EL TRIÁNGULO: Un polígono con propiedades especiales

Identificación de los puntos y las líneas notables del triángulo

Introducción

Figura 1. características del triángulo

1. ¿Sabes por qué se sostienen los triángulos? 2. ¿Son todos iguales? Con ayuda de tu profesor vas a identificar, mucho más a fondo, a partir de la siguiente actividad, las características de los triángulos en general. A partir de la imagen de la introducción, define cuáles de las siguientes imágenes representan un triángulo. Sustenta tu respuesta en los recuadros que están debajo de cada imagen.

Figura 2. Triángulo SM_M_G08_U04_L03_M

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Lo anterior se refuerza con la definición de triángulo: Con origen en el latín triangulus, la palabra triángulo se utiliza para identificar un polígono compuesto por tres lados. Esta figura geométrica se logra a partir de la unión de tres rectas que se interceptan en tres puntos desalineados. Cada uno de estos puntos donde las rectas se unen recibe el nombre de vértice, mientras que los segmentos que se pueden apreciar en el triángulo reciben el nombre de lados. (Tomada de http://definición.de/triángulo/)

Objetivos de aprendizaje Describir propiedades del triángulo al trazar diferentes tipos de rectas y sus intersecciones. Identificar las clases, los componentes y las propiedades de los polígonos de tres lados. Dibujar diferentes triángulos, realizando la construcción geométrica de sus líneas y puntos notables.

Actividad 1 Elementos de composición de un triángulo Teniendo en cuenta la actividad anterior, en equipos de tres personas realiza la siguiente actividad: A partir del siguiente triángulo completa las siguientes oraciones escribiendo los valores y las respuestas correctas en los recuadros.

A

B

Figura 3. Elementos del triángulo

1. Un triángulo tiene lados, internos es grados.

vértices y

C

ángulos, y la suma de la medida de sus ángulos

2. El lado que se encuentra opuesto a un ángulo de 90 grados perpendicular a una base y que va desde la base al vértice opuesto se llama

SM_M_G08_U04_L03_M

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y el segmento .

Actividad 2 (Propiedades de los triángulos), Son cinco las propiedades generales de los triángulos B

Un lado de un triángulo es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados y mayor que su diferencia

a

c

b

A

B

C

A

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

C

B A

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º, A+B+C=180º.

α

B

C

En un triángulo el ángulo de mayor medida es el opuesto al lado de mayor medida

a

c

A

c A

El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes. ∞ = A + B entonces ∞ = 180º -C.

b

C

Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

a C

Figura 4. Propiedades del triángulo

A partir de la información anterior, observa la siguiente figura y responde: 1. ¿Cuánto miden los ángulos C y B ? ____ y ____.

C b

D

2. ¿Cuál es el lado mayor? ____ y ¿por qué?

a A

100°

c

Figura 5. Elementos del triángulo

_________________________________________________________________ B

3. Dados los lados a,b y c del triángulo, responde falso o verdadero a las siguientes proporciones: a+b>c F ab -c a=b+c

F F

V V

4. ¿Cuál es la medida del ángulo D ? ______________________________________________________________ SM_M_G08_U04_L03_M

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Actividad 3

Tipos de Triángulos, Triángulos según sus ÁNGULOS

Según sus ángulos, el

puede ser:

Acutángulo

Rectángulo

Tiene un ángulo recto

Tiene tres ángulos agudos

Obtusángulo

Tiene un ángulo obtuso

Figura 6. Triángulos según sus ángulos

Triángulos según sus LADOS

Según sus lados, el

puede ser: No tiene ningún lado igual

ESCALENO

ISÓSCELES

Tiene al menos dos lados iguales

EQUILÁTERO

Tiene tres lados iguales

Figura 7. Triángulos según sus lados SM_M_G08_U04_L03_M

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1. Ejercicio: Teniendo en cuenta la explicación sobre los tipos de triángulos, clasifica los que aparecen en la tabla, según sus lados y ángulos, completa las oraciones de la descripción y dibuja un objeto de tu casa o barrio donde se encuentren estos triángulos, remarcándolo en el dibujo (te colocamos A dos ejemplo de objetos) Haz la actividad en parejas. A A

B

A

A A

B

B

B B

Figura

B

C

A

C

A A

AA

B

B

BB

BB

C C

A

A

B

B

C

C

A

BB

CC

A

AA

B

C C

A

B

A

B

A

C

AA BB

CC

C

A

B A

C

B

Todos sus lados son __________-__________ _________________________ y tiene un ángulo ________________________.

