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Integrales Dobles Introducción. En el primer curso de Fundamentos se planteó el problema de hallar el área comprendida entre la gráfica de una función positiva y  f  x  , el eje OX y las rectas x  a , x  b . Dicha área se b

representaba como  f  x  dx a

Vimos que este problema estaba relacionado con el cálculo de una primitiva de f  x  . El Teorema de b

Barrow nos asegura que si F  x  es tal que F  x   f  x  entonces A   f  x  dx  F(b) - F(a) a

Nuestro problema es el cálculo del volumen de un prisma de base rectangular R   a, b x  c, d  y limitado superiormente por la gráfica de una función z  f  x, y  positiva. A este volumen lo denotaremos por

 f x, y  dx dy R

Difiere del problema anterior en que no se resuelve encontrando una primitiva de f  x, y  (No tiene sentido), sino por el cálculo de volúmenes por secciones. El volumen vendrá dado por la suma infinita

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de las áreas de las secciones que se Obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o también sumando las áreas de las infinitas se cciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano Y Z.

d

b

c

a

V   f  x , y  dx dy   A y  dy   A x  dx R

b

d

a

c

Donde A y    f  x , y  dx, A x    f  x , y  dy considerando en cada caso la x o la y fija. El problema se convierte en el cálculo de una integral reiterada que ya sabemos resolver. Integrales dobles, interpretación como volúmenes

Integral doble sobre un rectángulo. n 1 n 1

S n    f C j k  x y j 0 k 0

n 1 n 1

lim

n

 f C  x y   f x , y  dx dy j 0 k 0

jk

R

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Definamos ahora el concepto de integral doble de una función z  f  x, y  no necesariamente positiva sobre un rectángulo R   a, b x  c, d  . Dividimos el intervalo [a, b] en n partes iguales, eligiendo para ba ello n  1 puntos a  x0  x1  x 2    x n  b siendo xi 1  xi   x Elegimos, de forma n d c análoga, m  1 puntos del intervalo [c, d], c  y 0  y1  y 2    y n  d con yi 1  yi   y . m Así obtenemos n  m rectángulos xi , xi 1  x  y i , y i 1   Ri j de área A  x  y





 

Sea ci j  xi* , y*j  R i j  f ci j  A es el volumen del pequeño Prisma del dibujo adjunto

n 1 m 1

 

Llamemos S n m   f ci j x y para hacer la i 0 j 0

siguiente definición:

Definición (Integral doble) Si existe lim Sn m n ,m

y no depende de la elección de los valores ci j , entonces se dice que f es

integrable sobre R y al valor de dicho límite se le llama integral doble de f  x , y  sobre R . Se nota:



R

f  x , y  dx dy  lim

n ,m

n 1 m 1

  f c x y i 0 j 0

 f x, y  dx dy

i j



Si f  x , y  es una función positiva,



rectangular de base R y limitado superiormente por la gráfica de f. Si f  x , y  es negativo, representa un volumen negativo.

R

representa el volumen del prisma

Propiedades de la integral doble.

1. Linealidad.

 af x, y   bgx, y  dx dy  a f x, y  dx dy  b  g x, y  dx dy R

R

R

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2. Monotonía. Si f x , y   g x , y  x, y   R , entonces:

 f x, y  dx dy   g x, y  dx dy R

R

3. Aditividad. Si D  R1  R2 es unión de dos rectángulos disjuntos

 f x, y  dx dy   g x, y  dx dy   g x, y  dx dy D

R1

R2

4. Teorema de Fubini: si z  f  x, y  es continua sobre R   a, b x  c, d  , entonces:



R

b d   f  x , y  dx dy     f  x , y  dy  dx  ac 

b  c  a f x , y  dx  dy d

5. Valor medio

fR 

1 f  x, y dx dy área R  R

Teorema del valor medio para integrales dobles: supongamos que f :    es continua. Entonces para algún punto x0 , y0  en R , tenemos:

 f x, y  dx dy  f x , y  AR  R

Integrales dobles iteradas:

 f x, y  dx dy     f x, y  dx dy;  f x, y  dy dx     f x, y  dy dx; Teorema de Fubini sobre un rectángulo: supongamos que f  x , y  es una función sobre un rectángulo R.



R

d b b d     f  x, y  dx dy     f  x , y  dx  dy     f  x , y  dy  dx ca ac  

0

0

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Integral doble sobre regiones más generales .



D

f x, y  dx dy   f  xD dx dy   f * dx dy Donde f *  f  xD   R R

f x , y 



0

si  x, y   D

si  x, y  R - D

Vamos a definir la integral doble de funciones sobre los siguientes tipos de regiones: 

Regiones del tipo I D    x, y   IR 2 : a  x  b , f 1  x   y  f 2  x  



Regiones del tipo II D    x, y   IR 2 : c  y  d , g 1  x   x  g 2  y  



Regiones del tipo III: Son las que se pueden expresar indistintamente como regiones de tipo I o de tipo II.

