Capítulo 3

PROBABILIDAD

3.1.1 – 3.1.3

Si bien la definición de probabilidad es simple, calcular las probabilidades de un evento determinado puede ser complicado. Al calcular las probabilidades de arrojar una moneda y obtener cruz, podemos ver fácilmente que hay solo dos posibilidades y un resultado exitoso. Pero ¿qué pasa si ni la cantidad total de resultados ni la cantidad total de resultados exitosos posibles es obvia? En ese caso, necesitamos una forma precisa de contar la cantidad de eventos. En estas lecciones, estudiamos tres modelos que nos permiten observar todos los resultados posibles (llamados espacio muestral): crear una lista sistemática, crear un diagrama de árbol, y crear un modelo de área. Cada modelo tiene sus ventajas y sus desventajas, y es más eficiente en distintas situaciones. Para más información sobre el cálculo de probabilidades y el uso de modelos de probabilidad, consulta los Apuntes de matemáticas de las Lecciones 2.1.4 y 3.1.4.

Ejemplo 1 La Sra. Dobby debe seguir algunas reglas al preparar el menú del almuerzo de los alumnos para la semana. Debe incluir un plato de carne y uno de vegetales en cada almuerzo. Puede elegir entre cuatro tipos de carne: pollo, pescado, carne de res, y tofu. La lista de vegetales posibles es un poco más larga: guisantes, zanahorias, brócoli, maíz, papas y remolachas. Tomando en cuenta solo la carne y los vegetales, si la Sra. Dobby eligiera aleatoriamente un tipo de proteína y un vegetal, ¿cuáles son las probabilidades de que el primer almuerzo que prepare incluya pescado o un vegetal verde? Para determinar las probabilidades de un almuerzo con pescado o un vegetal verde, debemos saber cuántos son los menús de almuerzo posibles. Luego debemos contar cuántos de esos menús incluyen pescado o un vegetal verde. Para contar todos los menús posibles, debemos crear una lista sistemática que vincule cada tipo de carne con un vegetal de forma organizada. Pollo Pollo y guisantes Pollo y zanahorias Pollo y brócoli Pollo y maíz Pollo y papas Pollo y remolachas

Pescado Pescado y guisantes Pescado y zanahorias Pescado y brócoli Pescado y maíz Pescado y papas Pescado y remolachas

Res Res y guisantes Res y zanahorias Res y brócoli Res y maíz Res y papas Res y remolachas

Tofu Tofu y guisantes Tofu y zanahorias Tofu y brócoli Tofu y maíz Tofu y papas Tofu y remolachas

Esta lista nos permite contar la cantidad total de menús posibles: 24. Luego debemos contar la cantidad de menús que incluyen pescado o un vegetal verde (guisantes o brócoli). Hay 12 menús que cumplen esta condición. Por lo tanto, las probabilidades de que el primer menú de almuerzo 1 tenga pescado o un vegetal verde son de 12 24 = 2 . 34

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Ejemplo 2 ¿Cuáles son las probabilidades de arrojar una moneda estándar 4 veces y obtener cruz exactamente dos veces? 1° intento

Ya que en cada intento tenemos solo dos resultados posibles, podemos organizar esta información con un diagrama de árbol. El primer intento tiene solamente dos posibilidades: cara (C) o cruz (Z). Cada rama debe ser nuevamente dividida en C o Z. Hacemos esto por cada vez que arrojamos la moneda. La cantidad total de ramas en el extremo derecho indica la cantidad total de resultados posibles después de arrojar la moneda cuatro veces. En este ejemplo hay 16 resultados posibles. Si seguimos los “caminos” generados por las ramas, vemos que hay seis formas de obtener exactamente dos Z. El camino que incluye los resultados CZCZ aparece resaltado. Los otros son CCZZ, CZZC, ZCCZ, ZCZC, y ZZCC. Entonces, las probabilidades de arrojar una moneda cuatro veces y obtener T exactamente dos veces es 6 = 3. 16 8

2° intento

3° intento 4° intento C C

C Z

Z C Z

C C Z

C Z

Z

C Z

C C

Z

C Z

Z

C

C

Z C

Z

Z C

Z

Ejemplo 3 Romeo la rata debe atravesar un laberinto para hallar un pedazo de queso. A la derecha puedes ver un plano del laberinto. El queso puede colocarse en la sección A o en la sección B. Si cada vez que Romeo llega a una bifurcación en el laberinto es igualmente probable que elija cualquiera de los caminos disponibles, ¿cuáles son las probabilidades de que llegue a la sección A?

