UNIVERSIDAD COMPLUTENSE FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTíFICAS

INSTITUTO DE ASTRONOMíA Y GEODESIA (Centro Mixto e.S.Le. - U.e.M.). MADRID

Publicación núm. 199 /

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TRIANGULOS RECTANGULOS DE LADOS ENTEROS Y PRIMOS ENTRE SI por Vicente Bongera

(En Memoria de J. M. Torroja) MADRID

2004

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTíFICAS

INSTITUTO DE ASTRONOMíA Y GEODESIA (Centro Mixto UCM-CIC). MADRID

Publicación núm. 199

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS Y PRIMOS ENTRE SI por VICENTE BONGERA

(En Memoria de J. M. Torroja)

MADRID

2004

2 V Bongera

DEDICATORIA

En recuerdo afectuoso de mi Maestro y amigo Don José María Torroja Menéndez

Triángulos rectángulos de lados enteros 3

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS Y PRIMOS ENTRE SI (Soluciones enteras de la ecuación pitagórica

2 Z2=X +y2

NTREP)

Por VICENTE BONGERA

Sean a, b y e tres números enteros, que cumplan la ecuación (1) Si son primos entre sí diremos que el triángulo que tiene estos lados es un triángulo rectángulo primitivo. Si dos cualquiera tienen un factor común, también lo tendrá el tercero, por la ecuación que los liga. En este caso diremos que el triángulo es derivado. Multiplicando por cualquier número entero los lados de un triángulo primitivo obtenemos triángulos derivados que son semejantes, es decir todos tienen los mismos ángulos. En adelante todos los triángulos que utilicemos serán primitivos, a menos que especifiquemos lo contrario, o que claramente se desprenda del contexto. Representaremos la hipotenusa por a, el cateto par por b y el cateto impar por e; ya que todo triángulo primitivo, solución de la ecuación pitagórica tiene una hipotenusa impar, un cateto par divisible por 4, y un cateto impar. No puede tener dos catetos pares porque la hipotenusa también sería par y el triángulo no seria primitivo. Tampoco puede tener dos catetos impares:

4 V Bongera b

= 2k

+ 1, e = 2h + 1, b' + e'

= 4m

+2

= 2( 2m

+ 1) = a2) (2)

k, h Y m enteros; a2 sería divisible por 2 pero no por 4, lo que es imposible para un cuadrado perfecto. Luego necesariamente un cateto es par y el otro impar. La ecuación fundamental puede transformarse como sigue: (3) Los paréntesis (a+b) y (a-b) no pueden tener ningún factor común, pues también lo sería de su semi suma a y de su semidiferencia b, en contra de la hipótesis de que el triángulo es primitivo. Entonces podemos establecer (a+b)(a_b)=e2=u2v2, u y v impares y primos entre si y de aquí tomando ia+bv=u" y (a-b)=v2 obtenemos a, b y e en función de u y v: (4) Recíprocamente: cualquier par de valores impares y primos entre sí, que tomemos para u y v nos da un triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre si. Apoyándonos en lo expuesto podemos enunciar:

PROPOSICIÓN: En todo triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre sí la suma a+b y la diferencia a-b de la hipotenusa y el cateto par son cuadrados impares. Hemos dicho que el cateto par b es divisible por 4. Efectivamente b=(u2 _v2)/2 como u y v son impares será u=2k+v b

= (4e

+ 4kv)/ 2 = 2k(k + v)

y sea k par o impar b es siempre divisible por 4 al ser v impar.

(5)

Triángulos rectángulos de lados enteros 5

PROPOSICIÓN: En todo triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre sí uno de los catetos es múltiplo de 3, el otro es primo con 3y la hipotenusa nunca es múltiplo de 3. Todo número entero es de una de estas tres formas, en relación con el módulo 3: n=3k; n=3k+l o n=3k+2. Elevando al cuadrado las igualdades anteriores tenemos:

Las tres posibilidades se reducen a dos: los cuadrados de los números enteros son del tipo 3h o 3h+1. Aplicando esto a los catetos de la ecuación pitagórica tendríamos: Si los dos catetos son múltiplo el triángulo no sería primitivo.

de tres también

lo sería la hipotenusa

Si los dos catetos son primos con 3 sus cuadrados y su suma nos daría a2=3h+2, lo que es imposible: Luego la única posibilidad primo con 3 y la hipotenusa

y

serían del tipo 3k+l

es que uno sea múltiplo resulta prima con 3.

de 3 y el otro

(7) Cualquier número impar es cateto de uno o varios triángulos rectángulos de lados enteros y primos entre sí. El número de triángulos depende del número de descomposiciones que admita el impar en dos factores primos entre sí. Estos factores serían las u y v de los triángulos buscados, y con las fórmulas (4) obtendríamos el cateto par y la hipotenusa. Tomemos como ejemplo el número 15:

u=15, v=l, c=15, b=112, a=113,

u=5, v=3, c=15, b=8, a=17

Más adelante calcularemos una tabla con ordenados de menor a mayor por el cateto impar.

los

triángulos

6 V Bongera

Vamos a buscar las fórmulas que nos permitan encontrar el cateto impar y la hipotenusa correspondientes a un múltiplo de 4 que tomaremos por cateto par. Al ser la hipotenusa a y el cateto e impares su diferencia será un número par a - e = 2k, a

= 2k + e,

a'

= (2k + e)2 = e + b", 2

e = b' / 4k - k (8)

El cateto e ha de ser entero, positivo e impar y primo con b, lo que es equivalente que los dos últimos términos de (8) sean primos entre si, de diferente paridad y k7.-J.

