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Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas (P1). Angel Mª Sánchez Pérez Laboratorio de Metrología y Metrotecnia
LMM-ETSII-UPM
Parte 1: Conceptos básicos
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MEDIDA DE UNA MAGNITUD • Medir es comparar: – Mensurando – Referencia de la misma clase (unidad)
• Clases de medida: – Diferencial o por comparación – Absoluta o directa
• Sistema de medición: • Mensurando • Instrumento o sistema de medida • Operador • Magnitudes de influencia
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MAGNITUDES DE INFLUENCIA Y CONDICIONES DE REFERENCIA • Magnitud de influencia: magnitud que no es el mensurando pero que tiene un efecto sobre el resultado de la medición. (VIM 2.7) • • • •
Densidad de un cuerpo Ð empuje Resistencia eléctrica de un conductor Ð T λ láser en el aire Ð P, T, H del aire Aceleración de un oscilador Ð frecuencia
– Considerar las que resultan significativas en el orden de precisión con el que se mide el mensurando. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 4
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Ejemplos: • Longitud varilla acero 1 m en (20 ± 5) ◦C: el mensurando experimenta variaciones en ± 0,05 mm. • Apreciación en resultado (1 mm) – el efecto de la temperatura es despreciable.
• Apreciación en resultado (0,01 mm) – se debe tener en cuenta la temperatura.
• Masa acero de 1 kg se mide por comparación con otra patrón de 1kg en el aire. Diferentes densidades suponen empujes distintos. • Apreciación en resultado (1 g) – Difer. de densidades ≈ 10%, difer. de empujes despreciable.
• Apreciación en resultado (1 mg) – Difer. de densidades ≈ 10%, no pueden ignorarse empujes. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 5
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Para que el resultado de una medición sea representativo, es necesario establecer:
• Condiciones de referencia, lo que supone – – – –
Especificar valores de magnitudes influencia. Trabajar con instrumentos adecuados. Mensurando suficientemente bien definido. Utilizar un modo operativo apropiado.
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Ejemplos: z
No tendría sentido la medida: •
Si no se especificasen los valores de las magnitudes de influencia significativas. Por ejemplo, Se conviene que el valor resultante de la medida de un bloque patrón longitudinal debe referirse a 20 ºC pues aquél valor no sería metrológicamente
aceptable si no se indicase una temperatura de referencia. •
Si no se pudiese asegurar que la medida es trazable, lo que obliga a utilizar instrumentos calibrados. Por ejemplo, si el valor de una resistencia eléctrica se expresa en kΩ, debe poder
asegurarse que el múltiplo empleado es lo suficientemente próximo a mil veces el ohmio que define el SI.
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Ejemplos: •
Si se pretendiese medir el mensurando más allá de su grado o nivel de definición, es decir, con una apreciación tal que la magnitud a medir no resulte uniforme. Por ejemplo, la medida de la temperatura de un recinto puede estar bien definida en el orden del kelvin pero no en el de las centésimas de kelvin, por lo que hay que convenir a
qué se denomina “temperatura” de un mensurando en cada caso. •
Si no se prescribieran los modos y procedimientos que el operador debe tener presentes al manipular el mensurando y el instrumento para obtener las medidas. Por ejemplo, si el operador efectúa la calibración de un instrumento, debe existir un procedimiento de calibración que, entre otras cosas, defina adecuadamente los
puntos de calibración, los patrones a emplear y el número de reiteraciones de las medidas en cada punto de calibración. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 8
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NATURALEZA ALEATORIA DE LAS MEDIDAS: DISPERSIÓN • Magnitudes de influencia bajo control – Sus valores están dentro de un intervalo alrededor del de referencia, por ejemplo la temperatura en (20±2)°C, – pero dichos valores no son constantes ni en el espacio ni en el tiempo, por lo que • se produce dispersión de las medidas si la división de escala (E) es suficientemente pequeña, al afectar la variabilidad de las magnitudes de influencia al sistema instrumento-mensurando-operador.
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z
Otras causas de variabilidad (aunque las magnitudes de influencia fuesen perfectamente estables). – Instrumento – Mensurando – Operador
• Medida Ð naturaleza aleatoria • Origen estadístico Ð explicada
variabilidad no
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z
La división de escala del instrumento (E) puede enmascarar la variabilidad.
Ej.:
E=0,001 mm y y y
78,854 78,852 78,853
E=0,01mm 78,85 78,85 78,85
• El resultado de medida es una variable aleatoria que se caracteriza por: Parámetro de centrado Parámetro de dispersión
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CORRECCIÓN DE LAS MEDIDAS • Magnitudes de influencia fuera de control exigen aplicar correcciones a los valores indicados o brutos. • Correcciones • Incrementan complejidad, no siempre se conoce la relación funcional entre el resultado y las magnitudes de influencia. • Ej.: caso de la barra
λ′20 = λ′θ [1 + α (20 - θ )]
– Conocer α – Medir y decidir θ de la barra Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 12
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Corregir supone efectuar o utilizar medidas adicionales
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z
Ej.: Longitud de la barra • Suponiendo que la longitud obtenida a θ °C no incorpora la corrección de calibración, el resultado final es
λ20 = λ′20 + Cc = λ′θ [1 + α (20 - θ )] + Cc • Se obtiene una relación funcional
λ20 = f (λ′θ, α, θ, Cc) que responde a las hipótesis en el modelo adoptado, pero .....
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RESULTADO DE CUALQUIER MEDICIÓN • Se relaciona funcionalmente con los resultados de otras medidas
y = f ( x1 , x2 ,........, x N ) – La función f puede no ser expresable analíticamente o no conocerse completamente. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 15
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CASO MÁS SIMPLE • Medidas directas • Instrumento con corrección global de calibración Cc • Trabajando con unas condiciones de referencia análogas a las de calibración
y = x´ + cc y es el resultado de la medida x´ es el resultado bruto de la medida cc es un estimador de Cc Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 16
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SIGNIFICADO FÍSICO DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDA
• No es posible obtener valores exactos como resultado de las medidas • Toda medida debe ser corregida al menos con la CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN
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BUCLE DE MEDIDA
MEDIDA (imperfecta)
CORRECCIONES
MEDIDAS
• La expresión de un resultado concreto exige romper este bucle, por lo que siempre queda sin corregir alguna corrección. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 18
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CORRECCIONES CORRECCIONES APLICADAS CORRECCIÓN RESIDUAL
INCERTIDUMBRE La incertidumbre de la medida es una cota superior del valor de la corrección residual. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 19
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z
VALOR VERDADERO DE LA MAGNITUD MEDIDA – Valor hacia el que converge el resultado de una medida – Es el que mejor caracteriza un mensurando – No tiene existencia física real (indeterminación natural) • Su determinación requeriría – MENSURANDO PERFECTO – SISTEMA de MEDIDA PEFECTO – o introducción de TODAS las CORRECCIONES
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z
VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADERO O VALOR RESULTANTE DE LA MEDIDA – Es el valor que se obtiene cuando se decide interrumpir la aplicación de sucesivas correcciones – Es el mejor valor que puede obtenerse con los medios disponibles
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INCERTIDUMBRE DE MEDIDA • La incertidumbre de medida, U, es el valor de la semiamplitud de un intervalo alrededor del valor resultante de la medida (valor convencionalmente verdadero), y. Dicho intervalo representa una estimación adecuada de una zona de valores entre los cuales es “casi seguro” que se encuentre el valor verdadero del mensurando. • Resultado de la medida:
y±U Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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DEFINICIÓN VIM z
Los planteamientos anteriores son congruentes con la definición de incertidumbre del VIM.
• La incertidumbre de medida es un parámetro, asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando. (VIM 3.9) ¿Qué parámetro? ¿Cómo se cuantifica? ¿Cómo se propaga? Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 23
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INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS
(17,015 ± 0,015) mm (17,015 ± 0,025) mm (17,015 ± 0,040) mm
Medidas de mayor calidad
• La incertidumbre cualifica las medidas:
¿Cuál es la calidad necesaria? Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 24
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INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS • El valor de la incertidumbre es el primer índice de la calidad de una medida, que es tanto mayor cuanto menor es aquella. • METROLOGÍA INDUSTRIAL – Las medidas no son un fin sino un medio para conseguir otros fines. – La aceptación de las medidas se decide a partir de la tolerancia previamente establecida. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 25
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¿POR QUÉ HAY QUE CONOCER LA INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS?
¡Porque lo impone UNE-EN ISO/IEC 17025 ... !
• Porque se mide para verificar que se cumplen especificaciones que suelen concretarse en el establecimiento de zonas de valores admisibles acotados por valores límite (tolerancias), y los valores obtenidos en las medidas no son exactos. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 26
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TOLERANCIA FABRICACIÓN ARTESANAL División del trabajo FABRICACIÓN INDUSTRIAL Intercambiabilidad Normalización Tolerancia de una magnitud es el intervalo de valores en el que debe encontrarse dicha magnitud para que se acepte como válida. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 27
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TOLERANCIA e INCERTIDUMBRE Para verificar si una magnitud está dentro de tolerancia hay que medir, siendo preciso considerar la incertidumbre. T U
U
U
y
U
U
U
y
y
Situaciones claras
U
U
y
Situación dudosa Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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TOLERANCIA e INCERTIDUMBRE T
(tolerancia de especificación)
MALAS
MALAS
U
U
DUDOSAS
U
U
DUDOSAS
BUENAS
T-2U (tolerancia de verificación)
y Para proceder así el intervalo de incertidumbre debe ser varias veces menor que la tolerancia :
3≤
T ≤ 10 2U
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• La incertidumbre estimada para el valor resultante de la medida debe satisfacer la relación anterior u otra equivalente, lo que constituye el
criterio de calidad exigible a las medidas industriales. – No es ajeno a los laboratorios de calibración pues, en ocasiones pueden tener que comprobar especificaciones de patrones e instrumentos de medida, es decir, comprobar si determinadas medidas se en-
cuentran dentro o fuera de tolerancia. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 30
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ESPECIFICACIÓN POR TOLERANCIAS • Se utiliza en: – – – – – –
Diseño de productos Variables de procesos Condiciones ambientales Recepción de materiales Ensayos .......
Decidir si un valor está o no en tolerancia
Medir con la calidad necesaria Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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RECOMENDACIONES DEL CIPM • Primera 1981 • Segunda 1986 • Componentes de incertidumbre en dos categorías • TIPO A – Se estiman con procedimientos estadísticos sobre los valores obtenidos al reiterar medidas de un mensurando
• TIPO B – Se aprecian por otros métodos Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 32
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• Ambos tipos de componentes deben cuantificarse mediante: – varianzas o cantidades equivalentes, – debiendo caracterizarse las situaciones de dependencia - en su caso - por las correspondientes covarianzas. – La incertidumbre así determinada, puede multiplicarse por un factor superior a la unidad, al objeto de obtener una incer-tidumbre total mayor, pero a condición de indicar siempre el valor de dicho factor. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 33
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• Propuesta inicial CIPM – Desechar que todas las distribuciones de resultados de medida responden a ley normal. – Trabajar con desviaciones típicas o varianzas. – No identificar la incertidumbre con un intervalo de confianza sino con la desviación típica resultante (u).
U = ku – k = factor de incertidumbre, posteriormente, factor de COBERTURA, RECUBRIMIENTO O INCLUSIÓN (habitualmente entre 2 y 3). Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 34
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z
Situación actual
– El intervalo de semiamplitud U incluye una gran proporción p de la distribución de valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando, siendo p la probabilidad de cobertura o nivel de confianza. – Precisamente, la relación aconsejada para los límites de la relación T/2U hay que entenderla planteada sobre una incertidumbre expandida en el sentido de EA, es decir, con nivel de confianza del 95%. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 35
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z
EA-4/02 – Resume conceptos fundamentales de la Guía ISO (GUM). – Establece que los laboratorios de calibración acreditados (ENAC en España) deben emitir sus certificados con – Intervalo de incertidumbre expandida con probabilidad de cobertura o nivel de confianza del 95% (aproximadamente k = 2 para distribuciones normales).
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ESTIMACIONES Y ESTIMADORES: RESULTADO DE LA MEDIDA • Condiciones de repetibilidad, supone efectuar las medidas: • • • • • •
con el mismo método de medida, por el mismo observador, con el mismo instrumento, en el mismo lugar, con las mismas condiciones de utilización, y con pequeños intervalos de tiempo entre las medidas sucesivas.
