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LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA LLUVIA ANUAL CUANDO OCURRE UN CAMBIO CLIMÁTICO Omar Abel Lucero 1 Resumen La lluvia anual es una variable aleatoria frecuentemente utilizada para caracterizar climas regionales. La función de distribución de la lluvia anual se utiliza para calcular el valor crítico para un período de retorno de interés. Típicamente, se ajusta una función de distribución de probabilidad a los valores de lluvia anual medidos durante no menos de 20 años. Este procedimiento implica la suposición de que la variable aleatoria lluvia anual tiene una distribución invariante. Sin embargo, en muchas regiones del planeta están ocurriendo cambios climáticos. Ese también es el caso sobre la mayor parte del territorio argentino. A consecuencia de ese cambio climático detectable en la lluvia anual, los valores críticos calculados bajo la suposición de clima estacionario pueden tener una importancia discrepancia con los valores verdaderos que se obtienen al incluir los efectos del cambio climático. En este trabajo describimos un método para hallar la función de distribución de la lluvia anual, en presencia de un cambio climático. Analizamos también la magnitud de la discrepancia entre los valores de lluvia crítica (para determinados valores de probabilidad acumulada) calculados mediante la suposición de clima estacionario, y mediante la inclusión del cambio climático en la lluvia anual. Las series de datos utilizadas corresponden a la zona de Jesús María, en el norte de la provincia de Córdoba (Argentina). INTRODUCCIÓN

La mayor alteración ambiental en gran parte del territorio argentino es la ocurrencia de un cambio climático. Ese cambio climático también se manifiesta en la Provincia de Córdoba donde hay numerosos embalses, y una gran laguna (La laguna de Mar Chiquita). En esta provincia los totales anuales de lluvia aumentaron desde por lo menos 1961. Hacia el noroeste de la provincia, en la zona de Jesús María, la tasa anual de aumento de la media poblacional de la lluvia anual es de 6,4 mm/año, para el período 1941-1989. Ese aumento indica de cambios en la distribución de probabilidad de la lluvia anual. La probabilidad acumulada F(x) para un valor x específico de la variable aleatoria “promedio areal de lluvia anual”, y el tiempo de retorno T r , están relacionadas por: 1 . Tr 1 F( x )

= −

Los valores críticos de lluvia anual, x, para tiempos de retorno específicos, son de utilidad para algunas de las especialidades de los recursos hídricos. Sin embargo, esos valores críticos de lluvia anual, para los tiempos de retorno de interés, se calculan tradicionalmente bajo la suposición de que el clima es estacionario. La suposición de que el clima es estacionario (es decir, que la distribución de probabilidad de la lluvia anual no cambia) se introduce al efectuar el ajuste de la distribución de probabilidad utilizando la serie de lluvias anuales. En este trabajo analizamos los efectos del cambio climático, sobre la distribución de probabilidad de la lluvia anual. Además, analizamos los cambios en los valores de los percentiles, cuando el cálculo de los mismo se efectúa teniendo en cuenta la ocurrencia de un cambio climático sobre las lluvias anuales. MATERIALES Y MÉTODOS

Utilizamos las series de totales anuales de lluvia correspondientes a los puestos pluviométricos de Jesús María, La Porteña, La Pampa, y Alto Fresco, en la provincia de Córdoba. Los totales anuales de lluvia fueron calculados a partir de las series de lluvia diaria.

