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3

Página 21

LA RECTA

3.1 DEFINICIONES Y CONCEPTOS PRELIMINARES 1) 2) 3) 4)

abscisa (del latín, abscissa = cortada, que corta. Se refiere a que corta a la vertical): Es el valor numérico de la coordenada x en el plano cartesiano. ordenada (del latín, lineae ordinatae = líneas paralelas. Se refiere a paralelas a la vertical): Es el valor numérico de la coordenada y en el plano cartesiano. recta: Es el conjunto de puntos que siguen la misma dirección. segmento de recta: Es un pedazo determinado de toda una recta perfectamente determinado su inicio y su final. Es muy importante distinguir entre una recta y lo que es un segmento de recta. La recta no tiene principio ni fin, aunque en el papel aparezca un pedacito nada más. Una cosa es que se dibuje solamente una parte de la recta y otra cosa es que la recta sea nada más ese pedacito dibujado. Lo que sucede es que como no tiene principio ni fin, es imposible dibujarla así, sin principio ni fin. Si de toda esa recta infinita en longitud, se selecciona un pedacito determinado, señalando claramente en dónde empieza y en dónde termina, lo que se tiene es un segmento de esa recta.

5)

pendiente: La pendiente de una recta, representada con la letra m , es la inclinación de dicha recta. Una pendiente puede ser positiva o negativa. Es positiva si trasladada la recta al origen atraviesa el primero y tercer cuadrantes; es negativa si trasladada al origen, atraviesa el segundo y cuarto cuadrantes. Para medir la pendiente de una recta, o sea su inclinación, se mide cuánto subió verticalmente en qué distribución horizontal. Por ejemplo, se construye una rampa como lo muestra la figura 3.1; la inclinación que tiene es de 2 unidades hacia arriba distribuidos en 3

2 3

figura 3.1

Página 22

LA RECTA

2 3

unidades horizontales, lo cual se indica con la fracción pendiente es m =

. Se dice entonces que su

2 . 3

Pero esa forma de medir la inclinación coincide con la función trigonométrica tangente del ángulo con la horizontal (cateto opuesto entre el cateto adyacente =

2 3

), por lo que

la pendiente es lo mismo que la tangente de ese ángulo, o sea que

m = tan θ Por ejemplo, si una recta r forma un ángulo con la horizontal de 45o, como m = tan 45 y además tan 45 = 1 , se dice que esa recta tiene una pendiente de m = 1 . Si una recta tiene una pendiente de m = 2 , como donde

θ = arc tan 2

m = tan θ , significa que 2 = tan θ , de

, es decir, forma un ángulo, respecto de la horizontal, de 63.43o.

3.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean dos puntos A y B, cuyas coordenadas son conocidas. Un nombre genérico para esas coordenadas es

Y

( x1 , y1 )

B

para el punto A, mientras que ( x2 , y2 ) para el punto B. Lo anterior se escribe

A ( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) y está representado en la figura 3.2. La distancia que existe entre esos dos puntos se puede deducir de la siguiente manera:

a n ci a t s di

y2

y2 - y1

A x2 - x1

y1 x1

C X

x2

Trazando una línea horizontal que pase por el punto A y una línea vertical que pase por el punto B se forma el figura 3.2 triángulo ABC (ver figura 3.2). Obsérvese que la distancia horizontal AC es la diferencia de x2 menos x1, mientras que la distancia vertical BC es la diferencia de y2 menos y1. Entonces, por el teorema de pitágoras aplicado sobre el triángulo ABC, se obtiene que la distancia buscada AB es:

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Página 23

La distancia d entre los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) es

( x2 − x1 )

d =

2

+ ( y2 − y1 )

2

en donde es muy importante aclarar que cualquiera de los dos puntos conocidos puede tomar el nombre de A y cualquiera el de B, sin que se modifique el valor de su distancia calculado con la fórmula anterior. Ejemplo:

Un punto tiene por coordenadas (9, 6) y otro punto se localiza en (3, 14). Hallar la distancia entre ellos.

