UNIDAD

1 E

La actividad científica. Magnitudes y medidas

n esta primera Unidad conoceremos las características fundamentales de la actividad científica, su metodología y repercusiones.

Estudiaremos las magnitudes físicas, cómo se relacionan matemáticamente entre ellas y en qué unidades se miden. El Sistema Internacional de Unidades nos permitirá expresar de modo unívoco el resultado de la medida de una determinada magnitud. Como todos sabemos, nada es perfecto pero no por ello inválido; llegaremos a la conclusión de que no es posible obtener medidas totalmente exactas pero que son válidas si podemos apreciar el error cometido y los métodos a utilizar para obtener la aproximación deseada. Para finalizar la Unidad veremos cómo se representan gráficamente los valores obtenidos en una serie de medidas y cómo, observando y analizando las gráficas, podemos encontrar las relaciones matemáticas que existen entre ellas y expresar los resultados de un modo claro e intuitivo. Los objetivos que pretendemos alcanzar en esta Unidad son los siguientes: 1. Conocer las características básicas del trabajo científico. 2. Plantear hipótesis fundamentadas. 3. Elaborar estrategias adecuadas para la resolución de problemas. 4. Valorar las posibles aplicaciones, repercusiones medioambientales y sociales. 5. Conocer las magnitudes físicas y sus diferentes tipos, así como las unidades en las que se miden. 6. Estimar la precisión de las medidas y calcular el error cometido. 7. Realizar representaciones gráficas de datos y funciones.

12

EN LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA se utilizan

MAGNITUDES por su definición

se clasifican

por su naturaleza

FUNDAMENTALES

ESCALARES su valor se conoce por las

DERIVADAS

VECTORIALES

MEDIDAS

DIRECTAS

y se expresan en

INDIRECTAS siempre existen

UNIDADES generalmente pertenecientes al

ERRORES

que se pueden expresar como

SISTEMA INTERNACIONAL

se reflejan en una ERROR ABSOLUTO

TABLA DE VALORES

ERROR RELATIVO

ÍNDICE DE CONTENIDOS

1. LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. MAGNITUDES Y DIMENSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Magnitudes escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. MEDIDAS DE MAGNITUDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Medidas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Medidas indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. La notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. ERRORES EN LA MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Aproximación al valor real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. REPRESENTACIONES GRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Magnitudes directamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Magnitudes inversamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Magnitudes relacionadas por otras funciones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

14 16 16 18 19 24 27 27 28 29 30 30 31 32 33 36 37

UNIDAD

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LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

1. La actividad científica La actividad científica consiste en una serie de procesos de reflexión, sistemáticos y metódicos encaminados a ampliar los conocimientos del ser humano o encontrar soluciones a problemas de tipo científico. Se fundamenta en la aplicación del método científico que consiste en observar un fenómeno, reproducir condiciones idóneas para su estudio, experimentar realizando medidas fiables, establecer relaciones entre éstas, describir el fenómeno mediante una ley empírica, emitir hipótesis, formular una teoría o un modelo y, por último, darlo a conocer.

Observación y experimentación Cuando queremos estudiar un fenómeno cualquiera; por ejemplo, la flotabilidad de los cuerpos, lo primero que hacemos es elegir varios cuerpos, ponerlos sucesivamente en un recipiente que contenga agua u otro líquido y observar atentamente lo que ocurre. Normalmente la simple observación no es suficiente para comprender y explicar el fenómeno, además es necesaria la experimentación que consiste en reproducir el fenómeno en condiciones controladas y reproducibles de modo que podamos realizar medidas que agruparemos en tablas que nos permitirán realizar representaciones gráficas y a través de ellas interpretar los datos con facilidad y establecer relaciones entre ellos.

Obtención de leyes empíricas Una vez que hemos obtenido los datos y las relaciones entre ellos estamos en condiciones de realizar una descripción adecuada del fenómeno mediante una ley empírica que es una ley formulada a partir de datos obtenidos mediante un experimento. Un ejemplo de ley empírica que puede obtenerse del ejemplo anterior podría ser: “Los cuerpos que tienen menos densidad que el líquido en el que se encuentran flotan y los que tienen más densidad, se hunden”. Normalmente el estudio no puede ser completo; en este caso, no es posible probar con todos los cuerpos pero estamos convencidos, según los resultados obtenidos, de que esta ley es generalizable a todos lo cuerpos. Cuando se obtiene una ley general basándose en datos o leyes particulares se realiza un proceso inductivo. Newton estableció la ley de la Gravitación Universal basándose en un proceso inductivo observando que los cuerpos caían debido a la fuerza de atracción que la Tierra ejercía sobre ellos.

Formulación de hipótesis, teorías y modelos En nuestro ejemplo hemos obtenido una ley empírica que nos permite saber lo que ocurrirá cuando introducimos un cuerpo en un líquido, pero aún desconocemos la causa. ¿Por qué unos cuerpos flotan y otros no?: para responder a ello formulamos una hipótesis (una suposición) que podría ser “todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje hacia arriba igual al peso del líquido que ha desalojado”. Una vez formulada la hipótesis, si ésta es cierta, podremos saber si un cuerpo cualquiera va a flotar o no conociendo su densidad. 14

En este caso utilizamos un proceso deductivo que es el que se sigue cuando una hipótesis general se aplica a casos particulares. Este proceso es el inverso del proceso inductivo que hemos visto anteriormente. Albert Einstein aplicó el proceso deductivo para elaborar la Teoría de la Relatividad partiendo de una teoría que él imaginó y que en un principio era contradictoria con los fenómenos que entonces se observaban en la naturaleza, pero experimentos realizados posteriormente pusieron de manifiesto que su teoría era cierta. A veces, cuando se pretende explicar un fenómeno complejo en el que intervienen muchas variables se simplifica mediante un modelo en el que se utilizan sólo las variables fundamentales que permitan explicar el fenómeno de un modo simplificado. Por ejemplo, el modelo atómico de Bohr.

