CINEMATICA La cinemática es la parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin importar las causas que lo originan. SISTEMA DE REFERENCIA Lo primero que hacemos para saber que un cuerpo se mueve es referirlo instintivamente a un objeto que consideramos en reposo. Es decir, elegimos un sistema de referencia que consideramos fijo. El SR lo elegimos arbitrariamente, y puede ser cualquier cosa. Si el cuerpo, a medida que pasa el tiempo, cambia de posición respecto al SR decimos que se está moviendo. Sin embargo, en el universo nada está en reposo y por tanto es imposible disponer de un sistema de referencia fijo, es por eso que todos los movimientos son relativos.

VECTOR DE POSICIÓN Una vez elegido el sistema de referencia (SR), lo siguiente que nos interesa es conocer la posición del móvil en cada momento respecto de él. Para ello utilizaremos el vector de r posición. El vector de posición ( r ) va a ser un vector que siempre está centrado en el origen del SR y cuyo extremo esté allí donde lo está el móvil. De esa manera conociendo las coordenadas del extremo, exactamente igual que cuando jugamos a los barquitos, podemos saber donde se encuentra muestro móvil. Evidentemente, si el extremo del vector de posición está siempre donde el móvil debe ser un r r r vector que varíe con el tiempo, por ejemplo r ( t ) = 3t i + 4 t j Dando valores al tiempo sabremos la posición del móvil en cada instante, así por ejemplo, el r r r móvil anterior cuando t=1seg estaría en r ( t ) = 3 i + 4 j , es decir en la posición (3,4). En el r r r momento t=2seg estará en r ( t ) = 6 i + 8 j , o lo que es igual, estará en el punto (6,8).

TRAYECTORIA Puesto que el vector de posición tiene siempre su extremo donde está el móvil, es evidente que la curva que describen los extremos de dicho vector coincidirá con la trayectoria del móvil, es decir:

•

La trayectoria es la curva que describen los extremos del vector de posición

VELOCIDAD Imagina un cuerpo que está moviéndose e inicialmente (to=0) se encuentra en la posición s0 y que al cabo de un tiempo t se encuentra en la posición s.

En primer lugar, observa que el coche se mueve porque, como ya hemos dicho, “cambia de posición, respecto al SR, a medida que pasa el tiempo.” La siguiente pregunta es: ¿cómo medimos la variación de la posición” Obviamente el cambio de posición lo obtenemos restando la posición final menos la inicial: s−so. A esa operación le llamamos “variación” o “incremento” y se representa como ∆s, aunque es aplicable a cualquier magnitud, como el tiempo, la altura, la energía, etc Coloquialmente decimos que un coche tiene mucha velocidad cuando en muy poco tiempo recorre mucho espacio, por tanto en nuestra idea cotidiana de velocidad combinados dos magnitudes: el cambio de posición y el tiempo que tarda. Así diremos: La velocidad es una magnitud vectorial que mide como varía la posición de un cuerpo en función del tiempo. Esa frase matemáticamente se expresa como:

v=

∆s ∆t

módulo de la velocidad

(Realmente, la traducción literal de la definición se corresponde con la derivada del vector r r de posición respecto al tiempo y se expresa como v = d r / dt ) Con la expresión anterior podemos calcular el módulo de la velocidad: v = ∆s / ∆t (en realidad de lo que se llama velocidad media, ya que si queremos conocer la velocidad instantánea debemos hacerlo con la derivada y lo dejaremos para otro curso). Al tratarse de un vector, nos falta indicar su dirección y sentido. De la definición de derivada, se deduce que el vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en cualquier momento.

ACELERACIÓN La aceleración es una magnitud vectorial que nos mide como cambia el vector velocidad en función del tiempo. Ahora bien, como la velocidad es un vector, y por tanto, puede variar en módulo o en dirección (o en ambas cosas a la vez) •

La aceleración tangencial, que tiene la dirección de la velocidad, nos mide las variaciones del MÓDULO del vector velocidad. Por tanto, si at=0 eso quiere decir que el módulo de la velocidad no varía, es decir que el movimiento es uniforme. at =

∆v ∆t

La aceleración tangencial siempre tiene la misma dirección que la velocidad, pero ¿qué pasa con su sentido? Puede tener el mismo o el contrario: Cuando la at tiene el mismo sentido de la velocidad el móvil cada vez tendrá mayor velocidad.

Cuando la at tiene sentido contrario a la velocidad el móvil irá disminuyendo su velocidad hasta pararse.