Solución: Llamando A al punto de coordenadas (9, 6) y B al otro, se tiene que x1 = 9 x2 = 3

; ;

y1 = 6 y2 = 14

utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos, se tiene que

d =

( x2 − x1 )

d =

(3 − 9)

d =

( −6 )

d =

100

2

2

2

+ ( y2 − y1 )

6 + (14 − 6 )

+ (8)

2

2

2

d = 10

3.3 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA: Sean los puntos A y B cuyas coordenadas son conocidas, los que determinan el inicio y el final de un segmento de recta. Un nombre genérico para esas coordenadas conocidas es x1 , y1 para el punto A, y x2 , y2 para el punto B. Lo anterior se escribe A ( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) .

Página 24

LA RECTA

Las coordenadas del punto medio Pm de dicho segmento se deducen fácilmente a partir de la figura 3.3: Es obvio que la abscisa de Pm (la medida horizontal a partir del origen de coordenadas) está a la mitad de los puntos A y B; y como la distancia horizontal entre esos dos puntos es x2 − x1 (ver figura 3.3), entonces a la mitad está la abscisa de Pm, o sea en

Y B Pm A C y2

x2 − x1 2

x2 - x1 2

y1

x2 - x1

Pero no perder de vista que esa medida está dada a partir del punto A y como tiene que estar dada a partir del eje de las Y, entonces le hace falta sumarle la distancia x1, con lo que se obtiene:

x2

figura 3.3

x2 − x1 x − x1 + 2 x1 + x1 = 2 2 2 =

X

x1

x2 + x1 2

Ésta es la abscisa del punto medio Pm. Exactamente igual se deduce la ordenada de dicho punto medio. En conclusión:

Las coordenadas (xm , ym ) del punto medio Pm del segmento de recta comprendido entre los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ), son

xm = ym =

x1 + x2 2 y1 + y2 2

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Página 25

en donde es muy importante aclarar que cualquiera de los dos puntos conocidos puede tomar el nombre de A y cualquiera el de B, sin que se modifiquen los valores de las coordenadas del punto medio. Ejemplo:

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento de recta que está delimitado por los puntos (9, 4) y (7, 14).

Solución: Llamando A al punto de coordenadas (9, 4) y B al otro, se tiene que x1 = 9 x2 = 7

; ;

y1 = 4 y2 = 14

utilizando la fórmula de las coordenadas del punto medio, se tiene que

xm =

x1 + x2 2

ym =

y1 + y2 2

xm =

9+7 2

ym =

4 + 14 2

xm = 8

ym = 9

Las coordenadas de ese punto medio son: Pm(8, 9).

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO Ejemplo 1: Las coordenadas de un triángulo son:

A ( − 2 , 4 ) ; B ( 8, 4 ) y C ( − 8,12 )

C

(ver figura 3.4). Investigar analíticamente si se trata de un triángulo equilátero, isósceles o escaleno. Solución:

Cuando se pide una investigación analítica quiere decir que se haga analizado a través de cuentas, no a lo que la vista dicta, es decir, no se vale ninguna afirmación basada en que “es que ahí se ve en la figura”.

B

A

figura 3.4

Si se calcula la distancia entre los puntos A y B lo que realmente se

Página 26

LA RECTA

está obteniendo es la medida del lado AB. Lo mismo sucede entre A y C y entre los puntos B y C. Entonces calculando la distancia entre los puntos A y B con la fórmula de distancia entre dos puntos:

d AB =

( x2 − x1 )

d AB =

 8 − ( − 2 )  + ( 4 − 4 )

d AB =

102 + 02

2

+ ( y2 − y1 )

2

2

2

d AB = 10 La distancia entre los puntos A y C con la fórmula de distancia entre dos puntos:

d AC =

( x2 − x1 )

+ ( y2 − y 1 )

d AC =

 − 8 − ( − 2 )  + (12 − 4 )

d AC =

( −6 )

2

2

2

2

2

+ 82

d AC = 10 La distancia entre los puntos B y C con la fórmula de distancia entre dos puntos:

d BC =

( x2 − x1 )

d BC =

( −8 − 8 )

d BC =

320

2

2

+ ( y2 − y1 )

