SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO Cuando se trabaja en una computadora, los datos son convertidos en números dígitos que, a su vez, son representados como pulsaciones o pulsos electrónicos. En la actualidad para comunicarnos, expresarnos y guardar nuestra información, usamos el sistema de numeración decimal y el alfabeto, según se trate de valores numéricos o de texto. Una computadora como funciona con electricidad, reconoce dos clases de mensajes: cuando hay corriente eléctrica el mensaje es sí y cuando no hay corriente, el mensaje es no. Para representar un valor dentro de una computadora se usa el sistema de numeración binario, que utiliza sólo dos dígitos: el cero (0) y el uno (1). La computadora utiliza un conjunto de ocho (8) dígitos binarios (0 y 1) para representar un carácter, sea número o letra. Cada conjunto de 8 dígitos binarios se denomina byte y cada uno de los ocho dígitos del byte se llama bit, como contracción de su nombre en inglés BinaryDigit. (formulado por Claude Elwood Shanon en 1948, que significa ―dígito binario‖). El bit es la unidad de medida de información mínima por excelencia. Un bit puede brindar sólo dos clases de información: prendido – apagado, si – no, uno – cero. Digitalizar consiste en traducir toda la realidad a unos y ceros. La transición digital se produce en tanto todos los aspectos de la realidad se convierten en un conjunto de bits, de manera que puedan ser preservados, manipulados y distribuidos a través de una herramienta común: la computadora. Una vez convertidos en bits, la información puede ser procesada y manipulada con gran rapidez por las computadoras, puede reproducirse infinitamente sin pérdidas de calidad respecto del original y puede ser transportada y distribuida a la velocidad de la luz. Para medir la cantidad de información que se puede almacenar, o que está almacenado en algún dispositivo, se utilizan los siguientes múltiplos del Byte: La abreviatura b se utiliza para bits y B para bytes.       

Nibble o cuarteto: Es el conjunto de cuatro bits (1001). Byte u octeto:Es el conjunto de ocho bits (10101010). Kilobyte (Kb): Es el conjunto de 1024 bytes (1024*8 bits).210 Megabytes (Mb): Es el conjunto de 1024 Kilobytes (10242*8 bits).220 Gigabytes (Gb): Es el conjunto de 1024 Megabytes (10243*8 bits).230 Terabyte (Tb): Es el conjunto de 1024 Gigabytes (10244*8 bits).240 Petabyte (Pb): Es el conjunto de 1024 Terabyte (10245*8 bits)250

 Exabyte(Eb): Es el conjunto de 1024 Petabyte (10246*8 bits)260  Zettabyte (Zb): Es el conjunto de 1024 Exabyte (10247*8 bits)270  Yottabyte (Yb): Es el conjunto de 1024 Zettabyte (10248*8 bits)280 El sistema binario, en ciencia de la computación, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0). Operaciones con Números Binarios 

Suma de Números Binarios

La tabla de sumar para números binarios es la siguiente: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 10 Note que al sumar 1 + 1 es 10(2), es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10, se escribe cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición. Ejemplo 1 10011000 +00010101 —————— 10101101 Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreoo arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).



Resta de Números Binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes: 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1) La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1 (este valor se resta al resultado que obtenga, entre el minuendo y el sustraendo de la siguiente columna), lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1. Ejemplos: 10001 -01010 ————— 00111

11011001 -10101011 —————— 00101110

TABLA DE VERDAD Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra elvalor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes. Verdadero: El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno1. Falso:El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0.

Variable: Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así: Negación: La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Conjunción: La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

Disyunción: La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

A

B

Not (A)

Not (B)

A˄B (A and B)

A˅B (A or B)

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

Tipos de Datos: Los datos a procesar por una computadora pueden clasificarse en: simples y estructurados. La principal característica de los datos simples es que ocupan sólo una casilla de memoria, por lo tanto, una variable simple hace referencia a un único valor a la vez. En este grupo de datos se encuentran: enteros, reales, caracteres, booleanos, enumerados y subrango. Los datos estructurados se caracterizan por el hecho de que con un nombre, se hace referencia a grupo de casillas de memoria. Es decir, un dato estructurado tiene varios componentes. Cada uno de los componentes puede ser a su vez un dato simple o estructurado. Dentro de este grupo de datos se encuentra: arreglos, cadena de caracteres, registros y conjuntos. Entre los diferentes tipos de datos simples tenemos:  Datos Numéricos: los datos numéricos pueden ser enteros y reales. Los enteros son números que pueden estar precedidos del signo + o -, y que no tienen parte decimal. Ej. 128, 1759, -714, -12456  Datos Alfanuméricos: este tipo de datos engloba los datos de tipo carácter (simple) y cadena de caracteres (estructurado). Son datos cuyo contenido pueden ser letras del abecedario (a, b, c, …, z), dígitos (0, 1, 2, …, 9) o símbolos especiales (#, $, ^, *, %, /, !, +, -, etc.) y que van encerrados entre comillas o dobles comillas dependiendo del lenguaje de programación. Un tipo de dato carácter tiene un solo carácter. Ej. ‗a‘, ‗R‘, ‗$‘, ‗+‘, ‗^‘  Datos Lógicos: este tipo de datos son los booleanos, datos que solo pueden tomar dos valores, verdadero (true) o falso (false). Identificadores, Constantes y Variables Identificadores: Los datos a procesar por una computadora, ya sean simples o estructurados, deben almacenarse en casillas o celdas de memoria para su posterior utilización. Estas casillas o celdas de memoria (constantes o variables) tienen un nombre que permite su identificación. Se llama identificador al nombre que se le da a las casillas de memoria. Un identificador se forma de acuerdo a ciertas reglas (las mismas pueden tener alguna variante dependiendo del lenguaje de programación utilizado)

