ACERCA DE LA PROBABILIDAD, LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL TEOREMA DE BAYES "La probabilidad es la propia guía de la vida". obispo Joseph Butler

grado de creencia garantizada por la evidencia (“probabilidad subjetiva”) dispositivos aleatorios donde interviene el azar (“probabilidad objetiva”) “probabilidad de ocurrencia de un evento” grado de no certeza 0 o 1: “0” “1”

0 ≤ P(evento) ≤ 1

significa que no va a ocurrir indica la certeza de que ocurrirá

Probabilidad es siempre entre el rango de 0 a 1.

PROBABILIDAD N (número total de posibilidades) nA (número parcial del evento A) P(A) = (número parcial del evento A) / (número total de posibilidades)

P(A) = nA / N

“evento complementario” probabilidad de No A P(No A) = 1 - P(A)

N nA (nNo A)

P(No A) = 1 - P(A) = nNo A / N

Definición "a priori" de la probabilidad “Tirada de un dado” P(A) = nA / N P(par) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0.5 El “evento complementario”, del la probabilidad del número impar, es: P(No A) = 1 - P(A) P(impar) = 1 – 0.5 = 0.5 En otras situaciones, sin embargo, no somos capaces de enumerar todas las posibilidades en las cuales puede ocurrir un evento o aun conociendo todas las posibilidades no podemos adelantar si su distribución es solamente aleatoria.

definición de frecuencia relativa de la probabilidad Que se define como el número de veces que el evento de interés ha ocurrido dividido por el número total de ensayos (o oportunidad para que el evento ocurra).

Definición "a posteriori" de la probabilidad

1

Combinando Probabilidades REGLA DE LA ADICIÓN “en los eventos mutuamente exclusivos" P(A o B) = P(A) + P(B) A

la probabilidad de obtener ya sea un 2 o un 4 en una tirada de un dado es: P (2 o 4) = P(2) + P(4) = 1/6 + 1/6 = 2/6.

B

N

P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C) Respuesta hipoglucemiante en 100 pacientes diabéticos P (no bajó la glucemia ) = 65/100 = 0,65 (65%) P (bajó de 1 a 30 mg%) = 20/100 = 0,20 (20%) P (bajo >30 mg%) = 15/100 = 0,15 (15%) Total = 100/100 = 1 (100%)

REGLA DE LA ADICIÓN “modificada” en los eventos “no” mutuamente exclusivos P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB) N A

AB

cuando los eventos son “mutuamente exclusivos”, el área sombreada (AB) es igual a cero, y la fórmula es la que se utiliza con el diagrama de Venn de la figura anterior: [P(A o B) = P(A) + P(B)]

B

Efectos colaterales con un fármaco antihipertensivo P (A) (hipotensión) = 15/100 = 0,15 (15%) P (B) (tos) = 20/100 = 0,20 (20%) P (A) (hipotensión) y (B) (tos) = 5/100 = 0,05 (5%) P (A o B) = P (A) + P(B) – P (AB) P (A o B) = 0,15 + 0,20 – 0,05 = 0,30 (30%)

Combinando Probabilidades REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN “en los eventos independientes" P(A y B) = P(A) x P(B) impar

div.3

Tirada de dado

la probabilidad de obtener ya sea un número impar o divisible por 3 en una tirada de dado es: P (impar y div.3) = P(impar) x P(div.3) = 1/2 x 1/3 = 1/6 (solo el “3”)

P(A y B y C) = P(A) x P(B) x P(C) Probabilidad de muerte de todos los IAM (UC) en el 1° día P (1° paciente [p]) = 10/100 = 0,10 (10%) P (1°p y 2°p) = P (1°p) x (2°p)= 0,10 x 0,10 = 0,01 (1%) P (1°p y 2°p y 3°p) = P (1°p) x (2°p) x (3°p) = = 0,10 x 0,10 x 0,10 = 0,001 (1‰)