+ (12 − 4 )

2

2

d BC = 17 . 88 B

C

Como las medidas de los lados del triángulo son AB = 10; AC = 10 y BC = 17.88, se trata de un triángulo isósceles. D

A

Ejemplo 2: Las coordenadas de un hexágono regular son:

A ( 7.2 ; 3) ; B ( 4.6 ; 7.5 ) ;

C ( −0.6 ; 7.5 ) ; D ( −3.2 ; 3) ; E ( −0.6 ; − 1.5 ) ; F ( 4.6 ; − 1.5 ) .

E

F figura 3.5

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Página 27

Comprobar que las diagonales AE y CE son iguales (ver figura 3.5). Solución:

La distancia entre los dos puntos A y E es la longitud de la diagonal AE, de manera que empleando la fórmula de distancia entre dos puntos:

d AE =

( x2 − x1 )

+ ( y2 − y1 )

d AE =

( −0.6 − 7.2 )

d AE =

7 . 22 + ( − 4 . 5 )

d AE =

81 . 09

2

2

2

+ ( −1.5 − 3)

2

2

d AE = 9 . 00 La distancia entre los dos puntos C y E es la longitud de la diagonal CE, de manera que empleando la fórmula de distancia entre dos puntos:

dCE =

( x2 − x1 )

+ ( y2 − y1 )

dCE =

 − 0 . 6 − ( − 0 . 6 )  + ( − 1 . 5 − 7 . 5 )

dCE =

02 + ( − 9 )

2

2

2

2

2

dCE = 9 . 00 Comparando los resultados obtenidos se ve que AE = CE. Ejemplo 3: Hallar las coordenadas del centro del hexágono del ejemplo anterior. B

C

Solución:

El punto medio de la diagonal AD es el centro del hexágono (ver figura 3.6). Utilizando la fórmula de punto medio:

xm = xm =

D

A

x1 + x2 2 7.2 + ( −3.2 )

E

F

2

4 xm = =2 2

figura 3.6

Página 28

LA RECTA

ym =

y1 + y2 2

ym =

3+3 =6 2

Las coordenadas del punto medio de la diagonal AD son Pm ( 2 , 3 ) . Allí está el centro del hexágono regular. Ejemplo 4: Las coordenadas de un cuadrilátero son:

A ( 2 , 1) ; B ( 3, 9 ) ;

C B

C (10 , 11) y D ( 9 , 3 ) . Comprobar que las diagonales AC y BD se bisecan4 mutuamente. Solución:

Si las diagonales se bisecan mutuamente, es decir que se cortan entre sí por su punto medio una a la otra, entonces el punto medio de la diagonal BD debe coincidir con el punto medio de la diagonal AC.

D

A

figura 3.7

Las coordenadas del punto medio de AC son:

xm =

x1 + x2 2

ym =

y1 + y2 2

xm =

2 + 10 =6 2

ym =

1 + 11 =6 2

Dichas coordenadas son (6, 6). Las coordenadas del punto medio de BD son:

4

xm =

x1 + x2 2

ym =

y1 + y2 2

xm =

3+9 =6 2

ym =

9+3 =6 2

Bisecar viene del latín, bi = dos veces, doble; y secare = cortar. Significa cortar en dos partes iguales.

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Página 29

Dichas coordenadas son (6, 6). Como efectivamente es el mismo punto, eso demuestra que se bisecan mutuamente. Ejemplo 5: Las coordenadas de un triángulo son:

A ( 3, 2 ) ; B (13, 4 ) y C ( 9 , 9 ) . Hallar la longitud de la mediana al lado AB (ver figura 3.8). Solución:

C

Lo primero que debe hacerse es recordar que una mediana es la recta que va del punto medio de un lado hasta el vértice opuesto. Por lo tanto, se requieren calcular las coordenadas del punto medio m del lado AC. Una vez conocidas estas coordenadas, la longitud de la mediana Cm se obtiene calculando la distancia entre los puntos C y m.

