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Renato Allende Olivares Humberto Villalobos Torres

6. CUARTO MÓDULO 6.1

Elementos de Probabilidad

En la investigación científica, por lo general, se requiere de modelos que ayuden a comprender el fenómeno bajo estudio. En un amplio campo, no es posible contar con modelos exactos, también conocidos como modelos determinísticos. En tales situaciones, las mediciones obtenidas presentan perturbaciones no controlables, lo que lleva a que la observación presente variabilidad en los resultados, para experimentos en condiciones supuestamente idénticas, por ende, existe una especie de azar o aleatoriedad en el resultado de la medición, lo que termina por dificultar la posibilidad de predecir el resultado con certeza. Por ejemplo, en el problema de determinar la resistencia a la ruptura de una barra de acero (con alguna especificación de la misma), es muy creíble, que en la medición de diez barras, ninguna resulte igual, luego, si se quiere ofrecer una especificación de la resistencia de las barras que se producen: ¿cuál es el valor de la resistencia de las barras que se ofrecería?, ¿la resistencia de la barra 1, 2, 3, ... , 10?, ¿la mínima resistencia?, ¿la máxima resistencia?. Posiblemente una respuesta común sería, la resistencia media, aunque tal vez, éste no sea el mejor indicador. En el campo de investigaciones, donde no es posible utilizar modelos determinísticos, es natural esperar que en la predicción no sea exacta, sin embargo, por más que no sea posible prever el resultado con certeza en cada medición, cuando se está en presencia de fenómenos aleatorios o estocásticos, no significa que dichas mediciones no posean ninguna ‘regularidad’, el objetivo de determinar el patrón de dicha regularidad, es lo que en el futuro conoceremos como ‘ley de probabilidad’. Nuestro primer objetivo es repasar el concepto de probabilidades, siguiendo los diversos enfoques de esta medida de incertidumbre.

Enfoque Clásico El enfoque apriorista o clásico, tiene la característica esencial, que basa en la asignación de medida de ocurrencia para un resultado, sobre los antecedentes que aporta un experimento que se realiza de la manera más metódica posible, en donde los posibles resultados del mismo son ‘igualmente probables’, situación que también se conoce como un experimento equiprobable. Este es el caso típico de los juegos de azar. Por ejemplo, considerando el problema de un juego de cartas, de acuerdo con el enfoque clásico, todas las cartas tienen la misma posibilidad de ser escogidas, por lo tanto, si se elabora un juego donde el participante elige una carta, la probabilidad de que se escoja una carta roja, está dada de forma natural por: el número de resultados elementales posibles favorable al resultado, llamémosle # R, del total de posibles resultados al extraer una carta de dicho naipe, llamémosle # S. 64

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En esta situación todos los resultados elementales son igualmente probables; entonces, la probabilidad de que ocurra el resultado en cuestión es: [Cartas sea Roja] =

#R . #S

Notemos que en el enfoque clásico (cuando es aplicable) se determinan los valores de probabilidad antes de observar los resultados experimentales, por esta razón se le denomina enfoque a priori. APLICACIÓN 6.1 En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as en una extracción es: [Obtener un as] =

#A 4 1 = = . # S 52 13

Enfoque Frecuentista En el enfoque de frecuencia relativa, se determina la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en un determinado número de observaciones o experimentos. No hay implícita ninguna suposición previa de igualdad de probabilidades. Debido que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos, a este enfoque se le denomina también enfoque empírico. Este enfoque no asigna probabilidades a priori a los posibles resultados del experimento. La probabilidad en el enfoque frecuentista se asocia directamente al concepto de frecuencia relativa ya trabajado en estadística descriptiva, de acuerdo con este enfoque la probabilidad de que ocurra un resultado determinado, como por ejemplo llegar atrasado al trabajo es: [Llegar atrasado al trabajo] =

n Número de atrasos = i . Número total llegadas n

APLICACIÓN 6.2 Antes de incluir la cobertura de ciertos tipos de problemas dentales en pólizas de seguros médicos para adultos, una compañía de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros. Por ello, un especialista en estadística recopila datos para 10000 adultos y encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental específico durante el año anterior. Por ello, la probabilidad de ocurrencia es: n 100 [Problema dental] = i = = 0,01 ó 1% 10000 n 65

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Enfoque Bayesiano Tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos, en el sentido de que señalan la tasa relativa de ocurrencia del evento a largo plazo. De acuerdo con el enfoque bayesiano, la probabilidad de un resultado es el grado de confianza que se tiene de que éste ocurra. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, este enfoque, es llamado enfoque subjetivo. El desarrollo de la probabilidad mediante este enfoque, ha recibido mucha atención en los últimos tiempos, y tiene relación con el análisis bayesiano de decisión. APLICACIÓN 6.3 Debido a los impuestos y a los posibles usos alternativos de sus fondos, un inversionista ha determinado que la compra de terrenos vale la pena sólo si existe una probabilidad de cuando menos 0.90 de que el terreno obtenga plusvalía por 50% o más en los próximos 4 años. Al evaluar un determinado terreno, el inversionista estudia los cambios de precios en el área en los años recientes, considera los niveles corrientes de precios, estudia el estado corriente y futuro probable de los proyectos de desarrollo inmobiliarios y revisa las estadísticas referentes al desarrollo económico del área geográfica global. Con base en esta revisión, concluye que existe una probabilidad de aproximadamente 0.75% de que se dé la plusvalía. Como esta probabilidad es menor que la mínima requida, (0.90), no debe llevarse a cabo la inversión.

