INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO FACULTAD DE CIENCIAS DECANATURA DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO DIFERENCIAL

CUADERNILLO DE TRABAJO ACADÉMICO EJE TEMÁTICO 1: FUNCIONES REALES

Realizado por

Sergio Alberto Alarcón Vasco María Cristina González Mazuelo

FUNCIONES REALES

Sergio Alberto Alarcón Vasco – Maria Cristina González Mazuelo

PRESENTACIÓN

El objetivo de este cuadernillo de trabajo es, además de estudiar los conceptos introductorios del cálculo, familiarizar al estudiante con el lenguaje propio de las ciencias. Es así, como la mayoría de las situaciones y problemas aquí presentados están dentro de este contexto. Esto hace que el eje temático de funciones reales sea fundamental, en el futuro, para un buen desarrollo en cursos posteriores de Ciencias Básicas por parte del estudiante. Por esta razón los conceptos básicos son presentados a partir de situaciones problema, con las cuales se pretende facilitar en el estudiante el aprendizaje de algunos de ellos.

COMPETENCIA

Identificar y utilizar adecuadamente las funciones, sus operaciones y propiedades básicas como modelos para resolver situaciones problema en distintos contextos.

INDICADORES DE LOGRO En una situación problema específica: Identifica la función a utilizar. Obtiene la expresión gráfica o analítica, a partir de datos conocidos. Resuelve la situación, a partir de la expresión gráfica o analítica. Determina, a partir de una expresión analítica o gráfica, el dominio y el rango de los diferentes tipos de funciones.

Representa una función trigonométrica de manera gráfica o analítica, identificando su periodo, amplitud y frecuencia.

2

FUNCIONES REALES

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RED DE CONCEPTOS PARA LA COMPETENCIA

3

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1. FUNCIONES SITUACIÓN INTRODUCTORIA El objetivo con esta situación es introducir, a partir de situaciones de la vida diaria, el concepto de función, y mostrar su significado dentro del contexto matemático. Situación 1: Clara comenzó a trabajar en una empresa la primera semana de febrero de este año. El salario base que recibe es de $450.000 mensuales. Sin embargo, acordó con las directivas de la empresa que, dependiendo de cual fuera su desempeño, su salario se incrementaría en $25.000 cada mes, a partir de marzo y durante los dos años que dura su contrato. 1. De acuerdo con esta información, complete la siguiente tabla: Mes Salario

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Como se puede observar, las dos componentes relacionadas (mes y salario) en el cuadro anterior van cambiando, es decir son variables. De esta forma, es posible asignárseles letras que representen a cada una de estas variables. Así, por ejemplo, la variable “mes” (variable relacionada con el tiempo) se puede representar por la letra “t”, y la variable “salario” por la letra “S”. Nótese además, que el salario recibido por Clara depende del mes considerado, esto es, Clara recibe un salario que va variando, dependiendo del mes que transcurra. De esta forma, el salario S depende del tiempo t. Al contrario de lo que ocurre con el salario, los meses siguen transcurriendo independientemente de que Clara reciba o no reciba salario. Es así, como t en el lenguaje matemático se le llama la variable independiente y S la variable dependiente, la cual suele escribirse S (t ) significando que “S depende de t” o que “S está en función de t” o que “S es una función de t”. Para graficar este tipo de situaciones en el plano cartesiano, la variable independiente suele ubicarse en el eje horizontal, eje de las abscisas o eje x; y la variable dependiente en el eje vertical, eje de las ordenadas o eje y. 2. Apoyado en la información anterior, ubique en el siguiente plano cartesiano los datos obtenidos para las variables mes (t) y salario ( S (t ) ), luego una los puntos obtenidos en dicho plano e indique cual es la forma que toma el gráfico resultante. Sugerencia: Para facilitar la asociación de las variables a puntos en el plano cartesiano, asígnele a los meses números enteros, considerando febrero (mes en que se inicia la situación) como 0; marzo, 1; y así sucesivamente.

