Mequè Edo i Basté. (1998). Uno. [Versión electrónica]. Revista Uno 18

Juegos y matemáticas. Una experiencia en el ciclo inicial de primaria Mequè Edo i Basté

Este artículo presenta el proceso seguido por un equipo de maestras junto con una asesora que desean mejorar una actividad de juegos y matemáticas existente en su escuela. A través de su lectura podremos conocer desde las dificultades iniciales que originan la necesidad de revisión de la actividad, pasando por las reflexiones: ¿Por qué diseñar este tipo de actividad?, ¿qué objetivos se pretenden?, ¿qué contenidos se priorizan?, ¿qué decisiones son necesarias para diseñar el taller?, etc. Se presentan también un par de juegos concretos con sus correspondientes análisis. Así como algunas consideraciones finales relacionadas con las dificultades iniciales.

Palabras clave: Matemáticas, Juego, Enseñanza primaria, Pedagogía, Cálculo mental, Alumnado Games and Mathematics: an experiment in the first cycle of Primary Education In this article we present the process followed by a team of teachers together with an assessor who wished to improve the mathematical game activities already existent in the school. Through her reading we can learn from the original difficulties that created the need to revise the activity and in the process ask ourselves: Why design this sort of activity? What are its objectives? What decisions are necessary in order to design the workshop? Etc. we also show a couple of specific games and their corresponding analysis, as well as some final considerations related to the initial difficulties.

Antecedentes La experiencia que presentaré se llevó a cabo en el CEIP Bellaterra durante los cursos 95-96 y 96-97. En esta escuela, y durante los cinco cursos anteriores, se venía realizando un taller de juegos y matemáticas en el ciclo inicial. Sin embargo llegó un momento en que las maestras de este ciclo se plantearon la necesidad de revisar y modificar dicha actividad, así que solicitaron la colaboración de un asesor externo al centro. De esta forma entré a formar parte de un equipo, formado por cuatro maestras y yo misma como asesora, cuyo objetivo era mejorar y optimizar una práctica educativa concreta. La situación inicial era la siguiente; las maestras consideraban que la organización del taller exigía un esfuerzo considerable (organizar grupos reducidos de alumnos y alumnas, conseguir más adultos implicados en la actividad, encontrar espacios para todo el mundo, comprar y preparar todos los materiales, etc.) y al mismo tiempo existían algunas dificultades importantes, como: . No sabían exactamente qué contenidos curriculares estaban trabajando. . No tenían claro que juegos escoger ni como secuenciarlos. . No tenían forma de comprobar exactamente qué aprendían los alumnos y alumnas con los juegos del taller. . Tenían la sensación que en ocasiones los alumnos y alumnas se divertían, pero habían comprobado que muchos niños y niñas consideraban la palabra "juego" como sinónimo de "actividad libre" y cuando éstos descubrían que en realidad no era una situación voluntaria se desencantaban y desaparecía la diversión. Partiendo de esta situación inicial se diseñó una investigación acción cuyo objetivo era mejorar una práctica educativa, a través de un estudio sistemático, basado en las acciones y reflexiones de todo el grupo implicado. Empezamos la reflexión desde el principio. ¿Por qué diseñar una actividad matemática a través de juegos?

¿Por qué diseñar una actividad matemática a través de juegos? El juego en el aula de primaria