Consideración de perspectivas y repercusiones Una vez que se ha finalizado el proceso de investigación deben estudiarse las posibles ventajas e inconvenientes de la aplicación de los resultados obtenidos, teniendo en cuenta no sólo los beneficios que se puedan obtener sino también las posibles repercusiones negativas en el medio ambiente, en la sociedad, etc. Por ejemplo, el descubrimiento de la dinamita favoreció enormemente las explotaciones mineras, la realización de obras, etc., pero también se aplicó en guerras ocasionando una enorme pérdida de vidas humanas. Por esta razón Nobel, su inventor, dedicó los ingresos obtenidos con este descubrimiento a la institución del premio que lleva su nombre y que se otorga a los científicos y pensadores más destacados del mundo, como el premio Nobel de Medicina o el premio Nobel de la Paz. Otros ejemplos significativos de posibles repercusiones negativas los podemos encontrar en la energía nuclear para uso bélico, la utilización masiva e inadecuada del petróleo y sus derivados, etc.

Comunicación de resultados Una vez terminada una investigación es imprescindible comunicar los resultados obtenidos a los demás miembros de la comunidad científica, así como los medios y métodos utilizados. Habitualmente se realiza a través de un informe redactado con claridad, concisión y precisión. Los apartados más habituales que contiene un informe son los siguientes: Título y resumen. Introducción. Metodología. Instrumentación. Procedimiento. Resultados. Discusión y conclusiones. Apéndices, si fueran necesarios. Referencias y Bibliografía. 15

UNIDAD

1

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

2. Magnitudes y dimensiones Una magnitud física es toda propiedad que pueda ser medida. Se puede medir la masa de un cuerpo, la longitud, la densidad, etc. Por su propia definición, las magnitudes se clasifican en fundamentales y derivadas. Si atendemos a su naturaleza, también las podemos clasificar en magnitudes escalares y vectoriales.

2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas Existen unas magnitudes que sirven de referencia (magnitudes fundamentales) y todas las demás se definen en función de ellas (magnitudes derivadas). En mecánica las magnitudes fundamentales son la longitud, la masa y el tiempo. Todas las demás como la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. se definen en función de algunas o de todas las fundamentales. Asimismo en electricidad la magnitud fundamental es la intensidad de corriente, en termodinámica la temperatura, en óptica la intensidad luminosa y en química la cantidad de sustancia. Ecuación de dimensiones Como acabamos de decir, las magnitudes derivadas se definen en función de las fundamentales. Pues bien, una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de esta definición. Esta ecuación se obtiene partiendo de fórmulas que relacionan a las magnitudes en cuestión, u otras que, a su vez, se relacionen con ellas. En general, las ecuaciones de dimensiones se escriben siguiendo unas normas: •

las magnitudes fundamentales se expresan en letras mayúsculas;

•

no se utilizan fracciones, los términos que pudieran aparecer en el denominador se pasan al numerador cambiando el signo de su exponente;

•

los términos constantes, si existen, se desprecian ya que éstos no afectan a las dimensiones;

•

la magnitud derivada, una vez despejada, se escribe entre corchetes.

Veamos esto con unos sencillos ejemplos: ¿Cuál es la ecuación de dimensiones de la velocidad? velocidad =

16

espacio recorrido tiempo empleado

El espacio se mide por su longitud que es una magnitud fundamental y el tiempo también lo es. Siguiendo las reglas que acabamos de indicar, podemos escribir directamente la ecuación de dimensiones de la velocidad:

[v ] = L ⋅ T −1 ¿...y la ecuación de dimensiones de la fuerza? l v l t F = m ⋅ a = m ⋅ = m ⋅ = m ⋅ 2 = m ⋅ l ⋅ t -2 t t t

Hemos ido utilizando las fórmulas adecuadas hasta expresar la fuerza en función de magnitudes fundamentales, ahora solamente queda escribir la ecuación de dimensiones según los criterios antes indicados:

[F ] = M ⋅ L ⋅ T −2 Toda ecuación física debe ser dimensionalmente correcta, es decir: los dos miembros de la ecuación han de tener las mismas dimensiones. En caso contrario, no sería homogénea y los resultados obtenidos no tendrían sentido; sería como obtener el resultado del cálculo de una velocidad en kilogramos. ob`rboa^

T Una magnitud física es toda propiedad que se pueda medir. T Las magnitudes derivadas se definen en función de las fundamentales. T Una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de la definición de una magnitud derivada en función de las fundamentales.

Actividades 1. La expresión de la energía cinética es Ec =

1 m ⋅ v 2 y la de la energía potencial Ep=m·g·h. Halla 2

la ecuación de dimensiones de ambas y comprueba que en los dos casos se obtiene el mismo resultado. 2. El teorema del impulso mecánico, que estudiaremos en la Unidad 3, se expresa matemáticamente como F ⋅ t = m ⋅ Δv . Comprueba que esta expresión es dimensionalmente correcta.