M. TORROJA y V. BONGERA: Resultados de la observación de 30 de junio de 1954 en Sydkosler (Suecia) (1957).

de las órbitas del eclipse

38.--ST. WIERZBINSKI: Solution de- équations normales par l'algorithme (1958). 39.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN: Rectificación de la órbita del Asteroide 1192 40.-M.

LÓPEZ ARROYO: Sobre la distribución en longitud lares (1958). 4 l.-F. MÚGICA: Sobre la ecuación de Laplace (1958). 42.-F.

MARTÍN Asín: Un estudio triangulación de primer orden

= )"Cen

WIERZBINSKI:

CALVO BARRENA: Rectificación

de la órbita

45.-M.

LóPEZ

de la actividad

MÚGICA:

Un

El ciclo

nuevo

de h 4530

largo

método

para

solar

los

1164

4965

de la latitud

de 2 de octubre

MÚGICA: Determinación

de la latitud

:V1l;ldO: Determinación diante verticales simétricos

55.-1'.

DiEZ-PICAZO: ( 1964)

56.-J. S7.-F. 58.-F.

M. TORROJA: Los

de

SÁNCHEZ MARTiNEZ:

de

la

Astronómico"

Zodiacal.

Luz

S,\NCHEZ MARTÍNEZ y R. DUMoNT: Fotornetria tinuo atmosférico en el Observatorio Astronómico 1%4 a julio de 1965 (1967).

63.-J. ó4.-lvl.

del espectro terrestres

de la luz de 1959 (1960).

de la estrella (1969).

automática

V 499 (1965).

interplanetario geodésicas

69.-J.

Análisis

cualitativo

M. TORROJA: Memoria de I,IS actividades de la Universidad Complutense de Madrid

orden

(1966).

de los vértices

de

absoluta de la raya verde y del condel Teide (Tenerife), de enero de

ú 4000-6600

geodésicos

de estrellas

Determinación de las abundancias de alta velocidad 31 Aql. (1970).

68.-M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA: HD 18474 (1971).

me-

Scorpionis

del

de los espectro

A (1969).

de la Facultad

(1970).

65 .-J. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid en 1969 (1970). ó6.-M. 1. SEVILLA: Los cálculos de estación en triangulación espacial (1970). 67.-MANUEL E. REGo: fera de la estrella

(1961).

y longitud

espacial

31 Aql. en la región

de posiciones

simétricos

la latitud

M. TOll.IWJA: La estación para la observación de satélites de Ciencias de la Universidad de Madrid (1%9). J. SEVILLA: Reducción

El Aaiun

(1962J.

eclípsante

del espacio

óO.-F.

Estudio

desde

la red geodésica de primer del sistema europeo (1966).

M. GONZÁLEZ-ABOÍN: Variaciones de las coordenadas una red, por cambio de elipsoide de referencia (1966).

1>1.-:-'-1. IÜGo:

de

en la era

59.-1.

62.-C. MACHÍN: Mareas

solares

variable

aportación al estudio de con la red compensada La Luz

1959

de los verticales

de las manchas

e independiente

la órbita

Observatorios

!'vIARTÍN ASÍN: Nueva española y su comparación

por el método

del área

simuuánea (1%2).

Elementos

de

diferencial de un celóstato (1960). diferencia entre lus radios vectores del elipsoide in(1960). observaciones del paso de Mercurio por delante del 1960 efectuadas en los observatorios españoles (1961).

LÓPEZ ARROYO: La evolución

S4.-F.

(1958).

(1959).

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53.-M.

de la

(1959).

48.-1.

52.-F.

so-

(1958).

"Kobolda"

M. TORROJA: La observación (Sahara) (1960).

PAJARES: Sobre el mecanismo M. GONZÁLEZ-ABOIN: Sobre la ternacional y el esferoide de nivel 51.-J. M. TORROJA: Resultado de las disco solar del 7 de noviembre de

(1958).

vértices

47.-1.

49.-E. 50.-1.

de Sol

cracoviens

"Prisma"

= Cpd -48',

la determinación

del eclipse

des

de

Asteroide

del

total

de las manchas

las coordenadas

44.-D.

ARROYO:

arnéliorée

sobre (1958).

43.-ST.

46.-F.

