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JUNIO 2009 Bloque A 1.- Estudia el siguiente sistema en función del parámetro “a”. Resuélvelo siempre que sea posible, dejando las soluciones en función de parámetros si fuera necesario. Resuélvelo para el caso particular a = 3.  x + y + 2z = 3   x + 2 y + 3z = 5  x + 3y + a z = 7

2 5 – 2 y g (x) = – x + . x 2 b) Calcula el área encerrada entre las curvas f (x) y g (x).

2.- a) Representa simultáneamente las curvas f (x) =

3.- Un bosque de montaña contiene un 50 % de pinos, un 30 % de abetos y un 20 % de abedules. Si sabemos que un árbol es pino la probabilidad de que esté enfermo es 0,1. Sabiendo que es abedul, la probabilidad de que esté sano es 0,8 y sabiendo que es abeto, la probabilidad de que esté enfermo es de 0,15. a) Halla la probabilidad de que un árbol esté enfermo. b) Halla la probabilidad de que sabiendo que un árbol está enfermo sea un abedul. c) Halla la probabilidad de que un árbol esté enfermo y sea un pino. 4.- Un jugador de tenis pone en juego un 85 % de los saques que realiza. En un juego realizó 10 saques, ¿cuál es la probabilidad de que haya puesto en juego 7 ó más de los 10 saques realizados?

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Bloque B 1.- Un fabricante de plásticos pretende fabricar nuevos productos plásticos mezclando dos compuestos químicos A y B. Cada litro de producto plástico 1 lleva 2/5 partes del compuesto A y 3/5 partes del compuesto B, mientras que el producto plástico 2 lleva una mitad del compuesto A y la otra mitad del compuesto B. Se disponen de 100 litros del compuesto A y 120 litros del compuesto B. Sabemos que al menos necesitamos fabricar 50 litros del producto 1 y que el beneficio obtenido por un litro de producto plástico 1 es de 10 euros, mientras que por un litro del producto plástico 2 el beneficio es de 12 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible y calcula el número óptimo de litros que se debe producir de cada producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible. ¿Cuál es ese beneficio máximo? 2.- a) Determina el parámetro a que hace que el valor de la integral definida de f (x) = 3x2 – a2x + a entre x = 0 y x = 1 sea máximo. b) Determina la recta tangente en x = 1 de la función f (x) del apartado anterior, cuando a es igual a 1. 3.- Se sabe que los salarios en una Comunidad Autónoma siguen una distribución normal de varianza 6400 €2. Si realizamos una encuesta de tamaño n a personas de esa Comunidad: a) Calcula la desviación típica de la media muestral de los salarios si se han realizado 20 encuestas. b) ¿Cuántas encuestas hemos realizado si hemos obtenido una media muestral x = 1800 y un intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional igual a [1784,32; 1815,68]. 4.- Si P (B) = 0,3 y P (A ∩ B) = 0,06, calcula P (A / B) y P (A) sabiendo que A y B son independientes.

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SOLUCIONES Bloque A 1.- Estudia el siguiente sistema en función del parámetro “a ”. Resuélvelo siempre que sea posible, dejando las soluciones en función de parámetros si fuera necesario. Resuélvelo para el caso particular a = 3.  x + y + 2z = 3   x + 2 y + 3z = 5  x + 3y + a z = 7

Solución: a) Consideremos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A : 1 1 2  A = 1 2 3 1 3 a 

1 1 2  A = 1 2 3  1 3 a   

3  5 7 

Estudiemos los rangos de estas matrices. Se tiene que: | A | = 2a + 6 + 3 – 4 – 9 – a = a – 4 Dicho determinante se anula para a = 4. Por tanto: • •

Si a ≠ 4 Si a = 4

⇒ ⇒

rango A = rango A = 3 ⇒ S.C.D. ⇒ Solución única. rango A = 2, ya que podemos encontrar un menor de orden dos no nulo 1 1 en ella, por ejemplo: = 1 ≠ 0. Además, orlando dicho menos con los elementos de la 1 2 1 1 3

última fila y la columna de los términos independientes, se tiene que: 1 2 5 = 0 y por 1 3 7 tanto rango A = 2

⇒

S.C.I. ⇒ Infinitas soluciones.

Vamos a resolverlo para el caso a ≠ 4 utilizando el método de Gauss-Jordan: 1 1 2 3  1 1 2 3 1 1 2      f3 → f3 − 2 f 2 f 2 → f 2 − f1 → 0 1 1 2  →  0 1 1 f 3 → f 3 − f1 1 2 3 5   1 3 a 7  0 2 a − 2 4 0 0 a − 4     

3  2 0 

El sistema equivalente que se obtiene es: x + y + 2z = 3   y+z =2   (a − 4) z = 0

Como a ≠ 4, despejando z de la última ecuación se obtiene que z = 0. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, se llega a que y = 2. Finalmente, sustituyendo los valores de y y z obtenidos en la

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primera ecuación, se llega a que x = 1. Por tanto la solución, en el caso en que el sistema es compatible determinado (a ≠ 4) es:  x =1  y = 2 z = 0  Obsérvese que dicha solución no depende del parámetro a. Para el caso en que a = 4, el sistema es compatible indeterminado. Como: rango A = rango A < 3 = nº de incógnitas la solución del sistema dependerá de un parámetro. Como vimos anteriormente, un menor de orden dos no nulo viene dado por los coeficientes de las incógnitas x e y de las dos primeras ecuaciones. Tomemos estas como incógnitas principales y a z como parámetro, z = λ. El sistema equivalente que tenemos es:  x + y = 3 − 2λ   x + 2 y = 5 − 3λ Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución que se obtiene es:  x = 1− λ   y = 2 − λ con λ ∈ \  z=λ  En el caso en que el parámetro a, que aparece en el sistema original, sea 3, el sistema es compatible determinado, y su solución (como hemos calculado anteriormente) será:  x =1  y = 2 z = 0  2 5 – 2 y g (x) = – x + . 2 x b) Calcula el área encerrada entre las curvas f (x) y g (x). 2.- a) Representa simultáneamente las curvas f (x) =

Solución: a) Representemos en primer lugar la 2 – 2. Si conoces la gráfica función f (x) = x k de una hipérbola (h (x) = , con k ∈ \ x y k ≠ 0), te será muy fácil dibujar esta función. La representación gráfica de la 2 misma es la de la hipérbola h (x) = , x desplazada dos unidades hacia abajo. Por tanto, la gráfica será (imagen derecha):

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Si no conoces la gráfica de una hipérbola, debes representarla estudiando algunas de sus características. Hagámoslo ahora así: Dom f (x) = \ – {0}. Estudiemos los cortes con los ejes: Eje OX (y = 0) 2 –2=0 ⇒ x

2 = 2x

⇒

x=1

⇒

Punto (1, 0)

Eje OY (x = 0). No lo corta, pues el punto x = 0 no pertenece al dominio de la función. Si estudiamos sus asíntotas, tenemos que: 2 Lim − 2 = ∞ x→0 x Por tanto hay una asíntota vertical en x = 0. Por otra parte: 2 Lim − 2 = –2 x →∞ x Por tanto hay una asíntota horizontal en y = –2. Al haber asíntotas horizontales, no hay asíntotas oblicuas (son excluyentes). Veamos los intervalos de monotonía. 2 x2 Esta derivada no se anula para ningún valor de x. Por tanto, la función no presenta ni máximos ni mínimos. Para estudiar los intervalos de monotonía, dividimos la recta real en dos partes (debido a que x = 0 no pertenece al dominio de la función): f ‘ (x) = −

f ‘ (x) < 0

f ‘ (x) < 0

Por tanto, la función decrece en todo su dominio. Con estos datos, ya tenemos suficiente para esbozar la función, obteniéndose la misma representación arriba indicada. 5 , tiene como representación gráfica una recta que se 2 representa fácilmente haciendo una tabla de valores: Por otra parte, la función g (x) = – x +

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La representación simultanea de ambas gráficas es:

b) El área pedida viene rayada en la figura anterior. Calculemos los límites de integración. Para ello, resolvamos la ecuación f (x) = g (x): 2 5 1 –2=–x+ ⇒ 4 – 4x = –2x2 + 5x ⇒ 2x2 – 9x + 4 = 0 ⇒ x= y x=4 2 2 x Por tanto el área pedida vendrá dada por: Área =

4  4  5 2 2 9  ( g ( x) − f ( x)) dx = ∫  − x +  −  − 2   dx = ∫  − x − +  dx = 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2  x x 5   

∫

4

4

 x2 1 9 9   1 =  − − 2 ln | x | + x  = (–8 – 2 ln 4 + 18) –  − − 2 ln +  = 2 4 2 1/ 2  8  2  17  63 = (10 – 4 ln 2) –  + 2 ln 2  = − 6 ln 2 = 3,7161 u2 8  8 

3.- Un bosque de montaña contiene un 50 % de pinos, un 30 % de abetos y un 20 % de abedules. Si sabemos que un árbol es pino la probabilidad de que esté enfermo es 0,1. Sabiendo que es abedul, la probabilidad de que esté sano es 0,8 y sabiendo que es abeto, la probabilidad de que esté enfermo es de 0,15. a) Halla la probabilidad de que un árbol esté enfermo. b) Halla la probabilidad de que sabiendo que un árbol está enfermo sea un abedul. c) Halla la probabilidad de que un árbol esté enfermo y sea un pino. Solución: Para resolver este ejercicio, hagamos el siguiente diagrama de árbol, considerando los siguientes sucesos: A: “el árbol es un pino”. B: “el árbol es un abeto”. C: “el árbol es un abedul”. E: “el árbol está enfermo”. E : “el árbol no está enfermo”.

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0,1

E

A

0,9

E

0,5 0,3

0,15

E

B

0,85

E

0,2 0,2

E

C

0,8

E

a) La probabilidad de que un árbol esté enfermo viene dada por (teorema de la probabilidad total): P (E) = P (A) · P (E / A) + P (B) · P (E / B) + P (C) · P (E / C) = = 0,5 · 0,1 + 0,3 · 0,15 + 0,2 · 0,2 = 0,135

b) La probabilidad de que sabiendo que un árbol está enfermo sea un abedul, viene dada por (teorema de Bayes): P( E / C )· P(C ) P (C / E) = P( E ) Tenemos que: P (E / C) = 0,2 ; P (C) = 0,2 ; P (E) = 0,135 Por tanto: P (C / E) =

P( E / C )· P(C ) 0, 2·0, 2 = = 0,2963 P( E ) 0,135

c) Finalmente, hallemos la probabilidad de que un árbol esté enfermo y sea un pino. Este viene dada por: P (A ∩ E) = 0,5 · 0,1 = 0,05 4.- Un jugador de tenis pone en juego un 85 % de los saques que realiza. En un juego realizó 10 saques, ¿cuál es la probabilidad de que haya puesto en juego 7 ó más de los 10 saques realizados?

Solución: Consideremos la variable aleatoria X, que indica el número de saques que dicha persona pone en juego. Esta variable sigue una distribución binomial, B (10, 0,85), en la que hemos considerado como éxito el poner en juego un saque. La probabilidad pedida es: P (X ≥ 7) = P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10)

La probabilidad de que el número de éxitos sea igual a r en una distribución binomial viene dada por: n n−r p ( X = r ) =   p r (1 − p ) r

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Por tanto: P (X ≥ 7) = P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) = 10  10  10  10  3 2 1 0 =   (0,85)7 ( 0,15 ) +   (0,85)8 ( 0,15 ) +   (0,85)9 ( 0,15 ) +   (0,85)10 ( 0,15 ) 7 8 9 10  Calculando estas probabilidades con la calculadora (ya que la probabilidad de éxito p = 0,85 no viene en la tabla de la distribución binomial) se llega a que: P (X ≥ 7) = P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) = = 0,1298 + 0,2759 + 0,3474 + 0,1969 = 0,95

Estas probabilidades no pueden mirarse en la tabla de la binomial que nos dan (ya que no se contempla una probabilidad de éxito p = 0,85), pero sí podremos hacerlo si interpretamos el problema desde el punto de vista contrario. Si consideramos la variable Y, que cuenta el número de saques que no se han puesto en juego, entonces podemos interpretar que el poner en juego 7 saques equivale a no poner en juego 3 saque y por tanto: P (X ≥ 7) = P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) = = P (Y = 3) + P (Y = 2) + P (Y = 1) + P (Y = 0) = 10  10  10  10  7 8 9 10 =   (0,15)3 ( 0,85 ) +   (0,15) 2 ( 0,85 ) +   (0,15)1 ( 0,85 ) +   (0,15)0 ( 0,85 ) = 3 2 1 0 = 0,1298 + 0,2759 + 0, 3474 + 0, 1969 = 0,95

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Bloque B 1.- Un fabricante de plásticos pretende fabricar nuevos productos plásticos mezclando dos compuestos químicos A y B. Cada litro de producto plástico 1 lleva 2/5 partes del compuesto A y 3/5 partes del compuesto B, mientras que el producto plástico 2 lleva una mitad del compuesto A y la otra mitad del compuesto B. Se disponen de 100 litros del compuesto A y 120 litros del compuesto B. Sabemos que al menos necesitamos fabricar 50 litros del producto 1 y que el beneficio obtenido por un litro de producto plástico 1 es de 10 euros, mientras que por un litro del producto plástico 2 el beneficio es de 12 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible y calcula el número óptimo de litros que se debe producir de cada producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

Solución: Sea: x = nº de litros de producto plástico 1 producido. y = nº de litros de producto plástico 2 producido.

La función objetivo es: F (x, y) = 10x + 12y

Y las restricciones son: 2 x+ 5 3 x+ 5

1 y ≤ 100 ⇒ 4x + 5y ≤ 1000 2 1 y ≤ 120 ⇒ 6x + 5y ≤ 1200 2 x ≥ 50 y≥0

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices del recinto: A = (50, 0) Dpto. Matemáticas

B = (50, 160)

C = (100, 120) 9 / 12

D = (200, 0) IES “Ramón Olleros”

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La función objetivo toma en ellos los valores: F (50, 0) = 10 · 50 + 12 · 0= 500 F (50, 160) = 10 · 50 + 12 · 160 = 2420 F (100, 120) = 10 · 100 + 12 · 120 = 2440 F (200, 0) = 10 · 200 + 12 · 0 = 2000

Por tanto, la solución óptima se alcanza en el vértice C = (100, 120), es decir, el número óptimo de litros que se debe producir de cada producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible es de 100 de producto plástico 1 y 120 litros de producto plástico 2. En este caso el beneficio máximo asciende a 2440 €. 2.- a) Determina el parámetro a que hace que el valor de la integral definida de f (x) = 3x2 – a2x + a entre x = 0 y x = 1 sea máximo. b) Determina la recta tangente en x = 1 de la función f (x) del apartado anterior, cuando a es igual a 1.

Solución: a) Calculemos el valor de la integral definida de la que nos habla el enunciado del problema: 1

 3 a2 x2   a2   a2  ∫ 0 (3x − a x + a)dx =  x − 2 + ax  = 1 − 2 + a  – (0) = 1 − 2 + a  0 1

2

2

Lo que nos piden es el valor de a que hace máximo el valor de dicha integral definida. Por tanto, consideremos la función de variable a: a2 g (a) = − + a + 1 2 y calculemos sus extremos. Para ello derivamos: g’ (a) = –a + 1 Dicha derivada se anula para a = 1. Este es el punto singular. Probemos que es un máximo a través de la derivada segunda: g ‘’ (a) = –1 ⇒ g ‘’ (1) = –1 < 0 ⇒ Máximo. Por tanto el valor de a que hace máximo el valor de la integral definida es a = 1. b) Si a = 1, la función que tenemos es f (x) = 3x2 – x + 1. La ecuación de la recta tangente a la curva f (x) en el punto x = 1 viene dada por: y – f (1) = f ‘ (1) (x – 1) Como f ’ (x) = 6x – 1, tenemos que: f (1) = 3 · 12 – 1 + 1 = 3

y

f ‘= 6 – 1 = 5

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en x = 1 es: y – 3 = 5 (x – 1) ⇒ y = 5x – 2

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3.- Se sabe que los salarios en una Comunidad Autónoma siguen una distribución normal de varianza 6400 €2. Si realizamos una encuesta de tamaño n a personas de esa Comunidad: a) Calcula la desviación típica de la media muestral de los salarios si se han realizado 20 encuestas. b) ¿Cuántas encuestas hemos realizado si hemos obtenido una media muestral x = 1800 y un intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional igual a [1784,32; 1815,68].

Solución: a) La media de las muestras de tamaño n obtenidas en una población que sigue una normal de  σ   . Por tanto, la media µ y desviación típica σ, N (µ, σ), se distribuye según una normal N  µ, n  σ desviación típica de la media muestral de los salarios para una muestra de tamaño n = 20 será . 20 En nuestro caso, como σ2 = 6400, entonces σ = 80 y por tanto, la desviación típica de la media muestral de los salarios es: σ 80 = 20 20

b) El intervalo de confianza para la media muestral tiene la forma: σ σ   , x + zα / 2 ·  x − zα / 2 ·  n n  En nuestro caso, sabemos que x = 1800 €, σ = 80 € y para una confianza del 95 % le corresponde un z α / 2 = 1,96. Así pues: σ σ   80 80   ,1800 + 1,96· , x + zα / 2 ·  = [1784,32; 1815,68]  x − zα / 2 ·  = 1800 − 1,96· n n n n   Por tanto, se ha de cumplir que: 80 1800 − 1,96· = 1784,32 n

ó

1800 + 1,96·

Resolviendo cualquiera de estas dos ecuaciones se llega a que: 80 1, 96·80 1,96· = 15,68 ⇒ n = = 10 15, 68 n

⇒

80 = 1815,68 n

n = 100

Por tanto, hemos realizado 100 encuestas.

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4.- Si P (B) = 0,3 y P (A ∩ B) = 0,06, calcula P (A / B) y P (A) sabiendo que A y B son independientes.

Solución: Como los sucesos A y B son independientes, se cumple que la realización de A no depende de la realización de B, y por tanto la realización o no de B no afecta a la realización o no de A, es decir, la probabilidad de A no se ve influida por la realización o no de B. Así, se tiene que: P (A / B) = P (A)

O dicho de otra forma: P (A / B) =

P ( A ∩ B) = P (A) P( B)

⇒

P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

Entonces tenemos que: P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

⇒

P (A) =

P ( A ∩ B) 0, 06 = = 0,2 P( B) 0,3

Se tiene entonces que las probabilidades pedidas son: P (A / B) = P (A) = 0,2

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