¿Es verdaderamente el juego el primer y más eficaz educador? La pregunta queda en el aire. Lo cierto es que los niños aprenderán unos de otros si antes han aprendido a jugar juntos. Más aún: necesitan jugar para aprender. E. Spescha en la presentación de F.V. Grunfeld (1975), Juegos de todo el mundo. Como señala L. Molina (1992) a menudo los adultos hemos cometido el error de considerar el juego sólo como una actividad de distracción, de esparcimiento o de liberación de tensiones producidas por las actividades escolares. En la escuela es frecuente aislar el juego a unos espacios y tiempos de segunda categoría y estos no acostumbran a tener ninguna relación con los objetivos considerados propiamente escolares. A menudo encontramos, en primaria, un espacio de aula pensado para "trabajar", donde el juego aparece, como máximo, como un recurso para rellenar tiempos muertos entre actividades "serias" o para relajarse y estar preparados para retomar la "actividad importante". Esto es así cuando se atribuye al juego las características de gratuidad, entretenimiento, tontería, perdida de tiempo, en definitiva cuando se lo considera como una actividad de escaso valor. Quien tiene esta concepción del juego suele contraponerlo a la idea de trabajo y se asocia este último con productividad, operatividad, aprendizaje, obligatoriedad, esfuerzo, rendimiento, etc. Se han realizado muchos estudios sobre la importancia del juego en el desarrollo infantil, desde perspectivas muy distintas, y con ciertas discrepancias a la hora de definir el juego, pero no obstante, como señala M. Garaigordobil (1992:18) podemos comprobar que todos los investigadores, aunque habiendo estudiado este fenómeno desde diferentes puntos de vista, han señalado que esta actividad constituye una pieza clave en el desarrollo integral del niño. Actualmente son muchos los teóricos que, ya sea desde la psicología como J. Piaget (en C. Kamii y otros, 1980), C. Kamii y otros (1980, 1985, 1989), L.S. Vigotski (1933) entre otros, ya sea desde la didáctica de la matemática como M. Guzmán (1988), B.J. Olfield (1991, 1992), A. Bishop (1988), L. Ferrero (1991), R. Bell y otros (1988), B. Bolt (1982-89), F. Corbalán (1994), etc., coinciden en creer que el juego es algo más que un entretenimiento, reconociéndole el alto potencial educativo y formativo, así como la importancia que puede tener como generador de aprendizajes culturales y sociales. Coincido con la opinión de los psicólogos y de los matemáticos anteriores, (y tantos otros, sería imposible nombrarlos a todos) en que un juego bien seleccionado y bien presentado en el aula puede beneficiarse tanto de las características positivas atribuidas tradicionalmente al juego como de las que se asocian casi siempre al "trabajo serio". Un buen juego en la clase de matemáticas, puede ser una actividad satisfactoria, generadora de diversión e incluso de placer, pero al mismo tiempo puede requerir al jugador esfuerzo, rigor, atención, memoria, así como puede ser la herramienta adecuada para que se produzcan aprendizajes conceptuales, procedimentales y de actitudes.

Juegos y matemática Dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una pregunta capciosa que admite múltiples respuestas. Para muchos que la ven desde fuera, la matemática, mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para la mayoría de los matemáticos, la matemática nunca deja de ser totalmente un juego aunque, además, pueda ser otras muchas cosas. Guzmán (1988:23-24) Matemáticos, antropólogos y otros científicos han estudiado la relación entre juego o actividad lúdica y matemáticas pero de todas ellas me gustaría comentar la visión de A. Bishop. En su libro Mathematical Enculturation (1988) expone, a raíz de unas investigaciones antropológicas con distintos grupos culturales de todo el planeta, que existen una serie de actividades relacionadas con las matemáticas que son universales. Según Bishop estas actividades presentes en cualquier comunidad cultural son: Contar, localizar, medir, diseñar, explicar y jugar. Concretamente dice: Aunque en principio pueda parecer mas bien raro incluir el jugar entre las actividades importantes para el desarrollo de las nociones matemáticas, esto cambia cuando nos damos cuenta de la cantidad de juegos con conexiones con la matemática que existen. Las posibles relaciones entre juego y matemáticas son muchas, pero comentaré sólo un par de ellas que tienen una especial relación con la educación primaria.

Razonamiento lógico Existen muchos juegos de sociedad donde intervienen estrategias, es decir donde el jugador tiene que descubrir y aplicar algunos procedimientos que le ayuden a resolver mejor la situación en la que está. Estas estrategias tienen que ver, desde el punto de vista de la matemática, con el razonamiento lógico y con estrategias de resolución de problemas. R. Bell y M. Cornelius (1988:7-8) lo argumentan así:

Al tratar de decidir cómo jugar de la mejor manera posible a un juego concreto, un jugador se ve forzado a realizar un razonamiento lógico y, por tanto, normalmente a pensar de una manera matemática.

Numeración y cálculo Existen innumerables juegos de sociedad, como los naipes, juegos con dados, etc., en los que se manejan números, cantidades y cálculos. Así pues una de las relaciones más obvias entre juego y matemática es la posibilidad de aumentar la capacidad de cálculo mental a través de juegos bien seleccionados y bien secuenciados. Pero esta relación no es la única. Como señala L. Ferrero (1991) los juegos también pueden ayudar a comprender mejor las operaciones y sus propiedades; a adquirir nuevos conceptos como el valor de la posición en nuestro sistema de numeración; a descubrir regularidades; a trabajar estrategias numéricas generales, etc.

Juegos, matemáticas y educación primaria Como consecuencia de lo dicho hasta ahora no nos debería extrañar que el prestigioso Informe Cockcroft (1982, punto 227) señale: Sea cual fuere su nivel de conocimientos (de los alumnos y alumnas), el empleo cuidadosamente planificado de rompecabezas y "juegos" matemáticos puede contribuir a clarificar las ideas del programa y a desarrollar el pensamiento lógico. Todos estos tipos de actividades obligan a pensar en los números y en los procesos matemáticos de un modo bastante distinto del que suele encontrarse en las aplicaciones habituales en esta asignatura, y contribuyen así al incremento de la confianza y de la comprensión. Ni tampoco debe sorprendernos que aparezcan referencias explícitas en todos los currículos actuales del Estado español en relación a la conveniencia de utilizar juegos en distintas actividades matemáticas. Como por ejemplo: Se utilizará el carácter lúdico que ofrecen los juegos, los problemas creativos o los de desarrollo lógico como factor motivante y atrayente en la enseñanza de las matemáticas. Diseño Curricular Base de educación primaria del MEC (1989:411) Recreación mediante el uso de elementos lúdicos que conlleven un trabajo matemático. Currículum d'educació primària de la Generalitat de Catalunya (1992:70) En un primer momento los contenidos matemáticos deben trabajarse de forma esencialmente intuitiva, vinculados a manipulaciones de objetos, juegos, etc. y relacionados con otras áreas. Deseño Curricular Base educación primaria de la Xunta de Galicia (1992:377) Para que los alumnos se involucren efectivamente en la actividad matemática es necesario que se vean inmersos en un ambiente de trabajo adecuado y que la encuentren atractiva e interesante. El juego (...) puede ser un método útil para atraer su atención e interés. El Diseño Curricular Base de educación primaria de la Comunidad Autónoma Vasca (1992:107) Las matemáticas tienen que presentarse en distintos contextos, tanto de resolución de problemas, como de juegos y investigaciones. (...) La simulación, el juego simbólico, los juegos en general y el análisis de distintas situaciones reales permitirán presentar el objeto de estudio matemático con una perspectiva compatible con la percepción global de la realidad para los niños y niñas de estas edades. Decreto por el que se establece el Currículum de l'educació Primària en la Comunidad Valenciana de la Generalitat de València (1992:97) Del estudio de estos y otros textos podemos inferir que los juegos con contenidos matemáticos en primaria se pueden utilizar, entre otros, para: . Favorecer el desarrollo de contenidos matemáticos en general y del pensamiento lógico en particular. . Introducir, reforzar o consolidar algún contenido concreto del currículum. . Diversificar las propuestas didácticas.

. Favorece el desarrollo de la autoestima de los niños y niñas. . Relacionar la matemática con una situación generadora diversión. . Conectar algún contenido matemático con una situación próxima a la realidad extraescolar.

