rayleigh y a la Normal, que son casos particulares de aquella. A causa de su mayor complejidad sólo se usa cuando se sabe de antemano que es la que mejor describe la distribución de fallos y los tiempos correspondientes no se ajustan a una distribución más simple. En general es de gran aplicación en el campo de la mecánica.

En el campo de la energía eólica mediante métodos estadísticos, se analizan las series temporales de viento. Se evalúan parámetros tales como la velocidad media a las diferentes alturas de medición (con las que se extrapolará mediante modelos teóricos la velocidad de viento a la altura de los aerogeneradores proyectados), distribuciones de frecuencias de direcciones (también denominadas “rosas de los vientos”, que representan el porcentaje de tiempo en que el viento proviene de una determinada dirección) y distribuciones de frecuencias de las velocidades, así como sus aproximaciones analíticas, principalmente distribución de Weibull, debido a la

5

significativa similitud entre ésta y las distribuciones de viento reales, que se obtienen a partir de las series temporales de datos medidos de velocidad de viento.

La distribución de Weibull nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de un componente clave de seguridad que pretendemos controlar, y que a través de nuestro registro de fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo, dentro de lo que se considera tiempo normal de uso. Así como nos permite el estudio fallos también nos permite estudiar el comportamiento de las velocidades del viento en un emplazamiento específico, lo cual nos da la capacidad de caracterizar el potencial eólico de dicho emplazamiento dada la relación existente entre velocidad del viento y potencia contenida en este. Esta metodología es útil para aquellas empresas que desarrollan programas de mantenimiento preventivo de sus instalaciones y para estudios de factibilidad de proyectos eólicos.[23]

Los modelos y diseños en entornos programados que nos permiten hallar la confiabilidad de equipos y sistemas, se convierten en valiosas herramientas de fácil acceso y operación, obteniendo en los casos en estudio la respuesta deseada, sin intervenir en complejos montajes que lleven a disfuncionalidades y restricciones de tiempo.

Los costos de software en confiabilidad, en ocasiones se convierten en un sueño inalcanzable para las pequeñas y medianas empresas, sin importar sus servicios y productos a entregar, lo que aumenta de manera significativa el costo en reparaciones ineficaces y por lo tanto ausentes de total viabilidad. Convirtiéndose en gastos, no en inversiones que permitieran el crecimiento de las compañías.

El presente trabajo tiene como fin el diseño de un software que permita la realización de los análisis de fallas, confiabilidad, y potencial eólico indicados anteriormente Este programa, se presenta como una ayuda en diferentes campos ya que facilita el proceso de análisis de diversidad industrias interesadas en efectuar un

6

mantenimiento adecuado a sus equipos, suprimiendo factores externos que influencian dicho proceso, eliminando a su paso variables como la experiencia o el juicio de quien ejecuta el mantenimiento y concentrándose netamente en sus datos históricos, sus fallas, su operatividad y su confiabilidad. Del mismo modo, permite caracterizar el potencial eólico de un emplazamiento específico para estudios de factibilidad de proyectos eólicos. Puede también utilizarse con fines académicos y explicativos, mostrando así el comportamiento de los equipos e ilustrando las diferentes leyes de falla, así como el significado de las mismas y algunas aplicaciones en la vida cotidiana. A su vez, la programa, evalúa los datos a estudiar y mediante pruebas de bondad de ajuste se determina si estos siguen una distribución de Weibull. El software se encarga automáticamente de calcular los parámetros en función de los datos cargados.

7

Objetivo General

Desarrollar un software para el análisis de fallas y caracterización potencial eólico de un emplazamiento, basado en registros históricos, mediante el cálculo de parámetros de la distribución de Weibull.

Objetivos Específicos



Determinar los parámetros de escala y forma que representen la función densidad de probabilidad para una distribución Weibull, tomando como base registros históricos, tanto de fallas como de velocidades de viento.



Determinar mediante pruebas de Bondad de Ajuste, que los datos registrados pueden ser modelados mediante la distribución de Weibull con los parámetros obtenidos.



Permitir cálculos posteriores relacionados con el tipo de análisis realizado.



Desarrollar interfaces gráficas independientes, tanto para el análisis de fallas mecánicas en máquinas como para el análisis de vientos,

que permitan la

adecuada interacción entre el usuario y el software diseñado. 

Demostrar mediante aplicaciones prácticas la funcionalidad y alcance del software desarrollado.

8

Metodología



Recopilación de material bibliográfico relacionado con la estadística aplicada al mantenimiento y a la energía eólica.



Clasificación del material recopilado



Estudio del tratamiento de datos mediante métodos estadísticos.



Estudio y comprensión de los conceptos y principios relacionados con variables aleatorias continuas y las distribuciones probabilísticas que las modelan.



Estudio de la distribución de Weibull y distribuciones relacionadas.



Estudio comprensión de métodos de estimación de parámetros.



Estudio y comprensión de las pruebas de bondad de ajuste aplicadas a las distribuciones aleatorias contínuas.



Investigación de programas comerciales para el cálculo de parámetros y ajustes de datos mediante la distribución de Weibull.



Estudio de manuales y cursos acerca del entorno de programación y la herramienta de diseño de interfaces de usuario del software MATLA para su comprensión y aplicación en este proyecto.



Diseño esquemático del proceso de trabajo del software a desarrollar.



Escritura del código de programación del software a desarrollar en el entorno de programación de MATLAB.



Diseño de la interfaz gráfica de usuario del software.



Desarrollo de pruebas para comprobar el funcionamiento y precisión del cálculo de parámetros del software diseñado.



Ejecución del software alcanzado y su aplicación en casos reales.

9

1. Conceptos y principios básicos del mantenimiento

1.1.

Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos

En este apartado veremos cómo ha ido evolucionando el desarrollo de fallos a lo largo de la historia del mantenimiento. Partiendo de la conocida “Curva de la Bañera” válida para equipos relativamente simples en los que la aparición de fallos se debía principalmente a desgastes. Con el avance de la tecnología cada vez los equipos son más complejos y poseen más componentes eléctricos - electrónicos. Dichos equipos no se ajusten a la teoría de la curva de la bañera. Muchos estudios, sobre todo del sector de la aviación han demostrado que existen al menos seis curvas con diferente modo de aparición de los fallos y sólo un porcentaje muy pequeños de ellos se ajustan fielmente a la curva de la bañera. [8]

1.1.1. Curva de Bañera o de Davies

La curva de la bañera es un gráfica que representa los fallos durante el período de vida útil de un sistema o máquina. Se llama así porque tiene la forma una bañera cortada a lo largo.

10

Figura N°1. Curva de la Bañera. En ella se pueden apreciar tres etapas: 

Mortalidad Infantil o Fallos infantiles: esta etapa se caracteriza por tener una elevada tasa de fallos que desciende rápidamente con el tiempo. Estos fallos pueden deberse a diferentes razones como equipos defectuosos, instalaciones incorrectas, errores de diseño del equipo, desconocimiento del equipo por parte de los operarios o desconocimiento del procedimiento adecuado.



Fallos normales: etapa con una tasa de errores menor y constante. Los fallos no se producen debido a causas inherentes al equipo, sino por causas aleatorias externas. Estas causas pueden ser accidentes fortuitos, mala operación, condiciones inadecuadas u otros.



Fallos por desgastes: etapa caracterizada por una tasa de errores rápidamente creciente. Los fallos se producen por desgaste natural del equipo debido al transcurso del tiempo.

11

1.1.2. Curvas de Fallos actuales Muchos de los planes de mantenimiento se han basado en la curva de la bañera clásica para definir los mismo pero estudios más actuales procedente del sector de la aviación y militar han demostrado que los mecanismos de formación de fallos no tienen por qué seguir las pautas de la curva de bañera. A continuación se muestran en la Figura 2 las distintas curvas fallos a lo largo del tiempo y el porcentaje de cada uno ellos según un estudio de la aviación [8]:

Figura N°2. Diferentes curvas de Fallos.



Curva A, La curva de bañera: Alta mortalidad infantil, seguida de un bajo nivel de fallos aleatorios, terminado en una zona de desgaste. Sólo un 4% de los fallos siguen esta curva. Coincide con equipos mecánicos históricos.



Curva B, El tradicional punto de vista: Pocos fallos aleatorios, terminando en una zona de desgaste. Sólo un 2% de los fallos siguen esta curva. Coincide con

12

Equipos o Sistemas sometidos a fatiga y no diseñados para “vida infinita” como por ejemplo sistemas electrónicos discretos. 

Curva C, Un constante incremento en la probabilidad de fallo. Sólo un 5% de los fallos siguen esta curva. Coincide con equipos o sistemas sometidos a corrosión.



Curva D, Un rápido incremento en la probabilidad de fallo, seguido de un comportamiento aleatorio. Sólo un 7% de los fallos siguen esta curva. Coincide con equipos electrónicos digitales.



Curva E Fallos aleatorios: No hay relación entre la edad funcional de los equipos y la probabilidad de que fallen. Sólo un 14% de los fallos siguen esta curva. Coincide con fallos en rodamientos bien diseñados.



Curva F Alta mortalidad infantil, seguida de un comportamiento aleatorio de la probabilidad de fallos. El 68% de los fallos siguen esta curva. Coincide con fallos en equipos o sistemas hidráulicos y neumáticos de diseño actual.

Por último se muestra en la Figura N°3 la curva de la bañera formada por las tres curvas que la componen y a continuación de ésta en la Figura N°4 aparece en una matriz las posibles soluciones en función del tipo de falla mecánica producida.

13

Figura N°3. Curvas que componen la Curva de Bañera.

Figura N°4. Soluciones posibles según tipo de Fallos.

1.2.

Confiabilidad La confiabilidad R(t) se define como la probabilidad de que un bien funcione

adecuadamente durante un período determinado bajo condiciones operativas específicas (por ejemplo, condiciones de presión, temperatura, velocidad, tensión o forma de una onda eléctrica, nivel de vibraciones, etc.).

14

La confiabilidad se suele representar con la letra R (de la palabra inglesa Reliability), una medida de la confiabilidad es el Tiempo Medio Entre Fallas (MTBF por sus siglas en inglés).

1.1

En la práctica, la confiabilidad se mide como el tiempo medio entre ciclos de mantenimiento o el tiempo medio entre dos fallos consecutivos MTBF. Se puede medir en general por horas, kilómetros, horas de vuelo, piezas producidas, etc. En la Figura N°5 se aprecia los distintos Tiempos Entre Fallas (TBF por sus siglas en inglés) que hacen referencia al tiempo de funcionamiento de un activo y los Tiempos Para Reparar (TTR por sus siglas en ingles) que se refieren a los tiempos de paradas por reparación.

Figura N°5. Representación de los estados TBF y TTR.

R(t) es la Función de Confiabilidad, o dicho de otro modo, la probabilidad de que un componente nuevo sobreviva más de un tiempo determinado, donde T se define como la vida del bien o componente y t como el tiempo determinado para el cual se quiere conocer dicha probabilidad. 1.2 La expresión

representa la probabilidad de que la el tiempo de vida

(T) de un componente o máquina sea mayor a un tiempo determinado (t), es decir la

15

probabilidad de no ocurrencia de una falla mecánica para un tiempo determinado. F(t) es la Función de Distribución Acumulada siendo la probabilidad de que un componente nuevo no sobreviva menos del tiempo t.

1.3

En este caso la expresión

representa la probabilidad de que el tiempo

de vida (T) de un componente o máquina sea menor a un tiempo determinado (t), o sea probabilidad de ocurrencia de una falla mecánica para un tiempo determinado..

Derivando esta última obtenemos la Función de Densidad de Probabilidad f(t). Ésta nos da una idea de la dispersión de la vida del componente. Esta función de vera en detalle en el capítulo 3.

1.4

Dividiendo la ecuación 1.4 entre la ecuación 1.2 obtenemos la Tasa de Fallos λ(t).

1.5 λ(t) es una característica de confiabilidad del componente. No tiene interpretación física directa. Es bastante común que el comportamiento de fallos de un componente sea descrito en términos de su tasa de fallos. Esta función al igual que la expresión 1.4 se verá con más detalle en el capítulo 3.

1.3.

Mantenibilidad Se define mantenibilidad M(t) como la probabilidad de que un equipo, después

de un falla o avería sea reparado y puesto en estado de funcionamiento en un tiempo determinado. Una medida de la mantenibilidad es el MTTR (Mean Time To Repair) o

16

como se conoce en español “Tiempo Medio de Reparación”. En la Figura N°5 aparece su ecuación y la representación de los distintos TTR (Time To Repair) o “Tiempo de Reparación” en español, que componen el MTTR. La definición anterior de mantenibilidad corresponde una definición desde un punto de vista estadístico y cuantitativo, pero también puede ser definida cualitativamente como la propiedad o característica de un sistema que representa la cantidad de esfuerzo requerida para conservar su funcionamiento normal o para restituirlo una vez se ha presentado una falla. Se dirá que un sistema es “Altamente mantenible” cuando el esfuerzo asociado a la restitución sea bajo. Sistemas poco mantenibles o de “Baja mantenibilidad” requieren de grandes esfuerzos para sostenerse o restituirse. Su Tasa de Reparación es µ(t)

1.6

1.4.

Disponibilidad

Se define la disponibilidad D(t) como la probabilidad en el tiempo de asegurar un servicio requerido. Otra definición común en mantenimiento para la disponibilidad es: el porcentaje de equipos o sistemas útiles en un determinado momento, frente al parque total de equipos o sistemas. La ecuación de la disponibilidad está en función de la confiabilidad y de la mantenibilidad, siendo esta:

1.7

17

2. Caracterización del potencial eólico

A la hora de analizar la rentabilidad de un proyecto eólico resulta imprescindible evaluar cuidadosamente mediante herramientas estadísticas todos aquellos parámetros representativos de su potencial. Las ciencias de la atmósfera, ya sea en las diferentes especialidades relacionadas con la meteorología o con la climatología, hacen un amplio uso de diferentes métodos estadísticos. Así, la comprensión de un fenómeno fundamentalmente atmosférico, como es el potencial de un emplazamiento donde se proyecta un parque eólico, provendrá en buena parte del análisis estadístico de datos. Para la evaluación del recurso eólico durante la fase de prospección en un emplazamiento específico, se realizan mediciones de viento mediante la instalación de torres anemométricas en varios puntos del proyecto. De igual forma, también se recopilan registros históricos provenientes de estaciones meteorológicas con un número significativo de años de medidas. Estas mediciones de viento consisten en series temporales de datos de velocidad y dirección de viento, generalmente con promediados diezminutales, así como otros parámetros tales como la desviación estándar de la velocidad, presión atmosférica y temperatura. [23] Como se ha indicado anteriormente, la expresión analítica más usada en estudios de recurso eólico para representar la probabilidad de velocidades de viento es la distribución Weibull que, en función de los dos parámetros que la definen, permite la evaluación de varias propiedades importantes de las características del viento, como por ejemplo la probabilidad de que existan velocidades de viento superiores a una determinada, la probabilidad de que existan velocidades de viento entre dos límites de interés, la velocidad media, así como una estimación de la energía producible en el punto de interés, al comparar su distribución Weibull asociada con la curva de potencia del aerogenerador estudiado. [26]

18

2.1.

Potencia contenida en el viento y potencia aprovechable

Los generadores eólicos extraen energía contenida en el viento para convertirla en energía eléctrica y entregarla a la red. Esta energía que se busca extraer del viento es fundamentalmente energía cinética y se relaciona con el cubo de la velocidad del viento a través de la siguiente expresión [3];

2.1

Donde: es la potencia contenida en el viento en W es la densidad del aire a nivel del mar a 15°C es el área barrida por las palas del aerogenerador de longitud R en m2 es la velocidad del viento en m/s

Dada la variabilidad de la velocidad, la caracterización del potencial eólico disponible de un lugar se debe realizar a partir de la determinación de los valores de la potencia correspondientes a cada velocidad y promediar estos para un determinado periodo de tiempo, por ejemplo un año. De esta forma, se define el potencial eólico disponible en un punto como la potencia media eólica por unidad de superficie o en otras palabras por la densidad de potencia (fórmula 2.2), para un determinado periodo de tiempo, generalmente un año, supuesta la densidad del aire constante.

∫ Donde: es la potencia disponible en el viento en W es el área barrida por las palas del aerogenerador de longitud R en m2 es la densidad del aire a nivel del mar a 15°C la velocidad del viento en m/s

2.2

19

es la función de densidad de probabilidad de Weibull en función de la velocidad del viento

Sin embargo, de acuerdo con el principio de la conservación de la energía, solo es posible extraer una parte de esta. El límite de Betz establece en 0.59 la proporción máxima de energía que podemos extraer del viento utilizando un aerogenerador. [3], [23] El coeficiente de potencia (

), se puede entender como el rendimiento del

aerogenerador, siendo, el porcentaje de energía contenida en el viento que atraviesa el rotor y que es transformada en energía mecánica en el eje del rotor. Depende de la pala y del sistema de control de la máquina.

La potencia se ve entonces afectada por el coeficiente

, donde

a mayor eficiencia aerodinámica del sistema generador, mas alto será el valor de

En aplicaciones reales, el valor de

.

, rara vez toma valores superiores a 0.5 [3],

siendo más comunes valores entre 0.4 y 0.45 para aerogeneradores modernos como se puede ver en la Figura N°6 [28].

Figura N°6. Valores de

para distintos tipos de aerogeneradores

20

En los generadores de velocidad variable, es posible modificar los parámetros de operación logrando mantener el valor de

lo más alto posible y aproximadamente

constante en la zona de operación por debajo de la potencia nominal.[3]

2.2.

Curva de potencia de los aerogeneradores

Para poder estimar la energía obtenida por un aerogenerador debemos disponer de la distribución de velocidad del viento del sitio y contar con la curva de potencia del aerogenerador entregada por el fabricante. Dicha curva de potencia indica cual será la potencia generada por el aerogenerador para las distintas velocidades del viento. La curva de potencia se obtiene empíricamente y es entregada por el fabricante del aerogenerador.

Figura N°7. Curva de potencia aerogenerador de 2000 kW

21

Por otro lado debemos tener en cuenta que el aerogenerador requiere una velocidad de viento mínima para poder operar (velocidad de cut-in), que oscila alrededor de 3-5 m/s. Además, si la velocidad del viento es muy elevada, puede reducir la vida útil del generador, razón por la cual existe un valor de velocidad máxima (velocidad de cut-out) por encima del cual el aerogenerador no opera. Esta velocidad se encuentra alrededor de los 25 m/s.[26]

2.3.

Cálculo de potencia generada

Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, podemos obtener la potencia media generada por el aerogenerador de la siguiente manera [23]:

∫

2.3

Donde:

es la potencia generada por el aerogenerador en kW o en las unidades en que se encuentre la curva de potencia. es la velocidad mínima a la que el aerogenerador comienza operar. es la velocidad máxima a la cual el aerogenerador deja de operar. es la función que describe la curva de potencia del aerogenerador . es la función densidad de probabilidad de Weibull en función de la velocidad del viento.

22

3. Variables aleatorias continuas

3.1.

Variable aleatoria Una variable aleatoria es una variable cuyos valores se obtienen

de

experimentos o eventos donde la medición o el valor de dicha variable se encuentran en un conjunto de posibles valores ya que abarca un intervalo de números haciendo que, la cantidad de valores que pueda tomar la variable sea incontablemente infinito.

Una variable aleatoria

es una función real definida en el espacio muestral

asociado a un experimento aleatorio, Ω En general, la mayoría

de los problemas en la ingeniería de

la confiabilidad se ocupan de medidas cuantitativas, tales como la tiempo a la falla de un componente, o si el componente falla o no. En la sentencia de un componente para ser defectuoso o no-defectuoso, solamente dos resultados son posibles. Podemos entonces denotar una variable aleatoria X como representante de estos resultados posibles, es decir defectuoso o no-defectuoso. En este caso, X es una variable aleatoria que puede adquirir solamente estos valores. En el caso del tiempo a la falla o tiempo de vida, nuestra variable aleatoria X puede adquirir el tiempo a la falla (o el tiempo a un acontecimiento del interés) del producto o componente y puede estar en una gama a partir de 0 al infinito (puesto que no sabemos el tiempo exacto a priori). En el primer caso, donde la variable aleatoria puede adquirir solamente dos valores discretos (vamos a decir defectuoso X = 0 y no-defectuoso X=1), la variable se dice ser una variable aleatoria discreta. En el segundo caso, nuestro producto se puede encontrar fallando en cualquier momento después del tiempo 0, es decir en (12, 4 horas o en 100, 12 horas) y así sucesivamente. En este caso, nuestra variable aleatoria X se dice ser una variable aleatoria continua. Surge un tercer caso, cuando el producto puede

23

fallar en cualquier momento después del tiempo cero, pero por alguna razón sólo se puede observar el experimento hasta el tiempo t0, generando, esta situación una variable aleatoria que se denomina como variable aleatoria mixta. En el presente trabajo se hará referencia a variables aleatorias continuas. En general, asumiremos que el tiempo de vida es una variable continua, la cual denotaremos por , y que toma valores en el intervalo

. Esta distribución viene

caracterizada por las funciones definidas a continuación.

3.2.

Función densidad de probabilidad

La función densidad de probabilidad es una función que describe la probabilidad relativa de una variable aleatoria que se produzca en un momento dado, es decir, caracteriza el comportamiento probable de una población. La probabilidad de una variable aleatoria a caer dentro de una región particular está dada por la integral de la densidad de esta variable en dicha región.

Figura N°8. Función densidad de probabilidad

24

Para una variable aleatoria continua x, una función densidad de probabilidad es una función de tal manera que:

3.3.

Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada de la variable aleatoria continua ,

,

representa la probabilidad de que esta variable T sea menor o igual a un valor t dado. Puede ser interpretada como la probabilidad de que ocurra una falla antes del tiempo t, que el tiempo de falla sea menor o igual al tiempo t, o la probabilidad de que la velocidad del viento sea menor o igual a cierta velocidad dada. Todo dependiendo de la variable que se esté estudiando.

∫

Esta función es continua, monótona no decreciente y además verifica que

y

25

Figura N°9. Función de distribución acumulada

3.4.

Función de Confiabilidad o distribución acumulada complementaria La función de distribución acumulada complementaria

, de la variable

aleatoria continua , representa la probabilidad de que la variable T sea mayor o igual a un valor t dado. Puede ser interpretada como la probabilidad de que no ocurra una falla antes del tiempo t (confiabilidad), que el tiempo de falla sea mayor o igual a un tiempo t dado, o que la velocidad del viento se mayor o igual a cierta velocidad dada.

∫

Esta función es continua, monótona decreciente y además verifica que

y

26

3.5.

Función de riesgo Un concepto muy importante a tener en cuenta cuando trabajamos con

distribuciones asociadas a tiempos de vida es la función de riesgo o tasa de fallo

,

que se define como la probabilidad instantánea de que un componente falle en el instante . En términos de probabilidad se interpreta como el límite de la probabilidad falle antes del tiempo

condicionada de que

sabiendo que no había fallado en el

instante . Esto no es más que el cociente entre la función de densidad de confiabilidad

y la función

.

Entonces, la función de riesgo es

3.3

Definimos la función de riesgo acumulada,

, como

3.4

La función de riesgo acumulada y la función de distribución verifican la siguiente relación

3.5

La función de riesgo es una característica muy importante de las distribuciones asociadas a variables correspondientes a tiempos de vida.

27



Funciones de riesgo decrecientes surgen cuando al principio del funcionamiento la probabilidad de falla mecánica es alta debido a posibles defectos de fabricación.



Funciones de riesgo constantes tienden a aparecer en conjuntos donde las fallas mecánicas son debidos a un fenómeno aleatorio como accidentes o shocks.



Funciones de riesgo crecientes aparecen cuando se produce un envejecimiento del componente.

Estas tres formas de riesgo o fallas se combinan para generar la curva de bañera.

3.6.

Distribuciones de probabilidad continuas Las distribuciones de probabilidad son funciones matemáticas teóricas que se

utilizan para realizar previsiones, que describen la forma en que se espera que varíen los resultados de un experimento. Por lo tanto son útiles en mantenimiento, debido a que, ayudan a tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Las distribuciones de probabilidad continuas más difundidas son las siguientes: 

Distribución Normal o de Gauss



Distribución Log-Normal



Distribución Gamma



Distribución Exponencial



Distribución Rayleigh



Distribución de Weibull Las que se detallaran a continuación.

28

3.6.1. Distribución Normal Es la distribución utilizada con más frecuencia en estadística, aunque no ocurre así en estudios de confiabilidad debido a su carácter simétrico, ya que habitualmente los tiempos de vida presentan un comportamiento asimétrico. Se dice que una variable aleatoria continua T sigue una distribución normal de parámetros µ y σ y se denota T ~ N (µ, σ) si su función de densidad está dada por:

3.6 

t



µ es la media



σ es la desviación estándar

R

Sus funciones de distribución acumulada y confiabilidad son

3.7

3.8

respectivamente, para las cuales no existen expresiones analíticas explícitas, aunque sí se pueden aproximar numéricamente.

29

La función de riesgo, dado que la función de distribución Normal no tiene forma explícita, no puede ser calculada de manera directa mediante el cociente entre la función de densidad y la función de confiabilidad, aunque sí se puede aproximar numéricamente. Esta función está representada en la Figura N°10. Cuando

y

, esta distribución se denomina distribución Normal estándar, cuya función de densidad, denotada por

es

3.9

Su función de distribución es 3.10

Figura N°10. Función de riesgo de la distribución Normal con μ=5 .

30

Figura N°11. Funciones de densidad (izquierda) y distribución (derecha) de la distribución Normal con μ=5.

Algunas propiedades de la distribución normal son:



Es simétrica respecto de su media, µ.



La moda y la mediana son ambas iguales a la media, µ.



Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ - σ y x = µ + σ



El intervalo [µ-σ,µ+σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución



El intervalo [µ-2σ,µ+2σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 95,44% de la distribución



El intervalo [µ-3σ,µ+3σ] 99,74% de la distribución

se encuentra comprendida, aproximadamente, el

31

3.6.2. Distribución Log-Normal Este modelo de distribución se ha utilizado en multitud de aplicaciones asociadas a ingeniería, medicina y otras áreas.

Una variable puede ser modelada como Log-Normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

Diremos que la variable aleatoria T sigue una distribución Log-Normal, y lo denotaremos como con media aleatoria

, si la variable

sigue una distribución Normal

y desviación típica . Por lo tanto, si la función de densidad de la variable es

3.11

Con

, entonces la función de densidad de

es

3.12

Con

, que es la densidad de la distribución Log-Normal. Su función de

distribución acumulada es 3.13

32

donde

es la función de distribución Normal estándar dada en la expresión 3.9.

Las funciones de densidad y distribución están representadas en la Figura N°12.

Figura N°12. Funciones de densidad (izquierda) y distribucion (derecha) de la distribucion Log-Normal para

.

La función de confiabilidad es

(

La función de riesgo, caracteriza por valer cero en

)

3.14

, que se corresponde con la Figura N°13, se , y como podemos comprobar, para el caso

,

la función de riesgo crece hasta un máximo y luego decrece, acercándose a cero a medida que tiende a

.

33

Figura N°13. Función de riesgo de la distribución Log-Normal para

3.6.3. Distribución de Gamma Es una distribución adecuada para modelar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, y de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma

, responsable de la convergencia de la

distribución. . El primer parámetro sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes de α el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma de una campana de Gauss con asimetría

34

positiva. Es el segundo parámetro β el que determina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de β la distribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de β conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más elevado.

La función de densidad de la distribución Gamma es: 3.15

donde x > 0 y β, α son parámetros positivos. En la Figura N°14 se muestra la función de densidad.

Figura N°14. Función de densidad y distribución para distintos valores de .

La función de distribución acumulada es,

35

]

∫

3.16

como se puede ver en la Figura N°14.

La esperanza matemática o media es,

3.17

3.6.4. Distribución Rayleigh Es una función de distribución continua. Se suele presentar cuando un vector bidimensional tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribución normal. Su valor absoluto seguirá entonces una distribución de Rayleigh.

Figura N°15 Distribución de Rayleigh para distintos valores de σ.

La función densidad de probabilidad para la distribución Rayleigh está definida por la siguiente expresión:

36 ( )

( )

3.18

Donde: α: Parámetro de escala t: Variable aleatoria que mide el tiempo de fallas. Por otro lado, la función distribución acumulada se obtiene de la integral de la función densidad de probabilidad evaluada en un intervalo y se define como:

(

)

3.19

Su esperanza matemática media es:

√

3.20

3.6.5. Distribución Exponencial Históricamente, este modelo de distribución fue muy utilizado en el trabajo con tiempos de vida útil, debido a la simplicidad de los métodos estadísticos que proporciona. La función de densidad de una variable aleatoria con distribución Exponencial es 3.21

37

con

, siendo

el parámetro del modelo. Su función de distribución acumulada

es

3.22

y su función de confiabilidad es

3.23

Figura N°16. Funciones de densidad (izquierda) y distribución (derecha) Exponencial.

Su función de riesgo es constante y su valor es el parámetro del modelo, , es decir

3.25

Emplearemos la notación

para indicar que

es una variable aleatoria

con función de densidad (1.1). La media y la varianza de esta distribución vienen dadas por los valores

y

, respectivamente. El p-cuantil es

38

3.26

Cuando el parámetro

es igual a 1 la llamaremos distribución Exponencial

estándar, cuyas funciones de densidad y distribución se corresponden con la línea de color rojo de la Figura N°17.

Figura N°17. Función de riesgo de la distribución Exponencial con.

La función de distribución que se utiliza más a menudo para modelar la confiabilidad es la exponencial. El motivo es que:



Es sencilla de tratar algebraicamente



Se considera adecuada para modelar el intervalo de vida funcional del ciclo de vida del dispositivo



La distribución exponencial aparece cuando la tasa de fallos es constante, λ(t)=λ

39

La tasa de fallos se considera constante, entonces la función de distribución de los fallos es exponencial. De las propiedades de ésta se deduce que la probabilidad de que una unidad que está trabajando falle en el próximo instante es independiente de cuánto tiempo ha estado trabajando. Esto implica que la unidad no presenta síntomas de envejecimiento, es igualmente probable que falle en el instante siguiente cuando está nueva o cuando no lo está.

3.6.6. Distribución de Weibull

La distribución de Weibull es una distribución continua y triparamétrica, es decir, está completamente definida por tres parámetros y es la más empleada en el campo de la Confiabilidad. Para efectos de este trabajo se empleara la distribución de dos parámetros.

La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. La función de densidad de una variable aleatoria:

3.27

Esta forma de expresar la función de densidad de la distribución Weibull es la empleada por el mismo Waloddi Weibull, aunque cabe mencionar que en la actualidad algunos autores emplean otras formas equivalentes tales como:

3.28

o bien

40

3.29

La primera expresión, se puede ver que es equivalente a la segunda sustituyendo a beta en la primera por beta elevado a la alfa. Para ver la equivalencia de la primera y la tercera expresión se efectúa la siguiente reparametrización

en la primera expresión.

Por último para ver la equivalencia entre la segunda y tercera expresión se lleva a cabo la siguiente reparametrización

⁄

en la segunda expresión.

Donde β > 0 es el parámetro de forma y η > 0 es el parámetro de escala o característica de vida de la distribución. En la Figura N°18 se ve como varía la función de distribución para distintos valores de β.

Figura N°18. Distribución de Weibull para distintos valores de β.

41

Su función de distribución acumulada es: ( )

Para valores de x

3.30

0, siendo nula en x < 0.

Siendo su tasa de fallo:

( )

3.31

En la Figura N°19 se puede como varía la tasa de fallo para distintos valores de η y β.

Figura N°19. Representación de la tasa de fallo para distintos valores de β. El parámetro de forma nos indica el tipo de fallo que es, así como el tipo de distribución probabilística que podemos seguir.

42

Su función de Confiabilidad ( )

3.32

Su Esperanza matemática o media:

(

)

3.33

Donde Γ es la función Gamma.

Características de la distribución Weibull La distribución de Weibull nos ayuda a conocer: 

El tipo de mecanismos de fallo que ha sido el causante del mismo.



Cantidad de fallos que se pueden esperar en un futuro.



Confiabilidad de un equipo existente.

La función de riesgo adopta las siguientes formas en función del parámetro de forma,

:

Tipo de fallos que se pueden dar: 

0< β < 1 Mortalidad infantil. La función de riesgo es decreciente, es decir, la tasa de fallo disminuye al aumentar el tiempo.



β = 1 La función de riesgo es constante, por lo que no depende del tiempo. En este caso, la distribución Weibull coincide con la Exponencial. o Fallos aleatorios independientes del tiempo. o Errores humanos.

43

o Errores de Mantenimiento. o Sistemas de varios componentes. o Combinación de dos o tres modos de fallos diferentes. 

1 < β < 4 Tasa creciente. o Implica desgastes tempranos. o Fatiga de baja frecuencia, con β = 2,5 hasta β = 4. o Fallos en rodamientos de bolas β = 2. o Fallos en rodamientos de rodillos β = 1,5. o Corrosión o erosión con β = 3 hasta β = 4. o Corrosión o esfuerzos con β = 5 o mayor. o Fallos en correas β = 2,5.



4 < β Tasa creciente. o Envejecimiento operacional. o Corrosión por esfuerzos. o Pérdida de propiedades de los materiales. o Materiales frágiles como la cerámica. o Algunos tipos de erosión. Distribuciones que pueden ser aproximadas a través de la distribución de

Weibull: 

β = 1 Distribución Exponencial.



β = 2 Distribución de Rayleigh.



3 ≤ β ≤ 4 Distribución Normal.

44

4. Métodos de estimación de parámetros

4.1.

Máxima verosimilitud El método de máxima verosimilitud suele generar estimadores insesgados de la

mínima varianza, siendo este un procedimiento frecuente para ajustar un modelo y encontrar sus parámetros característicos. Cuando queremos estimar un parámetro de una población de la cual se conoce la familia a la cual pertenece, es decir, su forma, por ejemplo se sabe que dicha población se puede modelar con una distribución Normal, ó Poisson, o Binomial, etc, pero no se conocen sus parámetros, podemos tomar una muestra aleatoria para con base en ella, construir una estadística que nos permita estimar dicho parámetro. Dada una muestra observada

y una ley de probabilidad

, la

verosimilitud cuantifica la probabilidad de que las observaciones provengan efectivamente, de una muestra (teórica) de la ley

Sea C un conjunto finito o numerable, {

.

} una familia de leyes de probabilidad

sobre C y n un entero. Llamamos verosimilitud asociada a la familia { ada

}, para una n-

de elementos de C y un valor θ del parámetro a la función definida por:

4.1 Estimar un parámetro por el método de máxima verosimilitud, es proponer como valor del parámetro aquél que maximice la verosimilitud, es decir, a la probabilidad de observar los datos como realización de una muestra de la ley

.

Para la mayoría de las leyes de probabilidad usuales, el estimador de máxima verosimilitud se define de forma única y se calcula explícitamente. En el plano teórico tiene muchas ventajas. Bajo hipótesis que cumplen numerosos modelos de uso

45

corriente, se demuestra que es asintóticamente insesgado y consistente. Se demuestra, además, que su varianza es mínima, por lo tanto el método de máxima verosimilitud es teóricamente el mejor de los métodos de estimación. Cuando una determinación explícita es imposible, hay que recurrir a una determinación numérica, empleando un algoritmo de optimización. En la mayor parte de los casos de interés práctico, la ley

y por tanto también

la verosimilitud, tienen una expresión calculable en función de θ. Para calcular el máximo de la verosimilitud, es necesario determinar los valores para los cuales la derivada de la verosimilitud se anula, pero por definición la verosimilitud es un producto de probabilidades o de densidades, lo cual puede ser bastante complicado de derivar. Es preferible derivar una suma, y es por esto que comenzamos por sustituir la verosimilitud por su logaritmo. Al ser el logaritmo una función creciente, es equivalente maximizar

o

. Una vez determinado el valor de θ

para el cual la derivada se anula, hay que asegurarse con la ayuda de la segunda derivada que el punto en cuestión es realmente un máximo. Es decir el punto en que la verosimilitud es máxima, es la solución del sistema de k ecuaciones [2], [4].

46

Cuadro N°1. Estimadores de máxima verosimilitud

Encontrar las estimaciones para la distribución Weibull, consiste en tomar las derivadas parciales de la función de probabilidad con respecto

a los parámetros,

organizar las ecuaciones que resultan igual a cero y resolver simultáneamente para determinar los valores de los parámetros estimados. [10], [22]. . Cabe resaltar que la manera como se hallan los parámetros en el programa es mediante el Toolboox de Matlab y su comando

, el cual

utiliza este mismo método.

4.2.

Mínimos Cuadrados

Este método es el utilizado tradicionalmente para la estimación de los parámetros de la distribución de Weibull, su mayor dificultad radica en cálculo del rango de la mediana, ya que por lo general se utiliza una aproximación de esta, en general este método es relativamente sencillo en comparación con el de Máxima Verosimilitud, pero tedioso por la gran cantidad de pasos para llegar a un resultado.

47

Cabe señalar que la precisión de este método depende de la cantidad de datos registrados, a mayor cantidad mayor precisión. Siendo en general menos preciso que la Máxima Verosimilitud. [5], [21]. El método de los mínimos cuadrados permite calcular los parámetros de forma y escala, mediante la transformación doble logarítmica de la función de distribución acumulativa. Deducción de la ecuación lineal de regresión: ( )

Función acumulativa de Weibull.

( )

( )

[ [

] [

( )

]

(

( )

Aplicando logaritmos naturales.

Propiedad exponencial de los logaritmos.

)]

( )

[

(

Aplicando logaritmos naturales.

)]

La expresión 4.2 representa una ecuación lineal de la forma

4.2

48

4.3 La cual es una recta de regresión, con:

[

(

)]

4.4

De la expresión 4.3 se concluye que el parámetro de forma, β, es la pendiente de la recta de regresión. De la expresión 4.4 se observa que el parámetro de escala , está en función del intercepto b de la recta de regresión y del parámetro de escala; por lo tanto:

4.5

Rango de mediana

Para poder trazar la recta de regresión, se debe calcular un estimador para la función de distribución acumulativa F(x). Este estimador, llamado Rango de mediana, es un estimador no paramétrico basado en el orden de las fallas. Este aspecto implica que la muestra de datos se debe organizar de menor a mayor (en forma ascendente).[19]

La expresión matemática para este estimador es:

4.6

49

Donde: : Rango de mediana para un nivel de confianza (1-α), donde α es el nivel de significancia y toma el valor de 0.5 para este estimador. i: Orden de la falla. n: Número total de datos de la muestra.

: Valor crítico de la distribución F de Snedecor, evaluada en el nivel de significancia α y con grados de libertad

.

Generalmente el rango de mediana se aproxima mediante la siguiente expresión

4.7

Donde: RM(xi): Rango de mediana. i: Orden de falla. n: Número total de datos de la muestra.

Hallando la pendiente β:

4.8

Hallando b:

4.9

50

4.3.

Pruebas de bondad de ajuste Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se

ajustan a una determinada distribución. Es necesario resaltar, que las pruebas están en capacidad de rechazar con certeza absoluta la hipótesis nula, pero si dicha hipótesis se acepta quiere decir que la distribución escogida es posiblemente la que describe el comportamiento de los datos.

4.3.1. Test de Kolmogorov-Smirnov Es una prueba no paramétrica que se utiliza para determinar la bondad de ajuste. Estos test se hacen necesarios cuando la distribución no puede ser definida concretamente pues son los datos observados los que la construyen. La prueba de Kolmogorov-Smirnov se basa en la diferencia entre la Función de distribución acumulativa y la Función de distribución empírica. La discrepancia obtenida entre la función de distribución teórica de la empírica da como resultado la distancia de Kolmogorov-Smirnov y con esta se puede determinar si la hipótesis se acepta o se rechaza. [6] Claramente, la prueba de Kolmogorov-Smirnov se plantea de la siguiente manera [25]: 1. Se plantea la hipótesis nula:

Donde

es la función de distribución de una ley continua dada

2. Se define la función de distribución empírica

51

3. Se plantea la distancia de Kolmogorov-Smirnov, realizando restas por encima y por debajo de la función entre la función de distribución acumulada y la función de distribución empírica

4.10

Donde : : Función de distribución acumulada

4. Finalmente, una vez obtenida la distancia de Kolmogorov-Smirnov se verifica que dicha distancia sea menor o igual a la Distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov

4.11

Si y solo si esta condición se cumple, se puede decir que se cumple la hipótesis nula . La tabla de distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov ó los límites de aceptación para el test K-S se encuentra en el Anexo 1

52

Ejemplo De una tabla de números aleatorios se eligen los siguientes 50 (divididos entre 100 para que su valor oscile entre 0 y 1) Cuadro N°2. Números aleatorios entre 0 y 1



Paso 1

Se desea probar la hipótesis

: Provienen de una distribución uniforme en

[0,1], a un nivel de significancia del 90% 

Paso 2 Se selecciona una muestra de tamaño n de números seudoaleatorios

53

Cuadro N°3. Datos seleccionados para aplicar Kolmogorov-Smirnov



Paso 3 3.1. Se organiza la tabla anterior para que se cumpla la condición

para

toda posición .

Cuadro N°4. Datos organizados de menor a mayor para prueba KS

3.2. Si

, entonces

posición , siendo

. Se construye .

para toda

54

Cuadro N°5. Valores de



Paso 4 Se evalúa:

Es decir, se busca la mayor de las desviaciones en valor absoluto, para lo cual se deben calcular todas las desviaciones entre los valores de probabilidad acumulada teórica y los valores de probabilidad acumulada empírica. El valor D máximo ocurre para

, que esta en la posición

es decir con una probabilidad acumulada teórica de 

,

.

Paso 5 Para un nivel de significancia del 90% y una muestra de 50 números se tiene de la Tabla Kolmogorov – Smirnov (ver anexo 1), un valor de 0.172. Como

se acepta

, o sea, los números si provienen

de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].

55

4.3.2. Prueba Chi-Cuadrado

Es una prueba de bondad de ajuste también conocida como la prueba

de

Pearson o Chi-Cuadrado. La utilización de estos métodos se hace recomendable cuando no se puede asumir que los datos se ajusten a una distribución conocida. Es considerada como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia o distancia entre una distribución observada y otra teórica (bondad de ajuste).[2], [17]

La fórmula del estadístico es la siguiente:

4.12

Teniendo en cuenta que Donde:

Frecuencia observada de la muestra

Frecuencia esperada según la distribución teórica

Tamaño de la muestra

Para calcular el valor de Chi-Cuadrado se realiza lo siguiente [17]: 1. Se divide la muestra de datos en intervalos y se obtienen la frecuencias

observada para cada intervalo (Una buena aproximación para la cantidad de intervalos necesarios puede ser √

donde

es el tamaño de la muestra).

56

2. Se calcula la frecuencia esperada para cada intervalo, basados en la función

distribución de probabilidad acumulada. 3. Con la fórmula del estadístico se obtiene el valor de Chi-Cuadrado.

4. Finalmente, con el valor de

se verifica que sea menor o igual al valor

obtenido de las Tablas de Distribución Chi-Cuadrado (Anexo 2).

Ejemplo Digamos que 900 estudiantes expresan su voluntad por celebrar el aniversario de la institución organizando uno de dos eventos: un acto solemne en el templo universitario o una actividad deportiva en el estadio de fútbol. Una vez hecha la encuesta se tiene que 495 alumnos prefieren la actividad deportiva y 405 se inclinan por el acto solemne. ¿Existe una diferencia significativa entre los estudiantes en su preferencia por la actividad deportiva? La prueba estadística para determinar la significatividad de la diferencia en las frecuencias observadas es la prueba llamada Chi Cuadrado. Para el caso que nos ocupa, se supone que si no hay diferencia en la preferencia de los alumnos de una manera perfecta, tendríamos 450 alumnos eligiendo el acto solemne y otros 450 eligiendo las actividades deportivas. Esa es la frecuencia de respuestas esperadas en el caso de una igualdad absoluta. Pero tenemos frecuencias observadas un poco diferentes en un caso son 495 y en el otro 405, lo que deseamos saber es si esa diferencia observada es significativa. Lo que se hace al aplicar la fórmula de Chi Cuadrado es restar al número de frecuencias observadas, el número de frecuencias esperadas; elevar esta diferencia al cuadrado, lo que hace que todos los valores asuman un valor positivo, y luego se divide

57

el cuadrado obtenido entre el las frecuencias esperadas. Esto se hace de manera independiente para cada una de las categorías. Una vez terminado este paso, se suman los resultados obtenidos en cada categoría y ese valor resultante de la suma es el valor Chi Cuadrado observado, el cual deberá ser comparado con el valor Chi Cuadrado crítico según el nivel

de significatividad escogido y los grados de libertad

correspondientes. En el caso de nuestro ejemplo se trata de dos categorías, lo que conduce a un grado de libertad. A continuación el proceso para calcular el valor Chi Cuadrado

A favor del acto solemne: Frecuencias observadas = 405 Frecuencias esperadas = 450

A favor del acto deportivo: Frecuencias observadas = 495 Frecuencias esperadas = 450

Se suman los valores obtenidos en cada grupo para obtener el valor de Chi Cuadrado.

58

Se compara este valor con el valor correspondiente a un grado de libertan en la tabla de Chi Cuadrado (ver anexo 2) y se encuentra que el valor crítico de grado de libertad a un nivel

para un

a dos colas es = 3.8941.

Siendo que el valor Chi Cuadrado (

) obtenido es mayor que el valor crítico, se

desacredita la hipótesis nula que afirma que no existe diferencia significativa entre las frecuencias observadas y se concluye que la diferencia es significativa. Esto quiere decir que en menos de cinco casos de cada cien, una diferencia como la del valor igual o mayor al observado de Chi Cuadrado, en este caso

, puede ser atribuida a la

selección de la muestra (azar).

4.3.3. Niveles de confianza

El nivel de confianza, es la probabilidad a priori de que el intervalo de confianza a calcular contenga al verdadero valor del parámetro. Se indica por 1-α y habitualmente se da en porcentaje (1-α). Hablamos de nivel de confianza y no de probabilidad ya que una vez extraída la muestra, el intervalo de confianza contendrá al verdadero valor del parámetro o no, lo que sabemos es que si repitiésemos el proceso con muchas muestras podríamos afirmar que el (1-α) de los intervalos así construidos contendría al verdadero valor del parámetro. Que tanta confianza tenemos que la estimación que hicimos de un intervalo, incluya la mayor parte de la muestra, es decir los casos analizados. El nivel se significancia de un test es un concepto estadístico asociado a la verificación de una hipótesis. Se define como la probabilidad de tomar la decisión de rechazar la hipótesis nula cuando ésta es verdadera. Diferentes valores de α tienen ventajas y desventajas. Valores pequeños de

α

otorgan mayor confianza en la

determinación de dicha significancia, pero hacen correr mayores riesgos de equivocarse al rechazar la hipótesis nula falsa.

59



Error tipo I.

Consiste en rechazar una hipótesis nula cuando ésta en realidad, es verdadera. Recomendaciones para disminuir el error de tipo I: o Disminuir el número de test estadísticos llevados a cabo en el estudio o Depurar la base de datos para evitar errores de valores extremos que puedan producir hallazgos significativos. o Utilizar valores de alfa más reducidos (0.01 ó 0.001). o Reproducir el estudio. Si al reproducir el estudio se obtienen resultados similares, estaremos más seguros de no estar cometiendo el error de tipo I.



Error tipo II

Este tipo de error, sucede cuando se afirma una hipótesis que de antemano, es falsa. Recomendaciones para disminuir el error de tipo II: o Incrementar el tamaño de la muestra. o Estimar el poder estadístico del estudio. o Incrementar el tamaño del efecto a detectar. o Incrementar el valor de alfa. o Utilizar test paramétricos (más potentes) en lugar de test no paramétricos.

60

5. Desarrollo del programa

El software contara con dos interfaces de usuario, una para el análisis de fallas y otra para el análisis de velocidades del viento, las que se detallaran durante el presente capitulo. El código de programación de cada interface se encuentra en el Anexo 4.

5.1.

MATLAB

El diseño del programa se realizara en base al lenguaje de programación del software MATLAB, el cual se describe a continuación. MATLAB (Matrix Laboratory, “laboratorio de matrices”). Como información general podemos mencionar que MATLAB tiene un modelo de desarrollo de Software propietario, de genero Software matemático lanzado en 1984. Este software de ayuda al cálculo está formado por un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Entre sus aplicaciones se hallan: el cálculo matemático de matrices, manipulación y figuración de datos y funciones, el desarrollo de algoritmos, la realización de interfaces de usuario (GUI‘s), un entorno de programación visual (Simulink) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. Está disponible para los sistemas operativos Windows, Unix y Apple Mac. MATLAB dispone de dos aplicaciones adicionales que amplían sus propiedades, que son: Simulink (plataforma de simulación) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). Además, se pueden aumentar las características de MATLAB con las herramientas (toolboxes), y las de Simulink con las aplicaciones de bloques (blocksets). Este software es utilizado en centros de desarrollo, centros de investigación, universidades y en empresas de i+d. En estos años se ha ampliado el número de

61

prestaciones, como la de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL. Para la creación de las interfaces graficas se recurrirá al uso de la herramienta GUIDE.

5.2.

Tratamiento de datos Una vez se obtiene una muestra de tamaño

fundamental a la hora de realizar los análisis

, la organización de los mismos es respectivos, por esto, es necesario

ordenarlos de forma ascendente como primera medida para el cálculo de los parámetros. En este primer paso se incluyen todos los valores de tiempos tomados para el análisis de confiabilidad. Los n valores tomados para el estudio y aproximación, son los n valores ingresados. Cuadro N°6. Organización para todos los valores

El segundo paso consiste en agrupar los datos en intervalos, según su frecuencia para la posterior aplicación de las pruebas de bondad Una vez sean cargados los datos, se realiza un recorrido fila a fila (los cuales deben estar en orden ascendente), verificando si cada dato actual es diferente al anterior. En caso tal que dicho dato sea igual al anterior, lo elimina y continúa con la siguiente

62

fila. Por esto, la cantidad de datos i analizados para el modelo de confiabilidad es menor o igual que el tamaño total de la muestra de fallos n.

Cuadro N°7. Organización de datos para pruebas de bondad

5.2.1. Nivel de significancia Es la máxima cantidad de error que estamos dispuestos a aceptar para dar como validad la hipótesis nula. Se establece convencionalmente en 5%, sin embargo, el programa cuenta con una serie de posibilidades en cuanto a niveles de significancia los cuales son decisión del usuario para el tratamiento de los datos que desea realizar 

Nivel de significancia del 1%



Nivel de significancia del 5%



Nivel de significancia del 10%



Nivel de significancia del 20% El nivel de significancia, es una selección del usuario, el cual se encuentra

disponible en la interfaz de usuario, siendo esta un parámetro de entrada.

63

5.3.

Funcionamiento del programa

5.3.1. Diagramas de flujo de cada interfaz

Figura N°20. Diagrama de flujo del programa para el análisis de falla

64

Figura N°21. Diagrama de flujo del programa para el análisis de velocidades del viento

65

5.3.2. Diagramas de flujo discriminados de acuerdo a su función

Diagramas comunes para ambas interfaces: 

Selección del tipo de datos

Figura N°22. Diagrama de flujo tipo de datos a analizar 

Cargar datos

Figura N°23. Diagrama de flujo de la carga de datos

66



Nivel de significancia

Figura N°24. Diagrama de flujo Nivel de Significancia 

Calcular parámetros

Figura N°25. Diagrama de flujo Calcular parámetros

67



Pruebas de bondad de ajuste

Figura N°26. Diagrama de flujo Pruebas bondad de ajuste

68

Diagramas según interfaz 

Análisis de fallas

Cálculos posteriores

Figura N°27. Diagrama de flujo del cálculos posteriores análisis de fallas

Gráficas

Figura N°28. Diagrama de flujo del Graficas análisis de fallas

69



Análisis velocidad de viento Cálculos posteriores

Figura N°29. Diagrama de flujo del Cálculos análisis de viento

Figura N°30. Diagrama de flujo del Cálculo Potencia Aerogenerador

70

Figura N°31. Diagrama de flujo del Gráficas análisis de viento

Los conceptos vistos anteriormente se describirán en mayor detalle en el subcapítulo siguiente.

Interfaz de usuario

5.4.

La interfaz de usuario, es la comunicación directa entre el usuario y el código fuente del programa, siendo esta la encargada de mostrar en pantalla todos los resultados obtenidos durante la ejecución y análisis de una base de datos determinada. El software posee dos interfaces independientes

para cada tipo de datos

analizar, una para el análisis de fallas y confiabilidad y otra para el análisis de velocidades del viento y potencial eólico. En ambas interfaces se presentan los parámetros de la distribución Weibull, si la hipótesis nula se acepta o rechaza, es decir, si el modelo aproximado para una base de datos en cuestión puede o no ser simulado como una distribución Weibull, y las distintas gráficas asociadas a la distribución y a los datos. El usuario, por medio de la interfaz, está en la obligación de fijar algunos datos de entrada por medio de un “menú desplegable”, los cuales se realizan directamente en

71

la interfaz y en ambas por igual. El tipo de datos a analizar (análisis de fallas o análisis de velocidad del viento), el nivel de significancia (0.01, 0.05, 0.1, 0.2) deben ser determinados antes de comenzar.

5.4.1. Interfaz gráfica para análisis de fallas y confiabilidad

Figura N°32. Interfaz gráfica para el análisis de fallas y tiempos de vida En la Figura N°32 se puede observar la presentación de la interfaz de usuario, y todos los elementos que la componen, estos se detallaran según el orden en que deben ser usados. Antes que nada deberemos tener claro que tipos de datos analizaremos, en este caso análisis de fallas como se ve en la Figura N°33. Este menú desplegable nos permite intercambiar entre las dos interfaces según los datos a analizar.

72

Figura N°33. Menú desplegable para el tipo de base de datos Luego deberemos cargar nuestra base de datos mediante el botón “Abrir”, el cual nos permitirá buscar el archivo Excel en el cual tenemos los datos a analizar.

Figura N°34. Botón “Abrir” Es necesario señalar que la base de datos debe estar ordenada de una manera específica para el correcto funcionamiento del software, los detalles se adjuntan en el Anexo 3. Teniendo los datos cargados, nos ubicamos en el recuadro denominado “Parámetros”.

Figura N°35. Sección Parámetros

73

En esta sección debemos seleccionar el nivel de significancia o sensibilidad que queremos que tengan las pruebas de bondad de ajuste, por defecto de usa 5%, una vez hecho esto solo nos queda presionar el botón “Calcular Parámetros”.

Figura N°36. Menú desplegable “Nivel de sensibilidad”

Figura N°37. Botón “Calcular Parámetros”

Luego de haber presionado el botón para el cálculo de parámetros, se nos mostrara la información siguiente; el valor de los parámetros η y β, la media, la varianza,

y el resultado de las pruebas de bondad Figura N°37, dependiendo del

resultado de estas pruebas tomaremos la decisión de aceptar los parámetros como válidos, y seguir con los cálculos posteriores, caso contrario la base de datos debe ser ajustada mediante otras distribuciones no incluidas en el programa.

74

Figura N°38. Información mostrada al calcular parámetros A parte de la información mencionada, también se graficara automáticamente la función de densidad de probabilidad al presionar el botón “Calcular Parámetros”.

Figura N°39. Gráfica función de densidad de probabilidad calculada

75

Una vez realizado el cálculo de los parámetros y aceptada la hipótesis, podremos hacer uso del recuadro “Cálculos” y del menú desplegable de “Gráficas”.

No es posible la utilización de estas secciones sin antes haber calculado los parámetros, ya que los cálculos realizados en ellas se basan en los parámetros η y β calculados en la sección anterior. Aclarado esto podemos continuar con la descripción de la interfaz. El recuadro “Cálculos” permite al usuario seleccionar entre las distintas funciones asociadas a la distribución de Weibull y calcularlas dado el valor de una variable, este valor debe ser ingresado por el usuario en el recuadro blanco superior. El resultado de la función será mostrado en el recuadro blanco inferior una vez pulsado el botón “Calcular”.

Figura N°40. Recuadro “Cálculos” Interfaz análisis de fallas La descripción de cada opción es detallada a continuación: 

Confiabilidad: permite el cálculo de la confiabilidad ingresando como variable el tiempo, la distancia, etc. y entregando el resultado entre 0 y 1.

76



Probabilidad de Falla: entrega el valor entre 0 y 1 de la probabilidad de falla a través de la función de distribución acumulativa, ingresando para ello el valor de una variable como tiempo, distancia, etc.



Tiempo Confiable: permite conocer el tiempo u otra variable para un porcentaje de confiabilidad dado entre 0 y 1.



Tiempo de Falla: permite conocer el tiempo u otra variable para para una probabilidad de falla dada entre 0 y 1.



Tasa de Fallas: entrega el valor de la tasa de falla según el valor de la variable que se ingrese.



MTTF/MTTR: muestra el valor correspondiente según el tipo de datos, al no ser una función solo se selecciona y se presiona el botón “Calcular” para conocer su valor. El menú desplegable “Gráficas” permite la visualización de las distintas gráficas

de las funciones indicadas en la Figura N°41.

Figura N°41. Menú desplegable “Gráficas” La opción PDF grafica la función densidad de probabilidad, y CDF grafica la función de distribución acumulada, que se corresponde con la opción de probabilidad de falla del recuadro de “Cálculos”

77

5.4.2. Interfaz para el análisis del potencial eólico

Figura N°42. Interfaz gráfica para el análisis de viento y potencial eólico En la Figura N°42 se puede observar la presentación de la interfaz de usuario para el análisis de vientos y potencial eólico, y todos los elementos que la componen, estos se detallaran según el orden en que deben ser usados. El menú desplegable para la selección del tipo de datos, el botón “Abrir”, y el recuadro “Parámetros” no se describirán, ya que su funcionamiento y configuración es exactamente el mismo que el descrito en la interfaz de análisis de fallas

78

Una vez realizado el cálculo de los parámetros y aceptada la hipótesis, podremos hacer uso del recuadro “Cálculos”, “Cálculo Potencia Aerogenerador” y del menú desplegable de “Gráficas”. No será posible la utilización de estas secciones sin antes haber calculado los parámetros, ya que los cálculos realizados en ellas se basan en los parámetros η y β calculados anteriormente. Aclarado esto podemos continuar con la descripción de la interfaz. El recuadro “Cálculos” permite al usuario seleccionar entre las distintas funciones asociadas a la distribución de Weibull y calcularlas dado el valor de una variable, este valor debe ser ingresado por el usuario en el recuadro blanco superior. El resultado de la función será mostrado en el recuadro blanco inferior una vez pulsado el botón “Calcular”. Para la interfaz de análisis de vientos se presentan tres opciones.

Figura N°43. Recuadro “Cálculos” Interfaz análisis vientos 

Prob.

: permite conocer la probabilidad de que la velocidad

sea mayor a una velocidad 

dada.

Prob. V < v permite conocer la probabilidad de que la velocidad sea menor a una velocidad

del viento

dada.

del viento

79



P. media disponible: entrega el valor de la potencia media disponible en el viento en W/m2 solo presionando el botón Calcular. El cálculo de potencia media generada por un aerogenerador instalado en el

emplazamiento en estudio se realiza mediante el recuadro de la Figura N°44.

Figura N°44. Recuadro “Cálculo Potencia Aerogenerador” 

Cargar datos generador: permite buscar y cargar el archivo Excel donde se encuentran los datos de la curva de potencia del aerogenerador.



Calcular: permite calcular la potencia generada por el aerogenerador integrando la función que describe la curva de potencia de este y la función de densidad de probabilidad de la velocidad del viento calculada, entre las velocidades de cut-in y cut-out entregadas por el fabricante que deben ser ingresadas en los recuadros correspondientes antes de comenzar el cálculo. La unidad de potencia dependerá de las unidades en las que se encuentre la curva de potencia del aerogenerador. La velocidad a la cual el aerogenerador comienza a generar su potencia nominal (rated power) corresponde a “vr” que encuentra en el recuadro como dato a ingresar antes del cálculo.

80



El menú desplegable “Gráficas” permite la visualización de las distintas gráficas de las funciones indicadas en la Figura N°45.

Figura N°45. Recuadro “Gráficas” análisis de vientos La opción “PDF” grafica la función densidad de probabilidad, y “CDF” grafica la función de distribución acumulada que se corresponde con “Prob. V < v”, “CDF Complementaria” que grafica la función de distribución acumulada complementaria y se corresponde con “Prob.

” y “Curva de Potencia”, que muestra la gráfica de la

curva de potencia del aerogenerador.

81

6. Resultados y Análisis

6.1.

Pruebas de cálculo de parámetros

Se realizó una serie de 25 pruebas en las cuales se generó una base de n datos, correspondiente a una distribución de Weibull con parámetros η y β dados.

Las pruebas consistieron en calcular los parámetros

de las bases de datos

mediante dos software comerciales, usados para el ajuste de distribuciones de probabilidad (Weibull++ y Easyfit) y el software diseñado.

En la tabla siguiente se comparan los parámetros calculados con los distintos programas, además se muestra el número de datos de cada base y sus parámetros reales.

Cuadro N°8. Comparación de parámetros calculados n η real Β real η W++ β W++ η Easyfit β Easyfit η programa β programa 5 2 1 1.8111 1.3644 1.5772 0.7412 1.8111 1.3644 15 2 5.8 1.9896 4.4985 1.9426 4.0157 1.9896 4.4985 20 3.2 2.7 3.4141 2.4776 3.2212 2.5492 3.4140 2.4775 25 0.5 0.5 0.6599 0.5607 0.6121 0.4715 0.6599 0.5607 32 3.2 0.96 3.7635 1.0049 3.5217 0.9393 3.7635 1.0049 40 1 2 1.0469 1.8417 1.0268 1.6949 1.0469 1.8417 45 0.5 0.5 0.4473 0.4428 0.4121 0.4167 0.4472 0.4428 46 0.5 3.8 0.4962 3.9321 0.4906 3.7940 0.4962 3.9321 46 0.8 2 0.7319 2.2339 0.7427 1.7959 0.7319 2.2340 50 0.5 2.4 0.4367 2.1306 0.4249 2.1638 0.4367 2.1306 52 2.5 6.4 2.4699 5.8031 2.4862 4.9179 2.4699 5.8032 57 3.7 2 3.7569 2.1494 3.6617 2.2136 3.7570 2.1494 62 6.8 2.3 7.0486 2.4615 7.1465 1.9970 7.0485 2.4614 64 3.8 2.9 3.4232 2.6643 3.3894 2.4887 3.4233 2.6644 66 3.5 2.1 3.5234 2.4085 3.5241 2.1173 3.5235 2.4086 74 1.2 1.8 1.2412 1.7552 1.3019 1.2967 1.2412 1.7552 76 0.01 1.3 0.0090 1.2252 0.0089 1.1838 0.0090 1.2252 85 0.1 4 0.1015 3.9852 0.1009 3.9384 0.1015 3.9852 90 1.6 1.4 1.7151 1.3908 1.6787 1.3997 1.7151 1.3909 100 1.4 2 1.3042 1.9613 1.2684 2.1426 1.3042 1.9614

82 112 155 160 270

2 7 10 5

1 1.7678 1.5 6.6859 1 10.0763 5 5.0843

1.0711 1.3950 1.0613 5.1260

1.7145 6.6670 9.8994 5.1235

1.0880 1.3724 1.0962 4.6004

1.7679 6.6859 10.0765 5.0843

1.0711 1.3950 1.0614 5.1260

Se puede ver que los parámetros calculados por el software Weibull++ y los calculados por el software diseñado son prácticamente iguales, siendo el método de cálculo de ambos el de Máxima Verosimilitud, en cambio los parámetros calculados por Easyfit, del cual no se especifica su método de estimación, difieren ligeramente de los anteriores. En todas las pruebas la hipótesis nula fue aceptada con un nivel de significancia de 5%. Podemos entonces tener la certeza que programa diseñado entrega resultados consistentes en cuanto a la precisión de los parámetros, estando a la par en este sentido de los programas comerciales.

6.2.

Aplicaciones prácticas

Se llevaran a cabo una serie de aplicaciones para las cuales se desarrolló el software y además probar el correcto funcionamiento de este. Estas aplicaciones consistirán en la resolución de dos ejemplos tanto para un equipo reparable como para un grupo no reparable, para los cuales se cuenta con sus correspondientes registros históricos de fallas. Finalmente se realizara un análisis de las distribuciones de vientos de un emplazamiento del cual se tienen registros de las velocidades del viento durante un periodo de un año.

83

6.2.1. Análisis de fallas y confiabilidad

Ejemplo 1 El comportamiento de una máquina en el tiempo se muestra en la siguiente Tabla donde aparecen los distintos tiempos medios entre fallas (TBF) y tiempos de reparación (TTR). Se desea conocer cuál fue la disponibilidad de la máquina. [19]

Cuadro N°9. Tiempos de falla y tiempos de reparación ejemplo 1 i TBF(Horas) TTR(Horas) 1 110 2 2 330 26 3 120 34 4 220 3 5 225 9 6 218

Cargamos los datos de TBF en el programa y calculamos

Figura N°46. Parámetros tiempos entre fallas ejemplo 1

84

Lo primero que observamos es que las hipótesis nulas de las pruebas de bondad de ajuste han sido aceptadas, por lo que tomamos los parámetros calculados como correctos.

Cargamos los datos de TTR en el programa y calculamos

Figura N°47. Parámetros tiempos de reparación ejemplo 1 Observamos que las hipótesis son aceptadas, por lo que tomamos los parámetros calculados como correctos.

