INTERFERENCIA DE ONDAS Guillermo Becerra Córdova Área de Física Dpto. de Preparatoria Agrícola Universidad Autónoma Chapingo E–mail: [email protected] RESUMEN En este trabajo se presenta un programa que muestra la simulación de la interferencia de dos ondas. La simulación consiste en gráficas que muestran cada una de las componentes y la resultante de dos ondas senoidales. El usuario podrá introducir, a través de las barras de desplazamiento del programa, el rango de despliegue de las gráficas, al igual que los valores de la amplitud, de la frecuencia y de la fase de cada una de las ondas que constituyen al sistema. Por medio de las gráficas, el usuario tendrá la posibilidad de observar por separado las características de cada una de las ondas y su resultante. El objetivo del sistema es que el usuario pueda observar la forma de la onda resultante cuando interfieran dos ondas con iguales o diferentes características e identificar la función de su amplitud, su frecuencia y su fase. SUMMARY In this work a program is presented, which shows the simulation of the interference from two waves. The simulation consists on graphs, that show each one of the components and the resultant from two sundial waves. The user will be able to introduce, through the displacement bars of the program, the unfolding range of the graphs, and also the values of the amplitude, the frequency and the phase of each one of the waves, which constitute the system. By the graphs, the user will have the possibility to observe separately the characteristics of each one of the waves and its resultant. The objective of the system is that the user can observe the form from the resulting wave when interfere two waves with the same or different characteristic and to identify the function of the amplitude, the frequency and the phase. PALABRAS CLAVE: Onda, Período, Interferencia, Amplitud, Frecuencia, Fase, Rapidez. KEY WORDS: Wave, Period, Interference, Amplitude, Frequency, Phase, Speed.

INTRODUCCIÓN: Se dice que una onda es una vibración o perturbación que se propaga, por lo que no puede existir en un solo lugar1. Se pueden propagar en un medio material o en el vacío. El sonido es una clase de perturbación que se propaga en un medio, como el aire. La luz es un tipo de vibración que se propaga en el vacío. Una onda puede transportar energía, pero no hay transporte de materia aunque se propague la perturbación en un medio 2. En general, existen dos tipos de ondas: longitudinales y transversales. Las longitudinales son aquellas en que la propagación de la onda y el movimiento del medio ocurre en la misma dirección. Las transversales son aquellas en que su propagación y el movimiento del medio ocurre en direcciones perpendiculares 3. La figura 1 muestra un tipo particular de vibración transversal, denominada onda senoidal. Observe que el punto más elevado se llama cresta y el más bajo se

Cresta

Onda Senoida

Amplitud

Valle

Tiempo

Figura 1 llama valle. La amplitud denota la distancia que va desde el punto medio hasta la cresta o el valle de la onda. La amplitud se puede definir como el máximo alejamiento de la posición de equilibrio. La longitud de onda es la distancia entre

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la cima de una cresta y la cima de la siguiente. De manera equivalente, la longitud de onda es la distancia entre partes idénticas sucesivas. La frecuencia nos indica el número de vibraciones que se llevan a cabo por unidad de tiempo. La unidad de frecuencia se llama Hertz, que equivale a una vibración por segundo 4. Las ondas periódicas son aquellas que tienen la misma frecuencia, es decir, son aquellas que se repiten a intervalos regulares de tiempo. A diferencia de la frecuencia, el período representa el tiempo que tarda una vibración. Así, el período es el inverso de la frecuencia 5. La rapidez de una vibración depende del medio a través del cuál se propaga. Cualquiera que sea el medio, la rapidez está relacionada con su frecuencia y su longitud de onda. La rapidez es el producto de la longitud de onda por su frecuencia 6. Para que dos perturbaciones se propaguen con la misma velocidad y diferente frecuencia, es necesario que sus longitudes de onda sean diferentes. Así, la onda de mayor frecuencia deberá tener menor longitud de onda o la onda de mayor longitud deberá tener menor frecuencia. En consecuencia, la frecuencia y la longitud de onda varían inversamente produciendo la misma rapidez. Es importante resaltar que el objetivo que se persigue con el programa, es que el usuario identifique el papel que juega la amplitud, la frecuencia, y la fase de una onda y observe las características de dos ondas senoidales y la resultante de su interferencia. A diferencia de una calculadora gráfica que emplea funciones, el sistema tiene la característica de manipular sólo los parámetros de una función senoidal. Con

