SIGMA SOBRE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS EL POSTULADO DE BERTRAND Juan Carlos Peral Alonso (*) El objetivo de este artículo es presentar brevemente algunos resultados y conjeturas sobre la Teoría de los Números, para centrarse de una manera especial en el famoso postulado de Bertrand. Son muchos los problemas que a lo largo de la historia se han planteado en relación con los números naturales y en particular con la distribución de los números primos. Algunos de ellos han originado una gran variedad de técnicas para poder resolverlos, especialmente en los campos del Álgebra y del Análisis, pero a pesar de toda la potencia matemática puesta en escena son muchos los enigmas por resolver.

1. INTRODUCCIÓN Se dice que un número natural p > 1 es primo cuando no existen divisores suyos d satisfaciendo 1 < d < p. Los números que no son primos se llaman compuestos. El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural n > 1 puede expresarse como un producto de números primos, y que esta expresión es única salvo el orden de los factores. Los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, · · · están situados en la sucesión de los naturales N en una forma en apariencia caótica y desorganizada. A veces aparecen parejas de impares consecutivos como 17, 19 y 29, 31, por ejemplo, formadas por números primos. Son los llamados primos gemelos. Por otra parte, es sencillo demostrar que hay segmentos de la longitud deseada, dentro de los números naturales, formados por al menos N números compuestos. El razonamiento es como sigue. Dado N se considera el número

y basta observar que (N +1)!+2 es múltiplo de 2, (N +1)!+3 es múltiplo de 3, y en general para cada k tal que 2 ≤ k ≤ (N + 1) se verifica que (N + 1)! + k es múltiplo de k. Por tanto los N números consecutivos (N + 1)! + k, 2 ≤ k ≤ (N + 1) son compuestos. La distribución de los números primos en es un problema de gran interés matemático y también práctico por sus aplicaciones a la criptografía. Del mismo se conocen muchas cosas pero se desconocen también otras muchas, y el desorden aparente de su distribución citado antes veremos que contrasta con un orden, bastante preciso, cuando se mide en términos de distribución en grandes intervalos o en ciertas sucesiones aritméticas.

(*) Catedrático de Análisis Matemático de la UPV/EHU.

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2. EXISTEN INFINITOS NÚMEROS PRIMOS Como sabemos hay varias demostraciones sobre la infinitud de los números primos, quizás las más conocidas son las atribuidas a Euclides y Euler, pero hay otras elegantes y desde luego muy sugerentes, veamos algunas de ellas.

Euclides

2.1 Euclides Esta demostración, atribuida al filósofo y matemático griego Euclides (325 a.C.-265 a.C.) utiliza el principio de reducción al absurdo. Teorema 1 (Euclides). Existen infinitos números primos. Supongamos que únicamente hay una cantidad finita de números primos 2 < 3 < 5 < · · · pr. Se forma el producto P = 2·3·5 · · · pr + 1. Si alguno de los primos 2, 3, 5, · · · pr divide a P entonces divide tambien a la diferencia de P con 2 · 3 · 5 · · · pr, es decir a 1, pero esto es absurdo. Por ello los divisores primos de P no están en la lista inicial que se suponía completa.

2.2 Goldbach La siguiente demostración se debe al matemático prusiano Christian Goldbach (1690-1764). Se encuentra en una carta de Goldbach a Euler fechada en Julio de 1730 y está basada en el lema que sigue relativo a los números de Fermat.

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Christian Goldbach

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Sobre la distribución de los números primos El Postulado de Bertrand

Se llama n-simo número de Fermat a Fn definido por n

Fn = 22 + 1 Lema 1. Para cada m

e

se verifica la siguiente identidad

El lema se demuestra por inducción. Los primeros números de Fermat son F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 · · · Se verifica F1 − 2 = 5 − 2 = 3 = F0 que es el caso n = 1 de la igualdad. Si la igualdad es válida por un valor n entonces

