Introducción al Método de Fourier. Grupo 536. 14-10-2011
Problema 1.) Una cuerda elástica con ρ, T y longitud L conocidos, tiene el extremo de la izquierda libre y el de la derecha sujeto a un muelle de constante elástica κ. 1. Establece matemáticamente las CC y explica de que especie son. (1) 2. Encuentra la ecuación que satisfacen los números de onda de los armónicos.(1) 3. Plantea gráficamente la ecuación. (1) 4. Estudia todos los límites en los que la ecuación admite soluciones analíticas sencillas y explica su fundamento físico. (1) Nota: Cuando en un extremo de la cuerda se aplica una fuerza F, la relación | =F que se debe cumplir es T ∂u ∂x x=L
Solución: 1. X ′ (0) = 0 segunda especie. X ′ (L) = − Tκ X(L) tercera especie 2. La parte espacial debe ser un coseno para satisfacer la CC en el extremo libre. X(x) = cos(kx) derivando e igualando en x = L tenemos k sin(kL) =
κ cos(kL) T
tan(kL) =
κ kT
(1)
3. Conviene hacer el cambio θ = kL. Tanto se pueden repesentar θ−1 y tangente como θ y cotangente. 4. κ → 0 muelle blando o T → ∞ cuerda tensa aplicando una fuerza dominante de un sistema con sobre el muelle. Recuperamos los numeros de onda kn = nπ L sus dos extremos libres. κ → ∞: muelle duro o T → 0 cuerda destensada aplicando una fuerza despreciable sobre el muelle. Recuperamos los numeros de onda kn = (n + 21 ) Lπ con un extremo fijo y otro libre. kn >> L−1 modos de alta energía y frecuencia. La respuesta del muelle a frecuencias altas es despreciable. Equivalentemente, la energía potencial acumulada en el muelle (que equivaldria a la energía del modo cero) es despreciable frente a la energia total de los modos de índice grande. Problema 2.) Considera el sistema elástico que viene regido por el problema de contorno: ∂2u 2 ρ ∂t2 − T ∂∂xu2 + κu = F (x, t) (2) u(0, t) = u(L, t) = 0 1
Figura 1:
Para tiempos t 0) (1) 2. Calcula la configuración estática de la cuerda para t < 0. (1) 3. Calcula la función de onda del sistema u(x, t) para tiempos t > 0. (1) Solución: 1. La ecuación de la estática es: u′′ =
κ F (x) δ(x − L/2) u− = κu − T T T
(3)
2. Donde no se apliquen fuerzas, la ecuación de la estática indica que la curvatura de la cuerda crece proporcionalmente a la desviación de la posición de equilibrio. La fuerza esta aplicada solo en el punto medio. El perfil estático debe ser curvo y simétrico como en la figura. Definimos k 2 = Tκ y resolvemos la ecuación homogenea: u′′ = k 2 u u(x) = A sinh(kx) + B cosh(kx) (4) si aplicamos las dos CC de contorno, la continuidad de la cuerda y las condiciones de simetría: u(x)
=
A sinh(kx) 0 < x < L/2 A sinh(k(L − x)) L/2 < x < L
(5)
En el punto de aplicación de la fuerza habrá un salto en la pendiente de la cuerda igual al peso de la delta: l´ım(u′ (L/2 + ǫ) − u′ (L/2 − ǫ)) = − ǫ→0
2
1 T
(6)
Con esta relación se determina el valor de A: −Ak cosh(kL/2) − Ak cosh(kL/2) = − luego A =
1 T
(7)
1 2kT cosh(kL/2)
3. Como partimos de un perfil estático An = 0. Busquemos los Bn . La fuerza estática aplicada es una delta vamos a buscar una relación directa de los Bn con las fuerzas aplicadas. Escribimos la ecuación de la estática u′′ − k 2 u = −
F (x) T
(8)
y consideremos u, u′′ y F (x) funciones de x que podemos expandir en serie de Fourier en la base ortogonal que satisface las condiciones de contorno del problema. u(x) =
X
Bn sin(kn x)
(9)
n
derivando dos veces u′′ (x) = −
X
Bn kn2 sin(kn x)
(10)
n
expandimos ademas la función F (x) X = En sin(kn x) T n donde
2 En = L
Z