Las indicaciones no son exactamente las mismas, incluso después de corregidas. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 37
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• Conjunto de las medidas corregidas, es una muestra poblacional de una distribución estadística cuya función de densidad f(X) es en general desconocida • Si se introducen todas las correcciones significativas, los valores de la muestra se situarán en las proximidades del valor verdadero del mensurando: • Media o esperanza matemática (μ) de centrado)
X (parámetro de
• Desviación típica (σ) de X (parámetro de dispersión)
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Frecuencias
f(X)
Indicaciones
σ σ
X
μ Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 39
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• Media o esperanza matemática
f(X)
+∞
< X >≡ μ = ∫ Xf ( X )dX −∞
• Varianza +∞
V ( X ) ≡ σ = ∫ ( X − μ ) 2 f ( X )dX 2
−∞
σ σ
X
μ Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 40
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• Al desconocerse f(X) no resulta posible determinarlos por este camino. – La estadística nos proporciona unos valores aproximados (estimadores) de dichos parámetros que pueden obtenerse a partir de cualquier muestra concreta de extensión (n) suficiente.
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ESTIMADORES Frecuencias
Estimadores más usados en metrología: • Media aritmética
1 n μˆ ≡ m = x = ∑ xi n i =1 • Varianza muestral s
s
Indicaciones
1 n 2 σˆ ≡ V = s = ( x − x ) ∑ i n − 1 i =1 2
m
2
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• ¿Puede expresarse el resultado de la medida mediante m ± s ? – La media aritmética, m, es el mejor valor corregido y por ello, en todas las áreas de la metrología, se acepta que el valor resultante de las medidas (valor convencionalmente verdadero) es la media aritmética de las indicaciones corregidas. – La cuantificación de la incertidumbre del resultado mediante el parámetro de dispersión indicado (la desviación típica muestral s), es inapropiada por diferentes razones. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 43
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¿Por qué s no es la incertidumbre? – s es un estimador de la dispersión de la población de medidas – El resultado no es una de esas medidas (es la media aritmética) – El estimador media aritmética es otra variable estadística ( X ), distinta de la que representa la población considerada ( X ) pero relacionada con ella. Es sencillo deducir que la media de ( X ) coincide con la de X y que entre las varianzas de ambas variables existe la siguiente relación:
σ X2 =
σ X2 n Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
Parte 1 Diap. 44
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• Si se trabaja con los estimadores se utiliza:
s sX = n • Se le llama normalmente componente de repetibilidad. • Debe componerse con las restantes para obtener la incertidumbre típica resultante. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 45
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TRAZABILIDAD •
•
Trazabilidad de un conjunto de medidas es la característica que garantiza que todas ellas poseen una referencia común, por ejemplo, la realización de la unidad del SI en la que se expresa el resultado de cada medida. El Vocabulario Internacional de Metrología (VIM) recoge la siguiente definición: •
• •
Trazabilidad es la propiedad del resultado de una medida o de un patrón que le permite relacionarlo con referencias determinadas, generalmente patrones nacionales o internacionales, a través de una cadena ininterrumpida de comparaciones todas ellas con incertidumbres determinadas (VIM 6.10) En la definición anterior interviene la incertidumbre. Las comparaciones de la cadena de trazabilidad constituyen calibraciones. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 46
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– Es conveniente que los intervalos de incertidumbre indicados se correspondan con valores de incertidumbre expandida que confieran una seguridad similar a la caracterización de los correspondientes mensurandos – La mejor forma de asegurar la trazabilidad de un sistema de medida: – Medir con él un patron con trazabilidad (calibración) – Corregir si se trabaja lejos de las condiciones de referencia Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 47
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CALIBRACIÓN • Calibración es el conjunto de operaciones que establecen, en unas condiciones determinadas, la relación que existe entre los valores de una magnitud indicados por un instrumento o sistema de medida, o los valores representados por una medida materializada o por un material de referencia, y los correspondientes valores de la magnitud realizados por patrones. (VIM 6.11) Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 48
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z
Finalidad de la calibración – Poner de manifiesto las discrepancias existentes entre el instrumento o patrón que se calibra (calibrando) y un elemento de referencia con características metrológicas suficientemente estables y conocidas. – La información resultante de la calibración debe combinarse con otras para estimar la incertidumbre asignada a las medidas realizadas con el elemento calibrado.
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ESQUEMA DE LA CALIBRACIÓN Patrón o instrumento de calibración
Patrón o instrumento a calibrar
Procedim. de calibración
Resultado de la calibración •
El resultado es el valor de una magnitud y su incertidumbre. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 50
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CERTIFICADO DE CALIBRACIÓN • El resultado de una calibración se recoge en un documento que suele denominarse certificado de calibración. El certificado puede ser: – De un patrón: • Valor e incertidumbre resultante. – De un instrumento: • Corrección y su incertidumbre en los puntos de calibración. Cualquier corrección considerada, incluso si su valor fuese nulo, introduce una componente de incerti-dumbre ya que se trataría de un cero “inexacto”. • A veces, incertidumbre del instrumento o incertidumbre de uso pero no es recomendable y debería definirse. – También puede incluirse conformidad o no a una especificación metrológica. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 51
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CADENAS DE TRAZABILIDAD
Proc. Calibr.
Elemento Resultado
Elemento Resultado
Proc. Calibr. Elemento
Proc. Calibr.
Resultado
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OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN • La calibración: • Establece la trazabilidad de los elementos de medida. • Permite asignar incertidumbre final a los resultados de medida. • A medida que se desciende por las cadenas de trazabilidad, alejándose del patrón primario, la incertidumbre de las correspondientes medidas va aumentando. • Si los sucesivos intervalos de incertidumbre recubren los anteriores, todas las medidas resultan equivalentes. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 53
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OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN • El calibrando ha de trabajar durante la calibración en la misma forma en que lo hace habitualmente. • La incertidumbre de una medida depende del instrumento de medida, por lo que con dos instrumentos diferentes pueden asignarse diferentes incertidumbres a un mismo mensurando. • La incertidumbre de una medida también depende del mensurando, por lo que al medir dos mensurandos diferentes con un mismo instrumento puede obtenerse igual valor para ambos pero distinta incertidumbre. • La incertidumbre se predica de la medida de una magnitud por lo que no debería emplearse la expresión “incertidumbre del instrumento” o, si se utiliza – no recomendable-, explicar lo que significa. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 54
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OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN • Es importante limitar la longitud de las cadenas de trazabilidad y arrancar en su origen con la menor incertidumbre posible. • Se realizan comparaciones que refuerzan “horizontalmente” la trazabilidad diseminada “verticalmente” mediante calibraciones. • Las comparaciones son obligatorias para los laboratorios de calibración acreditados. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 55
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MAGNITUDES DE ENTRADA Y SALIDA: FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Directas
• Clases de medidas Indirectas – Directas Ð Instrumento Ð medida – Indirectas Ð magnitudes de entrada Ð relación funcional Ð magnitud de salida
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Ejemplos de MEDIDAS DIRECTAS – Velocidad con un velocímetro. – Superficie de un rectángulo con una cámara y un sistema de digitalización que de el resultado en unidades de superficie. – Resistencia eléctrica con un polímetro.
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Ejemplos de MEDIDAS INDIRECTAS – Velocidad media midiendo distancia y tiempo
L V= t – Superficie midiendo longitud de los lados
A = L1 ⋅ L2 – Resistencia midiendo V e I
V R= I Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 58
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Función de transferencia o función modelo – Cualquier medida puede expresarse mediante una relación funcional si se explicitan las correcciones aplicadas, pues siempre ha de existir al menos la corrección de calibración
Y = f ( X 1 , X 2 ,...., X n ) Y : mensurando a determinar (magnitud o variable de salida)
X 1 , X 2 ,...., X n : mensurandos que permiten obtenerlo
(magnitudes o variables de entrada) f : función de transferencia o función modelo. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 59
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MEDIDAS DIRECTAS
Y ≈ X1
Lecturas
Y = f ( X 1 , X 2 ,...., X n )
Magnitudes de influencia consideradas en el modelo de correcciones (corr. calibración y otras).
Lˆ ≡ y = x1 + cE + cC ≡ x1 + x2 + x3
L
Corr. calibrac. Corr. redondeo
x1
Lectura Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 60
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MEDIDAS INDIRECTAS
Y ≈ Φ ( X 1 , X 2 ,...., X m )
Magnitudes que intervienen en Φ (ley física o geométrica).
Y = f ( X 1 , X 2 ,...., X m , X m +1 ,...., X n ) Magnitudes de influencia consideradas en el modelo de correcciones (corr. calibración y otras). Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 61
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MEDIDAS INDIRECTAS I
Lectura voltímetro
A
Corr. redondeo volt.
V V
V R= I
R
Corr. calibrac. volt.
ˆ +c +c V x1 + x3 + x5 EV CV ˆ R≡y= = x 2 + x 4 + x6 Iˆ + c EI + cCI Corr. calibrac. amp. Corr. redondeo amp. Lectura amperímetro Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 62
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Función de transferencia o función modelo
– Caracteriza el procedimiento de medida y la forma de evaluar el resultado, es decir, el modelo de medición decidido. – Representa el sistema: • Mensurando • Instrumento • Operador-entorno
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 63
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Ejemplo: • Modelo unidimensional de dilatación para correcciones térmicas
ℓ20= ℓθ [1+α (20-θ)] – Admisible para cuerpos esbeltos como barras y varillas. – Inadecuado para la distancia entre los ejes de dos taladros del bloque de un motor. •
En general, la función modelo, f – Suele responder a una expresión analítica. – Puede no ser explícita. – Puede no ser expresable analíticamente (algoritmo). Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 64
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• Algunas variables de la función modelo se estiman con valores de entrada que no influyen sobre el valor de salida o valor resultante (y). Por ejemplo, una corrección de valor nulo en una función modelo aditiva. Sin embargo, la incertidumbre de aquellas varia-bles siempre son positivas y pueden ser significativas por lo que deben mantenerse dichas variables en la función modelo. • La función modelo se emplea para determinar el resultado (valor e incertidumbre).
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 65
Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
• A veces hay más de una variable de salida y por tanto varias funciones de transferencia (se suelen englobar en la matriz de transferencia). En cualquier caso: • Objetivo que se persigue con un sistema de medida: – determinar razonablemente la función f, para – obtener el valor que mejor caracteriza al mensurando y la incertidumbre de dicho valor.
• Para ello es necesario disponer de informaciones similares para cada una de las magnitudes de entrada, ya sea midiéndolas, utilizando los resultados de las medidas de otros o estimándolas adecuadamente. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 66
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Resumen de la Parte 1 • Medida de una magnitud • Magnitudes de influencia • Correcciones • Incertidumbre de medida • Tolerancia • Recomendaciones CIPM • Resultado de la medida • Trazabilidad y calibración • Funciones modelo • Medidas directas • Medidas indirectas • Aclaraciones Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 67
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Fin de la parte 1 (sesión 1)
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 1 Diap. 68
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Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas (P2). Angel Mª Sánchez Pérez Laboratorio de Metrología y Metrotecnia
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Parte 2: Incertidumbre típica
Parte 2 Diap. 2
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MODELO DE MEDIDA • El valor resultante de una medida (y) siempre depende de los valores de otras magnitudes (x1, x2 , …, xN) lo que se escribe mediante la relación funcional:
y = f ( x1 , x2 ,........ xN )
que es la función modelo o función de transferencia. • Si se mide la longitud de una pieza, su valor depende de la indicación del instrumento, de la corrección a introducir si la pieza no estuviese 20 ◦C, de las correcciones a aplicar al instrumento, etc. • Cuando se determina la densidad de un cuerpo a partir de medidas previas de su masa y de su volumen, hay que considerar, al menos, dos variables. Parte 2 Diap. 3
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• Como los valores (x1, x2 ,..., xN) no pueden determinarse exactamente, el valor resultante de la medida (y) tampoco es exacto y entran en juego las incertidumbres. • Las incertidumbres de las variables de entrada (x1, x2 ,..., xN) y la función modelo permiten determinar la incertidumbre del valor resultante (y) según veremos. Parte 2 Diap. 4
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CUANTIFICACIÓN de la INCERTIDUMBRE TÍPICA de las VARIABLES de ENTRADA
• Incertidumbre típica: – Se denomina incertidumbre típica de una cierta variable a la desviación típica asociada a la misma, es decir, la incertidumbre típica es la incertidumbre correspondiente a una desviación típica.
Parte 2 Diap. 5
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• La evaluación de la incertidumbre típica de las magnitudes de entrada se efectúa mediante • Evaluación tipo A • Evaluación tipo B
Parte 2 Diap. 6
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Evaluación tipo A •
Conjunto de n medidas independientes del mensurando (Xi) obtenidas en condiciones de repetibilidad. La varianza se estima mediante la varianza muestral de la media: 2 n ( ) s x 1 2 i s 2 ( xi ) = = ( x − x ) ∑ ij i n n (n − 1) j =1
donde el valor estimado para Xi es
1 n xi = ∑ xij n j =1 que es un estimador insesgado de la media de Xi, pudiéndose emplear también la letra minúscula, xi, para designar el valor de dicho estimador. Parte 2 Diap. 7
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– Cuando la desviación típica se determina de la forma indicada, el número de grados de libertad,
υ = n – 1 (en general υ = n – r) es una información importante para estimar la fiabilidad de la evaluación de dicha desviación típica y debe tenerse en cuenta que siempre debería ser n ≥ 10 – No se recomienda usar las expresiones anteriores si n < 5.
