INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN ESIME ZACATENCO

ANÁLISIS DE LA DINÁMICA DE VUELO DE UN MINIHELICÓPTERO DE DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN NACIONAL

Tesis que presenta Rogelio Gerardo Hernández García

para obtener el Grado de Maestro en Ciencias en la especialidad de Ingeniería Mecánica Director de la Tesis Dr. Samuel Alcántara Montes

México D. F. Noviembre 2007

CONTENIDO Contenido

i

Lista de Símbolos

iii

Abreviaturas

ix

Lista de figuras

xi

Resúmen

xiii

Abstract

xv

Introducción

xvii

Capítulo 1 Estado del Arte

1

Capítulo 2 Fundamentos

11

2.1 La dinámica de vuelo

12

2.2 El rotor principal

14

2.3 El rotor de cola

19

2.4 El fuselaje

20

2.5 El empenaje horizontal

21

2.6 El empenaje vertical

21

Capítulo 3 Ecuaciones de movimiento

23

3.1 Sistema de referencia del helicóptero

24

3.1.1 Sistema Núcleo

26

3.1.2 Sistema de referencia de un elemento de pala y sistema 28 viento 3.1.3 Ejes cuerpo

29

3.2 Análisis de fuerzas y momentos en el helicóptero 3.3

Ecuaciones

generales

de

movimiento

traslacional

32 y 35

rotacional Capítulo 4 Modelación Matemática

37

4.1 Ecuaciones que rigen la dinámica de vuelo

40

4.2 Elementos del modelado del rotor principal

41

4.2.1 Cantidad de movimiento lineal y corriente de flujo 41 inducido

i

4.2.2 Determinación de fuerzas y momentos en el rotor 44 principal mediante análisis por elemento de pala 4.2.3 Determinación de fuerzas y momentos debido al aleteo 55 de las palas de rotor principal 4.2.4 El rotor equivalente a un sistema de resorte en el 63 centro 4.3 Tracción y potencia del rotor de cola

77

4.4 Fuerzas y momentos aerodinámica del fuselaje

80

4.5 Fuerzas normales del empenaje horizontal y vertical

82

4.6 Sistemas de mando de vuelo

84

4.6.1 Canales de cabeceo y alabeo

84

4.6.2 Canales de guiñada

86

4.6.3 Canal colectivo

87

Capítulo 5 Simulación Numérica del Modelo

89

Conclusiones y recomendaciones

97

Referencias

101

Apéndice 1 Plataforma experimental voladora

A1-1

Apéndice 2 Sistema de adquisición de datos y sensores de la A2-1 aeronave Apéndice 3 Fabricación del cuerpo del fuselaje de la aeronave

A3-1

Apéndice 4 Determinación de los coeficientes aerodinámicos del A4-1 cuerpo de la aeronave

ii

LISTA DE SÍMBOLOS Símbolo

Descripción

axB, ayB, azB CI, CM, CM0

Componentes de aceleración del elemento de pala Matrices en las ecuaciones de batimiento de la pala Función del momento de cabeceo del fuselaje Funciones del momento de guiñada del fuselaje Coeficiente de par torsional del rotor principal Coeficiente de par torsional del rotor de cola Coeficiente de empuje del rotor principal Coeficiente de empuje del rotor de cola Coeficientes de fuerza del rotor principal en los ejes de la flecha Coeficientes de fuerza del rotor principal en los ejes núcleo-viento Funciones de fuerza del fuselaje Función de fuerza lateral del estabilizador Coeficiente de fuerza lateral del fuselaje Coeficiente de fuerza del plano de cola Matrices en las ecuaciones de batimiento de la pala Resistencia al avance y función normalizada de resistencia al avance que actúan en el elemento de pala Determinante de la matriz en las ecuaciones de batimiento Resistencia a la flexión de una pala Carga externa en una viga elástica en rotación Cargas aerodinámicas en la pala integrada

CMF CNF, CNFA, CNFB CQ CQTR CT CTT CX, CY, CZ CXW, CYW, CZW CXF, CZF CYFN CYS CZTP DI, DM, DM0 d, d

dβ EI F(r, t) F(1)(ψ), F(2)(ψ) F0(1) , F1(c1) , F1(s1) , F2(1c) ,   F2(1s) , F1(c2 ) , F1(s2 ) fy, fz f β , f β′ , f λ , f θp , f θtw , f ω

g g0 hj i B , jB , k B i H , jH , k H L, M, N LF, MF, NF LV, MV, NV

Unidades m/s

Componentes armónicas de F(1)(ψ) y F(2)(ψ) Fuerzas en el plano de la pala y normales Funciones de los coeficientes en las ecuaciones de batimiento de la pala Constante gravitacional Función de iteración de la velocidad inducida Incremento de iteración de la velocidad inducida ( Vectores unitarios en el sistema de ejes de la pala

m/s2

Vectores unitarios en el sistema de ejes del núcleo Momentos generales de alabeo, cabeceo y guiñada Momentos aerodinámicos de alabeo, cabeceo y guiñada del fuselaje Momentos aerodinámicos de alabeo, cabeceo y

iii

N-m N-m N-m

LH, MH, NH LR, MR, NR LE, ME, NE LRC, MRC, NRC Lβ λ, λ

M(r) m(rB) Pn(t) p, q, r pw, qw, rw QE QR QT rB , rB Sn(r) SZ Sβ UT, UP u, v, w uA, vA, wA u B , v B , wB uH, vH, wH uHw, vHw, wHw uwg, vwg, wwg V(r, t) VF VFN V ~ Hw

Vi VT W(r, t)

guiñada del estabilizador vertical Momentos de alabeo, cabeceo y guiñada del rotor en el sistema núcleo Momentos del rotor en los ejes de referencia del cuerpo Momentos del empenaje horizontal Momentos del rotor de cola Transformación matricial a coordenadas para varias palas Acción de la sustentación y de la función normalizada de la sustentación en un elemento de pala Momento de batimiento en las coordenadas en rotación Distribución de masa de la pala Coordenadas normales para viga elástica en rotación Regimenes de alabeo, cabeceo y guiñada de la aeronave en torno a los ejes de referencia de cuerpo Regimenes de alabeo, cabeceo y guiñada del rotor en los ejes núcleo-viento Par torsional del motor Par torsional del rotor principal Par torsional del rotor de cola Coordenadas radiales de punta Modos normales de la viga elástica en rotación Fuerza cortante en la bisagra de batimiento Número de rigidez Velocidades en el plano y normales en el elemento de pala Componentes de la velocidad de la aeronave en el centro de gravedad Velocidades “aerodinámicas” en el centro de gravedad Componentes de velocidad del elemento de pala Componentes de velocidad del núcleo del rotor Velocidades del núcleo del rotor en los ejes núcleoviento Componentes de velocidad del viento Fuerza cortante en el núcleo Velocidad total del fuselaje Velocidad total del estabilizador Vector de la velocidad del rotor en los ejes núcleoviento Velocidad inducida del rotor Velocidad total del plano de cola Deflexión por flexión de viga elástica en rotación iv

N-m N-m N-m N-m

N-m Kg/m

rad/s

N-m N-m N-m

m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s

wAλ X, Y, Z XF, YF, ZF XFN, YFN, ZFN XHw, YHw, ZHw XR, YR, ZR XTP, YTP, ZTP XT, YT, ZT αF αsw, αcw αTP β, βi β1(t) βd βF βFN β ,β

Velocidad normal del fuselaje que incorpora a la velocidad inducida del rotor Componentes generales de fuerza en la aeronave Fuerzas aerodinámicas del fuselaje Fuerzas aerodinámicas en el estabilizador Fuerzas en el rotor en el sistema núcleo-viento Fuerzas en el rotor en los ejes de referencia del cuerpo Fuerzas en el plano de cola Fuerzas en el rotor de cola Ángulo de incidencia del fuselaje Funciones de incidencia de la pala Ángulo de incidencia del plano de cola Ángulos de batimiento de la pala Ángulo de deflexión de la punta de la pala Ángulo de coneo diferencial Ángulo de derrape del fuselaje Ángulo de derrape del estabilizador Vectores de batimiento

m/s N N N N N N N rad rad/º rad rad rad rad rad rad

~I ~M

βjc, βjs β0, β1c, β1s β1cw, β1sw ∆ ∆n δ δT δβ na nc nct np n1c, n1s

θ, θp θ0 θ0p, θ0a θ0Tp, θ0Ta θ0T (θ*0T ) θ1c, θ1s θ1*c , θ1*s

Coordenadas para varias palas Armónicas de batimiento Batimiento cíclico en los ejes núcleo-viento Matriz de transformación del sistema núcleoviento Incremento de aceleración normal de la aeronave Coeficiente de resistencia al avance de la pala del rotor principal Coeficiente de resistencia al avance de la pala del rotor de cola Determinante de matriz en las ecuaciones de batimiento Parámetro de carga del rotor Variable de la palanca del colectivo Variable del cable del pedal Variable del pedal Variables del bastón cíclico longitudinales y laterales Ángulos de paso de la pala Paso colectivo del rotor principal en la raíz Contribuciones del piloto y del sistema de estabilidad artificial a θ0 Contribuciones del piloto y del sistema de estabilidad artificial a θ0T Paso del rotor de cola (con corrección δ3) Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala

v

m/s2

rad

θ1cp, θ1sp, θ1ca, θ1sa θ1cw, θ1sw Λ λ0 λ1c, λ1s λ1cw, λ1sw λ0T λn λβ µ µx, µy, µz µT, µzT σX φ χ ψ , θ, φ ψ, ψi ψw Ω Ω

antes de entrada en fase Contribuciones del piloto y del sistema de estabilidad artificial al ángulo de cabeceo cíclico Componentes del ángulo cíclico de cabeceo de pala en los ejes núcleo-viento Velocidad normalizada total del rotor Componente de velocidad inducida del rotor Componentes armónicas de velocidad inducida Componentes armónicas de velocidad inducida en los ejes núcleo-viento Velocidad inducida uniforme del rotor de cola Relación de frecuencia del modo n de batimiento Relación de frecuencia de batimiento de la pala del rotor Velocidad normalizada del rotor en el plano xy Componentes de velocidad normalizada del rotor Velocidades normalizadas del rotor de cola Velocidad angular normalizada en coordenadas en rotación Ángulo de ataque de la pala Ángulo de la estela Ángulos de Euler Ángulos acimutales de la pala Ángulo de derrape del rotor Velocidad del rotor Vector de velocidad angular del rotor

m/s

m/s

rad rad rad rad rad rad/s rad/s

~ Hw

ΩT ωx , ωy( ωx , ω y ) b e FT fi Iβ Kβ kλT kλF kλTP L p , L q , L θ1c , L θ1s …etc λp , λv nβ