2

Combinando Probabilidades para rechazar la Hipótesis nula (H0) Imaginemos que en 10 pacientes con “otoesclerosis” en Ambos oídos, con igual deterioro audiométrico, se realiza una técnica novedosa (A) en uno de los dos oídos y la técnica convencional en el otro; utilizando un método aleatorio ciego. ¿Como rechaza el investigador la H0 utilizando la inferencia Probabilística, si la técnica A es superior a la B en las pruebas? Pruebas sucesivas (0.5)n p Paso 1: (0.5)1 0.5 Paso 2:

(0.5)2

0.25

Paso 3:

(0.5)3

0.125

Paso 4:

(0.5)4

0.0625

Paso 5:

(0.5)5

0.03125

Paso 6:

(0.5)6

0.015625

Paso 7:

(0.5)7

0.0078125

Paso 8:

(0.5)8

0.003906255

Paso 9:

(0.5)9

0.0019531275

Paso 10:

(0.5)10

0.00097656375

PROBABILIDAD CONDICIONAL Si los eventos no son independientes la probabilidad de A (“dolor abdominal”), “dado” que B ocurrió (“apendicitis”) es: P(A B) “la probabilidad condicional” de A “dado” B.

P(dolor abdominal apendicitis) La Probabilididad P(A) = n A N 150 N 75 AB A B La Probabilididad dolor 73 Condicional abdom apen P(A B ) = n AB (200) nB En 200 pacientes (N) que ingresaron a una guardia, 150 pac. tenían “dolor abdominal” (A). Se diagnosticó “apendicitis” en 75 (B), de ellos 73 presentaban “dolor abdominal” (AB). B)= n AB= 73= 0,97(97%) P(A)= n A= 150= 0,75(75%) P(A N 200 nB 75

PROBABILIDAD Condicional y LOGICA Booleana P(A B) = n AB/N = 0,97 n B/N P(A B) = P(A y B) P(B)

nAB/N = P (A y B) nB/N = P (B)

P(A y B) = P(A B) x P(B) Complementariamente P(A y B) = P(B A) x P(A)

P(A B) x P(B) = P(B A) x P(A)

P(dolor abd. apen.) x P(apen.) = P(apen. dolor abd.) x P(dolor abd.)

Probabilidad “reversa” del teorema de Bayes P(B A) = P(A B) x P(B) P(A) P(apen. dolor abd.) = P(dolor abd. apen.) x P(apen.) P(dolor abd.)

3

SEGUIMOS CON EL TEOREMA DE BAYES P(A) = P(A B) x P(B) + P(A No B) x P(No B) P(dolor abd.)=P(dol ab.  apen.) x P(apen.) + P(dol ab.  No apen. x P(No apen.)

P(B A) = _ _____ P(A B) x P(B)__________ P(A B) x P(B) + P(A No B) x P(No B) P(apen. dolor abd.) = ______________ P(dolor abd. apen.) x P(apen.)_______________ P(dolor abd. apen.) x P(apen.) + P(dolor abd. No apen. x P(No apen.)

“Northwick Park Heart Study” sobre “enfermedad coronaria” (EC), se obtuvieron las siguientes muestras de “fumadores” (F) y “no fumadores” (no F).

P(F EC) = 0.53 P(F no EC) = 0.38

P(EC) = 0.08 P(no EC) = 0.92

¿Cuál es la probabilidad de EC (enfermedad coronaria) en un F (fumador); o sea P(EC/F) (P(enf. Cor. fumador)?.

