4.

LA MEDIDA EN ESTA UNIDAD VAS A APRENDER LA MEDIDA

MAGNITUDES

MEDIDA DE MAGNITUDES. UNIDADES

ESTIMACIÓN Y ERROR

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Unidades de longitud

Unidades de capacidad

SISTEMA SEXAGESIMAL

Unidades de superficie

Unidades de volumen

Unidades para medir ángulos

Unidades para medir tiempo

Unidades de masa

Equivalencias

Múltiplos y submúltiplos

Operaciones

Resolución de problemas

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La Medida - 75

PARA RECORDAR Magnitud es toda aquella propiedad de los cuerpos u objetos que puede ser medida. Por ejemplo, la edad, la estatura, la longitud, el tiempo, etc., son magnitudes. Sin embargo, la alegría, la tristeza, la amabilidad no se pueden expresar mediante una cantidad por lo que no se consideran magnitudes. La cantidad de una magnitud se expresa mediante un número y una unidad: Altura: 1'70 m Tiempo: 5 s Longitud: 67 mm Superficie: 45 cm2 * Di si las siguientes características son magnitudes o no: a) e)

La belleza. El color.

b) f)

El tiempo. El volumen.

c) g)

La velocidad. La agilidad.

d) h)

La capacidad. El calor.

PARA EMPEZAR: Sistema decimal. 1. Expresa en metros las cantidades siguientes: a) 35'4 km

b) 0'23 hm

c) 56'56 dam

d) 456 cm

2. Expresa en kilómetros: a) 2345 dam

b) 8643 hm

c) 34876 m

d) 123000 mm

3. Un ciclista ha recorrido 156'5 km en el entrenamiento en pista y después ha corrido en una contrarreloj 78'3 km. ¿Cuántos metros ha recorrido en total?

4. El grosor de una hoja de papel es de 0'5 mm. ¿Qué grosor alcanzará un paquete de 500 hojas?

5. ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se podrán llenar con el contenido de un garrafón de 25 litros?

6. Transforma a centímetros cúbicos: a) 12 dm3

b) 7549 mm3

c) 0'0006 dam3

d) 4325 m3

La Medida - 76

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PARA RECORDAR Estimación y error En ocasiones habrás tenido que calcular a 'ojo' la estatura de un amigo, el peso de alguna persona o la edad de algún familiar: mi amigo mide 1'60 m más o menos, esa persona pesa aproximadamente 65 kg o mi abuelo tiene que tener unos 70 años. Cada vez que estamos dando unas características de manera aproximada, lo que estamos haciendo es una estimación en la medida de esas magnitudes. Generalmente, las medidas que se hacen por estimación no son exactas, por lo que cometemos errores a la hora de hacer la medida.

PARA PRACTICAR * Estima la longitud de 10 objetos que puedas encontrar en el patio del colegio. Después con un metro haz una medida real de cada una de ellas y calcula el error que has cometido al hacer la aproximación. Objeto

Estimación

Medida Real

Error

PARA APRENDER Sistema métrico Internacional Durante siglos en cada país se han venido utilizando unidades de medida diferentes para medir magnitudes. Por ejemplo, para medir longitudes se han utilizado unidades de medida como las pulgadas, los pies, los palmos o los pasos. Con la idea de facilitar el comercio y las comunicaciones entre los países a finales del siglo XVIII se unificaron las diferentes unidades utilizadas hasta el momento, estableciendo lo que se llama el Sistema Métrico Internacional o Sistema Métrico Decimal. De esta manera se establecieron 7 unidades básicas de uso en la Comunidad Económica Europea.