Parte 2 Diap. 8
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Evaluación tipo B • La evaluación tipo B de la incertidumbre típica asociada a una estimación (xi) de una variable de entrada (Xi) no se realiza mediante análisis estadístico de medidas de repetibilidad obtenidas en el proceso de la propia medición.
Parte 2 Diap. 9
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•
En las evaluaciones tipo B las informaciones pueden proceder de muy diversas fuentes: – Datos de certificados de calibración – Valores adoptados de manuales técnicos o tablas de reconocida solvencia – Datos de medidas previas – Especificaciones fiables de fabricantes – Conocimiento y experiencia con los mensurandos y los sistemas de medida implicados – Valores recomendados asociados a la utilización de buenas prácticas de laboratorio – Hipótesis sobre la clase de función de densidad de la variable Xi Parte 2 Diap. 10
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Ejemplos de evaluación tipo B • Si el mensurando Xi – está bien definido, – se encuentra en condiciones de control estadístico, conociéndose una buena estimación de su varianza poblacional sp2,
la varianza de la medida, xi , es: 2 s p 2 2 u ( xi ) = s ( xi ) = n
donde n es cualquier valor, incluso la unidad. Parte 2 Diap. 11
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• Ejemplo concreto del anterior: – Contribución de repetibilidad en la medida de BPL (L≤ 0,1 m), con banco de E ≥ 0,01 μm. – Antes de calibrar se comprueba repetibilidad de los palpadores con un solo BPL y diez contactos tras uno de ajuste. – Los diez valores se comparan con un histórico y se aceptan o rechazan según un criterio. – Se estima sp con todos los datos (n>500).
Parte 2 Diap. 12
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Ejemplo de evaluación tipo B • Cuando se conoce un único valor de la variable de entrada, por ejemplo si: – sólo se mide un vez (medida destructiva) – el resultado se toma de documentación técnica (coef. dilatación) – el resultado es facilitado por terceras personas (certificado de calibración) • Valor del mensurando, el valor único. • Incertidumbre típica, la facilitada por la fuente (documentación o certificado) o, en su defecto, calculada en base a la experiencia.
Parte 2 Diap. 13
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Ejemplos de evaluación tipo B • Un (BPL) de calidad 00 lleva grabado el valor del coeficiente de dilatación lineal α = 11,6⋅10-6 K-1 pero no indica su incertidumbre que resulta necesaria. – El evaluador considera que la información es suficientemente fiable para adoptar como incertidumbre típica la mitad del valor de la última cifra significativa grabada, es decir u(α)=0,05⋅10-6 K-1.
Parte 2 Diap. 14
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• Determinación tipo B cuando se supone una distribución de probabilidad para la variable de entrada – Si el mensurando responde a una distribución de probabilidad, la estimación del mismo es la media de dicha distribución y su desviación típica es la incertidumbre típica asociada. – Distribuciones: – – – –
Normal Triangular Uniforme Algún tipo de beta. Parte 2 Diap. 15
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• Determinación tipo B cuando sólo se pueden estimar límites, inferior y superior para los valores de la variable de entrada – Si sólo se conocen los límites • Superior a+ • Inferior a– – Por ejemplo, tolerancia de una magnitud de influencia – Redondeo de las indicaciones de un instrumento digital, etc.
puede asumirse una distribución uniforme o rectangular 1 1 2 u ( xi ) = ( a+ − a− ) 2 xi = ( a+ + a− ) 12 2 Parte 2 Diap. 16
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Detalle del cálculo para distribución uniforme f(x) x
a+
a– a+– a–
1 +∞ 1 (a+ − a− )2 1 = (a+ + a− ) < x >≡μ = ∫ xf (x)dx = xdx= ∫ −∞ a+ − a− −∞ a+ − a− 2 2 +∞
1 (x − μ) V(x) ≡ σ = ∫ (x − μ) f (x)dx = −∞ a+ − a− 3 2
+∞
3
a+
2
Parte 2 Diap. 17
a−
1 = (a+ − a− )2 12
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•
Si se trata de un intervalo de tolerancia de amplitud 2ΔT centrado sobre el valor T0, es decir T0 ± ΔT, el resultado es
1 2 u ( xi ) = (ΔT ) 3
xi = To •
2
La contribución del redondeo de las lecturas a E o a E/2, se trata de esta forma (ΔT=E/2 o ΔT=E/4) Ejemplo: Voltímetro digital con E = 0,1 V • Cualquier indicación corresponde a un intervalo ± 0,05 V, por lo que la incertidumbre típica por redondeo resulta igual a
0 , 05
3 V
• Si E es grande (poca resolución del instrumento) s ≈ 0, y tiene importancia la contribución de redondeo
Parte 2 Diap. 18
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Incertidumbre de la temperatura de una cámara • No se puede medir. • Está entre 20 °C y 21 °C . • El sistema de control determina que sea más probable encontrar la temperatura cerca de los límites que en la zona central. •
Se adopta una variación senoidal de la temperatura sobre el centro del intervalo de temperatura, función del tiempo: • Θ temperatura de la cámara. • Θo temperatura correspondiente al centro del intervalo (20,5 º C). • θA amplitud del intervalo (0,5 ºC).
Parte 2 Diap. 19
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Incertidumbre de la temperatura de una cámara
Θ = Θo + θ A sen(ωt + ϕ ) – Haciendo θ = Θ - Θo se tiene:
θ = θ A sen (ω t + ϕ
)
– La función de densidad de θ puede obtenerse determinando la probabilidad de que la temperatura se sitúe en el entorno de un cierto punto a partir de su ley de variación temporal:
2 dt ω dt dθ ω f (θ ) d θ = = = dθ = & T π πθ A cos (ω t + ϕ ) πθ Parte 2 Diap. 20
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Incertidumbre de la temperatura de una cámara – La función de densidad resultante es:
f (θ ) =
con media:
f(θ)
1
π θˆ = 0
y desviación típica:
θ
− θ
2 A
2
Θ = Θo
σ
=
θ
θ A
2
– Por consiguiente • Valor estimado:
20,5 °C
• Incertidumbre:
0 ,5
Parte 2 Diap. 21
2 °C Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
INCERTIDUMBRE TÍPICA RESULTANTE: LEY de PROPAGACIÓN – Se conocen los estimadores de las variables de entrada y sus incertidumbres típicas y se trata de obtener el valor y la incertidumbre de la variable de salida (resultado), conociendo la función modelo:
Y = f ( X 1, X 2 ,..., X N )
Utilizando minúsculas para los estimadores,
μˆ i =< Xˆ i >= x i y admitiendo la linealización de la función en el entorno del punto de trabajo, se obtiene:
⎛ ∂f Y ≈ f (x1, x 2 ,..., x N ) + ∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂X i N
y promediando:
Parte 2 Diap. 22
⎞ ⎟⎟ .( X i − xi ) ⎠ xi
(1)
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– A partir de (1), se obtiene el valor resultante de la medida:
∧ μˆ = < Y > = y = f ( x1, Λ , xi Λ , x N )
y recordando las definiciones de varianza y covarianza
cov( X , X ) = 〈 X 2 〉 − 〈 X 〉 2 = 〈( X − 〈 X 〉 ) 〉 = V( X ) cov( X ,Y ) = cov(Y , X ) = 〈 XY 〉 − 〈 X 〉〈Y 〉 2
se obtiene la ley de propagación de varianzas-covarianzas que permite estimar la varianza de Y, en la forma
u = u ( y ) = Vˆ ( Y ) ≈ 2 y
2
N
∑
i =1
⎛ ∂f ⎜⎜ ∑ j =1 ⎝ ∂ X i N
⎞ ⎛ ∂f ⎟⎟ . ⎜ ⎜ ⎠ xi ⎝ ∂ X
j
⎞ ⎟ .u ( x i , x j ) ⎟ ⎠xj
(2)
donde u(xi, xj) estima la covarianza entre los valores resultantes de las variables de entrada Xi y Xj Parte 2 Diap. 23
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•
Notas: – La media es un operador lineal pues, siendo a una constante:
〈 X + Y 〉 = 〈 X 〉 + 〈Y 〉 ⎫ ⎬ 〈 aX 〉 = a 〈 X 〉 ⎭ – La varianza no es un operador lineal pues 2 V( X + Y ) = 〈( X + Y ) 〉 − 〈 X + Y 〉〈 X + Y 〉 ⎫ ⎪ = V( X ) + V(Y ) + 2cov( X , Y ) ⎬ V(aX ) = 〈 a 2 X 2 〉 − 〈 aX 〉〈 aX 〉 = a 2 V( X )⎪⎭
Parte 2 Diap. 24
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LEY de PROPAGACIÓN de VARIANZAS •
Si todas las variables de entrada son incorreladas, la expresión (2) se reduce a la ley de propagación de varianzas:
⎛ ∂f 2 u ( y ) = ∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂X i N
2
N ⎞ 2 ⎟⎟ u ( xi ) = ∑ ci2 u 2 ( xi ) i =1 ⎠ xi
siendo ci los coeficientes de sensibilidad:
⎛ ∂f ci = ⎜⎜ ⎝ ∂X i
•
⎞ ⎟⎟ ⎠ X i = xi
Designando ui ( y ) = ci u ( xi ) la ley de propagación de varianzas resulta: N
u 2 ( y ) = ∑ u i2 ( y ) i =1
Parte 2 Diap. 25
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• La hipótesis de linealidad es admisible en la mayor parte de los casos. • Si la estimación u(y) es anormalmente baja (punto de trabajo próximo a un extremo relativo de la función f ) hay que introducir términos de orden superior en el desarrollo de Taylor interviniendo los estimadores de los coeficientes de asimetría y de curtosis.
Parte 2 Diap. 26
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
Ejemplos: – Medida indirecta del área de una placa rectangular
A = bh b
h
– Conociendo b ± u (b) , h ± u (h ) , y si ambos valores son independientes, lo que podría ser inadmisible si se hubieran obtenido con el mismo instrumento, se tiene:
Parte 2 Diap. 27
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Ejemplos:
∂f ∂f A = bh ⇒ cb = =h ch = =b ∂b ∂h ub2 ( A) = h 2u 2 (b)⎫⎪ 2 2 2 2 2 u ( A ) = h u ( b ) + b u ( h ) ⎬ uh2 ( A) = b 2u 2 (h)⎪⎭ A veces se emplea la incertidumbre relativa
w(x)=u(x)/x
u 2 ( A) u 2 (b) u 2 (h) 2 2 = + = + w ( b ) w ( h) 2 2 2 A b h
w( A) = w 2 (b) + w 2 (h)
Parte 2 Diap. 28
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Ejemplos: •
La expresión obtenida es un caso particular de funciones de transferencia definidas por un monomio de forma general: N
f ( X 1 , X 2 ,...., X N ) = c ∏ X ipi i =1
el resultado es:
1 ci = cpi xi
N
pi x = y ∏ xi i =1 pi i
2 u ( xi ) 2 2 2 2 2 2 ui ( y ) = y pi = y p w ( xi ) i 2 xi N
w ( y ) = ∑ pi2 w 2 ( xi ) 2
i =1
Parte 2 Diap. 29
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Ejemplos: – La varianza de la diferencia de dos variables independientes es la suma de las varianzas. En este caso el modelo es Y=X1-X2 y pasando a los estimadores y=x1-x2
c1 = 1 u1 ( y ) = u ( x1 )
c2 = − 1 u2 ( y ) = − u ( x2 )
u 2 ( y ) = u 2 ( x1 ) + u 2 ( x2 ) El mismo resultado que para la suma. – Es un caso particular de función modelo combinación lineal de las variables de entrada Parte 2 Diap. 30
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Ejemplos: – Es decir
y=
N
∑px i =1
i
i
⇒ ci = pi N
u i ( y ) = ∑ pi u ( xi ) i =1
N
N
i =1
i =1
u 2 ( y ) = ∑ p i2 u 2 ( x i ) = ∑ u i2 ( y ) siendo indiferente el signo de las constantes pi pues en la expresión final todas ellas intervienen al cuadrado. Parte 2 Diap. 31
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Contribución por redondeo de indicaciones • Ejemplo: – 10 medidas con micrómetro de exteriores E = 0,01 mm analógico 62,13 62,13 62,13 62,13 62,13 62,13 62,13 62,13 62,13 62,13 – Se desea determinar la contribución de incertidumbre típica asociada a la repetibilidad • No puede deducirse que la contribución de repetibilidad sea nula pues las indicaciones sólo aseguran que el valor medido se encuentra en 62,13 mm ± 0,005 mm.