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ello, el usuario fácilmente podrá identificar la función que cumple cada uno de ellos. En esta cualidad radica la importancia del sistema. El programa puede ser utilizado como apoyo didáctico para estudiantes de nivel bachillerato, al tratar el tema de interferencia de ondas. RESULTADOS: En esta sección describiremos, como resultado del proyecto, el programa que lleva a cabo la simulación para la Interferencia de Ondas. La simulación consiste en gráficas que muestran las componentes y la resultante de la interferencia de un par de ondas. El programa es activado haciendo doble click en el icono correspondiente con esta aplicación. La figura 2 muestra la distribución de las diversas opciones con las que cuenta el sistema.

Figura 2 Las barras de desplazamiento que se encuentran en la parte superior de la pantalla, son utilizadas para que el usuario seleccione a través de ellas los valores de las amplitudes, de las frecuencias y de las fases de las ondas que interfieren en la simulación. De igual forma, existe una barra de desplazamiento para seleccionar el rango en el que se desplegarán las ondas. Este rango es el

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mismo para las dos. Observe que conforme se modifiquen las barras de desplazamiento, en las cajas de texto respectivas se desplegarán los valores de cada uno de los parámetros que rigen la simulación. Para introducir los valores de los parámetros que rige la simulación de la interferencia, es necesario colocarse en una barra de desplazamiento particular. Después que se ha ubicado en una de ellas, será posible disminuir o aumentar una cantidad determinada con solo hacer click con el botón izquierdo del ratón en la flecha izquierda o derecha de la barra o sobre la barra de desplazamiento. Cada valor introducido será desplegado en la etiqueta correspondiente. El proceso se aplica para cada una de las barras de desplazamiento que componen el sistema. La figura 3 muestra algunos valores que han sido introducidos en cada etiqueta.

Figura 3 Esta figura muestra que sólo se han introducido valores para las amplitudes y las frecuencias. Observamos que las ondas tienen igual amplitud e igual frecuencia. En este caso ambas tendrán las mismas características. En consecuencia, las gráficas serán idénticas. Para observar la forma de las ondas de acuerdo con los

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valores de los parámetros introducidos por el usuario, es necesario activar las opciones que las muestran. Para ello, debemos hacer click con el botón izquierdo del ratón sobre cualquiera de los botones correspondientes a las opciones que activan cada una de las gráficas. Una vez activada alguna de ellas, se mostrará la gráfica de la onda correspondiente. El sistema calculará, de acuerdo con los valores introducidos por el usuario, las escalas en ambos ejes y ajustará automáticamente las gráficas en el espacio diseñado para ello. Cualquier opción se puede activar cuantas veces desee el usuario, sin necesidad de introducir nuevamente los parámetros que rigen la simulación. Observe la figura 4.

Figura 4 Note en la figura 4 que en la gráfica solo aparece una onda componente debido a que se superponen ambas por tener los mismos parámetros. Observe que la amplitud de la onda resultante es igual al doble de la amplitud de las ondas componentes. Con el programa se puede mostrar que, en general, la amplitud de la resultante de la suma de dos ondas con las mismas características es igual a la suma de las amplitudes de cada componente

5

. A manera de ejemplo, mostramos la suma de dos ondas cuyas amplitudes son diferentes. Observe la figura 5.

Figura 5 Si las ondas tuviesen diferente fase, la amplitud no sería igual a la suma de las amplitudes. La figura 6 muestra la suma de dos ondas con igual amplitud y frecuencia, pero desfasadas π/2 radianes.