mediana B m

A

figura 3.8

Las coordenadas del punto medio m entre A y B se obtienen empleando las respectivas fórmulas de punto medio:

xm =

x1 + x2 2

ym =

y1 + y2 2

xm =

3 + 13 2

ym =

2+4 2

xm = 8

ym = 3

Dichas coordenadas son: m (8, 3). La distancia entre los puntos C y m se obtiene utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos:

dCm =

( x2 − x1 )

dCm =

(8 − 9)

dCm =

( − 1)

2

2

2

+ ( y2 − y1 )

+ (3 − 9)

+ ( −6 )

2

2

2

Página 30

LA RECTA

dCm =

1 + 36

dCm = 6 . 08 La longitud de la mediana al lado AB es 6.08. Ejemplo 6: Las coordenadas de un cuadrilátero son:

A (1, 3 ) ; B ( 3, 10 ) ; C (11, 8 ) y D ( 9 , 1) B

Investigar analíticamente si se trata de un cuadrado, un rectángulo, un rombo, un romboide, un trapecio o un trapezoide (ver figura 3.9). Solución:

C

La longitud de los lados dará la primera pista para saber de qué tipo de cuadrilátero se trata, pero ¡cuidado!, será una pista, pero no la definitiva. Porque, por ejemplo, si tiene los cuatro lados iguales puede ser un cuadrado, pero también podría ser un rombo; si tiene por pares los lados opuestos iguales y desiguales los contiguos, puede ser un rectángulo, pero también podría ser un romboide.

A

figura 3.9

Calculando las longitudes de cada uno de sus lados con la fórmula de distancia entre dos puntos

d =

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 ) :

2

+ (10 − 3 )

d AB =

( 3 − 1)

d AB =

22 + 7 2

d AB =

53

2

2

d AB = 7 . 28

d BC =

(11 − 3 )

d BC =

82 + ( − 2 )

d BC =

68

d BC = 8 . 24

2

+ ( 8 − 10 ) 2

D

2

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Página 31

dCD =

(11 − 9 )

dCD =

22 + 7 2

dCD =

53

2

+ ( 8 − 1)

2

d CD = 7 . 28

d DA =

( 9 − 1)

d DA =

82 + ( − 2 )

d DA =

68

2

+ (1 − 3 )

2

2

d DA = 8 . 24 Primera conclusión: Como por una parte d AB = d CD y por otra d BC = d DA , puede ser un rectángulo o un romboide solamente. Las demás figuras quedan descartadas. Para saber cuál de éstas dos figuras es, hay que recurrir a las propiedades de cada figura. Recordar que el rectángulo tiene las diagonales iguales y el romboide no. Entonces analizando las longitudes de sus diagonales se podrá saber si es rectángulo o romboide:

d BD =

( 9 − 3)

102 + 52

d BD =

62 + ( − 9 )

125

d BD =

117

d AC =

(11 − 1)

d AC = d AC =

d AC = 11 . 18

2

+ (8 − 3)

2

2

+ (1 − 10 )

2

2

d BD = 10 . 81

Las diagonales son diferentes. Por lo tanto se trata de un romboide. Este ejemplo muestra claramente que no se vale “hacer deducciones” basados en que “ahí se ve”. En el papel, la figura 3.9 parece un rectángulo o un cuadrado y simple vista jamás se hubiera sospechado que no son ni uno ni otro, sino un romboide.

Página 32

LA RECTA

EJERCICIO 2 Resolver los siguientes problemas, conforme a las definiciones y reglas establecidas en las páginas 21 a 23. 1)

Una recta tiene una pendiente de 2.5; deducir el ángulo que forma con la horizontal.

2)

Una recta tiene una pendiente de 0.35; deducir el ángulo que forma con la horizontal.

3)

Las coordenadas de un trapecio son: A(- 5, 2); B(7, 2); C(5, 8) y D(- 3, 8). Hallar las pendientes de sus lados no paralelos AD y BC.

4)

En el trapecio del problema anterior, hallar la pendiente de la diagonal BD.

5)

Una circunferencia tiene su centro en C(2, 4). ¿Cuál es la pendiente del radio CP, sabiendo que las coordenadas del punto P son (6, 1). Ver figura 3.10.

6)

En la circunferencia del problema anterior, ¿Cuánto mide el radio de dicha circunferencia?

7)

¿Cuáles son las coordenadas del punto medio Q del radio CP de la circunferencia de la figura 3.10?

8)

¿Cuál es la pendiente de la recta trazada en la figura 3.10 desde el origen de coordenadas hasta el punto medio Q?

9)

Una recta forma un ángulo de 17o con la horizontal; ¿Cuál es su pendiente?

10)

Una recta forma un ángulo de 15o con la horizontal; ¿Cuál es su pendiente?

11)

Una recta forma un ángulo de 9o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

12)

Una recta forma un ángulo de 65o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

13)

Una recta forma un ángulo de 77.65o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

14)

Las coordenadas de un punto son (2, -1) y las de otro son (0, 8); hallar la distancia entre ambos puntos.

15)

Las coordenadas de un punto son (-6, -7) y las de otro son (2, -1); hallar la distancia entre ambos puntos.

16)

Las coordenadas de un punto son (2, 0) y las de otro son (0, 0); hallar la distancia entre ambos puntos.

17)

Las coordenadas de un punto son (5, 5) y las de otro son (9, 9); hallar la distancia entre ambos puntos.

18)

Las coordenadas del extremo de un segmento de recta son (1, -4) y las del otro extremo son (3, 6); hallar las coordenadas de su punto medio.

19)

Las coordenadas del extremo de un segmento de recta son (11, -2) y las del otro extremo son (-3, 1); hallar las coordenadas de su punto medio.

20)

Un segmento de recta está delimitado por los puntos A y C. Las coordenadas del extremo A son (- 2, 3) y

C Q P

figura 3.10

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Página 33

las coordenadas del punto medio de dicho segmento son Pm ( 3, 5 ) . Hallar las coordenadas del otro extremo C del segmento. 21)

Un segmento de recta de longitud d = 13 comienza en el punto A(- 4, 2) y termina en el punto B (1, y ) . Hallar el valor de la ordenada y de dicho punto B.

22)

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4, 5) ; B(-3, 2) y C(1, - 2) ; investigar si se trata de un triángulo equilátero, isósceles o escaleno.

23)

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(5, 8) ; B(-3, 2) y C(1, -6) ; Hallar las coordenadas de los punto medios de cada una de sus medianas.

24)

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 11) ; B(8, 9) y C(-4, -1) ; Hallar las coordenadas de los punto medios de cada una de sus medianas.

25)

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 12) ; B(-8, 0) y C(-6, -10) ; Hallar las coordenadas de los punto medios de cada una de sus medianas.

26)

Las coordenadas de los vértices de un cuadrilátero son: A(2, 12) ; B(6, 12) ; C(2, -1) y D(6, -1) ; investigar analíticamente el tipo de cuadrilátero de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades de los cuadriláteros mencionadas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

27)

Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(1, 3) ; B(4, 7) ; C(4, -1) y D(7, 3) ; investigar analíticamente el tipo de paralelogramo de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades de los cuadriláteros mencionadas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

28)

Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(2, 2) ; B(7, 15) ; C(12, 2) y D(7, -11) ; investigar analíticamente el tipo de paralelogramo de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades de los cuadriláteros mencionadas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

29)

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 2) ; B(8, 16) y C(12, 2) . Hallar la longitud de cada una de las medianas.

30)

Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(2, 2) ; B(7, 15) ; C(12, 2) y D(7, -11) . Hallar analíticamente las coordenadas del punto de intersección de sus diagonales.

31)

Comprobar que las diagonales del paralelogramo del problema anterior se bisecan mutuamente.