•

La aceleración normal, que es normal a la velocidad, nos mide las variaciones en DIRECCIÓN del vector velocidad. Por tanto si an=0 eso quiere decir que el vector velocidad no varia en dirección, es decir que se trata de un movimiento rectilíneo ( r = ∞ ). an =

v2 r

Hay que darse cuenta de que al ser el vector aceleración suma de dos vectores, uno tangente a la trayectoria y otro normal, en general la aceleración no tiene la dirección de la velocidad. Solamente cuando an=0

CASOS PARTICULARES DE MOVIMIENTOS 1. Movimiento rectilíneo y uniforme (MRU) Es aquel en el que la trayectoria es rectilínea y la velocidad constante, por tanto la aceleración normal debe ser cero (para que no cambie en dirección) y la aceleración tangencial nula (para que la velocidad no cambie en módulo) an = 0 → rectilíneo at = 0 → uniforme ⇒ v = cte Partiendo de lo anterior puede deducirse que las ecuaciones del MRU son: a=0 v = cte. s = so + v·t La representación gráfica de cada una de las magnitudes en función del tiempo es:

2. Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado (MRUA) Es aquel en el que la trayectoria es rectilínea y la velocidad varía uniformemente, por tanto la aceleración normal debe ser cero (para que no cambie en dirección) y la aceleración tangencial igual a una constante no nula (para que la velocidad varíe en módulo de manera constante, es decir uniformemente) an = 0 → rectilíneo at ≠ 0 → acelerado uniformemente Partiendo de lo anterior puede deducirse que las ecuaciones del MRU son: a = cte v = vo + a·t

1 s = so + vo t + a t 2 2

3. Movimiento circular y uniforme (MCU) Es el que describe un móvil con velocidad constante sobre una trayectoria circular. Eso quiere decir que la aceleración tangencial debe ser nula porque la velocidad no varía en módulo, pero la aceleración normal debe ser una constante distinta de cero, ya que describe una circunferencia y por tanto el vector velocidad varía constantemente en dirección: v2 an = → circular R at = 0 → uniforme Observa que en el MCU aunque la velocidad es constante en módulo, no es constante del todo, puesto que varía en dirección, de ahí que exista aceleración normal. Las ecuaciones del MCU son exactamente las mismas que las del rectilíneo, ya que son independientes de la forma de la trayectoria. La única diferencia de que en el primero hay aceleración normal. at = 0 v = cte. s = so + v·t El problema es que cuando un sólido gira, cada punto tiene una velocidad distinta dependiendo del radio de giro. Los puntos más alejados del eje de giro tienen mayor velocidad porque recorren mayor espacio en el mismo tiempo, como puedes ver en la figura de la izquierda. Sin embargo, todos los puntos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo, por eso nos interesa definir otras magnitudes más apropiadas al tipo de movimiento.

En la figura de la derecha tenemos un punto, que inicialmente (to=0) está en la posición so respecto del origen (o lo que es igual, su ángulo inicial es φo). Después de un tiempo t, el punto se encuentra en la posición s (o lo que es igual, en un ángulo φ respecto al origen). ¿Cuánto ha variado la posición en ese intervalo de tiempo? s−so. Pero también podíamos decir que su posición ha variado φ− φo. Y la segunda respuesta es incluso mejor, porque sería válida para todos los puntos, con independencia del radio con que giren.

Por tanto, de forma parecida a como se definió la velocidad lineal vamos a definir velocidad angular: La velocidad angular (ω) es una magnitud vectorial que mide como varía el ángulo girado en función del tiempo. Esa frase matemáticamente se expresa como:

ω=

∆ϕ ∆t

módulo de la velocidad angular

El vector velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento, tiene su origen en el centro de la circunferencia y el sentido viene dado por la regla del tornillo o de la mano derecha que gire como lo hace el cuerpo:

Relación de las magnitudes lineales y angulares Recordando que, por definición el ángulo es la relación entre el arco y el radio, tenemos que: s = ϕ·R Si dividimos la expresión anterior por el tiempo y teniendo en cuenta que s/t=v y que φ/t=ω nos queda que: v = ω·R

El movimiento circular uniforme es periódico Un movimiento periódico es aquel que se repite a intervalos regulares de tiempo, por ejemplo el movimiento de un péndulo, el de una varilla que vibra o el circular uniforme. Periodo (T) es el tiempo que tarda en repetirse el movimiento, es decir, el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Naturalmente se mide en segundos. Frecuencia (f) es el número de vueltas completas que da en 1 segundo. Es la inversa del periodo y se mide en seg−1 que recibe el nombre de Hercio (Hz) f = 1/T Teniendo en cuenta que ω=φ/t y que para girar un ángulo igual a una vuelta completa (2π radianes) el tiempo que tarda, por definición, es igual al periodo, podemos poner que: ω=

