XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones ´ tica Aplicada XI Congreso de Matema Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009 (pp. 1–8)

Sobre la identificaci´ on V ⊂ H = H 0 ⊂ V 0 y un error en relaci´ on con ella J. Simon CNRS, Laboratoire J.-A. Dieudonn´e, Universit´e de Nice, F-06000 Nice. E-mail: http://math.unice.fr/~jsimon

Palabras clave:

ecuaci´ on de Navier-Stokes, ecuaci´ on del calor, teorema de Lions, error

Resumen Mostraremos que la identificaci´on de H con su dual H 0 en el famoso marco funcional V ⊂ H = H 0 ⊂ V 0 es incompatible con la formulaci´on de muchas edps cl´asicas. Daremos condiciones necesarias y suficientes para que esta compatibilidad tenga lugar y examineros si son satisfechas o no para algunas ecuaciones b´asicas. Recordaremos un error relacionado con esta identificaci´on que sigue siendo cometido desde hace a˜ nos — ¡incluso en el Bolet´ın SeMA! — y explicaremos c´omo evitarlo, esperando que la juventud abandone este peligroso camino.

1.

Marco funcional

El marco del teorema de Lions El teorema de Lions es una herramienta b´asica para la resoluci´on de las edps parab´olicas lineales. Hace intervenir dos espacios de Hilbert V y H tales que V⊂ H, →

V es denso en H.

La notaci´ on ⊂ significa inclusi´ on con inyecci´ on continua. Denotando V 0 el dual de V , → 0 resulta (cuando se identifica f ∈ H con su restricci´on f |V ) H0 ⊂ V 0. →

El marco de las distribuciones Cuando se utiliza el teorema de Lions para la resoluci´on de una edp escalar en un abierto Ω ⊂ Rd , se tiene V⊂ H⊂ D0 (Ω). → → 1

J. Simon

Una tentaci´ on Siendo el espacio de Hilbert H isomorfo a su dual por el teorema de Riesz–Fr´echet, se podr´ıa identificar con H 0 (identificando f ∈ H a If ∈ H 0 , definida por hIf, vi = (f, v)H ). Resultar´ıa el marco unificado V⊂ H= H0 ⊂ V 0. ↔ → → Para seguir estando dentro de espacios de distribuciones, esta identificaci´on necesita V0⊂ D0 (Ω). →

(1)

Esto es por ejemplo necesario para resolver una ecuaci´on del tipo ∂u/∂t − ∆u = f con f ∈ L2 (0, T ; V 0 ) (a menos que se entiendan las derivadas parciales en otros espacios distintos a los de distribuciones). Recordemos que (1) se verifica si D(Ω) ⊂ V, →

D(Ω) es denso en V .

(2)

Rec´ıprocamente, para que (1) sea cierto, necesitamos, por la proposici´on en la secci´on 6, D(Ω) es denso en V ,

V es denso en D(Ω).

(3)

Observaciones. a) No est´ a claro si (1) implica (2). b) La condici´ on (3) no presupone que ninguno de los dos espacios est´e incluido en el otro; por ejemplo, la primera propiedad tambi´en se escribe en la forma “D(Ω) ∩ V es denso enV ”. Por tanto, vamos a examinar a continuaci´on, usando (2) y (3), si la condici´on de compatibilidad (1) es satisfecha para algunas edps usuales.

2.

La ecuaci´ on del calor con condici´ on de Dirichlet

El problema Se busca u = u(t, x) tal que  ∂u  − ∆u = f   ∂t u=0    u = u0

en Ω × (0, T ), sobre ∂Ω × (0, T ), en t = t0 .