1I NA -Ce ntr o d e la Regió n Semiá r id a , y Unive r sid a d Na c io na l d e Có r d o b a . Có r d o b a , Ar gentina. E-Mail: o lucero @co m.unco r .ed u

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PROMEDIO AREAL DE LA LLUVIA ANUAL (MM)

Los análisis se basan en la serie de promedio areal de lluvia anual. Esa serie fue calculada promediando los valores de lluvia anual de los puestos mencionados que tengan ese dato en el año , , p , correspondiente. 1600 La serie de promedio areal de lluvia anual está graficada en la Figura 1. Los valores están calculados sobre el año 1500 hidrológico (Agosto a Julio del siguiente año). 1400 1) Primero ajustamos una distribución de probabilidad 1300 bajo la suposición de que no existe cambio climático en el 1200 promedio areal de lluvia anual. 1100 2) Se procedió a determinar las características del cambio climático. Para ello, se efectuó un análisis de regresión lineal 1000 de la serie de promedio areal de lluvia anual, sobre los años. 900 La condición de normalidad de los residuos de la regresión se 800 cumple, al 5% de nivel de significación. Los análisis de re700 gresión lineal efectuados en esta investigación se basan en técnicas bien conocidas (ver, por ejemplo, [1] ó [2]). 600 Resultados adicionales de la investigación se encuentran en 500 [3]. 400 3) Luego se identificó la distribución de probabilidad del 1940 1950 1960 1970 1980 1990 promedio areal de lluvia anual teniendo en cuenta la AÑO HIDROLÓGICO ocurrencia del cambio climático. Figura 1. Promedio areal de la lluvia 4) Finalmente, proponemos un criterio práctico, de fácil anual (mm) en los pluviómetros en La implementación, para calcular los valores críticos de la lluvia Porteña, Alto Fresco, La Pampa, y anual para tiempos de retorno de interés. La metodología es Jesús María. Están indicados la recta útil para calcular los valores críticos de la lluvia sobre otras de regresión, y los límites de confianza del 95% para la media (lineas de duraciones (por ejemplo, la lluvia estacional o mensual). RESULTADOS

1,0

trazo). Período 1941 a 1989 (años hidrológicos).

Probailidad Normal Acumulada

0,9 Ajuste suponiendo clima estacionario 0,8 Bajó la suposición de clima estacionario, se efectuó el ajuste de una distribución Normal a los datos de 0,7 promedio areal de lluvia anual de los años 1941-1989. 0,6 La hipótesis nula “La serie de promedio areal de lluvia 0,5 anual proviene de una distribución Normal” no pudo 0,4 ser rechazada ni siquiera al 10% de nivel de significación (Por consiguiente, no sería rechazada a 0,3 un nivel de significación aún más pequeño). 0,2 La Figura 2 muestra los valores de probabilidad 0,1 Normal de los promedios areal de lluvia. Estos son 0,0 valores de probabilidad suponiendo que el clima estuvo estacionario dentro del período de ajuste 1940 1950 1960 1970 1980 1990 (1941-1989, años hidrológicos). Obsérvese que hacia Año hidrológico el final del período, ocurrieron numerosos años con Figura 2. Probabilidad Normal acumulada alto valor de probabilidad acumulada para el promedio de los valores observados de promedio areal. Por el contrario, hacia el principio del período areal de lluvia anual, bajo la suposición de abundan los años con baja probabilidad de ocurrencia clima estacionario. de los valores de promedio areal. Esta es la configuración a esperar cuando existe una tendencia creciente en la media poblacional de los promedios areal de lluvia anual.

Cuantificación del cambio climático Para cuantificar al cambio climático se efectuó una regresión lineal de los valores de promedio areal de lluvia anual, sobre los correspondientes años hidrológicos. Los resultados están graficados en la Figura 1. En una prueba bilateral la hipótesis nula, H o : La pendiente β 1 es igual a cero, fue rechazada; el nivel - p correspondiente para el valor observado de la pendiente fue 0,0038.

7ª. conferencia interenacional sobre conservación y gestión de l a g o s – L A C A R 9 7 . S a n Ma r t í n d e l o s A n d e s , O c t u b r e d e 1 9 9 7 1200

Promedio areal de lluvia anual

1100 1000 p = 0,70

900

p = 0,50 800 p = 0,30 700 600 500 400 1940

1950

1960

1970

1980

1990

Año hidrológico

Figura 3. Valores de los percentiles de 0,30; 0,50; y 0,70 de probabilidad. Los valores están en mm, y corresponden al promedio areal de lluvia anual. Con los efectos del cambio climático incluidos.