Página 34

LA RECTA

3.4 ECUACIÓN EN FORMA GENERAL Y EN FORMA PARTICULAR La ecuación de la recta en forma general es la que se obtiene de la ecuación general de las cónicas, eliminando "los cuadrados", como se mencionó en la posibilidad 1 del análisis de la ecuación general, en la página 15, la cual es la siguiente: La ecuación en forma general de la recta es Dx + Ey + F = 0

A esta ecuación se le llama ecuación en forma general o simplemente forma general de la recta. Pero, como ya se explicó anteriormente, la ecuación en forma general proporciona una información bastante limitada acerca de la gráfica que le corresponde, en este caso, al de la recta. Para saber más de ella, es necesario pasar esa ecuación de la forma general a la forma particular, ya que la ecuación en forma particular es la que proporciona toda la información de las características de la figura. Como la ecuación particular es la que da la información completa de la figura correspondiente, en el caso particular de la recta se tiene la siguiente regla:

La ecuación particular de la recta es y = mx + b en donde:

* m es la pendiente de la recta; * b es la ordenada al origen.

Pendiente significa la inclinación de la recta, conforme a la definición dada en la página 22. Una pendiente puede ser positiva o negativa. Es positiva si trasladada la recta al origen atraviesa el primero y tercer cuadrantes; es negativa si trasladada al origen, atraviesa el segundo y cuarto cuadrantes.

ordenada al origen

Ordenada al origen significa la distancia sobre el eje de las Y en que la recta corta a dicho eje, como se muestra en la figura 3.11. figura 3.11

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Página 35

Por ejemplo, si se tiene la ecuación particular de una recta y = 2 x + 3 , en este caso, como m = 2 y

b = 3 , entonces por el significado que tienen estos

números, la pendiente es 2 y la recta corta al eje de las Y a tres unidades a partir del origen (ver figura 3.12).

2 1

pendiente =

2 1

b=3

3.5 TRANSFORMACIONES Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la particular son realmente la misma ecuación, solamente que escritas de diferente manera, por lo que es posible hacer transformaciones de una forma a la otra.

figura 3.12

1) Para transformar la ecuación de una recta de la forma general a la forma particular: * Se despeja la variable Y; * El lado derecho se parte en dos fracciones, en caso de que resulte con denominador, hasta obtener los dos términos mx y b. 2) Para transformar la ecuación de una recta de la forma particular a la forma general: * Se quitan los denominadores, multiplicando toda la igualdad por el común denominador de todos los denominadores que aparezcan; * se escriben todos los términos del lado izquierdo para que quede igualado a cero. * si resulta negativo el primer término Dx, se le cambia de signo a toda la igualdad.

Ejemplo 1: Transformar la ecuación 12x - 3y + 7 = 0, de la forma general a la particular y deducir los valores de b y de m. Solución:

Como para pasar de la forma general a la particular, simplemente debe despejarse la variable y, entonces, despejándola se obtiene:

12 x − 3 y + 7 = 0

Página 36

LA RECTA

12 x + 7 = 3 y que es exactamente lo mismo que escribirlo al revés:

3 y = 12 x + 7 y=

12 x + 7 3

y=

12 x 7 + 3 3

y = 4x +

de donde,

m=4

y

b=

Ejemplo 2: Transformar la ecuación y = − 7 x +

7 3 7 . 3 11 , de la forma particular a la forma general y de5

ducir los valores que corresponden a D, E y F . Solución:

El primer paso es quitar los denominadores que aparezcan. El denominador 5 puede eliminarse multiplicando por cinco la fracción en la que aparece, pero como es una igualdad, debe aplicarse la propiedad de las igualdades: Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado también para que la igualdad se conserve, de lo que resulta:

11   5 ( y ) = 5  −7 x + 5   5 y = − 35 x + 11 El segundo paso es escribir del lado izquierdo todos los términos, dejando la expresión igualada a cero:

35 x + 5 y − 11 = 0 de donde: D = 35 ; E=5; F = - 11

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Página 37

EJERCICIO 3 Encontrar la pendiente m y la ordenada al origen b de cada una de las siguientes rectas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

12x + 3y - 6 = 0 8x + 2y + 16 = 0 15x + 5y + 10 = 0 5x - y + 61 = 0 9x + y = 0 19x + y = 0 13x - y = 0

