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INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: GEOMETRIA DOCENTE: HUGO BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL Y EJERCITACION PERIODO GRADO No. FECHA DURACION 3 7° 2 FEBRERO 16 2015 2 UNIDADES INDICADOR DE DESEMPEÑO Ubica en el plano cartesiano las parejas ordenadas, aplicándolas en la solución de ejercicios propuestos. Interpreta enunciados geométricos de los movimientos homotecias y rotación, en ejercicios gráficos. Aplica composiciones de movimiento de figuras en el plano cartesiano, utilizando la rotación. Demuestra responsabilidad al presentar las tareas a tiempo y bien organizada.

ROTACIÓN, HOMOTECIA Y SEMEJANZA La rotación es un movimiento en el plano, determinado por una amplitud, una orientación y un centro de rotación.  La amplitud de una rotación se expresa en grados y corresponde al ángulo de rotación.  La orientación de una rotación indica si el movimiento se realiza en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a éstas.  El centro de rotación es un punto del plano que se toma como referencia para hacer la rotación. Ejemplo: Para rotar el cuadrilátero ABCD, 90º en el sentido de las manecillas del reloj y alrededor del punto (0,0) se realizan los siguientes pasos:

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ACTIVIDAD 1 1. Rotar el polígono PTQ 60º en el sentido de las manecillas del reloj y con centro de rotación en el punto (2,-2)

2. Rotar el polígono el sentido manecillas con rotación (2,-3)

RST 30º en de las del reloj y centro de en el punto

3. Rotar el triángulo LMN -120°

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4. Reflejar el polígono ABCD 180°, teniendo como eje de rotación el origen.

HOMOTECIA Cuando necesitamos variar el tamaño de una figura o dibujo, aplicamos lo que se denomina homotecia. Esta aplicación nos permite aumentar o disminuir el tamaño de una figura sin cambiar su forma original. Para aplicar una homotecia necesitamos definir un punto fijo por el cual pasarán las rectas que nos permitirán obtener la figura modificada. Por ejemplo, en la figura de abajo aplicamos una homotecia al triángulo ABC. Para esta figura, primero, definimos un punto fijo D, y luego, trazamos rectas que pasen por este punto y por los tres vértices del triángulo ABC. De esta manera obtenemos el triángulo A’1B’1C’1, que es una ampliación del triángulo original ABC. Así la distancia entre cada uno de los vértices originales y los nuevos vértices es un valor igual; que está dado por una constante k llamada constante de la homotecia, de dilatación o de contracción.

ACTIVIDAD 2 1. Sean A(0,2); B(2,1) y C(1,4) tres puntos del plano. Hallo las coordenadas del triángulo homólogo de ABC mediante la homotecia: b. De centro (4,4) y razón -2. c.

De centro (1,3) y razón 3.

d.

¿Cuál es el centro y la razón de la homotecia que transforma el anterior triángulo en el triángulo A'B'C'; con A'=(1,1); B'=(5,-1) y C'=(5,6)?

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SEMEJANZA Definición: Dos polígonos convexos son semejantes si y solamente sí, existe una correspondencia entre sus vértices, tal que: Los ángulos correspondientes tienen igual medida. Las razones entre las longitudes de los lados correspondientes son iguales. Ejemplo: Las siguientes figuras son trapecios semejantes: ABCD y A’B’C’D’ ya que: los ángulos interiores correspondientes tienen igual medida y las razones entre sus lados homólogos son iguales. Calcular el perímetro ABCD y A’B’C’D’, ¿en qué razón se encuentran?

Calcula la razón de semejanza y la razón entre los perímetros de los polígonos. ACTIVIDAD 1. Justifico en el cuaderno si los siguientes polígonos son siempre, algunas veces o nunca semejantes. a. Dos triángulos isósceles d. Un triángulo isósceles y uno escaleno b. Dos polígonos regulares e. Un triángulo rectángulo y uno isósceles c. Dos rombos 2. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si se cumple la segunda condición de semejanza. 3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo. 4. Dos cuadriláteros tiene, cada uno, sus cuatro lados iguales y la razón entre los lados respectivos es 5:2 . ¿Es suficiente para que sean semejantes? Haz un dibujo y justifica tu respuesta. 5. Dos cuadriláteros tiene cada uno sus cuatro ángulos interiores iguales. ¿Son necesariamente semejantes?. Justifica tu respuesta y haz el dibujo correspondiente. 6. ¿Qué valor debe tener k para que el ABC sea semejante al DEF ? 7. 8. En un triángulo ABC, a = 6 cm, b = 8 cm y c = 10 cm. Calcula los lados de un triángulo A’B’C’, semejante al triángulo ABC, de perímetro igual a 36 cm 9. 8. En un polígono ABCDEF, de perímetro 280 cm, el lado AB mide 20 cm. Determina el perímetro A’B’C’D’E’F’, semejante al primero, si A’B’ = 8 cm 10. 9. Los lados de un cuadrilátero ABCD miden AB = 6 cm, BC = 9 cm, CD = 10 cm y AD = 12 cm. Calcula los lados de otro cuadrilátero A’B’C’D’, semejante a ABCD, si A’B’ = 8 cm

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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. Es posible concluir semejanza entre triángulos sin considerar todos sus ángulos congruentes y todos sus lados homólogos proporcionales, basándonos en los criterios de semejanza. Criterio A.A. (ángulo, ángulo) : cuando tienen dos pares de ángulos congruentes. Criterio L.L.L. : cuando tienen tres pares de lados respectivamente proporcionales. Criterio L.A.L. : cuando tienen dos pares de lados proporcionales y congruentes los ángulos comprendidos entre estos lados. Criterio L.L.A.: cuando tienen dos lados homólogos respectivamente proporcionales y los ángulos opuestos al lado mayor, congruentes. ACTIVIDAD 3 1.

Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta. 2. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo. 3. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo. 4. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.? 5. Determinar el valor de x, sabiendo que los triángulos son semejantes:

6. Encuentra el valor de AD si AC = 25

A D

15 3 B

E

C

La práctica es un maestro excepcional. (Cayo Plinio El joven)

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