La tasa de variación de la media poblacional es de 6,4 mm/año. El intervalo de confianza del 95% para el valor verdadero β 1 de la pendiente es (2,28; 10,51). Este es el intervalo de confianza del 95% para la tendencia del promedio areal de lluvia anual durante el período 1941 a 1989. La probabilidad acumulada de los residuos de la regresión lineal están graficados en la Figura 4. Se observa que los valores de probabilidad acumulada oscilan alrededor de 0,5. Desapareció la presencia de valores con altas probabilidades acumuladas en los últimos años. Esto refuerza la creencia en la realidad del cambio climático. La varianza de los residuos no varió entre el período 1941-1964, y el período 1965-1989, ambos con 24 años de datos. Esta conclusión es válida al 5% de nivel de significación.

La distribucion de probabilidad con cambio climático incluído El modelo de regresión lineal anteriormente identificado, nos permite construir el modelo teórico de la distribución de probabilidad para el promedio areal de lluvia anual. Del modelo de regresión lineal, se tiene directamente Y = β0 + β1 X + ε ( 0, σ 2 ) ; donde Y es el promedio areal de lluvia anual, X el año hidrológico, y ε tiene distribución Normal; σ 2 es la varianza de los residuos de la regresión, que es constante. Por consiguiente, la variable aleatoria Y, para un año determinado x, tiene distribución Normal ( β o + β 1 x, σ2 ). Esta es la distribución de probabilidad del promedio areal de lluvia anual, bajo condiciones de cambio climático.

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1,0

Prob. Acum. ( Residuo observado)

Análisis de los percentiles La Figura 3 muestra los valores que toman los percentiles del 30%, 50%, y 70% de probabilidad, desde 1941 hasta 1989. El percentil del 30% hacia 1941 se encontraba cercano a los 600 mm de lluvia anual. Hacia 1989 ese límite estaba en los 850 mm de lluvia anual. La mediana poblacional del promedio areal de lluvia anual, se encontraba en casi 700 mm en 1941. Hacia 1949 su valor alcanzaba los 1000 mm.

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

La probabilidad de colas 0,1 Queremos ahora describir el cambio de la 0,0 probabilidad que tiene un valor específico de 1940 1950 1960 1970 1980 1990 promedio areal de lluvia anual, durante 19411989. La Figura 5 muestra esa probabilidad, para Año hidrológico tres valores de promedio areal de lluvia anual, en función del año. Esos valores son 600 mm, 700 Figura 4. El gráfico muestra los valores de mm, y 800 mm. El cambio es muy marcado. función de distribución acumulada Normal, Mientras que en 1941 700 mm tenían una proba- asociados a cada residuo observado. Esa bilidad ligeramente mayor que 0,5 de no ser probabilidad está representada en función del superado, hacia 1989 esa probabilidad había año hidrológico correspondiente. Los valores de probabilidad fueron calculados teniendo en descendido a casi 0,05. Todos esos resultados cuenta la existencia del cambio climático. indican que el cambio climático en las lluvias anuales en esa zona de Córdoba, es marcado. Es importante la diferencia entre los percentiles de promedio areal de lluvia anual, calculados para cada año y teniendo en cuenta la tendencia de la media poblacional; y los percentiles calculados utilizando toda la serie (sin tener en cuenta el cambio climático; y por consiguiente suponiendo erróneamente que la tendencia de la media poblacional es cero). En ese último caso los valores de los percentiles son F(600 mm) = 0,130; F(700 mm) = 0,251; y F(800 mm) = 0,415. Es evidente que en presencia de un cambio climático, los cálculos de probabilidad de ocurrencia de lluvia anual dentro de un cierto intervalo de valores de total anual de lluvia, para que sean correctos deben tener en cuenta la tendencia de la media poblacional; y por consiguiente, deben referirse a un año determinado.

