Introducci´on a la Teor´ıa del Equilibrio General1 Alejandro Lugon2 4 de noviembre de 2011

1 Notas

escritas para el curso Introducci´on a la Econom´ıa Matem´atica de la Maestr´ıa en Matem´aticas Aplicadas de la PUCP. Una primera versi´on fue preparada para un cursillo dictado en el XXVII Coloquio de la SMP (2009) en la Universidad Nacional del Altiplano - Puno 2 Secci´ on Matem´ aticas, Dep. de Ciencias, PUCP

´Indice general Notaci´ on

2

Introducci´ on

3

1. Consumidores 1.1. Preferencias 1.2. Utilidad . . 1.3. Demanda . 1.4. Ejercicios .

. . . .

4 4 6 8 9

2. Equilibrio Walrasiano para Econom´ıas de Intercambio Puro 2.1. Exceso de Demanda Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 14 16

3. Eficiencia para Econom´ıas de Intercambio 3.1. Primer y Segundo Teorema del Bienestar . 3.2. N´ ucleo y Econom´ıas Repetidas . . . . . . . 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 20 23 27

4. Empresas 4.1. Tecnolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Oferta y Beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 32 35

5. Econom´ıas con Producci´ on 5.1. Oferta y Demanda . . . . . 5.2. Funci´on Exceso de Demanda 5.3. Eficiencia . . . . . . . . . . 5.4. Ejercicios . . . . . . . . . .

37 37 41 42 46

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. . . . . . . . . . . . . Agregada y Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliograf´ıa

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1

Notaci´ on Para x, y ∈ RL • x  y si ∀i xi > yi • x ≥ y si ∀i xi ≥ yi • x y si x ≥ y ∧ x 6= y RL+ = {x ∈ RL |x ≥ 0} RL++ = {x ∈ RL |x  0} P ∆ = {x ∈ RL+ | Li=1 xi = 1} P ∆+ = {x ∈ RL++ | Li=1 xi = 1}

2

Introducci´ on La Teor´ıa del Equilibrio General es el esfuerzo m´as amplio y elegante de la teor´ıa econ´omica para modelar la realidad econ´omica como la que vivimos a diario. El problema econ´omico b´asico surge cuando diversos agentes tienen bienes que desean intercambiar entre ellos para lograr una mejor situaci´on personal. Estos agentes pueden ser de dos tipos: consumidores y empresas. Las empresas compran bienes para transformarlos en otros y venderlos logrando un beneficio econ´omico, el cual se reparte entre sus propietarios. Los consumidores poseen una canasta inicial de bienes y participaci´on en las beneficios de las empresas, con esta riqueza compran una canasta que ser´a la que consuman. El objetivo de las empresas ser´a maximizar sus beneficios y el objetivo de los consumidores maximizar su satisfacci´on personal. Para hacer m´as precisas estas afirmaciones necesitamos especificar las reglas de intercambio, la forma en que los agentes juzgan las situaciones y las posibilidades de transformaci´on de las empresas. Esto se puede hacer de varias maneras, dependiendo del contexto o problema econ´omico particular que se quiera modelar. En este texto abordaremos primero el modelo m´as sencillo posible, asumiendo que tenemos un n´ umero finito de bienes (L) y consumidores (I), desarrollaremos un modelo de intercambio puro sin la presencia de empresas. En una segunda parte introduciremos el sector productivo. En ambos casos todos los intercambios se dan a trav´es del mercado donde los bienes se compran y venden a precios p ∈ RL++ , uniformes y fijos desde el punto de vista de todos los consumidores y empresas.

3

Cap´ıtulo 1 Consumidores El consumidor es el agente b´asico del modelo. Tendremos I ∈ N consumidores, cada uno identificado por un indice i = 1, . . . , I. Cada consumidor i posee una dotaci´on inicial de los bienes, representada por el vector ω i ∈ RL+ de manera que ωji es la cantidad que inicialmente posee el individuo i del bien j. Cada consumidor puede intentar conseguir en el mercado una canasta de consumo mejor que su dotaci´on inicial, vendiendo y comprando a los precios de mercado. Este canasta de consumo ser´a un vector xi ∈ RL+ . Para juzgar si una canasta es mejor que otra dotaremos al consumidor de preferencias.

1.1.

Preferencias

La relaci´on de preferencia del consumidor i es una relaci´on sobre RL+ , 0 consideramos y = x + √L (1, 1, . . . , 1)  x. Por M tenemos √ que y  x. Como ||x − y|| = 2 ≤  tenemos que y ∈ V (x, ).c Otra propiedad importante tiene que ver con la continuidad de la relaci´on: Definici´ on 1.5 (Continuidad) Unas preferencias < sobre RL+ se dicen continuas si para todo par de secuencias convergentes xn → x e y n → y tales que xn < y n para todo n se tiene que x < y. Como vemos en la siguiente proposici´on existen muchas maneras de definir la continuidad de unas preferencias: Proposici´ on 1.6 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. < es continua. 2. 0 : z(αp) = z(p) 3. pz(p) = 0 4. ∃s > 0 tal que ∀p ∈ RL++ : m´ın`=1,...,L z` (p) > −s Demostraci´ on d 1. La continuidad de z se deriva de la continuidad de la demanda y esta se puede obtener como un caso particular de un teorema general de la teor´ıa de optimizaci´on. Daremos aqu´ı una prueba directa. Tomemos una secuencia de precios pn convergente en RL++ a p, debemos mostrar que xn = x(pn ) → x(p) = x. La secuencia de precios al ser convergente es acotada y podemos definir p` = m´axn pn` > 0 y p` = m´ınn pn` > 0 para cada ` = 1, . . . , L, as´ı p` xn` ≤ pn` xn` ≤ pn xn ≤ pn ω ≤ pω de donde 0 ≤ xn` ≤

pω . p`

Por lo tanto la secuencia xn est´a incluida en el

compacto {x ∈ RL+ |0 ≤ x ≤ ( pω , pω , . . . , ppω )}. Consideremos una subsucep1 p2 L si´on convergente xnk → x0 . Como pnk xnk ≤ pnk ω tomando l´ımites tenemos px0 ≤ pω, luego u(x0 ) ≤ u(x). Sea y ≥ 0 tal que py < pω para nk suficientemente grande tambi´en pnk y < pnk ω y por lo tanto u(y) ≤ u(xnk ), tomando l´ımites nuevamente u(y) ≤ u(x0 ). Tomemos ahora y ≥ 0 tal que py = pω y consideremos la secuencia y n = (1 − n1 )y → y, para la cual py n = (1− n1 )pω < pω y por lo tanto u(y n ) ≤ u(x0 ), en el l´ımite u(y) ≤ u(x0 ). Lo que hemos probado es que ∀y ≥ 0 tal que py ≤ pω tenemos u(y) ≤ u(x0 ) y por lo tanto x0 = x. 2. Directo al observar B(αp, w) = {x ∈ RL+ |αpx ≤ αpw} = {x ∈ RL+ |px ≤ pw} = B(p, w) 3. Al ser las preferencias localmente no saciadas la soluci´on de (1.7) no puede ser interior, luego px(p) = pω de donde pz(p) = p(x(p) − ω) = 0. 4. Por definici´on x(p) ≥ 0 luego z` (p) = x` (p) − ω` ≥ −ω` . Basta tomar s > m´ax` ω` .c

1.4.