Desarrollo Axiomático de Probabilidad La medida de probabilidad (P), se apoya en argumentos de Teoría de Medida, que para su definición axiomática requiere de algunas definiciones previas, las cuales pasamos a recordar. Definición 6.1: Espacio Muestral. Se define el espacio muestral como el conjunto de

todos los posibles resultados del experimento, y se anota por Ω. Definición 6.2: Suceso o Evento. Un suceso o evento, es cualquier subconjunto de Ω, y

se anota generalmente con letras mayúsculas. A, B, C etc. A partir de Ω (espacio muestral), se tiene que 2 Ω o [Ω] es el espacio de sucesos(conjunto potencia), es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω,. El conjunto, Γ ⊂ 2 Ω, es una sigma–algebra (conjunto de sucesos) si cumple con las siguientes propiedades: Ω ∈ Γ , si A ∈ Γ ⇒ Ac ∈ Γ ,.y si {An}n ∈ IN ⊂ Γ ⇒

∞

∪

n =1

An ∈ Γ .

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El par (Ω, Γ ) se dice espacio medible, y la función  : Γ → ‘+, es una medida de probabilidad si satisface: 1. 0 ≤ [A] ≤ 1, ∀ A ∈ Γ . 2. [Ω] = 1. 3. A1, A2 …∈ Γ disjuntos ⇒ [

n

∪ i =1

n

An] =

∑ i =1

[Ai]

∀ i.

Dependiendo del número de posibles resultados de un experimento aleatorio, el espacio muestral Ω puede ser clasificado como: Finito

Discreto

Numerable Infinito

Ω Acotado Continuo

No Numerable

No Acotado

En una primera aproximación, el cálculo probabilidades se aborda desde los espacios muestrales finitos, lo cual se reduce a saber contar. Sin embargo, para poder contar eficientemente, se requiere de técnicas de conteo. Técnicas de Contéo Principio de multiplicación. Supongamos que un procedimiento, llamémosle 1, puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, llamémosle 2, se puede hacer de n2 maneras. También supongamos que cada una de las maneras de efectuar 1 puede ser seguida por cualquiera de las n2 de efectuar 2. Entonces el procedimiento que consta de 1 seguido por 2 se puede hacer de n1 x n2 maneras, como se representa en la Figura 6.1.

Figura 6.1: Desarrollo esquemático del principio multiplicativo. 67

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Este principio puede generalizarse a cualquier número de procedimientos. Es decir, si hay r procedimientos, y cada uno de éstos se puede hacer de ni maneras (i = 1, 2, ... , r), entonces el procedimiento que consiste en 1, seguido por 2, ... , seguido por el procedimiento r puede llevarse a cabo de n1 x n2 x nr. APLICACIÓN 6.4 Considérese un proceso de manufactura en línea para un artículo. En cada una de las cuatro líneas se inspecciona una característica particular y se marca su conformidad. Existen 3, 4, 2 y 2 mediciones posibles, en los controles 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Por lo tanto, un artículo es rechazado o aprobado al pasar por 3 x 4 x 2 x 2 = 48 inspecciones Principio de adición. Supongamos que un procedimiento, llamémosle 1, se puede hacerse de n1 maneras, y que un segundo procedimiento, llamémosle 2, se puede hacer de n2 maneras. Supongamos además que no es posible que ambos procedimientos, 1 y 2, se realicen. Entonces el número de maneras como se puede hacer el procedimiento 1 ó 2 es de n1 + n2, como se representa en la Figura 6.2.

Figura 6.2: Desarrollo esquemático del principio aditivo.

