INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION Nombre de la alumna: Área: Asignatura:

MATEMATICAS Matemáticas

Docente: Luis López Zuleta Tipo de Guía: Conceptual PERIODO GRADO FECHA DOS 7º 13 de agosto de 2012

DURACION Todo el periodo

INDICADORES DE DESEMPEÑO 1. Explica y diferencia las razones y las proporciones, como la relación entre magnitudes. 2. Reconoce la gráfica que representa la relación entre magnitudes directas e inversamente proporcionales. 3. Soluciona problemas en situaciones donde se involucra la proporcionalidad. 4. Asume con responsabilidad el desarrollo y presentación de las guías. 5. Manifiesta interés y agrado en el desarrollo de las temáticas estudiadas.

Con frecuencia observamos que en los libros de sociales nos presentan tablas, por ejemplo analizando la producción o el crecimiento de los habitantes de alguna población recogidas para varios años; con estos datos y aplicando conceptos matemáticos nos presentas cifras de lo que se pueden dar o esperar en determinado año. Entonces, nos surge la pregunta: ¿de donde salen esos valores? Y la respuesta es sencilla vista desde la matemática, estos valores se obtienen de los conceptos de razones y proporciones, los cuales trabajaremos a continuación. Así mismo, las razones y las proporciones nos ayudan en nuestra cotidianidad a resolver y a comprender rápidamente situaciones problemas. De ahí la importancia de recordar este tema, el cual ha sido trabajado en grados anteriores. Es importante recalcar el conocimiento que se debe tener de las fracciones equivalentes obtenidas por ampliación, para entender este tema con facilidad.

Hablar de razón equivale a comparar dos magnitudes expresándolas por medio de un cociente o división indicada (fraccionario). Sean las magnitudes a y b, al realizar la comparación esta se puede escribir de dos maneras:

 Primera forma:

a:b

 Segunda forma: como fraccionario En ambos casos la razón se lee: a es a b. Si realizo el cociente, al resultado encontrado se le denomina valor de la razón. las magnitudes de las razones, las designo así. Antecedente

a:b Consecuente

ó

Una razón obtenida a partir de la razón a : b, se le denomina razón equivalente Estas razones son obtenidas aplicando el concepto de ampliación visto para los fraccionarios. Al Conjunto de estas razones se les llama serie de razones equivalentes. Ejemplo: Doy una serie de razones equivalentes para Solución: Aplicando el concepto ampliación, la serie seria

Observe que aplico cualquier factor de ampliación. Ejemplo: En el bibliobanco del colegio hay 40 libros. El profesor decide que va a prestar 2 libros por cada 5 estudiantes. Si a las clases asistieran los siguientes números de estudiantes: 15, 25, 30, 35 y 45.

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¿Cual seria la cantidad de libros que requiere para cada situación? Solución. a) establezco la razón inicial: esta esta dada por el número de libros sobre números de estudiantes, para nuestro caso seria:

Sea la serie de razones equivalentes:

La propiedad fundamental de una serie de razones equivalentes es:

=

b) Por lo tanto la seria de razones equivalentes es

Para obtener los resultados esperados es necesario simplificar la razón resultante Ejemplo

Para encontrar la segunda razón o fraccionario, pregunto: ¿por cuanto multiplico el 5 para que de 15? Y por ese mismo número multiplico el dos y así

Dada la serie de razones equivalentes

obtengo la razón:

. Analizando la respuesta

puedo concluir que para 15 estudiantes necesito 6 libros. Este proceso se repite para los otros números de estudiantes.

La razón obtenida como: la suma los antecedentes es a la suma de los consecuentes, dará como resultado una de las razones de la serie

, aplico la propiedad fundamental de la serie de razones equivalentes

Simplificado la razón obtenida: 

Al simplificar por 15: se obtiene

 Al simplificar por 5: se obtiene Y al realizar otras simplificaciones puedo obtener las otras razones de la serie de razones equivalentes Realizo los ejercicios propuestos en la actividad (literal a al h) y los propuestos por el profesor.

de razones equivalentes

A la igualdad entre dos razones se le conoce como proporción Ejemplo: Dada la serie de razones equivalentes

 Segunda forma: como fraccionario En ambos casos la razón se lee: a es a b como c es a d.