4

FUNCIONES REALES

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El gráfico obtenido al unir los puntos en el plano cartesiano representa la función S (t ) (El salario S devengado por Clara en un tiempo t) y, por tratarse de una recta, es llamado función lineal. En general, una línea recta tiene asociada una expresión analítica (algebraica), de la forma y mx b o f ( x) mx b , donde m es llamada la pendiente de la recta y b el intercepto con el eje de ordenadas. Así, si P( x1 , y1 ) y Q( x2 , y2 ) son puntos de la recta, entonces la pendiente m, de la recta, puede hallarse de la forma:

m

y2 x2

y1 x1

3. De acuerdo a la información obtenida en la tabla y en el gráfico construido, halle la expresión analítica o modelo matemático que represente la situación. La importancia de un modelo matemático radica en que facilita la profundización en el análisis de la situación, permitiendo, inclusive, hacer predicciones. 4. Siguiendo con la idea anterior, y por medio de la expresión analítica que acaba de obtener, analice lo siguiente: - ¿Cuál es el significado en esta situación de la pendiente de la recta? - ¿Cuál será el sueldo de Clara cuando lleve en la empresa 32 meses, bajo las mismas condiciones planteadas inicialmente? 5. Si el dominio1 de la situación, representada por la función lineal, es 0 t 40 , entonces: - Indique cual es el rango. - Dentro del contexto de la situación, que significado tienen el dominio y el rango de la función.

1

Discuta con su profesor sobre el concepto del dominio y del rango de una función.

5

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN

Funciones 1.

Dadas las siguientes gráficas determine cuales de ellas son funciones y

y

y

o

1

x

x

1

y

x

y

y o o

x

o

x

x

o o

y

y

y

x

x

x

2. Dadas las siguientes expresiones determine cuales son funciones: g. e x 5y h. 5 x 2 y

a. x 2

y2 5 b. x 3 y 27 y 2 x c.

y

d. e. f.

y 2 5xy 9 y ln x 0 ySenx yCosx

i.

x 1

ye x

3 9

1

1

6

FUNCIONES REALES

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Dominio y rango 3. Para cada una de las siguientes graficas de funciones determine el dominio y el rango

f (x) f (x) 3 2

2

o

-2

x

2

1 o

-3

x

-3 -2

f (x)

f (x)

4

o 2 x x

-4

-4

f (x)

f (x) o

3

o

1

-5

4.

-1/2

. o

4

x

-1

2 1

x

Encontrar el dominio de f

a. f ( x)

2x 7

b. f ( x)

16 x 2 x 1 3 x 4x

c. f ( x)

x 4

d. f ( x) e. x

2

f. 4 x

y y2

x 2 4

5 0 7

FUNCIONES REALES

x 2 y y 2x 2 h. y 2 8x 4 1 i. x 2 y 15 xy 50 y 1 j. y 2 x 1

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k. x 2 y

g.

2

25 y 4 0 l. y 2 x 2 5x m. ( yx 2 9 y) 2 x 4

5. Encontrar el dominio y el rango de f : a. f ( x)

3x 2

b. f ( x)

4 x2

c. f ( x)

x 4

d. f ( x)

4 x2

Función Lineal

6. En cada numeral, halla la pendiente de la recta que tiene por inclinación los siguientes ángulos: 0 a. 30  b. 45  c. 90  d. 120  e. 150  f.

7. En cada numeral, halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a. P (0,0) y Q (3,5) b. P (0,5) y Q ( 1, 9) c. M ( 2, 13) y N ( 4, 7) 8. Para cada una de las pendientes dadas halla el ángulo de inclinación: a. m b. m c.

m

d. m

2 0

3 2 2

8

FUNCIONES REALES

1 2 0,999

e. m f.

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m

9. Si una rampa se eleva 50 centímetros por cada 2 metros sobre la horizontal, ¿Cuál de los siguientes puntos expresa su pendiente o grado? (Existen varias respuestas correctas) a. 0,25 b.

1 4

50cm.

c. 4 d. 60% e.

50 200

f.

25%

2m.

10. Diga si la pendiente de la recta dada es positiva, negativa, cero o indefinida:

y

O

y

x

y

x

O

x

O

a.

b.

c.

y

y

y

O

d.

x

x

O

e.

x

O

f.