También este principio puede generalizarse como sigue: si hay r procedimientos, y cada uno de éstos se puede hacer de ni maneras (i = 1, 2, ... , r), entonces el número de maneras como podemos hacer el procedimiento 1, o el procedimiento 2, o ... , o el procedimiento r está dado por n1 + n2 + ... + nr, suponiendo que los procedimientos no se pueden realizar en forma conjunta. APLICACIÓN 6.5 Supongamos que una persona desea realizar la planificación para sus estudios de enseñanza superior, debe decidir entre Universidades tradicionales, privadas o centros de formación Técnica. En su zona geográfica hay tres universidades tradicionales, cinco universidades privadas y cuatro centros de formación Técnica, entonces hay 3 + 5 + 4 = 12 decisiones posibles para sus estudios. Ambos principios son empleados en los siguientes cálculos. Supongamos el caso de una competencia canina, en la cual existen n participantes, donde el jurado 68

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mide una serie de características del can para su puntuación. El problema consiste en determinar el número de formas distintas en las que pueden salir los canes para ser evaluados por el jurado. Se asume que el can es evaluado sólo una vez ésta situación se conoce como extracción sin reposición, dada la no posibilidad de medir dos veces el mismo can.. Para que el primer can sea evaluado existen n posibilidades, mientras que para el segundo existen n – 1 posibilidades, hasta que se llega al último, donde sólo que una posibilidad. Nº de posibilidades →

n

n–1

n–2

Elección →

↓ 1

↓ 2

↓ 3

...........

2

1

...........

↓ n–1

↓ n

Es claro que en esta situación, aplicando del principio multiplicativo, se obtiene que el número de formas distintas en las que pueden salir los canes para ser evaluados por el jurado, estas son: n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1. Definición 6.3: Factorial. Sea n ∈ IN, entonces se define n factorial como n x (n – 1)

x (n – 2) x ... x 1, el cual se simboliza por n!. Existen situaciones donde una vez seleccionado un elemento éste puede ser nuevamente seleccionado. Por ejemplo, consideremos la situación de generar un código de n símbolos utilizando r símbolos. Simplificando, sean 1, 2, 3, 4, 5 y las letras a, b, c, los símbolos. ¿Cuántos códigos de cinco símbolos se pueden formar?. Es evidente que el código [1 1 1 a a] es distinto al código [1 a 1 a 1], a pesar de poseer los mismos elementos en su constitución, este es el caso típico de extracción con reposición, que en el caso general se muestra en la siguiente figura: Nº de posibilidades →

n

n

n

Elección →

↓ 1

↓ 2

↓ 3

...........

n

n

...........

↓ r–1

↓ r

En esta situación mediante la aplicación del principio multiplicativo, se obtiene que el número de formas distintas en las que puede conformar un código de r símbolos utilizando los n símbolos, está dado por: n x n x n… x n = nr. Otras situaciones se dan cuanto se debe escoger r elementos de un conjunto de n, por ejemplo, escoger r individuos para ocupar cargos distintos (presidente – tesorero, etc.) de un grupo compuesto por n individuos (r < n), ¿de cuantas formas distintas se pueden asignar los r cargos entre los n individuos?. Es evidente, que un individuo deberá ocupar sólo un cargo, es por eso que para el primer cargo se cuenta con n individuos, para el segundo cargo se cuenta con n – 1 individuos, hasta llegar al r-ésimo cargo donde quedan n – r + 1 individuos para ocupar el cargo, tal como se muestra en la siguiente figura. 69

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Nº de posibilidades →

n

n–1

n–2

Elección →

↓ 1

↓ 2

↓ 3

...........

n–r+2 n–r+1

...........

↓ r–1

↓ r

En esta situación mediante la aplicación del principio multiplicativo, se obtiene que el número de formas distintas en las que puede conformar los r cargos utilizando n los individuos se encuentra dada por: n x (n – 1) x ... x (n – r + 1). Este cálculo parece sencillo pero cuanto se trabaja con tamaños como n = 150 y r = 60, el proceso se torna tedioso, sin embargo, utilizando una herramienta de conteo, el cálculo se simplifica enormemente, como se muestra a continuación. n

n–1

↓ 1

↓ 2

..... .....

n–r+2 n–r+1 ↓ r–1

↓ r

n–r n–r

n–r–1 n–r–1

..... .....

1 1

←1 ←2

Como se puede apreciar en la figura anterior en la línea 1, se tiene a n!, mientras que en la línea 2, se tiene a (n – r)!, lo que lleva a la siguiente igualdad: n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – r + 1) =

n! . (n − r )!

En este ejemplo el orden en que los individuos son asignados a los cargos es importante, pues una vez escogidos r individuos, con éstos se pueden obtener distintas configuraciones según el cargo que ocupe. Esto se conoce como la permutación de r elementos sobre n. Definición 6.4: Permutación. Se define la permutación de r elementos sobre n como

el número de arreglos distintos que se pueden hacer con r elementos de un total de n. Esta expresión se simboliza por: nPr =

Prn =

n! . (n − r )!

APLICACIÓN 6.6 Una directorio compuesto por: Presidente, Secretario y Tesorero, se debe elegir de un total de 10 candidatos. Entonces el número de directorios diferentes se encuentra dada por:

P310 =

10! 10! = = 720 directorios distintos. (10 − 3)! 7!

