LA FUNCION DE PRODUCCION Y LA MAXIMIZACION DE BENEFICIOS lorenzo castro gómez1

LA MAXIMIZACION DE BENEFICIOS CON UN INSUMO VARIABLE El objeto del análisis insumo-producto es determinar la cantidad óptima de combinación de insumo variable con insumos fijos y debe responder a cuestiones como ¿cuánto fertilizante aplicar por hectárea?, etc.. La respuesta depende del administrador: Maximizar sus beneficios dado el precio del producto y el precio del insumo. (Competencia perfecta). • Un productor que actúa racionalmente, debe operar en la etapa II de la producción en donde 0 > E < 1. Bajo los siguientes supuestos: • El productor trata de obtener el máximo beneficio de la aplicación del insumo variable. • El productor conoce con exactitud su función de producción y los precios del insumo y del producto precios sobre los que no influye en forma individual (para él los precios son constantes). Métodos para determinar el óptimo económico. Determinar el punto óptimo de operación más rentable para la empresa en el corto plazo para determinar el óptimo económico (beneficio máximo) de la empresa, debemos determinar el nivel óptimo de utilización del insumo y a partir de éste el nivel óptimo de producción. Dada la función de producción el precio del insumo y el precio del producto, la función de beneficio de la empresa es: 1

BT = IT - CT2

2

BT = IT - CVT + CFT3

3

BT = Py Y - Px X - CFT4 ;

1 2

3

4

Profesor del departamento de Economía Agrícola, DCSE – UAAAN. Donde BT = beneficio total, IT = ingreso total y CT = costo total. Donde CVT = costo variable total y CFT = costo fijo total

Donde Py Y = precio por el producto total y Px X = precio 1

4

BT = Py Y - Px X - a , donde a = CFT

5

BT = Py ƒ(x) - Px X - a5

DETERMINACION DEL NIVEL OPTIMO DE APLICACION DEL INSUMO La función de beneficio está en función de la cantidad de insumo que se aplique, por lo tanto podemos encontrar el valor máximo de la función de beneficios igualando a cero su primera derivada: dBT/dx = Py dy/dx - Px = 0 Py PMg - Px = 0 insumo.

; donde Py PMg es el valor del PMg y Px es el precio del

Despejando se tiene Py PMg = Px que es la condición de maximización de beneficios, esta condición implica que para maximizar beneficios, un productor siempre debe buscar que el ingreso generado por la última unidad de insumo sea igual al costo de dicha unidad. En otras palabras, el productor no debe dejar de agregar unidades de insumo mientras éstas le generen un ingreso más alto que lo que le cuesta aplicarlas. En un experimento se trató de medir el efecto de diferentes cantidades de semilla por hectárea sobre la producción de papa. Para ello sólo se permitió que variase el nivel de utilización de semilla al momento de la siembra, mientras que todos los demás factores de la producción fueron controlados lo más estrictamente posible.

DESPUES DE LA COSECHA SE REGISTRARON RENDIMIENTOS PROMEDIO POR HECTAREA.

LOS

SIGUIENTES

por el insumo X. 5

Donde Py f(x) es el ingreso total y Px X - a es el costo total. 2

Prod. De Cant. papa Semilla/ Ton/ha hectárea 1 4.8 2 12.4 3 21.6 4 31.2 5 40.0 6 46.8 7 50.4 8 49.6 9 43.2

Producto Producto marginal medio Promedio Exacto 4.8 6.2 7.2 7.8 8.0 7.8 7.2 6.2 4.8