Se deduce del lema que los números de Fermat son primos entre si. En efecto si para n < m, d divide a Fn y a Fm entonces, por el lema, d divide a 2 pero esto es imposible ya que los Fr son impares. Para acabar la demostración de la existencia de infinitos primos basta tomar un divisor primo de cada Fn. La demostración de Goldbach admite generalizaciones ya que basta encontrar una sucesión creciente de números naturales que sean primos dos a dos. Otra variante de esta demostración se debe a Filip Saidak (2005). El razonamiento es como sigue, dados dos números consecutivos n y n + 1 al ser primos entre si el número N2 = n(n+1) tiene al menos dos factores primos diferentes. Como n(n+1) y n(n+1)+1 son consecutivos también son primos entre si, por ello el número N3 = (n(n + 1))(n(n + 1) + 1) tiene al menos tres factores primos diferentes. El razonamiento puede continuarse de forma indefinida. La demostración más original sobre la infinitud de números primos es la proporcionada por el matemático israelí Furstenberg(1935-), premio Wolf en Matemáticas en su edición 2006/7, la demostración es topológica y se puede encontrar en la siguiente dirección: http://gaussianos.com/demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/#more-641 Gracias a estas demostraciones, sabemos que hay números primos arbitrariamente grandes. Históricamente, siempre ha existido una carrera por encontrar el número primo más grande conocido. El número primo más grande hallado hasta la fecha (septiembre-2008) es el 243112609-1, y corresponde al 46 número de Mersenne, el cual tiene unos cuantos millones de cifras.

3. REGULARIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN DE NÚMEROS PRIMOS Se ha comentado antes que los números primos no siguen, en apariencia, ningún tipo de regularidad en su distribución. Sin embargo, al estudiar el número de primos situados en grandes intervalos o sobre ciertos conjuntos particulares de los naturales se observan leyes que regulan su distribución de una forma bastante precisa.

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3.1 Primos en intervalos: Teorema de Chebyshov Si se define como p(x) al número de números primos menores o iguales a x se verifica el siguiente teorema demostrado por el matemático ruso Pafnuti Lvóvich Chebyshov (1821-1894) hacia 1850.

Lvóvich Chebyshov

Teorema 2. Existen constantes positivas a y b tales que para x ≤ 2

Por ejemplo con

ln 2 el teorema es válido. De este resultado se deduce que

el orden de magnitud del n-simo primo pn es aproximadamente n ln n, y se deduce también que la serie

es divergente.

3.2 Primos en intervalos: Teorema de los Números Primos El teorema de Chebyshov establece que el orden de magnitud de la función p(x) es como el cociente entre x y ln x. En 1896, y de forma independiente, Jacques Salomon Hadamard (18651963) y Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866-1962) demostraron que asintóticamente el orden de p(x) es dicho cociente con constante 1, es decir:

Jacques Hadamard

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Charles-Jean de La Vallée Poussin

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Sobre la distribución de los números primos El Postulado de Bertrand

Teorema 3. (Hadamard, de La Vallée Poussin)

Además lo que se conoce como término de error en el teorema anterior, es decir la diferencia

se sabe que guarda una estrecha relación con la función zeta de Riemann y en concreto con la localización de sus ceros.

3.3 Primos en sucesiones: Teorema de Dirichlet Otra muestra de la regularidad de distribución de los números primos sobre el conjunto de los naturales es el resultado que se conoce como teorema de Dirichlet. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) fue un matemático alemán al que se atribuye la definición moderna de función.

Johann Dirichlet

Veamos un caso sencillo antes de establecerlo en general. Los números primos, excluido el 2, solo pueden encontrarse sobre una de las sucesiones vn = {4n + 1}ne y wn = {4n + 3}ne . Si se llama P1 a los primos del primer tipo y P3 a los del segundo y se analiza cuantos de ellos son menores que una cantidad x resulta que el orden de magnitud de unos y otros es el mismo, es decir están equidistribuidos en las dos sucesiones vn y wn. Si se analiza que ocurre con las posibles sucesiones aritméticas con razón 8 en las que pueden existir infinitos primos, es decir an = {8n + 1}ne , bn = {8n + 3}ne , cn = {8n + 5}ne y dn = {8n + 7}ne vuelve a ocurrir el mismo fenómeno, es decir los primos están equidistribuidos en estas cuatro sucesiones. De manera general se puede demostrar el siguiente teorema debido a Dirichlet.