Velocidad del rotor de cola Velocidades angulares (normalizadas) en coordenadas en rotación Número de palas del rotor principal Excentricidad normalizada de la bisagra de batimiento Factor de bloqueo del estabilizador Constante de iteración de Newton Momento de inercia de la pala Rigidez del resorte Factor de velocidad inducida del rotor principal en el rotor de cola Factor de velocidad inducida del rotor principal en el fuselaje Factor de velocidad inducida del rotor principal en el plano de cola Derivadas del momento de alabeo Derivadas del momento de alabeo Número de inercia de la pala (γ/8)

vi

rad/s

Kg-m4

QEmax s β1c p , β1c q , β1c θ1c ,  β1c θ1s etc  γ(γ0) δ3 ε ρ Ωm

Par torsional máximo del motor Solidez del rotor Derivadas de batimiento

Número de Lock de la pala Ángulo de acoplamiento de paso/coneo de la pala Excentricidad de la bisagra de batimiento Densidad del aire Velocidad del rotor a máxima potencia

vii

N-m

viii

ABREVIATURAS

CNES

Centre National d´Etudes Spatiales

DASH

Drone Anti-Submarine Helicopter

DARPA

Defense Advanced Research Projects Agency

DLR

German Aerospace Center

EADS

European Aeronautic and Defense Spatial

GPS

Global Position System

HALE

High Altitude/Long Endurance

INS

Inertial Navigation System

IPN

Instituto Politécnico Nacional

MALE

Medium Altitude/Long Endurance

MRE

Multi Role Endurance

NASA

National Aeronautics and Space Administration

ONERA

Office National d'Etudes et Recherches Aérospatiales

PEMEX

Petróleos Mexicanos

PGR

Procuraduría General de la República

RPV

Remote Piloted Vehicle

SEAD

Suppression of Enemy Air Defenses

SEMARNAT Secretaría del Medio Ambiente y Recursos Naturales SPyV

Secretearía de Protección y Vialidad

UAV

Unmanned Aerial Vehicle

UNAM

Universidad Nacional Autónoma de México

VTOL

Vertical Take Off and Landing

ix

x

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1

Supra-sistema de proyectos de aeronaves de ala rotativa

Figura 2.1

Asimetría de flujo y fuerzas de sustentación en una pala

Figura 2.2

Rotor Articulado

Figura 2.3

Vorticidad en las inmediaciones de un rotor

Figura 2.4

Rotor de cola convencional

Figura 3.1

Sistema núcleo y sistema pala

Figura 3.2

Rotación de guiñada ψ

Figura 3.3

Rotación de cabeceo θ

Figura 3.4

Rotación de alabeo φ

Figura 3.5

Fuerzas y momentos actuando en la parte lateral de la aeronave

Figura 3.6

Fuerzas y momentos actuando en la parte superior de la aeronave

Figura 3.7

Fuerzas y momentos actuando en la parte frontal de la aeronave

Figura 4.1

Subensambles del modelo matemático

Figura 4.2

Fuerzas aerodinámicas e inerciales en la pala

Figura 4.3

Fuerzas aerodinámicas en una sección diferencial de la pala

Figura 4.4

Fuerzas producidas por un elemento de pala actuando en el centro del núcleo

Figura 4.5

Deformación elástica de una viga rotatoria

Figura 4.6

Simplificación de un rotor de pala con bisagra de aleteo fuera del centro

Figura 5.1

Diagrama de bloques para vuelo estacionario

Figura 5.2

Diagrama de bloques de la simulación del coeficiente de tracción en Simulink

Figura 5.3

Emisora de radio control de la aeronave

Figura 5.4

Gráfica del comportamiento de cabeceo de la aeronave

Figura 5.5

Figura A 1.1

Velocidad de la aeronave en función del ángulo de paso del rotor principal Posición de la palanca de mando cíclico longitudinal respecto a la velocidad de la aeronave Helicóptero de radio control convencional Raptor 90®

Figura A 1.1

Plataforma final de pruebas con equipo de navegación y sistema de

Figura 5.6

telemetría

xi

Figura A 2.1

Organización detallada del segmento de vuelo

Figura A 2.2

Organización detallada de la estación terrena

Figura A 2.3

Interfaz gráfica de la estación terrena que permite visualizar los parámetros de la aeronave

Figura A 2.4

Interfaz gráfica de posicionamiento, altitud y latitud de la aeronave

Figura A 2.5

Conjunto de sensores que realizan la medición y envío de parámetros a la estación terrena

Figura A 2.6

Sistema de Posicionamiento Global

Figura A 2.7

Vehículo aéreo equipado con sistemas de telemetría

Figura A 3.1

Creación de curvas de control paramétricas del fuselaje

Figura A 3.2

Perfiles de control que permiten la obtención de cuerpo fuselado

Figura A 3.3

Modelo geométrico del fuselaje

Figura A 3.4

Modelo geométrico final del fuselaje realizado en NX3®

Figura A 3.5

Generación del código para la nariz

Figura A 3.6

Simulación de maquinado de la nariz

Figura A 3.7

Generación del código de la parte llamada Cuerpo

Figura A 3.8

Simulación de maquinado de la parte Cuerpo

Figura A 3.9

Simulación de maquinado de la parte Botalón

Figura A 3.10

Máquina CNC Cincinnati 500 Arrow

Figura A 3.11

Montaje de herramienta de corte

Figura A 3.12

Montaje de material a utilizar

Figura A 3.13

Corte de las diferentes secciones del modelo

Figura A 3.14

Primera sección del modelo

Figura A 3.15

Terminación del maquinado de los elementos del fuselaje

Figura A 4.1

Mallado en tres dimensiones proveniente de HyperMesh® y asignación de condiciones de frontera en Gambit®

Figura A 4.2

Distribución de presión dinámica sobre el contorno del fuselaje

Figura A 4.3

Distribución de vectores de velocidad alrededor del fuselaje

xii

RESÚMEN

El presente trabajo plantea la conformación del modelo matemático para ser implementado dentro de un mini helicóptero de diseño y construcción nacional con el propósito de crear un sistema aéreo no tripulado. El modelo matemático fue resuelto mediante la plataforma de simulación del software MATLAB®, Simulink ®.

El modelo matemático toma en consideración la dinámica de vuelo de cada uno de los subsistemas que conforman el helicóptero los cuales son: fuselaje, rotor principal, rotor de cola, empenaje horizontal y empenaje vertical. No se toma en consideración la dinámica inducida por el motor, el cual consiste de un motor de combustión interna recíproco de un émbolo.

xiii

xiv

ABSTRACT

This work presents the conformation of the mathematical model to be implemented within a national construction and design mini helicopter with the purpose of creating an unmanned aerial system. The mathematical model was solved by means of simulation platform of MATLAB® software.

The mathematical model taking in consideration the dynamics of flight of each one of the subsystems that makes up the helicopter which are: fuselage, main rotor, tail rotor, horizontal fin and fin unit. Nevertheless, the dynamics induced by the motor is not taken in consideration, which consists of a motor of internal combustion reciprocal monopiston.

xv

xvi

INTRODUCCIÓN Tratar de generar los conocimientos en el campo del diseño de helicópteros de transporte de personal es factible en nuestro país y además se hace indispensable, aunque el proceso resultaría lento. Sin embargo, adquirir la experiencia para fabricar productos con la calidad impuesta en los mercados internacionales por los países generadores de esas tecnologías es una tarea descomunal que involucraría un cambio total de actitud de toda la sociedad mexicana. Bajo esta perspectiva, las competencias tecnológicas de una fracción de la sociedad pueden dirigirse entonces a la generación de nuevos conceptos en donde no exista relativo desarrollo y que presenten un alto valor agregado en producto de capital humano. Tal es el caso de este trabajo en el que se propone comenzar la investigación y desarrollo de vehículos aéreos no tripulados (UAV – Unmanned Aerial Vehicle). El presente trabajo tiene como objetivo la implementación y simulación numérica de un modelo matemático para ser aplicado a un helicóptero de diseño y construcción nacional para predecir y evaluar su dinámica de vuelo. Se prevé que el modelo sea primeramente validado en un mini helicóptero Raptor 90 SE y una vez validado, sea implementado dentro de la computadora de vuelo de un helicóptero de diseño y construcción nacional para que éste pueda realizar vuelo autónomo. Así mismo servirá como modelo matemático para el desarrollo de un simulador de vuelo virtual para entrenamiento en el uso del mismo helicóptero. Para el desarrollo de un artefacto de esta naturaleza, es decir que pueda mantenerse en vuelo autorregulado y permitir el cumplimiento exitoso de una misión, se requiere de un trabajo interdisciplinario y debe de ser de mucho interés para la comunidad científica por todas sus implicaciones tecnológicas, científicas y humanas.

xvii

En México no existe precedente de este tipo de aeronaves dada su específica utilización, ni mucho menos de investigación encaminada en esta área, es por ello que se considera de trascendental importancia su apoyo y desarrollo.

El modelo matemático encuentra su aplicación en cuatro áreas fundamentales. Una de ellas es en el diseño de partes y componentes de helicópteros debido a que el modelo matemático, al considerar las ecuaciones de fuerzas y momentos que se generan en el helicóptero causados por efectos cinemáticos, aerodinámicos, inerciales y aeroelásticos de cada unos de sus subsistemas, permite dimensionar, modelar geométricamente y analizar estructuralmente los componentes. Otra área es la del desarrollo de simuladores de vuelo virtuales para entrenamiento de pilotos, constituyendo el modelo matemático el cerebro de un simulador de vuelo. Un área más donde cabe su aplicación, es para evaluar la calidad de vuelo y comportamiento de un diseño nuevo de helicóptero. Con un modelo matemático se puede predecir su comportamiento en vuelo, pudiéndose realizar los cambios y adecuaciones necesarias al diseño antes de llegar a la etapa de construcción. Una aplicación mas, que es la que se propone para este trabajo, es dentro de la robótica aérea. El modelo matemático constituye el centro neurálgico de la aeronave. Es el órgano que dicta su comportamiento y evolución durante una fase de vuelo. Este estudio establece las bases para el diseño de los sistemas de estabilidad, control automático y de navegación que le permitirá a la aeronave el título de Vehículo Aéreo Autónomo. Con ello podrá despegar y aterrizar de manera completamente autónoma o también si se prefiere de manera manual, con la propensión de realizar su trayectoria que se le indique a través de cartografía cargada en una computadora portátil que funcionaría como estación en tierra. La estación terrena servirá para monitorear datos del estado de la aeronave tales como revoluciones por minuto del motor, temperatura del motor, carga de baterías, cantidad de combustible, velocidad de la aeronave, posición, actitud, temperatura ambiental así como de recibir la señales de video captadas por las cámaras que portará la aeronave.

