NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III

INTEGRALES IMPROPIAS

Ing. Juan Sacerdoti

Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2002 V 02

INDICE INTEGRALES IMPROPIAS 1.- PUNTOS SINGULARES DE LA INTEGRAL IMPROPIA 2.- DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS Y CONVERGENCIA 2.1.- DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS 2.2.- INTEGRALES CONVERGENTES DIVERGENTES Y OSCILANTES 2.3.- CONVERGENCIA ABSOLUTA 2.4.- EJEMPLOS DE II 2.5.- INTEGRALES IMPROPIAS CON UN NUMERO FINITO DE SINGULARIDADES 2.6.- EJEMPLOS DE INTEGRALES IMPROPIAS PARA TABLA DE COMPARACION 3.- VALOR PRINCIPAL DE UNA INTEGRAL IMPROPIA 3.1.- DEFINICIÓN DE VALOR PRINCIPAL 3.2.- EJEMPLO DE VALOR PRINCIPAL PARA TABLA DE COMPARACIÓN 4.- CRITERIOS DE CV 4.1.- ANALISIS DE LA DEFINICIÓN 4.2.- CRITERIO DE BOLZANO CAUCHY 4.3.- CRITERIO DE COMPARACIÓN 4.3.1.- CASO GENERAL 4.3.2.- CRITERIO DE COMPARACIÓN: CASOS PARTICULARES 4.4.- CRITERIO DE COMPARACIÓN POR LIMITE 4.4.1.- TEOREMA I 4.4.2.- TEOREMA II 4.4.3.- TEOREMA III 4.6.- CRITERIO DE COMPARACIÓN CON SERIES POSITIVAS 4.7.- CRITERIO DE ABEL 4.8.- CRITERIO DE COMPARACIÓN POR SERIES 5.- TABLA DE INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS (II) 1.- PUNTOS SINGULARES DE LAS II Una forma de extender el concepto de Integral de Riemann (IR) es establecer una nueva definición para los casos donde no se cumplan las dos condiciones previas: H1

d(a,b) < M1

Intervalo acotado

H2

| f | < M2

Función acotada

Se llaman puntos singulares de la función real a los puntos aislados del intervalo de integración donde no se cumplen las H1 y H2 de la Integral de Riemann. Def.:

V + ∞ ,V − ∞ s ∈ punto singular (f[a,b]) :=  V s

H1 H2

d(a, b) / < M 1 | f | / < M2

(Intervalo no acotado) (Función no acotada)

2.- DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS Y CONVERGENCIA 2.1.- DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS Suponiendo que en la Integral Impropia existe un único punto singular, se presentan los dos casos, cuando el intervalo no es acotado o la función no es acotada.

Definición de Integral Impropia: Caso Intervalo no acotado

H1

∀A

∫

+∞

a

∫

A

a

f(x) dx ∈ IR

f(x) dx := lim

A→ +∞

∫

A

a

f(x) dx

Definición de Integral Impropia: Caso función no acotada

H1

s ∈ [a b]

H2

∀ (ε 1 ε 2 )

∫

∫

f(x) dx ∈ IR

a

b

a

s −ε 1

f(x) dx := lim + ε 1 →0 +

∫

s −ε 1

a

∫

b

s +ε 2

f(x) dx + lim + ε 2 →0 +

f(x) dx ∈ IR

∫

b

s +ε 2

f(x) dx

Obs.1: Las variables ε1 y ε2 son diferentes. Más adelante se estudiará que sucede si definen como iguales. Obs.2: Las II sobre intervalo no acotado se pueden transformar en II del tipo de funciones no acotadas por el cambio de variables t = 1/(x-s). Por lo tanto para el estudio de las propiedades de las II, es indiferente hablar de un tipo u otro.

2.2.- INTEGRALES CONVERGENTES DIVERGENTES Y OSCILANTES Las II como límite de IR se clasifican según la existencia o no del límite y si es finito o infinito. Esta clasificación es análoga a la que se hace para las series. Se denomina entonces II convergentes, divergentes y oscilantes, las que cumplen:

Def

∫ ∫

II

II

∫ := ∃ lim ∫

∈ CV := ∃ lim ∈ DV

finito

IR

IR

infinito

∫

II

∈ OSC := /∃ lim

∫

IR

Obs.: En algunos textos se usa el concepto de Divergente como contrario lógico de Convergente. La convención de este texto es que Integral No Convergente es Divergente u Oscilante. 2.3.- CONVERGENCIA ABSOLUTA Se define en forma análoga a como se hace con las series la Convergencia Absoluta de las Integrales Impropias . Esto es la Convergencia de la Integral de | f | .

∫

Def:

II

f ∈ CA :=

| f | ∈ CV

∫

II

2.4.- EJEMPLOS DE II Ejemplo 1

∫

+∞

0

1 1+ x2

dx

I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps /H1 H2

[0,+∞[ /< M1 | f | < M2

⇒

Vps : V+∞

II.- Existencia de IR

∫

A

0

1

dx ⇐ f∈ C/[0 A]

1+ x2

III.- Cálculo por definición

∫

A

0

1 1+ x

dx = Arctg x

2

A 0

 → = Arctg A  A→ +∞

π 2

El resultado final es:

∫

+∞

0

1 1+ x

2

dx =

π 2

Ejemplo 2

∫

+∞

0

1 x( x 2 − 1 )

dx

∫

+∞

0

1 1+ x2

dx ∈ CV

I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps 1 no está definida para el intervalo x ∈ [0 1] por lo tanto no existe la Integral La función x( x 2 − 1 ) Impropia.

Ejemplo 3

∫

1

Lx dx

0

I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps H1 /H2

d(0,1) < M1 | Lx | /< M2

⇒

Vps : V0+

II.- Existencia de IR 1

∫ε

Lx dx ⇐ f∈ C/[ε 1] III- Cálculo por definición

1

∫ε

Lx dx = x (L x – 1)

1 → – 1 = – 1 – ε (Lε– 1) ε →0 + ε

El resultado final es:

∫

1

∫

Lx dx = – 1

0

1

0

Lx dx ∈ CV

Ejemplo 4

∫

+∞

sin x dx

0

I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps /H1 H2

[0,+∞[ /< M1 | sin x | < M2

⇒

Vps : V+∞

II.- Existencia de IR

∫

A

0

sin x dx ⇐ sin x∈ C/[0 A] III.- Cálculo por definición

∫

A

sin x dx = – cos x

0

A 0

 → /∃ Lim = – cos A + 1  A→ +∞

El resultado final es:

/∃

∫

∫

+∞

∫

sin x dx

0

3

2

+∞

0

sin x dx∈ OSC

Ejemplo 5 1 dx x−3 I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps

H1

d(2,3) < M1 1 | | /< M2 x−3

/H2

∫

III.- Cálculo por definición 3−ε 1 dx = L|x–3| = Lε ε → – ∞ →0 + 2 x−3

3 −ε

2

∫

Vps : V3-

II.- Existencia de IR 1 dx ⇐ f∈ C/[2 3–ε] x−3

3 −ε

2

∫

⇒

El resultado final es: 1 dx ε → – ∞ →0 + x−3

3 −ε

2

∫

3 −ε

2

1 dx ∈ DV x−3

Ejemplo 6

∫

5

2

1 dx x−3 I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps

H1 /H2

∫

3 −ε 1

2

∫

5

3 +ε 2

d(2,5) < M1 1 | | /< M2 x−3

⇒

Vps : V3- V3+

II.- Existencia de IR 1 dx ⇐ f∈ C/[2 3–ε1] x−3 1 dx ⇐ f∈ C/[3+ε2 5] x−3

III.- Cálculo por definición

∫

3 −ε 1

2

1 dx + x−3

∫

5 3−ε1 1 dx = L|x–3| + L|x–3| 3+ε2 2 x−3

5

3 +ε 2

 → /∃ Lim = Lε1 + L5 – Lε2 ε 1→ 0 + ε 2 →0 +

∫

∃

5

2

El resultado final es: 1 dx x−3

∫

5

2

1 dx∈ OSC x−3

Ejemplo 7

∫

+∞

k dx

0

I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps /H1 H2

[0,+∞[ /< M1 | f | < M2

⇒

Vps : V+∞

II.- Existencia de IR

∫

A

0

k dx ⇐ f∈ C/[0 A] III.- Cálculo por definición

∫

A

0

k dx = k x

A 0

 → +∞ = k A  A→ +∞

k>0

∫

A

0

  → 0 A→ +∞

k=0

  → – ∞ A→ +∞

k0

I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps /H1 H2

∫

A

∫

A

a

[0,+∞[ /< M1 1 | α | < M2 x

⇒

Vps : V+∞

II.- Existencia de IR 1 dx ⇐ f∈ C/[a A] xα III.- Cálculo por definición

a

1

x −α + 1 A A −α + 1 − a −α + 1 − a −α + 1   → = A → +∞ −α + 1 a −α + 1 −α + 1 α >1

≠1 dx a  → =

xα

  → + ∞ A→ +∞ α 1 xα

Ejemplo (Tabla 2) 1

∫

V 0+

x

α

a

dx

∫ε

1

dx

xα

a>0

I.- Análisis de existencia de la función sobre el intervalo de Integración y puntos singulares Vps H1

d(0,a) < M1 1 | α | /< M2 x

/H2

a

∫ε

⇒

Vps : V0+

II.- Existencia de IR 1 dx ⇐ f∈ C/[ε a] xα III.- Cálculo por definición

a

∫ε

1 xα

≠1 dx a  → =

x −α + 1 a a −α + 1 − ε −α + 1 a −α + 1 ε  → = → 0 + −α + 1 ε −α + 1 −α + 1 α 1

=1 a  → =

∫

V 0+

Lx

El resultado final es: 1 dx ∈ CV ⇔ α < 1 xα

a

ε

→ + ∞ = La - Lε ε →0 +

3.- VALOR PRINCIPAL DE UNA INTEGRAL IMPROPIA En el caso de una II oscilante que depende de un límite doble o múltiple, este límite no existe. Pero con una restricción en el pasaje al límite, tomando todas las variables de la siguiente manera:

1 1 = ε1 = ε2 = ε3 = ... = εn-1 = εn = A −B puede darse el caso de que sí exista el límite nuevo. Esta convención genera una nueva definición de integral, que se llama Valor Principal de la Integral. Se retoma el Ejemplo 5 visto anteriormente: 1 dx 2 x−3 5 3 −ε 1 5 3−ε1 1 1 dx + dx = L|x–3| + L|x–3| 3 +ε 2 2 3+ε2 2 x−3 x−3

∫

5

∫

∫

 → /∃ Lim = Lε1 + L5 – Lε2 ε 1→ 0 + ε 2 →0 +

∫

5

2

∫

3 −ε

2

1 dx∈ OSC x−3 Sin embargo si se toma ε1 = ε2 = ε 5 1 1 dx + dx = Lε + L5 – Lε ε → L5 →0 + 3+ε x−3 x−3

∫

Entonces 5 1 ∃ VP dx = L5 2 x−3

∫

La definición de valor principal de una II con n+2 puntos singulares es entonces:

Definición de Valor Principal de una Integral Impropia con un número finito de singularidades

∫

+∞

−∞

∫

f(x) dx := lim+ { ε →0

a1

f(x) dx +

−1 / ε

+

s 1−ε

∫ ∫

+

f(x) dx

+

a1

+

s 2 −ε

∫ ∫

a2

s 1+ε

f(x) dx +

a3

f(x) dx +

a2

s 2 +ε

f(x) dx +

... +

∫

1/ε

f(x) dx }

a

El VP de la II resultante es entonces un límite simple en contraposición de la Integral Impropia con un número finito de singularidades que era un límite múltiple de n+2 puntos singulares:

{ –∞ , ε1 , ε2 , ε3 = ... = ε2n-1 = ε2n = +∞ } tomando: 1 1 = ε1 = ε2 = ε3 = ... = εn-1 = εn = −B A

3.2.- EJEMPLO DE ANÁLISIS DE VALOR PRINCIPAL PARA TABLA DE COMPARACIÓN Una Integral impropia b

1

a

xα

³

dx

α∈ R

a1 q∈Im par p∈Im par

=1 a  → =

L|x|

− a −α + 1 b −α + 1 + −α + 1 −α + 1

−ε b + L x = Lε – L|a| + Lb – Lε ε → Lb – L|a| →0 + a ε

IV.- El resultado final es:

a 0

| A0 ⇒ |

∫

+∞

A

| 0 ∃Va :∀(x1 x2)∈(Va2 ∩D) ⇒ |F (x1 ) – F(x2)| < ε

Como

∫

F(A) =

A

f(x) dx

a

lim

x → +∞

∫

A

a

f(x) dx =

∫

+∞

a

f(x) dx

∫ | ∫

⇔ ∀ε>0 ∃V+∞ :∀(x1 x2)∈ V+∞2 ⇒ | ⇒

Un resultado equivalente se obtiene para Vs con s finito.

A1

a

A2

A1

–

∫

A2

a

| (λ + ε ) g

En ambos casos aplicando el Criterio de Comparación

∫

Vs

g ∈ CV

⇒

∫

Vs

f ∈ CV

[⇐ ] f  → λ : λ≠0 ∧ λ≠±∞ x →s g

g 1 1 1 :  s → ≠0 ∧ ±∞ x → f λ λ λ

⇔

Por lo tanto aplicando la demostración anterior

∫

Vs

f ∈ CV

⇒

∫

Vs

g ∈ CV

4.4.2.- COMPARACION POR LIMITE: TEOREMA II T’2

f  → λ=0 x →s g

H1 H2

∫

Vs

g ∈ CV

⇒

T

∫

Vs

f ∈ CV

D [⇒ ⇒] Es la misma demostración de la condición suficiente del teorema anterior, tomando λ=0

∫

Vs

g ∈ CV

⇒

∫

Vs

f ∈ CV

No es válido la condición necesaria 4.4.3.- COMPARACION POR LIMITE: TEOREMA III T’’2

f  → λ=±∞ x →s g

H1 H2

∫

Vs

g ∈ CV

⇐

T

∫

Vs

f ∈ CV

D [⇐] f  → λ = ±∞ x →s g

⇔

g 1 =0  → x →s f λ

Entonces estamos en las condiciones del teorema anterior

∫

Vs

f ∈ CV

⇒

∫

Vs

g ∈ CV

4.5.- CRITERIO DE COMPARACIÓN CON SERIES POSITIVAS Estos criterios de Comparación muestran la íntima relación entre las Integrales Impropias y las Series en cuanto a los estudios de Convergencia. En particular se tiene: T3.H1 H2

Comparación con Series No negativas monótonas No crecientes f ≥ 0 f’≤ 0 +∞

H3

∑

f(n) ∈ CV

∫

⇔

+∞

1

n= 1

f(x) dx ∈ CV

D.0 ≤

f(2) . 1

0 ≤

f(3) . 1

≤ ≤

∫ ∫

2

f

≤ f(1) . 1

f

≤ f(2) . 1

1

3

2

... 0 ≤

f(n+1) . 1 ≤

∫

n+1

≤ f(n) . 1

f

n

Sumando 0 ≤

n+1

∑

f(k) ≤

k=2

∫

n+1

n

≤

f

1

∑

f(k)

k =1

Pasando al límite cuando n tiende a +∞ . 0 ≤

+∞

∑

f(k) ≤

k=2

∫

+∞

≤

f

1

+∞

∑

f(k)

k =1

Por una parte si +∞

∑

f(k) ∈ CV

⇔

k =1

+∞

∑

f(k) ∈ CV

k=2

Pues difieren en una constante. Entonces por comparación: +∞

∑ k =1

f(k) ∈ CV

⇔

+∞

∑

f(k) ∈ CV ⇒

k=2

Asimismo por comparación si

∫

+∞

1

f(x) dx ∈ CV

∫

+∞

1

f(x) dx ∈ CV ⇒

+∞

∑

f(k) ∈ CV

k =1

pues está acotada inferiormente por 0.

4.6.- CRITERIO DE ABEL T4.-

H1

f:

|f| ≤M f ≥ 0 f’≤ 0 f   → 0 x → +∞

∀(p q) |

H2

q

∫

g(x) dx | ≤ M1

p

∫

⇒

V +∞

f(x) g(x) dx ∈ CV

D.-

∫

A

f(x) g(x) dx =

a

∫ f(A) ∫

x

f(x)

A

g(t) dt

a

a

=

A

∫ ∫

−

a

f ’(x)

a

x

g(t) dt dx

x

f ’(x)

a

∫ ∫

a

A

−

g(t) dt

A

g(t) dt dx

a

El primer término tiende a cero pues: | f(A)

∫

A

a

g(t) dt | ≤ | f(A) | M1   → 0 A→ +∞

El segundo término |

∫

A

a

f ’(x)

∫

x

a

g(t) dt dx | ≤

∫

A

| f ’(x) | |

a

≤ M1 ≤ M1

∫

x

g(t) dt | dx

a

∫ ∫

A

| f ’(x) | dx

a A

f ’(x) dx

a

≤ M1 [ f (A) − f(a) ]

4.7.- CRITERIO DE COMPARACION POR SERIES ALTERNADAS Cuando se tiene una función con infinitos ceros Serie Alternada

{ζk} se puede igualar una Integral impropia con una

+∞

∫ζ

f

=

0

ζ1

∫ζ

ζ2

0

∫ζ

+

-

+

1

+

ζ3

∫ζ

+ ...

2

+

donde cada término de la SA es una integral Recordando el Teorema de Leibnitz de Series Alternadas Teorema de Leibnitz. Convergencia de Series Alternadas un ≥ un+1 ≥ 0  → 0 un n → +∞

⇔

+∞

∑

(-1)n un ∈ CV

k =0

se tiene el siguiente Criterio de CV

T5.- Criterio de Convergencia de Funciones oscilantes

H.- Sea una función alternada con infinitos ceros

un =

ζ n+1

∫ζ

n

H1

| un | ≥ | un+1 |

H2

un n  → 0 → +∞

⇔

+∞

∑ k =0

(-1)n | un | ∈ CV

⇔

+∞

∫ζ

0

f ∈ CV

5.- TABLA DE INTEGRALES IMPROPIAS

1.-

∫

2.-

∫

3.-

∫

1 xα 1

V +∞

V 0+

V0

xα 1 x

α

dx ∈ CV ⇔ α > 1 dx ∈ CV ⇔ α < 1 dx ∈ CV ⇔ α =

⇔ α= 4.-

∫

5.-

∫

6.-

∫

7.-

∫

V +∞

V 0+

V +∞

V +∞

Lx xα Lx

p ∈ Q ∧ (p,q)∈ Primos entre si ∧ p < q ∧ q∈Impar q p ∈ Q ∧ (p,q)∈ Primos entre si ∧ p ≥ q ∧ q∈Impar ∧ p∈Impar q

dx ∈ CV ⇔ α > 1

dx ∈ CV ⇔ α < 1 xα sin( x ) dx ∈ CV ⇔ α > 0 xα e-x xα dx ∈ CV

⇔ ∀α ∈R