2π = 2π ⋅ f T

Cuestión La velocidad es una magnitud vectorial que mide como varía la posición de un cuerpo en función del tiempo. De acuerdo con ello, su módulo se expresa como v=∆s/∆t. Sin embargo, cuando se trata de un movimiento uniforme, en muchas ocasiones escribimos el módulo de la velocidad como v=s/t. Razona que ambas expresiones son equivalentes. Primero diremos lo que NO es. Muchos alumnos responden que como se trata de un cociente, simplificando ∆ nos queda que v=s/t. Eso sería un disparate y conlleva no entender el significado de incremento. La respuesta correcta pasa por entender que un incremento, o variación, es una diferencia entre dos valores: el final menos el inicial, por tanto si inicialmente (to) el móvil está en la posición so y al final, después de un tiempo t está en la posición s, podemos poner que: v=

∆s s − s 0 = ∆t t − t 0

Ahora bien, si como es muy habitual, en el momento inicial to=0 el móvil se encuentra en el origen del sistema de referencia ⇒ so=0 en este caso nos quedaría que: v=

s t

Cuestión Razona si un coche que toma una curva con velocidad constante de 100 Km/h tiene aceleración. La aceleración mide los cambios de la velocidad. Como la velocidad siempre es tangente a la trayectoria, al describir una curva, la velocidad continuamente debe cambiar de dirección ⇒ que debe haber una aceleración que mida esos cambios en dirección (se llama aceleración normal)

Ejemplo El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguiente gráfica.

a) Razonar el tipo de movimiento en cada tramo. b) Deducir las ecuaciones del movimiento el móvil para cada uno de los tramos. c) Calcular el espacio recorrido por el móvil en cada uno de los tramos dibujados. a) Podemos responder a la primera pregunta de dos maneras: (1) Por la simple observación de la gráfica, o bien, (2) Obteniendo las ecuaciones correspondientes a cada tramo y comparándolas con las que ya conocemos, que es lo que haremos en el apartado b). •

• •

En el primer tramo (t=0 a t=4s) podemos ver como a medida que aumenta el tiempo va aumentando la velocidad ⇒ la velocidad varía ⇒ hay aceleración que provoque esos cambios ⇒ el tramo corresponde a un movimiento acelerado. Además podemos ver como en el momento t=0, v=0, es decir parte del reposo, y que al final del tramo t=4, v=12m/s. En el segundo tramo (t=4s a t=8s) podemos ver que la velocidad siempre es la misma (v=12m/s) por tanto se trata de un movimiento uniforme. En el tercer tramo (t=8s a t=10s) vemos como inicialmente la velocidad es de 12m/s y que a medida que pasa el tiempo la velocidad disminuye hasta hacerse nula ⇒ la velocidad varía⇒ hay aceleración que provoque esos cambios ⇒ el tramo corresponde a un movimiento acelerado.

b) La ecuación general de una recta es y = mx + n, donde n representa la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y). La m representa la pendiente de la recta (tangente del ángulo que forma con el eje X ). En este caso las rectas tienen de ecuación v = mt + n La recta corta al eje de ordenadas en el punto 0 ⇒ n=0 La pendiente se obtiene a partir de un triángulo rectángulo cualquiera, por ejemplo el que está en naranja, dividiendo el cateto opuesto al ángulo entre el cateto contiguo: m= 12/4 =3 La ecuación de la recta es: v = 3·t Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general de la velocidad de un movimiento uniformemente acelerado: v = vo +a·t podemos concluir que en este tramo vo =0 y que a = 3 m/s2. Con esto, las ecuaciones durante el primer tramo son: a=3 v = 3·t s = 12 3 t 2

En el segundo tramo la recta es una paralela al eje, que lo corta en v = 12, que por tanto es su ecuación. Puesto que la velocidad durante este tramo no depende del tiempo, el movimiento es uniforme y sus ecuaciones son: a=0 v = 12 s = 12·t

En el tercer tramo la recta corta al eje de ordenadas en el punto 12, por tanto n=12. La pendiente de la recta es m = 12/(−2) = −6 La ecuación de la recta es: v = 12 – 6·t Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general de la velocidad de un movimiento uniformemente acelerado: v = vo +a·t podemos concluir que en este tramo vo =12m/s y que a = −6 m/s2. Con esto las ecuaciones durante el tercer tramo son: a = −6 v = 12 − 6·t s = 12 t − 12 6 t 2 c) El espacio recorrido en cada uno de los tramos puede obtenerse de las ecuaciones correspondientes o bien calculando el área que la gráfica v/t forma con eje de abscisas Tramo 1 s = 12 3 t 2 = 12 3 ⋅ 4 2 = 24

s t = 4 = 12 3⋅4 2 = 24 m base * altura 2 4 ⋅ 12 = = 24 2

s = Área triángulo = s = Área triángulo

Tramo 2 s = 12·t s t = 4 = 12 ⋅4 = 48 m s = Área cuadrado = base * altura s = Área cuadrado = 4 ⋅ 12 = 48 s =48 m