En los casos anteriores se ha supuesto, que el orden en que son asignados los elementos es importante, situación que se da en un número importante de problemas, sin embargo, existe otro conjunto de situaciones, no menos importante, donde el orden en que son asignados los elementos pierde importancia, y lo realmente trascendental son los elementos escogidos. 70

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Supongamos el caso que se cuenta con un lote compuesto por n tarros de conserva de durazno del mismo contenido y marca, de los cuales se escogerán al azar r tarros para observar si estos presentan deformaciones, donde resulta evidente que si se escogen los tarros al azar, lo menos importe parece ser el orden en que fueron escogidos. Bajo las consideraciones de que lo importante es la elección de los r tarros de un conjunto de n, se define: C, como el número de arreglos que se pueden obtener al escoger r tarros distintos sin importar el orden de un conjunto de n. Con anterioridad se había logrado determinar que la elección de r tarros importando el orden de un conjunto de n estaba dada por nPr. Por lo tanto, escogidos r tarros distintos de un total de n, que hemos simbolizado por C, es fácil observar que si se quieren ordenar, en la primera elección se disponen de r tarros, en la segunda elección se disponen de r – 1 tarros, hasta la r-ésima elección que se disponen del último tarro ya seleccionado, como se muestra a continuación. Nº de posibilidades →

r

r–1

r–2

Elección →

↓ 1

↓ 2

↓ 3

...........

2

1

...........

↓ r–1

↓ r

En esta situación mediante la aplicación del principio multiplicativo, se obtiene que el número de formas distintas en las que pueden ordenar los r tarros escogidos de un total de n, se encuentra dada por: r x (r – 1) x (r – 2) x ... x 1. Se puede observar que éste último factor multiplicado a C, entrega: r x (r – 1) x (r – 2) x ... x 1 x C = r! x C = nPr =

n! . (n − r )!

Por simple despeje se tiene que el número de conformaciones distintas que se pueden obtener de r elementos de un total de n, sin importar el orden sino los elementos que se conforman, antes definida por C, que en el futuro llamaremos combinatoria, está dada por: C=

nP r n! . = r! r! (n − r )!

Definición 6.5: Combinatoria. Se define la combinatoria de r elementos sobre n como

el número de arreglos distintos que se pueden hacer con r elementos de un total de n sin importar el orden en que son asignados. Esta expresión se anota por: nCr =

n! . C rn =   = nPr = r! r! (n − r )! r

n

APLICACIÓN 6.7 Para formar un comité se van a elegir a tres personas de un total de 10. El número de grupos diferentes de tres personas que podrían elegirse, sin importar 71

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el orden diferente en el que cada uno de los grupos está dado por: n Cr

6.2

= 10 C3 =

10! 10 × 9 × 8 × 7 ! 10 × 9 × 8 × 720 = = = = 120 . 3! (10 - 3)! 3 !× 7 ! 3 ×2 6

Calculo de Probabilidades

En el enfoque clásico, la probabilidad de un suceso, se basa en el cuociente del número de resultados que son favorables al suceso, con respecto al número total de resultados posibles, y para su eficiente cálculo es necesario recurrir a permutaciones y/o combinaciones. Además, antes de iniciar el cálculo de probabilidades es necesario recordar algunas elementales propiedades. Propiedades de una Medida de probabilidad

Se utiliza el símbolo  para designar la probabilidad de un suceso. Luego [A] denota la probabilidad de que ocurra el suceso A., una propiedad obvia es que: 0 ≤ [A] ≤ 1

Un evento puede ocurrir o no, luego la suma de la probabilidad de ocurrencia de un evento más la probabilidad de no-ocurrencia es siempre igual a 1.

[A] + [Ac] = 1 APLICACIÓN 6.8 Suponga que se define como éxito, la extracción de cualquier carta de un naipe bien barajado de 52 cartas con figura o un as. Como 16 cartas de las 52 son jotas, reinas, reyes o ases, la probabilidad de éxito es 16/52 = 4/13 y la probabilidad de no éxito es entonces 9/13.

Eventos Mutuamente Excluyentes Dos o más eventos son mutuamente excluyentes, o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, supóngase que se consideran los eventos “as" y "rey" en la extracción de una carta de un mazo. Estos dos eventos son mutuamente, excluyentes porque ninguna carta puede ser al mismo tiempo as y rey. Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que puedan ocurrir simultáneamente. Obsérvese que esta definición no indica que los eventos deban necesariamente ocurrir en forma conjunta. Por ejemplo, supóngase que se consideran los eventos “as” y “trébol". Estos eventos no son mutuamente excluyentes porque 72