SEGUIMOS CON EL TEOREMA DE BAYES La respuesta se obtiene utilizando la “probabilidad condicional revertida” del teorema de Bayes. P(EC/F) = ___________P(F EC) x P(EC)__________ P(F EC) x P(EC) + P(F no EC) x P(no EC) P(EC/F) = ___ ____(0.53) x (0.08)_______ = 0.042 = 0.11 (0.53) x (0.08) + (0.38) x (0.92) 0.392

“Probabilidad Pre-prueba” “Probabilidad Post-prueba”

P(EC) = 0.08 (8%) P(EC/F) = 0.11 (11%)

¿Cuál es la probabilidad de EC (enfermedad coronaria) en un no F (no fumador); o sea P(EC/no F) (P(enf. Cor. no fumador)? P(no F EC) P(EC) no EC) P(no F P(no EC)

= 1 - P(F EC) = 1 - 0.53 = 0.47 = 0.08 = 1 - P(F no EC) = 1 - 0.38 = 0.62 = 0.92

SEGUIMOS CON EL TEOREMA DE BAYES P(EC/noF) = ____________P(no F EC) x P(EC)___________ P(no F EC) x P(EC) + P(no F no EC) x P(no EC) P(EC/no F) = ___ ____(0.47) x (0.08)_______ = 0.038 = 0.06 (0.47) x (0.08) + (0.62) x (0.92) 0.608

“Probabilidad Pre-prueba” “Probabilidad Post-prueba”

P(EC) = 0.08 (8%) P(EC/no F) = 0.06 (6%)

TEOREMA DE BAYES y los índices de SENSIBILIDAD, ESPECIFICIDAD Y VALORES PREDICTIVOS P(EC/F) = P(F EC) x _____________ P(EC)_______________ P(F EC) x P(EC) + P(F no EC) x P(no EC) P(EC/F) = P(F EC) x P(EC) P(F)

P(EC F) = P(EC) x P(F EC) P(F)

P(EC/F) = 0.08 x 0.53 = 0.11 0.392

4

TEOREMA DE BAYES Y PRUEBAS DIAGNOSTICAS P(FEC) = SENSIBILIDAD (S) P(Fno EC) = 1 – ESPECIFICIDAD (1-E) __P(F EC)__ P(F no EC)

= __SENSIBILIDAD__ 1 – ESPECIFICIDAD

A esta relación se la llama Likelihood Ratio. Likelihood Ratio = __SENSIBILIDAD__ 1 – ESPECIFICIDAD ¿Por qué se utiliza “0dds” en el teorema de Bayes? Odds = __Probabilidad__ = __SENSIBILIDAD__ 1 – Probabilidad 1 – ESPECIFICIDAD

TEOREMA DE BAYES Y PRUEBAS DIAGNOSTICAS Por lo tanto la “probabilidad pre-prueba” pasa a: Odds pre-prueba = __Probabilidad__ = __P(EC)__ 1 – Probabilidad 1 - P(EC) Y la “probabilidad pos-prueba” pasa a: Odds pos-prueba = __Probabilidad__ = _P(EC F)_ 1 – Probabilidad 1 - P(EC F)

Quedando por fin el “odds” del teorema de Bayes Odds pos-prueba = Odds pre-prueba x Likelihood Ratio Odds pos-prueba = Odds pre-prueba x __SENSIBILIDAD__ 1 – ESPECIFICIDAD

TEOREMA DE BAYES Y PRUEBAS DIAGNOSTICAS Algunos estadistógrafos trasformaron el “Likelihood Ratio” a su “logaritmo natural” (ln) y al resultado lo llamaron “weight” (peso); ya que sumado al ln del “odds pre-prueba” da como resultado final el ln “odds pos-prueba”. De manera que: Weight (Peso) = ln Likelihood Ratio = ln __SENSIBILIDAD__ 1 – ESPECIFICIDAD

Por lo tanto, la fórmula “odds” del Teorema de Bayes, elevados sus términos al logaritmo natural (ln) y convertido el “Likelihood Ratio” en “Weight” (Peso), queda así: ln Odds pos-prba = ln Odds pre-prba + ln __SENSIBILIDAD__ 1 – ESPECIFICIDAD

5

%

0

+5.0

+5.3

+5.7

+6.0

+6.2

+6.6

(150)

(200)

(300)

(400)