B A

Crear un modelo de área puede ser útil para representar esta situación. Comienza con un cuadrado. Cuando Romeo llega a la primera bifurcación del laberinto, tiene dos opciones: un camino superior y otro inferior. Podemos representar esto dividiendo el cuadrado en dos secciones del mismo tamaño (igualmente probables). Luego considera lo que sucederá si Romeo elige primero el camino inferior. Si lo hace, llegará a otra bifurcación con dos opciones, cada una de las cuales es igualmente probable. En el modelo de área podemos representar esto dividiendo el rectángulo inferior en dos secciones igualmente probables, como se ve a la derecha.

A

B

Con una rama, Romeo llegará a la sección A; con la otra, a la sección B. Indicamos esto colocando las letras en las regiones que representan estos resultados. Guía para padres con práctica adicional

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35

Capítulo 3

Ahora considera el camino superior. Si Romeo toma el camino superior en la primera bifurcación, llegará rápidamente a otra bifurcación donde nuevamente puede elegir el camino superior o el camino inferior. Una vez más, dividimos el rectángulo superior en dos rectángulos del mismo tamaño, ya que cada camino es igualmente probable. Si Romeo toma el camino inferior, llegará a la sección A. Indicamos esto escribiendo una A en una de las nuevas regiones como se ve a la derecha.

A

A

B

A

Si Romeo toma el camino superior, llegará a otra bifurcación con dos caminos igualmente probables. Esto significa que la última sección del cuadrado debe ser dividida en dos partes iguales. Uno de los caminos lo llevara directamente a la sección A y el otro a la sección B.

A

A

B

B

Para calcular las probabilidades, debemos determinar qué parte del área total está integrada por secciones con la letra A. Esto se logra calculando la fracción del área que representa cada parte. Las longitudes de cada lado de cada rectángulo han sido incluidas en el exterior del cuadrado, mientras que el área de cada región ha sido escrita dentro de ella. La probabilidad de llegar a la sección A está dada por la porción sombreada del cuadrado. El área de la región sombreada es: A = 14 + 14 + 18 = 28 + 28 + 18 =

5 8

Por lo tanto, las probabilidades de que Romeo llegue a la sección A son de 85 . Esto significa que las probabilidades de que llegue a la sección B son de 83 , ya que la suma de ambas debe ser 1.

Problemas 1.

Si Keisha tiene cuatro camisas preferidas (una azul, una verde, una roja, y una amarilla) y dos pares de pantalones preferidos (uno negro y uno marrón), ¿cuántos atuendos preferidos distintos tiene? Si Keisha seleccionara una camisa y unos pantalones al azar, ¿cuál es la probabilidad de que elija un atuendo con una camisa azul o roja y pantalones negros?

2.

Cada mañana Aaron comienza su día con un vaso de jugo de naranja o un vaso de jugo de manzana, seguido por cereales, tostadas o huevos revueltos. ¿Cuántos desayunos distintos puede comer Aaron? Si selecciona aleatoriamente un jugo y una comida, ¿cuál es la probabilidad de que coma tostadas o huevos con jugo de naranja?

3.

A Eliza le gusta convertir situaciones cotidianas en juegos de azar. Por ejemplo, antes de ir a comprar vainilla frutilla un helado a la heladería local, creó dos ruedas. La primera tiene sus tres sabores preferidos, mientras chocolate que la segunda dice “cono” y “vaso”. Eliza ordenará lo que indiquen las ruedas. ¿Cuáles son las probabilidades de que coma helado de frutilla en un vaso?

36

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cono

vaso

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4.

Barty va a arrojar una moneda tres veces. ¿Cuáles son las probabilidades de que obtenga cruz al menos dos veces?

5.

El Sr. Fudge va a arrojar dos dados estándar. ¿Cuáles son las probabilidades de que los dos resultados sumen 4 o menos?

6.

Bienvenido a otro programa de juegos: “¡La rueda $1.00 $10.00 de la suerte!” Para participar debes hacer girar dos ruedas divididas en sectores iguales. La primera $500 $100 rueda determina el premio inicial en dólares. La $5.00 $25.00 segunda rueda es el “multiplicador”. La cantidad que ganes será el producto de los dos resultados Premio en obtenidos. Lamentablemente, si obtienes el dólares multiplicador –2 puedes terminar debiendo dinero.