Dadas f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)),

u0 ∈ L2 (Ω),

se obtiene una soluci´ on u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ C(0, T ; L2 (Ω)) usando el teorema de Lions con V = H01 (Ω) y H = L2 (Ω). 2

Sobre la identificaci´on V ⊂ H = H 0 ⊂ V 0

Compatibilidad con la identificaci´ on H = H 0 La condici´ on de compatibilidad (1), esto es, aqu´ı, (H01 (Ω))0 ⊂ D0 (Ω) es satisfecha → puesto que la condici´ on suficiente (2), esto es, D(Ω) ⊂ H 1 (Ω), → 0

D(Ω) es denso en H01 (Ω)

es satisfecha. En efecto, por definici´on, H01 (Ω) es el cierre de D(Ω) en H 1 (Ω). Entonces, la identificaci´ on de H con H 0 , esto es, la identificaci´ on de L2 (Ω) con su dual, es compatible con las otras identificaciones y conduce a H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) = (L2 (Ω))0 ⊂ (H01 (Ω))0 ⊂ D0 (Ω). ↔ → → →

(4)

Con esta identificaci´ on, se puede resolver la ecuaci´on del calor con f ∈ L2 (0, T ; (H01 (Ω))0 ). Lo que es equivalente a f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) (esto es una redundancia si H −1 (Ω) designa la imagen de (H01 (Ω))0 por estas identificaciones; es un teorema si, como preconizamos, H −1 (Ω) designa el espacio de las sumas de derivadas de orden ≤ 1 de elementos de L2 (Ω).

Definici´ on de H −1 Varios autores definen H −1 (Ω) como “el dual de H01 (Ω)”, lo que es una abreviatura para “la imagen de este dual por las identificaciones que conducen a (4)”. Sin la identificaci´on de L2 (Ω) con su dual, se escribe n o |hf, viD0 (Ω)×D(Ω) | H −1 (Ω) := v ∈ D0 (Ω) : sup 1). c) No se extiende a H −1 (Ω; E) si E no es reflexivo o, por lo menos, un dual. Estos inconvenientes desaparecen con la definici´on siguiente, H −1 (Ω) := {v ∈ D0 (Ω) : v = v0 + ∂1 v1 + · · · + ∂d vd , vi ∈ L2 (Ω), ∀i}, esto es, el espacio de “las sumas de derivadas de orden ≤ 1 de elementos de L2 ”. Esta definici´on tambi´en es cl´ asica y equivale a (5), v´ease por ejemplo [2].

3.

La ecuaci´ on del calor con condici´ on de Neumann

El problema Se busca ahora u tal que  ∂u   − ∆u = f    ∂t ∂u =0   ∂n    u = u0

en Ω × (0, T ), sobre ∂Ω × (0, T ), en t = t0 . 3

J. Simon

Dadas f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)),

u0 ∈ L2 (Ω),

se obtiene una soluci´ on u ∈ L2 (0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C(0, T ; L2 (Ω)) usando el teorema de Lions con V = H 1 (Ω) y H = L2 (Ω).

Incompatibilidad con la identificaci´ on H = H 0 La condici´ on de compatibilidad (1), esto es, aqu´ı, (H 1 (Ω))0 ⊂ D0 (Ω) NO es satisfecha → puesto que la condici´ on necesaria (3) no se verifica, ya que D(Ω) no es denso en H 1 (Ω). Entonces, la identificaci´ on de H con H 0 , esto es, de nuevo la identificaci´ on de L2 (Ω) con su dual, no es compatible aqu´ı con la pertenencia a un espacio de distribuciones, ya que se identifica (L2 (Ω))0 con un subespacio de (H 1 (Ω))0 cuyos elementos no se pueden identificar con distribuciones. Por tanto, NO se puede conseguir una distribuci´ on que sea soluci´ on de la ecuaci´ on del calor cuando f ∈ L2 (0, T ; (H 1 (Ω))0 ), puesto que esto es incompatible con f=

∂u − ∆u ∈ D0 (0, T ; H −1 (Ω)). ∂t

El dual de H 1 (Ω) Siendo R un operator de levantamiento de trazas, la descomposici´on v = (v−R(v|∂Ω ))+ R(v|∂Ω ) da H 1 (Ω) = H01 (Ω) ⊕ R(H 1/2 (∂Ω)). Por dualidad, resulta (H 1 (Ω))0 = (H01 (Ω))0 ⊕ (R(H 1/2 (∂Ω)))0 . ↔ Con la identificaci´ on (H01 (Ω))0 = H −1 (Ω) (que es siempre compatible con el marco de las ↔ distribuciones), esto muestra que (H 1 (Ω))0 es estrictamente “mayor” que H −1 (Ω) y que no se pueden “identificar” uno a uno los elementos de estos dos espacios duales (de igual modo que no se pueden identificar los y ∈ R2 con los x ∈ R).

