Sistemas de Numeración Sistemas Numeración

2009--2010 2009

Sistemas de Numeración

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• En la historia han existido muchas formas

Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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de representar los números. En la actualidad el más extendido es el sistema Decimal • En E llos computadores, t d se usa ell sistema i t binario: Por la facil implementación ( i t (sistemas imantados, i t d 2 niveles i l de d voltaje,…) • Existen sistemas de numeración, como el octal, hexadecimal, de los que hablaremos en este tema.

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• Sistema de Numeración:

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•

•

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– Es un conjunto de reglas, signos y convenios que nos permiten expresar, verbal y gráficamente, las cantidades id d de d las l magnitudes i d o valores l numéricos. éi Base de un sistema de numeración: – Es el número de signos distintos que se emplean en el sistema.. Alfabeto de un sistema de numeración: – son todos y cada uno de los signos que se emplean en el sistema. A partir de ellos se expresarán todas las cantidades. Ejemplo El sistema de numeración decimal utiliza diez dígitos. Base: 10 Alfabeto: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

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• Sistemas Si t P Posicionales i i l Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

– Cada cifra de un valor numérico contribuye al valor final dependiendo de su valor y de la posición que final, ocupa dentro de él (valor relativo) – El valor final será la suma de una serie de potencias de la base del sistema (B) – N = An·Bn + An-1·Bn-1 + ... + A1·B1 + A0·B0 + A-1·B-1 + ... + A-p·B B-p – Donde B=Base, Ai las cifras, n+1 digitos enteros, p digitos fraccionarios

• Ejemplos

Vamos a obtener el valor decimal del número decimal 2715 con la fórmula de la suma de d potencias t i de d lla base. b En E este t caso, la l base b es 10 (base (b decimal). d i l)

2715 = 2 * 103 + 7 * 102 + 1 * 101 + 5 * 100

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• Sistemas Si t NO

Dígito g romano

Valor decimal

I

uno

V

cinco

X

diez

L

cincuenta

C

cien

D

quinientos

M

mil

Posicionales

Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

– Estos sistemas de numeración son antiguos La antiguos. contribución de cada cifra no depende del l lugar que ocupa

• Ejemplo j p – MMIV = M + M - I + V = 1000 + 1000 - 1 + 5 = 2004

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SISTEMA BINARIO

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• Base: 2 • Alfabeto: 0,1 • Inconvenientes:

– Necesita muchas cifras para representar un numero grande. – Es engorroso para las personas

• Ventajas:

– Los computadores p representan p información con circuitos electrónicos (dos estados) (relés, núcleos de ferrita, etc.) – Seguridad y rapidez de respuesta a dos estados – Las operaciones aritméticas son sencillas

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• Definición: Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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– Para el sistema binario, cada dígito recibe el nombre de bit, una agrupación de 4 bits se denomina nibble, nibble una agrupación de 8 bits se denomina byte y una agrupación ió de d 16 bits bit se denomina palabra (word)

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Decimal

Binario

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

10

1010

11

1011

12

1100

13

1101

14

1110

15

1111

7

Conversión BinarioBinario-Decimal

Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

• Si desarrollamos el número dado como potencias de 2 tendremos:

•

10112 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 8 + 2 + 1 = 1110

• Ejercicio: numero 1011,0112

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Conversión DecimalDecimal-Binario

Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

• Primero separar la parte entera de la decimal. • Parte Entera: – Dividir sucesivamente por la Base(2) hasta que no se pueda más. El ultimo cociente (0,1) junto con los restos de las divisiones en orden inverso nos dan el numero deseado.

• Parte Fraccionaria: – Multiplicar sucesivamente por la Base(2). La parte entera obtenida(0,1) es la cifra binaria. Repetimos hasta que sea la parte fraccionaria 0 o sea periodica periodica. Unimos las partes enteras obtenidas en el mismo orden.

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• Sistema Octal • 8 símbolos. Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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– Interesante por la facilidad de conversión a binario pues 8=23

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Octal

Decimal

Binario

0

0

000

1

1

001

2

2

010

3

3

011

4

4

100

5

5

101

6

6

110

7

7

111

10

Conversión OctalOctal-Binario

Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

• Sustituimos cada una de las cifras que lo forman por sus tres cifras binarias equivalentes.

• Ejemplo: – 375,428 = 011 111 101 , 100 0102

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Conversión BinarioBinario-Octal • Se realiza a la inversa inversa,, comenzando desde la coma decimal Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

hacia la izquierda para la parte entera, rellenando con ceros a la izquierda si fuera necesario; y desde la coma decimal hacia la derecha para la parte fraccionaria, rellenando con ceros a la derecha si fuera necesario.

• Ejemplo: 11111101,1000102= 011 111 101 , 100 0102= 375,428

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• Conversión Octal - Decimal Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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• La conversión octal a decimal se realiza del mismo modo que la conversión binario a decimal, teniendo en cuenta que la base ahora es B=8 B=8.

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• Conversión Decimal Decimal--Octal

• La conversión decimal a octal,, se realiza del mismo modo Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

que de decimal a binario, dividimos la parte entera de forma sucesiva por la base (B=8), y multiplicamos la parte fraccionaria por la base (B=8).

• Ejemplo •

Expresar el número decimal 0,35 en octal. P t ffraccionaria Parte i i 0,35 0,8 0,4 04 0,2 0,6

* 8 = 2,8 * 8 = 6,4 * 8 = 3,2 32 * 8 = 1,6 * 8 = 4,8

Obtenemos el valor: 26314...

8

La parte fraccionaria tiene infinitas cifras decimales, por lo que paramos cuando d consideremos id que tenemos t una precisión i ió suficiente. El resultado final es la unión de ambos valores: 0,35 = 0,26314... 8

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• Sistema Hexadecimal • Este sistema tiene 16 símbolos (B=16). Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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Conversión a binario sencilla 16=24

• Base: 16 • Alfabeto: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 0123456789ABCDEF

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Conversión Hexadecimal--Binario Hexadecimal

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Hexadecim al

Decimal

Binario

0

0

0000

1

1

0001

2

2

0010

3

3

0011

4

4

0100

5

5

0101

6

6

0110

7

7

0111

8

8

1000

9

9

1001

A

10

1010

B

11

1011

C

12

1100

D

13

1101

E

14

1110

F

15

1111

• Basta con sustituir cada

símbolo hexadecimal (dígito) por su equivalente en binario.

• 99A7E16=1001 00 1010 0 0 0110 0 0 1110 02

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Conversión Binario Binario--Hexadecimal • La conversión de un número binario a hexadecimal se Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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realiza a la inversa; se forman grupos de cuatro cifras binarias a partir de la coma decimal, hacia la izquierda y hacia la derecha, y se sustituye cada grupo por su equivalente i l t hexadecimal. h d i l Si ell grupo final fi l de d la l izquierda i i d queda incompleto, se rellena con ceros por la izquierda (ceros iniciales). Del mismo modo, si el grupo final de la derecha queda incompleto, incompleto se rellena con ceros por la derecha (ceros finales).

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Conversión BinarioBinario-Hexadecimal • Ejemplo: Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

– 1101010111100011100000001,1100012

• Pasos

– Agrupamos de cuatro en cuatro bits y rellenamos con ceros iniciales y finales: 0001 000 1 1010 1011 1100 0111 0000 0001,1100 0100 01002 – Sustituimos cada grupo de cuatro bits por su equivalente hexadecimal: 1 A B C 7 0 1 , C 4 – Resultado:1ABC701,C4 Resultado: 1ABC701,C4

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Conversión HexadecimalHexadecimal-Decimal

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• La conversión de hexadecimal a decimal se realiza

siguiendo i i d ell mismo i procedimiento di i t que en las l conversiones i binario--decimal, es decir, con la fórmula de la suma de binario potencias de la base, base considerando la base B=16 B=16.

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Conversión DecimalDecimal-Hexadecimal

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• Para la conversión decimaldecimal-hexadecimal procederemos del mismo i modo d que en la l conversión ió decimaldecimal d i l-binario, bi i considerando B=16. Dividiremos la parte entera sucesivamente por la base, y la parte fraccionaria la multiplicaremos por la base .

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Aritmética binaria

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Aritmética Binaria

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• Al igual que en el sistema decimal, tenemos sumas,restas, multiplicaciones lti li i y divisiones. di i i

• Veremos estas operaciones para números binarios sin signo.

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Suma Binaria Valor 1

Valor 2

Suma

Acarreo

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

• La suma de dos números binarios sin signo se realiza de la misma forma que en el sistema decimal, es decir, alineando los números por la derecha y sumando dígito a dígito por po columnas, col mnas comenzando por el bit menos significativo (LSB), el de la derecha, y continuando hacia la izquierda teniendo en cuenta el izquierda, posible acarreo que se sumará a la siguiente columna

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•

Ejemplo: +

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110011101 10110111 --------------------------1001010100

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Resta Binaria

• Vamos a explicar dos Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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mecanismos para realizar la resta de números binarios. En ambos casos se alinean los dos valores por la derecha y se restan dígito a dígito hacia la izquierda.

Valor 1

Valor 2

Resta

Acarreo

0

0

0

0

0

1

1

-1

1

0

1

0

1

1

0

0

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• Resta Binaria • Método 1: Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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– Lo q que haremos en el caso del acarreo negativo g será realizar modificaciones en el minuendo, consistentes en tomar prestado un 1 de la siguiente columna de la izquierda del dígito actual que no sea 0, sustituyendo todos los 0 que nos hayamos encontrado por 1 desde esa columna hasta la columna actual modificaciones en el minuendo:

minuendo: substraendo:

0

11101 1011 -----------------10010

29 - 11 ------18

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• Resta Binaria • Método 2: Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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– También podría hacerse la resta de dos números binarios tal y como hacemos en el sistema decimal. Se trata de realizar modificaciones en el sustraendo; en vez de restar en el minuendo, lo que hacemos es sumar al sustraendo de la siguiente columna el acarreo que se ha producido minuendo: substraendo: Modificaciones sustraendo

1 1 0 1, 1 0 1 0 0 1 1, 1 10111 1 0 0

0 1 0 0

---------------------------1 0 0 1, 1 1 1 0 1

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• Multiplicación Binaria Valor 1

Valor 2

Multiplicación

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

• La multiplicación p de Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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números binarios se realiza con el mismo mecanismo que para la multiplicación de números decimales. Multiplicamos bit a bit para obtener unos resultados p parciales,, los cuales se van desplazando una posición a la izquierda y al final se suman todos ellos

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• Multiplicación Binaria

• Ejemplo: Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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1100 x 1011 --------------1100 1100 0000 +1100 --------------------10000100

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12 x 11 -------132

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• División Binaria

Valor 1

Valor 2

División

0

0

No definido

0

1

0

1

0

Imposible

1

1

1

• El algoritmo utilizado por Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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la división binaria es similar al de la división en el sistema decimal, aunque hay otro método basado en sustracciones repetidas del divisor

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• División Binaria

Introducción Definición Clasificación Sist. Binario Si t O Sist. Octal t l Sist. Hexa. Arti. Binaria

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• Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 1 |_ |_1 1 0 0 1_ 1_ -1001 1101 -----------01011 -1001 -----------001011 -1001 -----------0010

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1 1 9 |__9 |__9 - 9 13 -----29 -27 ------2

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