8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

8x + 2y + 11 = 0 15x + 5y + 21 = 0 5x - 2y + 33 = 0 9x + 7y - 19 = 0 3x + 2y = 0 x+y=0 83x - 2y - 51 = 0

Encontrar los valores de las constantes D , E y F en las siguientes rectas:

15)

y = 3x + 8

16)

y = −7 x + 1

17)

y = 5 x − 13

18)

y = − 15 x − 23

19)

y=

5x + 2 7

20)

y=

4 x − 12 9

21)

y=

− 11x + 2 14

22)

y=

− x − 29 24

23)

y=

− x + 25 33

24)

y=

17 x 1 + 14 7

25)

y=

−5x 1 + 2 4

26)

y=

10 x 11

27)

y=

− 65 x 5 − 3 6

28)

y=

17 x 5 − 4 2

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LA RECTA

3.6 OBTENCIÓN RÁPIDA DE LA GRÁFICA Dado que la ecuación particular proporciona todos los detalles para definir perfectamente la gráfica correspondiente, se pueden obtener las gráficas de las rectas con los datos de m y de b. Simplemente se localiza primero la ordenada al origen y luego, a partir de ese punto, se hace una especie de escalón que marcará la pendiente m, en donde hay que recordar que el numerador es la elevación vertical (sobre el eje de las Y) y el denominador su distribución horizontal (sobre el eje de las X ), y poner atención en el signo de la pendiente. Ejemplo 1: Obtener la gráfica de 5x - 15y+60 = 0 Solución:

Pasando la ecuación de la forma general a la forma particular, para lo cual basta despejar la variable y:

5 x + 60 = 15 y que es exactamente lo mismo que escribirla al revés:

15 y = 5 x + 60 dividiendo ambos lados entre 15 para despejar y: b=4

15 y 5x 60 = + 15 15 15 simplificando:

y=

1 x+4 3

de aquí se obtiene que la pendiente es m =

1 3

1 y que 3

b = 4. 1

PRIMER PASO: Se localiza la ordenada al origen

3

b = 4 , que es la distancia sobre el eje de las Y a partir

del origen, como se muestra en el primer paso de la figura 3.13. SEGUNDO PASO: A partir de ese punto, se “pone el escalón” que da la pendiente. En este caso, como

m=

figura 3.13

1 , el numerador 1 indica que debe tener una ele3

vación vertical de una unidad; y el denominador 3 señala que esa elevación debe estar distribuida en 3 unidades horizontales. Haciéndolo se obtiene el segundo paso de la figura 3.13.

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

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Finalmente se traza la recta, haciéndola que pase por el punto señalado en el primer paso y que se apoye en la parte final del escalón, quedando la recta como la tercera parte de la figura 3.13. Ejemplo 2: Obtener la gráfica de 3x + 2y - 4 = 0 Solución:

Pasando la ecuación a su forma particular para deducir los valores de m y de b, se obtiene: y = − de se ve que m = −

3 x + 2 , de don2

3 ; b = 2. 2

b=2

PRIMER PASO: Se localiza la ordenada al origen b = 2 , que es la distancia sobre el eje de las Y a partir del origen por donde pasa la recta, como se muestra en el primer paso de la figura 3.14.

3 2

SEGUNDO PASO: A partir de ese punto, se "pone el escalón" que da la pendiente. En este caso, como m = −

3 , el 2

signo negativo indica que va del segundo al cuarto cuadrante, el numerador 3 indica que debe tener una elevación vertical de tres unidades y el denominador 2 señala que esa elevación debe estar distribuida en dos unidades horizontales. Haciéndolo se obtiene el paso 2 de la figura 3.14. Finalmente se traza la recta, haciéndola que pase por el punto señalado y que "se apoye en el escalón" que le dará la pendiente 3/2, quedando como en la tercera parte de la figura 3.14.

3 2

b=2

figura 3.14

EJERCICIO 4 Obtener la gráfica con el procedimiento del ejemplo anterior de las ecuaciones #1 al #14 del ejercicio 3.