L 0
2 δ(x − L/2) sin(kn x)dx = sin(kn L/2) T LT
sustituyendo en la ecuación de la estática tenemos: X X Bn (kn2 + k 2 ) sin(kn x) = En sin(kn x) n
(11)
(12)
(13)
n
por la ortogonalidad de la base empleada podemos igualar término a término. En 2 sin(kn L/2) = 2 +k LT (kn2 + k 2 ) X u(x, t) = Bn cos(ωn t) sin(kn x) Bn =
kn2
n
donde
ωn2
=c
2
(kn2
2
+k ) 3
(14) (15)
Cuestión 1.) En una determinada cuerda elástica la tensión no es constante sino que tiene una dependencia espacial T = T (x). Escribe el Lagrangiano de una cuerda de este tipo y deduce la EDP que rige su movimiento. (2) Solución: Al contrario que en la cuerda vibrante, no conocemos aquí de antemano la fuerza elástica. Sin la fuerza elástica no es posible calcular el trabajo realizado contra ella para establecer una configuración de la cuerda. Sin embargo sí sabemos que un elemento diferencial de la cuerda, que esta entre x y x+dx, tendrá una energía potencial. 1 dV = T (x)(ux )2 dx 2
(16)
Es decir la tensión se evalua en el punto x en el que está el diferencial. La energía cinética es la misma que para la cuerda simple. 1 dT = ρ(ut )2 dx 2
(17)
1 1 L = ρ(ut )2 − T (x)(ux )2 2 2
(18)
la densidad Lagrangiana es
y el Lagrangiano. L=
Z
L
Ldx
(19)
0
La ecuación de movimiento se obtiene a partir de la ecuacion de Lagrange. d ∂L d ∂L ∂L + − =0 dt ∂ut dx ∂ux ∂u
(20)
el único término que difiere al de la cuerda elástica simple es: ∂L = −T (x)ux ∂ux
d ∂L = −T ′ (x)ux − T (x)uxx dx ∂u
(21)
La ecuación de movimiento es: ρutt − T (x)uxx − T ′ (x)ux = 0
(22)
Que tiene las unidades correctas, recupera el caso de tensión constante de forma natural (T ′ (x) = 0) Cuestión 2.) Supongamos que tenemos un sistema lineal genérico regido por una EDO. Queremos encontrar su Función Respuesta pero no tenemos acceso a x(t), sino a la derivada primera de esta que es x′ (t). ¿Podemos de todas formas conocer la Función Respuesta del sistema?. Supón que la acción externa que utilizamos para caracterizar la Función Respuesta tiene la forma F (t) = F0 eiωt (0.5) 4
Solución: Aunque no tengamos acceso a la x(t) sabemos que tendrá necesariamente la forma x(t) = R(ω)F0 eiωt luego su derivada será x′ (t) = iωR(ω)F0eiωt despejando la Función Respuesta obtenemos: x′ (t) R(ω) = (23) iωF0 eiωt Cuestión 3.) Un cuerda elástica simple, con todas sus constantes físicas conocidas, se encuentra en una configuración estática impuesta por la fuerza F (x). En el instante t = 0 la fuerza desaparece repentinamente. Comprueba que la posicion de la cuerda a partir de ese instante es: Z L X 2 F (x) Bn cos(ωn t)Xn (x) Bn = Xn (x)dx (24) 2 Lkn 0 T n (n genérico) para cualquier combinación de CC de primera o segunda especie homogeneas. Solución: El enunciado afirma que hay proporcionalidad entre el coeficiente de Fourier de la fuerza estática y el del perfil estático. Cuando partimos de una configuración estática sabemos que la c.i. en velocidades es cero ψ(x) = 0 y que la configuración estática de la cuerda es la c.i. en posiciones φ(x) = u(x). Podemos escribir: X u(x) = Bn Xn (x) (25) n
sabemos que la fuerza estática es proporcional la derivada segunda del perfil estático F(x)=-T u”(x) X X F (x) = −T u′′ (x) = −T Bn Xn′′ (x) = T kn2 Bn Xn (x) (26) n
n
Podemos interpretar esta ecuación como la expansión de la fuerza estática en serie de Fourier. De esta manera identificamos T kn2 Bn como los coeficientes de Fourier de la fuerza estática: Z 2 L 2 F (x)Xn (x)dx (27) T kn Bn = L 0 despejando 2 Bn = Lkn2