xviii

El trabajo está estructurado en cinco capítulos. El primer capítulo hace una introspección sobre el avance de los vehículos aéreos no tripulados en algunos de los países mas desarrollados tecnológicamente en el mundo, comparando los resultados de ese análisis con lo que existe en nuestro país. Este mismo capítulo trata sobre algunos de los elementos y consideraciones que algunos autores han incorporado a sus modelos matemáticos de helicópteros para mejorar su fidelidad y representación del fenómeno. En el capítulo dos se presenta una breve descripción de la teoría del helicóptero, describiendo sus principales órganos, así como de la dinámica de vuelo. En el tercer capítulo se presentan las ecuaciones de movimiento traslacional, rotacional, relaciones de Euler y los diferentes marcos de referencia que habrán de emplearse para referir la dinámica de cada uno de los subsistemas en que se dividió al helicóptero. En el cuarto capítulo se presenta un desarrollo de las ecuaciones de fuerzas y momentos que se generan en el helicóptero debido a efectos cinemáticos, aerodinámicos, inerciales y aeroelásticos de cada unos de los subsistemas del helicóptero. Finalmente en el capítulo cinco se presentan los resultados de la simulación de las ecuaciones descritas en los capítulos tres y cuatro. Se agregan cuatro apéndices. El primero describe las características de la plataforma aérea empleada para contrastar el modelo matemático teórico con resultados experimentales de la dinámica de vuelo de un helicóptero real. El segundo apéndice presenta sucintamente, el desarrollo de los sistemas de adquisición de datos, sistemas de identificación y sensores empleados para la lectura de algunos parámetros de la aeronave. En el apéndice tercero se presenta la fabricación del cuerpo fuselado empleado para cubrir la aeronave. En el último apéndice se presenta el procedimiento para la obtención de las curvas de coeficientes

aerodinámicos

obtenidos

numéricamente

y

empleados

en

las

ecuaciones del capítulo 4. La importancia del modelado matemático radica en que si lo anteriormente expuesto se acepta como cierto, el modelo matemático es un órgano imprescindible del proyecto completo acercando a nuestro país a conocimiento de frontera en el área de modelado, control y navegación de aeronaves.

xix

xx

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

Capítulo 1 Estado del Arte En este capítulo se presenta una reseña general a nivel mundial del estado tecnológico de la simulación de la dinámica de vuelo de los helicópteros y su importancia en el desarrollo de nuevos proyectos. La simulación de la dinámica de vuelo de los helicópteros surge de la necesidad por parte de las empresas dedicadas al desarrollo de estos aparatos de predecir adecuadamente el comportamiento de nuevos diseños o de implementarlos dentro de simuladores de vuelo para entrenamiento de pilotos de los equipos que ellos venden. Es evidente que entre más exactitud y fidelidad se desee entre el fenómeno descrito y el modelo matemático, mas serán los aspectos a considerar y por tanto del incremento de la complejidad del modelo. La necesidad de contar con modelos matemáticos confiables que describan fielmente el comportamiento de la aeronave, principalmente durante la etapa de diseño, han llevado a un incremento en su interés por ellos. Aunados a ello, hay que añadir los avances en la capacidad de las computadoras. Con ello, mejores y más sofisticados modelos son generados, permitiendo calcular y simular más amplios rangos y maniobras de vuelo de la aeronave. A los modelos que permiten simular y calcular parámetros en diferentes maniobras se conoce como “modelos comprensivos”.

1

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

En años recientes ha existido un interés creciente en el desarrollo de vehículos aéreos no tripulados, cuya aplicación está destinada a misiones peligrosas para el hombre. Alemania, Austria, Estados Unidos, Francia, Israel y Japón son los países que encabezan la lista en el desarrollo e innovación de este tipo de aparatos.[1.1]

Específicamente en lo que a aeronaves de ala rotativa se refiere y más precisamente helicópteros,

Alemania

ha

desarrollado

una

aeronave

para

misiones

de

reconocimiento, cuya principal peculiaridad es que cuenta con un par de rotores contra rotativos coaxiales. Los desempeños operacionales de ésta aeronave son elevados. Está motorizado con un motor turboeje de 420 SHP y una capacidad de carga útil de 180 Kg. Su peso máximo de despegue es de 1125 Kg. [1.2]

La compañía austriaca Schiebel comercializa un helicóptero completamente autónomo denominado Camcopter. Recientemente ha desarrollado una nueva versión del Camcopter, el S-100 de mayores dimensiones y mayor capacidad de carga útil. [1.3]

Los Estados Unidos de Norteamérica es el país con más desarrollo en este campo, pues cuenta por lo menos con 10 modelos diferentes de helicópteros autónomos. Las universidades, apoyadas por las fuerzas armadas, han tenido un papel preponderante en este desarrollo, como es el caso del Georgia Tech y el MIT quienes han acumulado una experiencia de 10 y 15 años respectivamente en investigación y desarrollo de este tipo de vehículos mediante el apoyo de un programa de la agencia DARPA [1.4]. Existen también empresas que comercializan como la Rotomotion Inc. [1.5]. La misma marina de los Estados Unidos en conjunto con la empresa Northrop-Grumman se han dado a la tarea de desarrollar vehículos de gran tamaño tal como el Fire Scout [1.6]. Otras ideas han surgido de empresas como Sikorski con su propuesta Mariner Cypher II [1.7] y otras empresas tal como SAIC/ATI Vigilante [1.8].

2

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

Otro caso de aparatos de elevada sofisticación tecnológica es el Vigilante F2000 [1.9]. Este aparato, que en un principio fue desarrollado por un ingeniero español, y posteriormente cedido a la empresa francesa Thomson (ahora EADS-THALES) en asociación con Techno-Sud Industries y el departamento de Comando de Sistemas y Dinámica de Vuelo de la ONERA. Actualmente es el único aparato en su clase capaz de poder sobrevolar zonas urbanas y contar con certificado de aeronavegabilidad. Cabe mencionar, que el desarrollo de este aparato tomó aproximadamente 10 años de investigación y pruebas por un grupo de especialistas dedicados exclusivamente a él. [1.10]

En lo que concierne a Israel, existen varias empresas dedicadas al diseño y comercialización de este tipo de aeronaves, entre las que se tiene el vehículo Steadycopter [1.11].

La empresa Japonesa Yamaha ha desarrollado un vehículo UAV. El desarrollo de su primer prototipo comenzó en el año de 1983. [1.12] Actualmente cuenta con el RMAX 50, el cual tiene un precio de venta que oscila entre 1 300 000 Euros. [1.20]. Otra empresa japonesa que comercializa este tipo de vehículos bajo el principio de RPV (Remote Piloted Vehicle), es decir, que necesariamente requiere para su operación la intervención del ser humano es FUJI HEAVY INDUSTRIES. [1.13].

En América latina existe una red de investigación encaminada al desarrollo de este tipo de vehículo. Está liderada por la universidad Colombiana EAFIT. Su investigación se centra principalmente en la aplicación de métodos de modelado matemático teórico y experimental, métodos de control convencional y no convencional, informático, telemático y comunicaciones para vuelo “estacionario” de un helicóptero comercial de radio control, no comprendiendo ni el diseño, ni mucho menos la construcción de una aeronave con características específicas o para una misión dada [1.14].

3

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

En México, un grupo muy reducido se ha dado a la tarea de investigar sobre esta área; específicamente en la ESIME Ticomán, donde se imparte la carrera de Ingeniería en Aeronáutica, se tiene proyectado todo un programa encaminado al diseño, construcción y uso de aeronaves de ala rotativa. Prueba de ello, es el diseño y construcción de un banco de pruebas para la medición de la tracción, par torsional y eficiencia de rotores de levantamiento para helicópteros [1.15]. Este aparato forma parte del programa mencionado y tiene la finalidad de comprobar y validar los modelos matemáticos de diferentes trabajos de investigación a nivel licenciatura y posgrado entre los que destacan: Modelado y Control de Velocidad para un Banco de Pruebas de Rotores de Helicópteros [1.16], análisis aeroelásticos de rotores de levantamiento [1.17], Diseño y construcción de un rotor de alta eficiencia aerodinámica [1.18]. Para el desarrollo de un Sistema Aéreo no tripulado, es necesario contar con un modelo matemático que prediga y describa su dinámica de vuelo. Sin embargo, según Mettler “El desarrollo exitoso de un vehículo aéreo autónomo requiere la solución de complejos problemas de ingeniería (…) En los años iniciales de la robótica aérea un pequeño número

de

aquellos sistemas fue

construido,

principalmente en instituciones académicas, y sólo algunos de ellos pudieron mostrar capacidades básicas de vuelo como el vuelo estacionario y el vuelo lento a través de ciertos puntos. Después de estos avances importantes se han tenido pequeños progresos en el mejoramiento de las capacidades de vuelo automático. La razón principal para esta limitación es la ausencia de un modelo preciso que pueda ser usado para el análisis y diseño del sistema de control de vuelo (…). Estos aspectos de hardware y software ocuparon completamente el tiempo de los investigadores y fue una de las razones primarias del lento y a menudo infructuoso desarrollo de los vehículos experimentales en los años 90. Hoy, estas dificultades continúan representando un problema; sin embargo, la situación está mejorando con la experiencia acumulada y el progreso continuo en la tecnología de los sensores

4

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

y las computadoras. Estos avances les permitirán a los investigadores enfocarse a nuevos tópicos como la dinámica del vehículo, control avanzado de vuelo, guíado, etc. que son fundamentales en la creación de vehículos altamente competentes". [1.19] Uno de las razones principales de no contar con un modelo adecuado es que la aerodinámica del helicóptero es extremadamente compleja y difícil de medir, modelar y predecir, como lo cita A. T. Conlisk [1.20] y ello debido a la dinámica del rotor principal.

Un modelo matemático generalmente puede hallarse implementado íntegramente dentro de un simulador de vuelo, el cual va a responder en función de las condiciones externas impuestas tales como una ráfaga de viento o bien por una maniobra comandada por el piloto. Si bien existen algunos simuladores de vuelo de tipo comercial que pueden ser cargados en una PC con un relativo bajo costo, éstos presentan una regular fidelidad respecto al fenómeno reproducido. Entre los más conocidos se tiene el Flight Simulator de la compañía Microsoft Co. En este capítulo se describen los de tipo profesional entre los que destacan una decena aproximadamente

y

como

resulta

evidente,

los

fabricantes

difícilmente

proporcionarían los modelos matemáticos que hacen funcionar sus simuladores. Uno de los modelos más empleados es el desarrollado por la NASA denominado Modelo Matemático de Simulación de Helicóptero de mínima complejidad [1.21] desarrollado en 1988, para este entonces todavía resultaba difícil la simulación en tiempo real de complejos modelos debido a las limitaciones que en el equipo de computo se tenía. Este modelo fue evolucionando al grado de obtener resultados satisfactorios mediante un refinamiento descrito en [1.22].

Otro modelo que ha servido como plataforma y que ha sufrido mejoras constantes es el desarrollado por Howlett denominado GENHEL. Este modelo considera un rotor de palas rígidas con articulación de aleteo y arrastre. Simula también la dinámica

5

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

de la torsión longitudinal que sufren las palas debido a las cargas aerodinámicas mediante un modelo empírico. Para el modelado del fuselaje considera un cuerpo rígido e indeformable cuyas características aerodinámicas se toman de valores empíricos. [1.23].

Posteriormente este modelo evolucionó al ser mejorado por Bullin, el cual incrementa su fidelidad al enfocarse principalmente al mejoramiento de la parte que simula el motor [1.24].

Este modelo se ve mejorado cuando Kim [1.25] añade la simulación de la dinámica de la afluencia al rotor desarrollado por Pitt-Petters [1.25] dando origen al modelo conocido como UM- GENHEL.

El modelo UM-GENHEL es mejorado por Turnoir al añadir la dinámica de aleteo, arrastre y torsión de las palas de manera acoplada y empleando un análisis por elementos finitos. Añade también un modelo matemático de la afluencia del rotor descritos en el modelo

aerodinámico en forma estado – espacio no permanente

desarrollado por Leishman – Nguyen [1.26]. Surge de esta manera el modelo de simulación denominado Flexum.