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una carta determinada puede ser al mismo tiempo as y trébol; sin embargo, esto no implica que todo as sea trébol o que todo trébol sea as. APLICACIÓN 6.9 En un estudio de la conducta de los consumidores, un analista clasifica a las personas que entran en una tienda de aparatos de sonido de acuerdo con su sexo ("masculino" o "femenino") y su edad ("menor de 30" o "30 o mayor”). Los eventos, “masculino” y “femenino” son mutuamente excluyentes puesto que ninguna persona podría clasificarse en ambas categorías. De manera similar, los eventos "menor de 30" y "30 o mayor" son también mutuamente excluyentes. Sin embargo, los eventos "masculinos" y menor de 30" no son mutuamente excluyentes porque una persona elegida al azar podría estar en ambas categorías. Regla de Aditividad

Se utiliza esta regla cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra al menos un evento entre dos(o más). Conceptualmente representa la probabilidad de que ocurra el evento A o B y se escribe mediante [A U B]. La regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes es:

[A o B] = [A ∪ B] = [A] + [B] APLICACIÓN 6.10 Cuando se extrae una carta de un mazo de barajas, los eventos "as" (A) y "rey" (R) son mutuamente excluyentes. La probabilidad de extraer ya sea un as o un rey en una extracción es:

[A ∪ R] = [A] + [R] =

4 4 2 + = 52 52 13

Nota: La regla de adición para eventos excluyentes puede generalizarse a tres o más eventos.

La regla de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes es:

[A o B] = [A ∪ B] = [A] + [B] – [A ∩ B] APLICACIÓN 6.11 Cuando se extrae una carta de un mazo, los eventos "as" y "trébol" no son mutuamente excluyentes. La probabilidad de obtener un as (A) o un trébol (T) (o ambos) en una sola extracción es:

[A ∪ T] = [A] + [T] – [A y T] =

4 13 1 4 + − = 52 52 52 13

En el lenguaje de conjuntos, la probabilidad [A y T] se escribe [A ∩ T], y 73

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se interpreta como la probabilidad de que ocurran simultáneamente. Nota: La regla de adición para eventos no excluyentes puede generalizarse con algunas variantes a tres o más eventos. APLICACIÓN 6.12 Con el fin de analizar una nueva propuesta, una importante empresa Inmobiliaria decide convocar a una reunión a cinco Ingenieros, cuatro Arquitectos y tres Constructores. En dicha reunión se acuerda conformar una comisión para estudiar la factibilidad del proyecto, que estará integrada por tres profesionales. El directorio cree que la elección de los integrantes debe ser aleatoria, no obstante, se piensa que al emplear este criterio de selección, se pueden dar ciertos sesgos profesionales. Analicemos algunas situaciones de interés:

El experimento, X : Se escogen tres profesionales al azar.

Ω : {(I1, I2, I3); (I1, I2, I4); (I1, I2, I5); (A1, A2, I3); (A1, C2, I3); ...} ⇒ ¿Cuál es la probabilidad que la comisión tenga los tres tipos de profesionales? T : {La comisión quede compuesto por profesionales de distintas carreras}.

 5   4   3   ×   ×    1  1  1  [T] = = 0,273. 12    3 ⇒ ¿Cuál es la probabilidad de que la comisión quede formada por exactamente dos personas de igual profesión? U : {… quede compuesto por exactamente dos personas de igual profesión}

 5   7   4 8  3  9   ×   +   ×   +   ×    2   1   2  1  2   1   [U] = = 0,659. 12    3 ⇒ ¿Cuál es la probabilidad de que la comisión quede compuesto por al menos dos personas de profesiones distintas?.  [T ∪ U] = 0,273 + 0,659 = 0,932 74

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6.3

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Probabilidad Condicional y Eventos Independientes

Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro y luego son dependientes cuando la ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento. APLICACIÓN 6.13 Los resultados asociados con el lanzamiento de una moneda, dos veces seguidas, son claramente eventos independientes, ya que el resultado del primer lanzamiento no tiene ningún efecto sobre probabilidades del segundo lanzamiento. Por otra parte la extracción de dos cartas sin reemplazo de un mazo son claramente eventos dependientes, ya que las probabilidades asociadas con la segunda extracción dependen del resultado de la primera extracción.

El concepto de probabilidad condicional se emplea para redefinir el cálculo de probabilidad de ocurrencia de un evento dada cierta condición ( o información). La expresión [B / A} mide la probabilidad de que el evento B ocurra dado que el evento A ocurrió. Nótese que "B / A" no es una fracción. Si los eventos A y B son independientes, la probabilidad condicional [B / A] es igual a la probabilidad simple (no condicional) [B]. Por lo tanto, una forma evaluar la independencia de dos eventos A y B consiste en comparar ?

[B / A] = [B] o

?