Constantes: Son datos que no cambian durante la ejecución de un programa. Para nombrar una constante utilizamos los identificadores descritos anteriormente. Pueden existir constantes enteras, reales, carácter, cadena de caracteres, booleanas, etc. Variables: son objetos o datos que pueden cambiar su valor durante la ejecución de un programa, para nombrarlas se utilizan los identificadores, y de igual manera pueden existir variables de tipo enteras, reales, carácter, cadena de caracteres, booleanas, etc. Operaciones Aritméticas: Para realizar operaciones aritméticas se necesitan operadores aritméticos. Estos operadores permiten realizar operaciones entre operandos: números, constantes o variables. La siguiente tabla representa los operadores aritméticos, especificando que tipo de operación realizan, un ejemplo y el resultado. Operador Aritmético **; ^

Operación

Ejemplo

Resultado

Potencia

4**3

64

*

Multiplicación

8,25*7

57,75

/

División

15/4

3,75

+

Suma

125,78 + 62,5

188,28

-

Resta

65,3 – 32,33

32,97

mod

Módulo (Residuo)

15 mod 2

1

div

División Entera

17 div 3

5

Al evaluar las expresiones que contienen operadores aritméticos se debe respetar la jerarquía en el orden de aplicación. Es decir, si tenemos en una expresión más de un operador, se debe aplicar primero el operador de mayor jerarquía, resolver esa operación, y así sucesivamente. En la siguiente tabla se presenta la jerarquía de los operadores. Operador Aritmético **

Jerarquía (mayor)

*, /, mod, div +, -

(menor)

Operación Potencia Multiplicación, División, Módulo, División Entera Suma, Resta

Las reglas para resolver una expresión aritmética son las siguientes: 1. Si una expresión contiene subexpresiones entre paréntesis, éstas se evalúan primero; respetando claro está la jerarquía de los operadores aritméticos en esta subexpresión. Si las subexpresiones se encuentran anidadas por paréntesis, primero se evalúan las subexpresiones que se encuentran en el último nivel de anidamiento. 2. Los operadores aritméticos se aplican teniendo en cuenta la jerarquía y de izquierda a derecha. Ej.

7*5**3/4div3 7*125/4div3 875/4div3 218,75 div 3 72

Expresiones Lógicas: Las expresiones lógicas o booleanas, están constituidas por números, constantes o variables y operadores lógicos o relacionales. El valor que pueden tomar estas expresiones son: verdadero o falso. Se utilizan frecuentemente en las estructuras selectivas (dependiendo del resultado de la evaluación se toma por un determinado camino alternativo) y en las estructuras repetitivas (dependiendo del resultado de la evaluación se continúa con el ciclo o se interrumpe el mismo) Operadores Relacionales: Son operadores que permiten comparar dos operandos. Los operadores pueden ser números, alfanuméricos, constantes o variables. Las constantes o variables a su vez, pueden ser del tipo entero, real, carácter o cadena de caracteres. El resultado de una expresión con operadores relaciones es verdadero o falso. La siguiente tabla muestra un ejemplo según el tipo de operación y el resultado que genera la operación. Operador Relacional =

Operación

Ejemplo

Resultado

Igual que

‗hola‘ = ‗lola‘

FALSO



Diferente a

‗a‘ ‘b‘

VERDADERO

<

Menor que

7 < 15

VERDADERO

>

Mayor que

22 > 11

VERDADERO

= 20

VERDADERO

Operadores Lógicos: Son operadores que permiten formular condiciones complejas a partir de condiciones simples. Los operadores lógicos son de conjunción (y), disyunción (o) y negación (no). En la siguiente tabla se presenta operador lógico, expresión lógica y significado de dicha expresión, teniendo en cuenta la jerarquía. Operador Lógico

Jerarquía

Expresión Lógica

NOT

(mayor)

not P

Y (menor)

O

P y Q (P ^ Q)

Significado No es cierto que P Es falso que P P sin embargo Q

P o Q (P ˅ Q)

P o Q o ambas

La siguiente es la tabla de la verdad de los operadores lógicos: A

B

Not (A)

Not (B)

A˄B (A y B)

A˅B (A o B)

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

Por último se presenta la jerarquía correspondiente a todos los operadores: Operadores ()

Jerarquía (mayor)

** *, /, mod, div, +, =, , , = NOT Y O

(menor)

A Continuación se presenta un ejemplo de expresión aritmética: ( 15>= 7 * 3 ** 2 y 8 > 3 y 15 > 6 ) o not ( 7 * 3 < 5 + 12 * 2 div 3 ** 2) ( 15>= 7 * 3 ** 2 y 8 > 3 y 15 > 6 ) o not ( 7 * 3 < 5 + 12 * 2 div 3 ** 2) ( 15>= 7 * 9 y 8 > 3 y 15 > 6 ) o not ( 7 * 3 < 5 + 12 * 2 div 9) ( 15>= 63 y 8 > 3 y 15 > 6 ) o not ( 21< 5 + 24 div 9) ( FALSO y VERDADERO y VERDADERO ) o not ( 21< 5 + 2 ) ( FALSO y VERDADERO ) o not ( 21