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UNIDAD

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LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

2.2. Magnitudes escalares y vectoriales Existen magnitudes como la masa, el tiempo o la energía en las que solamente necesitamos conocer su valor numérico y la unidad en que se expresa para que estén perfectamente determinadas, éstas son magnitudes escalares. También hay otras, llamadas magnitudes vectoriales, como la velocidad o la fuerza, que para determinarlas sin ambigüedad es necesario conocer no solamente su valor numérico, sino también su dirección y su sentido. r Estas magnitudes se escriben colocando una flecha encima de la letra que las identifica ( A) y se representan gráficamente por un vector que es un segmento orientado en el que hay que considerar el origen, la dirección, el sentido y el módulo o longitud. módulo origen

dirección sentido

Fígura 1: Elementos de un vector

r Cuando hacemos referencia al módulo de un vector, se escribe entre dos barras verticales A . Habitualmente, los vectores se representan en un sistema de coordenadas cartesianas que se compone de dos ejes perpendiculares entre sí cuando la representación se realiza en un plano (dos dimensiones) o de tres ejes cuando se tienen en cuenta las tres dimensiones del espacio. En este sistema un vector se caracteriza por sus componentes cartesianas que son las proyecciones del extremo del vector sobre los ejes cartesianos. r r r Para facilitar la expresión matemática de un vector se utilizan los vectores unitarios (i , j , k ) que son vectores cuya longitud es la unidad y su dirección la correspondiente a los ejes X, Y y Z respectivamente. De este modo, un vector cuyas componentes cartesianas son Ax, Ay, Az, se r r r r expresa: A = Ax i + Ay j + Az k

Y Ay

Z

Bz

A

j

B

k

X

Ax

i

j

By

Y

Bx

X Fígura 2: Representación r de run vector r en dos dimensiones A = Ax i + Ay j

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Fígura 3: Representación en r rde un vector r r tres dimensiones B = Bx i + By j + Bx k

r En la figura 2 podemos ver representado en el plano el vector A , cuyas componentes son r Ax y Ay, de valor 3 y 4 respectivamente. Y en la figura 3, el vector B , de componentes Bx = 2, By = 3 y Bz = 5 representado en las tres dimensiones del espacio. Es fácil demostrar, basándose en el teorema de Pitágoras, que el módulo de un vector en función r 2 2 2 de sus componentes viene dado por la expresión: A = Ax + Ay + Az

2.3. Operaciones con vectores Suma a) Vectores con la misma dirección Los dos vectores a sumar pueden tener el mismo sentido o el contrario. En el primer caso, el resultado es otro vector con la misma dirección y el mismo sentido, cuyo módulo es la suma de los módulos de los sumandos.

r A

r B

r r A+B

Fígura 4: Suma de vectores con la misma dirección y sentido

En el segundo caso, el resultado es un vector con la misma dirección, sentido el del mayor de los sumandos y módulo la diferencia de los módulos.

r A

r B

r r A+B

Fígura 5: Suma de vectores con la misma dirección y sentido contrario

b) Vectores con distinta dirección Si el origen de un vector coincide con el extremo del otro, el resultado de la suma es sencillamente otro vector que va desde el origen del primero hasta el extremo del segundo. r r A+B

r B

r A Fígura 6: Suma de vectores con distinta dirección

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UNIDAD

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LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

Si tienen el mismo origen, se utiliza la regla del paralelogramo que consiste en trazar por el extremo de cada uno de ellos una paralela al otro formando un paralelogramo. La suma de los dos vectores es otro vector que coincide con la diagonal del paralelogramo. r r A+B r B

r A Fígura 7: Suma de vectores. Regla del paralelogramo

Analíticamente para sumar dos vectores se suman sus componentes. Por ejemplo, dados r r r r r r los vectores A = Ax i + Ay j y B = Bx i + By j , el vector suma de ambos será: r r r r A + B = ( Ax + Bx )i + ( Ay + By ) j

Resta Para restar un vector de otro, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. El vector opuesto a uno dado es otro vector con la misma dirección, el mismo módulo y de sentido contrario.

r A

r −A Fígura 8: Vectores opuestos

r r r r r r Si queremos realizar la operación C = B − A , en realidad lo que hacemos es C = B + ( − A) . Así pues la operación de restar es igual que la de sumar, una vez obtenido el vector opuesto del sustraendo.

Ejemplo Dados los vectores de la figura: r r r r a) Exprésalos analíticamente y realiza las operaciones A + B y A − B b) Realiza gráficamente las operaciones anteriores. r r r r c) Halla el módulo de A + B y de A − B

Y A

B

X

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Solución: a)

r r r r r r r r r r r r r r A = −2i + 3 j ; B = 5i + 4 j ; A + B = 3i + 7 j ; A − B = −7i − j

b)

A+ B

Y

Y A

B

A

X

A-- B

X

B

-- B

c)

r r A + B = 32 + 72 = 7, 6

;

r r A − B = ( −7)2 + ( −1)2 = 7,1

Actividades r r r r r r 3. Dados los vectores A = i + 3 j y B = 4i − 2 j : a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos. r r r r b) Halla gráfica y analíticamente los vectores A + B y A − B .

Producto de un vector por un escalar El resultado es otro vector de la misma dirección, de módulo igual al producto del escalar por el módulo del vector, y su sentido es el mismo si el escalar es positivo y el contrario si éste es negativo. r 2A

r A

r −2 A

Fígura 9: Producto de un vector por un escalar

Analíticamente, el resultado es el de multiplicar por el escalar cada una de sus componentes. r Así, si queremos multiplicar el vector A por el escalar c, el resultado será: r r r r c ⋅ A = c ⋅ Ax i + c ⋅ Ay j + c ⋅ Az k Producto escalar de dos vectores Se representa por el signo “·” entre los dos vectores y el resultado es un escalar cuyo valor es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman sus direcciones. 21

1

UNIDAD

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

r A r r r r A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cos α

α r B Fígura 10: Producto escalar de dos vectores

También puede definirse como el producto del módulo de un vector por la proyección r del otro r sobre él. Si observamos la figura anterior podemos comprobar que la proyección de A sobre B vale precisamente A ⋅ cos α . Analíticamente, el resultado se obtiene multiplicando sus componentes homólogas; así el r r r r resultado de multiplicar A ⋅ B será: A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz Ejemplo r r r r r r r r Dados los vectores A = 4i + 6 j − 5k y B = 3i − 4 j + 4k : a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos. r r r b) Halla la expresión del vector C = A + 2B r r c) Realiza su producto escalar A ⋅ B d) ¿Qué ángulo forman entre sí? Solución:

Z

a) B Y

X A

r r r r r r r r r b) C = A + 2 ⋅ B = ( 4 + 2 ⋅ 3)i + (6 − 2 ⋅ 4) j + ( −5 + 2 ⋅ 4)k = 10i − 2 j + 3k r r c) A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = 4 ⋅ 3 − 6 ⋅ 4 − 5 ⋅ 4 = −32 r r r r r r A⋅B d) Sabemos que A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cos α ; despejando: cos α = r r A⋅B r r Nos falta por conocer A y B

22

r A = 42 + 62 + 52 = 8, 77 cos α =

r B = 32 + 42 + 42 = 6, 40

−32 = −0, 57 ⇒ α = arccos ( −0, 57 ) = 124, 75° = 124°45 ' 8, 77 ⋅ 6, 40

Actividades r r r r r r 4. Dados los vectores A = 3i − 5 j y B = 6i + 2 j r r r a) Halla el vector C = 3 A − 2B r r b) Realiza el producto escalar A ⋅ B r r c) Halla el ángulo que forman A y B Producto vectorial Se representa por el signo “x” entre los dos vectores y el resultado es un vector de módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo que forman. Su dirección es perpendicular al plano que determinan los dos vectores y el sentido se determina por la regla del tornillo, según la cual el sentido del vector producto sería el de avance de un tornillo que girara para hacer coincidir el primer vector con el segundo.

A×B B

A × B = A ⋅ B ⋅ sen α

90º 90º

A Fígura 11: Producto vectorial de dos vectores

Si tenemos un paralelogramo cuyos lados son A y B, el valor de la superficie es el producto de la base por la altura, pero la altura vale h = A ⋅ sen α , por tanto: S = A ⋅ B ⋅ sen α

A h α B Fígura 12: Superficie de un paralelogramo

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UNIDAD

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LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

Según esto, el módulo del producto vectorial de dos vectores representa la superficie del paralelogramo que definen. Para obtener analíticamente el resultado del producto vectorial es necesario conocer el cálculo con matrices que se estudiará en el curso siguiente. Así pues, por ahora, es suficiente conocer –y recordar– el sentido físico de este producto ya que es fundamental para la comprensión de determinados fenómenos de importancia trascendental en la física. ob`rboa^

T Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se utiliza la regla del paralelogramo. T Para restar dos vectores, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. T El producto escalar de dos vectores no es un vector y su valor es el producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

T El producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular al plano definido por ambos y su sentido es el del avance de un tornillo que girara en el sentido de hacer coincidir el primero con el segundo.

T El módulo del producto vectorial de dos vectores tiene el mismo valor que la superficie del paralelogramo definido por ellos.

Actividades 5. Halla el valor el producto escalar y el módulo del producto vectorial de los dos vectores de la figura. Según los vemos en el papel, r r el vector que resulta del producto vectorial A × B , tiene dirección perpendicular al plano del papel pero… ¿en qué sentido, hacia dentro o hacia fuera del papel?

A 30º

B

3. El sistema internacional de unidades Un sistema de unidades es un conjunto consistente a partir del cual se derivan todas las demás unidades. En España, la Ley 3/1985 determina como las Unidades Legales de Medida las del Sistema Internacional de Unidades adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas. Estas unidades quedaron establecidas en el Real Decreto 1317/1987. Una unidad es un patrón que sirve para medir el valor de una magnitud y por tanto debe estar perfectamente definida y ser reproducible en cualquier lugar. Además deben estar definidos sus múltiplos y submúltiplos para poder expresar el resultado de la medida por el número de unidades y la fracción de unidad que contiene. 24

Las unidades básicas, correspondientes a magnitudes fundamentales, tienen una definición propia en función de constantes universalmente conocidas. Las demás se definen en relación a ellas. Magnitud Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura termodinámica Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

Unidad metro kilogramo segundo amperio kelvin candela mol

Símbolo m kg s A K cd mol

Existen, además, dos unidades suplementarias que no tienen dimensiones y que también pueden formar parte de la definición de las unidades derivadas. Magnitud Ángulo plano Ángulo sólido

Unidad radián estereoradián

Símbolo rad sr

Magnitudes derivadas y unidades de uso frecuente: Magnitud Frecuencia Fuerza Presión Energía, trabajo Potencia Carga eléctrica Potencial eléctrico Resistencia eléctrica Capacidad eléctrica

Unidad hercio newton pascal julio vatio culombio voltio ohmio faradio

Símbolo Hz N Pa J W C V Ω F

Existen muchas unidades, pertenecientes a magnitudes derivadas, que no tienen un nombre específico. Éstas se expresan en función de otras unidades que están relacionadas con ellas y que sí tienen nombre propio, sean o no unidades pertenecientes a magnitudes fundamentales. Por ejemplo: la unidad de velocidad es el metro por segundo (m/s o ms-1) y la unidad de impulso mecánico (fuerza por tiempo, que estudiaremos en la Unidad 3) es el newton por segundo (N·s). Múltiplos decimales Prefijo Símbolo Factor Deca da 101 Hecto h 102 Kilo k 103 Mega M 106 Giga G 109 Tera T 1012 Peta P 1015 Exa E 1018 Zetta Z 1021 Yotta Y 1024

Submúltiplos decimales Prefijo Símbolo Factor deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 μ micro 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18 zepto z 10-21 yocto y 10-24

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UNIDAD

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LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

Reglas prácticas para expresar cantidades y unidades •

Los símbolos de las unidades del SI, excepto el W, se expresan con caracteres romanos y minúsculas, sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula.

•

Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural.

•

El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo sin espacio.

•

El producto de los símbolos de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un punto como símbolo de multiplicación.

•

Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos deben escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial.