Todos los códigos comprensivos del helicóptero considerados incluyen el modelado del acoplamiento rotor–fuselaje. Con respecto al modelado del fuselaje, todos los códigos asumen el modelo del fuselaje como rígido, mientras que

los códigos

2GCHAS, COPTER, TECH01 y UMARC permiten, mediante un modulo de NASTRAN, la representación elástica del fuselaje. Todos estos códigos son flexibles para modelar cualquier tipo de configuración del núcleo del rotor, es decir articulados, semirígidos y rígidos.

6

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

A los modelos que incluyen análisis de la elasticidad de las palas del rotor principal por elemento finito se conoce como de segunda generación. Este análisis permite simular palas rígidas y elásticas, junto con las aletas de borde de salida de éstas, así como incluir los grados de libertad de retraso y torsión. Estas consideraciones están incluidas en los códigos 2GCHAS, COPTER, TECH01 y UMARC.

El TECH01 modela la pala usando el acoplamiento dinámico de aleteo/cabeceo y la dinámica

desacoplada

de

retraso.

FLIGHTLAB

utiliza

el

acoplamiento

de

aleteo/retraso y el desacoplamiento de la dinámica torsional.

Con respecto al modelado de las características de flujo del rotor principal, una serie de opciones de modelado de flujo se asocian con este modelo comprensivo del helicóptero. Los códigos de 2GCHAS, CAMRAD y UMARC emplean el modelo simple de flujo uniforme basado en la teoría de cantidad de movimiento. Una distribución lineal de flujo es utilizada en el modelo de Pitt-Peters. El modelo de flujo de Drees puede ser empleado en los modelos de TECH-01 y UMARC. Hay también ciertos módulos de modelado de vortice de la estela que pueden ser introducidos en estos códigos. Todos los códigos permiten modelar la geometría de vórtice basadas en parámetros que incluyen la condición de vuelo, el movimiento de las palas del rotor, la distribución de carga de las palas, etc.

El primer modelo de estela libre usado en la simulación de la dinámica de vuelo fue el trabajo realizado por el modelo de estela libre de Scully [1.27] y la inclusión de este modelo aparece como una variante del 2GCHAS, COPTER, CAMRAD y UMARC. El modelo de estela libre de Jhonson es una modificación del modelo de Scully para usarse en la familia de los códigos CAMRAD y está implementado en los códigos COPTER y UMARC. MFW es el modelo de estela libre de Maryland ya descrito anteriormente, implementado en los códigos de UMARC y 2GCHAS.

7

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

Actualmente no existe código comprensivo que incluya una rutina que capture los efectos aerodinámicos producidos por maniobras que se apoye en la teoría de estela libre y subsecuentemente la distribución del flujo. Debe ser mencionado que 2GCHAS tiene la capacidad de capturar los efectos de las maniobras y reflejarlas en la geometría del vórtice de estela, pero no está claro en la literatura disponible cómo se logra esto.

Con respecto a los cálculos de punto de equilibrio, estos códigos permiten calcularlos para vuelo libre y en túnel de viento en estado estable. CAMRAD es el único código del que se tiene reportado que cuenta con la capacidad de calcular las condiciones de equilibrio para helicópteros durante el estado de maniobra, por ejemplo viraje coordinado y vuelo en ascenso y descenso. Existen algunas diferencias en los procedimientos utilizados para calcular las condiciones de equilibrio. EL 2GCHAS utiliza un procedimiento de evaluación periódica que compara sus valores con los criterios de estabilidad. UMARC utiliza un ajuste algebraico

donde

el

ajuste

de

las

condiciones

de

equilibrio

cumple

satisfactoriamente el conjunto de ecuaciones. CAMRAD posee la capacidad de utilizar ambos tipos de procedimientos de ajuste para calcular las condiciones de equilibrio.

Todos los códigos comprensivos tienen la capacidad de obtener un conjunto de ecuaciones lineales a partir de ecuaciones no lineales que surgen de los modelos matemáticos. La obtención de un modelo linealizado es el argumento único para contar con una posición de equilibrio.

Para los casos donde las ecuaciones de movimiento son formuladas en un marco de referencia rotacional, los resultados de los modelos lineales tienen coeficientes periódicos y requieren del uso de técnicas analíticas que puedan manipular coeficientes periódicos tal como la teoría de Floquet. Estos códigos para modelos lineales con coeficientes constantes permiten también ser calculados en marcos de referencia no rotacional utilizando transformaciones de coordenadas multipala.

8

CAPÍTULO 1 Estado del Arte

Ya que cada uno de los códigos permite la obtención de modelos linealizados en la condición de equilibrio, se pueden determinar históricos en respuesta a entradas de piloto usando el modelo lineal. Con la excepción del UMARC, los códigos comprensivos permiten el cálculo de respuestas de vuelo libre a entradas arbitrarias del piloto, empleando un modelo matemático completamente no lineal. Los históricos de las respuestas de entrada del piloto son determinados por integración numérica de las ecuaciones de movimiento. Solo FLIGHT LAB puede calcular respuestas de vuelo libre en tiempo real y esto es ejecutado a través de uso de procesos paralelos.

La mayoría de las validaciones publicadas son hechas con códigos comprensivos usados en instituciones gubernamentales (2GCHAS), educativas (UMARC) e instituciones de investigación y aquellas disponibles comercialmente (CAMRAD, FLIGHTLAB). Es menos frecuente encontrar en la literatura, publicaciones de códigos que son desarrollados en las compañías para su propio uso, tal como COPTER desarrollado para Bell y TECH-01 desarrollado para Boeing, aunque estos códigos comprensivos contienen mucho de los ingredientes requeridos para dinámica de vuelo, el numero actual de estudios y publicaciones difundidas de la simulación de la dinámica de vuelo específica es limitada.

Finalmente, a algunos de los códigos les han sido añadidas algunas rutinas de teoría aeroelástica, siendo la aeroelasticidad el estudio de las características dinámicas del sistema cuerpo/rotor del helicóptero que considera la fusión entre la aerodinámica y contribuciones estructurales e inerciales. Ha habido una actividad en el campo de la aeroelasticidad en los helicópteros, especialmente con el advenimiento de sistemas de rotores avanzados los cuales carecen de bisagras y cojinetes. Algunas de las revisiones de modelos comprensivos con características aeromecánicas relacionadas con rotores de helicópteros sin bisagras se incluye en el estudio de Johnson, Ormiston, Friedmann y Chopra.

9

CAPÍTULO 2 Fundamentos

Capítulo 2 Fundamentos La teoría del helicóptero está asociada con la dinámica del rotor y esta a su vez con su aerodinámica. El complejo campo de flujo que se genera alrededor del rotor es el causante principal de todos los problemas asociados a la dinámica del helicóptero. El flujo a través del helicóptero es particularmente complicado por varias razones. Primero, a diferencia del caso del flujo sobre un ala fija la cual puede ser analizada a menudo con aerodinámica lineal, el flujo a través de un ala rotatoria nunca se puede considerar como un caso de aerodinámica lineal. De este planteamiento resulta un gran problema, comenzando desde el modelado hasta las simulaciones numéricas, necesariamente de carácter iterativo y observaciones experimentales de fenómenos altamente no lineales, los cuales son sumamente difíciles de interpretar por su complejidad. En segundo lugar, desde una perspectiva de modelado y experimental, es difícil el estudio del flujo del fluido en una situación donde algunos de los componentes se desplazan a altas velocidades mientras que otros permanecen fijos, como similarmente ocurre en el área de turbomaquinaria. Por esta razón muchos experimentos y esfuerzos de modelado están enfocados en el aislamiento de la estela de la pala y del rotor. Recientemente el efecto del fuselaje y del rotor de cola ha sido incorporado a estos esfuerzos de modelado. De hecho el trabajo del aerodinamicista del helicóptero se asemeja a analizar la envolvente de vuelo completa de una aeronave de ala fija que va desde flujo transónico hasta el desplome por baja velocidad en una sola revolución del rotor. Finalmente, la

11

CAPÍTULO 2 Fundamentos

experimentación de los efectos en el helicóptero son extremadamente caros, esto implica un esfuerzo significativo en el modelado, el cual esta limitado en sí mismo por el estado tecnológico actual de la arquitectura de las computadoras.

2.1. LA DINÁMICA DE VUELO El vuelo de una aeronave es descrito por los principios de la mecánica clásica. En la mecánica se trata el movimiento de los objetos que poseen una propiedad escalar inercial llamada masa. Los objetos pueden ser modelados como partículas individuales (también llamados masas puntuales) o ensambles de partículas llamados cuerpos. Los movimientos traslacionales de las masas puntuales y cuerpos son de interés. Tales objetos ocupan posiciones en el espacio y pueden tener tres componentes lineales de velocidad relativas a algún marco de referencia.

El producto de la masa de un objeto y su velocidad es llamado momento traslacional, que es también un vector tridimensional. Las fuerzas pueden actuar sobre un objeto y cambiar su momento traslacional, el cual de otra manera permanecería constante relativo a un marco de referencia inercial.

A diferencia de las masas puntuales, los cuerpos tienen una forma tridimensional y volumen. La posición de un cuerpo se define por las coordenadas de un punto de referencia particular sobre o en el cuerpo, tal como su centro de masa (su punto de balance). La velocidad del cuerpo se refiere a la velocidad de ese punto de referencia. La orientación angular y el movimiento rotacional de un cuerpo son parámetros importantes de su estado físico. El momento angular, equivalente rotacional del momento traslacional, permanece sin cambios a menos que un par torsional (una fuerza aplicada a una cierta distancia del centro de masa y perpendicular a dicho radio de acción) actúe sobre el cuerpo. Un cuerpo puede ser caracterizado por seis propiedades inerciales llamadas momentos y productos de inercia; el primero refleja

12

CAPÍTULO 2 Fundamentos

la relación directa entre la taza angular y el momento alrededor de un eje rotacional, mientras que el segundo establece los efectos de acoplamiento entre ejes.

La mecánica es dividida en cinemática, estática, dinámica y control. La cinemática es la descripción general del movimiento de los objetos sin considerar las fuerzas o pares que puedan inducir cambios, de esta forma, se consideran la geometría y la relación entre posición y velocidad y no los medios con los que se realizan los cambios. La estática está enfocada al balance de fuerzas y momentos y efectos inerciales para producir equilibrio. Una aeronave puede alcanzar el equilibrio estático cuando se esta moviendo, siempre y cuando su momento angular y lineal permanezcan sin cambios; para una masa constante y características rotacionales inerciales, esto implica un vuelo sin aceleración. La dinámica estudia el vuelo con aceleración, cuando el momentum cambia con el tiempo. El problema mas usual de la dinámica concierne a la variación continua del movimiento en respuesta a la variedad de condiciones, como las condiciones iniciales de

no equilibrio, entradas de

perturbación o fuerzas y pares torsionales comandadas. Nos referimos a las posiciones lineales y angulares y cambios de la aeronave como su estado dinámico; las correspondientes doce cantidades son ordenadas en lo que se

conoce

como

vector

de

estado

que

son

cantidades

de

las

variables

independientes. Los movimientos que ocurren en el plano vertical son llamados movimientos longitudinales mientras que aquellos que ocurren fuera del plano son llamados

movimientos

laterales-direccionales.