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Teorema 4 (Dirichlet). Sean k y a dos números naturales primos entre si y sea pa(x) el número de números primos p tales que p ≤ x y p congruente con a en módulo k, (es decir existe m tal que p = km + a), entonces

donde w(k) es la función indicatriz de Euler, es decir el número de naturales primos con k y menores que k Obsérvese que el resultado establece que hay una buena distribución de los números primos sobre las w(k) sucesiones de la forma xn = {n k +a}ne en las que hay infinitos números primos, o sea las de la forma precedente con m.c.d.(k, a) = 1.

4. POSTULADO DE BERTRAND Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) fue un matemático y economista francés que trabajó en los campos de la teoría de los números, geometría diferencial, cálculo de probabilidades y termodinámica. Llegó a ser profesor en la École Polytechnique y el Collège de France, donde se graduó como ingeniero de minas. También fue miembro de la Academia de Ciencias de París, de la que ocupó el cargo de secretario permanente durante 26 años (18561874). Es muy famoso por su célebre conjetura, él objetó, en 1845, que había al menos un número primo entre n y 2n-2 por cada n > 3. El matemático ruso Pafnuti Chebyshov demostró en 1850 esta conjetura, actualmente llamada postulado de Bertrand. También es reconocido por una paradoja en el campo de la probabilidad conocida como la Paradoja de Bertrand. No hay que olvidar sus aportaciones en el terreno de la economía. En 1883 publicó una crítica al libro Théorie mathématique de la richesse sociale de Léon Walras en la que rebatía el proceso de tâtonement argumentando que en la realidad se producen intercambios en situaciones de desequilibrio, razón por la cual cabe considerar la existencia de indeterminación en los precios. En 1838 también revisó la teoría de los monopolios de Antoine Augustin Cournot y consideró que el procedimiento algebraico que utilizó era erróneo. Consideró que los duopolistas compiten en precios en vez de en cantidades, y dedujo un precio final de equilibrio próximo al de la libre competencia.

Louis Francois Bertrand

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Sobre la distribución de los números primos El Postulado de Bertrand

El postulado de Bertrand afirma que dado cualquier número natural N, en el intervalo (N, 2N] siempre hay al menos un número primo. Para su demostración se usan algunas propiedades de los números combinatorios que se presentan a continuación. Este postulado fue enunciado por Joseph Bertrand (1822-1900) en el año 1845 y fue demostrado por Chebyshov en 1850.

4.1 Lemas previos Lema 2. Sea p un número primo y sea n un natural, entonces el exponente e con el que p divide a n! es

Los corchetes significan parte entera. La demostración del lema es un ejercicio de inducción por lo que no se incluye. Lema 3. Sea n un natural, entonces el exponente e con el que p divide al número combinaes torio

Basta aplicar el lema anterior y observar que

Por tanto resulta

donde n

np+1

Observación: Si se define np como el entero tal que p p ≤ 2n ≤ p

+1 entonces para cada j > np

Además para cada i

y al tratarse de un natural resulta que cada uno de esos sumandos es 0 ó 1. Por tanto mp ≤ np y de aquí p

mp

≤ 2n.

Lema 4. Para cada x ≥ 2 se verifica

donde se supone que el producto está extendido a los primos anteriores a x. Basta demostrar el lema para x entero impar. Se razona por inducción. Para n = 3 se verifica la desigualdad directamente y por tanto suponemos n ≥ 5. Supongamos que el resultado es cierto

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para los impares menores que un impar n. Se define forma que k sea impar. Con esta elección resulta

donde el signo se toma de

Al observar que

y ambos coeficientes binomiales aparecen en el desarrollo de

(1 + 1)n se obtiene

. Al aplicar esta observación junto con la hipótesis de inducción

resulta

lo que demuestra el lema.