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La Medida - 77

Sistema Internacional de Unidades Magnitud Unidad Longitud Metro Masa Kilogramo Tiempo Segundo Temperatura Kelvin Intensidad eléctrica Ampere Cantidad de sustancia Mol Intensidad luminosa Candela

Símbolo m kg s K A mol cd

PARA RECORDAR UNIDADES DE LONGITUD La unidad fundamental de medida en el Sistema Internacional es el metro. Se toma como patrón del metro una barra de platino e iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sèvres en Francia y mide la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. A pesar de que el metro es la unidad fundamental en el S. I., en ocasiones puedes encontrarte con algunas unidades distintas. En el cuadro siguiente aparecen algunas unidades distintas del metro y sus equivalencias con éste: Unidad 1 pulgada 1 pie = 12 pulgadas 1 yarda = 3 pies 1 milla terrestre 1 milla marina 1 legua terrestre 1 legua marina

Equivalencia con el metro 2’54 cm 30’48 cm 91’44 cm 1609’34 m 1852’2 m 5572 m 5555 m

Múltiplos y submúltiplos del metro:

Km Hm Dam

: 10 m dm cm

· 10

La Medida - 78

mm

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PARA PRACTICAR 7. Expresa en cm las siguientes medidas: a) 45 dm …………

b)

38 m …….…...

c)

5658 mm…………

d) 0,4 m …….……

e)

0,0006 m …….

f)

234 hm……….…..

8. Calcula y expresa en cm la medida de: a)

Dos tiras de 34 dm………………........…

b)

Diez tiras de 0,09 m…………..........

c)

Cuatro tiras y media de 22 mm…………

d)

Seis tiras de 0,0065 dm……...…......

9. Indica en cada caso la cifra que representa los m: a)

56,78 m……………….

b) 342 cm………………..

c) 9,760 km……...…….

10. Calcula: a)

Los 3/5 de un trayecto de 875 km =………………………..

b)

Los 7/8 de un listón de 24 dm =……………………………

c)

Los 2/7 de una cuerda 49 m de largo =…………………….

d)

Los 3/5 de una altura de 55 m =……………………………

11. ¿Sabrías decir cuántos m son la mitad de la tercera parte de una distancia de 12 km?

12. Realiza las siguientes operaciones: a)

3 m + 15 dm + 22 cm = ………. cm.

b)

34 km + 1324 m = ………..km.

c)

5 m - 35 cm = ……………...….cm.

d)

2 km + 125 m = ……..….….m.

13. Elena tiene una regla de 20 cm de largo, pero se ha deformado y ahora mide 19,5 cm. Con ella quiere medir la pizarra de su clase que tiene una longitud de 3 m. ¿Cuánto medirá en realidad?

14. Dibuja una recta numérica y señala en ella 15 mm, 3,4 cm, 0,25 dm y 4,8 cm.

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La Medida - 79

PARA RECORDAR UNIDADES DE MASA

Kg Hg Dag

: 10 g dg cg

· 10

mg

PARA PRACTICAR 15. Transforma estas cantidades en dg: a) 2 g……………

b) 5378 dag……………….

c) 3,56 cg………………

e) 5 kg…………..

e) 1T………………………

f) 67,9 mg……………..

16. Marta tiene en un recipiente 17,71 hg de un producto farmacéutico. ¿Cuántas cápsulas de 275 mg podrá fabricar con esa cantidad?

17. Si Eneko pesa vestido 45 kg y su ropa pesa 12 hg. ¿Cuánto pesa realmente Eneko?

18. Una bolsa contiene 25 kg de arena y vacía pesa 400 g. ¿Cuántos decagramos pesará la bolsa llena?

19. Aitor ha comprado en la charcutería 120 g de salchichón, 250 g de chorizo y 150 g de jamón. ¿Cuántos dg de embutido ha comprado en total?