1

1000

–2

1

Multiplicador

a.

¿Cuáles son las probabilidades de que ganes $100 o más?

b.

¿Cuáles son las probabilidades de que termines debiendo $100 o más?

Para los problemas 7 a 10, asume que tienes una bolsa con los polígonos dados a continuación. Si sacaras un polígono de la bolsa al azar, ¿cuáles son las probabilidades de que sea: 7.

un polígono con al menos un ángulo recto?

8.

un polígono con un ángulo agudo?

9.

un polígono con al menos un par de lados paralelos?

10.

60°

70°

un triángulo?

Usa un modelo de área o un diagrama de árbol para calcular las probabilidades solicitadas en los siguientes problemas. Para los problemas 11-13 usa las ruedas de la derecha.

R

A

V

A

V

R

11.

Si haces girar cada rueda una vez, ¿cuál es la probabilidad de que ambas se detengan en el azul?

12.

Si haces girar cada rueda una vez, ¿cuál es la probabilidad de que ambas se detengan en el mismo color?

13.

Si haces girar cada rueda una vez, ¿cuál es la probabilidad de obtener rojo y azul?

14.

Una caja de lápices tiene tres lápices amarillos, un lápiz azul, y dos lápices rojos. También hay dos borradores rojos y uno azul. Si eligieras un lápiz y un borrador al azar, ¿cuáles son las probabilidades de obtener una combinación rojo-rojo?

Guía para padres con práctica adicional

R

A

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R

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Capítulo 3

15.

La madre de Sally tiene dos bolsas de caramelos pero le dijo a Sally que solo puede comer un caramelo. La bolsa #1 tiene un 70% de caramelos naranjas y un 30% de caramelos rojos. La bolsa #2 tiene un 10% de caramelos naranjas, un 50% de caramelos blancos, y un 40% de caramelos verdes. Si Sally debe sacar un caramelo de una de las bolsas con los ojos vendados, ¿cuáles son las probabilidades de que elija un caramelo naranja?

16.

Si arrojas un dado y una moneda, ¿cuáles son las posibilidades de obtener un número menor a 5 con el dado y cruz con la moneda?

17.

Una rueda se dividió en ocho secciones iguales (tres rojas, tres blancas, y dos azules). Si haces girar la rueda dos veces, ¿cuáles son las probabilidades de obtener el mismo color dos veces?

18.

Tu amigo y tú tienen la oportunidad de ganar un millón de dólares. Tú debes colocar el dinero en una de las habitaciones de la derecha y tu amigo debe avanzar al azar por el laberinto. ¿En qué habitación deberías colocar el dinero para que tu amigo tenga más probabilidades de encontrar el millón de dólares?

19.

A

B

Halla las probabilidades de entrar al azar en cada una de las habitaciones del laberinto de la derecha. a.

P(A)

b.

P(B)

c.

P(C)

B A

20.

El pronóstico del clima dice que hay un 60% de probabilidades de lluvia. Si no llueve, hay un 80% de probabilidades de que vayas a la playa. ¿Cuáles son las probabilidades de que vayas a la playa?

21.

Un jugador de béisbol golpea la pelota un 40% de las veces si el clima es bueno pero solo un 20% de las veces si hace frío o hay mucho viento. El pronóstico del clima dice que hay un 70% de probabilidades de que el clima sea bueno, un 20% de probabilidades de que haga frío y un 10% de probabilidades de que haya viento. ¿Cuáles son las probabilidades de que el jugador golpee la pelota?

22.

Si los alumnos completan su tarea a tiempo, hay un 80% de probabilidades de que obtengan una buena calificación en la clase. Si completan su tarea durante la clase o con retraso, tienen un 30% de probabilidades de obtener una buena calificación en la clase. Si no completan su tarea, solo tienen un 5% de probabilidades de obtener una buena calificación en la clase. En una clase determinada, 50% de los alumnos completan su tarea a tiempo, 40% la completan durante la clase, y 10% no completan su tarea. Si seleccionáramos un alumno al azar, ¿cuáles son las probabilidades de que obtenga una buena calificación?

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C

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Respuestas 1.

Ocho atuendos distintos.

2.

Seis desayunos. =

=

2 6

2 8

=

1 4

1 3

3.