9

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11. En cada numeral, halla la pendiente de la recta que cumple las siguientes condiciones: a. Es paralela a la recta que tiene como pendiente m b. Es paralela a la recta que tiene como pendiente m

3 4 3

c. Es paralela a la recta que pasa por los puntos P ( 4, 5) y Q (0,6) d. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m 4 e. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m 53 f. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m g. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m h. i. j. k.

2 7 9

Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m 1 Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos R (0, 2) y S ( 1, 4) Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos T (3,5) y U (2,5) Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos C ( 4,7) y D ( 4,11)

12. En cada uno de los siguientes numerales halle la ecuación de la recta que cumple las siguientes condiciones:

4 y pasa por el punto P ( 2,6) 2 Tiene pendiente m y pasa por el punto Q ( 1, 4) 3 2 y pasa por el origen Tiene pendiente m Pasa por el punto R ( 3,0) y es paralela al eje y Pasa por el punto A(0,5) y es paralela al eje x Pasa por el punto N ( 2,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos T (2, 5) y S (3,7) Pasa por el origen y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(1,5) y B ( 7, 9) Pasa por el punto T (1,3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos U (9,12) y V (9,18) Pasa por el punto A( 4,9) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es x 2y 4

a. Tiene pendiente m b. c. d. e. f. g. h. i.

13. En cada uno de las siguientes ecuaciones de recta, halle: La pendiente, intercepto con el eje y, intercepto con el eje x y gráfico de la recta. a. 3 x 2 y 12 b. 2 x y 5 c. y x 0 d. x 3y 2

e. f. g. h.

x 4y y 4 0 y 4 0 x 3 0 10

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14. El gráfico que se da a continuación representa el costo C, de un artículo dado x .

C (x ) Costo de los artículos 1000 80 0 60 0 40 20 0 0

x 1

2

3

5

4

Números de artículos

Resuelve de acuerdo con la información dada en el gráfico las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el costo de 2 artículos? b. ¿Cuál sería el costo de 15 artículos? c. De acuerdo con los datos dados en el gráfico, halla un modelo matemático (fórmula) que represente el costo del número de artículos. d. De acuerdo con el modelo matemático del numeral c., halla: C(4) (el costo de 4 artículos); C(7) (el costo de 7 artículos). e. ¿Cuál sería el costo de 25000 artículos? f. Interprete, en el modelo matemático del numeral c., el significado de la pendiente. 15. El gráfico siguiente representa los ingresos diarios (en miles de pesos), I(n), obtenidos en un cine local, en función del número de asistentes, n. I(n)

Ingresos diarios

225 180 135 90 45 n 10

20

30

40

50

60

Números de asistentes 11

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De acuerda con la anterior información, responde a las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el valor recaudado si a la función asisten 20 personas? b. ¿Cuántas personas deben asistir a la función para obtener unos ingresos de $225.000? c. Hallar un modelo matemático que represente la situación ( Es decir, exprese los ingresos como una función del número de personas que asisten a la función) Responder las preguntas d. a g. de acuerdo con el modelo matemático hallado en el numeral c d.

Si al cine la caben 100 personas, ¿Cuál es el valor recaudado en una función que reportó un cupo completo en sus asistentes? e. ¿Cuántas personas tendrían que asistir a la función para obtener unos ingresos de $382.000? f. ¿Cuál es el valor, por persona, de la entrada a una función? g. De acuerdo con la situación, determinar el dominio y el rango. 16. Un fabricante compra una maquinaria por valor de $2000000. Esta se deprecia linealmente, de manera que después de 10 años su valor comercial será $100000. De acuerdo con esta información responde las siguientes preguntas: a. b. c. d.

Expresar el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y dibujar la gráfica. Calcular el valor de la maquinaria después de 4 años. ¿Cuándo se depreciará totalmente esta maquinaria? ¿Es constante la forma como se deprecia anualmente la maquinaria? De ser así, ¿Cuánto se deprecia anualmente?