Orbite

estadístico española

heliográfica

de las es-

elementos de

v (jc:odc:si~1

en

id

la estrella

del Seminario de Astronomía en 1970 (1971).

aIl110" peculiar

y Geodesia

70.-R. VIEIRA Y R. ORTIZ: Descripción de un aparato para medida de coordenadas (1971). 71.-1. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia de la Universidad Complutense de Madrid en 1971 (1972). 72.-M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA: Observación y estudio teórico del espectro de la estrella peculiar HD 18474 (1972l. 73.-M. J. SEVILLA: Cálculo de las constantes de distorsión y parámetros del disco obturador para cámaras balísticas (1973). 74.-R. PARRA Y M. 1. SEVILl.A: Cálculo de efemérides y previsiones de pasos de satélites gcodésicos (1973). 75.-M. REGO y M. 1. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Resultado de las observaciones de ':l Peg efectuadas desde el satélite europeo TDl (1973). 76.-E. SIMONNEAU:Problemas en la determinación de abundancias de elementos en las estrellas en condiciones de equilibrio termodinámico local y alejadas del equilibrio termodinámico local (1974). 77.-1. ARANDA:Construcción de modelos de estructura interna para estrellas en la secuencia principal inicial (1974). 78.-R. ORTlZ, M. J. SEVILLAY R. VIEIRA: Estudio de la calibración, técnica de medida y automatización de datos en un comparador para medidas de placas estelares (1974). 79.-M. 1. SEVILLA: Método autocorrector para el cálculo de direcciones de satélites geodésicos y análisis de los errores en la restitución de un arco de órbita (1974). 80.-M. A. Acosrx, R. ORTIZ y R. VIEIRA: Diseño y construcción de un fotómetro fotoeléctrico para la observación de ocultaciones de estrellas por la Luna (1974). 8 l.-T. J. VIVES, C. MORALES, J. GARCÍA-PELAYOy 1. BARBERO: Fotometría fotográfica UBV del cúmulo galáctico King 19 (1974). 82.-R. ORTlZ y R. VIEIRA: Control automático en posición y tiempo de los sistemas de obturación de las cámaras de observación de satélites geodésicos (1974). 83.-1. M. TORROIA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia de la Universidad Complutense de Madrid en 1972 y 1973 (1974). 84.-M. 1. FERNÁNDEZ-FIGUEROA y M. REGO: IX CrB en el ultravioleta lejano (1975). 85.-1. M. TORROJA, R. VIEIRA, R. ORTlZ y M. J. SEVILLA: Estudio de mareas terrestres en España (1975). 86.-M. 1. SEVILLAy R. PARRA: Levantamiento gravimétrico de Lanzarote (1975). 87.-P. KUNDANMALSUKHWANI:Modelos teóricos de curvas de luz. Su aplicación al sistema (J Lyrae (1975). 88.-M. J. SEVILLA: Coordenadas astronómicas y geodésicas, Desviación relativa de la vertical (1975). 89.-C. TEJEDOR: Fotometría fotoeléctrica R. G. U. del cúmulo galáctico le 2581 (1976). 90.--M. J. SEVILLA: Nuevos coeficientes para la reducción automática de posiciones de estrellas (1976). 91.-M. REGO: Técnicas observacionales en espectroscopía astrofísica (1976). 92.-M. J. SEVILLA: Determinación de la latitud por distancias cenitales de la polar, método de Littrow (1976). 93.-T. J. VIVES: Determinación fotométrica del tipo espectral de la componente desconocida de una estrella binaria eclipsan te (1976). 94.-M. REGO y M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA: Contraste y determinación por métodos astrofísicos de fuerzas de oscilador (1977). 95.-M. J. SEVILLAY R. CHUECA: Determinación de acimutes por observación de la Polar. Método micrométrico (1977). 96.-JosÉ M. GARCÍA-PELAYO:Fotometría R G U en un campo del anticentro galáctico, cerca del NGC 581 (1977). 97.-JosÉ M. GARCÍA-PELAYO:Datos fotométricos de 2.445 estrellas estudiadas en la región de Casiopea, entre los cúmulos abiertos Trumpler 1 y NGC 581 (1977). 98.-PREM K. SUKHWANIy RICARDOVIEIRA: Spectral Analysis of Earth Tides (1977). 99.-JosÉ M. TORROJAy RICARDOVIEIRA: Earth Tides in Spain. Prelirninary results (1977). IOO.-PREM K. SUKHWANIy RICARDOVIEIRA: Three different methods for taking in account the gaps in spectral analysis of Earth Tides records (1978).

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en la cuarta

de cubierta)

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Gravimétrico

Aplicaciones

de la colocación

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Astrogeodésica

167.-A. en

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Determinación

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Geodetic

Data

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para

y resultados

of the los

OTERO: (1989).

On the

Global

Solvability

of the fixed

gravimetric

(1988).

(1988). del

Geoide

Volcanic

problemas

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de

area

of

Geodésicos

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between

value

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boundary

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progresivas

para

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in Geodesia

en el método

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de

simultáneo

Fisica

e 11 Problema

de Mínimos

Redes

de

mínimos

Cuadrados

Nivelación

cua-

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Trigonométrica

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Legal: M. Sep. ISSN: 02/3 - 6198

894-1958

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