1⋅1 3 2

4.

1 2

(ver el diagrama del Ejemplo 2)

5.

6 36

= 16

6.

a:

5 12

7.

2 5

8.

3 5

9.

2 5

10.

2 5

11.

1 12

12.

9 3 24 = 8

13.

7 24

14.

2 9

15.

2 5

16.

1 3

17.

11 32

18.

P(B) =

19.

5 11 18 , 18

21.

0.34

22.

0.525

1 6

b:

,

2 18

1 12

20.

0.32

Guía para padres con práctica adicional

5 9

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Capítulo 3

VALOR ESPERADO

3.1.5

En la Lección 3.1.5, los alumnos investigan el concepto de valor esperado analizando distintos juegos. Finalmente, los alumnos desarrollan una fórmula para calcular el valor esperado. Es importante tener en cuenta que a veces los alumnos creen que el valor esperado debe ser uno de los resultados posibles de un juego o situación. Esto no es así. El valor esperado nos dice cuál es el resultado promedio que se espera de una jugada al jugar varias veces el juego. Para más información sobre valores esperados, consulta el recuadro de Apuntes de matemática de la Lección 3.2.1.

Ejemplo 1 3

La rueda de la derecha está dividida en distintas secciones, a cada una de las cuales se le ha asignado una puntuación. Las tres secciones más pequeñas son congruentes. Si hicieras girar la rueda 100 veces, ¿cuántas veces esperarías obtener cada uno de los distintos puntajes? ¿Cuál es el valor esperado de esta rueda?

1

6

2

El ángulo de cada sector es lo que determina las probabilidades de que la rueda se detenga en esa región. Por lo tanto, las probabilidades de que se detenga en el 6 son de 12 porque esa región constituye la mitad de la rueda. La otra mitad del círculo está dividida en tres partes iguales, cada una de las cuales constituye 16 de la rueda ( 13 de 12 ). Ahora que conocemos las probabilidades podemos determinar cuántas veces esperaríamos obtener cada valor. Ya que las probabilidades de obtener 6 puntos son de 12 , esperaríamos que la rueda se detenga en el 6 50 de cada 100 veces (la mitad). De igual forma, ya que las probabilidades de obtener 1 punto (o 2 o 3) son de 16 , esperaríamos obtener esos valores con aproximadamente 16 de cada 100 giros, o unas 16 o 17 veces. Si la cantidad total de giros es 100, podemos esperar que, en promedio, 50 de ellos nos den 6 puntos, 16 23 nos den 1 punto, 16 23 nos den 2 puntos, y 16 23 nos den 3 puntos (nota: estas son estimaciones, no valores exactos o garantizados). Dados estos valores, después de hacer girar la rueda 100 veces, el jugador tendría aproximadamente 50(6) + 16 23 (1) + 16 23 (2) + 16 23 (3) = 400 puntos. Si el jugador obtiene 400 puntos después de hacer girar la rueda 100 veces, entonces, en promedio, obtuvo 4 puntos por cada giro. Entonces, el valor esperado de cada giro será de 4 puntos. Nota: 4 puntos es el valor esperado de la rueda, a pesar de que NO es uno de los resultados posibles.

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Ejemplo 2 Una cuadrícula de 3 × 3 compuesta por nueve cuadrados congruentes ha sido pintada de varios colores. Seis de los cuadrados pequeños fueron pintados de rojo y tres fueron pintados de azul. Por $1.00 un jugador puede arrojar un dardo a la cuadrícula. Si el jugador golpea un cuadrado azul, ganará $2.00. ¿Es este un juego justo? Justifica tu respuesta.

A

A

A

R

R

R

R

R

R

Un juego “justo” es un juego en el que el valor esperado es 0, porque esto significa que, en promedio, el juego no favorece al jugador ni a la persona que dirige el juego. Para decidir si este juego es justo debemos calcular su valor esperado. El valor esperado se obtiene sumando los productos de los montos que pueden ser ganados y las probabilidades de ganarlos. En este problema, cada juego cuesta $1.00. Si el dardo golpea un cuadrado rojo, el jugador pierde $1.00 (el valor es–1). Las probabilidades de golpear un cuadrado rojo son de 96 = 32 . Sin embargo, si el jugador golpea un cuadrado azul, recibe $2.00 y gana solo $1.00 (porque pagó $1.00 para jugar). En función de los cálculos de la derecha, el valor esperado es − 13 . Por lo tanto, este no es un juego justo; favorece a la persona que dirige el juego.