Ejercicios

1. Muestra que si % es racional entonces: a)  es irreflexiva y transitiva. b) ∼ es reflexiva, transitiva y sim´etrica. c) Si x  y % z entonces x  y. 9

2. Define la preferencia estricta  y la indiferencia ∼ que se derivan de una preferencia lexicogr´afica % en Rn+ . 3. Muestra que la preferencia lexicogr´afica es racional, fuertemente mon´otona y estrictamente convexa. 4. Sea % una preferencia sobre X. Decimos que  es negativamente transitiva cuando x  y implica que ∀z ∈ X (x  z) ∨ (z  y). Demuestre que % es transitiva si y solo si  es negativamente transitiva. 5. Sobre un conjunto X definimos una relacion , que llamaremos preferencia estricta, a partir de la cual definimos 0

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L−1 Muestra que  sobre R × R+ es cuasilineal respecto del primer bien si y solo si es representable por una func´ıon de utilidad u(x) de la forma:

u(x) = x1 + v(x2 , . . . , xL ) 13. Sea la preferencia lexicogr´afica sobre el conjunto X = {0, 1}n . Muestra que es representable y encuentra una func´ıon de utilidad que lo haga. n es homot´etica si cumple con: x ∼ y ⇒ αx ∼ αy para todos 14. Una preferencia  sobre R+ n x, y ∈ X y α ≥ 0. Muestra que  sobre R+ es homot´etica si y solo si es representable por una func´ıon de utilidad u(x) homog´enea de grado uno. n → R homog´enea de grado 1. Muestra que para todo 15. Sea la funci´on de utilidad u : R+ λ > 0: x ∼ y ⇒ λx ∼ λy.

16. Encuentra la demanda (func´ıon o correspondencia) para cada una de las siguientes utilidades: a) U (x1 , x2 ) = ax1 + bx2 b) U (x1 , x2 ) = 2x1 + 3x2 c) U (x1 , x2 ) = m´ın{ax1 , bx2 } d ) U (x1 , x2 ) = m´ın{x1 , 3x2 } e) U (x1 , x2 ) = xa1 xb2 f ) U (x1 , x2 ) = x21 x42 1

g) U (x1 , x2 ) = (xρ1 + xρ2 ) ρ 0,5 2 h) U (x1 , x2 ) = (x0,5 1 + x2 ) √ i ) U (x1 , x2 ) = x1 + x2

j ) U (x1 , x2 ) = x1 + ln x2 k ) U (x1 , x2 ) = x1 + ln (1 + x2 ) l ) U (x1 , x2 ) = −(x1 − a)2 − (x2 − b)2 m) U (x1 , x2 ) = −(x1 − 9)2 − (x2 − 1)2 17. Demuestre que si las preferencias de un consumidor son estr´ıctamente convexas su demanda x(p, ω) es una funci´on. Esto es: existe una u ´nica canasta que resuelve el problema de maximizaci´on. 18. Sea la funci´on x(p) la demanda Walrasiana de un consumidor con dotaci´on inicial ω fija. Muestra que esta func´ıon cumple el Axioma D´ebil de la Preferencia Revelada (ADPR): L ∀p, p0 ∈ R++ :

p · x(p0 ) ≤ p · ω ∧ x(p0 ) 6= x(p) ⇒ p0 · x(p) > p0 · ω

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19. Considere la utilidad sobre R3+ : u(x1 , x2 , x3 ) =

√

x1 +

√ x2 + x2 +

x3 1 + x3

perteneciente a un consumidor con dotaci´on inicial ω = (1, 1, 1). a) Muestre que u es estrictamente c´oncava, fuertemente mon´otona y continua. b) Muestre que para x3 > 0: (x1 , x2 + x3 , 0)  (x1 , x2 , x3 ) c) Muestre que si p2 = p3 entonces x3 (p) = 0 d ) Considere la secuencia de precios pn = (1, 1/n, 1/n). e) Estudie y comente los l´ımites de x2 (pn ) y x3 (pn ).

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Cap´ıtulo 2 Equilibrio Walrasiano para Econom´ıas de Intercambio Puro Consideremos una econom´ıa de L bienes e I consumidores. Cada consumidor i est´a definido por su dotaci´on inicial ω i y su preferencia 0 tal que ∀p ∈ RL++ : m´ın`=1,...,L Z` (p) > −s 5. Si pn → p 6= 0 con p`0 = 0 para cierto `0 : m´ax` Z` (pn ) → +∞ Demostraci´ on 13

d Los puntos 1 al 4 son directos a o partir del Teorema 1.15. Veamos el punto 5. Sea pn → p 6= 0 si perderP generalidad p1 = 0 y p2 > 0. Como P Psupongamos I I I i i i ω  0 tenemos que p ω = pω  0 y por lo tanto al menos i=1 i=1 i=1 i para alg´ un i pω  0. Demostraremos que para este consumidor: l´ım m´ax xi` (pn ) = +∞

n→∞

`

supongamos que no, que la secuencia m´ax` xi` (pn ) es acotada, por lo tanto podemos tener subsecuencia convergente, xnk = xi (pnk ) → x. Como pnk xi (pnk ) ≤ pnk ω i , en el l´ımite px ≤ pω i . Sea y ≥ 0 tal que py < pω i para nk suficientemente grande tambi´en pnk y < pnk ω i y por lo tanto u(y) ≤ u(xnk ), tomando l´ımites nuevamente u(y) ≤ u(x). Tomemos ahora y ≥ 0 tal que py = pω i y consideremos la secuencia y n = (1 − n1 )y → y, para la cual py n = (1 − n1 )pω i < pω i y por lo tanto u(y n ) ≤ u(x), en el l´ımite u(y) ≤ u(x). Lo que hemos probado es que ∀y ≥ 0 tal que py ≤ pω i tenemos u(y) ≤ u(x). Pero para la canasta y = x+(1, 0, . . . , 0) cumple py = px = pω i y por la monotonicidad fuerte u(y) > u(x).c

2.2.