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Probabilidad

En presencia de un cambio climático, la distribución de probabilidad del promedio areal de lluvia anual, debe incluir la variación de los parámetros de la distribución. Por consiguiente, es inválido el ajustar una distribución de probabilidad a un período de datos. Este procedimiento implica aceptar que el clima es invariable. 0 ,8 En este trabajo obtuvimos la distribución de probabilidad del promedio areal de lluvia anual (para los 0 ,7 alrededores de Jesús María, Córdoba), utilizando un 0 ,6 modelo de regresión lineal. Este modelo de regresión 8 00 m m lineal permitió identificar a las características del 0 ,5 cambio climático. El modelo teórico que se obtuvo finalmente para el S /cc 80 0 m m 0 ,4 promedio areal de lluvia anual es: 700 m m

0 ,3 Y=β0 +β1X+ε (0,σ 2 ) ; S /cc 70 0 m m donde Y es el promedio areal de lluvia anual, X el año 0 ,2 6 00 m m hidrológico, y ε tiene distribución Norma; σ 2 es la S /cc 60 0 m m varianza de los residuos de la regresión, que es 0 ,1 constante. 0 ,0 Una vez determinada la función de distribución de 1940 1950 1960 1970 1980 1990 probabilidad, que incluya al cambio climático, se A ñ o h id ro ló g ic o calculan los valores críticos de lluvia anual, para una determinada probabilidad acumulada (o equivalen- Figura 5. Curvas descendentes de puntos: temente, para un determinado tiempo de retorno). Probabilidad acumulada de ocurrencia, Debido a la presencia del cambio climático, los valores durante cada año indicado, de un valor menor que los valores de promedio areal críticos se cumplen solamente para un año específico. de lluvia anual indicados en el cuadro Esto implica que si se desean calcular probabilidades (600 mm, 700 mm, y 800 mm). Están binomiales, de que un determinado suceso ocurra k veces incluidos los efectos del cambio climático. en n años consecutivos, se debe indicar cuáles son esos Lineas horizontales: Probabilidad de años, puesto que la probabilidad p de ocurrencia del ocurrencia de un valor menor que los suceso ya no es constante (por la existencia del cambio valores indicados de promedio areal de climático). Esto complica mucho al cálculo, y vuelve lluvia anual, suponiendo que no hay cambio climático. S/cc: Sin cambio conveniente el uso de computadoras. Por ejemplo, si se climático desea saber cuál es la probabilidad de que en 10 años ocurran 4 años de sequía meteorológica (con valores menores que un cierto valor crítico Y c de lluvia anual), es necesario conocer cuáles son esos años. La dificultad intrínseca al calcular los valores críticos de lluvia anual para un determinado tiempo de retorno, es el desconocimiento de hasta cuándo continuará la tendencia observada. Un criterio práctico para solucionar esta dificultad, es suponer que en el futuro la distribución de probabilidad será igual a la que se manifestó en el último año de la serie de datos, según la recta de regresión lineal. En este caso, el cálculo de la probabilidad binomial de que ocurran k años con lluvia menor que un cierto valor crítico Y c , dentro de un período de n años se simplifica, porque las probabilidades binomiales p y q son constantes. Este criterio implica suponer que a partir del siguiente año futuro cesa el cambio climático.

RECONOCIMIENTOS

Esta investigación se financió parcialmente mediante un subsidio del CONICOR, de la provincia de Córdoba. REFERENCIAS

[1] Weisberg, S.; 1985: Applied Linear Regression. Wiley, 325 pags. [2] Bickel, P. J., y Doksum, K. A.; 1977: Mathematical Statistics. Prentice Hall. [3] Lucero, O., 1996: Evolución del total anual de lluvia, y de los máximos anuales de lluvia diaria, en el norte de la Pcia. de Córdoba. Informe final de proyecto de investigación, al CONICOR.