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Capítulo 3

Problemas Las ruedas dadas a continuación tienen distintos puntajes en cada una de sus regiones. ¿Cuál es el valor esperado de cada rueda? (Asume que las regiones que parecen ser congruentes lo son). 1.

2.

3.

1

2

5

3

3

4

2

6

4.

6. 2

2

3

8

3 5

7.

6

5. 1

2

3

9

3 1

4

6

Por $0.40 un jugador recibe un dardo para arrojar a una diana que se ve como la figura de la derecha. La diana es un cuadrado con lados de un pie de largo. El círculo se encuentra en el centro y tiene un diámetro de seis pulgadas. Por cada dardo que golpea el interior del círculo, los jugadores obtienen $0.75. ¿Es este un juego justo? Justifica tu respuesta.

Respuestas 1.

2.5

2.

4

3.

3 23

4.

3

5.

5.5

6.

4.75

7.

No es justo porque el valor esperado es aproximadamente −$0.25 .

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TANGENTE – RAZÓN DE LA PENDIENTE (TRIGONOMETRÍA)

3.2.1 – 3.2.5

En la segunda sección del Capítulo 3, se exploran distintos triángulos de pendiente de una recta o segmento dados. En cada recta, la pendiente permanece constante sin importar dónde se dibuje el triángulo de pendiente o cuál sea su tamaño. Todos los triángulos de pendiente de una misma recta son semejantes. Estos triángulos de pendiente semejantes permiten a los alumnos escribir proporciones para calcular las medidas de lados y ángulos. Esta razón de la pendiente constante es lo que se conoce como relación (trigonométrica) tangente. Más adelante en esta sección, usaremos el botón de tangente de las calculadoras para calcular medidas en problemas prácticos. Para más información sobre los ángulos de pendiente y la razón tangente, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 3.2.2, 3.2.4, y 3.2.5.

Ejemplo 1 y

La recta de la derecha atraviesa el origen. Dibuja tres triángulos de pendiente distintos para esta recta. ¿Cuál es la razón de la pendiente, ΔΔyx , de cada triángulo? ¿Qué es verdad sobre todas las razones? Nota: Δx (delta x) y Δy (delta y) se leen como “cambio en x” y “cambio en y.”

x

Un triángulo de pendiente es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa se encuentra sobre la recta que lo contiene. Esto significa que los dos catetos del triángulo son paralelos a los ejes: uno es vertical y el otro horizontal. Podemos dibujar una cantidad infinita de triángulos de pendiente, pero siempre es más fácil dibujar triángulos cuyos vértices sean puntos de intersección con la red (es decir, que tengan coordenadas enteras). La longitud del cateto horizontal es ∆x y la longitud del cateto vertical es ∆y. A la derecha se muestran tres posibles triángulos de pendiente. En el triángulo más pequeño, ∆x = 3 (la longitud del cateto horizontal), y ∆y = 2 (la longitud del cateto vertical). Entonces, ΔΔyx = 23 . En el triángulo mediano, ∆x = 6 y ∆y = 4, lo que significa que

y

x

Δy Δx

= 64 .

Finalmente, las longitudes del triángulo más grande son ∆x = 15 y ∆y = 10, así que

Δy Δx

. = 10 15

Estas razones de pendiente son todas equivalentes, así que sin importar dónde se dibujen los triángulos de pendiente de esta recta, la razón de pendiente siempre permanece constante. Guía para padres con práctica adicional

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Capítulo 3

En la Lección 3.2.2, los alumnos unen razones de pendiente específicas con los ángulos correspondientes y registran lo que aprendieron en un Organizador gráfico de tablas de trigonometría (Página de Recursos de la Lección 3.2.2). Usarán esta información para hallar las longitudes de lados desconocidos y las medidas de los ángulos de triángulos rectángulos. En la Lección 3.2.4, los alumnos aprenderán a usar el botón de tangente de sus calculadoras para calcular estas razones y hallar información faltante.