Tramo 3 s = 12 t − 12 6 t 2

s t = 2 = 12 ⋅2 − 12 6 ⋅2 2 = 12 m base * altura 2 2 ⋅ 12 = = 12 2

s = Área triángulo = s = Área triángulo

s = 24 m s = 12 m El espacio total recorrido es la suma: sTotal = 24 + 48 + 12 = 84 m

Ejemplo Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto, de forma que a los 2 segundos lleva una velocidad de 60m/seg. Hallar: a) La velocidad con la cual se disparó el objeto, b) A qué altura se encuentra a los 2 segundos. a) Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente:

en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial nos saldrá con valor positivo y la aceleración será –10 m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = v o + a. t s = vot +

v = vo – 10*t

1 a ⋅ t2 2

s = vo * t +

1 * (-10) * t 2 2

Ecuaciones del objeto

a) En la ecuación de la velocidad podemos darle valores al tiempo y obtener la velocidad en esos momentos, y al contrario, podemos darle valores a la velocidad y obtener el tiempo que tarda en alcanzar esa velocidad, por tanto, sabiendo que v=60m cuando t=2s: 60 = vo – 10*2

→

vo = 80 m/s

b) En la ecuación del espacio ocurre igual que con la velocidad. Si damos valores al tiempo obtenemos el valor del espacio en ese momento, así que: s = 80 * t +

1 * (-10) * t 2 2

→ s t = 2 = 80 * 2 +

1 * (-10) * 2 2 = 140 m 2

Ejemplo Un niño tiene un tren con una pista circular de 0,5m de radio que gira con velocidad constante dando 28,7 vueltas en un minuto. Calcular: a) La velocidad angular en unidades internacionales. b) La velocidad lineal del tren. c) El periodo d) La frecuencia e) Espacio que recorre en 10 segundos. f) El ángulo que habrá girado en 10 segundos. f) La aceleración tangencial y la aceleración normal del tren. a) La velocidad angular es uno de los datos. 28,7 vueltas/minuto. Algunas veces se expresa como r.p.m. (revoluciones por minuto). Teniendo en cuenta que 1 vuelta = 2π radianes, y que 1 minutos = 60 segundos: ω = 28,7

vueltas 2π rad = 28,7 = 3 rad / seg min . 60 seg

b) Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular: v = ω·R

⇒ v = 3·0,5 = 1,5 m/s

c) Teniendo en cuenta que la velocidad angular es ω=φ/t y que para girar un ángulo φ =2π rad tarda un tiempo igual al periodo, podemos poner que: ω=

ϕ 2π = t T

⇒

3=

2π T

⇒ T = 2π/3 = 2 seg.

También podríamos calcular el periodo a partir de la velocidad lineal, ya que v = s/t. Teniendo en cuenta la definición de periodo (tiempo en dar una vuelta completa) y que el espacio que recorre al dar una vuelta es la longitud de la circunferencia = 2πR v=

s 2πR = t T

⇒

1,5 =

d) La frecuencia es la inversa del periodo: f =

1 T

2π ⋅ 0,5 T

⇒ T = 2π·0,5/1,5 = 2 seg

⇒ f =

1 = 0,5 Hz 2

e) El espacio recorrido por un móvil que tiene una velocidad lineal constante de 1,5 m/s, independientemente de que la trayectoria sea lineal o circular viene dado por: s = so + v·t

⇒ s = 1,5·10 = 15 m

f) El ángulo que ha girado en 10 segundos podemos calcularlo de dos maneras: (1) utilizando la ecuación que nos da el ángulo en función de la velocidad angular (similar a la del espacio):

φ = φo + ω·t

⇒ φ = 3·10 = 30 rad

Podemos preguntarnos qué significado tiene que haya girado 30 radianes. Teniendo en cuenta que 1 vuelta es igual a 2π rad ⇒ 30 rad = 4,8 vueltas.

g) Puesto que se trata de un movimiento uniforme ⇒ el módulo de la velocidad no varía ⇒ at = 0 Puesto que es circular ⇒ la velocidad cambia continuamente de dirección porque debe ser tangente a la circunferencia en cada punto ⇒ existe aceleración normal para provocar esos cambios: v2 1,5 2 an = ⇒ an = = 4,5 m / s 2 R 0,5

La velocidad angular, ω, es un vector perpendicular al plano del movimiento del movimiento. La velocidad lineal es un vector tangente a la trayectoria La aceleración normal es un vector normal (perpendicular) a la tangente y hacia el centro.