[A / B] = [A]

Si se conoce la probabilidad simple (no condicional) de un primer evento A y la probabilidad conjunta de dos eventos A y B, entonces se puede determinar la probabilidad condicional [B / A] mediante:

[B / A]=

[B ∩ A] [A]

Con cierta frecuencia se confunde la diferencia entre eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes, por un lado, y los conceptos de independencia y dependencia por el otro. Regla Multiplicativa

La regla multiplicativa se refiere a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de dos ó más eventos. La regla multiplicativa para dos eventos A y B es:

[A ∩ B] = [A][B / A] 75

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APLICACIÓN 6.14 Si se lanza dos veces una moneda, la probabilidad de que ambos resultados sean "cara" es:

1 1 2 2

[C1 ∩ C2] = [C1][C2 / C1]= [C1][C2 ]= * =

1 4

La regla multiplicativa para tres eventos A, B y C es:

[A ∩ B∩C] = [A][B / A][C / A ∩ B] Nota: La regla multiplicativa puede generalizarse fácilmente a más de tres eventos

Los diagramas de árbol son particularmente útiles para ilustrar los posibles eventos asociados con observaciones o ensayos secuenciales. La figura, es un ejemplo de estos diagramas para los eventos asociados con el lanzamiento de una moneda dos veces, donde se identifica los resultados posibles y la probabilidad en cada punto de la secuencia. APLICACIÓN 6.15 En la figura, se observa que son posibles cuatro tipos de

secuencias de eventos conjuntos, y de acuerdo con la regla para eventos independientes, la probabilidad de ocurrencia conjunta para cualquiera de esas secuencias es 1/4 . Como éstas son estas las únicas secuencias posibles, y como se trata de secuencias mutuamente excluyentes, de acuerdo con la regla de adición la suma de las cuatro probabilidades conjuntas debe ser 1.0:

APLICACIÓN 6.16 El Gerente de una empresa de seguridad que presta servicios a grandes tiendas, para lograr un efectivo control contra robos, debe decidir entre comprar detectores producidos por Simons ó Eléctrica Universal. La probabilidad de que el detector producido por Simons, cumpla satisfactoriamente con su propósito es de 0.90, mientras que la de un detector producido por Eléctrica Universal, es de 0.74. Las empresas proveedoras (Simons ó Eléctrica Universal) presupuestan que para tener un control efectivo se deben instalar, de forma que funcionen de manera

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independiente, 3 detectores según Simons ó 5 según Eléctrica Universal. ¿Cuál detector es más conveniente, de manera que maximice la probabilidad de control?. ei: {Detector Siemens i-ésimo cumple con su propósito}. ci: {Detector Eléctrica Universal i-ésimo cumple con su propósito}. T : {Detectores instalados cumplen con su función}. [ei] = 0.90

∀ i = 1 , ...

[ci] = 0.74

[T] = [e1 ∪ e2 ∪ e3] = 1 – [ e1c ∩ e c2 ∩ e 3c ].

= 1 – [ e1c ] × [ e c2 ] × [ e 3c ] = 0.9990 [T] = [c1 ∪ c2 ∪ c3 ∪ c4 ∪ c5]

= 1 – [ c 1c ∩ c c2 ∩ c 3c ∩ c c4 ∩ c 5c ] = 1 – [ c 1c ]× [ c c2 ]× [ c 3c ]× [ c c4 ]× [ c 5c ] = 0.9988. De los resultados es conveniente usar el detector Siemens. La empresa en cuestión se ha adjudicado una importante licitación, sin embargo ésta exige que la probabilidad de control efectivo sea al menos de 0.9999995. ¿Cuántos detectores Simons deberían ser instalados?. [T] > 0.9999995

⇔

[e1 ∪ e2 ∪ ... ∪ en] > 0.9999995

1 – [ e 1c ∩ e c2 ∩ ... ∩ e cn ] > 0.9999995 n

∏

[ e1c ] < 0.0000005

i =1 n

∏ 0.1 < 0.0000005 i =1

(0.1) n < 0.0000005 ⇔

n>

ln(0.0000005) ≈7 ln(0.1)

APLICACIÓN 6.17 Suponga que se sabe que un conjunto de 10 refacciones contiene ocho en buen estado (B) y dos partes defectuosas (D). Si se seleccionan al azar dos refacciones sin reemplazo, la probabilidad de que las dos refacciones seleccionadas estén en buen estado es:

[B1 y B2] = [B1] [B2 /B1] =

8 7 28 . * = 10 9 45

donde los subíndices indican la posición secuencial de los resultados. 77

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Regla de Bayes

La regla de Bayes permite actualizar ciertas probabilidades a priori para transformarse en probabilidades posteriori de un evento (experimento). La importancia de la regla de Bayes consiste en que se aplica en contexto de eventos secuenciales y además, de que proporciona la base para determinar la probabilidad condicional de un evento a la luz de un evento especifico que ha ocurrido. La fórmula de cálculo para el teorema es:

[A / B]=

[A] [B / A] [A ∩ B] = [B] [A] [B / A] + [Ac] [B / Ac]

Nota: 1. - El denominador es la probabilidad total o global del evento. 2. - La regla de probabilidad total o global puede generalizarse a tres o más eventos. APLICACIÓN 6.18 Supóngase que existen 2 urnas U1 y U2. La urna 1 tiene ocho bolas rojas y dos bolas verdes, en tanto que la urna 2 tiene cuatro bolas rojas y seis bolas verdes. Si se elige una urna al azar, y después se selecciona al azar una bola de esa urna escogida, el proceso secuencial y las probabilidades pueden representarse mediante el diagrama de árbol de la figura. El diagrama de árbol indica que la probabilidad de elegir cualquiera de las urnas es 0,50 y después, las probabilidades condicionales de extraer una bola roja (r) o una verde (V) son las que se señalan.