4.

Las ecuaciones de Navier–Stokes linealizadas

El problema Se busca ahora u = (u1 , u2 , u3 )(t, x) y p = p(t, x) tales que  ∂u  − ν∆u + ∇p = f, ∇ · u = 0 en Ω × (0, T ),   ∂t u=0 sobre ∂Ω × (0, T ),    u = u0 en t = t0 . 4

Sobre la identificaci´on V ⊂ H = H 0 ⊂ V 0

Dadas f ∈ L2 (0, T ; (H −1 (Ω))3 ),

u0 ∈ H,

se obtiene una soluci´ on u ∈ L2 (0, T ; (H01 (Ω))3 ) ∩ C(0, T ; (L2 (Ω))3 ),

p ∈ W −1,∞ (0, T ; (L2loc (Ω))3 )

usando el teorema de Lions con V y H y el teorema de De Rham, donde V es el cierre de {v ∈ (D(Ω))3 : ∇ · v = 0} en (H 1 (Ω))3 , H es el cierre de {v ∈ (D(Ω))3 : ∇ · v = 0} en (L2 (Ω))3 .

Incompatibildad con la identificaci´ on H = H0 Como u tiene tres componentes escalares, la condici´on de compatibilidad (1) aqu´ı se reemplaza por la condici´ on vectorial an´aloga V0 ⊂ (D0 (Ω))3 que NO es satisfecha puesto → que la condici´ on necesaria an´ aloga a (3) (v´ease la proposici´on en la secci´on 6) no se verifica ya que V no es denso en (D(Ω))3 . En efecto, ∇ · v = 0 para cada v en V, y entonces para cada v en su cierre en (D0 (Ω))3 . Entonces, la identificaci´ on de H con H0 no es compatible con la pertenencia a un espacio de distribuciones puesto que se identifica H0 con un subespacio de V0 cuyos elementos no se pueden identificar con distribuciones. En consecuencia, NO se pueden conseguir soluciones distribucionales de las ecuaciones de Navier–Stokes cuando f ∈ L2 (0, T ; V0 ), puesto que esto es incompatible con f=

∂u − ∆u + ∇p ∈ D0 (0, T ; (H −1 (Ω))3 ). ∂t

Otra prueba de esta afirmaci´ on queda detallada en [5], cor. 3 p. 229.

El dual de V Descomponiendo (H01 (Ω))3 = V ⊕ V⊥ , obtenemos por dualidad ((H01 (Ω))3 )0 = V0 ⊕ (V⊥ )0 . ↔ Con la identificaci´ on (H01 (Ω))0 = H −1 (Ω), esto muestra que V0 es estrictamente “m´as pe↔ −1 3 que˜ no” que (H (Ω)) y que no se pueden “identificar” sus elementos.

5.

Algunas inexactitudes

Resultados incorrectos Varios autores han escrito que las ecuaciones de Navier–Stokes, linealizadas o no, estacionarias o no (lo que no juega ning´ un papel en este punto) tienen una soluci´on con 2 0 0 f ∈ L (0, T ; V ), o f ∈ V . En particular : 5

J. Simon

J.-L. Lions [3], propiedad (6.34) p. 69, en 1969. R. Temam [6], cap. III, § 1, proposici´on 1.1 p. 266, en 1977. R. Dautray y J.-L. Lions [1], t. 3, cap. XIX, § 2, proposici´on 1 p. 843, en 1984. F. Ortegon [4], l´ıneas siguientes al teorema 1 p. 60, en 2001. Estrictamente hablando, estos resultados no son correctos. Insisto sin delicadeza porque, siendo estos trabajos — por buenas razones — abundamente citados, el error sigue siendo difundido. Resulta de la confusi´on de dos productos de dualidad distintos y del uso del teorema de De Rham sin que sus hip´otesis sean satisfechas. Demos alg´ un detalle m´ as, para mayor claridad: En [6], el autor escribe (ecuaci´on (1,90), p. 267) “ (u(t) − u0 , v) + ν((U (t), v)) = hF (t), vi, ∀t, ∀v ∈ V (1.90) or hu(t) − u0 − ν∆U (t) − F (t), vi,