Diseño de la experiencia De las anteriores reflexiones llegamos a la conclusión que queríamos destinar un tiempo de clase a jugar para aprender algo relacionado con las matemáticas. Pero, ¿Exactamente qué? Así pues, las siguientes preguntas que nos planteamos fueron: ¿Por qué queremos diseñar un taller de juegos y matemáticas? ¿Qué pretendemos conseguir con ello? De la reflexión sobre estas cuestiones aparecieron los Objetivos generales del taller que son los siguientes. Deseamos que los niños y niñas lleguen a: . Comprobar que aprenden matemáticas al mismo tiempo que se divierten. . Mejorar sus aptitudes de cálculo mental. . Descubrir y aplicar estrategias de razonamiento lógico. . Colaborar con los compañeros y compañeras para llevar a cabo la tarea conjuntamente. Paralelamente al redactado de los objetivos fue necesario concretar los contenidos matemáticos que se priorizaban. Estos fueron: cálculo mental y razonamiento lógico. Referente al cálculo mental nos propusimos ayudar a los niños y niñas a mejorar las aptitudes de cálculo mental, es decir usar procedimientos de cálculo cada vez más avanzados (en este punto fue necesario también un estudio para responder qué entendíamos por "avanzar en cálculo mental" a partir de los trabajos de T.P. Carpenter y J.M. Moser, 1982). En concreto los contenidos son: por un lado la descomposición sistemática de los primeros números y por otro lado el reconocimiento y utilización de procedimientos o estrategias de cálculo mental basadas en la descomposición y reagrupación de cantidades. En relación al razonamiento lógico nos propusimos ayudar a los niños y niñas a descubrir y aplicar estrategias favorecedoras para el desarrollo del juego. Entendemos por estrategia favorecedora todos aquellos procedimientos que en ser aplicados por un jugador, este aumentan la posibilidad de ganar. Los contenidos de las estrategias de los juegos que seleccionamos están relacionadas con la atención, la memoria, la idea de probabilidad, la combinatoria y otros aspectos de lógica deductiva. Una vez determinados los objetivos y los contenidos nos pusimos a diseñar la situación didáctica inicial con todo lo que ello conlleva de toma de decisiones. Las preguntas que nos planteamos fueron las siguientes. . ¿Cuantos niños participan en el taller? ¿Cuantos adultos intervienen? ¿Qué espacios vamos a utilizar? . ¿Que frecuencia debe tener el taller? ¿De cuanto tiempo disponemos en cada sesión de juego? ¿Cuantas veces jugamos a un mismo juego? ¿A cuantos juegos podremos jugar en cada curso? . ¿Debemos escoger siempre los juegos los adultos? ¿Combinamos los juegos elegidos por los maestros y maestras y los escogidos por los propios jugadores? . ¿Qué juegos escogemos?, ¿porqué? . ¿Podemos determinar qué se espera que aprendan los jugadores con cada uno de los juegos? ¿Podemos elaborar un cuadro de programación con contenidos, objetivos de aprendizaje y sistema de evaluación para cada juego? . ¿Cómo serán las distintas sesiones de juego? ¿Cómo y quién presenta cada nuevo juego? . ¿Cómo podemos evitar que los alumnos y alumnas se decepcionen y pierdan interés por el taller? ¿Podemos implicar a los jugadores en el diseño de la actividad? ¿Debemos comunicar desde el principio qué vamos a hacer, cómo y sobretodo por qué realizamos esta actividad?

. ¿Podemos destinar un tiempo a conversar con los niños y niñas respecto a "qué creen que pueden aprender" jugando a estos juegos? ¿Debemos continuar conversando con ellos en todas las sesiones? ¿Cuáles son los temas importantes que deben aparecer en la conversación final de cada juego? ¿Impresiones subjetivas de diversión, comunicación de aprendizajes? . ¿Qué criterios utilizamos para agrupar los niños y niñas? ¿Nivel de conocimientos parecidos? ¿Colocamos niños y niñas con ciertas dificultades con otros más maduros? ¿Dejamos que escojan ellos mismos por razones de amistad? ¿O que decida el azar? . ¿Cuál debe ser la participación del maestro? ¿Cómo podemos ayudar a los niños y niñas a compartir realmente la actividad? ¿Seremos capaces de ofrecer el campo más amplio de expresión e intercambio entre los niños y al mismo tiempo ayudarlos a progresar en la construcción de nuevos conocimientos? . ¿Qué queremos observar y evaluar? ¿Qué instrumentos vamos a utilizar? Durante cierto tiempo fuimos tomando decisiones respecto a cada una de las preguntas mencionadas y de esta forma llegamos a concretar un diseño inicial que fue el que aplicamos al principio. Luego, periódicamente, fuimos revisando las decisiones iniciales, introduciendo algunas modificaciones, que una vez aplicadas se analizaban y evaluaban de nuevo; de esta forma llegamos a obtener un diseño final que correspondía, en gran medida, a nuestros objetivos iniciales.

Selección de juegos: un par de ejemplos Actualmente el taller tiene 10 juegos, cinco para el primer curso y cinco para el segundo curso de primaria. Estos están secuenciados de forma que el contenido de cálculo va aumentando de dificultad y también los elementos que intervienen en la estrategia del juego van variando. A modo de ejemplo, presento un par de juegos.

"Te pido un..." Este juego corresponde al quinto juego de primero de primaria

¿Qué pretendíamos con el juego "Te pido un..."? Los objetivos de aprendizaje de la área de matemáticas que nos planteamos en relación a este juego fueron los siguientes: El jugador debe ser capaz de: . Reconocer todas las posibles descomposiciones del 10 en dos sumandos. . Dado cualquier número entre 0 y 10 saber cuál es el complementario para hacer un 10. . Estar atento a los números que piden los compañeros y compañeras y actuar en consecuencia. . Colaborar con los otros jugadores para organizar el inicio de la partida, determinar los turnos de participación y resolver los posibles conflictos entre ellos. Además de los anteriores, no podemos olvidar un objetivo general común a todos los juegos, que es el siguiente: . Divertirse y relacionar esta situación lúdica con aprendizajes matemáticos.

Análisis del juego "Te pido un..." Diversión y dificultades Las reglas de este juego son muy sencillas y los niños y niñas no han encontrado dificultad en aprenderlas. La dificultad del juego viene dada por el contenido de cálculo y de la estrategia. Hemos observado que al principio los jugadores que todavía no dominaban las descomposiciones del 10 y se esforzaban en participar activamente en el juego no se divertían mucho en aquel momento, se los veía concentrados y serios. Pero a partir de la segunda o tercera sesión -en la que los cálculos ya presentaban menos dificultad- la diversión ha ido aumentando progresivamente. Debemos remarcar que lo que realmente ha producido diversión y alegría ha sido el descubrimiento y aplicación de la estrategia.

El contenido de cálculo mental El contenido de cálculo mental es muy adecuado para finales del primer curso de primaria o inicio de segundo. De hecho el

contenido -descomposición del 10 en dos sumandos- se había trabajado en clase con anterioridad, pero la realidad nos ha demostrado que había algunos jugadores que ya conocían la mayoría de las descomposiciones del 10 junto con otros que no tenían prácticamente ninguna pareja de números memorizada. Así pues , a algunos jugadores, este juego les ha servido para repasar y sistematizar el contenido, a otros les ha valido para iniciar la memorización de algunas parejas y por último ha habido niños y niñas que a través de este juego han "descubierto" una estrategia de cálculo para encontrar un complementario desconocido. Dice María: "me se 5 y 5, luego 4 es uno menos y ... 6 uno más". Un comentario de una de las maestras implicadas fue: "Con este juego es fácil ver que todos los niños y niñas van asegurando la descomposición del diez, desde niveles de conocimiento muy distintos".

Contenido de estrategia Este juego tiene una estructura clásica (la de los juegos llamados de familias) y por lo tanto si un jugador presta atención a lo que piden los compañeros y compañeras puede deducir por lógica, quién tiene algunas cartas que le pueden interesar. En las distintas conversaciones había aparecido la posibilidad de descubrir "un truco" y este hecho ha suscitado un gran interés. A medida que el cálculo dejaba de ser una dificultad han ido apareciendo las risas, gritos y expresiones como: "pídeme a mí que yo lo sé, lo sé, sé quién tiene la carta".

El aspecto de colaboración La capacidad de organización del grupo va aumentando con el tiempo, actualmente vemos que cada vez son más autónomos y que en los momentos de conflicto no buscan inmediatamente "el arbitro externo" que es el docente, cosa que sucedía invariablemente al principio de curso. Algunas de las reglas de funcionamiento del taller, que son explícitas y a menudo recordadas como por ejemplo: . Delante de cualquier imprevisto, duda, error o problema, es necesario hablar con los compañeros y compañeras del grupo e intentar encontrar una solución. . Se puede reclamar la atención del maestro sólo como último recurso. Hemos comprobado que estas reglas se van asimilando, y creemos que es gracias al hecho de que en las conversaciones colectivas se dedica el tiempo necesario a hablar y discutir sobre ello. Algunas de las preguntas habituales en las conversaciones son: ¿Cómo os habéis organizado? ¿Ha habido discusiones? ¿Cómo se han resuelto? Así pues podemos concluir que a finales del primer curso del taller observamos cambios importantes en relación a la capacidad de organización y gestión autónoma.

"Máximo 15" El segundo juego presentado es el que corresponde al cuarto del segundo curso de primaria.

¿Qué pretendíamos con el juego "Máximo 15"? Los objetivos de aprendizaje de la área de matemáticas que nos planteamos en relación a este juego fueron los siguientes: El jugador debe ser capaz de: . Sumar mentalmente cantidades sucesivas. . Utilizar algunas estrategias de cálculo mental, como descomponer, compensar, redondear, etc. . Intuir el papel la probabilidad y el azar en este juego y actuar en consecuencia. . Resolver sumas encadenadas por escrito y llevar así el recuento de las puntuaciones acumuladas. . Dialogar con el compañero o compañera de equipo y tomar las decisiones conjuntamente. Además de los anteriores, está el objetivo general común a todos los juegos, que es el siguiente: . Divertirse y relacionar esta situación lúdica con aprendizajes matemáticos.

Análisis del juego "Máximo 15" Diversión y dificultades

Este juego, como la mayoría de los seleccionados para nuestro taller presenta una estructura clásica, en el sentido que las reglas están tomadas de algún juego popular (el siete y medio, el 21, etc.) Éste es uno de los recursos que utilizamos para facilitar la diversión. Creemos y hemos comprobado, que los juegos populares, que han resistido el paso del tiempo y que se siguen jugando fuera de la escuela son mejores que los juegos que nos podamos "inventar" para trabajar contenidos escolares. Este juego ha resultado fácil de comprender por los alumnos y alumnas y en general ha provocado mucha diversión. En un inicio apareció alguna dificultad al ser el primer juego en el que se contabilizan las puntuaciones por escrito, pero una vez establecidos los turnos de escritura dentro de cada equipo, no presentó dificultad.

El contenido de cálculo mental El contenido de cálculo mental es muy adecuado para el nivel y el momento del curso. Ofrece la posibilidad de aplicar tanto los resultados memorizados, como la mayoría de estrategias de cálculo que se han ido descubriendo a lo largo de los dos cursos. También en varias ocasiones se observa que algunos jugadores utilizan el cálculo aproximado, es decir si tienen una puntuación de diez o más y el siguiente naipe que destapan supera el valor de 5, dicen directamente "me he pasado" sin necesidad de contar. Otro aspecto interesante de este juego, ha sido el inicio de memorización de algunas descomposiciones del 15. En varias ocasiones, los jugadores al obtener una puntuación de entre 5 y 14, solían expresar el valor que deseaban encontrar en el siguiente naipe. Por ejemplo si tenían 6 puntos decían: "ojalá saliera un nueve". Pero quizás uno de los elementos más positivos a destacar es la incorporación del cálculo escrito como sistema de recuento. En muchas ocasiones los niños calculaban mentalmente el total de puntos (con resultados próximos al 100), antes de hacer la operación escrita y ésta, en realidad, se utilizaba para comprobar lo que ya se había calculado. En algunas ocasiones, al realizar la operación escrita, apareció algún error, hecho que rápidamente era detectado y discutido entre los mismos jugadores. Los maestros y maestras hemos observado distintas veces cómo "una cifra mal colocada" o "el resultado incorrecto de una operación" provocaba conversaciones y discusiones entre los mismos niños y niñas, que jamás hubiera podido generar ninguna operación aséptica en un cuaderno o pizarra.

El contenido de estrategia La posible estrategia favorecedora de este juego es intuir el papel de la probabilidad y el azar. Uno de los descubrimientos importantes y que aparece en la mayoría de grupos es el darse cuenta y comunicar al compañero y compañera de equipo lo siguiente, como dijo Héctor: Siempre que tengamos un cinco hemos de continuar, porque si sale un 10 que es el más mayor, ya tenemos el 15. No podemos perder. Otra estrategia que adoptaron varios jugadores, y que no había sido prevista por los adultos, fue la de decidir plantarse o arriesgarse a continuar en función de la comparación de las puntuaciones acumuladas de los contrincantes. Así pues este juego provocaba que los jugadores estuvieran en constante tensión, muy pendientes de todo lo que iba sucediendo, realizando hipótesis, calculando mentalmente, supervisando cálculos y operaciones de los contrincantes, discutiendo la mejor jugada con el compañero o la compañera, etc.

El aspecto de colaboración Todos los maestros y maestras implicados en el taller hemos valorado muy positivamente el hecho de que los niños y niñas jueguen en equipos de dos, esto ha provocado que aparezcan juegos y bromas entre ellos al mismo tiempo que se oyen conversaciones y argumentaciones sobre contenidos matemáticos. Las preguntas: ¿Qué hacemos nos plantamos o continuamos? y ¿Por qué?, han suscitado diálogos muy interesantes desde el punto de vista de la matemática. En este juego, excepcionalmente, preguntamos por escrito algunas cuestiones que solíamos realizar de forma oral en las conversaciones finales. Algunas de las respuestas de los jugadores a las preguntas: ¿Te ha gustado es te juego? ¿Por qué? son las siguientes: Roberto: Sí, porque no han habido peleas y ha sido tranquilo y también porque he jugado con un compañero. Jaume: Sí, porque ha sido muy divertido jugar. Mi pareja, Julia, me ha gustado mucho tenerla. Aina: Sí, porque he aprendido un juego que antes no sabía. Porque me gusta sumar. Porque se hace en grupo y porque sí. También en la siguientes preguntas que les formulamos: ¿Has aprendido algo jugando a este juego? y ¿qué? Sus respuestas, a menudo, hacen referencia a aspectos de colaboración y de actitudes como: . He aprendido a discutir con el compañero de equipo para decidir si nos plantamos o nos arriesgamos . He aprendido que si pierdes no te enfadas

. He aprendido a discutir sin pelearme, etc.

Algunas consideraciones finales Desde luego el tiempo y el esfuerzo que hemos dedicado todo el equipo a elaborar el diseño, experimentarlo y evaluarlo ha sido importante, pero los resultados obtenidos superan de largo las expectativas que nos habíamos creado. De entrada hemos sido capaces de superar las dificultades iniciales.

Diversión Todas las maestras implicadas coinciden en remarcar el interés de los niños y niñas por esta actividad. "A menudo preguntaban cuando sería viernes porque querían hacer los juegos matemáticos". En las entrevistas finales realizada por la colabora externa a 20 niños y niñas elegidos al azar se les preguntaba: ¿Qué hacías los viernes por la tarde durante este curso? Todos han contestado "jugar" o "hacer juegos matemáticos", nadie ha dicho hacíamos matemáticas, o cálculo, etc. La siguiente pregunta era: ¿Te gustó, te divertías? Los 20 han contestado diciendo "sí", "mucho", o "muchísimo". No ha habido ninguna respuesta negativa o indiferente. A través de una carta a los padres sabemos que un 88% de los niños y niñas han hablado en sus casas sobre lo que hacían en el taller; un 53% han jugado en sus casa a algún juego que han aprendido en el taller y muchos de ellos contaban también qué aprendían con ellos. La valoración que hacen los padres y madres de dicha actividad (sólo a través de las explicaciones de sus hijos o hijas) es en un 88% positiva o muy positiva. Para terminar anoto un comentario que dijo un niño de segundo en la conversación final del segundo juego: Me ha gustado mucho, esto está mejor que pasar el rato haciendo sumas escritas o haciendo cálculo mental delante de toda la clase y pasando vergüenza.

Mejora en la capacidad de realizar cálculos mentales Hemos comprobado que la media de los resultados de las pruebas de cálculo antes y después de cada juego aumentaba invariablemente. Pero además esta escuela venía realizando unas pruebas psicopedagógicas de cálculo a final de cada curso, con lo cual teníamos resultados con los que comparar desde el curso 90-91. El resultado de la puntuación de las pruebas finales, después de haber hecho el taller, han sido en todos los cursos las mejores en toda la historia de la escuela.

Sentimiento del alumnado hacia las matemáticas En relación a los sentimientos de los niños y niñas hacia las matemáticas son realmente positivos. La mayoría de comentarios que aparecían en las cartas de los padres y madres son de este estilo: . La valoración de la actividad es muy buena, creo que gracias a ello ha mejorado su disposición a las matemáticas. . Ahora le encantan las matemáticas y los juegos matemáticos. . Nuestro hijo no tiene predilección por la matemática, pero le gusta la actividad de los juegos y tiene ilusión por los viernes. . Encontramos a nuestro hijo con más interés por los números. . He notado que han mejorado mucho sus matemáticas, hasta el punto que le gustan. Decía al principio que hemos sido capaces de resolver los problemas iniciales, pero decía también que en realidad hemos hecho algo más. Ha habido algunos aspectos que durante el proceso han captado nuestra atención de una forma especial y nos han ayudado a reflexionar sobre nuestra práctica docente, como por ejemplo: La importancia de la interacción entre iguales y el valor de las conversaciones colectivas sobre "¿qué podemos aprender?" y "¿qué hemos aprendido con este juego?".

Interacción entre iguales

Respecto a la interacción entre iguales debemos decir que el diseño de la actividad es ideal para promover que los niños expliquen y hablen sobre su forma de resolver distintas operaciones. A lo largo del curso y de una forma muy natural los niños y niñas han ido verbalizando la mayoría de estrategias de cálculo posibles a estas edades, aspecto que provocaba, en los compañeros y compañeras, el deseo y la ilusión por encontrar y aplicar "trucos" con los que no se tuviera que "contar". El clima que se ha creado lejos de la tensión, donde el error no suponía vergüenza y donde además de la competición propia de los juegos había necesariamente colaboración (entre miembros de un mismo equipo) ha provocado que las interacciones entre compañeros y compañeras fueran muy abundantes y más ricas de lo habitual. De todas formas esto no ha sido fácil para los adultos implicados. Constantemente era necesaria una autoconcienciación para evitar el protagonismo de la escena, muy a menudo nos repetíamos: "calla, escucha y espera", pero cuando delante de un error o una dificultad sabíamos esperar y los niños la resolvían era un regalo que nos estimulaba a continuar.

Conversaciones colectivas Por último queda destacar el valor de las conversaciones colectivas sobre "¿qué podemos aprender?" y "¿qué hemos aprendido con este juego?". Este hecho, entendido como un proceso de corregulación entre la maestra y los niños, ha provocado que los jugadores se implicasen en la actividad más allá del juego. Ellos reflexionaban sobre qué podían aprender y más tarde explicaban qué había supuesto esta experiencia para ellos en relación a la diversión, a los aprendizajes y a la colaboración. Todas las maestras coinciden en que éste es un aspecto importante del diseño y lo expresan así en las entrevistas individuales finales: . Valoro muy positivamente el proceso seguido en relación a las conversaciones y la deducción de los posibles aprendizajes a realizar. Realmente es lo más novedoso de este diseño. Si tuviera que resaltar algún aspecto como responsable principal del éxito a la diversión y a los aprendizajes conseguidos, sería éste. . Es muy, muy importante. Es uno de los cambios fundamentales. Ahora los niños no se crean falsas expectativas. Es, quizás, uno de los aspectos que se podría generalizar a otras materias. . Es realmente la diferencia importante de los años anteriores. Con la deducción de objetivos de aprendizaje los niños tienen ya una actitud favorable a conseguirlos. Los otros años solo buscaban divertirse a través del juego. Ahora la diversión, placer o satisfacción puede venir de diferentes sitios, incluso del propio aprendizaje, del hecho de conseguir un objetivo previsto. Realmente en años anteriores los juegos de cálculo eran los de menos éxito y ahora ya ves. No habría sido nunca el mismo taller si hubiésemos presentado los juegos y ya está. Más de uno se habría aburrido porque no le habría encontrado sentido. Creo que es el tema clave. Como conclusión final solo queda decir que: No tengo la menor duda que el juego es un valioso instrumento para el desarrollo del pensamiento matemático. Así como, puedo afirmar que en la escuela el juego puede convertirse en una poderosa herramienta de aprendizaje si va acompañado por una parte de una cuidada planificación y por otra de abundante reflexión, tanto de los adultos como de los niños y niñas implicados.

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Dirección de contacto Mequè Edo i Basté Profesora de didáctica de la matemática (especializada en educación infantil y primaria). Dpto. de Didáctica de Matemáticas y las C.C.E.E. de la Universitat Autònoma de Barcelona. Faculdad de Ciencias de la Educación U.A.B. Edificio G5. 08193 Bellaterra, Barcelona. Tel.: 93 581 26 43. Correo electrónico: [email protected] Línea de trabajo: interacción entre iguales en situación de juego con contenidos matemáticos; geometría en educación infantil y primaria a partir del entorno real del alumnado