Equilibrio

Diremos que un precio p es de equilibrio si los excesos de demandas agregados son nulos, de esta forma si alg´ un agente quiere comprar siempre encontrar´a un vendedor y viceversa. Formalmente tenemos: Definici´ on 2.2 (Equilibrio) Para una econom´ıa E con funci´on exceso de demanda agregada Z : RL++ −→ RL diremos que p∗ es un precio de equilibrio si Z(p∗ ) = 0. En lo que resta de este cap´ıtulo nos ocuparemos de probar la existencia de equilibrio. Teorema 2.3 Si la funci´on exceso de demanda agregada Z : RL++ −→ RL cumple las cinco propiedades del Teorema 2.1 entonces existe un vector de precios de equilibrio p∗ . La demostraci´on la haremos a trav´es de una serie de lemas y usaremos: Teorema 2.4 (Punto Fijo de Kakutani) Si una correspondencia1 φ : A ⇒ A, con A no vac´ıo, compacto y convexo, es Semi Continua Superiormente y de imagen convexa no vac´ıa entonces tiene un punto fijo x∗ ∈ A en el sentido que x∗ ∈ φ(x∗ ). La estrategia de la prueba es definir a partir de Z una correspondencia que cumpla las condiciones del teorema de Kakutani para obtener un punto fijo y luego probar que dicho punto fijo es el equilibrio buscado. Empecemos por notar que la homegeneidad de Z nos permite normalizar los precios P y considerar solo a aquellos que pertenecen al simplex positivo de RL : ∆+ = {p ∈ RL++ | L`=1 p` = 1}. 1

Ver Anexo

14

Definamos la correspondencia f : ∆ ⇒ ∆ como:   {q ∈ ∆|Z(p)q ≥ Z(p)q 0 , ∀q 0 ∈ ∆} f (p) =  {q ∈ ∆|pq = 0}

si

p ∈ ∆+

si

p ∈ ∆ \ ∆+

tambi´en podemos escribir:   {q ∈ ∆|q` = 0 si Z` (p) < m´axi Zi (p)} f (p) =  {q ∈ ∆|q` = 0 si p` > 0}

si

p ∈ ∆+

si

p ∈ ∆ \ ∆+

Como ∆ es no vac´ıo, compacto y convexo, para poder aplicar el Teorema de Kakutani s´olo falta probar: Lema 2.5 La correspondencia f es SCS y de imagen convexa Demostraci´ on d La convexidad es directa, veamos la semi continuidad superior. Sean las secuencias pn → p, q n → q con q n ∈ f (pn ) debemos probar que q ∈ f (p). Si p ∈ ∆+ entonces p  0 y para n suficientemente grande pn  0 y Z(pn )q n ≥ Z(pn )q 0 , ∀q 0 ∈ ∆, tomando limites y usando la continuidad de Z: Z(p)q ≥ Z(p)q 0 , ∀q 0 ∈ ∆ y por lo tanto q ∈ f (p). Si p ∈ ∆ \ ∆+ y p` > 0 entonces existe  > 0 tal que para n suficientemente grande pn` > . Si pn ∈ ∆ \ ∆+ entonces q`n = 0. Si pn ∈ ∆+ entonces 1 n Z` (pn ) ≤ p Z` (pn )  ` 1X n = − p Zj (pn )  j6=` j sX n p ≤  j6=` j s <  n Luego Z` (p ) es acotado pero como p ∈ ∆ \ ∆+ tenemos que m´axj Zj (pn ) → +∞ luego, para n suficientemente grande m´axj Zj (pn ) > Z` (pn ) y por lo tanto q`n = 0. Resumiendo tenemos que si p` > 0 entonces para n suficientemente grande q`n = 0 y su l´ımite q` = 0 tambi´en, lo que prueba que q ∈ f (p) c El lema anterior y el Teorema de Kakutani nos permite afirmar la existencia de un punto fijo para la correspondencia f , el lema siguiente nos dice que dicho punto fijo es el equilibrio buscado. Lema 2.6 Si p∗ es un punto fijo de f entonces p∗ ∈ RL++ y Z(p∗ ) = 0. Demostraci´ on d Si p∗ ∈ f (p∗ ) y p∗ ∈ ∆ \ ∆+ entonces p∗ p∗ = 0 lo cual es imposible. Por otro lado si Z(p∗ ) 6= 0 como p∗ ∈ ∆+ tendr´ıamos f (p∗ ) ⊂ ∆ \ ∆+ lo cual tambi´en es imposible.c Una vez establecida la existencia se pueden estudiar diversas caracter´ısticas del equilibrio como eficiencia, unicidad, estabilidad, robustez etc. Nosotros nos limitaremos al tema de la eficiencia, el cual veremos en el siguiente cap´ıtulo. 15

2.3.

Ejercicios

1. Dados a, b ∈ RL \ {0} y ω ∈ RL++ , estudie si la funci´on Υ : RL++ −→ RL definida por Υ(p) =

p·a p·b b− a p·ω p·ω

puede ser una funci´on exceso de demanda de acuerdo a las propiedades vistas en clase. 2. Si la siguiente funci´on  Z(p1 , p2 ) =

ap2 dp1 + ep2 gp1 p1 + l + , + bp1 + cp2 f pi hp1 + kp2 mp2



es el exceso de demanda de una econom´ıa de intercambio puro. a) Para cada una de las posible propiedades de las preferencias de los consumidores de esta econom´ıa: Continuidad, Convexidad, convexidad estricta, monotonicidad, monotonicidad fuerte y no saciedad local: ¿Qu´e restricciones sobre los par´ametros a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n imponen? b) Suponiendo que dichas preferencias son continuas, estrictamente convexas y fuertemente mon´otonas, encuentra los precios de equilibrio de esta econom´ıa. 3. Considera una econom´ıa de intercambio puro 2x2 con los siguientes consumidores: u1 (x, y) = 2x + y y w = (2, 3). u2 (x, y) = xy 3 y w = (1, 2). a) Encuentra la demanda de cada consumidor. b) Encuentra el equilibrio Walrasiano. c) Dibuja la caja de Edgeworth y ubica el equilibrio Walrasiano. 4. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por U1 (x1 , x2 ) = x1 x2 y con dotaci´on inicial ω1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U2 (x1 , x2 ) = m´ın{x1 , x2 } 2 y dotaci´on inicial ω2 = (4, 1). Considerando p ∈ R++ :

a) Encuentra la funci´on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. b) Encuentra la funci´on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z(p1 , p2 )). c) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa?. 16

5. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por U1 (x1 , x2 ) = (x2 + 1)ex1 y con dotaci´on inicial ω1 = (2, 1). El consumidor 2 tiene U2 (x1 , x2 ) = x1 x2 2 y dotaci´on inicial ω2 = (2, 3). Considerando p ∈ R++ :

a) Encuentra la funci´on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. b) Encuentra la funci´on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z(p1 , p2 )). c) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa? ¿Cu´al es? 6. Encuentra los precios de equilibrio para la economia de intercambio puro deQ L bienes α formada por N consumidores. El consumidor i tiene funcion utilidad Ui (x) = Lj=1 xj ij P con Lj=1 αij = 1 y dotacion inicial wi . Puedes probar primeros con L = 3, N = 4. 7. Sea el consumidor 1 con preferencias dadas de la siguiente manera: (x1 , x2 )  (x01 , x02 ) ⇐⇒ (x1 − 3)2 < (x01 − 3)2 o (x1 − 3)2 = (x01 − 3)2 y x2 > x02 y con dotaci´on inicial ω1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U2 (x1 , x2 ) = x1 x2 , ω2 = (4, 0). 2 : Considerando p ∈ R++

a) Encuentra la funci´on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. b) Encuentra la funci´on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z(p1 , p2 )). c) ¿Es Z homog´enea de grado cero?, es continua?, se cumple pZ(p) = 0? d ) ¿Qu´e pasa con Z(pn ) cuando pn tiende a (0, 1)?. e) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa?. Responde a todas las preguntas anteriores, ahora considerando que las dotaciones iniciales son: ω1 = (0, 4) y ω2 = (6, 2). 8. ¿En cu´al parte de la demostraci´on de la existencia de equilibro se usa la propiedad: L ∃s > 0 tal que ∀` = 1, . . . , L , ∀p ∈ R++ : Z` (p) > −s

9. Considere una econom´ıa de intercambio puro de dos bienes y dos consumidores (a, b > 0): 17

Consumidor 1: u1 (x1 , y1 ) = (x1 )a y1 con dotaci´on inicial ω1 = (1, 0). Consumidor 2: u2 (x2 , y2 ) = x2 (y2 )b con dotaci´on inicial ω2 = (0, 1). Encuentre los precios(asuma p1 = 1) y la asignaci´on de equilibrio. 10. Sea Z(p1 , p2 ) = (B pp12 , A pp21 ) − (A, B). Muestra que Z cumple las cinco propiedades demostradas para las funciones exceso de demanda. Encuentra la forma que toma la correspondencia f (p) de la demostraci´on de existencia de equilibrio. 11. Considera una econom´ıa de intercambio puro de dos consumidores: √ Consumidor A: UA (xA1 , xA2 ) = xA1 xA2 − xB1 , ωA = (1, 0). √ Consumidor B: UB (xB1 , xB2 ) = xB1 xB2 − xB2 , ωB = (0, 1). Encuentra el equilibrio Walrasiano (los consumidores son precios-tomantes y solo eligen su consumo).

18

Cap´ıtulo 3 Eficiencia para Econom´ıas de Intercambio Puro En el cap´ıtulo anterior hemos estudiado el equilibrio de mercado, donde los intercambios se dan de acuerdo a ciertos precios, ah´ı nos centramos en la existencia de unos precios p ∈ RL++ que equilibrar´an el mercado. Este vector de precios genera para cada consumidor i = 1, . . . , I una canasta de consumo xi (p). En ese sentido el vector (x1 (p), . . . , xI (p)) ∈ RL×I + es una reasignaci´on de las dotaciones iniciales por medio del intercambio en el mercado de acuerdo a los precios dados. La pregunta que nos hacemos en este cap´ıtulo es sobre la bondad de esta reasignaci´on en el sentido de eficiencia. El intercambio entre dos agentes se da cuando es favorable para ambos, al adoptar el mercado como mecanismo estamos limitando las posibilidades de intercambio. Sin limitaciones en los intercambios se puede lograr cualquier asignaci´on factible. Definici´ on 3.1 (Asignaci´ on factible) Dada una econom´ıP a E = {(ω i , ui (xi ) entonces px > pω i La pregunta que surge es si, a partir de una asignaci´on de equilibrio, todav´ıa se pueden lograr intercambios beneficiosos para ambas partes involucradas (obviamente fuera del ´ mercado). Este concepto de eficiencia es capturado por el de Optimo de Pareto. ´ Definici´ on 3.3 (Optimo de Pareto Fuerte) Una asignaci´on factible (x1 , x2 , . . . , xI ) es ´ un Optimo de Pareto Fuerte si @ (x1 , . . . , xI ) factible tal que: 1. ∀i = 1, . . . , I ui (xi ) ≥ ui (xi ) 2. ∃j tal que uj (xj ) > uj (xj )

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´ Definici´ on 3.4 (Optimo de Pareto D´ ebil) Una asignaci´on factible (x1 , x2 , . . . , xI ) es un ´ Optimo de Pareto D´ebil si @ (x1 , x2 , . . . , xI ) factible tal que: ∀i = 1, . . . , Iui (xi ) > ui (xi ) Proposici´ on 3.5

´ ´ 1. Todo Optimo de Pareto Fuerte es un Optimo de Pareto D´ebil.

2. Si las preferencias de los consumidores son continuas y fuertemente mon´otonas, todo ´ ´ Optimo de Pareto D´ebil es un Optimo de Pareto Fuerte. Demostraci´ on d 1. Directo 2. Mostraremos que, bajo los supuestos, si una asignaci´on no es Pareto Fuerte entonces no es Pareto D´ebil. Sea (x1 , x2 , . . . , xI ) una asignaci´on que no es Pareto Fuerte, entonces existe una asignaci´on factible (x1 , x2 , . . . , xI ) tal que: a) ∀i = 1, . . . , I ui (xi ) ≥ ui (xi ) b) ∃j tal que uj (xj ) > uj (xj ) Por la continuidad de las preferencias para α suficientemente peque˜ no: j j j j u ((1 − α)x ) > u (x ) y por la monotonicidad fuerte: ∀i = 1, . . . , I, i 6= j α ui (xi + I−1 xj ) > ui (xi ) ≥ ui (xi ). Luego hemos conseguido una asignaci´on factible en la cual todos los consumidores est´an mejor, luego (x1 , x2 , . . . , xI ) no es Pareto D´ebil.c ´ En general un Optimo de Pareto es una asignaci´on de los recursos de una econom´ıa tal que a partir de ella nadie puede mejorar sin que alguien empeore. Hay que notar que este concepto no nos permite decir si una asignaci´on es mejor que otra en general. Tampoco hay ninguna noci´on de equidad o justicia impl´ıcita, por ejemplo una asignaci´on (ω, 0, . . . , 0) es un un o´ptimo de Pareto, si el consumidor 1 tiene preferencias mon´otonas. En la siguiente secci´on veremos la respuesta a la pregunta inicial de este cap´ıtulo.

3.1.