Ahora, supóngase que se observó una bola verde ¿Cuál es la probabilidad de que se haya seleccionado la urna 1? En símbolos, ¿ [U1 / V2]?

[U1 I V1] = =

[U1] [V1 I U1] [U1] [V1 I U1] + [U2] [ V2 I U2] (0.5)(0.2) = 0.25 (0.5)(0.2) + (0.5)(0.6) 78

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Debe observarse del ejemplo que la regla Bayes ofrece la base para obtener lo que podría denominarse un valor de probabilidad "condicional hacia atrás", puesto que puede determinarse la probabilidad de que se haya seleccionado una urna determinada en la etapa 1, dada la observación de un elemento en la etapa dos. En el análisis bayesiano de decisión esta regla ofrece la base conceptual para revisar las probabilidades asociadas con diversos eventos, o estados implicados en un problema de decisión. APLICACIÓN 6.19 Considerar la posible falla de un sistema de abastecimiento de agua para atender la demanda durante un día de verano. El sistema puede fallar de las siguientes formas:

M1: Suministro inadecuado. M2: Falla de la bomba. M3: Sobrecarga en la planta de purificación. Supongamos que la empresa sanitaria ha efectuado un estudio según el cual se ha estimado que las probabilidades de falla en el sistema son las que se muestran en la Tabla 6.1. Además, la probabilidad de que falle la bomba es de 2% y es independiente del nivel de demanda. Tabla 6.1:

Probabilidades de falla del sistema

[Di] = [M1| Di] = [M3| Di] = [Sobrecarga Identificación Nivel de del nivel de demanda  [Nivel de [Suministro inadecuado en la planta | Nivel de demanda [m3/día] demanda] demanda] | Nivel de demanda]

D1 D2 D3

100.000 150.000 200.000

0,6 0,3 0,1

0,0 0,1 0,5

0,0 0,0 0,1

La probabilidad de suministro inadecuado es: [M1] = [M1 / D1] × [D1] + [M1 / D2] × [D2] + [M1 / D3] × [D3]

= 0.0 × 0,6 + 0,1 × 0,3 + 0,5 × 0,1 = 0,080 La probabilidad de falla, cualquiera sea el motivo, cuando el nivel de demanda es 150.000 [m3/día]. [M1 ∪ M2 ∪ M3/ D2] = [M1 / D2] + [M2 / D2] + [M3 / D2]

= 0,10 + 0,02 + 0,00 = 0,120

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La probabilidad de falla del sistema es: [M1 ∪ M2 ∪ M3] = [M1] + [M2] + [M3]

⇒ Probabilidad de falla

[M3] = [M3 / D1] × [D1] + [M3 / D2] × [D2] + [M3 / D3] × [D3]

= 0.0 × 0,6 + 0,0 × 0,3 + 0,1 × 0,1 = 0,010

⇒ [M1 ∪ M2 ∪ M3] = 0,080 + 0,020 + 0,010 = 0,110 La probabilidad de falla del sistema si se pone una bomba adicional, para que opere en caso de que falle la primera bomba, y cuya falla es independiente de la falla de la primera bomba es: [M1 ∪ (M21 ∩ M22) ∪ M3] = [M1] + [ M21 ∩ M22] + [M3]

= 0,080 + 0,020 × 0,020 + 0,010 = 0,0904 APLICACIÓN 6.20 Cada vez que cliente compra articulo, elige la marca A ó la marca B. Supóngase que en cada compra después de la primera, la probabilidad de que elija la misma marca que escogió en la compra anterior es 1/3 y la probabilidad que cambie de marca 2/3. Supóngase que en su primera compra la probabilidad que elija la marca A es 1/4, ¿cuál es la probabilidad de que su segunda compra sea de la marca B?. Ti : {El cliente compra articulo de la marca A en la i-ésima compra} Ui : {El cliente compra articulo de la marca B en la i-ésima compra } [Ti/Ti – 1] = [Ui/Ui – 1] =

1 3

i = 2, 3, ...

[Ti/Ui – 1] = [Ui/Ti – 1] =

2 3

i = 2, 3, ...

[T1] =

1 4

⇒

[U1] =

3 4

⇒

[U2] =?