•

Los nombres de las unidades toman una s en el plural, salvo que terminen en s, x o z.

•

En los números, la coma se utiliza sólo para separar la parte entera de la decimal. Para facilitar la lectura, se recomienda dividir los números en grupos de tres cifras; estos grupos no se separan jamás por puntos ni por comas. La separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año.

•

Los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI se forman con prefijos que anteceden sin espacio al símbolo de la unidad.

Conversión de unidades En la práctica, muchas medidas no se expresan en unidades del sistema internacional o en múltiplos o submúltiplos de ellas, debido generalmente a la utilización de aparatos calibrados en otras unidades, por ejemplo: el cuentakilómetros de un coche nos da la lectura en kilómetros por hora, asimismo, el tiempo, según su duración, se expresa en horas, minutos, etc. En estos casos debemos convertir las unidades que no pertenezcan al SI en unidades de éste, ya sean básicas o derivadas. Para ello utilizamos los factores de conversión que, en cada caso, es la relación existente entre ambas unidades. Así, el factor de conversión de minutos a segundos es de 60; es decir, 1 min = 60 s. Como ejemplo, vamos a expresar la velocidad de un automóvil que se mueve a 72 kilómetros por hora en metros por segundo: 72

1000m km = 72 = 20 m ⋅ s −1 3600s h

Actividades 6. Los contadores eléctricos habituales miden la energía consumida en kilovatios hora ¿A cuántos vatios por segundo (julios) equivale un kilovatio hora?

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(Kw · h).

4. Medidas de magnitudes Siempre que realizamos una medida obtenemos una información cuantitativa de una magnitud física. Si queremos dar a conocer el resultado de nuestra medida de un modo coherente tenemos que utilizar una unidad en la que expresar el resultado de modo que sea interpretable por otras personas. Podemos decir que medir una magnitud es compararla con otra, de valor conocido, que se toma como unidad. Esta comparación se realiza utilizando instrumentos de medida que pueden ser muy sencillos como una regla, un dinamómetro... o muy complejos como una balanza electrónica de precisión, un espectrofotómetro... Según el instrumento utilizado se obtendrán medidas más o menos fiables, dependiendo de sus cualidades: Exactitud:

La lectura que ofrece el instrumento corresponde al verdadero valor de la magnitud medida. Por ejemplo, un cronómetro que indique el tiempo transcurrido realmente decimos que es exacto.

Sensibilidad: Aprecia variaciones muy pequeñas en la magnitud. Por ejemplo, un voltímetro que aprecie una variación de una milésima de voltio es más sensible que uno que aprecie sólo centésimas . Precisión:

Expresa el grado de incertidumbre en el valor medido. Si un aparato de medida es preciso, su medida se encontrará afectada de poca incertidumbre. Por ejemplo si un amperímetro aprecia miliamperios el grado de incertidumbre será de ±0, 001A y si otro, menos preciso, aprecia centésimas de amperio, el grado de incertidumbre será de ±0, 01A .

Fidelidad:

Siempre ofrece el mismo resultado para el mismo valor de la magnitud. Por ejemplo, si al realizar varias medidas con una balanza para determinar la masa de un cuerpo obtenemos siempre el mismo valor decimos que ésta es fiel.

4.1. Medidas directas Una medida es directa cuando se obtiene por comparación con un patrón calibrado (una regla, una pipeta, etc.) o, más frecuentemente en la actualidad, por la lectura del instrumento de medida utilizado, ya sea analógico o digital. Cifras significativas Una vez realizada la lectura obtenemos un número con varias cifras, en éste, las cifras significativas son las que dan idea de la exactitud de la medida. Para saber cuáles son éstas en un número cualquiera, seguiremos las siguientes reglas: Son cifras significativas: • Todas las cifras distintas de cero. • Los ceros que se encuentren entre dos cifras significativas. • Todos los ceros situados a la derecha de la coma decimal, excepto los que la siguen inmediatamente en cantidades menores que la unidad. No son cifras significativas: • Los ceros situados antes de la primera cifra significativa. • Los ceros situados después de la última cifra significativa, salvo que vayan seguidos de la coma decimal o estén a la derecha de ésta.

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LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

Ejemplos •

60 700 tiene tres cifras significativas (6, 0 y 7) ya que los dos ceros del final no están entre cifras significativas.

•

60 700, tiene cinco (todas) ya que el último cero va seguido de una coma, por lo que es una cifra significativa y en consecuencia los demás ceros también lo serán.

•

0,0320 tiene tres (3, 2 y el último cero). Los dos primeros ceros no son significativos ya que están situados antes de la primera cifra significativa.

•

15 000 tiene solamente dos (1 y 5) ya que los ceros están después de la última cifra significativa.

La última cifra significativa nos indica la precisión con que se ha realizado la medida. Supongamos que tenemos una mesa cuya longitud es de 0,750 m. Si la medimos con una regla graduada en centímetros obtendremos 0,75 m ya que no podemos apreciar los milímetros; sin embargo al medirla con una regla graduada en milímetros obtenemos una medida de 0,750 m. En la primera medida obtenemos dos cifras significativas y en la segunda tres lo que nos indica que segunda medida es más precisa que la primera, debido a que la regla graduada en milímetros es más precisa que la graduada en centímetros. Según esto, siempre existe un grado de incertidumbre o error en la medida que dependerá del instrumento utilizado. En el ejemplo anterior expresaríamos la longitud de la mesa como l = 75 ± 1cm en la primera medida y como l = 750 ± 1mm en la segunda. Obser-vemos que en

ambos casos el ±1 corresponde a la última cifra significativa y nos indica la precisión del instrumento utilizado.