Las

variables

del

movimiento

longitudinal relacionadas con los ejes de cuerpo, son velocidad axial, velocidad normal, relación de cabeceo, y sus integrales de ejes inerciales: alcance, altitud y ángulo de cabeceo. Las variables laterales-direccionales son velocidad lateral, relación de alabeo, relación de guiñada y sus integrales de ejes inerciales, alcance, ángulo de cabeceo, y ángulo de guiñada. La estabilidad es una importante característica dinámica que describe la tendencia del estado de la aeronave a regresar a una condición de equilibrio o a divergir en respuesta a entradas o condiciones iniciales. Control es el área crítica de la mecánica que desarrolla

13

CAPÍTULO 2 Fundamentos

estrategias y sistemas para alcanzar los objetivos y asegurar la estabilidad, una vez dada la misión de una aeronave, como perturbaciones, incertidumbres paramétricas y tareas de pilotaje. La estabilidad natural del avión puede aumentarse con el control de retroalimentación.

2.2. EL ROTOR PRINCIPAL El rotor principal es el sistema encargado de generar la sustentación en el helicóptero. Este, además de generar las sustentación debe asegurar también la tracción de la aeronave. La situación ideal para un helicóptero es que el levantamiento se mantenga constante a través del ciclo de rotación del rotor. Sin embargo, dado que las palas del rotor giran en una sola dirección, en vuelo hacia adelante se presenta una fuerza y un momento desequilibrante. Esto es debido a una disimetría de velocidades en la pala que avanza y en la pala que retrocede pues a la velocidad tangencial (u) de cada una de las palas hay que sumar vectorialmente la velocidad de desplazamiento de la aeronave (v). El levantamiento de cada pala es proporcional a la velocidad de desplazamiento de ésta elevada al cuadrado, por tanto la pala que avanza generaría mayor levantamiento que la que retrocede.

u-v

Zona de inversión de flujo

Mayor sustentación de la pala que avanza Velocidad de desplazamiento del helicóptero

Perfil de velocidad relativa de la pala que avanza

Fig. 2.1.

Asimetría de flujo y fuerzas de sustentación en una pala

14

CAPÍTULO 2 Fundamentos

Sin un mecanismo que compense el momento generado por esta disimetría, el helicóptero tendería a girar sobre su eje de traslación, es decir realizaría un movimiento de alabeo. Para equilibrar los momentos y las fuerzas, el rotor necesita ser ajustado; esto es, el ángulo de ataque de la pala que avanza y el de la que retrocede deben ser ajustadas periódicamente durante el ciclo de rotación de cada pala. A esto se le conoce como paso cíclico y consiste en dar un ángulo de ataque pequeño pero suficiente a la pala que avanza y uno mayor en la pala que retrocede para alcanzar el mismo levantamiento. El paso colectivo de las palas es aquel en el cual el ángulo de ataque de cada una de ellas se incrementa simultáneamente para obtener un mayor levantamiento; por ejemplo de un incremento en el paso colectivo resulta un ascenso. En vuelo estacionario, teóricamente, no se requeriría del ajuste así como tampoco del aleteo para el balance de fuerzas, sin embargo las no uniformidades del flujo así como la presencia del fuselaje los hacen necesarios. Adicionalmente, las palas del rotor presentan un torcimiento así como un flechado, es decir que la geometría local del ángulo de paso varía a lo largo de la envergadura así como su cuerda. [2.1].

Para proporcionar el ajuste así como evitar los altos esfuerzos aeroelásticos, los rotores de los helicópteros a menudo están articulados en sentido que las palas pueden “pivotar” hacia arriba y abajo fuera del plano de rotación, este mismo mecanismo sirve para satisfacer los requerimientos de cabeceo y lograr de esta manera el desplazamiento de la aeronave; a este mecanismo se le conoce como articulación de aleteo o batimiento. Este movimiento de aleteo engendra otro problema que hace que las palas sean solicitadas por momentos de flexión longitudinales sobre el plano de rotación. Para disminuir los esfuerzos provocados por este movimiento, los rotores de los helicópteros presentan otra articulación, conocida como de arrastre. Esta permite el movimiento de la pala sobre el plano del disco de rotor. Si un rotor presenta las dos articulaciones además de la de paso se dice que el rotor es completamente articulado. Las palas del rotor tienen un alargamiento (relación envergadura – cuerda) muy grande y esto provoca que los esfuerzos se transmitan al núcleo si a las palas no se

15

CAPÍTULO 2 Fundamentos

les permite aletear. Sin embargo, como las palas son aeroelásticas, los esfuerzos en el núcleo puedan ser reducidos al mínimo y ambos tipos de articulaciones eliminados. En estos casos, se dice que el rotor es no articulado.

Ω

Articulación de arrastre Articulación de aleteo

Mando de cambio de ángulo de paso Eje de cambio de ángulo de paso

Fig. 2.2.

Rotor Articulado

La pala al encontrarse girando describe entonces un movimiento periódico, el cual se puede modelar mediante una serie de Fourier. El aleteo o batimiento sigue una trayectoria descrita mediante:

β = β 0 + β1c cosψ + β 1s senψ + β 2c cos 2ψ + β 2s sen 2ψ + ...

--------------- 2.1

El movimiento de arrastre tiene la forma

δ = δ 0 + δ 1c cosψ + δ 1s senψ + δ 2c cos 2ψ + δ 2s sen 2ψ + ...

--------------- 2.2

El movimiento de cambio de incidencia de la pala tiene una forma

θ = θ 0 + θ1c cosψ + θ1s senψ + θ 2 c cos 2ψ + θ 2s sen 2ψ + ...

16

--------------- 2.3

CAPÍTULO 2 Fundamentos

Las primeras armónicas del movimiento de las palas (coeficientes con subíndices 0, 1c, 1s) son los mas representativos en el desempeño y control del helicóptero. De esta manera, el ángulo de conicidad es β0; β1c y β1s son los ángulos de cabeceo y alabeo del plano de rotación del rotor respectivamente. θ0 colectivo; θ1c

es el ángulo de paso

y θ1s son los ángulos de paso cíclico longitudinal y lateral

respectivamente.

Como se ha mencionado, al tener una pala que “vuela” a mayor velocidad con respecto a la otra, el flujo en la punta de la pala que avanza es generalmente compresible, mientras que de manera general, el flujo de las palas del rotor del helicóptero es substancialmente incompresible. De hecho el flujo puede ser transónico o localmente supersónico en la pala que avanza cerca de la punta lo que provoca ondas de choque. En la pala que retrocede, por los requerimientos de ajuste, el ángulo de ataque es grande y el flujo puede detenerse por los efectos viscosos, hecho que ocasiona un desplome de manera local en alguna sección de la pala. Por otra parte como las palas están girando, los vórtices generados por estas, puede colisionar con la pala que viene detrás, este fenómeno es conocido como interacción de vórtice (BVI) y es la mayor fuente de producción de ruido en el helicóptero. [2.2].

Los vórtices de las palas interactúan con los otros componentes del helicóptero, las interacciones mas importantes son del rotor principal con el fuselaje y el rotor principal con el rotor de cola. Este vortice al encontrase girando forma una estela de fluido altamente turbulenta. Generalmente, la estela del helicóptero consiste en una superficie de vorticidad que se desarrolla del eje de rotación hacia fuera y abajo así como de un vórtice helicoidal en la punta de la pala.

17

CAPÍTULO 2 Fundamentos

La superficie de vorticidad y el vortice de la punta se confinan en regiones muy delgadas las cuales están rodeadas sustancialmente por flujo irrotacional. Esto hace que los experimentos así como los cálculos se vuelvan extremadamente difíciles debido al gradiente de velocidad cerca de la superficie de vorticidad, de los vórtices de punta y del fuselaje. Obsérvese en la figura 2.3 que el sentido de la circulación de la superficie de vorticidad es opuesta al vórtice de la punta, esto provocará una interacción inestable entre las dos. Hay un vórtice en la raíz de la pala, la cual emana del borde de la pala del rotor. Sin embargo por la pequeña vorticidad que genera -energéticamente hablando- usualmente se desprecia en el diseño del rotor.

Superficie de Vorticidad Vorticidad de punta

Fig. 2.3.

Vorticidad en las inmediaciones de un rotor (de Gray, 1956)

18

CAPÍTULO 2 Fundamentos

2.3. EL ROTOR DE COLA Las aeronaves de ala rotativa al presentar un sistema de sustentación giratorio que interactúa con el aire, por la tercera ley de Newton, sufrirá un par torsional reactivo que se manifiesta sobre el fuselaje de la aeronave haciéndolo girar con la misma intensidad pero en sentido opuesto. Con el propósito de hacer controlable al aparato, los diseñadores han ideado diversas formas de anular este par reactivo, existiendo diferentes conceptos de diseño. Entre los más populares se encuentra el conocido como rotor de cola que consiste en posicionar una hélice en la punta de una viga que provoque un par torsional que anule el par reactivo generado por el rotor principal, a este sistema se le conoce como rotor de cola.

Fig. 2.4.

Rotor de cola convencional

19

CAPÍTULO 2 Fundamentos

2.4. EL FUSELAJE

El fuselaje es el subensamble que integra diferentes elementos y subensambles que componen al helicóptero. Puede estar carenado o no, es decir cubierto o no por un cuerpo currentilineo que minimice los efectos de resistencia al avance. Al encontrarse en vuelo en traslación, es la superficie de placa plana de la vista frontal la que interesa para el análisis de requerimientos de potencia, ya que es esta la que opone resistencia a desplazarse. En vuelo estacionario esta resistencia al avance vale cero ya que no existe componente de velocidad longitudinal, sin embargo el rotor principal al encontrarse girando e inducir un flujo es interferido por el fuselaje que se encuentra debajo de él, y es ahora la superficie de placa plana en su vista de planta del fuselaje la que hay que considerar. Este flujo entonces, al ser interferido por el fuselaje, genera una componente de fuerza vertical que se añade al peso. Este suplemento de “peso” varia en función de la forma en planta del fuselaje siendo alto, por ejemplo, para aeronaves que tiene soportes subalares para armamento, tanques de combustible externos o una forma muy robusta debido a la misión que desempeñan. Los valores de peso que añade esta resistencia vertical al vehículo, varían entre un 2 a 5% del peso de la aeronave [2.3]. Más allá de los 100 Km/hr la estela de flujo dejada por el rotor principal comienza a tener efectos despreciables sobre el fuselaje [2.3]. Sin embargo en la transición de vuelo estacionario a vuelo de traslación existe un instante donde la estructura de la estela dejada por el rotor afecta todas las superficies de la aeronave tales como el empenaje horizontal, vertical así como el rotor de cola. Al momento, la forma exacta de la estela no se ha podido determinar con precisión ni su influencia sobre los mencionados elementos por ello es deseable de momento un modelo matemático simple que describa el fenómeno. [2.4].