17. Desde el comienzo del año, el precio del pan integral en un supermercado local sube a una tasa constante de $2 por mes la unidad. El primero de noviembre, el precio por unidad había llegado a $800. De acuerdo con esta información responde lo siguiente: a. Expresar el precio del pan como función del tiempo b. Determinar el precio del pan al principio del año.

18. La temperatura medida en grados Farenheit es una función lineal de la temperatura medida en grados Celsius. Si se sabe que 0° Celsius son iguales a 32° Farenheit y que 100° Celsius son iguales a 212° Farenheit, a. b. c.

Escribir la ecuación de esta función lineal Emplear la función obtenida en el numeral a., para convertir 15° Celsius en grados Farenheit Convertir 68° Farenheit en grados Celsius

19 Un tanque contiene 50 litros de agua. A las 8:00 a.m. se abre una llave para llenarlo de tal forma que a la 1:00 p.m. hay en el tanque 1.250 litros de agua. Si se considera 12

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que la cantidad de agua que entra al tanque es constante y que la capacidad del tanque es de 2.000 litros, a. Representar gráficamente, en el plano cartesiano, la situación b. ¿Cuántos litros de agua entran al tanque cada hora? c. Hallar el modelo matemático que represente la situación A partir del modelo matemático del numeral c., responder lo siguiente: d. ¿A qué horas hay en el tanque 1.875 litros de agua? e. ¿Cuánta agua habrá en el tanque a las 11:30 a.m.? f. ¿Cuándo quedará lleno el tanque? 20. Una motocicleta se compró hace 5 años y desde entonces se deprecia anualmente en $750.000 hasta valer hoy en día $1.200.000. De acuerdo con esta información: a. Hallar el modelo matemático que representa la situación b. Representar la situación gráficamente, en el plano cartesiano A partir del modelo matemático del numeral b., responder lo siguiente: c. ¿Cuándo se depreciaría totalmente la motocicleta? d. ¿Cuál fue el valor de adquisición de la motocicleta?

21. Una práctica en un laboratorio de Física Mecánica consistió en colocar un carrito de cuerda sobre una pista recta, ponerlo en marcha con velocidad constante y medir luego la posición del carrito, con respecto al inicio de la pista, cada 10 segundos. A continuación se presenta un esquema de la actividad y los resultados obtenidos por un grupo de estudiante Dirección del movimiento Inicio de la pista t=0 0 cm.

9 cm.

t s(t)

0 9

t=20

t=50

69 cm.

159 cm.

10 39

20 69

30 99

40 129

50 159

Donde t es el tiempo (en segundos) y s(t) la posición del carrito con respecto al inicio de la pista (en centímetros) De acuerdo con la situación anterior: a. Represente los datos obtenidos en el plano cartesiano 13

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b. Halle el modelo matemático que representa la situación A partir del modelo matemático del numeral b., responder lo siguiente: c. ¿A qué distancia, a partir del inicio de la pista, se encuentra el carrito 37 segundos después de haber comenzado el movimiento? d. ¿A los cuántos segundos, después de haber comenzado el movimiento, el carrito se encuentra a 82 centímetros del inicio de la pista? e. Si la pista tiene una longitud de 200 centímetros, ¿cuánto tiempo se tardó el carrito en recorrer toda la pista? f. ¿Qué longitud recorre el carrito cada segundo? g. ¿Cuáles son las unidades de la pendiente? ¿A qué concepto de la Física corresponde? h. Determinar el dominio y el rango de la situación

22. El volumen de gasolina en un carro tanque una vez se abre la válvula dispensadora viene dado por la expresión

V (t )

520t 6.800

Donde t es el tiempo transcurrido a partir de la apertura de la válvula (en horas) y V(t) el volumen de gasolina (en litros). De acuerdo con esta información: a. b. c. d.

Representar en el plano cartesiano la información ¿Cuánta gasolina sale del tanque cada hora? ¿Cuál es el contenido máximo de gasolina en el tanque? ¿Cuándo queda vacío el tanque?