Figura 6 Observe en la figura que la frecuencia de la onda resultante es igual a la frecuencia de las ondas constitutivas y su amplitud se encuentra entre cero y la suma de las amplitudes de ambas ondas. Para el caso en que las amplitudes de las ondas sean iguales y las ondas tengan la misma frecuencia y desfasadas π/2

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radianes, el cuadrado de la amplitud de la onda resultante será igual al doble del cuadrado de la amplitud de ambas ondas. En el caso en que estuviesen desfasadas π/2 radianes y las amplitudes fuesen diferentes, el cuadrado de la amplitud de la onda resultante sería igual a la suma de los cuadrados de las amplitudes de ambas ondas, la cual difiere de cero. La figura 7 muestra el caso de la suma de dos ondas con diferente amplitud, desfasadas π/2 radianes .

Figura 7 Si las ondas se encontrasen desfasadas π radianes y sus amplitudes fuesen diferentes, el cuadrado de la amplitud de la onda resultante sería igual cuadrado de la diferencia de las amplitudes. Observe la figura 8.

Figura 8

7

Si las frecuencias de las ondas constitutivas fuesen grandes y poco diferentes, entonces la amplitud variaría muy rápidamente, formando pulsos. La onda resultante consistiría en grupos de ondas que están separados por nodos. Estos nodos se producirían periódicamente; mientras más cercanas sean las frecuencias de las ondas componentes, más separados estarán los nodos. Si las frecuencias llegasen a ser iguales, estos nodos desaparecerían y la onda resultante ya no tendría grupos. La figura siguiente muestra la gráfica desplegada por el sistema para un caso similar al descrito.

Figura 9 Observe en la figura las ondas constitutivas y el pulso formado por la interferencia de las mismas. Note que las amplitudes de las ondas son las mismas a diferencia de las frecuencias, las cuales son las causantes de que al interferir las ondas generen el pulso. Debemos mencionar que el sistema ha sido elaborado a través de Visual Basic Ver 4 7.

8

DISCUSIÓN: Cuando dos fuentes crean simultáneamente ondas en un medio, estas ondas se superponen. La superposición de dos o más ondas da como resultado una nueva onda que, en general, tiene características diferentes a las de las ondas que las componen. La interferencia es el fenómeno que resulta de superponer dos o más ondas en un medio. La onda resultante se obtiene sumando algebraicamente los desplazamientos de las ondas componentes 8. Supongamos la interferencia de dos ondas senoidales de igual amplitud, frecuencia y fase. Las siguientes ecuaciones representan cada una de ellas: A1 = A0 Sen( wt + α )

1

A2 = A0 Sen( wt + α )

2

y

donde: A0 representa la amplitud, w la frecuencia y α la fase de la onda. La resultante es una onda de amplitud igual al doble de la amplitud original y de la misma frecuencia. La ecuación 3 representa la onda resultante de la suma de dos ondas sin desfasamiento. A = A1 + A2 = 2 A 0 Sen( wt + α )

3

La interferencia de dos ondas sin desfasamiento da lugar a interferencia constructiva. Observe la figura 10. Note que la amplitud de la onda resultante es el doble de la amplitud de las ondas componentes. Si las ondas que interfieren están desfasadas en media longitud de onda, es decir, la cresta de una coincide con el valle de la otra, la resultante de estas dos ondas es una onda de amplitud cero; por lo que no hay onda resultante. La

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Onda Senoidal

Tiempo

Figura 10 ecuación 4 representa el valor de la onda resultante. A = A 0 Sen( wt + α ) + A0 Sen( wt + α + π ) = A0 Sen( wt + α ) − A0 Sen( wt + α ) = 0

4

El desfasamiento en media longitud de onda de una de las ondas se logra sumando π radianes al argumento de la función seno. La interferencia de dos ondas desfasadas en media longitud de onda, se dice que genera interferencia destructiva. La resultante de estas dos ondas es una onda de amplitud cero, es

Onda Senoidal

decir, no hay onda resultante. Observe la figura 11.