20

CAPÍTULO 2 Fundamentos

2.5. EL EMPENAJE HORIZONTAL El empenaje horizontal es la superficie que ayuda a mantener en equilibrio longitudinal y lateral a la aeronave. La necesidad de estas superficies proviene de la misma razón que en los aeroplanos: un fuselaje perfilado es aerodinámicamente inestable en cabeceo y en guiñada, añadiéndole el ala o el rotor, lo empeora aún más. Los primeros en reconocer que el helicóptero y el aeroplano tenían similares necesidades aerodinámicas fueron los ingenieros de NACA (ahora NASA) quienes comenzaron instalando colas en los helicópteros como parte del primer programa de investigación para mejorar las cualidades de vuelo. Los diseñadores actuales, ya por costumbre, bosquejan el estabilizador horizontal en todo diseño preliminar. [2.5]

2.6. EL EMPENAJE VERTICAL La necesidad de un estabilizador vertical es menos clara ya que el rotor de cola suele ser suficiente para dar estabilidad al fuselaje en guiñada. Por esta razón, muchos diseños del estabilizador vertical son simplemente soportes estructurales del rotor de cola con formas currentilíneas con el propósito de disminuir la resistencia al avance. [2.6]

21

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

Capítulo 3 Ecuaciones de movimiento

El vehículo puede ser visto como un arreglo de subsistemas interactuando entre sí. Estos subsistemas, para efecto de este trabajo, serán divididos de la siguiente manera: ●

rotor principal

●

rotor de cola

●

fuselaje

●

planta de potencia

●

sistema de control de vuelo

●

empenaje vertical y

●

empenaje horizontal

Las ecuaciones serán analizadas por subsistema y posteriormente ensambladas. El origen del sistema de ejes de referencia ortogonales sobre el que serán ensambladas es el centro de gravedad de la aeronave, el cual se considerará que es fijo. Se asumirá que la aeronave se comporta como un cuerpo rígido y que presenta los seis grados de libertad. Así mismo, se considerarán que el rotor principal presenta tres grados de libertad, el ángulo de aleteo longitudinal, el lateral y la conicidad. Como existen seis grados de libertad, la aeronave comprende las tres componentes de velocidad traslacional u, v, w; las tres componentes de velocidad angular p, q, r y los ángulos de Euler φ, θ, ϕ . Las velocidades son referidas al mismo sistema de ejes

23

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

establecido, que en lo sucesivo se le denominará Sistema Cuerpo. Es necesario así mismo que la aeronave sea referida en el espacio tridimensional, para ello se establece un sistema con origen en la tierra, el cual también es ortogonal, y que se le denominará en lo sucesivo Sistema Tierra.

3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA DEL HELICÓPTERO

Las fuerzas tanto de cuerpo como de superficie así como los momentos que genera el helicóptero tendrán que ser analizadas desde diferentes sistemas de referencia. Entendiendo como sistema de referencia, aquel sistema coordenado que presenta propiedades de simetría e invarianza. Los sistemas que interesarán a lo largo del curso de este trabajo, son únicamente sistemas cartesianos ortogonales. En un sistema de coordenadas cartesiano (X, Y, Z); i, j, k, forman una base de vectores unitarios alojados a lo largo de

los ejes ortogonales X, Y, Z.,

respectivamente. Si se emplea la notación iA , jA , kA por ejemplo, para alguna posición inicial de la aeronave, cualquier giro alrededor de alguno de los ejes X, Y ó Z respectivamente se puede obtener mediante una matriz de rotación. Una rotación por un ángulo ψ alrededor del eje Z transforma a los vectores de la base iA , jA , kA en los vectores de la base iB , jB , kB y la matriz que realiza la transformación es:

 cosψ  R z =  - senψ  0 

senψ cosψ 0

0  0 1 

24

--------------- 3.1

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

Esto es:

 i B   cosψ     j B  =  - senψ k   0  B 

senψ cosψ 0

0  i A    0  j A  1  k A 

--------------- 3.2

Si en la nueva posición se realiza un giro por un ángulo θ alrededor del eje YB con la matriz de rotación

R YB

 cosθ  = 0  senθ 

0 - senθ   1 0  0 cosθ 

--------------- 3.3

0 - senθ  i B    1 0  j B  0 cosθ  k A 

--------------- 3.4

Ser tiene que:  i C   cosθ     jB  =  0  k   senθ  C 

De la misma manera, una rotación por un ángulo φ alrededor del nuevo eje XC, con la matriz de rotación:

R XC

0 0  1   =  0 cosφ senφ   0 - senφ cosφ   

--------------- 3.5

Da: 0 0  i C   iC  1       jD  =  0 cosφ senφ  j B   k   0 - senφ cosφ  k   C   D 

--------------- 3.6

Por lo tanto, las rotaciones sucesivas que permiten pasar de (iA , jA , kA) a la posición final (iA , jA , kA) está dada por el producto de las matrices RZ, RYB, RXC, esto es:

R = R XC R YB R Z

--------------- 3.7

De esta forma se tiene que:

25

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

 cosθ cosψ    senφ senθ cosψ  R =  - cosφ senψ   cosφ senθ cosψ   + senφ senψ 

cosθ senψ senφ senθ senψ + cosφ cosψ cosφ senθ senψ - senφ cosψ

- senθ

    senφ cosθ     cosφ cosθ  

--------------- 3.8

Este criterio será aplicado para la transformación de fuerzas y momentos generados en un sistema y su representación en los ejes cuerpo. 3.1.1.

Sistema Núcleo

Este sistema es referido al sistema donde se generan todos los fenómenos aerodinámicos del rotor. Estos fenómenos son cíclicos, es decir que se producen regularmente a cada revolución del rotor, por tanto es necesario definir la posición de la pala con relación a un origen. El ángulo ψ servirá para definir esta posición que se conoce como acimut. Así mismo, en vuelo de translación, la velocidad tangencial u de la pala se adiciona vectorialmente con la velocidad de translación v, como ya se explico en la sección 2.1 del capítulo anterior. La velocidad resultante vR presenta una componente tangencial uR que es la velocidad tangencial relativa de la pala respecto al aire. uR varía con la posición acimutal (ψ) de la pala, y esta variación conlleva a una disimetría de velocidades que a su vez genera una disimetría de fuerzas de levantamiento en cada pala a cada revolución. Esta disimetría de levantamiento hace que aparezca un fenómeno que se conoce como aleteo o batimiento que a su vez genera otro fenómeno de avance y retraso de la pala, haciendo aparecer los esfuerzos de Coriolis. Sin embargo, debido al fenómeno de presesión que presentan todos los cuerpos que se encuentran girando (giróscopos), el batimiento o aleteo, que debería ser máximo en el punto donde existe la mayor velocidad relativa de la pala, será máximo 90º después. El desplazamiento angular de cada pala producido por el fenómeno de aleteo será designado mediante el ángulo β que como ya fue descrito en la ec. 2.1 del capítulo 2 tiene una forma armónica en cada revolución, por supuesto de diferente valor para cada pala.

26

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

De esta manera se considerara el sistema núcleo, que se muestra en la figura 3.1.

YH

xB β

ψ

XH

yB zB

ZH

Fig. 3.1.

Sistema núcleo y sistema pala

Su origen es el centro del núcleo de rotación, de tal manera que los ejes xH, yH, zH se encuentren alineados como se muestran en la figura. La transformación del sistema pala al sistema núcleo requiere de dos transformaciones. La primera considera la rotación del eje con la velocidad angular Ω (ángulo ψ) y el segundo considera el ángulo de aleteo de la pala β. Por lo tanto para un rotor que gira de manera antihoraria, con ψ = 0 en la parte posterior del disco, es decir sobre el botalón de la aeronave, y β positivo hacia arriba, la transformación se puede escribir en términos de vectores unitarios en los dos sistemas mencionados.

 i H   − cosψ     jH  =  senψ k   0  H 

- senψ - cosψ 0

0  cosβ  0  0 1  − senβ

0 senβ  i B    1 0  jB  0 cosβ  k B 

27

--------------- 3.9

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

 i H   - cosψ cosβ     jH  =  senψ cosβ  k   − senβ  H 

3.1.2.

- senψ - cosψ 0

- cosψsenβ  i B    senψsenβ  jB  cosβ  k B 

--------------- 3.10

Sistema de referencia de un elemento de pala y sistema

viento

Las palas del rotor se doblan y tuercen bajo la influencia de cargas aerodinámicas inestables y no lineales, que son en sí una función del movimiento de las mismas y que perturban al sistema, en este evento se ven involucrados diversos fenómenos como el aleteo, el adelanto y retraso de las palas y el cambio de paso cíclico. En esta sección se definirá el sistema de referencia del movimiento cinemático de un elemento de pala, realizándose sus transformaciones al sistema de referencia núcleo. Las velocidades de traslación del sistema pala puede ser transportado al sistema núcleo mediante la matriz de transformación

 u H   cos γ s v  =  0  H   w H  − sin γ s

0 sin γ s   u A − qh R  1 0   v A + ph R  0 cos γ s   w A + qx CG 

--------------- 3.11

En las velocidades angulares de la cinemática de las palas interviene el viento relativo por lo que hay que considerarlo, así:

p w   cosψ w q  = − sinψ w  w 

sin ψ w  p  cosψ w  q 

--------------- 3.12

Donde

cosψ w =

ψ&w =

ux , u

sinψ w =

uy u

u&y u& cosψ w - x sinψ w u u

28

--------------- 3.13

--------------- 3.14

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

uH v w  , uy = H , uz = H  ΩR ΩR ΩR  1  u = u 2x + u 2y 2 

ux =

(

--------------- 3.15

)

De (3.4), las componentes de la aceleración angular del núcleo, en el sistema viento se pueden escribir

p&w   cosψ w q  = − sin ψ w  &w  

sin ψ w  p&+ ψ&w q  cosψ w  q&− ψ&w p 

--------------- 3.16

Usando la matriz de transformación de (3.2) y las relaciones mostradas arriba, las componentes aerodinámicas de velocidad (relativo al aire) en un punto a lo largo de la envergadura de la pala, rB, en el sistema de ejes de referencia pala, son aproximados por,

u B = − u Hw cosψ − w Hw β

v B = −u Hw senψ − rB (Ω − rw − βω x )

w B = −u Hw β cosψ + w Hw + rB (w y − β&)

3.1.3.

--------------- 3.17 --------------- 3.18 --------------- 3.19

Ejes cuerpo

Al aplicar los ángulos de rotación para pasar de un sistema a otro y así conocer el comportamiento de las componentes de los diferentes vectores, la referencia que la aeronave ocupa en el espacio es no única, ya que la secuencia de rotación no es permutable. La secuencia de rotación se tomará como la empleada por B. Etkin [3.2], la cual define una rotación en el eje z, haciendo aparecer el ángulo ψ que en los sucesivo se denominará ángulo de guiñada, posteriormente una rotación sobre el eje y haciendo aparecer un ángulo θ que se le denominará ángulo de cabeceo y finalmente una rotación sobre el eje x, haciendo aparecer un ángulo φ, ángulo de alabeo. Sea entonces la posición inicial de la aeronave la definida por el vector A,

29

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

que al realizar una rotación alrededor del eje z a un ángulo ψ y aplicar la matriz de transformación (ψ ) , el nuevo sistema sea B, es decir:

B = (ψ )A  i B   cosψ     jB  =  − senψ k   0  A 

senψ cosψ 0

0  i A    0  jA  1  k A 

--------------- 3.20

yB yA

ψ zA

xB xA

Fig. 3.2.