23. En cierta ciudad la tarifa de taxis es de $2.000 por el primer kilómetro recorrido y $500 por cada kilómetro adicional. De acuerdo con esta información, resuelva cada uno de los siguientes numerales: a. Hallar el modelo matemático que represente la tarifa de los taxis, T, en función del número de kilómetros recorridos, x. b. ¿Cuál es la tarifa que debe pagar una persona si un taxi la transporta ½ kilómetro. c. ¿Cuál es la tarifa que debe pagar una persona si un taxi la transporta 150 kilómetros.

Función Cuadrática

24. En cada uno de los numerales siguientes hallar el vértice del gráfico de la función cuadrática: c. f ( x) 0.3x2 a. f ( x) 4 x2 d. f ( x) x2 2 b.

f ( x)

5x 2

14

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f ( x) x2 7 f. f ( x) ( x 1)2 g. f ( x) ( x 3)2 e.

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h. i.

f ( x) ( x 2)2 4 f ( x) ( x 5)2 3

25. Para cada una de las funciones cuadráticas indique si el gráfico se abre hacia arriba o hacia abajo e indique, además, si el gráfico es más ancho, más angosto o igual al de la función f ( x) x 2 . a. b. c. d.

f ( x) 3x 2 f ( x) 0.5x2 f ( x) ( x 1)2 2 f ( x) ( x 1) 2 3

e. f.

f ( x) ( x 5)2 3 5 f ( x) ( x 2) 2 4 3

26. Relacione cada uno de los gráficos que se dan a continuación con alguna de las ecuaciones (la que mejor los describa) que se dan en los numerales desde a. hasta h.

15

FUNCIONES REALES

f ( x) x2 b. g ( x) x2 c. h( x) x2 d. k ( x) x2 a.

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2 5 4 4

e. q( x)

(x f. r ( x) ( x g. t ( x) ( x h. v( x) ( x

1)2 1)2 1)2 1 1)2 1

27. El consumo mundial de petróleo en millones de barriles diarios viene dado por el modelo matemático

0.1x2 2 x 58

C( x)

Donde x es el número de años desde 1985 (1985 corresponde a cero). De acuerdo con este modelo, a. b. c. d.

¿En que año se alcanzará el consumo máximo? ¿Cuál será el consumo máximo? ¿Cuál será el consumo en 1985? Hallar el dominio y el rango de la situación

28. Las recientes tasas (en porcentajes) de inflación anuales en México vienen dadas por la función

I (t ) 4t 2 48t 154 donde t representa el número de años desde 1987. De acuerdo con esta información, a. b. c. d.

¿En que año la tasa de inflación será mínima? ¿Cuál es la tasa mínima de inflación? ¿Cuál es la tasa de inflación en 1987? Hallar el dominio y el rango de la situación

29. Un proyectil se lanza hacia arriba, de modo que su distancia (en pies) sobre el suelo t segundos después de que se dispara viene dada por el modelo

s(t )

16t 2 400t

De acuerdo con este modelo, encontrar a. b. c. d.

La altura máxima que alcanza el proyectil después de ser lanzado El tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura El tiempo que tarda el proyectil en caer La distancia horizontal que recorre el proyectil desde que comienza su recorrido hasta que cae 16

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30. Un niño lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una terraza. La altura (en metros), H, alcanzada por la pelota con respecto al nivel de la calle, t segundos después de haberla lanzado, viene dada por la expresión

H (t )

5t 2 5t 15

De acuerdo con lo anterior a. Encontrar la altura de la terraza b. ¿Después de cuántos segundos la pelota vuelve a pasar por el borde de la terraza? c. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota y el tiempo que tarda en alcanzarla? d. ¿Después de cuántos segundos la pelota choca contra el suelo? e. Representar en el plano cartesiano la situación f. Determinar el dominio y el rango de la situación

31.

Durante el festival de cine de Cartagena la asistencia, en un día cualquiera, a las funciones, en cierto teatro, estuvo representada por el modelo

A(t )

2t 2 40t 100

donde A(t) representa el número de personas asistentes al teatro y t el tiempo transcurrido (en horas), a partir de las 10:00 a.m., hora en que se abrió el teatro. De acuerdo con esta información, responder: a. b. c. d.

¿Cuántas personas habían en el teatro a las 10:00 a.m.? ¿Cuál fue la asistencia máxima al teatro durante ese día? ¿A qué horas se presentó la asistencia máxima? Si las funciones terminaban a media noche, ¿cuánta gente había en el teatro a esa hora? e. ¿A qué horas habían 200 personas en el teatro?

32.

La sección transversal del techo de un auditorio tiene la forma de una parábola, tal como se muestra a continuación:

17

FUNCIONES REALES

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De acuerdo con lo anterior: a. Expresar la altura, H, del techo con respecto al suelo como una función del ancho, x, del auditorio. b. ¿A qué altura con respecto al suelo quedarán ubicadas unas luces cuya distancia horizontal desde los muros al auditorio es de 3 metros? c. ¿A qué distancia horizontal, medida desde los muros, se tienen que colocar unos parlantes de sonido para que su altura con respecto al suelo sea de 4 metros?

33. Un puente que cruza un río de 30 metros de ancho tiene la forma de una parábola con una altura máxima de 6 metros con respecto al río. De acuerdo con esto, a. Hallar una expresión para la altura del puente, con respecto al río, en función del ancho del río. b. Representar la situación en el plano cartesiano c. ¿A qué altura sobre el río se encuentra una persona ubicada sobre el puente a una distancia horizontal de 7 metros a partir de la orilla del río? d. ¿A qué distancia horizontal desde las orillas está una persona ubicada sobre el puente a una altura de 4.5 metros sobre el río?

34. Para un viaje a un centro turístico, una compañía de fletes de autobuses cobra $ 48.000 por persona, más $2.000 por persona por cada lugar que no se venda en el autobús. Si el autobús tiene 42 asientos y x representa el número de lugares no vendidos, obtener lo siguiente: a. Una función que defina el ingreso total, R, del viaje, en función del número de lugares no vendidos, x. b. El gráfico de la función del numeral a. c. El número de asientos no vendidos que producen el ingreso máximo. d. El ingreso máximo. Función por tramos

En los ejercicios 35 al 38 evaluar la función definida por tramos en los valores indicados:

35.

f ( x)

x2

si x

0

x 5

si x

0

Evaluar: f (0), f (5), f ( 3), f ( 2) 36.

f ( x)

2

si x

3

3x 7

si x

3

18

FUNCIONES REALES

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Evaluar: f ( 5) , f (5), f (3), f ( 103 )

x2 37. g ( x)

2x

Si x

x

Si 1

1 1

x 1

Si x 1

Evaluar: g ( 5), g (3), g ( 12 ), g ( 38.

x

x x

si x

0

si x

0

1 4

) , g ( 1)

Evaluar: 4 39. Relacione cada una de las funciones que se dan en los numerales desde A. hasta F. con alguno de los gráficos (el que mejor las describa) que se dan en los numerales desde a. hasta f.

y

1

x 1

-1

a y

y

 1

x

x 1

1

c

d

19

FUNCIONES REALES

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y

y



 1

3

x

x

1

-3

-2

-2

3

 -3

e

f

2x 3 A. f ( x)

B.

C.

x 1

f ( x)

f ( x)

si x 0

2

si 0 x si x 2

2 1

si x

3

si x

3

( x 2) 2 3 x

si x 2 si 2 x 3

x2 6x 7 D.

E.

F.

f ( x)

f ( x)

f ( x)

x

2

si x 3

si x 0 x

si x 0

3 2 x 4 3x

si x 1 si x 1

x 1

si x 1

1 x

si x 1

40. Un teléfono celular cuesta 39 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos de dólar. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como

C ( x)

39

si 0

x

400

39 0.2( x 400)

si x

400

20

FUNCIONES REALES

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Determinar: a. El coso de 350 minutos b. El costo de 400 minutos c. El costo de 1000 minutos

41. Una distribuidora de música ofrece a sus clientes un gran surtido de música en DVDs. Si compran no más de 6 DVDs, se venden a $35.000 cada uno. Si compran más de 6 DVDs, cada DVD adicional se vende a $33.000. De acuerdo con lo anterior a. Encontrar un modelo matemático que represente el costo C de x DVDs b. ¿Cuál es el costo de 5 DVDs? c. ¿Cuál es el costo de 15 DVDs? Función trigonométrica 42. Dadas las funciones que se presentan a continuación: a. b. c.

Determine la amplitud, el período y la frecuencia. Con la información anterior realice la grafica de la función en el plano cartesiano. A partir de la grafica determine el rango de la función.

f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f (t )

3Sen4t 2Cos 5t 2 Sent 4 Cos 6t 5 Cos12t

f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f (t )

3 7 Sen2t 4 2Sen8t 9 5Cost 7 3Sen9t 5 Cos10t

43. La posición de una cuerda que vibra con respecto al tiempo está representada por: f (t)

4 1

/3

t -2

21

FUNCIONES REALES

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a. b. c. d.

¿Cuál es la amplitud de vibración de la cuerda? ¿Cuál el período? ¿Cuál su frecuencia? Halle el modelo matemático que represente la posición de la cuerda con respecto al tiempo. e. Determine f ( 6 ), f ( 12), f (7 6 ) a partir de la gráfica y del modelo matemático. f. Determine el rango de la situación. 44. En un cultivo de mangos el número de mangos cosechados tiende a variar periódicamente de a cuerdo con el siguiente modelo matemático.

N (t )

3250 1550 Sen3t

Donde N (t ) representa el número de mangos cosechados y t es el número de años a partir del 2005. a. Construir a partir de la expresión analítica su gráfica que represente la situación en el plano cartesiano b. ¿Cuál es el mayor número de mangos cosechados en el cultivo? c. ¿Cuándo se alcanzó por primera vez? d. ¿Cuántas cosechas hay cada año? e. ¿Cuál será el número de mangos cosechados a finales de octubre del 2007? f. ¿Cuál es el número de mangos cosechados a finales de marzo del 2007? 45. Un ingeniero diseña un canal de drenaje con una sección transversal trapezoidal, tal y como se muestra en el siguiente esquema:

h

L L

a. Deducir una expresión para el área transversal del canal en función del ángulo , esto es: para f ( ) b. Determine el dominio de la situación, esto es: los valores que puede tomar c. ¿Cuál es el área transversal del canal si = 45 y L = 40 cm? d. Si L = 50 cm ¿Cuál debe ser para que el área transversal sea de 2500 cm2?

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FUNCIONES REALES

Sergio Alberto Alarcón Vasco – Maria Cristina González Mazuelo

Función logaritmo natural y exponencial natural 46. Graficar sin tabular las funciones que se presentan a continuación: a. b. c. d. e. f. g.

y y y y y y y

5 ln x 3 ln x 1 ln x 2 ln x 4 ln( x 2) 1 ln( x 3) 4 ln( x 1)

h. y i.

y

j.

y

k.

y

l.

y

m. y n. y

ex 3 ex 4 ex 2 ex 1 5 ex 1 2 e3 x 45 3e 5

x

47. Supóngase que el número de bacterias de cierto cultivo t horas a partir de este momento será:

N (t )

200 e 0, 468t

¿Cuándo habrán 10.000 bacterias?

48. La relación de Ehremberg dada por:

ln W

ln 2,4 1,84 h

Es una fórmula empírica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso promedio (en Kg) para niños entre 5 y 13 años de edad. a. Exprese W como una función de h b. Calcule el peso promedio de un niño de 12 años que mide 1,50 m. c. ¿Cuál debería ser la altura de un niño de 8 años que pesa 30 Kg? 49. La velocidad de un paracaidista en el tiempo t está representada por:

V (t )

80(e 0,2t

1)

Donde t está dada en segundos y V en pies / s a. Determinar la velocidad inicial del paracaidista. b. Determinar la velocidad del paracaidista después de transcurridos 5 y 10 segundos. c. ¿Cuándo la velocidad del paracaidista es de 26,4 pies/s?

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FUNCIONES REALES

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Bibliografía

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