Tiempo

Figura 11 Estos dos casos son extremos. Los casos intermedios son aquellos en los cuales las ondas componentes están desfasadas una de otra por cualquier

10

fracción de longitud de onda. En este caso, la amplitud de la onda resultante no es el doble de la amplitud ni cero, sino tiene un valor intermedio. Para hacer una análisis general de la interferencia de ondas desfasadas, supongamos que se tienen dos ondas dadas por las siguientes ecuaciones: A1 = A01 Sen ( wt + α 1 )

5

A2 = A0 2 Sen( wt + α 2 )

6

y

Observe que ambos tienen la misma frecuencia. La perturbación resultante es la superposición lineal de estas dos ondas, es decir:

A = A1 + A2

7

sustituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la ecuación 7 y desarrollando, se obtiene: A = A01 ( SenwtCos α 1 + Senα 1Coswt ) + A0 2 ( SenwtCos α 2 + Senα 2 Coswt )

8

Por tanto A = ( A01 Cosα 1 + A0 2 Cosα 2 ) Senwt + ( A01 Senα 1 + A0 2 Senα 2 )Coswt

9

ya que los términos entre paréntesis son constantes en el tiempo, hagamos A0 Cosα = A01 Cosα 1 + A0 2 Cosα 2

10

A0 Senα = A01 Senα 1 + A02 Senα 2

11

y

Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones, se obtiene:

A02 = A021 + A022 + 2 A01 A02 Cos(α 2 − α 1 ) y dividiendo 11 entre 10, concluimos que:

11

12

tan α =

A01 Senα 1 + A02 Senα 2 A01 Cosα 1 + A02 Cosα 2

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La perturbación total queda entonces: A = A0 CosαSenwt + A0 SenαCoswt

14

A = A0 Sen( wt + α )

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o

donde: Sen ( wt + α ) = Cos αSenwt + SenαCoswt

9

Así, la onda compuesta también es senoidal y de la misma frecuencia que las constitutivas, aunque su amplitud y fase sean diferentes. El factor crucial es la diferencia de fase entre las dos ondas que interfieren. Cuando la diferencia de fase es múltiplo par de π, la amplitud resultante es un máximo, mientras que si es un múltiplo impar, da un mínimo. El análisis se ha restringido a la superposición de ondas con la misma frecuencia. Sin embargo, en realidad no se tienen perturbaciones que sean estrictamente con la misma frecuencia. Sería bastante más realista hablar de ondas que están compuestas por un estrecho rango de frecuencias. Un caso importante es la interferencia de dos ondas de la misma amplitud, pero de frecuencias muy cercanas

w1 y w2

Consideremos ahora la perturbación

compuesta que aparece de la combinación de las ondas: A1 = A01 Sen ( w1t + α 1 )

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A2 = A01 Sen( w2 t + α 2 )

17

y

12

las cuales tienen amplitudes iguales y fases iniciales diferentes de cero. La onda neta es: 1 1 A = 2 A01 Sen [( w1 + w2 )t + (α 1 + α 2 )]Cos [( w1 − w 2 )t + (α 1 − α 2 )] 2 2 −

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−

Ahora definimos las cantidades w y α como la frecuencia y la fase promedio, respectivamente 10. De igual forma, las cantidades wm y α m se designan como la frecuencia y la fase de modulación 11. Por lo tanto hagamos: −

w≡

−

1 ( w1 + w2 ) 2

1 2

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1 2

20

α ≡ (α 1 + α 2 )

y wm ≡

1 ( w1 − w2 ) 2

α m ≡ (α 1 − α 2 )

entonces: −

−

A = 2 A01 Sen( w t + α )Cos( wm t + α m )

21

La perturbación total se puede considerar como una onda viajera de frecuencia −

w que tiene una amplitud modulada o variable en el tiempo tal que −

−

A = A0 Sen( w t + α )

22

A0 = 2 A01 Cos ( wm t + α m )

23

con

En las aplicaciones de interés w1 y w2 siempre serán muy grandes. Además, si −

ellas son comparables entre sí, w1 ≈ w2 , entonces w >> wm y la amplitud A0 cambiaría lentamente mientras que A variaría muy rápidamente.