Rotación de guiñada ψ

De manera similar, se realizará la transformación del vector B, rotando el eje yB a un ángulo θ, y convirtiéndose el sistema en el vector C, es decir:

C = (θ ) B  i C   cosθ     jB  =  0  k   senθ  B 

0 - senθ  i B    1 0  j B  0 cosθ  k A 

30

--------------- 3.21

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

yB

θ xC

zB

zC

xB

Rotación de cabeceo θ

Fig. 3.3.

Finalmente, se realizará la transformación del vector C rotando el eje xC a un ángulo φ, y convirtiéndose el sistema en el vector D, es decir:

D = (φ ) C 0 iC  1     jC  =  0 cosφ  k   0 - senφ  C 

0  i C    senφ  jB  cosφ  k B 

yC yB

φ

xC

Fig. 3.4.

zC

zB

Rotación de alabeo φ

31

--------------- 3.22

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

De esta manera el vector D puede ser representado mediante la matriz producto de cada una de las matrices de transformación, esto es:

D = (φ )(θ )(ψ )A = ΓA

--------------- 3.23

donde:

 cosθ cosψ    senφ senθ cosψ  Γ =  - cosφ senψ   cosφ senθ cosψ   + senφ senψ 

cosθ senψ senφ senθ senψ + cosφ cosψ cosφ senθ senψ - senφ cosψ

- senθ     senφ cosθ     cosφ cosθ  

--------------- 3.24

3.2. ANÁLISIS DE FUERZAS Y MOMENTOS EN EL HELICÓPTERO En esta sección se presentan las fuerzas y momentos externos de la aeronave para cada uno los subensambles en los que se ha dividido.

Fuerza

X = XRP + XRC + XE + XV + XF

--------------- 3.25

Fuerza Lateral

Y = YRP + YRC + YE + YV + YF

--------------- 3.26

Fuerza Vertical

Z = ZRP + ZRC + ZE + ZV + ZF

--------------- 3.27

Momento de Alabeo

L = LRP + LRC + LE + LV + LF

--------------- 3.28

Momento de

M = MRP + MRC + ME + MV + MF

--------------- 3.29

N = NRP + NRC + NE + NV + NF

--------------- 3.30

Longitudinal

Cabeceo Momento de Guiñada Algunos de los términos de las ecuaciones anteriores aportan un valor muy pequeño por lo que serán despreciados.

32

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

La contribución del rotor de cola en el arrastre general de la aeronave es pequeño, así mismo de la fuerza vertical y del momento de cabeceo, por tanto: XRC = ZRC = MRC= 0

La fuerza que aporta el empenaje horizontal al arrastre así como la fuerza lateral son pequeños. De la misma manera sucede con los momentos de alabeo y guiñada, por tanto XE = YE = LE = NE = 0.

De la misma manera, el empenaje vertical aporta una fuerza pequeña al arrastre así como en la fuerza vertical. Así mismo sucede con el momento de cabeceo, por tanto: XV = ZV = MV = 0.

zRP

lV

lRP xRP MRP aRP

xv xRC

lRC x

xF

θ

MF

MRC

xE

aF

aE aRC

zRC

av

lF lH zf

Fig. 3.5.

zE

z Fuerzas y momentos actuando en la parte lateral de la aeronave

33

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

y

yRC yF lRP

aF x

ψ

NRP

NF yV

yRC

lV lRC

Fig. 3.6.

Fuerzas y momentos actuando en la parte superior de la aeronave

dRP dv yV yRC LRP yRP

aV aRC aRP yF

y

aF

dF

zF

Fig. 3.7.

φ

LF

z

Fuerzas y momentos actuando en la parte frontal de la aeronave

34

CAPÍTULO 3 Ecuaciones de movimiento

3.3. ECUACIONES GENERALES DE MOVIMIENTO TRASLACIONAL Y ROTACIONAL

Las ecuaciones que rigen el movimiento de traslación y de rotación del vehículo serán escritas de la manera tradicional [3.2]

u&= −(wq − vr ) +

X − g senθ m

--------------- 3.31

v&= −(ur − wp ) +

Y − g cos θ senφ m

--------------- 3.32

w & = −(vp − uq ) +

Z + g cos θ cos φ m

--------------- 3.33

I XX p&= (I yy − I zz )qr + I xz (r&+ pq ) + L

I yy q&= (I zz − I xx )rp + I xz (r 2 − p 2 ) + M I zz r&= (I xx − I yy )pq + I xz (p&− qr ) + N

--------------- 3.34 --------------- 3.35 --------------- 3.36

Donde u, v, w y p, q, r representan las velocidades de traslación y de rotación del vehículo respectivamente. ψ, θ, φ son los ángulos de Euler. Ixx, Iyy, Izz representan los momentos

de inercia alrededor de los ejes x, y , z respectivamente; Ixz el

producto de inercia alrededor de los ejes x y z. Los ángulos de Euler de las componentes gravitacionales de las ecuaciones 3. 23, 3.24, y 3.25 pueden ser determinadas de la ecuaciones diferenciales que las relacionan con las componentes de velocidades angulares del sistema cuerpo.

φ&= p + q senφ tan θ + r cos φ tan θ θ&= q cos φ − r senφ

--------------- 3.37 --------------- 3.38

ψ&= q senφ sec θ + r cos φ sec θ

35

--------------- 3.39

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

Capítulo 4 Modelación matemática Hay dos tipos generales del modelo de una aeronave, "EI modelo de fuerzas y momentos totales" y "El modelo de perturbaciones". Para el desarrollo de este trabajo habrán de considerarse ambos tipos. El modelo de perturbaciones tiene varias limitantes, principalmente para pequeñas perturbaciones en estado estable. La razón de estas limitantes es que las derivadas de estabilidad y control son funciones no lineales que deben calcularse continuamente como una función de la dinámica de la aeronave.

El desarrollo del modelo de fuerzas y momentos totales se basa en las Leyes de Newton teniendo un sistema de seis ecuaciones de movimiento que describen el movimiento de una aeronave rígida con seis grados de libertad. Esto se expresa como tres ecuaciones para el movimiento de traslación y tres de rotación ya definidas en el capítulo anterior.

El modelo que aquí se presenta esta basado en el modelo matemático propuesto por Patfield [4.1] teniendo una variación en cuanto a la modelación de la planta de potencia.

37

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

LH = − NH =

b K β β1s 2

L FN = h FN YFN

L R = L H + h R YR

 2C 1 2 ρ (ΩR) πR 3 sa 0  Q 2  a0s

  IR  + 2    bI β

1  Ω' γ 

MR = MH − hR X R + x cg Z R

MFN = 0

NR = NH − x cg YR

NFN = − λFN + x cg YFN

(

L T = h T YT

b MH = − K β β1c 2

MT = 0

N

(

= − λT + x

T

cg

)Y

X FN = Z FN = 0 YFN =

T

1 2 2 ρ (ΩR ) VFN SFNC YFN (β FN ) 2

XT = ZT = 0 XH =

 2C 1 2 ρπR 2 (ΩR ) a 0 s X 2  a0s

  

YH =

 2C 1 2 ρπR 2 (ΩR ) a 0 s Y 2  a0 s

  

ZH =

 2C 1 2 ρπR 2 (ΩR ) a 0 s Z 2  a0 s

  

L = L R + L T + L TP + L FN + L F

X u&= − (wq − vr ) − g sin θ m

1 2 ρ (ΩR ) Sp λF VF2CMF (α F ) 2 1 2 NF = ρ (ΩR ) S s λF VF2 CNF (β F ) 2

MF = 0 − sin γ s   X H    1 0   YH  0 cos γ s   Z H 

 C 1 ρ (Ω T R T )2 a 0T s T πR T 2  TT 2  a 0T s T

 FT  

N = NR + N T + N TP + NFN + NF

LF = 0  X R  cos γ s     YR  =  0  Z R   sin γ s

YT =

M = MR + M T + MTP + MFN + MF

XF =

1 2 ρ (ΩR ) Sp VF2 C XF (α F ) 2

YF =

v 1 2 ρ (ΩR ) S s VF2 C YS  A 2  VF

  

ZF =

1 2 ρ (ΩR ) Sp VF2 C ZF (α F ) 2

Y v&= −(ur − wp ) + g cos θ sinθ m & = −(vp − uq) Z + g cos θ cos θ w m

(

)

I xx p&= I yy −I zz qr + I xz (r&+ pq) + L

(

)

Iyy q&= (Izz −I xx )rp + I xz r 2 + p 2 + M

Izzr&= (Izz−Ixx )pq + Ixz (p&− qr ) + N

L TP = NTP = 0 MTP = (λ T + x cg )Z TP 1 ρ (ΩR )2 VT2S TP C ZTP (α TP ) 2 = YTP = 0

Z TP =

X TP

X = X R + X T + X TP + X FN + X F Y = YR + YT + YTP + YFN + YF

Z = Z R + Z T + Z TP + Z FN + Z F

Fig. 4.1.

Elememtos del modelo matemático

38

)

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

En este diagrama muy generalizado, se presentan las diferentes fuerzas y momentos que conforman el modelo actuando en cada uno de los subensambles en que ha sido dividida la aeronave. No se representan en el esquema los efectos que generan los movimientos de aleteo, avance y retroceso de las palas del rotor principal, que contribuyen a aceleraciones de tipo armónico, sin embargo si fueron tomadas en cuenta en el modelo general.

El sistema de control, consistente en un arreglo de varillas y palancas no son representados tampoco en la figura pero deben también ser modelados e incluidos en el modelo general. Estos mandos permiten al piloto interactuar físicamente con la dinámica de la aeronave para provocar una alteración en ella, es decir pilotear y controlar el helicóptero. Para ensamblar los diferentes submodelos que surgen de cada uno de los subensambles, se deben realizar las transformaciones pertinentes, las cuales son representadas por las matrices de rotación, ya descritas en el capítulo 3, debido a que cada subensamble tiene un marco de referencia particular.

39

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

4.1.

ECUACIONES QUE RIGEN LA DINAMICA DE VUELO

El modelo tiene la forma de una ecuación diferencial no lineal escrita en forma de un vector de estado de primer orden de la forma

dx = f (x , u, t ) dt

------------- 4.1

Las ecuaciones que rigen la dinámica de vuelo de la aeronave se reducen a la solución de las siguientes ecuaciones en concordancia con [4.1]:

Punto de Equilibrio Estabilidad

Respuesta

f (x e , u e ) = 0

------------- 4.2

  ∂f   det λI −    = 0  ∂x  X e   x ( t ) = x (0) + ∫ f [x (τ ), u (τ ), τ ]dτ

------------- 4.3

------------- 4.4

donde: x(t) es el vector columna de variables de estado u(t) es el vector de control de variables f es una función no lineal del movimiento de la aeronave, entradas de control y perturbaciones externas.