(500)

(750)

1

2

3

4

5

+6.9 (1000)

6

7

8

9

+2.2

+2.3

+2.4

+2.6

+2.8

+2.9

+3.2

+3.5

+3.9

+4.6

(9.0)

(10.1)

(11.5)

(13.3)

(15.7)

(19.0)

(24.0)

(32.3)

(49.0)

(99.0)

+1.4

+1.5

+1.5

+1.6

+1.7

+1.7

+1.8

+1.9

+2.0

+2.1

90 80 70 60 50

(4.0)

(4.3)

(4.6)

(4.9)

(5.2)

(5.7)

(6.1)

(6.7)

(7.3)

(8.1)

+0.8

+0.9

+0.9

+1.0

+1.0

+1.1

+1.2

+1.2

+1.3

+1.3

(2.3)

(2.4)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(3.0)

(3.2)

(3.3)

(3.5)

(3.8)

+0.4

+0.4

+0.5

+0.5

+0.6

+0.6

+0.7

+0.7

+0.8

+0.8

(1.5)

(1.6)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.9)

(2.0)

(2.1)

(2.2)

0

0

+0.1

+0.1

+0.2

+0.2

+0.2

+0.3

+0.3

+0.4

(1.0)

40 30 20 10 0

(1.0)

(1.1)

(1.1)

(1.2)

(1,2)

(1.3)

(1.3)

(1.4)

(1.4)

-0.4

-0.4

-0.3

-0.3

-0.2

-0.2

-0.2

-0.1

-0.1

0

(0.67)

(0.69)

(0.72)

(0.75)

(0.79)

(0.82)

(0.85)

(0.89)

(0.92)

(0.96)

-0.8

-0.8

-0.8

-0.7

-0.7

-0.6

-0.6

-0.5

-0.5

-0.4

(0.43)

(0.45)

(0.47)

(0.49)

(0.52)

(0.54)

(0.56)

(0.59)

(0.61)

(0.64)

-1.4

-1.3

-1.3

-1.2

-1.2

-1.1

-1.1

-1.0

-1.0

-0.9

(0.25)

(0.27)

(0.28)

(0.30)

(0.32)

(0.33)

(0.35)

(0.37)

(0.39)

(0.41)

-2.2

-2.1

-2.0

-1.9

-1.8

-1.7

-1.7

-1.6

-1.5

-1.5

(0.11)

(0.12)

(0.14)

(0.15)

(0.16)

(0.18)

(0.19)

(0.20)

(0.22)

(0.23)

-4.6

-3.9

-3.5

-3.2

-2.9

-2.8

-2.6

-2.4

-2.3

(0.01)

(0.02)

(0.03)

(0.04)

(0.05)

(0.06)

(0.08)

(0.09)

(0.10)

EVALUACIÓN DE LA ENFERMEDAD CORONARIA

PRUEBA PREVALENCIA

(LIKELIHOOD RATIO)

WEIGHT

(0.04)

-3.2

(0.28) (0.82) (1.50)

-1.3 -0.2 +0.4

60 – 69 MUJERES (EDAD)

(2.00)

+0.7

30 – 39

(0.04)

-3.1

40 – 49 50 – 59 60 – 69 DOLOR TORÁCICO

(0.05) (0.50) (1.20)

-1.9 -0.7 +0.2

Ninguno No Anginoso

(1.0) (4.5)

0 +1.5

Angina Atípica

(24)

+3.2

Angina Típica

(200)

+5.2

VARONES (EDAD) 30 – 39 40 – 49 50 -– 59

PRUEBA ERGOMÉTRICA (ECG) Normal

(0.4)

-0.9

Anormal

(4.6)

+1.5

VENTRIC. ISOTOP. (anormal. reg.) Normal

(0.4)

-0.9

Anormal

(3.5)

+1.3

PRUEBA DE TALIO Normal Anormal

(0.19) (5.70)

-1.7 +1.7

6