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Definición: Sea D un región de tipo I, II o, III. Sea z  f  x, y  una función continua. Consideremos una región de tipo I. Entonces:



D

Análogamente, en una región de tipo II, se tiene:

 f  x , y  dx dy     a b



D

f2  x 

  dx   f x , y dy f  x   1 

 f  x , y  dx dy     c d

g2  x 

  dy   f x , y dx   g1  x  

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Para las regiones del tipo III, se puede calcular la integral doble de f  x, y  indistintamente como una región del tipo I o II. A veces la integral se complica y hay que elegir la forma adecuada. De ahí que: Si D es una región acotada de IR2, entonces el volumen del prisma de base D y altura 1 es:

 dx dy  la D

función a integrar es f  x, y   1  AD

Teorema de Fubini para regiones de integración: supongamos que f es continua en D



 2  x   f  x, y  dx dy     f  x , y  dy  dx   a  1  x  



 2  x   f  x, y  dx dy     f  x , y  dx  dy   c  1 x  

D

D

b

d

Cambio de variable en Integrales dobles Una de las técnicas más usuales en el cálculo de integrales es el cambio de variables, cuyo objetivo es transformar la integral a calcular en otra “más sencilla”. Esta técnica ya se estudió para funciones de una variable, ahora lo haremos para funciones de dos variables. En el cálculo de una variable, cuando se tenía una integral definida

b

 f x  dx

, al hacer un cambio de

a

variables x  g t  , quedaban afectados el integrando, el intervalo de integración y el dx. El nuevo integrando sería f  g t  (hay que exigir que Im(g) ⊂ D(f)). Para calcular el nuevo intervalo de integración necesitamos exigir que g posea función inversa.

x   a,b   t  g a ,b . Sea  t0 ,t1   g a ,b el nuevo Si x  g t   t  g x  luego si intervalo de integración. Para que g posea función inversa basta exigir que g sea continua e inyectiva. 1

-1

Además como dx  g t  dt entonces g debe ser derivable. __

F : __

D   2   2

F u , v    x, y    x u , v , x u, v 

1

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

D

f  x, y  dx dy  

D

 __  f  x u, v , y u, v  det  F u, v  du dv  

  f x u, v , y u, v  J u, v  du dv D

  x, y   __  det  F u, v   J u, v    det   u, v    

x u y u

 y  v  x v

Ejercicios Evalúe la integral y luego evalúe la integral iterada para cada uno de los siguientes ejercicios. 1.

 x - 3y  dA donde

2.

  y

3.

 x sen x  y  dA donde

2

R

R

R    x, y  / 0  x  2 ,  , 1  y  2

sen  xy  dA donde R  1,2 x 0, 

2

  1  4 xy  dx dy

5.

7.



10.

  r

1 1

  x sen y  dy dx 2

6.



 x y 8.      dy dx y x 1 0

s  t ds dt



1 2

sen 2 d dr

11.

0 0

 0 1

  u  v  du dv 0 0

4 2

0 0

1 



0 0

1 0

3 1



R  0 , 6  x 0 , 3 

R

3 1

4.



1 1

9.

0 0

  4 x



1 2

x

xe dy dx y

  4  x  2 y  dx dy

12.

3

 9 x 2 y 2 dy dx

0 1

1  x2 13.  dA , donde R    x, y  : 0  x  1,  , 0  y  1  R 1 y2 14.

 x sen x  y  dA , donde

15.

 cos x  2y dA , donde

R

R

R  0 , 6   0 , 3 

R    x, y  : 0  x   ,  , 0  y 

 2



16. Encuentre el volumen del solido S acotado por el paraboloide elíptico x  2 y  z  16 , los Planos x=2 y y= 2 y los tres planos coordenados (sugerencia tome s : z  16  x 2  2 y 2 y R  0,2 x 0,2 ) 2

2

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17. encuentre el volumen del solido que yace debajo del plano 3 x  2 y  z  12 y arriba del plano

R    x, y  / 0  x  1, - 2  y  3 

18. Determine el volumen del solido acotado por la superficie z  x sec

2

y y los planos

z  0 , x  0, x  2, y  0, y  1

Referencias: 

Stewart, J. (2010). Cálculo de Varias Variables. “Trascedentes Tempranas”. Sexta edición. Edamsa Impresiones S.A. de C. V. Iztapalapa, México, D. F.



Leithold, L. (1998). El cálculo. Traducción de la séptima edición en inglés de: THE CALCULUS 7. ISBN 0673-46913-1. Printed in Mexico. Grupo Mexicano MAPASA, S.A. DE C. V.

Referencias de apoyo y complementarias:    

Apóstol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1. Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1.. En particular los capítulos III y IV. Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th edición). McGraw-Hill. p. 359. ISBN 978-0-07-305189-5. Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. pp. 247– 252. ISBN 978-0-486-67766-8. http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp.