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INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las funciones Monto e Interés: 9 a) C n = + 0,4·n con Cn en miles de pesos ; n: meses y n ∈ ℜ . 4 Para graficar estar funciones, debemos dar valores a n, por ejemplo 0,1,2,3 etc. y obtener el resultado de Cn. Vamos a calcular para los valores de n=0 hasta 6, n 0 1 2 3 4 5 6 Cn 2,25 2,65 3,05 3,45 3,85 4,25 4,65 Monto 4,65

5,00

4,25

4,50

3,85

Miles de pesos

4,00

3,45 3,05

3,50 3,00 2,25 2,50

2,65

2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0

1

2

3

4

5

6

Meses

3 · n con I en cientos de pesos ; n: meses y n ∈ ℜ . 50 n 0 1 2 3 In 0 0,06 0,12 0,18

b) I =

4

5

6

0,24

0,3

0,36

Interés 0,40

0,36

Cientos de pesos

0,35

0,30

0,30

0,24

0,25 0,18

0,20 0,12

0,15 0,10 0,05 0,00 0,00 0

0,06

1

2

3 Meses

1

4

5

6

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c) Escondí detrás del mueble de casa un dinero, entonces el monto de los ahorros está dado por la 9 ley matemática: C n = con Cn en miles de pesos ; n: meses y n ∈ ℜ . 4 Capital 2,50 2,25 Miles de pesos

2,00 1,75 1,50 1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 0

1

2

3

4

5

6

M e se s

2.- Clasifica las funciones lineales de 1.a) Función lineal (creciente) b) Función proporcional (creciente) c) Función constante

3.- Identifica para cada caso la pendiente y la ordenada al origen. a) Para el cálculo de la pendiente debemos hacer: P =

∆C n 3,45 − 3,05 0,4 = = = 0,4 ∆n 3−2 1

La ordenada al origen se obtiene para n=0, esto es $ 2,25 b) Es una función proporcional que pasa por el origen de coordenadas por lo que no tiene ordenada al origen. Es igual a cero. Su pendiente se calcula de igual forma que la recta del punto a: ∆C n 0,18 − 0,12 0,6 P= = = = 0,6 3−2 1 ∆n c) La función constante no tiene pendiente, ya que es paralela al eje x. Corta al eje y en el valor 2,25 siendo este la ordenada al orígen. 9 4.- En C n = + 0,4·n con Cn en miles de pesos ; n: meses y n ∈ ℜ . 4 a) ¿Cuál es el Capital Inicial? 9 El capital inicial es C 0 = 4 b) ¿Cuál es la Tasa de Interés mensual? 9 En la ecuación C n = + 0,4·n el valor 0,4 representa la pendiente de la recta. Es decir el interés 4 que se produce durante cada periodo. Si n=1, I=0,4. Como el I=C0.i.n, para n=1 tenemos:

2

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9 0,4 = .i.1 . Despejando i de la ecuación anterior, nos queda: 4 0,4 i = = 0,1778 . Por lo tanto la tasa mensual es: 0,1778 . 100 = 17,78% 9 4 c) Calcula la tasa de interés anual. La tasa de interés anual surge de multiplicar por 12 la obtenida en b. Tasa anual= 0,1778 . 12 = 2,133 . 100 = 213,33 % d) ¿Qué quieren significar las constantes

9 y 0,4 de la fórmula Cn? 4

9 representa el capital inicial y el valor 0,4 el Interés generado mensualmente. 4 e) En relación al grafico 1.- a) , y la escala empleada, estima cuánto es Cn para n = 2,3 meses. f) Para este caso hacemos uso del gráfico, trazando una recta paralela al eje “y” y cortamos a la recta de Monto. Luego trazamos una recta paralela al eje “x” y leemos el valor en el eje “y”. (ver flechas). El valor obtenido para Cn es aproximadamente: 3,2 miles de pesos, para n = 2,3 meses.

