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TEMA 8 ENERGÍA

Física para Ciencias e Ingeniería

8.1

ELÉCTRICA

8.1 Energía electrostática

En general, la energía de un sistema de cargas, como la de cualquier sistema estudiado en Mecánica, consta de dos clases de energía perfectamente diferenciadas: su energía potencial y su energía cinética. No se considera en este estudio la energía de interacción gravitatoria entre las partículas cargadas. En situaciones estáticas, es decir, si no hay movimiento de cargas, la energía de un sistema electrostático es únicamente la que procede de la interacción electrostática de las cargas eléctricas, es decir, la energía potencial electrostática. Nos interesa calcular el trabajo que hay que realizar para trasladar una carga puntual q, en una región en la que existe un campo eléctrico creado por otras cargas, desde un punto i hasta otro punto f. Ahora bien, puesto que nos interesa relacionar este trabajo únicamente con la energía potencial, la carga puntual q debe ser trasladada de forma que en cada instante la partícula se encuentre en equilibrio mecánico, es decir, de tal forma que en todo instante se cumpla la primera ley de Newton, ΣF = 0: La resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula debe ser nula.

Si no consideramos las fuerzas gravitatorias, esto implica que la fuerza mecánica que debemos ejercer sobre la partícula sea, en todo punto, de igual módulo y dirección que la fuerza que ejerce el campo eléctrico pero de sentido contrario. Supongamos que en una región del espacio vacío existe un campo electrostático creado por una serie de cargas.   Vamos a calcular el trabajo que tiene que realizar un agen F E F Mec te mecánico, ajeno al campo electrostático, para trasladar una E carga puntual positiva, q, a lo largo de una línea de fuerza de +q dicho campo, desde un punto inicial i, hasta otro punto final f, en sentido contrario al mismo, de forma que el módulo de f la velocidad de dicha carga sea constante. FIG. 10-1 i O bien, se puede suponer que la masa de dicha carga, por ser muy pequeña, es despreciable. Lo que se pretende es que, de esta forma, se cumplan los siguientes requisitos: 1º.- Por ser la carga q muy pequeña el campo creado por la propia carga será asimismo muy pequeño y de esta forma no perturbará el campo exterior existente. 2º.- En todo instante, en la dirección de la tangente a la trayectoria se cumpla la condición, SFt = 0. 3º.- La partícula cargada no experimente un incremento apreciable de energía cinética en su movimiento.

De esta forma el trabajo realizado por la fuerza exterior al campo se traducirá en un incremento de su energía potencial, que, en este caso, será exclusivamente electrostática por las condiciones impuestas. La carga q, una vez situada en la región del espacio donde existe el campo, queda sometida a la acción de la fuerza electrostática:   [10.1] FE = qE Si se desea que se cumplan las condiciones impuestas anteriormente, el agente mecánico encargado de trasladar la carga a lo largo de la linea de fuerza, desde el punto inicial i hasta el punto final f, deberá ejercer sobre la partícula cargada una fuerza que sea, en todo instante, de igual módulo y dirección que la fuerza ejercida por el campo, pero de sentido contrario. De modo que:    [10.2] F Mec = −FE = −qE El trabajo realizado por el agente exterior al campo es:        f F F f Wi f = ∫ F Mec ⋅dl = ∫ −FE ⋅dl = ∫ −qE ⋅dl = −q ∫ E ⋅dl i

i

i

y teniendo en cuenta que sustituyendo

i

[10.3]

 E = −∇V

[10.4]

 f Wi f = q ∫ ∇V ⋅dl = q(Vf −Vi )

[10.5]

i

Este trabajo es recuperable íntegramente, y se interpreta como una variación de la energía potencial elec trostática de la carga puntual q. En realidad, el hecho de que el campo eléctrico sea conservativo tiene este significado. De forma análoga se puede calcular la energía potencial de un sistema de cargas interpretándola como el trabajo que ha sido necesario realizar para formar dicho sistema.