Tiene al menos _________________________ __________-__________ lados __________________ y un ángulo _____________. Tiene ______________ lados _____________________ y __________-__________ todos sus ángulos son ________________.

Tiene al menos _________________________ __________-__________ lados __________________ y un ángulo _____________.

CC

C

No se pueden construir triángulos: Equilátero – Rectángulo, ni Equilátero - Obtusángulo

Figura 8. Triángulos según sus lados AA B C

B

B

SM_M_G08_U04_L03_M

Dibujo objeto y lugar

Todos sus lados son _________________________ __________-__________ y tiene un ángulo _______________________.

C

A

AB B

C

C

A

Descripción

Todos sus lados son __________-__________ _________________________ y sus ángulos son ________________________.

CC

B

B

C C

CC

AA

B

C

C

C

AA

AAB

BB

A

C

Tipo de triángulo según sus lados y ángulos

C

C

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Actividad 4 (Propiedad sobre la suma de los ángulos internos del triángulo) Dibuja un cuadrado o rectángulo. Después traza una diagonal de un ángulo a su ángulo opuesto. Posteriormente, con la ayuda del transportador mide sus ángulos, y define qué tienen en común las medidas de cada triángulo con respecto a la del otro triángulo. Anota tus conclusiones. Después de realizar la actividad, puedes ver la animación y darte cuenta de que dicha propiedad se puede demostrar de diferentes formas. En la animación te presentamos una de ellas. Compara tus conclusiones con lo que presenta la animación.

Anota tus conclusiones de la construcción y también las que saques cuando veas la animación y compares con lo que hiciste. ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

SM_M_G08_U04_L03_M

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Actividad 5 (Incentro de un triángulo) En los triángulos se puede denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo se pueden nombrar las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; cada una de estas rectas notables determina cierto punto notable: circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro, respectivamente. (Shariguin, 1989) . A partir de esta actividad hasta la octava, desarrollaremos estos conceptos. El Incentro y la bisectrices Las líneas que dividen en dos ángulos iguales, cada uno de los ángulos, se conocen como Bisectrices y el punto donde se encuentran todas las bisectrices (punto I), se denomina Incentro.

A Incentro

I

B

C

Figura 9. Incentro

Características del Incentro del triángulo A

A Incentro Círculo inscrito

B

Figura 10. Características incentro

C

B

D

I

Figura 11. Características incentro

C

La distancia desde el Incentro a los tres lados El Incentro es el centro del Circulo Inscrito, que resulta de dibujar una circunferencia dentro del del triángulo, es igual. triángulo, cuyo centro es I. Cuando dibujamos la circunferencia decimos que esta, está inscrita al triángulo ∆ ABC, y la denominamos como el Circulo inscrito del ∆ ABC, el cual hace tangencia con los lados del triángulo. SM_M_G08_U04_L03_M

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Ejercicio 1 A partir de la explicación anterior y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación: Si se desea construir tres casas que estén situadas a igual distancia de una escuela y sobre la carretera, ¿en qué punto deberán ir las casas y donde estaría la escuela?, si las carreteras están representadas por los segmentos del siguiente triángulo. Sitúa cada una de las casas y la escuela.

Carretera 1

Carretera 3

Carretera 2 Figura 12. Actividad incentro

SM_M_G08_U04_L03_M

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Actividad 6 (Las mediatrices y el cincuncentro del triángulo) La rectas perpendiculares a cada lado, y que pasa por su punto medio, se llaman Mediatrices del triángulo; el punto donde se encuentran dichas líneas, se llama Circuncentro, que en esta imagen está representado por el punto O.