Parte 2 Diap. 32
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Ejemplo: – Modelo aplicable: X = lecturas redondeadas
Y = X + CE
CE = corrección de escala
• Desconocida • Se admite que se encuentra con toda seguridad en el intervalo ±E/2 • Se considera que responde a una función de densidad uniforme de media nula definida en ±E/2 • En consecuencia cE = 0, resultando: • En el ejemplo
y = x + cE = x
u2 ( y) = u2 ( x) + u2 (cE u( y) =
Parte 2 Diap. 33
E 12
=
2 ( E 2) E2 = ) = 0+
3
0,01 12
12
≈ 0,003 mm
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• El resultado de este modelo también suele aplicarse, por seguridad, a cualquier instrumento que presenta las indicaciones redondeadas (presentación numérica o digital) y aunque las medidas no resulten tan repetitivas. En
las medidas con un cierto nivel de dispersión la contribución del redondeo suele ser despreciable.
Parte 2 Diap. 34
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Resumen de la Parte 2
• Modelo de medida • Evaluaciones tipo A y B • Ejemplos de contribuciones individuales • Incertidumbre típica combinada: ley de propagación de varianzas: ejemplos • Incertidumbres relativas: ejemplos • Aclaraciones
Parte 2 Diap. 35
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Fin de la parte 2 (sesión 1)
Parte 2 Diap. 36
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Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas (P3). Angel Mª Sánchez Pérez Laboratorio de Metrología y Metrotecnia
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Parte 3: Incertidumbre expandida
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 3 Diap. 2
Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
RESUMEN ENAC • En las diapositivas siguientes se recoge un resumen de los criterios ENAC (Entidad Nacional de Acreditación) para el cálculo de las incertidumbres de medida tal y como se exige que lo hagan los laboratorios que acredita. • Estos criterios se incluyen en el documento EA-4/02 (*), elaborado de acuerdo con la GUM (ISO y otros) pero aplicando algunas simplifi-caciones. (*) Gratuito a través de internet, por ejemplo desde la página de ENAC. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 3 Diap. 3
Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
INCERTIDUMBRE EXPANDIDA Y PROBABILIDAD DE COBERTURA • EA ha decidido que los laboratorios de calibración acreditados por las entidades miembros de EA, como ENAC, proporcionen una incertidumbre de medida expandida, U, obtenida multiplicando la incertidumbre típica, u(y), de la estimación del resultado por un factor de cobertura, k, es decir U = k u(y) de forma que U se corresponda con un nivel de cobertura del 95%. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 3 Diap. 4
Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
• EA-4/02 distingue los siguientes casos para la función de distribución de la variable resultante, Y: – Asimilable a una normal • con estimación de la incertidumbre típica suficientemente fiable, o • con estimación de la incertidumbre típica no suficientemente fiable.
– No asimilable a una normal. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 3 Diap. 5
Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA SUFICIENTEMENTE FIABLE – Hipótesis de distribución normal no siempre es fácil de confirmar experimentalmente. La distribución resultante puede suponerse normal cuando • La variable que representa el resultado se obtiene a través de varias contribuciones (tres o más), caracterizadas por funciones de densidad independientes con buen comportamiento. Por ejemplo, normales, uniformes, etc., • y las componentes de incertidumbre de cada una de ellas contribuyen a la incertidumbre típica del resultado con cantidades comparables. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 3 Diap. 6
Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO – La fiabilidad de u(y), se asocia con el número de grados de libertad efectivos. La fiabilidad de u(y) se considera suficiente: • Si ninguna de las contribuciones tipo A empleadas en la determinación de u(y) se ha efectuado con menos de diez valores.
• Las estimaciones tipo B son seguras.
– Si se dan las dos condiciones anteriores [normalidad y fiabilidad de u(y)], debe utilizarse (k=2) para una incertidumbre expandida correspondiente a una probabilidad de cobertura del 95 %, aproximadamente.
• EA, señala que estas condiciones se satisfacen en la mayor parte de los casos que se presentan en el trabajo de calibración Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 3 Diap. 7
Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO – La utilización de intervalos de incertidumbre con una probabilidad de cobertura aproximadamente igual es esencial para comparar los resultados de diferentes mediciones como, por ejemplo • cuando se evalúan los resultados de una comparación entre laboratorios, • cuando se comprueba el cumplimiento de una especificación o, • cuando se establecen las incertidumbres del alcance de acreditación de un laboratorio de calibración
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Parte 3 Diap. 8
Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA NO SUFICIENTEMENTE FIABLE
– Si no es factible • Incrementar el número de repeticiones estimaciones tipo A con n 0 y (f2+ Δf-f1)> (f2-f1). Si se aleja Δf < 0 y (f2+ Δf-f1)< (f2-f1). – El sistema bifrecuencia o heterodino permite distinguir y automáticamente tener en cuenta el sentido del movimiento.
• Al igual que la recepción de emisiones de radio de FM es menos sensible al ruido que en el caso de AM, análogamente los sistemas bifrecuencia son también menos sensibles al ruido que los monofrecuencia
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Propiedades de los Retrorreflectores 1ª Propiedad: el haz reflejado es paralelo al incidente
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Propiedades de los Retrorreflectores 2ª Propiedad:
la línea paralela a ambos haces y equidistante de los dos (línea media) pasa por el origen O del ángulo recto.
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Propiedades de los Retrorreflectores 3ª Propiedad:
Al girar el retrorreflector sobre el punto O, la distancia recorrida por el haz desde el emisor hasta el detector permanece constante.
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Propiedades de los Retrorreflectores 4ª Propiedad:
al desplazarse el retrorreflector una longitud e perpendicularmente al haz incidente, el haz de retorno se desplaza 2e.
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Ópticas Láser: Desplazamientos
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Ópticas Láser: Desplazamientos
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Interferómetro para Medidas Angulares
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Esquema de la Medición de Planitudes
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Medida del Defecto de Planitud
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Medida del Defecto de Planitud Vj j
V1, N00
V2, NJ0 Hi
i
Nij PC
D1
V3, NI0
D2
ETIQUETA
V4, NIJ Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Medida del Defecto de Planitud
E T IQ U E T A Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Medida del Defecto de Planitud
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Medida del Defecto de Planitud V2
V1
PC
V3
Captador del DMDA
V4 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Medida del Defecto de Planitud
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Medida del Defecto de Planitud Mapa de Cotas
8 -6
-4
-2
0
8
-6 -1 0
-5
200
300
400
500
600
14 12 10
4
0
2
-2
8
-2 0 2 4
100
-4
-6 -4
6
-6
-8
6 8 10 12 14
0
0
-10
-8
-2
-4
-300 -350
2 4 6
-2 -4
-8
-4
0 24
-250
-8
-4
-200
5
-6
y (mm)
-150
2 0 -2 -6
-6
6
4
-100
10 Cotas en micrometros
0
6
6
10
8
4
0
12
4
2
-2
-4
-50
15
2
16 14
0
-10
700
x (mm)
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Medida del Defecto de Planitud
(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
16.4 14.5 10.1 4.4 3.4 7.6 12.1 15.6
12.0 10.3 2.8 -5.5 -6.8 -0.8 6.5 11.6
9.5 7.6 -0.3 -6.7 -7.7 -2.2 3.4 8.4
7.3 5.1 0.4 -4.8 -4.7 -2.7 0.3 5.1
4.1 0.1 -3.8 1.9 -1.4 -4.3 -0.2 -3.6 -5.7 -2.5 -5.4 -7.2 -4.4 -7.5 -8.5 -6.3 -10.2 -10.7 -4.7 -8.2 -9.6 1.3 -2.7 -4.3
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
-5.1 -5.5 -6.8 -7.7 -8.3 -9.5 -8.6 -3.5
-5.2 -5.7 -6.5 -7.0 -7.4 -7.6 -5.7 -1.1
-4.1 -4.7 -5.6 -6.2 -6.2 -6.0 -3.6 0.6
-1.9 -2.9 -4.0 -4.5 -4.5 -4.2 -2.0 2.3
0.1 -1.0 -2.3 -2.9 -2.8 -2.4 -0.2 4.5
1.7 0.8 -0.1 -0.5 -0.2 0.5 2.9 7.3
4.2 7.8 3.9 8.0 3.5 8.4 3.4 8.8 3.8 9.6 4.8 10.7 7.2 12.7 11.6 17.2
ETIQUETA
cotas en μm
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Medida de Defectos de Rectitud
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Medida del Defecto de Rectitud
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Patrón Óptico de Perpendicularidad
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Medida del Defecto de Perpendicularidad
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Factores que afectan a la incertidumbre de los Sistemas Interferométricos Láser
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Características Principales
• No son instrumentos completos (son un “kit” de componentes) • La experencia del usuario es clave • Límite teórico de incertidumbre muy bajo (10-7) • Tecnología diferente al resto de los instrumentos de metrología dimensional Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Clasificación de las Fuentes de Incertidumbre
• Asociadas al propio instrumento • Asociadas a la realización práctica del instrumento (colocación de las ópticas sobre el elemento a calibrar)
• Asociadas a la dilatación del elemento a medir
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Fuentes de Incertidumbre asociadas al interferómetro • • • •
Contador de franjas de interferencia Interpolación de las franjas de interferencia Longitud de onda en el vacío Medida del índice de refracción: – – – – –
Presión Temperatura del aire Humedad Concentración de CO2 Ecuación de Edlén
• División de Escala Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Unidad Lectora
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Medida de la Temperatura del Aire
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Medida de la Presión Atmosférica
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Medida de la Temperatura del Material
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Componentes de un Sistema Interferométrico Láser
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Contador de Franjas de Interferencia
Incertidumbre contador
± 1 cuenta
Resolución natural
λ/2 ó λ /4 (0,3 μm ó 0,16 μm)
Resolución incrementada
entre λ /8 y λ /1024 (entre 0,1 μm y 0,6 nm)
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Calibración de la Longitud de Onda •
Si se utiliza el valor nominal de la longitud de onda en el vacío (disponiendo de un certificado de calibración que permite asegurar que cumple con especificaciones) U (λ 0 ) = 10 −7 ⋅ λ 0
(dist. uniforme, k = 3 ) λ 0 − 10 −7 ⋅ λ 0 λ 0
•
Si se utiliza el valor certificado U (λ 0 ) = 2 × 10 −8 ⋅ λ 0
•
λ 0 + 10 −7 ⋅ λ 0
(dist. nomral, k = 2)
Coeficiente de sensibilidad wλ =
L λ0 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Interpolación de Franjas de Interferencia Los errores asociados a la interpolación de las franjas de interferencia son iguales o inferiores a ± 5 nm
− 5 nm
U (cI ) = 5 nm
0
+ 5 nm
(dist. uniforme, k = 3 )
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Índice de Refracción Ecuación de Edlén
n ≅ f( p, T , xH2O , xCO2 )
Incertidumbre de la Ec. Edlén ≤ 10−7
Sonda
Desviación en la sonda
Desviación final
Presión
2,8 mm Hg
1 μm / m
Temperatura
11 , ºC
1 μm / m
Humedad
12%
0,1 μm / m
CO2
670 ppm
0,1 μm / m Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Índice de Refracción Valores Típicos Sonda
Incertidumbre de la sonda
Incertidumbre final
Presión
0,6 mm Hg
0,2 μm / m
Temperatura
0,5 º C
0,5 μm / m
Humedad
10%
0,1 μm / m
CO2
400 ppm
0,1 μm / m Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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División de Escala
E/2
E
E 2 0,01 μm 2 u(cE) = = = 0,003 μm 3 3
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Realización práctica del interferómetro • Alineación delhaz láserrespecto deleje del desplazam iento • Situación de las ópticas • Errores de Abbé • Cam inos ópticos no com pensados (“Dead-Path Errors“) Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Alineamiento: Errores de Coseno
L0 = L ⋅ cos θ Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Alineamiento: Errores de Coseno
ΔL = PP'−PP'⋅ cos θ = PP'⋅(1 − cos θ)
ΔL 1 ⎛ 1 ⎞ = 1 − cos θ ≅ 1 − ⎜1 − θ2 ⎟ = + θ2 L 2 ⎝ 2 ⎠ Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Alineamiento L = 300 mm
e MAX = 0,5 mm
2
⎛ eMIN ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 2 1 ⎛ eMIN ⎞ 1 ⎛ 0,5 mm ⎞ ΔL θ 2L ⎠ −6 ⎝ ≅− ≤ = ⋅⎜ ⎟ = ⋅⎜ ⎟ = 0,35 × 10 L 2 2 8 ⎝ L ⎠ 8 ⎝ 300 mm ⎠
0,35 × 10 −6 ⋅ L u(cAL ) = 3
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Colocación de las Ópticas
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Colocación de las Ópticas
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Situación de la Óptica Fija
HIPÓTESIS: Rigidez de la bancada suficientemente elevada
α≅0 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Errores de Abbé
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Principio de Abbé Con el fin de reducir al mínimo los errores producidos por los defectos en el guiado, el eje de medida del instrumento y el eje de medida del mensurando deben ser coaxiales.