20. Completa las casillas vacías: Kilogramos 2,5

Gramos Gramos 98

5 347 0,67 8790

La Medida - 80

Gramos

Decagramos 8

56 0,987 20 32

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21. Elena tiene una tienda y compra varias cantidades de pipas. Las quiere meter en bolsas de distinto tamaño para lo cual realiza la siguiente tabla. Ayúdale tú:

Cantidad de pipas 4 kg

Número de bolsas de ½ kg ¼ kg

1 kg

100 g

200 g

10 14 90

PARA RECORDAR UNIDADES DE CAPACIDAD

Kl Hl Dal

: 10 l dl cl

· 10

ml

PARA PRACTICAR 22. Transforma en litros las siguientes cantidades: a) 46 dl _______________

b) 76 cl _________________

c) 23 ml_______________

d) 0,43 kl ________________

23. Completa la siguiente tabla: hectolitros 10

decalitros

litros

decilitros

87 9 7643 0,375

24. En algunas ciudades se han recogido muestras de agua de lluvia para analizar: Lugo 35 kl Gerona 39 dal Albacete 20 dl Oviedo 27 kl Huesca 36 l Valencia 150 cl Bilbao 21 kl Salamanca 19 l Sevilla 7 ml ¿Cuántos litros suman las muestras recogidas?

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La Medida - 81

25. Yadira, hija del emir Rasif, tras cruzar el desierto llegó a un oasis en el que pensó que podría saciar su sed. Los guardianes del agua le pusieron una condición. Debería recoger exactamente 4 l de agua con la sola ayuda de una jarra de 3 l y otra de 5 l. ¿Sabrías explicar cómo lo hizo?

26. Imagínate un globo gigante lleno con 3 hl de agua. a) ¿Cuántas botellas de 1 litro podríamos llenar? b) ¿Y cuántas de 3 cl? c) ¿Y cuántos globitos de 1 dl?

27. Asier enseña a sus amigos a hacer limonada. Para ello utiliza 8 litros de agua, 3’5 l de zumo de limón y 96 cubitos de hielo. Si cada cubito contiene 9 ml de agua, ¿cuántos dal de limonada ha hecho Asier?

PARA RECORDAR UNIDADES DE SUPERFICIE

Km2 Hm2 Dam2

: 100 m2 dm2 cm2

· 100

mm2

PARA PRACTICAR 28. Transforma en dm2 las siguientes cantidades: a)

8 m2___________________

d)

12 hm2________________

b)

34 cm2_________________

e)

23 mm2________________

c)

0,278 dam2______________

f)

2 km2__________________

La Medida - 82

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29. Se quiere asfaltar un terreno rectangular dedicado a aparcamiento. El terreno mide 6 hm 5 dam y 8 m de largo por 354 m de ancho. Si diariamente se asfaltan 7’908 ha, ¿cuántos días se tardará en terminar la obra? (1 hectárea = 1 m2)

30. Completa la siguiente tabla: M2 0,2718

Dm2 347,8

23,67 0,56 109,6 8

31. Un campo que mide 8,75 hm2 se divide en dos partes. Si una de ellas mide 98,35 dam2, ¿cuántas ha medirá la otra?

32. Expresa en forma compleja: a) 5647,098 dm2 b) 45380,26 m2

c) 9134709 cm2 d) 564709832 mm2

33. ¿Cuántas hectáreas son la mitad de 1 km2?

34. ¿Cuántos dm2 de superficie tiene una plancha metálica de 4’673 m2?

35. Mikel tiene una finca rectangular de 986 m de largo y 231’076 m de ancho. ¿Cuántas áreas tiene la finca?

PARA RECORDAR UNIDADES DE VOLUMEN

Km3

3

Hm3 Dam3

: 1000 m3 dm3 cm3

· 1000

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mm3

La Medida - 83

EQUIVALENCIA ENTRE MASA, CAPACIDAD Y VOLUMEN Masa 1t

Capacidad 1 kl

Volumen

1 kg

1l

1 dm

1g

1 ml

1 cm

3

1m

3

3

PARA PRACTICAR 36. Expresa en la unidad indicada: a) en m3:

9,8 dam3___________ ; 0,003 km3___________ ; 1,2 hm3___________

b) en dm3: 0,09 dam3___________ ; 0,54 hm3___________ ; c) en cm3:

1m3___________

7,4 dm3___________ ; 6751mm3___________ ; 0,06 m3___________

37. Completa a) 1 m3 = ____________dm3

c) 9,654 m3 = _________cm3

b) 234 dm3 = _________mm3

d) 7,230965 dam3 =_________m3

38. Calcula las equivalencias que a continuación se indican. a)

1 m3 = __________ hl

f)

456 dal = __________ dm3

b)

3546 ml = __________ cm3

g)

3 hm3 = __________ kg

c)

234 l = __________ m3

h)

45 dam3 = __________ g

d)

6'3 l = __________ dm3

i)

567 m3 = __________ dag

e)

34 dm3 = __________ hl

j)

3456 dag = __________ l

39. La piscina del colegio tiene 60 m3 de capacidad. ¿Cuánto tardará en llenarla Iñaki con un grifo que echa 12 litros de agua por minuto?

40. Un pantano contiene 234 hm3 de agua. Exprésalo en kl.

La Medida - 84

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41. ¿Cuánto pesan 3 litros y 40 cl de agua? ¿Cuál es su volumen?

42. ¿Cuántos litros de agua puede contener un depósito de 14 m3 de volumen?

43. En una ciudad el precio del metro cúbico de agua es de 1’25 €. Si una familia consume 12.000 litros al mes, ¿cuánto pagará?

44. Un campo de fútbol tiene de largo 1 hm y 2 dam y de ancho el 60% del largo. Calcula su superficie en m2 y en hectáreas.

45. En la Patagonia, un glaciar tiene un volumen de 12.543.809 m3 de hielo. a) ¿Cuántos hl de agua han formado el glaciar? b) ¿Cuál es su peso en kg?

46. Una fábrica de DVDs embala cada aparato en cajas de 43 cm de largo, 36 cm de ancho y 12 cm de alto. a) ¿Cuántos m3 se necesitan para almacenar 200 DVDs? b) ¿Cuántos DVDs se pueden almacenar en una nave industrial que tiene 2.550 m3?

47. Calcula la capacidad, el peso y los metros cúbicos que caben en una piscina, sabiendo que mide 25 metros de largo, 15 de ancho y 2 de profundidad.

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La Medida - 85

PARA EMPEZAR: Sistema sexagesimal. 58. ¿Cuántos días hay en tres años? __________ 59. ¿Cuántos segundos son 56 minutos y 34 segundos? __________ 60. ¿Cuántas semanas hay en 182 días? __________ 61. ¿Cuántas horas minutos y segundos son 23560 segundos? __________ 62. Calcula: a) 2 h 34 m 8s + 3 h 12 m 34 s =

c) 15 h 45 m 54 s - 4 h 25 m 45 s =

b) 6º 23' 45" + 9º 15' 12" =

d) 23º 54' 34" - 12º 32' 25 " =

63. Un tren sale de Irún a las 8 h 23 m 45 s y llega a su destino a las 12 h 4 m 12 s. ¿Cuánto tiempo a invertido en el trayecto?

PARA RECORDAR Recuerda que para medir la amplitud de los ángulos y el tiempo utilizábamos un sistema de numeración en el que en lugar de agrupar las unidades de 10 en 10 (sistema decimal), las agrupábamos de 60 en 60. A este sistema en el que agrupamos las unidades de 60 en 60 le llamábamos Sistema Sexagesimal. * Para trabajar en el sistema sexagesimal no te olvides de: medición de ángulos 1º = 60’ 1’ = 60”

medición del tiempo 1h = 60 m 1m = 60 s

PARA PRACTICAR 64. Reduce a segundos: a) 1 h 34 m 45 s

c) 34º 36' 23"

b) 2 h 12 m 23'5 s

d) 22º 45' 51"

La Medida - 86

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PARA RECORDAR Ángulo: Cada una de las dos porciones de plano limitadas por dos semirrectas que parten de un mismo punto. A continuación aparecen las definiciones de todos los tipos de ángulos que nos podemos encontrar. Haz un dibujo que represente cada uno de los ángulos: Ángulo agudo: El que mide menos de 90º.

Ángulos complementarios: Ángulos que, juntos, suman 90º.

Ángulo completo: El que mide 360º. Ángulos consecutivos: Son los que tienen en común el vértice y un lado. Ángulo llano: El que mide 180 º. Ángulos suplementarios: Ángulos que, juntos, suman 180º.

Ángulo nulo: El que mide 0º.

Ángulo obtuso: El que mide más de 90º.

Ángulo cóncavo: El que mide más de 180º. En caso contrario, el ángulo es convexo.

Ángulo recto: El que mide 90º.

Ángulos adyacentes: Son los ángulos consecutivos que tienen los lados no comunes en la misma recta.

Ángulos opuestos por el vértice: Los que tienen el origen común y sus lados son semirrectas opuestas.

PARA PRACTICAR 65. Contesta a las siguientes preguntas razonando tu respuesta: 1) Dos ángulos adyacentes, ¿son siempre suplementarios? 2) Dos ángulos suplementarios, ¿son siempre adyacentes? 3) Un ángulo agudo y uno obtuso, ¿pueden ser complementarios? 4) Un ángulo cóncavo, ¿es siempre obtuso? 5) Un ángulo obtuso, ¿es siempre cóncavo? 6) Un ángulo convexo, ¿no puede ser obtuso? 7) Un ángulo agudo, ¿es convexo?, ¿y uno recto? 8) Dos ángulos adyacentes, ¿son consecutivos? 9) Dos ángulos consecutivos, ¿son siempre suplementarios? 10) Dos ángulos consecutivos, ¿son siempre adyacentes? 11) Dos ángulos opuestos por el vértice, ¿son iguales?

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La Medida - 87

PARA RECORDAR Suma: Recuerda que lo primero que hay que hacer es colocar bien ordenadas las unidades, para poder sumar todos los segundos, después todos los minutos y las horas.

Como en el resultado tenemos 67 minutos y sabemos que 60 minutos son 1 hora:

1 h 43 m 12 s + 1 h 24 m 36 s 2 h 67 m 48 s + 1 h - 60 m 3 h 7 m 48 s

Resta: 1 h 43 m 12 s - 1 h 24 m 36 s ?

División:

Multiplicación: 25º

34'

125º

170'

125º

173' -53' 53'

127º

1 h 42 m 72 s - 1 h 24 m 36 s 18 m 36 s

38'' x5 190" 60 -10" 3' 60 10" 2" 10"

165º 27' 36" 45 + 9º · 60 = 540' 567' 87 + 3'· 60 = 180" 216" 96 0

12 13º 47' 18''

PARA PRACTICAR 66. Calcula: a) 45º 47' 34" + 78º 54' 35" =

d) 69º 45' 34" - 45º 52' 38" =

b) 67º 56' 23" + 123º 46' 45" =

e) 36º 37' 38" - 12º 45' 41" =

c) 154º 34' 53" + 120º 56' 34" =

f) 124º 11' 12" - 123º 12' 13" =

La Medida - 88

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67. Calcula: a) (1 h 13 m 18 s) · 3 =

d) (69º 43' 25") : 13 =

b) (3 h 41 m 19 s) · 4 =

e) (25º 35' 12") : 7 =

c) (2 h 43 m 11 s) · 5 =

f) (193º 48' 56") : 8 =

68. Cuántos grados son: a) 123'_______________ d) 7845'______________

b) 65"________________ e) 55'_________________

69. Cuántos minutos son: a) 35º 27' 19"___________

b) 98º 36' 08"____________ c) 6º 39' 32"____________

c) 34'_________________ f) 1032"_______________

70. Maider tiene un abanico que abarca un ángulo de 122º 34' 54"; Itxaso tiene otro que mide 21º 56' 48" y Pedro otro que mide 36º 28' 50". Si abrimos los tres y los juntamos, ¿qué ángulo obtendremos en total?

71. El aita de Laura quiere repartir una tortilla de patatas entre los miembros de la familia que son 6 en total. Si quiere dar exactamente el mismo trozo a cada uno, ¿qué ángulo tendrá cada porción de tortilla?

72. Buscamos un ángulo enorme: Si la medida de un ángulo es 12º 34' 41". ¿Cuánto medirá un ángulo 25 veces mayor?

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La Medida - 89

73. Edurne ha mandado dibujar una concha de mar con un ángulo de 116º 15' 22". a) ¿Cuál sería el ángulo si le borráramos 21º 33'? b) ¿Y si fuese tres veces mayor? c) ¿Qué ángulo resultaría si le añadimos 48' 32"? d) ¿Y si nos manda dibujarla seis veces menor?

74. Vamos a cambiar de hora: a) ¿Cuántos minutos son 1 día 20 h 34 m 21 s? b) ¿Cuántos segundos son 21 h 45 m? c) ¿Cuántas horas son 2 semanas y 3 días?

75. Todos sabemos que pasamos muchas horas durmiendo. Suponiendo que cada día dormimos 8 h. Calcula cuántas horas dormimos en un año.

76. Sergio, Gorka, Marta y Eider tienen que entregar un trabajo sobre los Países del tercer mundo. Haciendo cálculos creen que tardarán 1 semana 5 días 23 horas 56 minutos y 29 segundos. Si reparten el trabajo, ¿cuánto tiempo dedicará cada uno a hacerlo?

77. Los alumnos del Colegio Vizcaya, que son muy trabajadores, los jueves comienzan las clases a las 8:50 y están estudiando hasta las 11:20 que comienza el recreo. A las 11:40 regresan a clase y están hasta la hora de comer que es a las 13:20. Por la tarde estudian de 14:15 a 15:55, que es cuando regresan a casa. ¿Cuántas horas están estudiando en clase?

78. Expresa en grados el ángulo que forman las agujas del reloj: a) A las dos en punto. c) A las seis en punto.

b) A las tres en punto.

La Medida - 90

d) A las nueve en punto.

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79. Halla el complementario y suplementario de los siguientes ángulos: a) 55º 28' 34"

b) 73º 33' 18"

c) 65º 45' 32"

80. Aitor dedica cada día a estudiar 2 h 30 m. ¿Cuántas horas estudia en un curso de 175 días lectivos?

81. Dado un ángulo de 45º 36' 57", calcula las medidas de las amplitudes de los ángulos doble, triple, cuádruple, complementario y suplementario.

82. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj? a) A las 3 h 10 m.

b) A las 5 h 45m.

c) A las 7h 15 m.

83. Efectúa: a) 134º 25' 29" + 167º 42' 34" =

b) 63º 15' 19" - 23º 45' 38 " =

c) (17º 42' 35") · 5 =

d) (63º 25' 29") : 6 =

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La Medida - 91

Vocabulario

Magnitud: Es toda aquella propiedad de los cuerpos u objetos que puede ser medida. Ángulo: Cada una de las dos porciones de plano limitadas por dos semirrectas que parten de un mismo punto. Ángulo agudo: El que mide menos de 90º. Ángulo completo: El que mide 360º. Ángulo llano: El que mide 180 º. Ángulo nulo: El que mide 0º. Ángulo obtuso: El que mide más de 90º. Ángulo recto: El que mide 90º. Ángulos adyacentes: Son los ángulos consecutivos que tienen los lados no comunes en la misma recta. Ángulos complementarios: Ángulos que, juntos, suman 90º. Ángulos consecutivos: Son los que tienen en común el vértice y un lado. Ángulos suplementarios: Ángulos que, juntos, suman 180º. Ángulo cóncavo: El que mide más de 180º. En caso contrario, el ángulo es convexo. Ángulos opuestos por el vértice: Los que tienen el origen común y sus lados son semirrectas opuestas.

La Medida - 92

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