La solución de la ecuación (4.2), solución de equilibrio, es representada por el cero de una función algebraica no lineal, donde hay que introducir los valores correctos de control ue para mantener un estado definido xe. De esta manera, un vuelo en condiciones de punto de equilibrio es aquel en el cual la tasa de cambio del vector de estado de la aeronave es cero y la resultante de fuerzas y momentos aplicados en el centro de masa de la aeronave también son cero.

La solución del problema de estabilidad es determinada mediante la linealización de las ecuaciones concernientes a una condición de punto de equilibrio particular y

40

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

hallar los valores propios de la matriz función de la aeronave, escrita como un jacobiano de la función respecto al sistema de estado (variables independientes). Al jacobiano que se forma se le conoce como función de derivadas de estabilidad Después de linealizar la ecuación (4.1), resulta un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes que tiene soluciones de la forma eλt. La estabilidad es determinada por los signos de las partes reales de los valores propios de λ [4.2].

La solución al problema de respuesta está dada por la ecuación (4.4) y es determinada por la integral en el tiempo de la función f. Esta permite conocer la evolución del estado de la aeronave. Las fuerzas y momentos tienen que ser recalculados posterior a una perturbación. Las ecuaciones no lineales resultantes generalmente tienen que ser resueltas numéricamente.

4.2. ELEMENTOS DEL MODELADO DEL ROTOR PRINCIPAL En esta sección se analizan los fenómenos que afectan la dinámica del rotor principal. Para el desarrollo de éste análisis se dividirá en tres aspectos que influyen a éste. Primeramente se analiza el aspecto aerodinámico cuantificando de manera general los efectos que el aire produce sobre el rotor. Para la obtención de los modelos se recurre al empleo de la teoría de cantidad de movimiento lineal. A continuación se determinan las fuerzas aerodinámicas sobre el rotor, ello a través de la teoría del elemento de pala. Una vez finalizada la aerodinámica se prosigue con el aspecto aeroelástico de las palas y su efecto que tiene sobre toda la aeronave, tratado en las secciones 4.2.3 y 4.2.4.

4.2.1

Cantidad de movimiento lineal y corriente de flujo inducido

Se asume un campo de flujo normal inducido al rotor que tiene una distribución lineal y que presenta una variación longitudinal a lo largo del disco actuador [2].

41

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

La distribución de la corriente en el infinito después se escribe mediante:

Vi r = λi = λ0 + B (λ1cw cosψ + λ1sw sinψ ) ΩR R

------------- 4.5

De la teoría antes mencionada se determina el coeficiente de deflexión de flujo

λ0 =

(

CT

2 µ 2 + (µ z − λ0 )

2

)

1

------------- 4.6 2

λ0 es la corriente del flujo normalizada que ocurre en el centro del rotor y únicamente es aplicable cuando el rotor del helicóptero genera tracción o se encuentra en autorrotación o modo de molino de viento, no para condiciones intermedias tales como estado de vórtice (Ring Votex State). El término CT que aparece en la Ec. 4.6 es determinado con el modelo del elemento de pala.

Con el propósito de calcular la corriente de flujo inducido de manera uniforme, se recurre al método de Newton-Raphson [4.3], lo cual se hace de manera iterativa.

g 0 (λ0 ) se puede definir como sigue:  C g 0 = λ0 −  T1  2Λ 2

   

------------- 4.7

Donde

Λ = µ 2 + (µ z − λ 0 ) a σ CT = 0 2

2

------------- 4.8

 1 µ2  µ2   p w   µ z − λ0  1 2 θ 0  +   + θ + + + 1 + µ θ     1 sw tw  3 2  2   2 2 4       

(

42

)

------------- 4.9

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

El método de Newton puede expresarse como:

λ0 j+1 = λ0 j + h j (λ0 j )

------------- 4.10

Donde:

  g0  h j = −  (dg 0 dλ0 )  λ = λ0 j

------------- 4.11

Por lo tanto

 2λ Λ 12 − C Λ  T  0j  hj = − 3 a s 2Λ 2 +  0 Λ − C T (µ z − λ0 )  4 

43

------------- 4.12

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

4.2.2

Determinación de fuerzas y momentos en el rotor principal

mediante análisis por elemento de pala

En esta sección se determinan las fuerzas y momentos sobre el rotor provocado por fuerzas aerodinámicas generadas por el viento sobre las palas del helicóptero. Para ello se recurre al análisis del elemento de pala. Se considera un elemento diferencial de pala mdrB sobre el que se tienen las fuerzas fz y fy que son las componentes normal y tangencial de la fuerza aerodinámica, m es la distribución de masa. Las fuerzas producidas por cada una de las palas en el núcleo del rotor pueden ser escritas en términos de los efectos aerodinámicos e inerciales. El peso de la pala se despreciará debido a que es relativamente pequeño en comparación con las otras dos fuerzas. De la figura 4.2 y para b número de palas, las tres componentes de la fuerza se pueden escribir como:

(

)

X Hw = ∑ ∫ − (f z − ma zB )i β i cosψ i − (f y − ma yB )i sinψ i + ma xB cosψ i drB b R

i =1 0

(

)

YHw = ∑ ∫ (f z − ma zB )i β i sinψ i − (f y − ma yB )i cosψ i − ma xB sinψ i drB b R

i =1 0

------------- 4.13

------------- 4.14

b R

Z Hw = ∑ ∫ (f z − ma zB + ma xB β )i drB

------------- 4.15

i =1 0

YH

-ma

XB

β XH

ψ

fy - maYB

fz - maZB

ZH

Fig. 4.2.

Fuerzas aerodinámicas e inerciales en la pala

44

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

Las fuerzas aerodinámicas se pueden escribir en términos de las funciones del levantamiento y resistencia al avance, L(rB,ψ) y D(rB, ψ), y del ángulo de ataque de la pala φ referido a partir de la línea de cero grados de paso. Se asumirá que cos φ ∼1 y sen φ ∼ φ por tratarse de un ángulo pequeño. fZ

dL

Velocidad inducida Velocidad Tangencial

Fig. 4.3.

Resistencia al Avance (D)

Fuerzas aerodinámicas en una sección diferencial de la pala

De la figura se observa que fz y fy pueden expresarse mediante:

f z = −L cosφ − D sin φ ≅ −L − Dφ

------------- 4.16

f y = D cos φ − L sin φ ≅ D − Lφ

------------- 4.17

L siendo el levantamiento y D la resistencia la avance respectivamente, pueden expresarse mediante:

L(ψ , rB ) =

(

)

 U 1 ρ U T2 + U 2P ca 0 θ + P 2 UT 

D(ψ , rB ) =

(

)

  

1 ρ U T2 + U 2P cC D P 2

------------- 4.18

------------- 4.19

CDp tiene la forma de una parábola, según el modelo adoptado por Prandlt, tal que:

C D p = C D0 +

CL

2

------------- 4.20

π

45

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

Asumiendo que UT>>UP, se verifica que UT2+UP2 ≅ UT2. Normalizando las velocidades mediante U T = U T / ΩR y U P = U P / ΩR se tiene que, los coeficientes de fuerza para un rotor de b palas sean escritos como [4.1]:

 2C XW   a 0σ

 X HW 1 b  = = ∑ F (1) (ψ i )β i cosψ i + F (2 ) (ψ i )sinψ i b i =1  1 ρ (ΩR )2 πR 2σa 0 2

 2C YW   a 0σ

 YHW 1 b  = = ∑ − F (1) (ψ i )β i sinψ i + F (2 ) (ψ i ) cosψ i b i =1  1 ρ (ΩR )2 πR 2σa 0 2

 2C ZW   a 0σ

  2C Z HW 1 b  = = ∑ − F (1) (ψ i ) = − T b i =1  1 ρ (ΩR )2 πR 2σa  a 0σ 0 2

  

------------- 4.21

------------- 4.22

------------- 4.23

Donde:

[

]

F (1) (ψ i ) = ∫ U Tθ i + U P U T drB 1

0

2

  C Dp U T2 2 i F (ψ i ) = ∫  U P u U Tθ i + U p −  0  a0   (2 )

1

------------- 4.24

 dr  B 

------------- 4.25

la solidez (σ) del rotor está dado por:

σ=

bc πR

------------- 4.26

el radio normalizado queda representado por:

rB =

rB R

------------- 4.27

Las componentes de velocidad U T y U P se pueden expresar en la forma

U T = rB (1 + ω x β ) + µ sinψ

------------- 4.28

U P = (µ z − λ0 − µβ cosψ ) + rB (ω y − β ´−λ1 )

------------- 4.29

Donde µ representa la relación de avance longitudinal y axial, definidas mediante:

46

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

µ=

u Hw  u 2H + v 2H = ΩR  (Ωr )2

   

------------- 4.30

y

µz = ωX =

ωX Ω

β ´=

w Hw ΩR

------------- 4.31

ωY =

ωY

------------- 4.32

Ω

dβ dψ

------------- 4.33

El torcimiento de la pala, siendo lineal, puede incorporarse en el paso de la pala escribiéndolo en la forma:

θ = θ p + rBθ t

------------- 4.34

θP se compone de la contribución colectiva y cíclica. Las funciones F(1)(ψ) y F(2)(ψ) que resultan de sustituir las ecuaciones (4.28), (4.29), (4.5), (4.34) en las ecuaciones (4.24) y (4.25), introduciendo los ángulos azimutales de la pala, para b número de palas separadas uniformemente, representada por la ecuación:

ψ i +i = ψ i − i

2π b

------------- 4.35

y mediante la simplificación de que ω x β 2

βd =

57

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

Angulo de aleteo debido a paso cíclico

2 b ∑ β i cos jψ i b i =1

β jc =

------------- 4.82

Para cuatro palas, por ejemplo, la transformación puede ser escrita:

2 b ∑ β i sin jψ i b i =1

β ja =

------------- 4.83

βI = Lβ βM ~

------------- 4.84

~

Donde

β I = [β 1 , β 2 , β 3 , β 4 ]T

y

~

β M = [β 0 , β d , β 1c , β 1s ]T

------------- 4.85

~

1 − 1 cosψ 1 1 sinψ Lβ =  1 − 1 − cosψ  1 1 − sinψ

sinψ  − cosψ  − sinψ   cosψ 

------------- 4.86

Así que,

Lβ

−1

 1  −1 1 =  4 2 cosψ   2 sinψ

1

1

1

−1

2 sinψ

− 2 cosψ

− 2 cosψ

− 2 sinψ

 1  − 2 sinψ   2 cosψ  1

------------- 4.87

(

( ))

En la conformación de la matriz Lβ se utiliza la relación ψ i = ψ - (i - 1) π 2 . La ecuación (4.78) puede ser escrita en una matriz como:

β I'' + C I (ψ ) β I' + D I (ψ ) β I = h I (ψ ) ~

~

~

~

------------- 4.88

Mediante la transformación dada por (4.84) la ecuación de aleteo puede, por tanto, escribirse como

58

CAPÍTULO 4 Modelación matemática

β M'' + C M (ψ ) β M' + D M (ψ ) β M = h M (ψ ) ~

~

~

[ [L

DM = Lβ

''

β

−1

h M = Lβ h I ~

~

]

   ' + CIL β + DILβ    

C M = L−β1 2L' β + C I + L β −1

------------- 4.89

~

------------- 4.90

]

Las matrices dadas en (4.90) contienen términos periódicos (de bajas armónicas,