El valor

Monto 4,65

5,00

4,25

4,50

3,85

Miles de pesos

4,00

3,45 3,05

3,50 3,00 2,25 2,50

2,65

2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0

1

2

3

4

5

6

Meses

g) Compara la estimación de e) con el cálculo exacto empleando la fórmula C n = Para comparar debemos aplicar la ecuación reemplazando n por 2,3. Cn =

3

9 + 0,4 · 2,3 = 2,25 + 0,92 = 3,17 4

9 + 0,4 · n . 4

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7 1 + · n con Cn en miles de pesos ; n: meses y n ∈ ℜ , grafica esta nueva Función 2 5 Monto por Interés Simple “SIN HACER TABLA DE VALOR ALGUNA”; tan sólo usando la 7 1 información que provee las constantes y . 2 5

3.- Si C n =

Para realizar este gráfico sin hacer uso de una tabla, debemos tener dos puntos de la recta. 7 1º punto, es donde esta corta al eje “y”. Es decir la ordenada al orígen: . 2 1 2º punto, considerando la pendiente: . El significado de la misma como lo expresamos en el 5 ∆C n 1 problema 3a, es : P = = . Esto quiere decir que por cada 5 meses, el capital se incrementa en ∆n 5 1, es decir 1000 pesos. Es decir que podemos trazar el segundo punto, desplazándonos 5 unidades en el eje “x” y “subiendo” una unidad en el eje “y”.

M ile s d e p e s o s

Monto 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

2º punto: para 5 unidades en x, aumentamos 1 unidad en y.

1º punto: ordena al origen=7/ 2

0

1

2

3 Meses

4

4

5

6

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4.- Considerando los gráficos de los montos ya trabajados: imagina que el Banco A para una 9 determinada inversión, la ley matemática- financiera del Monto está dada por C n = + 0,4·n con 4 Cn en miles de pesos ; n: meses y n ∈ ℜ ; e imagina que el Banco B ofrece la ley matemática – 7 1 financiera es C n = + · n con Cn en miles de pesos ; n: meses y n ∈ ℜ . 2 5 a) ¿En ambos bancos se hace la misma inversión? La inversión inicial está dada por la ordenada al origen de cada ecuación. En el Banco A la inversión es de 9/4=2.25 miles de pesos En el Banco B la inversión es de 7/2=3.5 miles de pesos b) ¿En qué tiempo exacto los Montos son coincidentes? Grafica ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesiano. Los montos son coincidentes (matemáticamente hablando), cuando Cn-A=Cn-B Por lo tanto si los primero términos de ambas ecuaciones son iguales, los segundos miembreos también deben serlo. Por lo que podemos igualar ambas expresiones: 9 7 1 + 0,4·n = + ·n De esta igualdad podemos obtener n, para saber en que tiempo exacto los 4 2 5 Montos son coincidentes. 1 7 9 0,4·n − ·n = − 5 2 4 1 7 9  ·n 0,4 −  = − 5 2 4 Agrupando y despejando n, obtenemos:  n.0.2 = 1,25

n=

1,25 = 6,25meses 0,2

Miles de pesos

Inversiones Bancos A y B 7,00 6,50 6,00 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10

Meses Banco A

5

Banco B

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c) ¿Cuál es la Tasa Mensual de Interés en cada Banco? 9 Para el Banco A, en la ecuación C n = + 0,4·n el valor 0,4 representa la pendiente de la recta. Es 4 decir el interés que se produce durante cada periodo. Si n=1, I=0,4. Como el I=C0.i.n, para n=1 tenemos: 9 0,4 = .i.1 . Despejando i de la ecuación anterior, nos queda: 4 0,4 i = = 0,1778 . Por lo tanto la tasa mensual es: 0,1778 . 100 = 17,78% 9 4 7 1 1 Para el Banco B, en la ecuación C n = + · n el valor representa la pendiente de la recta. Es 2 5 5 1 decir el interés que se produce durante cada periodo. Si n=1, I= . Como el I=C0.i.n, para n=1 5 tenemos: 1 7 = .i.1 . Despejando i de la ecuación anterior, nos queda: 5 2 1 i = 5 = 0,05714 . Por lo tanto la tasa mensual es: 0,05714 . 100 = 5,714% 7 2 d) ¿Cuál banco conviene? Conviene el Banco A, por tener una tasa mensual mayor. Esto se ve reflejado en el gráfico ya que es la recta con mayor pendiente (inclinación). Para llegar al mismo monto en igual tiempo, con el Banco A lo puedo hacer partiendo de un capital inicial menor.

6

Interés Simple según los años

8 7 6 En decenas de pesos

5.- Para cada gráfico reconstruye la información: Interés Simple según los años a) Enuncia la ley matemática – financiera de cada gráfico. La ley matemática corresponde a una función lineal proporcional del tipo y=a.x Para este caso particular: I = C0 .i.n b) Reconstruye la tabla. Para reconstruir la tabla debemos hallar la pendiente de la recta: ∆I 5−0 5 P= n = = = 2,5 ∆n 2 − 0 2 Con este dato podemos reescribir la anterior ecuación como sigue: I = 2,5.n Años Interés 0 0 1 2,5 2 5,0 3 7,5 c) Identifica el Capital Inicial cuando sea posible. No es posible en este caso porque se trata de un recta de Interés y no de Monto. d) Identifica la Tasa, cuando sea posible.

5 4 3 2 1 0 0

1

2 Años

3

4

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Para conocer la tasa es necesario saber el Capital Inicial. En este caso no se puede. e) Identifica la Pendiente y la Ordenada al origen para cada caso, e interpreta dicho valores. La pendiente de la recta es 2,5 y la ordenada al origen es 0. La pendiente indica que se generan 2,5 decenas de pesos, $ 25 por cada año de plazo. f) Analiza la Función Monto: Dominio, Imagen, Crecimiento-Decrecimiento. No aplicable ya que es una función de Interés.

Monto por Interés Simple según los años a) Enuncia la ley matemática – financiera de cada gráfico. La ley matemática corresponde a una función lineal del tipo y = a.x + b Para este caso particular: C n = C0 + I ·n b) Reconstruye la tabla. Para reconstruir la tabla debemos hallar la pendiente de la recta: ∆C n 9−2 7 P= = = = 0,35 ∆n 20 − 0 20 Con este dato podemos reescribir la anterior ecuación como sigue:

Cn = 2 + 0.35·n

Años Interés 0 2,00 2 2,70 5 3,75 8 4,80 10 5,50 20 9,00 c) Identifica el Capital Inicial cuando sea posible. El Capital Inicial es el punto donde la recta corta al eje y. En este caso 2. d) Identifica la Tasa, cuando sea posible. Para conocer la tasa es necesario saber el Capital Inicial. La pendiente de la recta representa el interés I que es igual a C0.i.n 0,35 = 2,0.i.1 . Despejando i de la ecuación anterior, nos queda: 0,35 i = = 0,175 . Por lo tanto la tasa anual es: 0,175 . 100 = 17,5% 2 e) Identifica la Pendiente y la Ordenada al origen para cada caso, e interpreta dicho valores. La pendiente de la recta es 0,35 y la ordenada al origen es 2,0 (esto es Capital Inicial). La pendiente indica que se generan 0,35 miles de pesos, $ 350 por cada año de plazo. f) Analiza la Función Monto: Dominio, Imagen, Crecimiento-Decrecimiento. Se llama dominio de definición de una función f, y se designa dom f, al conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente y. Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función. En este caso el dominio corresponde a los números reales positivos (años) y la imagen a los números reales positivos mayores o iguales a 2. Es una función biyectiva, por lo que a cada valor de x le corresponde un solo valor de y. La función es es una función lineal creciente.

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Ciclo Básico Unificado de las Tecnicaturas Superiores Módulo Herramientas Matemática Monto por Interés Simple según los años 10 9

En miles de pesos

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Años

6.- El Rendimiento Acumulado del dinero en una operación de inversión desde el 1/1 al 1/6 del mismo año ha seguido la ley R(0;t) = 5 · t % . a) ¿Qué tipo de función es? b) Analiza la función: Dominio, Imagen, Crecimiento-Decrecimiento.

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