A≈0
⇒
EA ≈ 0 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Errores de Abbé EA MAX = + A ⋅ sen γ MAX ≅ 50 mm ⋅ sen10" = 2,4 μm
u(cAL ) =
2,4 μm 3
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Caminos Ópticos No Compensados ( “Dead-path Errors” )
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Caminos Ópticos No Compensados
Presión Temperatura Humedad
Mínimo Máximo 700, 2 mm Hg 700, 9 mm Hg 20, 1 º C
20, 5 º C
46%
54% Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Caminos Ópticos No Compensados Variación máxima
Δ MAX ( xi )
Coeficiente de influencia en el índice Variación máxima en el índice de refracción de refracción ∂n ∂xi Δ MAX i ( n ) = ∂n ∂xi ⋅ Δ MAX ( xi )
Presión
0, 7 mm Hg
3,6 × 10 −7 mm Hg -1
0, 25 × 10-6
Temperatura
0, 4 º C
9,2 × 10 −7 º C-1
0, 37 × 10 -6
Humedad relativa
8%
8, 5 × 10 −9 %
−1
0, 07 × 10-6
ΔnMAX = 0,25 × 10 −6 + 0,37 × 10 −6 + 0,07 × 10 −6 = 0,69 × 10 −6 ED MAX = D0 ⋅ ΔnMAX = ( 20 cm) ⋅ 0, 69 × 10−6 = 0, 14 μm
0,14 μm u(cCO ) = 3
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Dilatación del Mensurando Desviaciones producidas en el punto 1000,000 mm de una regla de acero al variar su temperatura −6 -1 α = 12 × 10 º C Coeficiente de dilatación
Temperatura (ºC)
Desviación (μm)
Temperatura (ºC)
Desviación (μm)
30,0
+120,0
19,9
-1,2
25,0
+60,0
19,8
-2,4
22,0
+24,0
19,5
-6,0
21,0
+12,0
19,0
-12,0
20,5
+6,0
18,0
-24,0
20,2
+1,4
15,0
-60,0
20,1
+1,2
10,0
-120,0
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Dilatación del Mensurando L20 = LT ⋅ [1 − α ⋅ (T − TR )] cT = L20 − LT = LT ⋅ α ⋅ (T − TR ) 2
2
⎛ ∂cT ⎞ ⎛ ∂cT ⎞ 2 2 ( ) ⋅ U (T ) U (cT ) = ⎜ ⋅ U α + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ ⎝ ∂α ⎠
U (cT ) = L
[(T − TR ) ⋅ U(α)]2 + [α ⋅ U(T )]2
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Dilatación del Mensurando TSALA = (20,0 ± 0,5) º C α = (11,5 ± 1,0 ) × 10 −6 º C-1 U (T ) = 0,1 º C u(cT ) = L
(k = 2)
[(T − TR ) ⋅ u(α)] 2 + [α ⋅ u(T )] 2 2
2 ⎡ , K 1,0 × 10 −6 K -1 ⎤ 0 1 u(cT ) ⎡ ⎤ −6 -1 , K = ⎢(20,5 − 20) K ⋅ + 11 5 × 10 ⋅ = ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 ⎦ L ⎣ ⎢⎣ ⎥⎦
= 0,63 × 10 −6
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Función Modelo Longitud de onda en el vacío
Corrección por interpolación
Instrumento
L20 = f ⋅ Conteo de franjas Factor de interpolación
λ0 1 ⋅ + c I + c E + c T + c AL + c AB + cOF + cCO k n( p, TA , H , xCO 2 ) + c n Humedad
Corrección por división de escala
Temperatura del aire presión
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Función Modelo Corrección por Caminos Ópticos no Compensados Corrección por alineamiento
Ópticas
L20 = f ⋅
λ0 1 ⋅ + c I + c E + c T + c AL + c AB + cOF + cCO k n( p, TA , H , xCO 2 ) + c n Corrección por errores de Abbé Corrección por una incorrecta colocación de la Óptica Fija
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Función Modelo Corrección por Dilatación del Mensurando
L20 = f ⋅
λ0 1 ⋅ + c I + c E + c T + c AL + c AB + cOF + cCO k n( p, TA , H , xCO 2 ) + c n
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Incertidumbre asociada al Instrumento Magnitud
E.
Longitud de onda
λ0
Interpolación de las franjas de interferencia
cI
Presión
p
Temperatura del Aire
TA
Humedad
H
CO2
xCO2
Ecuación de Edlén
cn
División de escala
cE
C.S.
∞
Uniforme
L λ0
0,06 × 10−6 ⋅ L
∞
Uniforme
1
0,003 μm
0,6 mmHg 2
∞
Normal
10−6 L 2,8 mmHg
0,21 × 10−6 ⋅ L
0,5 K 2
∞
Normal
10−6 L 1,1 K
0,45 × 10 −6 ⋅ L
10 %HR 2
∞
Normal
0,1× 10−6 L 12 %HR
0,08 × 10 −6 ⋅ L
∞
Uniforme
0,1× 10−6 L 670 ppm
0,06 × 10 −6 ⋅ L
∞
Uniforme
L
0,06 × 10−6 ⋅ L
∞
Uniforme
1
0,003 μm
−7
⋅ λ0 3 5 nm 3
10
u( p) =
u (T ) =
u(H ) =
u(xCO 2 ) = 400 ppm
10−7 3 0,01 μm u(cE ) = 12
Incertidumbre asociada al instrumento
Contribución a la Incertidumbre
Distrib.
Incertidumbre Típica
g.d.l.
Incertidumbre Combinada
E.: g.d.l.: C.S.:
Estimación de la magnitud Grados de libertad Coeficiente de sensibilidad
ains = 0,005 μm u ins =
∑ uk2
2 2 = ains + c ins ⋅ L2
c ins = 0,52 × 10 −6 ⋅ L
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Incertidumbre asociada a la realización práctica del Interferómetro E.
Incertidumbre Típica
g.d.l.
Distrib.
C.S.
Contribución a la Incertidumbre
Alineamiento
cAL
0,35 × 10 −7 ⋅ L 3
∞
Uniforme
1
0,20 × 10−6 ⋅ L
Situación óptica fija
cOF
u(cOF ) = 0
∞
Uniforme
1
0
Errores de Abbé
cAB
u(c AB ) =
2,4 μm 3
∞
Uniforme
1
1,4 μm
Caminos Ópticos No Compensados
cCO
u (cCO ) =
0,14 μm 3
∞
Uniforme
1
0,08 μm
Magnitud
Incertidumbre asociada a la realización práctica del instrumento
E.: g.d.l.: C.S.:
Estimación de la magnitud Grados de libertad Coeficiente de sensibilidad
Incertidumbre Combinada
u rp =
∑ uk2
2 2 = a rp + c rp ⋅ L2
arp = 1,4 μm c rp = 0,20 × 10 −6 ⋅ L Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 Sistemas Interferométricos Láser
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Dilatación del Mensurando
Magnitud
E.
Incertidumbre Típica
g.d.l.
Distrib.
C.S.
Contribución a la Incertidumbre
Dilatación del Mensurando
cT
0,63 × 10−6 ⋅ L
∞
Normal
1
0,63 × 10−6 ⋅ L
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Incertidumbre de Uso del Interferómetro
2 2 2 2 2 2 u(L) = uins + urp + u 2 (cT ) = [ains + cins ⋅ L2 ] + [arp + crp ⋅ L2 ] + u 2 (cT )
u(L) = [(0,005 μm )2 + (0,52 × 10 −6 ⋅ L)2 ] + [(1,4 μm )2 + (0,20 × 10 −6 ⋅ L)2 ] + (0,63 × 10 −6 ⋅ L)2
u(L) = [(1,4 μm )2 + (0,84 × 10 −6 ⋅ L)2 ]
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Coeficiente de Cobertura • •
Más de 3 componentes Las componentes mas importantes están, mas o menos, equilibradas y provienen de distribuciones uniformes o normales.
Doc. EA-4/02
El número de g.d.l. es infinito
Se acepta la validez del Teorema Central del Límite
k=2 95% de Cobertura
U (L) = k ⋅ u(L) = = 2 ⋅ [(1,4 μm )2 + (0,84 × 10 −6 ⋅ L)2 ]
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Incertidumbre Expandida 2.86
2.84
U(L) (μm
2.82
2.8
2.78
U(L) ≈ 3 μm 2.76
2.74 0
50
100
150 L (mm)
200
250
300
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Otras fuentes de incertidumbre Cuando el interferómetro láser se utiliza para calibrar otro instrumento, por ejemplo, una Máquina Medidora de Una Coordenada Horizontal (M1CH), es necesario considerar otras fuentes de incertidumbre asociadas al propio calibrando (M1CH) o al sistema conjunto interferómetro-calibrando: •
Repetibilidad del conjunto interferómetro-calibrando
•
Deriva del cero del conjunto interferómetro-calibrando
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Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
EJEMPLOS DE APLICACIONES EN METROLOGÍA MECÁNICA EN LA CALIBRACIÓN Y USO DE: 1º UNA BALANZA MONOPLATO 2º UN MANÓMETRO Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 2
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
CALIBRACIÓN Y USO DE UNA BALANZA MONOPLATO
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 3
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
1. 2. 3.
ENUNCIADO DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
4. 5.
TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO 5.1. 5.2. 5.3. 5.4 5.5. 5.6.
6.
Patrón de calibración Repetibilidad Redondeo Otras contribuciones no consideradas en este ejemplo
Corrección e incertidumbre global Repetibilidad al medir Redondeo Excentricidad Variación de temperatura Otras contribuciones no consideradas en este ejemplo
RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON LA BALANZA Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 4
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
ENUNCIADO • Calibración de una balanza monoplato, SCI-M.01.05 • C= 210 g • E=0,1 mg indicador digital, • Calibración realizada por un laboratorio externo: calibración “in situ” • que será una periódica dentro de su Plan de Calibración, Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 5
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• El propietario solicita que la calibración se realice para un uso de la balanza en el que: – se ajusta la escala de la balanza previamente a su uso, con su masa interna
– se emplea con medidas absolutas, – campo a calibrar: 100 mg a 200 g, en función del resto de balanzas y de la forma de los mensurandos
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 6
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Patrones: masas patrón de clase E2 según R111 (OIML) – se emplean con su valor nominal solo, – juego reservado para calibraciones “in situ”, de un nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio externo, con la deriva bien controlada
– juego hasta 200 g, con duplicados los múltiplos de 2x10n. – certificado con: desviaciones al nominal en valor convencional según D48 (OIML), incertidumbres y clase (en lo referente a la desviación al nominal).
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Los valores de T para la desviación al nominal en la clase E2 según R111, son: Nominal
100mg 200mg 500mg 1g
±T (mg) 0,016
0,020
0,025
0,03
2g
5g
10g
20g
50g
100g
200g
0,04
0,05
0,06
0,08
0,1
0,16
0,3
• la calibración se va a realizar en valor convencional según la D48. • La temperatura de la sala durante la calibración: 19,5 ºC a 21 ºC controlada con termógrafo: Tmax - Tmin Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 8
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Ponente: J. A. Madrona
• Finalmente, con los datos del certificado de calibración, el propietario determina la incertidumbre para el uso: – empleo con una sola medida – para medir objetos de acero – efecto de la temperatura para la variación máxima de ±3ºC manual del fabricante: tc ≤ 1,5×10-6/K entre 10 ºC y 30 ºC
– no realizar correcciones de calibración – efecto del descentramiento de cargas – se miden objetos con diversas formas
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Ponente: J. A. Madrona
DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN • Conforme a EURAMET/cg-18 y G-ENAC-13 • debe reproducir el empleo del instrumento a calibrar, • uso con medidas absolutas ⇒ procedimiento: medir masas patrón conocidas
• la calibración se va a realizar determinando: – la corrección de calibración, y – la incertidumbre de calibración.
• los parámetros metrológicos que se van a determinar en la calibración serán: – Repetibilidad – Corrección de calibración
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Ponente: J. A. Madrona
• REPETIBILIDAD: – en 2 puntos: • valores máximo y medio del campo calibrado:
100 g y 200 g – en cada uno: 10 repeticiones.
• CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN: – en 6 puntos: • aprox. equidistantes • incluyendo el mínimo y el máximo • aprovechando los puntos de la repetibilidad:
100 mg, 2 g, 50 g, 100 g, 150 g y 200 g – en cada punto (excepto en los de repetibilidad) se realiza 1 medida (así se mide en el uso de la balanza). – se siguen series crecientes, pasando por 0 entre cargas. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 11
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Ponente: J. A. Madrona
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN • Denominando: lij = indicación de la balanza para la medida de la masa patrón, de orden j (j =1 a 10) en el punto i (i =1 a 2), para la repetibilidad
li = indicación de la balanza en el punto i (i =1 a 6), para la corrección de calibración,
mpi = valor de la masa patrón con nominal correspondiente al punto i, Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008 12
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z
FUNCIÓN MODELO El modelo de la corrección local:
Ci = Cci + CE + CE 0 = M pci + CDmpi − Li + CE + CE0 (puntos de 10 medidas) C i = C ci + C E + C E 0 = M pci + C Dmp i − Li + C E + C E0 (puntos de 1 medida) z
Aplicando la ley de propagación de varianzas:
s i2 u ( c i ) = u ( c ci ) + u ( c E ) = u + u ( c Dmp i ) + + u 2 ( c E ) + u 2 ( c E0 ) (10 medidas) 10 2 2 2 2 2 u 2 ( c i ) = u 2 ( c c i ) + u 2 ( c E ) = u mpc i + u ( c Dmp i ) + s g + u ( c E ) + u ( c E0 ) (1 medida) 2
2
2
2 mpc i
2
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ESTIMACIÓN DE CORRECCIONES Y CONTRIBUCIONES A LA INCERTIDUMBRE DE CALIBRACIÓN LOCAL Corrección de calibración –Valor del patrón indicado en su certificado, mpi –Valor medio, li en el punto i para la determinación de la repetibilidad:
1 10 l i = ∑ lij 10 j =1 –Corrección de calibración, cci, en el punto i:
cci = mpi − l i (puntos de 10 medidas) c ci = mpi − li (puntos de 1 medida) Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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• Entonces la contribución de incertidumbre por el Patrón de calibración umpi , se obtendrá con los criterios: – Combinación de patrones: – Si para constituir un nominal se emplean n masas patrón de un mismo juego ⇒ correlación total – correlación total ⇒ composición de las incertidumbres típicas mediante una ley lineal:
u
mp i
n
∑
=
u
mp ij
j = 1
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– Empleo sin la desviación al nominal: – contribución por emplearse las masas patrón con su valor nominal, – se estima a partir de la tolerancia correspondiente a su clase:
±Ti en el nominal i – se asocia una distribución de probabilidad rectangular:
u mpc i
=
Ti 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponente: J. A. Madrona
– Deriva: – por estar sometidas las masas a muchos desplazamientos y usos en diversos ambientes – se tiene bien controlada: masas incluidas en nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio (reciben calibraciones internas con un periodo de recalibración adecuado), masas empleadas solo en la calibración de las balanzas.
– se controla que no supere un intervalo de la ±U certificada para la clase de la masa. – se estima como corrección nula:
cDmpi = 0 – se asocia una distribución rectangular en el intervalo de variación (±U).
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Ponente: J. A. Madrona
– Se añade a la componente de la U de la masa patrón por su valor certificado. – Como la U de las masas es igual a 1/3 de la tolerancia para la clase (según R111-OIML):
2 ⋅ U i Ti / 3 Ti = = u(cDmpi ) = 2⋅ 3 3 3⋅ 3 – Si las masas fueran del nivel de referencia de un laboratorio sin calibración interna: esta componente alcanzaría un valor más elevado, y debería estar estimada por recalibraciones con periodicidad corta y/o por controles entre calibraciones Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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– Calidad de los patrones: – La U de los patrones se debe encontrar dentro de un intervalo tal que por: el extremo superior: no produzca una degradación inadmisible para la U final de calibración, el extremo inferior: no aparezcan problemas de viabilidad tecnológica, coste, etc, de las masas.
– Según UNE EN 30012-1 (ISO 10012: 1992), la relación recomendable entre la tolerancia a verificar ±T y la U del instrumento a emplear, es: T T ≤U ≤ 10 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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– Considerando:
T = máximo error permitido (EN 45501) máximo error permitido = f(E) con valores: desde E/2 en recepción con E alta, a 3E en uso con E pequeña, la relación anterior queda:
0,5 ⋅ E 3⋅ E E ≤U ≤ ⇒ ≤U ≤ E 10 3 20 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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– Por otra vía, EN 45501 se establece que las Tm de los patrones no deben superar: Tm ≤ T/3,
– y como según la R111 (OIML): U ≤ Tm/3
se puede obtener una nueva relación:
0,5 ⋅ E 3⋅ E E E ≤U ≤ ⇒ ≤U ≤ 3⋅ 3 3 ⋅ 3 18 3 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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– Comprobando la calidad de los patrones: en el nominal más bajo, de 100 mg: 2
2⋅
1 ⎞ U 1 ⎛ 0 , 016 mg ⎞ ⎛ 2 = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 1 + 2 ⎟ = 0 , 02 mg ⇒ 3 ⎠ E 5 3 ⎝ ⎠ ⎝
valor que entra en el intervalo en el nominal más alto con varias masas, 150 g: 2
2⋅
0 ,16 mg ⎞ ⎛ 2 U 1 ⎞ ⎛ 0 ,1 mg + = 3 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 1 + 2 ⎟ = 0 , 3 mg ⇒ E 3 ⎠ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝
y en el nominal más alto, 200 g: 2
2 ⋅
1 ⎞ U ⎛ 0 , 3 mg ⎞ ⎛ 2 = 3 ,7 ⎟ ⋅ ⎜ 1 + 2 ⎟ = 0 , 37 mg ⇒ ⎜ 3 E 3 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
valores que no entran en los intervalos Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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– Habría que realizar la calibración: con la desviación al nominal de las masas dentro de un plan interno con masas con menos deriva.
– En 200 g, empleando la masa con desviación al nominal y sin deriva:
U=E cumple los límites de ISO 10012-1. no se cumple EN 45501 con masas de clase tan alta (E2), luego esta norma no es para la calidad de estas balanzas.
– Así, para el actual nivel tecnológico de estos instrumentos, y para el ejemplo, se sube el límite superior de la relación:
E ≤ U ≤ 4E 18 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponente: J. A. Madrona
• Repetibilidad – Como la desviación típica, si, en los dos puntos i para la determinación de la repetibilidad:
s
2 i
1 = 10 − 1
∑ (l 10
j =1
ij
− li
)
2
– sg es la desviación típica que se estima como global para toda la escala del instrumento, según el criterio:
sg = máx (si) (entre los valores de los dos puntos de 10 medidas) Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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• Redondeo con carga en el plato – es la contribución debida a la expresión del resultado según un múltiplo de E, – se estima mediante una corrección nula, cE, cE = 0 – su varianza se obtiene de la hipótesis de distribución uniforme en un intervalo ± E/2:
2 ⋅ ( E / 2) E = 12 12 • Redondeo sin carga en el plato u (c E ) =
– es igual que la anterior
2 ⋅ ( E / 2) E = u (c E 0 ) = 12 12
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• Otras contribuciones no consideradas – La contribución por descentramiento que no aplica por ser fácil colocar el centro de gravedad de los patrones en el centro geométrico del plato, – La contribución por variación de temperatura durante la calibración queda englobada en la repetibilidad (se va a analizar en la incertidumbre de uso), – La contribución por el empuje del aire que resulta despreciable, al considerar que: la corrección diferencial entre las masas patrón de calibración e interna para el ajuste previo de la escala no resulta significativa, en todo caso quedaría englobada por la corrección de calibración, Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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INCERTIDUMBRE COMBINADA DE CALIBRACIÓN LOCAL • Sustituyendo las expresiones para las contribuciones: – en los puntos de 10 medidas para repetibilidad y corrección de calibración ⎛ Ti 2 Ti 2 s i2 E 2 E 2 ⎞ ⎟⎟ = k ∑ u ( c i ) = k ⎜⎜ + + + + 27 10 12 12 ⎠ q =1 ⎝ 3 4
U
2 i
2
2 q
2
– en los puntos de 1 medida para la corrección de calibración ⎛ Ti 2 Ti 2 E2 E2 ⎞ 2 ⎟⎟ = k ∑ u ( c i ) = k ⎜⎜ + + sg + + 27 12 12 ⎠ q =1 ⎝ 3 4
U
2 i
2
2 q
2
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Contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales Magnitud
Estim ación
de entrada
Incertidum bre típica
Distribución Coeficiente de
de
Contribución a la incertidum bre
probabilidad sensibilidad uq(c q)
Xq xq
cq u(x q)
Mpci
mpci
umpci
Rectangular
1
Ti 3
CDmpi
0
u(c Dmpi )
Rectangular
1
Ti 3⋅ 3
_
_
Li
li
CE
0
sx
Normal
-1
Rectangular
1
−
X u(c E )
sx X
E 2 3
CE0
0
u(c E0)
Rectangular
1
E 2 3
Ci
ci = ∑ x q
Incertidumbre combinada (u)
q
Incertidumbre expandida (U)
u=
∑u
2 q
(ci )
U=k⋅ u
Nota: como sx y X se toman si, y 10, o sg y 1 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
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TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS Nominal (g)
0,1
2
50
100
150
200
umpci (mg)
0,009
0,023
0,058
0,087
0,144
0,173
u(c Dmpci) (mg) 0,003
0,008
0,019
0,029
0,048
0,1000 2,0000 49,9998 100,0001 150,0002
lij (g)
0,058 200,0000
100,0000
200,0001
100,0001
200,0001
100,0002
200,0000
100,0000
199,9999
100,0001
199,9999
100,0000
200,0000
100,0001
200,0001
100,0000
200,0000
100,0002
199,9999
l i (g)
-
-
-
100,0001
-
200,0000
s j (mg)
-
-
-
0,08
-
0,08
c ci (mg)
0,0
0,0
+0,2
-0,1
-0,2
0,0
u(c ci) (mg)
0,09
0,09
0,11
0,10
0,17
0,19
Ui (mg)
0,18
0,19
0,22
0,21
0,35
0,38
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Cálculo de las contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales en un punto de 1 medida para la determinación de la corrección de calibración: Magnitud de entrada
Estimación xq
Distribución de Coeficiente de Contribución a la probabilidad sensibilidad incertidumbre
Xq
cq
uq(ci )
M pci
50,0000 g
Rectangular
1
0,058 mg
CDmpi
0 mg
Rectangular
1
0,019 mg
Li
49,9998 g
Normal
-1
-0,080 mg
CE
0 mg
Rectangular
1
0,029 mg
CE0
0 mg
Rectangular
1
0,029 mg
Ci
+0,2 mg
Incertidumbre combinada (u)
0,11 mg
Incertidumbre expandida (U)
0,22 mg
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Cálculo de las contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales en un punto de 10 medidas para la determinación de la repetibilidad y de la corrección de calibración: Magnitud de entrada
Estimación xq
Distribución de Coeficiente de Contribución a la incertidumbre probabilidad sensibilidad
Xq
cq
uq (ci )
M pci
100,0000 g
Rectangular
1
0,087 mg
CDmpi
0 mg
Rectangular
1
0,029 mg
_
100,0001 g
Normal
-1
-0,025 mg
CE
0 mg
Rectangular
1
0,029 mg
CE0
0 mg
Rectangular
1
0,029 mg
Ci
-0,1 mg
Li
Incertidumbre combinada (u)
0,10 mg
Incertidumbre expandida (U)
0,21 mg
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Como factor de cobertura: – generalmente se tomará k=2, para una probabilidad del 95%, (más de 2 términos en el balance y presentan contribuciones comparables: los dominantes no suponen más de un 60% del total) – en los casos en los que resultara dominante una distribución rectangular se asociaría un factor de cobertura k=1,65 para una probabilidad del 95%. – en los casos en los que resulten dominantes dos distribuciones rectangulares habría que realizar la convolución para determinar la forma de la distribución trapezoidal resultante.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO – La obtención de Cc y U globales tiene mayor utilidad, por emplear un diferente nº de repeticiones según parámetro. – El modelo, teniendo en cuenta cΔ la corrección residual que no se realiza al trabajar con valor global, las correcciones por temperatura, por excentricidad, así como las de redondeo de nuevo, será: C = C c + C Δ + C rep + C E + C E 0 + C exc + C temp – Aplicando la ley de propagación de varianzas:
u2 (c) = u2 (cc ) + u2 (cΔ ) + u2 (crep) + u2 (cE ) + u2 (cE0 ) + u2 (cexc) + u2 (ctemp) Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
33
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Corrección global no nula: – Los valores de su estimador y de su contribución, se obtienen con los criterios:
1 6 cc = ∑ cct 6 t =1
u
2
(c
c
1 ) = 6
6
∑
i=1
u
2
(c
ci
)
– El valor del estimador de cΔ debida a las correcciones residuales que no se realizan al trabajar con el valor global, y de su contribución u(cΔ), se obtienen con los criterios: cΔ = 0 6 1 2 u (cΔ ) = ( c ct − c c ) 2 ∑ 6 − 1 t=1 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
34
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Corrección de calibración nula: – Para aplicaciones de este nivel metrológico, puede ser una buena práctica la incorporación de Cc a U, ya que como las Cc global y locales son lo suficientemente pequeñas, se le puede asignar valor nulo. – Su estimador y el de su contribución se pueden obtener, mediante:
c
c
= 0
u (cc ) =
6
1 6
∑
u
2
(c
ci
)
1
– El estimador de la corrección residual que no se aplica, y el de su contribución por este desajuste de escala se obtienen, mediante:
c
Δ
= 0
u (c
Δ
) =
1 6
6
∑
c
2 ci
1
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
35
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
– También se pueden obtener como:
cg = 0
[
1 u (cg ) = (U i )max + cci 2
max
]
1 ⎛⎜ ⎛ Ti 2 Ti 2 s x2 E 2 E 2 ⎞ ⎟⎟ + cci = ⎜⎜ + + + + 2 ⎜⎝ ⎝ 3 27 X 12 12 ⎠ max
⎞ ⎟ max ⎟ ⎠
Criterio éste que será el que finalmente se aplique
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
36
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Repetibilidad al medir: – Con la única lectura que se realiza al medir.