85

Con los datos anteriores podemos calcular la disponibilidad de la máquina como:

Realizando un análisis de confiabilidad podemos calcular la probabilidad de que la máquina dure más de t horas sin fallos. ]

Por ejemplo:

Figura N°48. Cálculo de confiabilidad usando la interfaz de usuario ] presente fallos antes de 377,824 es del 1%.

La probabilidad de que la máquina no

86

Figura N°49. Cálculo de confiabilidad usando la interfaz de usuario ]

La probabilidad de que la máquina no

presente fallos antes de 300,883 Horas es del 10%.

Figura N°50. Cálculo de confiabilidad usando la interfaz de usuario ]

La probabilidad de que la máquina no presente

fallos antes de 109,23 Horas es del 90%.

87

Figura N°51. Cálculo de confiabilidad usando la interfaz de usuario ]

La probabilidad de que la máquina no

presente fallos antes de 86,227 Horas es del 95%.

Ejemplo 2 Los datos de la tabla siguiente son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones de alambre, con un extremo soldado sobre un semiconductor y el otro al poste Terminal. Cada falla consiste en la ruptura del alambre (modo de falla 1 = A) o de una soldadura (modo de falla 2 = S). En este caso el esfuerzo hace las veces de tiempo de falla. [16]

Cuadro N°10. Esfuerzos y modos de falla ejemplo 2 Esfuerzo 550 750 950 950 1150 1150 1150 1150 1150 1250 1250

Modo falla S A S A A S S A A S S

de

88

1350 1450 1450 1450 1550 1550 1550 1850 2050

A S S A S A A A S

Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerando que se requiere que menos del 1% debe fallar a un esfuerzo menor a 500 mg. O sea que al menos el 99% de las conexiones resista un esfuerzo mayor a 500 mg. Se desea estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar uno de los modos de falla. Primero se hace un análisis sin distinguir los modos de falla, verificando el ajuste de los datos.

Figura N°52. Parámetros calculados sin considerar modos de fallas

89

Observamos que las hipótesis son aceptadas, por lo tanto los datos pueden ser modelados por una distribución Weibull con los parámetros indicados:

Haciendo un análisis de confiabilidad para 500 mg considerando los dos tipos de falla se tiene una confiabilidad de 98,61 %.

Figura N°53. Confiabilidad para esfuerzo de 500 mg. Y por lo tanto el porcentaje de falla será 1,39% que es mayor al objetivo del 1%, por lo que se tratará de eliminar uno de los modos de falla.

Figura N°54. Probabilidad de falla para esfuerzo de 500 mg.

90

Realizando el análisis por separado para cada modo de falla se tiene: 

Modo de falla A

Figura N°55. Parámetros calculados para modo de falla “A”. Se verifican las hipótesis, aceptándose los parámetros obtenidos.

91

Repitiendo el análisis de confiabilidad para 500 mg considerando el modo de falla “A” se tiene una confiabilidad de 99,24 %

Figura N°56. Confiabilidad para esfuerzo de 500 mg con modo de falla “A”. Y por lo tanto el porcentaje de falla será 0,76% el cual es menor al objetivo del 1%, por lo que eliminando el modo de falla “S” es posible lograr la confiabilidad deseada.

Figura N°57. Probabilidad de falla para esfuerzo de 500 mg con modo de falla “A”.

92



Modo de falla S

Figura N°58. Parámetros calculados para el modo de falla “S”. Comprobamos que se acepten las hipótesis tomamos los parámetros calculados como válidos.

Repitiendo el análisis de confiabilidad para 500 mg y considerando el modo de falla “S” se tiene una confiabilidad de 98,18 %

93

Figura N°59. Confiabilidad para esfuerzo de 500 mg con modo de falla “S”. Y por lo tanto el porcentaje de falla será 1,82% el cual es mayor al objetivo del 1%, por lo que eliminando el modo de falla “A” y manteniendo el modo de falla “S” no se logra el nivel de confiabilidad buscado.

Figura N°60. Probabilidad de falla para esfuerzo de 500 mg con modo de falla “S”. 

Combinando ambos modos de fallas

En este caso se observa que obtenemos 97.43% de confiabilidad, lo que significa que el único modo para tener menos de 1% de falla y una confiabilidad mayor a 99%

94

en 500 mg. es eliminando el modo de falla “S” obteniendo así una probabilidad de falla 0,76% y confiabilidad de 99,24%, y cumpliendo con el objetivo. Como vimos en el ejemplo 2, mediante el programa nos es posible analizar rápida y fácilmente entre distintos modos de fallas, permitiéndonos conocer como estos afectan la confiabilidad de algún equipo o componente y la forma en que podemos mejorarla, en este caso fue eliminando un modo de falla. También como constatamos en las Figuras N°46 a N°49 del ejemplo 1, con el programa podemos analizar la confiabilidad para cualquier tiempo que ingresemos y viceversa, lo que nos permite establecer intervalos de inspección o reemplazo basados en el valor de la confiabilidad.

6.2.2. Análisis de velocidades de viento y potencial eólico Se tienen los datos de las velocidades del viento registrados por la estación meteorológica del laboratorio de Recursos Acuáticos de Calfuco, perteneciente a la carrera Biología Marina de la Universidad Austral de Chile, estos registros van desde el 01 de Enero de 2006 hasta el 31 de Diciembre de 2006, en intervalos de 1 hora.

Se analizaran los datos para cada uno de los meses del año, para caracterizar de esta manera el potencial eólico mensual y anual promedio del lugar, y con lo cual determinar la potencia y energía generadas por un aerogenerador si se instalara en este lugar.

El aerogenerador en estudio será el Acciona AW 70-1500 Class I, de 70 m de diámetro y 1500 kW. Los datos y curva de potencia del aerogenerador se encuentran el Anexo 5.

Comenzamos a cargar los datos en el programa y a calcular los parámetros y demás datos.

95



Enero

Figura N°61. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Enero En la Figura N°61 podemos apreciar los parámetros η y β calculados y la hipótesis se aceptada, por lo tanto tomamos como válidos todos los datos posteriores, además se puede corroborar observando la gráfica donde se pueden ver el histograma de frecuencia de los datos reales y la función de densidad de probabilidad calculada, la cual se ajusta bastante bien a los datos registrados. El mismo análisis se realiza para los siguientes meses.  La Velocidad media para el mes de enero es de 3,857 m/s  La potencia media disponible del viento es de 231,809 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Enero sería 184,194 kW

96

 Y la energía 137.040,336 kWh 

Febrero

Figura N°62. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Febrero

 La Velocidad media para el mes de febrero es de 2,356 m/s  La potencia media disponible del viento es de 148,8280 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Febrero sería 91,2830 kW  Y la energía 61.342,176 kWh

97



Marzo

Figura N°63. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Marzo  La Velocidad media para el mes de marzo es de 2,308 m/s  La potencia media disponible del viento es de 242,003 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Marzo sería 92,112 kW  Y la energía 68.531,328 kWh

98



Abril

Figura N°64. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Abril

 La Velocidad media para el mes de abril es de 3,533 m/s  La potencia media disponible del viento es de 454,9260 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Abril sería 164,1640 kW  Y la energía 118.198,08 kWh

99



Mayo

Figura N°65. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Mayo

 La Velocidad media para el mes de mayo es de 2,810 m/s  La potencia media disponible del viento es de 201,3510 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Mayo sería 118,8480 kW  Y la energía 88.422,912 kWh

100



Junio

Figura N°66. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Junio

 La Velocidad media para el mes de junio es de 4,484 m/s  La potencia media disponible del viento es de 351,8980 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Junio sería 235,2580 kW  Y la energía 169.385,76 kWh

101



Julio

Figura N°67. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Julio

 La Velocidad media para el mes de julio es de 6,115 m/s  La potencia media disponible del viento es de 461,266 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Julio sería 382,1800 kW  Y la energía 284.341,92 kWh

102



Agosto

Figura N°68. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Agosto

 La Velocidad media para el mes de agosto es de 5,225 m/s  La potencia media disponible del viento es de 303,127 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Agosto sería 292,38 kW  Y la energía 217.530,72 kWh

103



Septiembre

Figura N°69. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Septiembre

 La Velocidad media para el mes de septiembre es de 4,032 m/s  La potencia media disponible del viento es de 212,805 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Septiembre sería 192,673 kW  Y la energía 138.724,56 kWh

104



Octubre

Figura N°70. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Octubre

 La Velocidad media para el mes de octubre es de 4,352 m/s  La potencia media disponible del viento es de 237,493 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Octubre sería 217,62 kW  Y la energía 161.909,28 kWh

105



Noviembre

Figura N°71. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Noviembre

 La Velocidad media para el mes de noviembre es de 3,566 m/s  La potencia media disponible del viento es de 162,657 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Noviembre sería 155,315 kW  Y la energía 111.826,8 kWh

106



Diciembre

Figura N°72. Resultados análisis de velocidades del viento para el mes de Diciembre

 La Velocidad media para el mes de diciembre es de 4,583 m/s  La potencia media disponible del viento es de 277,212 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador en el mes de Diciembre sería 239,314 kW  Y la energía 178.049,616 kWh

107

En la tabla siguiente se puede apreciar el resumen de la información obtenida para cada mes, así como también el promedio anual para la velocidad media, potencia media disponible y la potencia del aerogenerador, además de la energía total generada durante el año mediante la sumatoria de todos los meses y también calculada usando la potencia media del generador durante el año. Cuadro N°11. Resumen anual de la información obtenida. mes/datos Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Promedio y total anual

Velocidad Potencia media Potencia media Media (m/s) disponible (W/m2) aerogenerador (kW) 3,857 231,809 184,194 2,356 148,828 91,283 2,308 242,003 92,112 3,533 454,926 164,164 2,810 201,351 118,848 4,484 351,898 235,258 6,115 461,266 382,180 5,225 303,127 292,380 4,032 212,805 192,673 4,352 237,493 217,620 3,566 162,657 155,315 4,583 277,212 239,314 3,935

273,781

Energía generada (kWh) 137.040,336 61.342,176 68.531,328 118.198,080 88.422,912 169.385,760 284.341,920 217.530,720 138.724,560 161.909,280 111.826,800 178.049,616 Suma

1.735.303,488

Promedio

1.433.880,600

163,685

Anteriormente se estudió la distribución de las velocidades del viento para cada uno de los meses del año, pero si lo que nos interesa es conocer como es el comportamiento del viento durante el año completo podemos realizar un análisis único para todos los datos registrados, cuyo resultado se puede ver en la imagen

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Figura N°73. Resultados análisis de velocidades del viento para el año 2006

De la Figura N°73 obtenemos la misma información que obtuvimos en los análisis mensuales anteriores, pero esta vez aplicados al año completo.  La Velocidad media del año 2006 fue de 4,014 m/s  La potencia media disponible del viento para el año 2006 fue de 320,633 W/m2  La potencia media generada por el aerogenerador sería 199,543 kW  Y la energía producida durante el año 1.747.996,680 kWh

En el Cuadro N°11 podemos ver que en los meses Julio y Agosto están presentes las velocidades medias más altas, coincidiendo para el mes de Julio con potencia media

109

más alta, pero no así para el mes de Agosto, que a pesar de tener la segunda mayor velocidad media no se corresponde con la segunda mayor potencia media, la cual tiene lugar en el mes de abril. Esto ocurre debido a la distribución que presentan los vientos en estos meses, siendo abril el mes que mayor potencia media presenta frente al mes de Agosto, pero gran parte de esta potencia es debida a vientos de bajas velocidades, los cuales no son aprovechables por el aerogenerador, por esto mismo vemos que la potencia generada por el aerogenerador para el mes de Agosto es mayor que la del mes de Abril, a pesar de que la potencia disponible del viento es mayor.