∀v ∈ V

00

y concluye que, por el teorema de De Rham, existe P (t) tal que u(t)−u0 −ν∆U (t)−F (t) = −∇P (t). Con la notaci´ on de [6], (1.90) significa que Z Z (u(t) − u0 )v + ν ∇U (t) · ∇v = hF (t), viV×V0 Ω

Ω

lo que es correcto. Resulta entonces que hu(t) − u0 − ν∆U (t), vi(H −1 (Ω))3 ×(H01 (Ω))3 = hF (t), viV×V0 pero estos dos productos de dualidad no se pueden identificar. Adem´as, para usar el teorema de De Rham aqu´ı necesitamos que u(t)−u0 −ν∆U (t)−F (t) pertenezca a (D0 (Ω))3 , lo cual no es el caso puesto que V0 6⊂ (D0 (Ω))3 .

¿Qu´ e se obtiene con f ∈ L2 (0, T ; V0 )? Dada f ∈ L2 (0, T ; V0 ) y u0 ∈ H, el teorema de Lions da una u ´nica soluci´on u ∈ ∩ C(0, T ; H) tal que u(0) = u0 de la ecuaci´on variacional, en D0 (0, T ), Z Z d u·v+ν ∇u · ∇v = hf, viV0 ×V , ∀v ∈ V. dt Ω Ω

L2 (0, T ; V)

Esto se prueba por ejemplo en J.-L. Lions [3], teor. 6.1 p. 69 (en el caso nolineal), o R. Temam [6], ec. (1.31) p. 253 y prueba del teor. 1.1 p. 254. Esta ecuaci´on tambi´en se escribe D ∂u E − ν∆u, v = hf, viV0 ×V , ∀v ∈ V. ∂t (H −1 (Ω))3 ×(H01 (Ω))3 Tambi´en, u es la u ´nica soluci´ on de la ecuaci´on equivalente, en D0 (0, T ; V0 ), du + νAu = f dt R donde A est´ a definida de V en V0 por hAu, viV0 ×V = Ω ∇u · ∇v para cada v ∈ V, v´ease por ejemplo [6], ec. (1.33) p. 254. Pero no se puede conseguir una distribuci´on p tal que (u, p) satisfaga las ecuaciones de Navier–Stokes con esta f . 6

Sobre la identificaci´on V ⊂ H = H 0 ⊂ V 0

Otro punto de vista Dada f ∈ L2 (0, T ; V0 ), existe f ∈ L2 (0, T ; (H −1 (Ω))3 ) tal que, para cada v ∈ V, hf , vi(H −1 (Ω))3 ×(H01 (Ω))3 = hf, viV×V0

(6)

(en D0 (0, T )) y por tanto existen u ∈ L2 (0, T ; V) y p ∈ W −1,∞ (0, T ; L2loc (Ω)) tales que ∂u − ∆u + ∇p = f . ∂t Para una f dada, existe una infinidad de tales f y de hecho se puede elegir f de modo que p sea “casi” arbitraria. En efecto, si p ∈ W −1,∞ (0, T ; L2loc (Ω)) es, junto con u ∈ L2 (0, T ; (H01 (Ω))3 )∩C(0, T ; (L2 (Ω))3 ), una soluci´on particular, π es arbitraria en el espacio L2 (0, T ; L2loc (Ω)) y q = p + π, entonces f + ∇(q − p) tambi´en verifica (6) puesto que, para cada v ∈ V, Z h∇(q − p), vi(H −1 (Ω))3 ×(H01 (Ω))3 = −

(q − p)∇ · v = 0 Ω

porque v|∂Ω = 0 y ∇ · v = 0. Esto muestra que, si las ecuaciones de Navier–Stokes, linealizadas o no, tuvieran sentido (¡pero no lo tienen!) con f ∈ L2 (0, T ; V0 ), no podr´ıan proporcionar ninguna informaci´on sobre la presi´ on p.