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Así, la onda resultante consiste de grupos de ondas que están separadas por nodos. Estos nodos se producen periódicamente. Mientras más cercanas sean las frecuencias de las ondas componentes, más separados estarán los nodos. Si las frecuencias llegan a ser iguales, estos nodos desaparecían y la onda resultante ya no tendría grupos. Observe la figura 12 A la diferencia de las frecuencias w1 − w2 se le conoce como frecuencia de

Pulso

palpitación y es igual al doble de la frecuencia de modulación, que corresponde

Tiempo Figura 12

a la envolvente de la curva. La envolvente es la curva que contiene el tren de ondas. El efecto Doppler, que es el cambio de frecuencia de una onda al moverse la fuente emisora y/o receptora, permite observar los pulsos al superponer la onda incidente con la onda reflejada debido a la diferencia de frecuencias ocasionada por este efecto. METODOLOGÍA: Estos resultados pueden ser observados y comprobados por el usuario a través del sistema, introduciendo adecuadamente los valores de los rangos, amplitudes, frecuencias y fases que caracterizan a cada una de las ondas. Utilizando las ecuaciones 1 y 2 calculamos el máximo y mínimo valor de las

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amplitudes de las ondas componentes y su resultante para un rango particular. Estos valores son empleados para ajustar el tamaño del cuadro de dibujo en la que son desplegadas las gráficas, evitando que algún sector de ellas quede fuera de la ventana. De igual forma, los valores máximos y mínimos son utilizados para establecer la ecuación de equivalencia entre las gráficas y las dimensiones del cuadro de dibujo. Al activar el usuario las rutinas que construyen las gráficas, el programa calculará el valor de la ondas para cada instante y establecerá el lugar que le corresponda en la ventana por medio de la ecuación de equivalencia. Cada uno de estos lugares es marcado con un píxel cuyo color depende de la onda que esté representando. La unión de los puntos con líneas formarán las gráficas. Los valores de las escalas en las gráficas se calculan dividiendo el rango y el número de puntos que contiene la escala. CONCLUSIONES: 1. El sistema hace posible mostrar gráficamente la interferencia de dos ondas senoidales con iguales o diferentes propiedades. 2. El concepto de onda involucra elementos como amplitud, frecuencia, longitud de onda, fase, período, velocidad e interferencia. El programa ilustra estas características a través del ordenador. 3. El sistema presenta una interfase gráfica de fácil manejo, ya que es posible introducir los valores de cada parámetro a través de barras de desplazamiento. 4. Con los valores de los parámetros introducidos por el usuario, se podrá predecir las formas de las gráficas desplegadas por el sistema.

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5. Creemos que el sistema es un medio que permite la interactividad entre la computadora y el usuario. LITERATURA COMENTADA 1

Beltrán, V.; Braun E. 1975. Principios de Física. Ed. Trillas. México, D. F. 172

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Resnick, R.; Halliday, D. 1981. Física Vol I. CECSA. México, D. F. 420 pp.

3

Beltrán, V.; Braun E. 1975. Principios de Física. Ed. Trillas. México, D. F. 173

pp. 4

Resnick, R.; Halliday, D. 1981. Física Vol I. CECSA. México, D. F. 312 pp.

5

Beltrán, V.; Braun E. 1975. Principios de Física. Ed. Trillas. México, D. F. 174

6

Sears, F. W.; Zemansky, M.; Young, H. D. 1986. Física Universitaria. Addison-

Wesley Iberoamericana. México, D. F. 473 pp. 7

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Hecht E; Zajac A. Óptica. 1976. Fondo Educativo Interamericano. México. 215

pp. 11

Hecht E; Zajac A. Óptica. 1976. Fondo Educativo Interamericano. México. 216

pp.

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