Ejemplo 2 Escribe una ecuación y calcula la longitud del lado faltante de cada triángulo usando la función tangente de tu calculadora. a.

b. 22

q 20° w

62° 9.6

Al usar el botón de tangente de una calculadora en estos problemas, debes asegurarte de que la calculadora se halle en modo DEG y no en modo RAD. Ya que sabemos que la razón de la pendiente depende del ángulo, podemos usar la medida del ángulo y la función tangente de la calculadora para hallar longitudes desconocidas en el triángulo. La tangente del ángulo es la razón ecuaciones de abajo. Punto (a):

tan 20° =

22 w

cateto opuesto . cateto adyacente

Esto nos permite escribir y resolver las

Punto (b):

w tan 20º = 22 w=

22 tan 20°

q

tan 62° = 9.6

(

cateto opuesto cateto adyacente

)

9.6(tan 62°) = q q ≈ (9.6)(1.88) ≈ 18.05

w ≈ 60.44

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Ejemplo 3 Talula está parada a 117 pies de la base del Monumento a Washington, en Washington, D.C. Usó su clinómetro para medir el ángulo de elevación hacia la cima del monumento y halló que era de 78°. Si los ojos de Talula se encuentran a 5 pies y 3 pulgadas del suelo, ¿cuál es la altura del Monumento a Washington?

x 5.25 pies

En todos los problemas que representan una situación cotidiana, es útil dibujar un diagrama que represente el problema. Aquí tenemos a Talula viendo hacia la punta de un monumento. Sabemos a qué distancia del monumento se encuentra Talula, conocemos la altura de sus ojos, y conocemos el ángulo de elevación de su línea de visión.

Usamos esta información para dibujar el diagrama de la derecha. Luego escribimos una ecuación usando la función tangente y hallamos x: Sumamos la altura de los ojos de Talula al valor de x para hallar la altura del Monumento a Washington y redondeamos la respuesta.

78°

117 pies

x tan 78° = 117

117(tan 78°) = x x ≈ 549.9 pies

549.9 + 5.25 ≈ 555.15, o aproximadamente 555 pies

Problemas Dibuja varios triángulos de pendiente para cada recta. Luego calcula las razones de la pendiente. y

y

1.

2.

x

x

y

y

3.

4.

x

Guía para padres con práctica adicional

x

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Capítulo 3

Calcula las medidas de las variables. Puede que rotar el triángulo para que se asemeje a un triángulo de pendiente te ayude. Si escribes una ecuación de tangente, resuélvela usando el botón de tangente de tu calculadora, no tu Organizador gráfico de tablas de trigonometría. Nota: algunos cálculos requieren que apliques el Teorema de Pitágoras. Al calcular longitudes, redondea tu respuesta hasta la centena más cercana. Al calcular ángulos, redondea tu respuesta al ángulo más cercano. 5.

z

6.

14

3.2 m 70°

28°

7.

210

33°

8.

c 48° 89

80

¡Cuidado!

y

9.

10. w 15°

x

47 45° 12.25

11.

Una escalera forma un ángulo de 75° con la pared contra la que fue apoyada. La base de la escalera se halla a 5.0 pies de la pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera? Escribe tu respuesta con el nivel adecuado de precisión.

12.

Davis y Tess se encontraban a 30 pies de distancia cuando Tess soltó un globo de helio, que se elevó en línea recta (era un día sin viento). Después de 4 segundos, Davis usó su clinómetro y calculó que el ángulo de elevación del globo era de 35°. Si los ojos de Davis se hallan a 4 pies y 6 pulgadas del suelo, ¿cuál es la altura del globo después de 4 segundos? Escribe tu respuesta con el nivel adecuado de precisión.

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Respuestas 1. La razón de la pendiente es siempre y

4 1

=4.

2. La razón de la pendiente es y

5 5

=

y

5 3

= 33 = 11 .

x

x

3. La razón de la pendiente es

4 4

.

4. La razón de la pendiente es y

1 4

.

x

x

5.

tan 28° = 14z , z ≈ 7.44

6.

tan 70º =

7.

tan 33º =

y 210

8.

c ≈ 119.67 (Teorema de Pitágoras)

9.

x = 12.25

10.

tan15° =

11.

tan 75° = h5 ; La escalera llega hasta

12.

h , h ≈ 21 + 4.5 ≈ 25.5 ; tan 35° = 30 Después de 4 segundos el globo se halla a unos 25.5 pies del suelo.

, y ≈ 136.38

una altura de unos 18.66 pies.

3.2 m

, m ≈ 1.16

w 47 , w

≈ 12.59

35° 75° 5 pies

4.5 pies

30 pies Guía para padres con práctica adicional

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