[U2] = [T1 ∩ U2] + [U1 ∩ U2] = [U2 / T1] × [T1] + [U2 / U1] × [U1]

=

2 1 1 3 5 × + × = 3 4 3 4 12

Bajo los mismos supuestos de la parte a), ¿cuál es la probabilidad de que si su 80

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segunda compra fue de la marca B, la primera haya sido de la marca A?. 2 1 × [U2 / T1] × [T1] 3 4 [T1 / U2] = = [U2] 5 12

=

2 5

Si es igualmente probable que en su primera compra elija la marca A o la Marca B, ¿cuál es la probabilidad de que la primera y la segunda compra sean de la marca A, y la tercera y cuarta, de la marca B?. [T1] = [U1] =

1 2

⇒

[T1 ∩ T2 ∩ U3 ∩ U4] = ?

[T1 ∩ T2 ∩ U3 ∩ U4] = [U4 / T1 ∩ T2 ∩ U3] × [U3 / T1 ∩ T2] × [T2 /T1] × [T1]

= [U4 / U3] × [U3 / T2] × [T2 /T1] × [T1] =

1 2 1 1 1 × × × = 3 3 3 2 27

Probabilidades Conjuntas

Una tabla de probabilidades conjuntas es aquélla en la cual se listan como encabezados de renglón todos los posibles eventos (o resultados) para una variable; encabezados de columnas se listan todos los posibles eventos para una segunda variable, y el valor que se anota en cada una de las celdas de la tabla es la probabilidad de su ocurrencia conjunta. Es frecuente que las probabilidades de este tipo de tablas se basen en las frecuencias de ocurrencia observadas para los diversos eventos conjuntos, más que en eventos que son a priori por naturaleza. La tabla de frecuencias de ocurrencia conjuntas que puede servir como base para construir una tabla de probabilidades conjuntas se denomina tabla de contingencias. APLICACIÓN 6.21 La Tabla 6.2 de contingencias describe a 200 clientes que entraron en una tienda de equipos de sonido de acuerdo con sexo y edad, en tanto que la Tabla 6.3, es la tabla correspondiente de probabilidades conjuntas.

Tabla 6.2: Frecuencias para los clientes que entraron en una tienda de equipos. Edad

Menor de 30 30 y mayor Total

Sexo Hombre Mujer 60 50 80 10 140 60

Total

110 90 200

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Tabla 6.3: Probabilidad conjunta de clientes que entraron en una tienda de equipos.

Edad

Menor de 30 30 y mayor Probabilidad Marginal

Sexo Hombre Mujer 0.30 0.25 0.40 0.05

0.70

Probabilidad Marginal 0.55 0.45

0.30

1.00

En el contexto de las tablas de probabilidad conjunta se denomina probabilidad marginal a las probabilidades que son un total marginal de reglón o columna. Los valores de probabilidad de las celdas son probabilidad de ocurrencia conjunta, las probabilidades marginales son las probabilidades simples, no condicionales, de eventos específicos.

6.4

Variables Aleatorias

En el proceso de construcción de medidas de probabilidad, distinguimos los siguientes elementos:

Figura 6.3: Medidas de la probabilidad.

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El espacio muestral de interés Ω, ha sido caracterizado por:

En términos sencillos, una variable aleatoria, es una función que permite trabajar cualquier espacio muestral de manera cuantitativa. Definición 6.6: Sea X un experimento aleatorio y H un espacio muestral asociado al experimento. Se dice que X es una variable aleatoria (v.a.) si es una función (medible) de H en los números reales, es decir:

Nota: En términos más sencillos e intuitivos, se puede definir una variable aleatoria, como una función que toma valores en probabilidad, es decir, no se puede predecir con certeza sus valores ó resultados.

Si aceptamos esta segunda definición: ¿En qué situaciones se puede predecir con certeza? La respuesta nos lleva a pensar que, en el día a día (trabajo, hogar, etc.) estamos rodeados de variables aleatorias Las variables aleatorias (v.a.) son caracterizadas según los posibles valores que éstas puedan tomar, es decir, según su recorrido, que se simbolizará por ex.

Se dice que X es una v.a. discreta, si su recorrido ex. es numerable (finito ó infinito). Definición 6.7:

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APLICACIÓN 6.22 Ejemplo de una variable aleatoria discreta con. ex finito.

APLICACIÓN 6.23 Ejemplo de una (numerable).

variable aleatoria. discreta con. ex infinito

Se dice que X es una variable aleatoria continua, si su recorrido ex. es no numerable, es decir, que estos pueden tomar cualquier valor en intervalos de la recta real (IR). Definición 6.8:

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APLICACIÓN 6.24

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Ejemplo de una variable aleatoria. continua:

Funciones de distribución (Probabilidad acumulada)

Supongamos que se tiene que X es una v. a. discreta, donde los valores que toma son: x1, x2, x3,..., xk, con x1 < x2 < x3