Primer y Segundo Teorema del Bienestar

Bajo suposiciones suaves toda asignaci´on de equilibrio es un ´optimo de Pareto. Teorema 3.6 (Primer Teorema del Bienestar) Si las preferencias de los consumidores ´ son Localmente No Saciadas, todo Asignaci´on de Equilibrio es un Optimo de Pareto Fuerte Demostraci´ on d Sea (x1 , x2 , . . . , xI ) una asignaci´on de equilibrio con precios de equilibrio p. Sea una asignaci´on (y 1 , y 2 , . . . , y I ) con u(y i ) ≥ u(xi ) para todo i y (spg) u(y 1 ) > u(x1 ). Como x1 es la demanda de 1 a precios p debemos tener que py 1 > px1 20

Para los dem´as consumidores si fuera verdad que py i < pxi por la No Saciedad Local existir´a un z i tal que pz i < pxi y u(z i ) > u(y i ) ≥ u(xi ) Lo cual contradice el hecho que xi es la demanda de i a precios p. Luego debemos tener que py i ≥ pxi P P P P Sumando tenemos que p Ii=1 y i = Ii=1 py i = py 1 + Ii=2 py i > px1 + Ii=2 pxi = P pω y no podr´ıamos tener Ii=1 y i = ω, con lo cual la asignaci´on (y 1 , y 2 , . . . , y I ) no es factible. c Se puede tener el mismo resultado cambiando la hip´otesis de No Saciedad Local por la de Convexidad Estricta. ´ El Segundo Teorema del Bienestar nos dice que todo Optimo de Pareto es “algo parecido” a un equilibrio de mercado si se redistribuyen las dotaciones iniciales. Para establecer este resultado usaremos: Definici´ on 3.7 (Soporte) Una asignaci´on (x1 , . . . , xI ) factible es soportada por p ∈ RL+ , p 6= 0 si para todo i = 1, . . . , I si ui (x) ≥ ui (xi ) entonces px ≥ pxi En relaci´on a la definici´on de Asignaci´on de Equilibrio hay que notar primero que no se exige que todos los precios sean positivos, p puede tener algunos precios, pero no todos, nulos. Tambi´en vemos que es posible tener x con ui (x) > ui (xi ) y px ≤ pxi , es decir no se pide que xi sea optimal. Estas diferencias no son tan inocentes como parecen, a´ un as´ı la i i diferencia m´as importante es que no se pide que px ≤ pω . Es decir que un consumidor puede recibir una canasta cuyo valor a precios p sea mayor que el de su dotaci´on inicial. Esto indica que de la asignaci´on de dotaciones iniciales a la asiganci´on soportada por p ha habido una redistribuci´on de la riqueza. El siguiente resultado nos da una primera relaci´on precisa entre los dos conceptos: Proposici´ on 3.8 Si las preferencias son localmente no saciadas toda asignaci´on de equilibrio es soportada por el precio de equilibrio. Demostraci´ on d Sea (x1 , . . . , xI ) la asignaci´on de equilibrio y p el precio de equilibrio. Como las preferencias son LNS, pxi = pω i para todo i = 1, . . . , I. Entonces debemos mostrar solamente que ui (x) = ui (xi ) implica px ≥ pω i . Supongamos que no, que px < pω i , por LNS existe x¯ tal que p¯ x < pω i y ui (¯ x) > ui (x) = ui (xi ), lo cual i contradice la optimalidad de x . c Queda la pregunta de cu´ando una asignaci´on (x1 , . . . , xI ) soportada por p puede ser considerada una asignaci´on de equilibrio. Por el efecto de la redistribuci´on de la riqueza sabemos que esto no es en general posible a partir de las dotaciones iniciales, debemos redistribuirlas. El caso m´as sencillo es pensar que las redistribuimos directamente a (x1 , . . . , xI ). Proposici´ on 3.9 Si las preferencias son continuas y fuertemente mon´otonas. Para una asignaci´on (x1 , . . . , xI ) soportada por p ∈ RL+ , p 6= 0 con pxi > 0 para todo i = 1, . . . , I se cumple que p  0 y para todo i = 1, . . . , I si ui (x) > ui (xi ) entonces px > pxi 21

Demostraci´ on d Supongamos x¯ tal que ui (¯ x) > ui (xi ) entonces p¯ x = pxi > 0 y tomemos λ¯ x con i 0 < λ < 1. Por continuidad, para λ suficientemente cerca de 1: u (λ¯ x) > ui (xi ) i y p(λ¯ x) = λ(p¯ x) < p¯ x = px > 0. Lo cual contradice la suportabilidad de (x1 , . . . , xI ) por p. Ahora por la monotonicidad fuerte, para todo ` = 1, . . . , L, ui (xi + e` ) > ui (xi ), luego p(xi + e` ) > pxi de donde p` > 0.c Podemos ahora formular: Teorema 3.10 (Segundo Teorema del Bienestar) Si las preferencias de todos los consumidores son estrictamente convexas, fuertemente mon´otonas y continuas, entonces todo ´ Optimo de Pareto D´ebil es soportado por un vector de precios p ∈ RL+ . Demostraci´ on ´ d Sea (x1 , x2 , . . . , xI ) un Optimo de Pareto D´ebil. Para cada P consumidor i definii i i i L i mos V = {y ∈ R+ |y  x } y luego el conjunto V = { Ii=1 y i − ω|y i ∈ V i ∀i}. Como las preferencias son convexas, cada V i es convexo y por lo tanto tambi´en los es V . Por la no saciedad local , cada V i es no vac´ıo y por lo tanto tambi´en los es V . Adem´as V ∩ −RL+ = ∅, si no fuera as´ı tendr´ıamos una asignaci´on (y 1 , . . . , y I P tal que Ii=1 y i − ω ≤ 0, es decir factible con y i i xi para todo i, esto es impo´ sible por ser (x1 , x2 , . . . , xI ) un Optimo de Pareto D´ebil. Tenemos dos conjuntos L (V y −R+ ) convexos, no vac´ıos y disjuntos, luego existe un hiperplano separador para ambos: p ∈ RL , p 6= 0 y r ∈ R tal que: ∀y ∈ V , py ≥ r y ∀y ∈ −RL+ , py ≤ r. Como 0 ∈ −RL+ tenemos r ≥ 0 luego ∀y ∈ V , py ≥ 0. Supongamos ahora para cierto j un x ∈ RL+ tal que x 0 c

3.3.

Ejercicios

1. Sea una econom´ıa de dos bienes y dos consumidores. El consumidor 1 con preferencias representadas por U1 (x1 , x2 ) = 2x1 + x2 y dotaci´on inicial ω1 = (3, 5). El consumidor 2 tiene U2 (x1 , x2 ) = x31 x62 y dotaci´on inicial ω2 = (6, 4). 27

a) Dibuje la caja de Edgeworth identificando las dotaciones iniciales, los o´ptimos de Pareto y el n´ ucleo de la econom´ıa. b) Tome la asignaci´on del n´ ucleo preferida por el consumidor 1 y muestre que no est´a en el n´ ucleo de la 2-r´eplica (revise la demostraci´on sobre la convergencia del n´ ucleo). 2. La caja de Edgeworth de la Figura 3.1 muestra las preferencias de dos consumidores: Los consumidores tienen unas preferencias por regiones:

Figura 3.1: Caja de Edgeworth para la Pregunta 2 A 41 ∼ 42  31 ∼ 32 ∼ 33  22 ∼ 23 ∼ 24  14 ∼ 13 B 14 ∼ 24  13 ∼ 23 ∼ 33  22 ∼ 32 ∼ 42  31 ∼ 41 a) Encuentra los o´ptimos de Pareto. b) Si las dotaciones iniciales est´an en la regi´on 23, cual es el n´ ucleo? c) Considera la siguiente definici´on: u ¨na asignaci´on es un o´ptimo d´ebil de Pareto si no existe otra asignaci´on preferida por todos los agentes”. 1) Formaliza la definici´on. 2) ¿Cuales son los o´ptimos d´ebiles de Pareto de este ejercicio? 3) ¿Cual es la relaci´on entre las dos definiciones de optimalidad Paretiana? ¿Cuando las dos definiciones son equivalentes? 3. Supongamos una econom´ıa de intercambio puro donde todos los consumidores tienen las mismas preferencias. ¿Cu´ales son los requisitos m´ınimos sobre estas preferencias ´ para que la asignaci´on donde todos reciben la misma canasta sea un Optimo de Pareto? 4. Considera una econom´ıa de intercambio puro 2x2 con los siguientes consumidores: 28

u1 (x, y) = 2x + y y w = (2, 3). u2 (x, y) = xy 3 y w = (1, 2). a) Encuentra la demanda de cada consumidor. b) Encuentra el equilibrio Walrasiano. c) Determina el conjunto de los o´ptimos de Pareto d ) Dibuja la caja de Edgeworth, ubica los ´optimos de Pareto, la curva de contrato y el equilibrio Walrasiano 5. Bajo ciertas restricciones sobre las utilidades (preferencias), en una econom´ıa 2x2 todo ´ Optimo de Pareto puede ser caracterizado como la soluci´on de: m´ax

x1 , x 2

sujeto a

U1 (x1 ) U2 (x2 ) ≥ k x1 + x2 = w 1 + w 2

(3.2)

Esto es: (x∗1 , x∗2 ) es un OP si y solo si x∗1 resuelve (1) para cierto k y x∗1 + x∗2 = w1 + w2 . Demuestra esto especificando claramente las propiedades de las utilidades que utilizas. Interpreta geom´etricamente este resultado usando la Caja de Edgeworth. 6. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por U1 (x1 , x2 ) = x1 x2 y con dotaci´on inicial ω1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U2 (x1 , x2 ) = m´ın{x1 , x2 } 2 : y dotaci´on inicial ω2 = (4, 1). Considerando p ∈ R++

a) Encuentra la funci´on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. b) Encuentra la funci´on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z(p1 , p2 )). c) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa?. ´ e) ¿Cu´ales son los Optimos de Pareto?. 7. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por U1 (x1 , x2 ) = (x2 + 1)ex1 y con dotaci´on inicial ω1 = (2, 1). El consumidor 2 tiene U2 (x1 , x2 ) = x1 x2 2 y dotaci´on inicial ω2 = (2, 3). Considerando p ∈ R++ :

29

a) Encuentra la funci´on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. b) Encuentra la funci´on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z(p1 , p2 )). c) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa? ¿Cu´al es? ´ e) ¿Cu´ales son los Optimos de Pareto? 8. Dibuja la Caja de Edgeworth con U1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 , ω1 = (1, 2), U2 (x1 , x2 ) = m´ın{x1 , x2 }, ω2 = (3, 4), identificando el equilibrio, el conjunto de Optimos de Pareto y la curva de contrato. 9. Sea el consumidor 1 con preferencias dadas de la siguiente manera: (x1 , x2 )  (x01 , x02 ) ⇐⇒ (x1 − 3)2 < (x01 − 3)2 o (x1 − 3)2 = (x01 − 3)2 y x2 > x02 y con dotaci´on inicial ω1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U2 (x1 , x2 ) = x1 x2 , ω2 = (4, 0). 2 : Considerando p ∈ R++

a) Encuentra la funci´on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. b) Encuentra la funci´on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z(p1 , p2 )). c) ¿Es Z homog´enea de grado cero?, es continua?, se cumple pZ(p) = 0? d ) ¿Qu´e pasa con Z(pn ) cuando pn tiende a (0, 1)?. e) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa?. ´ f ) ¿Cu´ales son los Optimos de Pareto?. Responde a todas las preguntas anteriores, ahora considerando que las dotaciones iniciales son: ω1 = (0, 4) y ω2 = (6, 2). 10. Considera una econom´ıa de intercambio puro de dos consumidores: √ Consumidor A: UA (xA1 , xA2 ) = xA1 xA2 − xB1 , ωA = (1, 0). √ Consumidor B: UB (xB1 , xB2 ) = xB1 xB2 − xB2 , ωB = (0, 1). Encuentra el equilibrio Walrasiano (los consumidores son precios-tomantes y solo eligen su consumo) y verifica si es un ´optimo de Pareto. ¿Puedes explicar qu´e sucede?

30

Cap´ıtulo 4 Empresas Las empresas son agentes econ´omicos con la capacidad de transformar canastas de bienes. Tendremos J ∈ N empresas, cada una identificada por un indice j = 1, . . . , J. Cada empresa j est´a definida por sus posibilidades de transformaci´on de canastas, lo que llamaremos tecnolog´ıa. El objetivo de cada empresa ser´a maximixar su beneficio bajo las restricciones dadas por su tecnolog´ıa. El resultado de esta maximizaci´on ser´a su funci´on oferta y su funci´on beneficio. Al ser nuestro modelo una econom´ıa totalmente cerrada el beneficio es repartido entre los consumidores de acuerdo a la participaci´on de cada uno de ellos en cada empresa.

4.1.