8.2

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ELÉCTRICA

8.2 Energía potencial de un sistema de cargas puntuales

Supongamos que un sistema de tres cargas puntuales se encuentran, inicialmente, infinitamente alejadas unas de otras, en una región del espacio en la que no hay ninguna otra carga o distribución de carga. En estas condiciones, ninguna carga está sometida a un campo, y, en consecuencia, en el punto ocupado por cada una de ellas el potencial creado por las restantes es nulo. Vamos a calcular el trabajo que tenemos que realizar para traer las tres cargas, de una en una, colocándolas en los puntos P1, P2, P3, y luego generalizaremos para un sistema de n cargas. El trabajo total será, evidentemente, la suma de los trabajos realizados para colocar cada una de las n cargas en sus puntos respectivos. El trabajo necesario para colocar la primera carga q1en el punto P1 es nulo, puesto que traemos dicha carga desde un punto en el que el potencial es nulo hasta otro punto en el que el potencial es igualmente nulo. Por tanto:

W1 = 0 Una vez colocada esta carga en el punto P1, crea en el punto P2, en el que vamos a colocar a continuación la carga q2, un potencial que viene expresado por:

1

V12 =

q1

[10.6]

4 πε0 r12

donde r12 representa la distancia desde el punto P 1 hasta el punto P2. De modo que para traer la carga q2 hasta el punto P2, es necesario realizar un trabajo,

W2 = q 2 (V12 − 0) = q 2V12 =

1 q1q 2

4 πε0 r12

[10.7]

Una vez colocada la carga q2 en el punto P2, el potencial que crean conjuntamente las cargas q1 y q2 en el punto P3, en el que vamos a colocar la carga q3 es, V3 =V13 +V23 =

1

q1

4 πε0 r13

+

1

q2

4πε 0 r23

1  q1 q 2  + 4πε 0 r13 r23 

=

[10.8]

y el trabajo necesario para colocar la carga q3 en el punto P3, es, en consecuencia, W3 = q 3 (V3 − 0) = q 3V3 = q 3 (V13 +V23 ) =

1 q1q 3 q 2q 3  + r23  4 πε 0  r13

[10.9]

El trabajo total realizado para formar el sistema de cargas es: W =W1 +W2 +W3 = q 2V12 +q 3 (V13 +V23 )

[10.10]

sustituyendo las expresiones de los potenciales, W=

1 q1q 2 4 πε0 r12

+

1 q1q 2 q1q 3 q 2q 3  1 q1q 3 q 2q 3  = + + + r23  4πε 0  r12 r13 r23  4 πε 0  r13

dividiendo y multiplicando por 2 la expresión entre corchetes, y ordenando términos se obtiene: q q q q q q  1 1 q q q q q q q q q q q q  1 1  1 2 + 2 1 + 1 3 + 3 1 + 2 3 + 3 2 W= 2 1 2 + 1 3 + 2 3  = r13 r23  2 4 πε0  r12 r12 r13 r13 r23 r23  2 4 πε 0  r12

[10.11]

[10.12]

expresión que puede escribirse en la forma,

W=

1 3 3 1 q iq j ∑∑ 2 i=1 j=1 4 πε0 rij j≠i

[10.13]

y generalizando para n cargas

W=

1 n n 1 q iq j ∑∑ 2 i=1 j=1 4 πε0 rij j≠i

[10.14]

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8.3

ELÉCTRICA

Si se tiene en cuenta que la expresión del potencial final en cada punto i ocupado por la carga qi, una vez colocadas todas las cargas del sistema, es: n 1 qj Vi = ∑ [10.15] j =1 4 πε 0 rij la expresión [10-16] se puede escribir en la forma, W=

1 2

n

∑q V i=1

i

i

[10.16]

Si las cargas están situadas en un medio dieléctrico de extensión infinita se debe sustituir ε0 en [10-7], [10-9] y [10-14] por la permitividad ε del medio. En cambio la expresión [10-16] es válida en el caso más general de que las cargas se encuentren situadas en un medio dieléctrico, o en medios dieléctricos distintos, de extensión infinita, con la única condición de que sean medios lineales. Es necesario imponer esta última condición con objeto de que el trabajo realizado al colocar las cargas en sus respectivos puntos sea independiente de la forma en que se alcanza el estado eléctrico final.

Recuérdese que la linealidad de un dieléctrico asegura que la susceptibilidad y permitividad de un dieléctrico son independientes del campo eléctrico. La relación [10-16] es aplicable igualmente para conductores de tamaño finito. 10.2 Energía electrostática de una distribución de carga libre