A Circuncentro

o

B

C

Figura 13. Circuncentro

Características del circuncentro del triángulo La distancia del Circuncentro a los tres vértices es igual.

A

Observa esta otra característica del circuncentro y después resuelve el ejercicio

Circuncentro

B

Figura 14. Características circuncentro

Definiendo como centro el punto O, podemos dibujar un círculo tomando como radio el segmento OA. Cuando dibujamos el circulo, el cual hace tangencia con los vértices del triángulo, se dice que circunscribimos el círculo O al ∆ABC y lo llamamos círculo circunscrito del ∆ABC.

C A

B

C

Figura 15. Características circuncentro

SM_M_G08_U04_L03_M

O

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Círculo circunscrito

Ejercicio 1 A partir de lo explicado anteriormente y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación: se piensa construir un parque que quede a la misma distancia de 3 casas, las cuales aparecen en la siguiente figura: Indica, exactamente, dónde debería quedar el parque. Utiliza para ello la construcción de las mediatrices y el circuncentro.

Figura 16. Actividad circuncentro

SM_M_G08_U04_L03_M

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Actividad 7 (Las medidas y el baricentro) Los segmentos que unen cada vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto se llaman medianas, y el punto donde se cortan las tres medianas se llama Baricentro o Centro de Gravedad, como se ilustra en la gráfica:

A

Baricentro

G

B

C

Figura 17. Baricentro

NOTA: la distancia entre el Baricentro y cada vértice es de 23 de la longitud total de la mediana correspondiente, como se puede observar en la siguiente gráfica:

A

2 3

Baricentro

B

1 3

G

Figura 18. Características del baricentro

SM_M_G08_U04_L03_M

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C

Ejercicio 1 A partir de la explicación anterior y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación, usando para ello las medianas y el baricentro: Si en tu colegio se está construyendo el comedor y se piensa hacer una mesa en forma triangular, cuyas medidas serán 4, 4 y 6 metros, indica en tu material, el punto exacto donde debería ir la base de la mesa para que esta esté en equilibrio. Mesa

4 Mt

Base

6 Mt 4 Mt

Figura 19. Actividad baricentro

SM_M_G08_U04_L03_M

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Actividad 8 Observa el video de la actividad, en el podrás ver la construcción de las líneas y puntos notables de los triángulos trabajados en esta unidad. Esta construcción es realizada con la ayuda del Geogebra.

Además del Geogebra, que es un software gratis, podrás encontrar otros programas en la internet como Cabri (se debe pagar por adquirirlo), Compas and rules (gratis); entre otros, que te ayudaran a la aplicación de los temas vistos. Luego de ver el video realiza en tu casa ejercicios relacionados con la temática vista en Geogebra o en algún otro programa. Después de la observación del video en el que se representa la construcción de las líneas y puntos notables de los triángulos, partiendo de la figura20, dibuja las líneas y puntos notables.

Figura 20. Triángulo geogebra

SM_M_G08_U04_L03_M

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Actividad 9 (Las alturas y el ortocentro) El Ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice).

Figura 21. Ortocentro

Te en cuenta que la posición del ortocentro cambia según el triángulo, así: Triángulo Agudo

Ortoncentro interno

Triángulo Obtuso

Ortoncentro externo

Figura 22. Características ortocentro

SM_M_G08_U04_L03_M

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Triángulo Recto

Ortoncentro en el vértice del ángulo recto

Socializa y comparte A partir de la explicación anterior, y de ver el video de la actividad sobre altura y el ortocentro, reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes ejercicios. Posteriormente compartan la solución con otros compañeros y realicen las adecuaciones que consideren pertinentes en el material que reciban. 1. Si un triángulo Obtusángulo Isósceles tiene un ángulo de 120 grados y sus lados iguales son de 5 cm, construye el triángulo y luego dibuja las alturas y el ortocentro.

2. Haz lo mismo con un triángulo Escaleno cuyos lados son de 6 cm, 7 cm y 8 cm.

SM_M_G08_U04_L03_M

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