Tecnolog´ıas

De manera formal cada empresa j tendr´a una tecnolog´ıa definida por un conjunto Y j ⊂ RL . A cada elemento y ∈ Y j se le llama plan de producci´on factible, y tiene la siguiente interpretaci´on: Si y` < 0 el bien ` es usado como insumo en la cantidad |y` | = −y` . Si y` > 0 el bien ` es producido en la cantidad |y` | = y` . Si y` = 0 el bien ` no forma parte del plan de producci´on. De esta forma, el plan de producci´on y representa la transformaci´on de la canasta − m´ın{y, 0} en la canasta m´ax{y, 0}. En lo que sigue asumiremos siempre que toda tecnolog´ıa es un conjunto no vac´ıo y cerrado. Otras propiedades que podemos pedir a una tecnolog´ıa son las siguientes: Definici´ on 4.1 (Posibilidades) Una tecnolog´ıa Y ⊂ RL presenta: 1. Posibilidad de Inactividad, si 0 ∈ Y 2. Posibilidad de Libre Deshecho, si y ∈ Y y y 0 ≤ y implica y 0 ∈ Y . 3. No Gratuidad, si y ∈ Y con y ≥ 0 implica y = 0. 4. Acotada Superiormente, si existe K ∈ R tal que todo y ∈ Y cumple y` ≤ K para todo ` = 1, 2, . . . , L. 31

La posibilidad de inactividad indica que la empresa siempre puede dejar de operar sin incurrir en costos. Libre deshecho implica que la empresa siempre puede usar m´as insumos de los necesarios y/o ofrecer al mercado menos de lo f´ısicamente producido. La no gratuidad nos dice que no es posible producir alg´ un producto sin usar ning´ un insumo. La acotaci´on superior limita la cantidad m´axima que se puede obtener de todo producto. Hay varias propiedades relacionadas con la “forma”de Y , nosotros necesitamos: Definici´ on 4.2 (Convexidad) Una tecnolog´ıa Y ⊂ RL se dice convexa cuando Y como subconjunto de RL es convexo. La tecnolog´ıa ser´a estrictamente convexa si Y es estrictamente convexo, es decir que cumple: ◦

∀y, y 0 ∈ Y, y 6= y 0 , ∀α ∈]0, 1[: αy + (1 − α)y 0 ∈ Y

4.2.

Oferta y Beneficio

Dados los precios p  0 el beneficio para la empresa de realizar el plan de producci´on y es simplemente py. Este beneficio podemos expresarlo como py = p m´ax{y, 0} + p m´ın{y, 0} = p m´ax{y, 0} − p(− m´ın{y, 0}) = Iy − Cy donde Iy = p m´ax{y, 0} es el ingreso por la venta de los productos y Cy = p(− m´ın{y, 0}) es el costo total de los insumos usados. El objetivo de cada empresa ser´a maximizar su beneficio bajo las restricciones dadas por su tecnolog´ıa: M ax py s.a. y ∈ Y

(4.1)

Este problema no necesariamente tiene soluci´on: Teorema 4.3 Dada una tecnolog´ıa Y no vac´ıa, cerrada y acotada superiormente, entonces y ≥ py. ∀p ∈ RL++ existe yˆ ∈ Y tal que ∀y ∈ Y : pˆ Demostraci´ on d Como Y es no vac´ıa tomemos y¯ ∈ Y y definamos: Yp = {y ∈ Y |py ≥ p¯ y} Es obvio que Yp es no vac´ıo y que si existe el plan de producci´on yˆ buscado, este debe estar en Yp y maximizar tambi´en el producto py. Como el producto interno es una aplicaci´oTn continua, si Yp es compacto la existencia de yˆ estar´a asegurada. Como Yp = Y {y ∈ RL |py ≥ p¯ y }, es la intersecci´on de dos cerrados, entonces es cerrado. Probemos ahora que tambi´en es acotado. Para cada ` = 1, 2, . . . , L definimos: P p¯ y − K i6=` pi k` = p` 32

y K = m´ın k` `=1,...,L

Si tenemos y ∈ Y tal que para cierto `: y` < K entonces: X X py = p` y` + y − p` k` ) = p¯ y + p` (K − k` ) ≤ p¯ y pi yi < p` K + K pi = p` K + (p¯ i6=`

i6=`

es decir y ∈ / Yp . En resumen si y ∈ Yp entonces para todo `: K ≤ y` ≤ K c El teorema anterior nos asegura la buena definici´on de la funci´on: π(p) = M ax py s.a. y ∈ Y y de la correspondencia: y(p) = {y ∈ Y |py = π(p)} ambas con dominio en RL++ . La funci´on π(p) es la funci´on beneficio (m´aximo) de la empresa y la correspondencia y(p) es la oferta de la empresa. Hay que notar que los elementos de y(p) tienen entradas positivas y negativas. Las positivas son efectivamente las cantidades, de los bienes correspondientes, ofrecidas en el mercado por la empresa. Las entradas negativas son a su vez las cantidades, de los bienes correspondientes, demandadas en el mercado por la empresa. En el cap´ıtulo siguiente, donde vemos econom´ıas con producci´on, el beneficio y la oferta formaran parte de la determinaci´on del equilibrio. Estableceremos aqu´ı sus propiedades. Teorema 4.4 Dada una tecnolog´ıa Y no vac´ıa, cerrada y acotada superiormente, el beneficio y la oferta correspondientes cumplen: 1. π(p) es homog´enea de grado 1 y convexa 2. y(p) es homog´enea de grado 0. 3. Si Y es convexa, y(p) es de imagen convexa. Si Y es estrictamente convexa, y(p) es de imagen unitaria. 4. y(RL++ ) es acotado superiormente. Demostraci´ on d

33

1. Para ver la homogeneidad, tomemos α > 0: π(αp) = M axy∈Y (αp)y = M axy∈Y α(py) = α (M axy∈Y py) = απ(p) Por su parte la convexidad se establece de la siguiente manera, con α ∈ [0, 1] y p, p0 ∈ RL++ : π(αp + (1 − α)p0 ) = M axy∈Y (αp + (1 − α)p0 )y = M axy∈Y αpy + (1 − α)p0 y ≤ M axy∈Y αpy + M axy∈Y (1 − α)p0 y = αM axy∈Y py + (1 − α)M axy∈Y p0 y = απ(p) + (1 − α)π(p0 ) 2. y(αp) = {y ∈ Y |(αp)y = π(αp)} = {y ∈ Y |α(py) = απ(p)} = {y ∈ Y |py = π(p)} = y(p) 3. Sea Y es convexa, tomemos α ∈ [0, 1] y y, y 0 ∈ y(p), es decir py = py 0 = π(p), de donde: p(αy + (1 − α)y 0 ) = α(py) + (1 − α)(py 0 ) = απ(p) + (1 − α)π(p) = π(p) con lo cual αy + (1 − α)y 0 ∈ y(p). Ahora sea Y es estrictamente convexa, supongamos y, y 0 ∈ y(p) con y 6= y 0 y tomamos α ∈]0, 1[. Entonces αy + ◦

(1 − α)y 0 ∈ Y y para  > 0 suficientemente peque˜ no αy + (1 − α)y 0 + p ∈ Y con p(αy + (1 − α)y 0 + p) = π(p) + ||p||2 > π(p) lo cual es una contradicci´on ya que π(p) es el beneficio m´aximo en Y . 4. y(RL++ ) ⊂ Y que es acotado superiormente. c Teorema 4.5 Dada una tecnolog´ıa Y no vac´ıa, cerrada, acotada superiormente y estrictamente convexa la funci´on de oferta y(p) es continua. Demostraci´ on d Tomemos una secuencia de precios pn en RL++ que tienden a p ∈ RL++ , debemos mostrar que y(pn ) → y(p). Primero mostraremos que la secuencia y(pn ) es acotada, por la parte 4 del Teorema anterior tenemos una cota superior. Para la cota inferior, solo tenemos que preocuparnos de los t´erminos y` (pn ) < 0. Notemos primero que como pn es convergente a p ∈ RL++ entonces existen r > 0 y s > 0 tal que ∀` = 1, . . . , L y ∀n = 1, 2, 3, . . . : r < pn` < s. Fijemos ahora y¯ ∈ Y y definimos: X X X X M := s¯ y` + r¯ y` ≤ pn` y¯` + pn` y¯` = pn y¯ ≤ pn y(pn ) y¯` 0

y¯` 0

Ahora si y` (pn ) < 0: ry` (pn ) ≥ pn` y` (pn ) ≥

X

pn` y` (pn ) ≥ M −

y` (pn )0

34

pn` y` (pn )

X

≥M− y`

X

sy` (pn ) ≥ M −

(pn )>0

y`

sK ≥ M − LsK

(pn )>0

Con lo que hemos obtenido la cota inferior: y` (pn ) ≥

M − LsK r

Supongamos ahora que y(pn ) 9 y(p) , esto es que existe δ > 0 y una subsecuencia y(pnk ) tal que ||y(pnk ) − y(p)|| > δ. Como subsecuencia de y(pn ), y(pnk ) tambi´en esa acotada y por lo tanto posee una subsecuencia convergente: y(pnkm ) → yˆ que cumple ||ˆ y −y(p)|| > δ Ahora para todo y ∈ Y tenemos que: pnkm y(pnkm ) ≥ pnkm y, tomando l´ımites, como el producto interno es continuo: pˆ y ≥ py para todo y ∈ Y , es decir yˆ = y(p) lo cual contradice ||ˆ y − y(p)|| > δ. c

4.3.

Ejercicios

1. Sea Y = {(x1 , x2 , . . . , xL−1 , y) | y ≤ f (x1 , x2 , . . . , xL−1 ) ∧ xi ≥ 0 i = 1, . . . , L − 1} Es verdad que Y es convexa si y solo si f es convexa?. 2. Para la tecnolog´ıa de la figura:

Figura 4.1: Tecnologia de la Pregunta 2

Encuentra la funcion/correspondencia de oferta de esta empresa y la funci´on beneficios. 3. Muestre que si Y es cerrado, convexo y cumple con −RL+ ⊂ Y entonces es de libre desecho (Y − RL+ ⊂ Y ). 4. Sea una empresa con la tecnolog´ıa Y = {(−x, z)|x ≥ 0 , z ≤ f (x)}. Demuestra que si Y es de libre disponibilidad (libre desecho, eliminaci´on gratuita) entonces f es no decreciente. 35

5. Estudie las propiedades de la tecnolog´ıa: Y = {(x, y) ∈ R2 |x < 1 y ≤

x } x−1

6. Un plan de producci´on y ∈ Y es eficiente si @y 0 ∈ Y tal que y 0 ≥ y, y 0 6= y. Muestre que si y ∈ Y maximiza el beneficio para unos precios p  0 entonces es eficiente.

36

Cap´ıtulo 5 Econom´ıas con Producci´ on A la econom´ıa definida en el Cap´ıtulo 2, de L bienes e I consumidores, le le adicionaremos J empresas. Cada empresa j = 1, . . . , J est´a definida por su tecnolog´ıa Y j . Cada consumidor i est´a definido por su dotaci´on inicial ω i , su preferencia px1 43

Para los dem´as consumidores si fuera verdad que px0i < pxi por la No Saciedad Local existir´a un z i tal que pz i < pxi y u(z i ) > u(x0i ) ≥ u(xi ) Lo cual contradice el hecho que xi es la demanda de i a precios p. Luego debemos tener que px0i ≥ pxi Sumando tenemos que p

I X

x0i = px01 +

i=1 1

> px +

I X i=2 I X

px0i i

px =

i=2

= p¯ ω+

I X

i

W =

i=1

J X

I X

i

pω +

i=1

J X

! ij

θ py

j

j=1

py j

j=1

≥ p¯ ω+

J X

0j

py = p ω ¯+

j=1

es decir p factible.c

J X

! y

0j

j=1

  PJ 0j 0i , como p  0 la asignaci´on (x0 , y 0 ) no es y ω ¯ + x > p j=1 i=1

PI

El Segundo Teorema del Bienestar tambi´en sigue siendo valido: Teorema 5.12 (Segundo Teorema del Bienestar) Si todas las tecnolog´ıas son convexas y las preferencias de todos los consumidores son estrictamente convexas, fuertemente ´ mon´otonas y continuas, entonces todo Optimo de Pareto D´ebil es soportado por un vector L de precios p ∈ R+ . Demostraci´ on ´ d Sea (x1 , . . . , xI , y 1 , . . . , y J ) un Optimo de Pareto D´ebil. Para PI cadai consumidor i i L i i definimos V = {x ∈ R+ |x  x } y luego el conjunto V = i=1 V − {ω}. Como las preferencias son convexas, cada V i es convexo y por lo tanto tambi´en los es V . Por la no saciedad local , cada V i es no vac´ıo y por lo tanto tambi´en los es V . PJ j Por otro lado el conjunto Y = tambi´en es no vac´ıo y convexo. Para j=1 Y estos conjuntos tenemos: V ∩Y =∅ P P si no fuera as´ı, tendr´ıamos una asignaci´on (x0 , y 0 ) tal que Ii=1 x0i − ω = Jj=1 y 0j , es decir factible con x0i i xi para todo i, esto es imposible por ser (x, y) un ´ Optimo de Pareto D´ebil. Tenemos entonces dos conjuntos, V e Y , convexos, no vac´ıos y disjuntos, luego existe un hiperplano separador para ambos: p ∈ RL , p 6= 0 y r ∈ R tal que: ∀x ∈ V , px ≥ r y ∀y ∈ Y , py ≤ r. 0

0

Supongamos ahora para cierto i0 , un x ∈ RL+ tal que x