Vamos a calcular la energía electrostática de un sistema de cargas libres formado por distribuciones arbitrarias de carga cuyas densidades superficial y volumínica de carga son, respectivamente, σ y ρ, y por un conjunto de conductores cargados, situado todo ello en un medio dieléctrico lineal. Téngase presente la observación hecha en la cuestión anterior acerca de la necesaria linealidad de los dieléctricos que intervienen en el sistema. Para calcular la energía electrostática del sistema vamos a seguir un proceso similar al que se ha seguido para calcular la energía de un sistema de cargas puntuales. De modo que debemos imaginar que las distribuciones de carga que van a constituir parte del sistema que deseamos formar se encuentran inicialmente, infinitamente alejadas unas de otras, y que los conductores se encuentran en sus posiciones finales pero descargados. De esta forma la energía inicial del sistema es nula. Para que el proceso de formación del sistema sea análogo al que se ha seguido en el cálculo de la energía de un sistema de cargas puntuales, debemos traer las cargas, tanto de las distribuciones como las de los conductores, en cantidades infinitesimales δq desde su posición inicial, en la cual V = 0, hasta su posición final. Supongamos que, a medida que vamos formando el sistema, el potencial creado en un cierto punto por el sistema parcialmente formado, es V’(r). En estas condiciones, el trabajo necesario para traer la siguiente carga elemental δq a dicho punto es  δW = δqV '(r ) [10.17] Si la carga que trasladamos corresponde a una distribución superficial o volumínica de carga, será, respectivamente, δq S = δσ da [10.18] δqV = δρdv Si la carga δq corresponde a un conductor, será igualmente δqS = δσ.da, puesto que la carga en un conductor se encuentra repartida sobre su superficie. Evidentemente, el trabajo necesario para constituir el sistema será la suma de los trabajos elementales realizados, hasta que el sistema alcance su estado final. Ahora bien, teniendo en cuenta que el medio en el que se encuentra el sistema de cargas es lineal, el trabajo realizado al colocar las cargas en sus respectivos puntos es independiente de la forma en que se alcanza el estado eléctrico final.

Por consiguiente, para simplificar el cálculo del trabajo realizado vamos a suponer que traemos todas las cargas de forma que su valor aumente en la misma proporción, es decir, que en un cierto instante, durante el proceso de formación del sistema, todas las cargas hayan alcanzado la misma fracción α de sus valores finales:

8.4

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ELÉCTRICA

  σ '(r )= ασ (r )   ρ '(r )= αρ(r )

[10.19]

siendo σ(r) y ρ(r) los valores finales de las respectivas densidades de carga, y en estas condiciones, el potencial en ese mismo instante, en un cierto punto, será   [10.20] V '(r ) = αV (r ) donde V(r) es el valor final del potencial en el punto r. En estas condiciones, diferenciando [10.21], los incrementos de las respectivas densidades de carga son,  δσ ' = σ (r )δα  [10.21] δρ ' = ρ(r )δα y el incremento de carga es,   δq = δσ 'da + δρ 'dv = σ (r )δαda + ρ(r )δαdv 10.22] El trabajo necesario para incrementar dicha carga elemental δq es según [10.19], [10.22] y [10.24],        [10.23] δW = δqV '(r ) = [σ (r )δαda + ρ(r )δαdv]V '(r ) = [σ (r )δαda + ρ(r )δαdv ]αV (r ) y el trabajo total se obtiene integrando la relación anterior haciendo variar α desde 0 hasta 1:        1 W = ∫∫ [σ (r )δαda + ρ(r )δαdv]αV (r ) = ∫ αdα [ ∫ σ (r )V (r )da + ∫ ρ(r )V (r )dv ] = 0

S

    1 = [ ∫ σ (r )V (r )da + ∫ ρ(r )V (r )dv ] 2 S V

V

[10.24]

con lo que se obtiene:     1 W = [ ∫ σ (r )V(r )da + ∫ ρ(r )V(r )dv ] 2 S V

[10.25]

que, por ser el campo eléctrico conservativo, representa la energía potencial del sistema formado por las distribuciones de carga y los conductores cargados. No se debe olvidar que, en la expresión anterior, σ(r), ρ(r) y V(r), representan los valores finales de las respectivas densidades de carga y del potencial en cada punto. Por otra parte, en la integral de superficie de [10-25] esta incluida la energía de los conductores presentes, puesto que parte de la superficie a la que está extendida dicha integral es la superficie equipotencial de los conductores, con lo cual, la integral de superficie se puede descomponer en la integral correspondiente a la carga superficial que se encuentre sobre superficies no conductoras, y en la integral correspondiente a las superficies equipotenciales de los conductores:     σVda ∫ σ (r )V (r )da = ∫ σ (r )V (r )da + ∫ [10.26] S

Sconductoras

S'

A su vez, la integral correspondiente a las superficies equipotenciales de los conductores es la suma de las integrales extendidas individualmente a la superficie de cada uno de ellos: n

∫

n

σVda = ∑ ∫ Scond i σVida = ∑Vi Scond i=1

i=1

n

∫

σ da = ∑q iVi Scond i i=1

[10.27]

de modo que la integral de superficie de [10-26] se puede sustituir por:     n ∫ σ (r )V (r )da = ∫ σ (r )V (r )da + ∑qiVi S

S'

i=1

donde la superficie S’ representa la totalidad de las superficies no conductoras sobre las que exista carga libre. Sustituyendo en [10−25], la expresión de la energía del sistema queda en la forma: W=

1 2

    1 1 n σ (r ) V (r )da + ρ (r )V (r )dv ]+ ∑qiVi ∫ ∫ 2V 2 i=1 S

[10.28]

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8.5

ELÉCTRICA

Si el sistema está formado solamente por un conjunto de conductores, [10−28] se reduce a: W=

1

n

∑q V 2 i=1

i

i

[10.29]

Es importante comparar [10.16] y [10.29]. Parece a primera vista que estas ecuaciones son idénticas y, sin embargo, hay una diferencia importante entre ambas. La ecuación [10.29] se ha obtenido partiendo de un sistema de conductores descargados que han sido cargados gradualmente. Es decir, no se ha suministrado a cada conductor su carga de una sola vez, sino que han sido cargados por medio de incrementos de carga. Por consiguiente, la expresión de la energía [10.29] incluye tanto la energía de interacción con el resto del sistema de conductores, como la autoenergía, es decir, la energía de interacción de cada incremento de carga de un conductor con la propia carga del conductor. El potencial del conductor i puede expresarse como suma de dos términos:

Vi =Vi1 +Vi 2 donde Vi 1 representa la contribución al potencial del conductor i, debida a la carga del propio conductor i, y Vi 2, la contribución al potencial del conductor i, debida a la carga de los restantes conductores. De modo que el potencial del conductor i se puede expresar en la forma, W=

1 n 1 n 1 n qiVi = ∑qiVi1 + ∑ qiVi 2 ∑ 2 i=1 2 i=1 2 i=1

En realidad, esta descomposición de la energía no tiene demasiado sentido, puesto que el único significado físico del potencial asociado al conductor i es su potencial Vi. En cambio, la ecuación [10.16], corresponde a la energía de un sistema de cargas puntuales y se ha deducido considerando cada una de ellas como una unidad global. Por tanto su autoenergía no está incluida. No cabe establecer la distinción anterior, puesto que no queda definido el término Vi 1. No tiene sentido físico. Vamos a obtener otra expresión de la energía electrostática de un sistema de cargas libres formado por distribuciones arbitrarias de carga cuyas densidades superficial y volumínica de carga son, respectivamente, σ y ρ, y por un conjunto de conductores cargados, situado todo ello en un medio dieléctrico lineal, en función del campo eléctrico y del desplazamiento eléctrico. Para ello estableceremos dos hipótesis: 1ª.-El sistema está acotado. Es decir, se puede imaginar que toda la carga libre existente en el sistema puede quedar encerrada dentro de una superficie cerrada de dimensiones finitas. En otras palabras, no hay cargas en el infinito. 2ª.-Toda la carga superficial se encuentra sobre la superficie de los conductores presentes. No obstante, si existiese una densidad superficial de carga libre sobre la superficie de separación de dos dieléctricos, se podría interpretar como el límite de una capa de carga volumínica de espesor muy pequeño, cuando su espesor tienda a cero. En estas condiciones, la densidad de carga σ se puede sustituir en las superficies de los conductores por,   [10.30] σ = D ⋅n y en todo el volumen dieléctrico, se puede sustituir ρ por  ρ = ∇D Sustituyendo en la [10-28]:    1 1 W = ∫ V D ⋅ n da + ∫ V ∇Ddv 2S 2V

[10.31]

[10.32

donde la integral de superficie esta extendida a la superficie de los conductores y la integral de volumen se extiende a todo el volumen de dieléctrico, donde ∇D π 0, o lo que es igual donde ρ π0. El integrando de la integral de volumen se puede sustituir, recordando las relaciones del álgebra vectorial, por:    V ∇D = ∇(V D) − D∇V

8.6

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ELÉCTRICA

sustituyendo en [10-32] W=

 

1



1



1

∫ V D ⋅ n da + 2 ∫ ∇(V D)dv − 2 ∫ D ∇Vdv 2 S

V

V

[10.33]

y ahora, la primera integral de volumen se puede convertir en una integral de superficie aplicando el teorema de la divergencia y, a su vez, se puede sustituir en la segunda, E = −∇V, con lo cual se puede escribir [10-33] en la forma:        1 1 1 W = ∫ V D ⋅ n da + ∫ (V D ⋅ n 'da − ∫ D.E dv [10.34] 2S 2 S+S ' 2V En esta expresión la superficie S+S’ es la superficie que delimita a todo el volumen v del dieléctrico, y está formada por la superficie S de todos los conductores, y por S’, que es la superficie que encierra a todo el sistema, y que podemos considerar, si nos interesa, situada en el infinito. El vector unitario normal a la superficie que interviene en la expresión del flujo de un vector a través de una superficie cerrada se considera siempre hacia afuera del volumen limitado por dicha superficie cerrada. De modo que en la primera integral de superficie, del segundo miembro de [10.34], n esta dirigido hacia fuera del volumen de cada conductor, como muestra la figura para el conductor (3), puesto que está extendida a todas y cada una de las superficies de los conductores,

FIG. 10-2

En la segunda integral de superficie del segundo miembro, S+S’, como ya se ha indicado anteriormente, es toda la superficie que delimita al dieléctrico, y una parte de ella, la superficie S, representa nuevamente a todas y cada una de las superficies de los conductores; pero ahora, puesto que esta integral procede de haber aplicado el teorema de la divergencia al volumen v del dieléctrico, el vector unitario n’ en cada punto de las superficies conductoras habrá

habrá que tomarlo hacia fuera del volumen del dieléctrico, y, por consiguiente, hacia dentro de cada conductor. De modo que los vectores unitarios n y n’ son de sentidos opuestos, y en consecuencia, la expresión [10-29] se puede escribir en la forma:          1 1 1 1 W = ∫ V D ⋅ n da + ∫ V D ⋅ n ' da + ∫ V D ⋅ n 'da + ∫ D.E dv = 2S 2S 2 S' 2V [10.35]             1 1 1 1 1 1 = ∫ V D ⋅ n da − ∫ V D ⋅ n da + ∫ V D ⋅ n 'da + ∫ D.E dv = ∫ V D ⋅n 'da + ∫ D.E dv 2S 2 S' 2V 2 S' 2V 2S Conviene ahora analizar la relación de dependencia del integrando del primer término del último miembro con las dimensiones del sistema. El potencial V depende de r -1; D, de r -2; da de r 2, así que el integrando depende de r -1, y puesto que la superficie S’ podemos tomarla como nos convenga, si imaginamos que se encuentra en el infinito, entonces r -1 = 0, con lo cual la integral extendida a la superficie S’ de [10-28] se anula y la expresión de la energía [10-35] se reduce a W=

  1 D.E dv ∫ 2V

[10.36]

Disponemos, pues, de dos relaciones para calcular la energía de un sistema de distribuciones de cargas libres y de conductores cargados situados en un medio dieléctrico lineal: la [10−28] y la [10−36]. Aunque ambas son igualmente válidas y conducen al mismo resultado, la interpretación de las mismas es diferente. La [10−28] asocia la energía electrostática a las distribuciones de carga y a los conductores cargados del sistema. En cambio, la [10−36] asocia la energía a la región del espacio donde existe campo eléctrico. La pregunta que normalmente se plantea es: ¿Dónde está realmente localizada la energía electrostática del sistema, en las cargas o en el espacio donde existe campo eléctrico? En realidad es indiferente considerarla de una forma o de otra; es cuestión de conveniencia. No obstante es preferible, en general, interpretar que la energía electrostática está almacenada de alguna forma en el espacio donde existe campo eléctrico. Según esta interpretación, de la [10−36] se deduce que la energía almacenada en un elemento de volumen dv tiene por expresión:   1 dW = D.E dv [10.37] 2

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8.7

ELÉCTRICA

10.3 Densidad de energía electrostática

A partir de la [10−37] Se define la densidad de energía electrostático como la cantidad de energía almacenada en el campo electrostático por unidad de volumen.

dW dv

[10.38]

  dW 1 = D.E dv 2

[10.39]

w=

De [10-37] se deduce inmediatamente, que w=

y como hemos supuesto al comienzo de este estudio que los medios dieléctricos que forman parte del sistema son medios lineales, si suponemos que son también isótropos, podemos sustituir   D.E = εE.E = εE 2 y [10-39] queda en la forma

1 w = εE 2 2

[10.40]