En cuanto a la energía generada anualmente obtenemos diferencias si la calculamos mes a mes o si la calculamos con la potencia promedio anual del generador obtenida de la tabla, para la primera obtenemos 1.735.303,488 kWh al año como se ve en la tabla, pero para la segunda opción obtenemos 1.433.880,6 kWh al año, una diferencia de 301.422,888 kWh lo que representa un 17.37%. Dado lo anterior se prefiere el cálculo mes a mes por ser más representativo. Se debe aclarar que la velocidad, potencia disponible y potencia generada medias del Cuadro N°11 son calculadas directamente desde la tabla. Para tener unos valores más representativos es necesario hacer el análisis que se ve en la Figura N°73. Comprobamos que la información obtenida del análisis del año completo de la Figura N°73 son bastante más representativos que los promedios obtenidos del Cuadro N°11, esto lo podemos hacer comparando la energía generada durante el año, obtenida de tres formas distintas siendo la más cercana a la realidad la sumatoria que se hace mes a mes. Haciendo lo indicado en el párrafo anterior tenemos: La energía calculada mediante el análisis de cada uno de los meses es de 1.735.303,488 kWh/año, la energía calculada con la potencia media generada del Cuadro N°11, que tiene un valor de 163,685 kW es de 1.433.880,600 kWh/año,

110

finalmente haciendo el análisis para todo el año que se observa en la Figura N°73 obtenemos otro valor de potencia media generada el cual es 199,543 kW, con la que se obtiene una energía generada de 1.747.996,680 kWh como podemos ver a simple vista bastante cercana a nuestro valor de referencia. Para una mejor claridad se presentan estos valores en la siguiente tabla. Valor de referencia: 1.735.303,488 kWh/año Cuadro N°12. Comparación cálculo energías generadas Potencia media (kW) Horas/año kWh/año Error absoluto Error relativo 8760 1.433.880,600 301.422,888 0,1737 163,685 8760 1.747.996,680 12.693,192 0,0073 199,543

Con lo anterior se verifica que las medias anuales calculadas mediante el software son mucho más representativas en relación al valor de referencia, con un error de 0,73% frente al 17,37% del valor calculado desde la tabla.

Como se observó en los resultados anteriores, el análisis de diferentes datos aplicados a un estudio en concreto se realiza de manera rápida y sencilla, solo cargando los datos que se desean analizar, seleccionar el nivel de sensibilidad o significancia y presionando el botón “Calcular Parámetros” , mediante lo cual el software realiza el cálculo automáticamente, entregando el resultado de los parámetros, la media y varianza, además de la gráfica de la función densidad de probabilidad, que se obtiene a través de los parámetros calculados. En cuanto al análisis de las distribuciones de la velocidad del viento, se puede apreciar que en cada captura de la interfaz se entregan los datos necesarios para la estimación del potencial eólico de cada mes, y fácilmente se pueden agrupar estos datos en una tabla, en la cual tener un resumen anual.

111

Cabe indicar que en la sección del generador, una vez cargados los datos de este, se pueden dejar en espera, con lo cual se evita estar cargando los datos del generador cada vez que se realice el análisis de otro mes o año según corresponda, para el caso práctico anterior se realizó de este modo ahorrando bastante tiempo. Lo anteriormente mencionado sobre mantener en espera los datos del generador, es aplicable también de forma inversa, esto quiere decir, que es posible probar distintos modelos de aerogeneradores para un mismo mes, sin la necesidad de estar cargando y calculando constantemente los datos del mes en estudio aerogenerador.

cada vez que se seleccione otro

112

7. Conclusiones

El análisis de fallas mediante métodos estadísticos es una es una poderosa herramienta para la gestión del mantenimiento, pero la calidad de la información obtenida por estos análisis dependerá en gran medida, de la recolección de los datos, de la forma en que estos son registrados, y de que tan reales sean. En otras palabras el resultado de estos análisis será tan confiable como lo sean los datos registrados. Al realizar un análisis estadístico basado en los tiempos de falla, es indispensable establecer los tipos de datos que se poseen para el análisis, es por esto que se hace necesario realizar un tratamiento a la información recolectada, como diferenciar tiempos de fallas de tiempos de reparación, diferenciar entre distintos modos de fallas y sus tiempos correspondientes entre otros, todo esto para brindar con una organización de los datos que permita la correcta selección de la distribución, con el fin de tener una aproximación más cercana y fiel, y así una correcta interpretación de los resultados. La aplicación de la distribución de Weibull se ha vuelto más popular últimamente en gran medida gracias al avance de la tecnología en cuanto a herramientas de cálculo, y programas especializados. Históricamente siempre fue dejada de lado frente a otras distribuciones, por la dificultad en el cálculo de sus parámetros. Actualmente realizar la estimación del potencial eólico de un año completo en pocos pasos y en poco tiempo, analizar distintos modos de fallas y ver cómo afectan a la confiabilidad, solo cargando otra base de datos, significa un gran avance comparado con el método grafico clásico de Weibull, o la aproximación mediante otras distribuciones que no siempre se ajustan de la mejor manera a los datos. El software diseñado es capaz de entregar resultados a la altura de otros software comerciales especializados, en la precisión de los parámetros, como se observó en la comparación del cálculo con otros dos programas, además de la claridad en la presentación de los resultados para su interpretación. Es importante señalar, que para la correcta interpretación de los datos proporcionados por el programa es indispensable el conocimiento y manejo de los términos y conceptos involucrados, tanto de mantenimiento, de energía eólica, y de estadística. El software diseñado se basa en el cálculo de los parámetros η y β para la obtención de la función de densidad de probabilidad (PDF), de la cual al ser integrada se obtienen todas las otras funciones relacionadas para su aplicación, como la función de distribución acumulativa que se utiliza en los ejemplos de análisis de fallas y confiabilidad para calcular las probabilidades de fallas, la función de confiabilidad o

113

distribución acumulada complementaria, que es usada en el mismo ejemplo para conocer el valor de la confiabilidad. Cabe resaltar que la distribución Exponencial, la distribución de Rayleigh, y la distribución Normal al ser casos particulares de la distribución de Weibull están incluidas en esta, por lo tanto el software diseñado tiene la capacidad de tratar bases de datos provenientes de dichas distribuciones y calcularlas mediante la distribución de Weibull, algunos de estos casos se dan en el análisis de los TTR del ejemplo 1 de análisis de falla y confiabilidad y en los meses de Enero, Junio, Agosto y Noviembre del análisis de velocidades del viento, donde las distribuciones se aproximan a una distribución exponencial. Por lo indicado anteriormente es muy difícil que el software rechace una base de datos, ya que por lo general los tiempos de fallas y velocidades del viento tienen un comportamiento que es modelable mediante estas distribuciones, al ser variables aleatorias continuas. Con respecto a los objetivos, finalmente se logró dar cumplimiento al objetivo general de este proyecto, obteniendo un software funcional y capaz de calcular los parámetros buscados y de entregar información consistente de acuerdo a las necesidades del usuario. La principal ventaja del software es la de ser un software libre, sin la necesidad de pagar una licencia por su uso permanente, ciertamente existen otros programas que podrían denominarse como “libres” al alcance de cualquier persona, como lo son Excel o el mismísimo MATLAB en el cual se basa el programa diseñado, pero estos requieren necesariamente varios pasos previos tanto para calcular y graficar, además de la necesidad de conocer el lenguaje de programación de ambos, inconvenientes que con la interfaz de usuario del programa desarrollado se eliminan.

114

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118

Anexo 1

Distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov

119

Anexo 2

Tabla de distribución Chi-Cuadrado

120

Anexo 3 Forma en que deben estar los datos para su análisis mediante el software desarrollado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . n

m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 . . . mn

En la primera columna se ubican el orden de los datos, los cuales van desde 1 hasta n coincidiendo con el total de datos registrados. En la segunda columna se ubican los datos registrados para su análisis, estos van desde m1 a mn coincidiendo con la cantidad de filas de la columna 1. Cabe indicar que el orden de los datos de la columna 2 no interesa, ya que el programa se encarga de ordenarlos automáticamente. Este mismo ordenamiento aplica a la tabla de potencias del aerogenerador.

121

Anexo 4

El texto en color verde corresponde a comentarios y no tiene ninguna influencia en el funcionamiento del código. Código de programación interfaz análisis de fallas y confiabilidad function varargout = programaweibull(varargin) % PROGRAMAWEIBULL MATLAB code for programaweibull.fig % PROGRAMAWEIBULL, by itself, creates a new PROGRAMAWEIBULL or raises the existing % singleton*. % % H = PROGRAMAWEIBULL returns the handle to a new PROGRAMAWEIBULL or the handle to % the existing singleton*. % % PROGRAMAWEIBULL('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in PROGRAMAWEIBULL.M with the given input arguments. % % PROGRAMAWEIBULL('Property','Value',...) creates a new PROGRAMAWEIBULL or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are % applied to the GUI before programaweibull_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property application % stop. All inputs are passed to programaweibull_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES % Edit the above text to modify the response to help programaweibull % Last Modified by GUIDE v2.5 02-Nov-2013 17:01:09 % Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @programaweibull_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @programaweibull_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});

122 end if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

%Menú desplegable tipo de datos function interfaces_Callback(hObject, eventdata, handles) valor_interfaces=get(handles.interfaces,'Value'); switch valor_interfaces case 2 clear all; close all;clc; Vientos; end; %------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------

%Botón abrir function botonabrir_Callback(hObject, eventdata, handles) %buscar y cargar archivo con los datos [FileName Path]=uigetfile({'*.xlsx'},'Abrir Documento'); %guarda datos para usarlos en otras funciones handles.archivo = xlsread(fullfile(Path, FileName)); guidata(hObject, handles); %--------------------------------------------------------------------%---------------------------------------------------------------------

%Menú desplegable Nivel Sensibilidad function ns_Callback(hObject, eventdata, handles) valor_ns=get(handles.ns,'Value'); Nivel=0; switch valor_ns; case 1 ns=0.05 Nivel=ns; handles.nivel=Nivel; guidata (hObject,handles);

123 case 2 ns = 0.01; Nivel=ns; handles.nivel=Nivel; guidata (hObject,handles); case 3 ns=0.05; Nivel=ns; handles.nivel=Nivel; guidata (hObject,handles); case 4 ns=0.1; Nivel=ns; handles.nivel=Nivel; guidata (hObject,handles); case 5 ns=0.2; Nivel=ns; handles.nivel=Nivel; guidata (hObject,handles); end; %--------------------------------------------------------------------%---------------------------------------------------------------------

%Boton Calcular parámetros function calcula_Callback(hObject, eventdata, handles) NUMERIC=handles.archivo; NS=4; i = size(NUMERIC,1); x = (NUMERIC(1,1)); Ks = zeros(i,1); xx=1; while xx