, formo proporciones Solución. De la serie anterior puedo forma las siguientes proporciones Proporciones formadas

En las proporciones a los elementos los denomino.  Extremos: a los valores a y d  Medios: a los valores c y b

En las proporciones se cumple: el producto de los extremos es igual al producto de los medios

Analíticamente seria: sea la proporción

, y se

Y puedo dar todas las combinaciones que quiera con las razones dadas

cumple a * d = c Ejemplo:

Al igual que las razones las proporciones las puedo escribir de dos maneras:

Cuales de las siguientes razones son proporciones

 Primera forma:

a : b :: c : d

*

b

 Aplicando la propiedad proporciones, se tiene:

fundamental

de

las

2

a* d=c

*

b

4 * 12 = 6 * 8 48 = 48

Como se dio la

(es una proporción)

igualdad, se concluye:

______________________________________

En toda proporción la adición de los antecedentes es a la adición de los consecuentes. Es decir se tiene una nueva razón equivalente

 Aplicando la propiedad proporciones, se tiene:

a*d=c 2 * 15 30

fundamental

*

de

las

b

Ejemplo: Aplico la primera propiedad a la proporción

Solución:

5 * 8 40 Como no se dio la

igualdad, se concluye:

Al simplificar la razón resultante obtengo:

(es una

En toda proporción la sustracción de los antecedentes es a la sustracción de los consecuentes. Es decir se tiene una nueva razón equivalente

proporción)

si se desconoce uno de los valores de una proporción se procede así: Sean las proporciones  Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Observe que X es el valor desconocido  Primera proporción: 9 * X = 6 * 3  Segunda proporción: 4 * 12 = 6 * X  Tercera proporción: 4 * 18 = 6 * X  El valor que acompaña la X, se pasa a dividir y se realiza la operación.  Primera proporción : X =  Segunda proporción:  Tercera proporción:

X=2 = X = X

Ejemplo:

Aplico la propiedad a la proporción Solución:

Al simplificar la razón resultante obtengo: La aplicación de esta propiedad da como resultado una nueva proporción Ejemplo: Aplico la propiedad a la proporción

Solución:

X=8 X = 12

 Las proporciones serian

La proporción resultante es:

 Primera proporción:  Segunda proporción:  Tercera proporción: Realizo cinco ejercicios donde encuentro el valor desconocido de una proporción. Así mismo, realizo los ejercicios propuestos por el profesor

En

toda

proporción se cumple:

Ejemplo:

Aplico la propiedad a la proporción Solución:

La proporción resultante es: 3

En

toda

proporción se cumple:

Ejemplo:

Aplico la propiedad a la proporción Solución:

Ejemplo: Aplico la propiedad a la proporción

La proporción resultante es:

Solución:

Realizo tres ejercicios de cada una de las cinco propiedades de proporciones.

La proporción resultante es:

Se dicen que dos magnitudes son proporcionales cuando se relacionan, de tal manera que si una aumenta o disminuye la otra también aumenta o disminuye en las mismas proporciones. Se tienen dos tipos de magnitudes: las magnitudes directamente proporcionales y las magnitudes inversamente proporcionales.

Si formamos las proporciones, obtenemos:

Por lo tanto el valor k (valor de la razón) es 500. Como se cumplen las dos condiciones, se concluye que son magnitudes directamente proporcionales Realizo dos ejemplos donde muestre las magnitudes directamente proporcionales

Cuando se presenta este tipo de proporcionalidad entre dos magnitudes, se En este tipo de cumple proporcionalidad, se cumple  Al graficar las magnitudes en el plano cartesiano,  La grafica de las magnitudes en el plano se obtiene una línea recta que pasa por la cartesiano, es una curva decreciente, como se coordenada (0, 0) indica en la figura