Actividades 7. Indica las cifras significativas que tienen las siguientes cantidades: a) 2040

b) 160,

c) 0,0210

d) 260 000

e) 1 000,01

4.2. Medidas indirectas En muchas ocasiones no existe o no es posible utilizar el instrumento de medida adecuado por lo que es necesario realizar una medida indirecta, recurriendo a medir otra magnitud que sea medible directamente y esté relacionada con aquella cuyo valor queremos conocer; por ejemplo, si queremos saber la velocidad media de un atleta en una carrera, cronometramos el tiempo y, aplicando una sencilla fórmula, hallamos el valor buscado.

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4.3. La notación científica Frecuentemente, los científicos trabajan con valores muy grandes, como la velocidad de la luz (c = 299 792 500 m·s -1), o muy pequeños, como la constante de la gravitación universal (G = 0,00000000006670 N · m 2 · kg -2). Como podemos ver, expresarlos de este modo, es bastante engorroso. Para evitar este problema y favorecer los cálculos y estimaciones se utiliza la notación científica que consiste en expresar la cantidad por un número, con una parte entera de una sola cifra y una decimal, multiplicado por una potencia de diez, que puede ser positiva o negativa, dependiendo del valor del número en cuestión. La parte entera, junto con la parte decimal del número muestran las cifras significativas de éste y, por tanto, la precisión con la que se ha obtenido. Si expresamos en notación científica la velocidad de la luz y la constante de la gravitación, respectivamente, obtenemos: c = 2,9997925 · 108 m·s -1 G = 6,670 · 10-11 N · m 2 · kg -2 Nótese que la velocidad de la luz se conoce con ocho cifras significativas, mientras que la constante de la gravitación solamente con cuatro, lo que nos indica que la velocidad de la luz se ha podido medir con más precisión que la constante de la gravitación. Orden de magnitud Acabamos de ver que la velocidad de la luz es muy grande y que la constante de la gravitación es muy pequeña, pero... ¿cuánto de grande o de pequeña? Para apreciar esto, utilizamos el orden de magnitud que es el número más cercano al de referencia que se pueda expresar como una potencia de diez. Si el número en cuestión está expresado en notación científica, solamente hay que redondear la parte entera, a 1 o a 10, con lo cual el orden de magnitud será su propia potencia de diez si la parte entera es menor de 5 y su potencia de diez más 1 si la parte entera es igual o mayor de 5. Así, la velocidad de la luz es del orden de 108, mientras que la constante de la gravitación es del orden de 10-10. ob`rboa^

T Las cifras significativas indican la exactitud de una medida. T La notación científica consiste en expresar la cantidad por un número, con una parte entera de una sola cifra y una decimal, multiplicado por una potencia de diez. T El orden de magnitud es el número más cercano al de referencia que se pueda expresar como una potencia de diez.

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Actividades 8. El radio del electrón es re = 0,0000000000281777 m. Expresa este valor en notación científica e indica cuál es su orden de magnitud.

5. Errores en la medida En cualquier medida que se realice, se cometen errores experimentales, por muy sofisticado que sea el instrumento con el que se mida. El primero, como ya hemos visto y que es inevitable, es debido a la precisión del aparato, que nunca podrá aproximar la medida más allá de las cifras significativas que podamos obtener de su lectura. Además de éste nos podemos encontrar otros que pueden ser de dos tipos: Sistemáticos: Son los que se repiten en todas las medidas realizadas, y normalmente se deben a una mala calibración del aparato de medida, o a un defecto de apreciación del observador. Estos errores son difíciles de detectar y se repetirán en tanto no se localice la causa y se tomen las medidas oportunas para su corrección, con lo cual quedará solucionado el problema. Accidentales: Ocurren de modo circunstancial, inesperadamente, como cambios ambientales, vibraciones en el entorno, averías, distracción del observador, etc. Son fáciles de detectar cuando se realizan varias medidas, ya que la tomada accidentalmente arroja un valor muy diferente de las otras y además su contribución al resultado final disminuye al aumentar el número de medidas realizadas como veremos en el epígrafe siguiente.

5.1. Aproximación al valor real En una serie de medidas es posible que estemos cometiendo errores sistemáticos o no. Una vez convencidos de que no estamos incurriendo en ellos obtendremos valores más o menos dispersos debidos a errores accidentales y, por lo tanto, aleatorios. Podemos suponer razonablemente que unas veces obtendremos el valor por defecto y otras por exceso. Si realizamos dos medidas, existe un 50% de posibilidades de que las dos desviaciones estén en el mismo sentido, pero a medida que aumenta el número disminuyen las probabilidades de que esto ocurra, tendiendo a compensarse unas con otras. Así podemos pensar que si realizamos la media aritmética de los valores obtendremos el valor medio que será más fiable que cualquiera de los valores individuales obtenidos, y más aún cuanto mayor sea el número de medidas realizadas. Si en una serie de n medidas hemos obtenido los valores x1, x2,...xn, el valor más fiable será: xm =

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x1 + x2 + ... + xn n

Actividades 9. Estamos interesados en conocer el grosor de cada una de las hojas de un paquete que contiene quinientas, para ello realizamos una serie de medidas con un calibre y obtenemos los siguientes resultados en mm: 45,9; 45,2; 46,2; 44,8; 46,0. ¿Cuál será el valor buscado?