6.

La condici´ on necesaria

Presentamos una condici´ on general para que un dual pueda ser incluido en otro, que incluye (3) y la condici´ on vectorial an´aloga usada en la secci´on 4 para las ecuaciones de Navier–Stokes. Proposici´ on. Dados dos espacios vectoriales topol´ogicos separados E y V que son subespacios vectoriales de un mismo espacio, si es v´alida, con eventuales extensiones continuas u ´nicas, la inclusi´ on V0⊂ E0, → entonces E es denso en V , V es denso en E. Prueba. La inclusi´ on V 0 ⊂ E 0 necesita que: A cada fV ∈ V 0 corresponda una sola fE ∈ E 0 tal que fE = fV en E ∩ V .

(7)

Si V no es denso en E, E ∩ V es un subsepacio no denso de E. Si V no es denso en E, E ∩ V es un subsepacio no denso de E entonces, por (un corolario de) el teorema de Hahn–Banach, existe una g tal que g ∈ E0,

g 6= 0,

g|E∩V = 0.

Luego, extendiendo g por 0 en V \ E, obtenemos f definida en E ∪ V tal que f |E = g ∈ E 0 ,

f |E 6= 0, 7

f |V = 0 ∈ V 0 .

J. Simon

Entonces (7) no se verifica, puesto que a 0 ∈ V 0 le corresponden dos elementos distintos de E 0 : 0 y g. La inclusi´ on V 0 ⊂ E 0 tambi´en necesita que ninguna fE ∈ E 0 pueda corresponder a dos fV ∈ V 0 distintas. Lo que implica (intercambiando E y F en la prueba precedente) que E no es denso en V . u t

7.

Conclusi´ on

¿Qu´ e marco elegir? Las inclusiones V ⊂ H y H0 ⊂ V 0 constituyen el marco general para resolver las edps → → parab´olicas lineales, incluso las tres que preceden, con el teorema de Lions. Por el contrario, la identificaci´ on H = H 0 s´olo es compatible con edps muy particulares. ↔ Aunque permite unificar el marco para las edps con las cuales es compatible, es fuente de error para las otras.

¿Qu´ e modelo elegir? La ecuaci´ on del calor con condici´on de Dirichlet es el modelo ideal de aplicaci´on del teorema de Lions, puesto que es la edp parab´olica m´as simple de la f´ısica. Por el contrario, es excepcional desde el punto de vista de su compatibilidad con la identificaci´ on H = H 0 . Luego, con esta identificaci´on, el “modelo” se convierte en un ↔ “modelo trampa”.

Agradecimientos Tengo que dar las gracias a Enrique Fern´andez Cara por sus numerosas sugerencias, que han permitido mejorar este trabajo. Referencias [1] R. Dautray, J.-L. Lions, Analyse math´ematique et calcul num´erique pour les sciences et les techniques, 8 tomes, Masson, 1984. [2] J.-L. Lions. Probl`emes aux limites dans les ´equations aux d´eriv´ees partielles, Presses Univ. Mon´ treal, 1965 (reproducido en Œuvres choisies, I, Equations aux d´eriv´ees partielles, Interpolation, EDP Sciences, 2003, 431–576). [3] J.-L. Lions. Quelques m´ethodes de r´esolution des probl`emes aux limites non lin´eaires, Dunod & Gauthier-Villars, 1969. [4] F. Orteg´ on Gallego. Algunos modelos de la mec´ anica de fluidos. Bol. Soc. Esp. Mat. Apl., 17 (2001), 51–81. [5] J. Simon. On the existence of the pressure for solutions of the variational Navier–Stokes equations. J. Math. Fluid Mech., 1 (1999), 225–234. [6] R. Temam. Navier–Stokes equations, North-Holland, 1977.

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