 Las dos magnitudes crecen o disminuyen a la  Una de las magnitudes crece, mientras la otra vez aumenta  El valor de las razones de las proporciones es el.  El producto entre las dos magnitudes es constante. A este valor se le llama la constante mismo Sea la proporción , se cumple de proporcionalidad inversa ;(el cociente es el mismo), aquí Ejemplo: k es u número real. Un grupo de estudiantes organiza 100 sillas, y se Ejemplo: observa lo siguiente: 1 estudiante se demora 40 min, Un grupo de estudiantes recoleta dinero para una dos estudiantes 20 min, cuatro estudiantes 10 min, fiesta, si cada uno da $500, elaboro una tabla donde ocho estudiantes 10 min. Elaboro una tabla con la se muestre lo recogido. Y establezca si las información anterior. Y establezca si magnitudes las magnitudes son directamente proporcionales Y cual son inversamente proporcionales. Y cual es la constante de proporcionalidad. es el valor de la razón. Solución. Solución. Número de minutos producto Dinero 500 1000 1500 2000 2500 recaudado Número de estudiantes

estudiantes

1

2

3

4

5

Al graficar estos valores en el plano cartesiano, se tiene la grafica de una línea recta.

1 2 4 8

40 20 10 5

40 40 40 40

4

 En la columna tres (producto) es constante. De los datos de la tabla observo:  Si realizo una grafica con estos datos, me Realizo dos ejemplos donde muestre las da una curva decreciente magnitudes inversamente proporcionales  La columna uno (número de estudiantes) crece y la columna dos (minutos) aumenta.

ACTIVIDAD a) Escribo en mi cuaderno los ejercicios propuestos en cada uno de los numerales b) Realizo cada uno de los ejercicios planteados por el profesor, ya que sirven para estudiar para la evaluación de estos temas. c) Indico cual es el antecedente y el consecuente en las siguientes razones, así mismo doy el valor de la razón

 Entre la cantidad de estudiantes que tienen 12 años y las que tienen 15 años h) Ideo un ejercicio donde pueda dar al menos cinco razones i) Indico cuales de las siguientes expresiones son proporciones y digo ¿por qué?

j) Escribo dos proporciones que cumplan la propiedad fundamental de las proporciones k) Escribo el numero faltante en cada proporción d) Escribo las expresiones anteriores en forma de razón e indico como se leen. e) Una persona trabaja 8 horas diarias  ¿Cuál es la razón entre las horas que trabaja y las que descansa (no trabaja)?  ¿Cuál es la razón entre las horas que descansa (no trabaja) y las que trabaja?  Doy el valor de cada razón e indico cual es el antecedente y el consecuente f) En los siguientes expresiones, el valor de la razón es 3, encuentro el valor del consecuente 9 : ______ 12 : _____ 24 : _____ 33 : ____

l) Para cada una de las proporciones anteriores indico cuales son los medios y cuales números son los extremos. m) En un colegio por cada 9 hombres hay dos mujeres. ¿Cuántas personas hay en el colegio, si 46 son mujeres? n) Una persona por cada tres ventas que haga del producto X, se gana $500, ¿Cuántos productos vendió, si la ganancia obtenida fue de $35700? o) Realizo tres ejercicios de cada una de las propiedades de las proporciones p) Aplicando las propiedades de las proporciones g) En un salón hay 12 estudiantes de 12años, 16 de encuentro el valor de las incógnitas X y Y 13 años, 4 de 15 años, 8 de 16 años y 3 de 11  años. Doy las siguientes razones   Entre la cantidad de estudiantes que tienen 12 años y el numero total de estudiantes   Entre la cantidad de estudiantes que tienen 13 años y el numero total de estudiante   Entre la cantidad de estudiantes que tienen 15 q) Dos amigos desean compartir el premio de años y el numero total de estudiante una rifa. si el valor ganado fue $350.000,  Entre la cantidad de estudiantes que tienen 11 ¿cuanto le tocara a cada uno si decidieron años y el numero total de estudiante repartir con una razón 4:5?

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