5.2. Error absoluto y error relativo El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor real. Si x es el valor medido y xr el valor real, el valor absoluto será: Δx = x − xr Dado que el valor real no lo conocemos nunca con exactitud, no podemos saber si el error se ha cometido por exceso o por defecto, por esto se utiliza el valor absoluto que nos indica únicamente la desviación que existe en la medida. Para expresar una cantidad x, con indicación del error absoluto escribimos x ± Δx . Supongamos que medimos la longitud de un lapicero con una regla graduada en milímetros y obtenemos 12,7 cm. No podemos asegurar que este valor sea exacto, pero sí podemos asegurar que es menor de 12,8 cm y mayor de 12,6 cm. En este caso el error absoluto es de 1 mm que es la precisión de la regla y lo expresamos así: l = 12, 7 ± 0,1 cm . El error absoluto indica la desviación de la medida, pero no da una idea de la precisión, es decir de la calidad de la medida. Imaginemos que al medir la longitud de una piscina que tiene 25 m de longitud se comete un error de 1 centímetro; podríamos considerar que es una buena medida. Imaginemos ahora que al medir la longitud del lapicero del ejemplo anterior se comete el mismo error; ésta sería una mala medida, por ello, cuando conviene conocer este aspecto se recurre al error relativo que es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Al ser un cociente entre magnitudes iguales, no tiene dimensiones, no depende de las unidades y, generalmente, se expresa en tanto por ciento. Indica la precisión de la medida. Vamos a calcular el error relativo de las medidas efectuadas en los ejemplos del lapicero y de la piscina que acabamos de ver: En la medida del lapicero:

Er =

En la medida de la piscina: Er =

0,1 = 0, 08 = 8% 12, 7

0, 01 = 0, 0004 = 0, 04% 25

Así hemos comprobado que la medida de la piscina es más precisa, ¡200 veces!, que la medida del lapicero.

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ob`rboa^

T Los errores pueden ser sistemáticos o accidentales. Los primeros se pueden eliminar totalmente detectando las causas. Los segundos se minimizan con un buen mantenimiento de los aparatos y eficacia en el trabajo. T Al aumentar el número de medidas, disminuye el margen de error. T El error se puede expresar de modo absoluto o relativo. T El error relativo refleja la calidad de la medida.

Actividades 10. Suponiendo que el valor promedio obtenido en la actividad anterior sea el grosor real del paquete de hojas, calcula el error absoluto y relativo de la primera y de la segunda medidas. ¿Cuál de las dos es más precisa? 11. Un dependiente mide un trozo de tela con un metro cuyas divisiones son de 1 cm y obtiene una medida de 83 cm. a) Expresa el resultado, con indicación del error absoluto. b) Calcula el error relativo de esta medida y exprésalo en tanto por ciento.

6. Representaciones gráficas En las ciencias experimentales existen muchas ocasiones en las que varias magnitudes están relacionadas entre sí, de modo que cuando varía una de ellas implica la variación de otra u otras. Así por ejemplo, si un móvil se desplaza con una velocidad, a medida que aumenta el tiempo aumenta el espacio recorrido; en este caso decimos que el espacio es función del tiempo ya que depende de él. La variable que depende de otra se denomina variable dependiente y la que sirve de referencia, variable independiente. En este caso, el tiempo es la variable independiente y el espacio, la variable dependiente. Normalmente, los sucesivos valores de las variables se representan en un sistema de ejes cartesianos. La variable independiente se sitúa en el eje de abcisas (eje X) y la variable dependiente en el de ordenadas (eje Y). Habitualmente, en primer lugar se representan en el eje X los valores de la variable independiente y posteriormente se van marcando en el eje Y los valores obtenidos para la variable dependiente. Cada pareja de valores se representa por un punto y a continuación se traza una línea, de trazo uniforme, que se ajuste lo máximo posible a ellos con lo que habremos obtenido la representación gráfica de la función que relaciona a las dos magnitudes. Como acabamos de ver, en todas las medidas experimentales existe un cierto error y en consecuencia, al representar los puntos correspondientes a los valores obtenidos, vemos que no 32

siguen exactamente la línea que representa a la relación matemática que esperamos encontrar. Por ello, trazamos la línea de modo que se ajuste lo máximo posible a los puntos obtenidos.

6.1. Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el valor de una de ellas es igual al valor de la otra multiplicado por una constante. Su expresión es de la forma y = k·x donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente y k la constante de proporcionalidad. Decimos, en estos casos, que estas dos magnitudes están en relación lineal o que están relacionadas linealmente. Supongamos que, al medir dos magnitudes relacionadas de este modo, obtenemos los valores reflejados en la siguiente tabla:

x

0

2

4

6

8

y

0

3

6

9

12

A continuación, representamos los puntos correspondientes en unos ejes cartesianos, dibujamos una línea que pase por todos ellos y obtenemos la gráfica siguiente: y 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

x

Fígura 13: Representación gráfica de magnitudes directamente proporcionales

Hemos obtenido una línea recta cuya pendiente es k =

y . Si ponemos esta ecuación en la x

forma: y = k · x, observamos que k es la constante de proporcionalidad entre y y x.

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Ejemplo El mercurio es un metal líquido a temperatura ambiente, por lo que es fácil medir volúmenes diferentes y calcular las masas correspondientes con una balanza. Operando así, se han obtenido los datos siguientes: Volumen, V(cm3) Masa, m(g)

1 13,6

2 27,6

3 41,2

4 54,1

5 68,4

a) Dibujar la gráfica de m frente a V. b) Expresar la ecuación matemática que relaciona m con V. c) Calcular el valor de la pendiente y explicar su significado. Solución: a)

b) Podemos observar que, muy aproximadamente, los resultados de las medidas siguen una relación lineal por lo que la ecuación buscada será de la forma m = k · v e indica que la masa es igual al volumen multiplicado por una constante. c) También vemos que todos los puntos no están exactamente situados sobre la línea; por esta razón si tomamos uno de los puntos obtenidos experimentalmente para hallar el valor de la pendiente, estaremos basándonos en el resultado de una sola medida por lo que podemos esperar un alto índice de error. Por ello, calculamos la pendiente de la recta eligiendo cualquier punto de ella que consideremos bien definido, por ejemplo, el (4,4 , 60). La pendiente de la recta será: k = 60 = 13, 6 . 4, 4 El valor obtenido representa la constante por la que hay que multiplicar el volumen de mercurio para obtener su masa que, según sabemos, es la densidad, por lo que estas mediciones habrán servido para obtener la densidad del mercurio, que en unidades de SI será: d = 13, 6

g 10−3 kg kg = 13, 6 −6 3 = 13600 3 3 cm 10 m m

Rectas con ordenada en el origen En algunas ocasiones, la recta obtenida al representar los valores no pasa por el origen de coordenadas debido a que cuando x vale cero, y tiene un valor distinto de cero. Supongamos que en una serie de medidas hemos obtenido los siguientes valores: 34

x y

0 2

2 8

4 14

6 20

8 26

En este caso, x e y no parecen ser directamente proporcionales ya que al dividir los sucesivos valores obtenidos de y entre los de x no obtenemos siempre el mismo resultado. No obstante, si representamos gráficamente estos resultados, obtenemos una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas, sino que corta al eje de ordenadas en el punto (0,2). El valor de y en este punto (y = 2) se denomina ordenada en el origen.

y 35 30 25 20 15 10 5 0 0

2

4

6

8

Fígura 14: Recta con ordenada en el origen

x

Si a cada uno de los valores obtenidos para y le restamos el valor de la ordenada en el origen, ⎛ y −2⎞ la fracción que resulta ⎜ ⎟ nos da un valor constante, que es la pendiente de la recta. En ⎝ x ⎠ este caso concreto, sustituyendo cualquier pareja de valores en la expresión, obtenemos que la pendiente es igual a 3, es decir: y −2 = 3 ⇒ y − 2 = 3 x ⇒ y = 3 x + 2 que es la ecuación buscada. x

Actividades 12. Ponemos un recipiente con agua en el fuego y medimos su temperatura cada dos minutos, obteniendo los siguientes resultados: Tiempo, t (min) Temperatura, T (ºC)

0 20

2 36

4 52

6 68

8 84

10 12 14 100 100 100

a) Representa gráficamente la variación de temperatura (ordenadas) frente al tiempo (abcisas). b) ¿Puedes establecer alguna ley sobre el comportamiento del agua frente a la temperatura? c) Halla la ecuación que indique la variación de la temperatura en función del tiempo, en el intervalo de 0 a 10 minutos. d) ¿Qué temperatura tendría el agua al los 7 minutos de comenzar a calentarla? 13. Apartamos del fuego el agua de la actividad anterior, ponemos el cronómetro a cero y volvemos a medir la temperatura cada dos minutos, obteniendo los siguientes valores: 35

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LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

Tiempo, t (min) Temperatura, T(ºC)

0 100

2 80

4 60

6 40

8 20

a) Representa la gráfica temperatura-tiempo. b) Halla la ordenada en el origen y la constante de proporcionalidad. c) Expresa la ecuación matemática por la que se rige este proceso.

6.2. Magnitudes inversamente proporcionales La relación entre estas magnitudes es de la forma y = k donde k es una constante, un x número. Ahora no permanece constante el cociente, sino el producto. Es decir x · y = k. Supongamos que tenemos los siguientes valores de dos magnitudes: X 1 2 3 4 5 Y 24 12 8 6 4,8 Si representamos estos valores obtenemos la siguiente gráfica que como vemos es una curva, concretamente, parte de una hipérbola.

y 30 25 20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

x

Fígura 15: Representación gráfica de magnitudes inversamente proporcionales

Actividades 14. Medimos los volúmenes que ocupa una determinada masa de gas al variar la presión, manteniendo la temperatura constante y obtenemos los siguientes valores: Presión, p (Pa) 1 Volumen, V (dm 3) 100

2 50

4 25

5 20

a) ¿Las magnitudes p y V son inversamente proporcionales? b) Representa la gráfica volumen --presión.

36

10 10

6.3. Magnitudes relacionadas por otras funciones matemáticas Hay muchas ocasiones en las que la relación matemática existente entre dos magnitudes no corresponde a ninguna de las que hemos visto, pero en esencia el modo de realizar la representación gráfica es el mismo dando lugar a curvas más o menos complejas. Algunas de las funciones que aparecen con más frecuencia son: Potenciales: Son de la forma y = k · x n. Donde n es una constante que puede ser positiva o negativa. Según el valor de n pueden adoptar formas muy diversas. Si nos fijamos, la última que hemos visto (magnitudes inversamente proporcionales) es de k este tipo, ya que y = se puede expresar como y = k·x -1. Otra relación de este tipo muy frecuente x es la cuadrática, de la forma y = k · x 2. En este caso la representación gráfica es una parábola. Exponenciales: Son de la forma y = k x. Siendo x la variable independiente. Se da muy frecuentemente en procesos naturales de crecimiento continuo como la de los seres vivos, la formación de cristales en disoluciones… o de decrecimiento, como la cantidad de materia radiactiva que queda en una muestra con el paso del tiempo. Logarítmicas: Son de la forma y = log x. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y su utilización, como se verá en cursos superiores, facilita el estudio y representación de las funciones exponenciales que con tanta frecuencia aparecen en el estudio de la física y de las ciencias en general.

ob`rboa^

T Una representación gráfica consiste en representar los valores de las variables (independiente y dependiente) en un sistema de ejes cartesianos. T La gráfica de magnitudes directamente proporcionales es una línea recta que puede pasar, o no, por el origen de coordenadas dependiendo de los valores iniciales de las variables. T La gráfica de magnitudes inversamente proporcionales es parte de una hipérbola. T Las gráficas de funciones exponenciales pueden adoptar formas muy diversas. En el caso de que el valor del exponente sea 2, la gráfica es una parábola y la relación entre las variables se denomina función cuadrática. T Las funciones exponencial y logarítmica son inversas entre sí y por ellas se rigen procesos de crecimiento o decrecimiento continuos, extraordinariamente importantes en procesos físicos, químicos, biológicos…

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