lR = l
sg
( si ) máx u (crep ) = = 1 1 • Redondeo con carga y sin carga en el plato: – Como se analizó en las contribuciones a la incertidumbre de calibración local. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
37
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Excentricidad – en 1 punto próximo a 1/3 del valor máximo del campo de medida (fijado por procedimiento), 70 g – cargando el plato en 5 posiciones: 4 opuestas por parejas según las 2 diagonales, y la central. – se estima con una corrección nula, cexc =
0
– su varianza se obtiene asociando una distribución rectangular al intervalo definido por la máxima desviación de una de las cuatro posiciones descentradas y la central:
u ( c exc ) =
(Δ l
exc , i
)
max
12 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Al colocar sobre el plato un objeto de una masa próxima a 70 g se obtienen para las cinco posiciones:
central descentradas (g) (g) 69,9999 69,9994 70,0001 70,0003 69,9996 Y, entonces:
69 , 9999 − 69 ,9994 u ( c exc ) = g 12 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Variación de temperatura – es la contribución asociada al cambio de temperatura, – se estima por una corrección nula,
ctemp= 0 – su varianza se obtiene localmente a partir de considerar una distribución rectangular en el intervalo máximo de control de temperatura de la sala: li ⋅ ΔT ⋅ tc li ⋅ 6 ⋅1,5 ⋅10 −6 u (ctempi ) = = = li ⋅ 2,6 ⋅10 − 6 12 12
– y globalizando:
(
u(ctemp ) = li ⋅ 2,6 ⋅10−6
)
max
= (li )max ⋅ 2,6 ⋅10−6 = 200 ⋅ 2,6 ⋅10−6
g
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• OTRAS CONTRIBUCIONES EN USO QUE EN ESTE EJEMPLO NO SE CONSIDERAN Empuje del aire – También se considera despreciable como en la calibración aunque si se tenga que determinar en algún empleo si los mensurandos no fueran de acero y en función de las densidades del mensurando y de la masa interna de ajuste. – Se estimaría a partir de la medida indirecta que define la corrección, asociándole una distribución normal, función de las densidades del mensurando y de las masas de calibración así como de la densidad del aire.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponente: J. A. Madrona
• Fluencia, histéresis – No se presenta en el uso de esta balanza al medir objetos solidos, se estimaría a partir de las diferencias entre series crecientes y decrecientes.
• Tarado – No se presenta en el uso de esta balanza al medir objetos solidos, se estimaría a partir de la máxina diferencia de las pendientes del error entre puntos de calibración consecutivos.
• Desajuste por deriva – No se presenta en el uso de esta balanza por realizar ajustes de escala antes de cada uso, se estimaría a partir de especificaciones del fabricante o variaciones entre calibraciones Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE DE USO •
Sustituyendo las expresiones de las distintas contribuciones: - Con corrección no nula
⎝ ⎝ i =1 ⎝ ⎠ i =1 12 1 12 12 ⎝⎜ ⎜ ⎜ 6 ∑ ⎜ 3 27 X ⎠⎟ 12 12 ⎟ 6 − 1 ∑ ci c + + − + + + + U 2 = k 2⎜⎜ c c ( ) ⎜ i + i + x ⎟+ ⎜ ⎟ 2 1 6 s g2 E 2 E 2 ⎛ (Δlexc ,i )máx ⎛⎛ 1 6 ⎛ T 2 T 2 s2 ⎞ E 2 E 2 ⎞
- Con corrección nula
U
2
⎝⎝ ⎜⎜ 2 = k 2⎜⎜ ⎜⎛ 1 ⎛
⎝⎝ 3 27 12 12 X ⎜⎜ ⎜ ⎜ Ti + Ti + s x + E + E ⎛⎛ 2 2 2 2 2
⎠ max ⎟⎟ + c ci ⎞
max
⎠⎠ 12 1 12 12 ⎝⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ + g + E + E + ⎜ ⎛ (Δ l exc , i )máx s2 ⎞⎞ 2 2 2
⎠ ⎟⎟ + (l i )max ⋅ 2,6 ⋅10 −6 ⎞
(
2
⎠ ⎟⎟ + (l i )max ⋅ 2 , 6 ⋅ 10 −6 ⎞
(
2
⎠ ⎟ ⎟ 2 ⎞
)
⎠ ⎟⎟ 2 ⎟ ⎞
)
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
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Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección no nula Magnitud de entrada Xq
Estim ación Incertidum bre Distribución Coeficiente de de Típica probabilidad sensibilidad xq cq u(x q)
Contribución a la incertidum bre uq(c i )
Cc
0
u(c c )
Normal
1
1 6 ⎛ Ti 2 Ti 2 s x2 ⎞ E 2 E 2 (1) ∑⎜ + + ⎟ + + 6 i =1 ⎜⎝ 3 27 X ⎟⎠ 12 12
CΔ
0
u(c Δ)
Normal
1
1 6 2 ∑(cci − cc ) 6 −1 t =1
Crep
0
u(c rep)
Normal
1
sg 1
CE
0
u(c E )
Rectangular
1
E 2 3
CE0
0
u(c E0
Rectangular
1
E 2 3
Cexc
0
u(c exc )
Rectangular
(Δl )
1
exc,i máx
12 Ctemp
0
C
c = ∑ xq q
u(c temp)
Rectangular
1
Incertidumbre combinada (u)
Incertidumbre expandida (U)
(li )max ⋅ 2,6 ⋅10−6
u=
∑u
2 i
(ci )
U = k⋅ u
Nota (1): como sx y X se toman si, y 10, o sg y 1 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
44
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección nula Magnitud de entrada Xq
Cc
Crep
Estim ación Incertidum bre Distribución Coeficiente Típica de de probabilidad sensibilidad xq cq u(x q)
0
0
u(c c )
u(c rep)
Normal
Normal
1
Contribución a la incertidum bre uq(c i )
1 ⎛⎜ ⎛ Ti 2 Ti 2 s x2 E 2 E 2 ⎞ ⎜ ⎟ + cci + + + + 2 ⎜⎝ ⎜⎝ 3 27 X 12 12 ⎟⎠ max
1
max
⎞ (1) ⎟ ⎟ ⎠
sg 1
CE
0
u(c E)
Rectangular
1
E 2 3
CE0
0
u(c E0
Rectangular
1
E 2 3
Cexc
0
u(c exc )
Rectangular
(Δl )
1
exc,i máx
12 Ctemp
0
C
c = ∑ xq q
u(c temp)
Rectangular
1
Incertidumbre combinada (u)
Incertidumbre expandida (U)
(li )max ⋅ 2,6 ⋅10−6
u=
∑u
2 i
(ci )
U = k⋅ u
Nota (1): como sx y X se toman si, y 10, o sg y 1 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
45
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección no nula Magnitud de entrada
Estimación
Xq
xq
Cc
0
CΔ
Distribución de probabilidad
Coeficiente Contribución a de la sensibilidad incertidumbre cq
uq(ci )
Normal
1
0,267 mg
0
Normal
1
0,121 mg
Crep
0
Normal
1
0,080 mg
CE
0
Rectangular
1
0,029 mg
CE
0
Rectangular
1
0,029 mg
Cexc
0
Rectangular
1
0,144 mg
Ctemp
0
Rectangular
1
0,52 mg
C
0
Incertidumbre combinada (u)
0,621 mg
Incertidumbre expandida (U)
1,24 mg
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
46
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección nula Magnitud de entrada
Estimación
Xq
xq
Cc
0
Crep
Distribución de probabilidad
Coeficiente Contribución a de la sensibilidad incertidumbre cq
uq (ci )
Normal
1
0,270 mg
0
Normal
1
0,080 mg
CE
0
Rectangular
1
0,029 mg
CE
0
Rectangular
1
0,029 mg
Cexc
0
Rectangular
1
0,144 mg
Ctemp
0
Rectangular
1
0,520 mg
C
0
Incertidumbre combinada (u)
0,61 mg
Incertidumbre expandida (U)
1,2 mg
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
47
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
– Este valor se puede considerar alto para un nivel de cobertura del 95%, y se podría reducir: disminuyendo el ΔT para las medidas en el uso, realizando en el uso la Ct, para la T concreta que se tenga, y disminuyendo la Ump en los puntos altos (150 g y 200 g) mediante su empleo con la desviación al nominal.
– No habría que olvidar que aún faltarían componentes que inevitablemente tendría que añadir el usuario, p.e.: por la corrección por empuje del aire, en función de sus mensurandos habituales.
– Para este uso mejor emplear otra balanza más económica con 10E.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
48
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON LA BALANZA • Si la lectura de la balanza al colocar el objeto sobre su plato es de 128,352 2 g, el resultado final será: 128,352 2 g ± 0,001 2 g
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
49
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
CALIBRACIÓN Y USO DE UN MANÓMETRO
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
50
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
1. 2. 3.
ENUNCIADO DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN 4.1. Corrección de calibración local 4.1.1 . 4.1.2 .
4.2. 4.3. 4.4. 4.5.
5. 6. 7.
Presión medida por el manómetro patrón Corrección de calibración del manómetro patrón
Error de histéresis Corrección por diferencia de alturas Variación de temperatura Redondeo
TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO. RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON EL MANÓMETRO.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
51
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
ENUNCIADO • Calibración de un instrumento mediante la medida simultánea con otro instrumento que actúa como patrón, de una presión generada externamente. • Instrumento a calibrar: manómetro mecánico con cualquier tipo de sensor e indicador analógico, para medidas de presión relativa neumática. • Realizada por un laboratorio externo al propietario del mismo. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
52
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Del manómetro calibrando se sabe que: C =10 bar E = 0,05 bar – se usa para medidas de presión creciente y decreciente. – del manual del fabricante se conoce tc ≤ 200 Pa/K en el campo de 10 ºC a 30 ºC. – es una calibración periódica dentro de su Plan de Calibración, – se determinan características metrológicas manómetro para emplearlas en su uso.
del
– campo a calibrar: 10% al 100% de la capacidad ( 1 bar a 10 bar). Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
53
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Del patrón de calibración se sabe que: – manómetro electrónico con sensor interno e indicaciones en unidades de presión. C = 50 bar
E = 1 mbar
– reservado para calibraciones a clientes, en un nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio externo. – su campo de medida cubre el del calibrando. – de su certificado de calibración se extrae la información: ccpi = -0,0015 bar + 5xPix10-4 Ucpi = 4 mbar + 1,6xPix10-3 (k=2) De 0,5 bar a 50 bar • la U incluye contribuciones por el redondeo, por la influencia de T para la variación en la sala de calibración, y por su deriva calibrado internamente para uso muy bien conocido
• el campo calibrado cubre el campo a calibrar del calibrando • esa U cumple las relaciones con el calibrando recomendadas. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
54
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• De la calibración en sí se sabe que: – La variación de la temperatura durante misma ha sido de ΔTc =19,5ºC a 21,5ºC. – Se realiza un montaje con las tomas de los dos manómetros a la misma altura. – Se comprueban las alturas de las dos tomas con un instrumento con Uh = 5 mm (k=2), y se conoce g = 9,80 ms-2. – Se usa un generador auxiliar con un gas que admiten los dos manómetros (N2 con df=6kgm-3), y con un controlador capaz de estabilizar la presión adecuadamente para la calidad del calibrando. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
55
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Del uso en sí se sabe que: – La variación de la temperatura prevista en sus diferentes empleos de ΔTc = 20 ± 5ºC. – Se realiza una medida. – El manómetro se coloca a la altura del punto en el que se quiere conocer la presión. – La deriva se tiene controlada de forma que entre calibraciones la corrección de calibración no varíe en más de ± 3E.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
56
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN • como en su forma de empleo: medir las presiones generadas externamente simultáneamente con el manómetro patrón. • fijando los puntos el manómetro a calibrar. • se determinan: Cc y U locales, incluyendo algunas contribuciones del uso, para que el usuario aplique en la medida las Cc y cualquier otra contribución que le afecte. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
57
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Los parámetros metrológicos a determinar: • repetibilidad • corrección de calibración • error de histéresis
• Repetibilidad: – 10 repeticiones en 2 puntos de los anteriores (valor máximo y mitad del campo calibrado) realizando 4 series más (2 y 2 seguidas).
• Corrección de calibración e histéresis: – 6 series (3 crecientes y decrecientes seguidas), en 5 puntos de calibración equidistantes en el campo a calibrar. Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
58
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN FUNCIÓN MODELO • El modelo para la corrección local de calibración:
Ci = Cci + CHi + CΔh + CT + CE • aplicando la ley de propagación de varianzas a dicha expresión se obtiene:
u 2 (ci ) = u 2 (cci ) + u 2 (cHi ) + u 2 (cΔh ) + u 2 (cT ) + u 2 (cE )
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
59
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
ESTIMACIÓN DE CORRECCIONES Y CONTRIBUCIONES A LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN • Corrección de calibración: – el modelo para cada punto:
cci = ppi − li • el modelo para el valor de la presión patrón:
ppi = p pci + ccpi + cTpi + cDpi + cEp • de acuerdo con las condiciones de su calibración:
ppi = p pci + ccTDEpi Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
60
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
– de esta forma, el modelo final resultante sería:
c ci = p pci + ccTDEpi − li – aplicando la ley de propagación de varianzas:
u (cci ) = u ( ppci ) + u (ccTDEpi ) 2
2
2
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
61
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Presión medida por el manómetro patrón: – en los puntos de 10 repeticiones:
p pci
(
1 10 = p i = ∑ pij 10 j =1
10 1 si2 = pij − p i ∑ 10 − 1 j =1 si u( p pci ) = 10
)
2
– en los puntos con 6 repeticiones:
p pci
1 6 = p i = ∑ pij 6 j =1
sg
( si ) máx u ( p pci ) = = 6 6 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
62
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
•
Corrección de calibración del manómetro patrón: ccTDEpi = ccpi u(ccTDEpi ) = u(ccpi ) = ucpi
•
en resumen, el modelo de la corrección local de calibración quedaría: _
ci = p i + ccpi − li •
aplicando la ley de propagación de varianzas:
si2 u ( ci ) = u + 10 2 s g 2 u 2 (ci ) = ucpi + 6 2
2 cpi
(puntos de 10 medidas)
(puntos de 6 medidas) Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
63
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Error de histéresis:
cHi = 0
Δpi u(cHi ) = 12 • Corrección por diferencia de alturas:
c Δh = d f ⋅ g ⋅ Δ h = 0 u 2 (cΔh ) = (d f ⋅ g ) 2 ⋅ u h2 + (d f ⋅ Δh) 2 ⋅ u g2 + (Δh ⋅ g ) 2 ⋅ u df2 = (d f ⋅ g ) 2 ⋅ u h2 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
64
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Variación de temperatura:
cT = 0
ΔTc ⋅ tc u (cT ) = 12 • Redondeo:
cE = 0
E /2 u (cE ) = = 3
E 12
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
65
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
INCERTIDUMBRE COMBINADA DE CALIBRACIÓN LOCAL •
Luego la expresión para la incertidumbre resultado de esta calibración, sustituyendo las expresiones de cada una de sus contribuciones, será:
2 2 2 2 ⎞ ⎛ p T t Δ ⋅ Δ s E ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 2 2 2 2 ⎜ 2 ⎟ U i = k ⋅ ∑ u q ( y ) = k ⋅ ucpi + x + ⎜ i ⎟ + (d f ⋅ g ) ⋅ uh + ⎜ c c ⎟ + ⎜ X ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ 12 ⎟⎠ q ⎝
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
66
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales Magnitud
Estim ación
Incertidum bre Distribución Coeficiente de
Contribución a la
de De entrada
Xq
Ppci
típica
xq
probabilidad
u(x q)
_
sx
pi
Normal
sensibilidad
Incertidum bre
Cq
uq(c i )
1
sx
X
(1)
X
c cpi
c cpi
u(c cpi )
Normal
1
u(c cpi )
CHi
0
u(c Hi )
Rectangular
1
Δpi 12
CΔh
0
u(c Δ)
Normal
df ⋅ g
CT
0
u(c T)
Rectangular
1
ΔTc ⋅ tc 12
CE
0
u(c E)
Rectangular
1
E 2⋅ 3
C
c = ∑ xq
Incertidumbre combinada (u)
q
Incertidumbre expandida (U)
(d
u=
f
⋅ g ) ⋅ uh
∑u
2 i
(ci )
U = k⋅ u
Nota (1): como sx y X se toman si , y 10, o sg y 6 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
67
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Como factor de cobertura: – generalmente se tomará k=2, para una probabilidad del 95%, (más de 2 términos en el balance y presentan contribuciones comparables: los dominantes no suponen más de un 60% del total) – en los casos en los que resultara dominante una distribución rectangular se asociaría un factor de cobertura k=1,65 para una probabilidad del 95%. – en los casos en los que resulten dominantes dos distribuciones rectangulares habría que realizar la convolución para determinar la forma de la distribución trapezoidal resultante.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
68
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS E (División de escala) (bar) Nominal (bar) u(ccpi)(bar)
0,05 1
3
5
7
10
0,003
0,005
0,006
0,008
0,010
1,062
3,041
5,024
7,043
10,098
1,069
3,066
5,015
7,023
10,068
1,023
3,012
5,077
7,019
10,040
1,041
3,033
5,089
7,040
10,020
1,072
3,024
5,044
7,038
10,081
1,075
3,045
5,053
7,057
10,099
ppij (bar)
ppi (bar)
1,057
s ci (bar)
5,094
10,071
5,079
10,077
5,043
10,093
5,017
10,072
3,037
5,054
7,037
10,072
0,030
0,030
0,030
0,025
cctdPi (bar)
-0,001
0,000
0,001
0,002
0,003
cci (bar)
0,056
0,037
0,055
0,039
0,075
u ci=S ci/√n (bar)
0,000
0,012
0,009
0,012
0,008
u(cHi) (bar)
0,005
0,007
0,008
0,006
0,009
u(CDh) (bar)
0,000
u(cT) (bar)
0,002 0,014
u(cE) (bar) u(cci) (bar)
0,016
0,021
0,020
0,021
0,021
Ui (bar)
0,032
0,042
0,040
0,043
0,042
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
69
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada en los puntos de 10 medidas para la repetibilidad Magnitud
Estim ación
Distribución de
Coeficiente de Contribución a
probabilidad De entrada
la sensibilidad
Incertidum bre
Cq
uq(c i )
Xq
xq
Ppci
10,072 bar
Normal
1
0,008 bar
c cpi
+0,003 bar
Normal
1
0,010 bar
CHi
0
Rectangular
1
0,009 bar
CΔh
0
Normal
58,8 Pa/m
0,000 bar
CT
0
Rectangular
1
0,002 bar
CE
0
Rectangular
1
0,014 bar
C
+0,075 bar,
Incertidumbre combinada (u)
0,021 bar
Incertidumbre expandida (U)
0,042 bar
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
70
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada en los puntos de 6 medidas para la corrección de calibración Magnitud
Estim ación
Distribución de
Coeficiente de Contribución a
probabilidad
la
De entrada
sensibilidad
Incertidum bre
Cq
uq(c i )
Xq
xq
Ppci
3,037 bar
Normal
1
0,012 bar
c cpi
0,000 bar
Normal
1
0,005 bar
CHi
0
Rectangular
1
0,007 bar
CΔ
0
Normal
58,8 Pa/m
0,000 bar
CT
0
Rectangular
1
0,002 bar
CE
0
Rectangular
1
0,014 bar
C
+0.037 bar
Incertidumbre combinada (u)
0,021 bar
Incertidumbre expandida (U)
0,042 bar
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
71
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO • Análisis del resultado en el certificado: – – – – – –
U en cada punto para k=2 (95% probabilidad) U razonable (máx ≅1 E ≅ 0,45% F.E.) Para usar esa U hay que aplicar C Podrían faltar otras contribuciones en el uso Parece que pide mejor emplear Cc = valor medio y no nula y trabajar con un valor global de U ya que no se degradaría mucho
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
72
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
– El modelo para empleo al medir con sería con las contribuciones del uso por: – – – – –
Corrección global Repetibilidad Redondeo Temperatura Deriva
l r = l + c g + cΔ + crep + cE + ctemp + cδ – aplicando la ley de propagación de varianzas:
u (lr ) = u (cg ) + u (crep ) + u (cE ) + u (ctemp ) + u (cδ ) 2
2
2
2
2
2
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
73
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Corrección de calibración global que se aplica: 1 6 cg = cc = ∑ cci 6 i =1 u
2
(c
g
1 ) = 6
6
∑
u
2
(c
i=1
ci
)
• Corrección residual que no se aplica: cΔ = 0 u
2
(c
Δ
1 ) = 6 − 1
6
∑
t =1
(c
ci
− c
c
)
2
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
74
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Repetibilidad: lR = l
sg
( si ) máx u (crep ) = = 1 1 • Redondeo: cE = 0
E /2 u (cE ) = = 3
E 12
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
75
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Variación de temperatura:
cT = 0
ΔTc ⋅ tc 0,002 ⋅10 u (cT ) = = 12 12 • Deriva:
u (cδ ) =
δ max
cδ = 0
6⋅E 6 ⋅ 0 , 05 = = 12 12 12 Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
76
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
• Sustituyendo las expresiones de las distintas contribuciones:
U
2
⎛ 1 = k 2⎜ ⎜ 6 ⎝
6
∑
i =1
2 2 ⎛ 2 ⎜ u cpi + s x + ⎛⎜ Δ p i ⎞⎟ + (d ⎜ X ⎝ 12 ⎠ ⎝
f
⋅g
)
2
⎛ Δ Tc ⋅ tc ⎞ ⋅ u h2 + ⎜ ⎟ 12 ⎠ ⎝
2
+
E 2 12
⎞ ⎟ + 1 ⎟ 6 −1 ⎠
12
∑
t =1
( c ct − c c ) 2 +
s g2 1
+
E 2 ⎛ Δ Tc ⋅ tc ⎞ + ⎜ ⎟ 12 12 ⎠ ⎝
2
+
δ
2 max
12
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
77
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso M agnitud
Es tim ación
Ince rtidum bre Dis tribución Coe ficie nte de
Contribución a la
de típica
De e ntrada Xq
Cg
probabilidad
u(x q)
xq
_
c g = c ci
s e ns ibilidad
Ince rtidum bre
Cq
uq(c i )
u(c c )
Normal
1
CΔ
0
u(c Δ )
Normal
1
C rep
0
sg
Normal
1
2 2 s 2 ⎛ Δp ⎞ E 2 ⎞⎟ (1) 1 6 ⎛⎜ 2 ⎛ ΔTc ⋅ t c ⎞ 2 ⎟ + ∑ ucpi + Xx + ⎜⎝ 12i ⎟⎠ + (d f ⋅ g ) ⋅ u h2 + ⎜⎝ 12 ⎟ 6 i =1 ⎜⎝ 12 ⎠ ⎠
1 6 ∑ (cct − cc ) 2 6 − 1 t =1 sg
1
1
CE
0
u(c E )
Rectangular
1
E 2⋅ 3
CT
0
u(c T)
Rectangular
1
ΔTc ⋅ tc 12
Cδ
0
u(c δ)
Rectangular
1
6⋅ E 12
C
c=
∑x
q
Incertidumbre combinada (u)
q
Incertidumbre expandida (U)
u=
∑u
2 i
(ci )
U = k⋅ u
Nota (1): como sx y X se toman si , y 10, o sg y 6 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
78
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso Magnitud
Estim ación
Distribución de
Coeficiente de Contribución a
probabilidad De entrada
la sensibilidad
Incertidum bre
Cq
uq(c i )
Xq
xq
CPpci
+ 0,05 bar
Normal
1
0,021 bar
CΔ
0
Normal
1
0,015 bar
Crep
0
Normal
1
0,030 bar
CE
0
Rectangular
1
0,014 bar
CT
0
Rectangular
1
0,006 bar
Cδ
0
Rectangular
1
0,087 bar
C
+ 0,05 bar
Incertidumbre combinada (u)
0,097 bar
Incertidumbre expandida (U)
0,194 bar
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
79
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON EL MANÓMETRO • Si la lectura del manómetro para la presión en el punto de medida es de 18,35 bar el resultado final será:
18,35 bar +0,05 bar ± 0,20 bar = 18,40 bar ± 0,20 bar
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008
80
Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona