Universidad de San Carlos de Guatemala Ronald Oliverio Chubay Gallina

Intensidad del Sonido Es notable por observación que al utilizar auriculares de tipo intrauriculares (de pastilla), de tipo supraaurales (que topan en el pabellón de la oreja) o de tipo circumaurales (que rodean toda la oreja) se obtiene distinto sonido en cuanto a intensidad o potencia, al final se ilustran. Ante esto hay estudios que muestran que el uso de auriculares de tipo intrauriculares es dañino para el oído humano porque alcanza niveles muy altos de intensidad, pero solo está la conclusión, resulta interesante pues dar un fundamento matemático a esta afirmación y demostrar a través de expresiones que esto es cierto.

Primero llamaremos a los auriculares de tipo intrauriculares auriculares de tipo 1, a los supraaurales auriculares de tipo 2 y a los circumaurales auriculares de tipo 3 para facilitar la notación, se aplicará los conceptos a los auriculares de tipo 1 y 2 puesto que 2 y 3 son muy semejantes.

Tipo 1

Tipo 2

Tipo 3

Parte A. Aquí vamos a tomar en cuenta solo la distancia a la que se encuentran los auriculares tipo 1 y 2 del tímpano y no su forma, porque los de tipo 1 están dentro de la oreja. Cambios debido a su distancia Como primer elemento tenemos que la potencia de una fuente sonora se mide en Watts, y que de la fuente hacia el receptor el sonido se dispersa en forma de esferas con centro en la fuente, es decir que a mayor separación fuente-receptor será menor la “intensidad” del sonido que escuchamos, en términos matemáticos la intensidad con que escuchamos un sonido es inversamente proporcional a la distancia de la fuente-receptor y se espera que a una distancia suficientemente grande la intensidad tienda a cero. Esto significa que sonidos que se producen en Japón, China, Asia o un lugar lejano se escuchan en Guatemala con una intensidad de cero, luego decimos que no podemos escuchar ese sonido. Como “r” es muy grande la intensidad tiende a cero y decimos que no podemos escuchar un sonido proveniente de un lugar lejano. Luego con esto tenemos la ecuación:

1

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𝐼𝑟 = 𝐼

𝑟

𝑃0 𝐴𝑟

: 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟

𝐴 𝑟 : Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟 𝑃0 : 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) En el sistema internacional la intensidad se mide en 𝑊/𝑚2 .

¿Todos los sonidos de intensidad 𝐼 𝑟 pueden ser escuchados? No, solo aquellos que son lo suficientemente intensos como para ser percibidos por el oído humano, existe un valor mínimo conocido como “Umbral de audición” que tiene un valor de 10−12 𝑊/𝑚2 en el sistema internacional. Y por ser un órgano sensible el oído humano puede percibir sin sufrir daño hasta una intensidad de 1 𝑊/𝑚2 valor conocido como “Umbral del dolor”. Para medir esto se utiliza un elemento conocido como “Nivel de intensidad del sonido” debido a la amplia gama entre estos dos umbrales, por ello se utiliza la escala logarítmica: 𝐼𝑟 𝐵 = 10 log10 𝐼0 Donde 𝐼 0 corresponde al umbral de audición. Esta escala es adimensional y por convención se utilizan el“bel” (normalmente se utilizan el submúltiplo decibel, de ahí el 10), correspondiendo 0 dB al umbral de audición y 120 dB al umbral del dolor. Para nuestro estudio veremos que la potencia de la fuente es 𝑃0 (suponemos que es constante y que la potencia de los auriculares tipo 1 es igual a la del tipo 2) Tenemos que la intensidad de 1 y 2 (auriculares tipo 1 y tipo 2) es: 𝑃

𝐼1 = 𝐴0

1

𝑃

𝐼2 = 𝐴0

2

Igualando: 𝐼1 ∗ 𝐴1 = 𝐼2 ∗ 𝐴2 Despejando para la intensidad 1 𝐼2 ∗ 𝐴2 𝐼2 ∗ 4𝜋𝑟 2 2 𝐼2 ∗ 𝑟 2 2 𝑟2 𝒆𝒄 𝟏 𝐼1 = = = = 𝐼 ∗ 2 𝐴1 4𝜋𝑟 2 1 𝑟 21 𝑟1

2

→

𝑰𝟏 = 𝑰𝟐 ∗

𝒓𝟐 𝒓𝟏

𝟐

𝑟

Donde los auriculares de tipo 1 están más cerca del oído que 2, por lo que el cociente 𝑟2 es 1

mayor a 1, luego la intensidad 1 es mayor a la intensidad 2. En cuanto al nivel de intensidad tenemos: 2

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𝐼1 𝐼2 Utilizando a 2 como referencia (esto implica que 𝐵2 = 0 𝑑𝐵), se hace la aclaración que este nivel de intensidad se da en relación a una magnitud de referencia, en este caso usamos a 2 de referencia y no al umbral de audición. 𝐵 = 10 log10

𝐵1 = 10 log10

𝐼1 = 10 log10 𝐼2

𝐼2 ∗

𝑟2 2 𝑟1

𝐼2

𝑟2 2 𝑟2 = 20 log10 𝑟1 𝑟1 En el caso de que la fuente esté desnuda y a una distancia del tímpano 𝑟1 𝑦 𝑟2 . 𝒆𝒄 𝟐 𝐵1 = 10 log10

Si tomamos las distancias como:

3

Si asumimos que 𝑟1 = 4 𝑟2 podemos resolver las ecuaciones y obtenemos: 2

𝐼1 = 𝐼2 ∗

𝐵1 = 20 log10

𝑟2 3

𝑟 4 2

= 20 log10

𝑟2 3

𝑟 4 2

=

16 𝐼 9 2

4 ≈ 2.50 3

Es decir 1 es 16/9 (1.778) más intenso que 2 y que 1 tiene aproximadamente 2.5 decibeles más, por ser una escala logarítmica es una cantidad considerable. 3

Esto implica que bajo esta suposición 𝑟1 = 4 𝑟2 un auricular de tipo 2 con un nivel de intensidad de 50 dB en uno con la misma potencia de tipo 1 sería aproximadamente 53 dB. Y su intensidad sería casi el doble. En los auriculares de tipo 1 se tiene otra característica, que el sonido sufre un efecto de tubo (por analogía) porque el sonido no se dispersa sobre el espacio en forma de esferas, sino que las ondas se mueven solo en las paredes de esta cavidad, similar a gritar dentro de un tubo, se espera que estos 3

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sonidos sean más intensos no solo por la distancia, sino que también porque forman una especie de tubo cerrado, mientras que los de tipo 2 y 3 están fuera del oído. Parte B. En esta parte se muestra las diferencias entre la intensidad entre dos fuentes de la misma potencia, a la misma distancia pero con distintas formas (tipo 1 y tipo 2).

Tipo 1

Tipo 2

Cambios debido a su forma En otro caso analizamos la intensidad de una fuente con distinta forma a la misma distancia.Para esto utilizamos un software que mide las intensidades de entrada (cabe resaltar que los decibeles se utilizan para comparar magnitudes, a veces de sonido, otras de voltaje, etc. Por lo que solo interesa un valor de referencia y la escala), para fines prácticos solo analizaremos la razón de entrada de intensidad medida por el software, analizando la gráfica de razón de entrada en auriculares tipo 1 y 2, porque se trata de la misma fuente (se utilizó un cascarón de tipo 2 y dentro audífonos de tipo 1 para que la potencia fuera la misma). Debido a que no se conoce la magnitud de referencia del software y su escala y no es posible hacer una medición precisa de la intensidad del sonido prueba, ni de su potencia, solo de la razón de entrada a través de las gráficas.

Sonido percibido por el software con audífonos de tipo 1.

Sonido percibido por el software con audífonos de tipo 2.

Es claro que en 2 se obtiene una mayor intensidad (porque la razón de entrada es mayor) pero ¿a qué se debe esto?, podría ser que las esferas 𝟐

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐 = 𝒇 𝒙,𝒚,𝒛 con centro en la fuente tienen un gradiente de la forma 𝑭 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌, podemos tomar este campo 4

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vectorial para modelar los vectores intensidad, luego el flujo a través del área del micrófono lo tomamos como:

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝐴 =

𝐹 ∙ 𝑑𝑆 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑆

𝑟𝑜𝑡𝐹 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 𝐷

De la segunda integral y sabiendo que el área del micrófono perceptor es igual en ambos casos hacemos la suposición de que 𝑛𝑑𝐴 es igual en ambos casos, lo que implicaría que los rotacionales serían distintos o bien que el campo vectorial es distinto.

Tipo 2

Tipo 1

Lo que haría que en 2 sea más intenso el sonido por la baja dispersión. Conclusiones La intensidad es mayor en auriculares de tipo 1 que de tipo 2 y 3 debido a que está más cerca del tímpano y que su forma permite que el sonido se conserve moviéndose en una especie de tubo en la cavidad del oído. Los audífonos de tipo 2 generan una especie de cono, amplificando el sonido un poco más que los audífonos de tipo 1, pero no lo suficiente como para compararse con la intensidad mostrada por la diferencia de distancia en la parte A, por lo que es más saludable utilizar audífonos de tipo 2 y 3.

Referencias: http://es.wikipedia.org/wiki/Auriculares http://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_de_sonido

Programas: WavePadAudio Editing Software, NCH software. Geogebra, http://www.geogebra.org/cms Scientific Notebook, MacKichansoftwares, inc.

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