4.2 Demostración del postulado de Bertrand Teorema 5 (Bertrand). Para todo natural n existe al menos un número primo p tal que n < p ≤ 2 p. Demostración. Para los primeros valores de n se comprueba directamente, por lo que suponemos que n ≤ 8. Vamos a suponer que no hay primos en el intervalo (n, 2n] y vamos a llegar a una contradicción, en forma de desigualdad falsa, para todo n > 450. Para el resto de los casos bastará con la búsqueda de los primos adecuados. Partimos de la suposición de la inexistencia de primos en (n, 2n], y por ello:

En el intervalo

< p ≤ n y al ser p ≥ 3 se verifican trivialmente las desigualdades que siguen

por lo que para los p en dicho intervalo resulta

Para p en el intervalo

la suma para el exponente μp se reduce

al primer sumando de la misma, es decir

y dicha expresión es siempre 0 ó 1, por lo que resulta

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Sobre la distribución de los números primos El Postulado de Bertrand

donde se ha usado que para los primos p < √2n se cumple pμp ≤ 2n. El primer producto tiene a lo mas √2n − 2 factores ya que 1 y 4 no son primos. Ahora se aplica el Lema 4 y se obtiene

Por otra parte que se verifica

es el mayor de los 2n + 1 sumandos en el desarrolllo de (1 + 1)2n por lo

de donde

De las desigualdades para

resulta

al simplificar queda

Si se toma logaritmos y se divide entre

resulta la desigualdad

pero esta desigualdad es falsa para n > 450. Para completar al demostración basta demostrar que el resultado es válido para los valores de n menores que 450 y para ello basta observar la tabla que sigue.

13



23



43



83



163



317



631

e [8, 12] para n e [13, 22] para n e [23, 42] para n e [43, 82] para n e [83, 162] para n e [163, 316] para n e [317, 449]

para n

También existe una demostración muy interesante del postulado de Bertrand debida al genial Paul Erdös.

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5. ALGUNOS PROBLEMAS ABIERTOS Se citan a continuación algunos problemas abiertos relacionados con los números primos.

5.1 La conjetura de Goldbach Goldbach conjeturó en 1742 que dado cualquier número par, 2N, existen dos números primos p y q tales que 2N = p + q. Se desconoce si este resultado es cierto o falso aunque hay avances en varios sentidos. En 1973 el matemático chino Chen Jingrun (1933-1996) demostró que para N suficientemente grande se puede encontrar un número primo p y un número P2 con a lo más dos factores primos tal que 2N = p + P2. Por otra parte Ivan Matveevich Vinogradov(1891-1983) demostró en 1937 que todo número impar suficientemente grande puede expresarse como la suma de tres números primos. Además se conocen estimaciones para las posibles excepciones que en caso de existir son de densidad nula sobre los naturales.

5.2 Primos en intervalos de la forma [n2, (n + 1)2] Se desconoce si un resultado análogo al postulado de Bertrand para intervalos de la forma [n2, (n + 1)2] es cierto o no. Es decir, no se sabe si existen o no números naturales n para los cuales no haya números primos en dicho intervalo.

5.3 Primos de la forma n2 + 1 Se desconoce si existen o no infinitos números primos p de la forma p = n2+1 tales como el 17 = 42 + 1 , 101 = 102 + 1 ó 197 = 142 + 1.

5.4 Primos gemelos Como se ha citado antes, se llaman primos gemelos a parejas de primos, como 11 y 13, que son números impares consecutivos. No se conoce si existen o no infinitas parejas de primos gemelos. Sin embargo se sabe que la serie formada por sus inversos es convergente y se conoce una acotación superior para su suma.

5.5 Hipótesis de Riemann El problema relativo a la localización en el plano complejo de los ceros de la función zeta de Riemann es lo que se conoce como hipótesis de Riemann y está considerado como uno de los problemas no resueltos más importantes de las matemáticas. Es uno de los 7 problemas de la lista de la fundacion Clay para cuya cuya resolución hay establecido un premio monetariamente importante. Una consecuencia de la veracidad de la hipótesis de Riemann es una mejor estimación en el término de error del teorema del número primo. Georg Friedrich Bernhard Riemann (18261846) fue un matemático alemán que realizo importantes contribuciones en diversas áreas de las matemáticas.

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BIBLIOGRAFÍA [1] Dickson, L. E., 1950: History of the Theory of Numbers. Chelsea. [2] Flath, D. E., 1989: Introduction to number theory. John Wiley & Sons Inc. [3] Hardy, G. H. y Wright E. M., 1960 : An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford. [4] Niven I. y Zuckerman H. S, 1976 : Introducción a la teoría de los números. Limusa. [5] Vinogradov, sI. M., 1954 : Elements of number theory. Dover.

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