4.8 7.6 9.2 9.6 8.8 6.8 3.6 -0.8 -6.4

6.4 8.6 9.6 9.4 8.0 5.4 1.6 -3.4 -9.6

Precio del

Precio de la papa

Nitrógeno

7 7 7 7 7 7 7 7 7

3 3 3 3 3 3 3 3 3

Con estos datos ¿Qué cantidad de semilla aconsejaría que use el productor? ¿Por qué ? De qué manera(s) puede dar una recomendación con certeza. Es suficiente esta información para hacer una recomendación económica. Estas preguntas saltan a la vista en el análisis y deberán tener respuesta. Otra forma de presentar los datos más compacta es por la de la función de producción que esta es una ecuación que se puede obtener a partir de los datos de aplicación de insumos y rendimientos mediante las técnicas de mínimos cuadrados (regresión): sea Y = ƒ(x) donde Y = PT, rendimientos en toneladas de papa y X las unidades de semilla aplicadas (una unidad equivale a 360 Kg.). Entonces se tiene: Y = 3X + 2X2 - 0.2X3 y el precio de la papa es de $ 3 por tonelada y el de la semilla es de $ 7 por cada 360 Kg entonces Py = 3 y Px = 7, sustituyendo el PMg en la condición de equilibrio queda lo siguiente Py PMg = Px o lo que es lo mismo 3 ( 3 + 4X - 0.6X2 ) = 7 resolviendo para X se tiene 9 + 12X - 1.8X2 - 7 = 0, finalmente queda 2 + 12X 1.8X2 6 dando como resultado 6.5 que es el nivel óptimo económico de aplicación del insumo,

6

Como esta estructura se parece a AX2 + BX - C = 0 y para la resolución de estas ecuaciones se hace uso de la fórmula 3

sustituyendo el valor de X en la función de producción se encuentra el nivel de producción de máximo beneficio. Y = 3 (6.5) + 2 (6.5)2 - 0.2 (6.5)3 Y = 49 Para la determinación gráfica del nivel de aplicación de insumo, los datos se organizan de la siguiente manera y luego se hace la gráfica. X

Y

PMg

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4.8 12.4 21.6 31.6 40.0 46.8 50.4 49.6 43.2

6.4 8.6 9.6 9.4 8.0 5.4 1.6 -3.6 -9.6

Py PMg V PMg * 19.2 25.8 28.8 28.2 24.0 36.2 4.8 -10.8 -28.8

Px 7 7 7 7 7 7 7 7 7

* valor del producto marginal

Valor del producto marginal 40 30

VPMg, Px

20 10 0 -10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

VPMg Px

-20 -30 -40 Insumos

general. X = -b ±¹b2 - 4ac / 2a 4

La condición de maximización es Py PMg = Px y se puede convertir en PMg = Px / Py, el producto marginal del insumo variable debe ser igual a la relación entre el precio del insumo y el precio del producto. Si Px / Py = 3 la última unidad del insumo debe agregar 3 unidades a la producción. En conclusión, el nivel de aplicación del insumo depende de Px, Py y de la relación física entre insumo y producto. DETERMINACION DE LA PRODUCCION OPTIMA ECONOMICA CUANDO SE CONOCE LA FUNCION DE COSTOS Cuando la diferencia entre el ingreso total y el costo total es máxima los beneficios son máximos, cuando esto sucede se ha encontrado el nivel óptimo de producción de la empresa, y por tanto, dada la función de producción, el nivel óptimo de utilización de insumos es 1

BT = IT - CT

2

IT = Py Y

3

CT = Px X + CFT , donde Px X es el CVT

4

BT = Py Y - Px X + CFT, pero X = f-1 (Y)

5

BT = Py Y - Px ƒ-1 (Y) - CFT

Dado que en 5 los beneficios dependen únicamente del nivel de producción, las condiciones marginales para la maximización de beneficios se convierte en: dBT/dy = Py - Px dx/dy = 0 la dy/dx nos indica cómo cambia el nivel de utilización del insumo cuando varía la producción, de donde se tiene que dx/dy = 1/dy/dx = 1/PMg Por lo que la condición marginal puede escribirse como: dBT/dy = Py -Px/PMg = 0 dado que sabemos que CMg = Px/PMg entonces, la condición de maximización también puede escribirse como: dBT/dy = Py - CMg = 0 Px = CMg

5

En forma más general, la diferenciación de la ecuación de beneficios puede escribirse como: dBT/dy = dIT/dy - dCT/dy = 0 dBT/dy = IMg - CMg = 0 IMg = CMg esto se da sólo en competencia perfecta. OPTIMIZACION CON UN INSUMO VARIABLE Sea la función Y = 3X + 2X2 - 0.2X3 insumo producto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 4.8 12.4 21.6 31.2 40.0 16.8 50.4 49.6 43.2

PMg exacto 6.40 8.6 9.6 9.4 8.0 5.4 1.6 -3.4 -9.6

IT 0 14.4 37.2 64.8 93.6 120.0 140.4 151.2 148.8 129.6

IMg 3 3 3 3 3 3 3 3 3

CT 100 107 114 121 128 135 142 149 156 163

CMg exácto 1.9 0.82 0.73 0.74 0.88 1.30 4.38 ---------------------

BT -100 -92.6 -76.8 -56.2 -36.4 -15.0 -01.6 -02.2 -07.2 -33.4

IT = Py Y ; Py = 3, IT = 3Y por lo tanto dIT/dY = 3, y sabiendo que el precio es Px = 7. Podemos calcular el CMg sin tener la función de CT, simplemente sabiendo que CMg = Px / PMg. De la misma manera podemos calcular CVM, y es CVM = Px / PM, el IMg = Py = 3. PARA SABER EL NIVEL ÓPTIMO DE LA PRODUCCIÓN insumo 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Producto 0 4.8 12.4 21.6 31.2 40.0 46.8 50.4 49.6

CVM CMg IMg CMT ---------------- ---------------- ---------------- ---------------1.46 1.09 3 22.29 1.13 0.82 3 9.19 0.97 0.73 3 5.60 0.90 0.74 3 4.10 0.88 0.88 3 3.38 0.90 1.30 3 3.03 0.96 4.38 3 2.93 1.13 ---------------3 3.15

6

9

43.2

1.46

----------------

3

3.77

El punto óptimo se encuentra entre el insumo 6 y 7 y todos los demás valores de la fila. ¿PRODUCIR O NO PRODUCIR? En el corto plazo el productor debe producir sólo si el precio que recibe por su producto es mayor que el costo variable medio. Esto es así porque en el corto plazo de cualquier modo debe pagar los costos fijos y si el precio no cubre el costo variable medio (CVM), además de los costos fijos perderá parte de los costos variables. En el largo plazo sólo producirá si el precio del producto es mayor que el CMT ya que en el largo plazo puede ajustar todos los máximos (fijos y variables) o retirarse del negocio. CVMmín = Px / PM , cuando PM es máximo. De la función de producción el producto medio es: PM = 3 + 2X - 0.2X2 donde la dPM/dx = 2 - 0.4X esto es igual a 2 / 0.4 = X y X=5 PMmax = 3 + 2X - 0.2X2 = 3 + 2 (5) - 0.2 (5)2 = 10 CVMmin = Px / PM = 7/10 = 0.70 A corto plazo se produce si y sólo si Py = 0.70, es decir, si el precio del producto es menor o igual al costo variable medio mínimo. A largo plazo se produce sólo si el precio del producto es mayor que el costo medio total. ¿Qué pasa si aumenta el precio del insumo? El precio del insumo ocaciona movimientos de la curva de costo marginal; es decir, que el mínimo nivel de producción se puede obtener a mayor costo, y, por lo tanto, si el precio del producto permanece constante, se produce menos. El cambio del precio del producto ocaciona movimientos a lo largo de la curva de CMg, lo que implica que si aumenta el precio del producto y todo "permanece constante", el productor está dispuesto a incrementar su producción. Comparación del método de optimización de insumos y el método de optimización de la producción como criterios de maximización del beneficio total. El criterio del óptimo de insumos es: VPMg = Px implica que Py PMg = Px Py ( dy/dx ) = Px lo que implica que Py ( dx/dy ) = CMg Py dy = Mide el incremento en el ingreso debido a un

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incremento de la producción. Es el valor de la producción adicional. Px dx = Mide el incremento del costo debido a un incremento en la utilización del insumo. Es el costo de las unidades adicionales de insumo. Bajo el criterio de la producción óptima Py = CMg Py = Px/PMg = Px / PMg Py = Px /(dy/dx) = Px /(dy/dx) Px = Px / (dx/dy) Py dy = Px dx Los dos Métodos son comparables y conducen a la misma condición de maximización. El CMg y el IMg se refieren a unidades de producto. Un aumento de una unidad de producto incrementa el ingreso total en Py dy = IMg, e incrementa el CT en Px /dy/dx = Px dx/ dy = CMg.22

22

El criterio de CMg = IMg no debe usarse cuando se habla de ingresos o costos por unidad de insumo. El criterio de VPMg = Px no debe usarse cuando se habla de unidades adicionales de producto. 8