La teoría de la probabilidad no es más que sentido común hecho fórmula. Laplace, 1819.

Lógica deductiva Según el Organon de Aristóteles, el razonamiento deductivo se puede analizar mediante la aplicación repetida de dos silogismos fuertes: si A es cierto, entonces B es cierto A es cierto ---------------------entonces, B es cierto y su inverso: si A es cierto, entonces B es cierto B es falso ---------------------entonces, A es falso

Lógica deductiva Este es el tipo de razonamiento que nos gustaría usar todo el tiempo. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones nuestro conocimiento no nos permite aplicar este tipo de razonamiento. Tenemos que recurrir a silogismos débiles: si A es cierto, entonces B es cierto B es cierto ---------------------entonces, A se vuelve más plausible Por ejemplo: A ≡ comenzará a llover a las 10 como muy tarde B ≡ el cielo se cubrirá de nubes antes de las 10

Teoría de la probabilidad Para los pioneros de la probabilidad, Bernouilli, Bayes y Laplace, una probabilidad representaba el grado de confianza en la certeza de una proposición a partir de la información disponible. Esta definición parecía demasiado subjetiva como para ser la base de una disciplina matemática. Posteriormente, la probabilidad se redefinió como la frecuencia de un suceso después de muchas pruebas. Las frecuencias, a diferencia de los grados de confianza, se pueden medir y, por lo tanto, son objetivas. Sin embargo, la interpretación de Laplace es de mayor alcance pues puede utilizarse incluso cuando la otra no.

Teoría de la probabilidad En 1946 Cox estudió las reglas que garantizan la coherencia del razonamiento lógico bajo incertidumbre. Llegó a la conclusión de que las probabilidades, entendidas como niveles de confianza en la verdad de las proposiciones, deben cumplir las leyes tradicionales de la probabilidad: p( X | I ) + p( X | I ) = 1

p ( X , Y | I ) = p ( X | Y , I ) p (Y | I )

donde p (cierto)=1 y p (falso)=0, X representa la proposición “X es falsa”, | significa dado, y la coma indica conjunción lógica. Aunque estas reglas se pueden demostrar fácilmente para frecuencias, Cox demostró que su ámbito de aplicación es mayor: son las reglas del razonamiento plausible. Dicho de otra manera, son la extensión de la lógica deductiva.

Probabilidad y lógica deductiva Vamos a ver cómo las leyes de la probabilidad conectan con la lógica deductiva y el silogismo débil del principio. En primer lugar, la regla de la suma p ( Α | Ι) + p ( Α | Ι) = 1

en el límite

p ( Α | Ι) → 1

implica que p ( Α | Ι) = 0

Este el postulado primitivo de la lógica aristotélica: si A es cierto, entonces Α es falso

Probabilidad y lógica deductiva Supongamos ahora que la proposición I es la premisa principal del silogismo fuerte: Ι=Α⇒Β

La regla del producto se reduce al silogismo fuerte: p (Β | ΑΙ) =

p ( ΑΒ | Ι) p( Α | Ι) = =1 p( Α | Ι) p( Α | Ι)

p ( Α | Β Ι) =

p( ΑΒ | Ι) 0 = =0 p ( Β | Ι) p ( Β | Ι)

Probabilidad y lógica deductiva Las leyes de la probabilidad van más allá de la lógica deductiva y contienen al silogismo débil del principio. Ι=Α⇒Β p(Β | ΑΙ) p ( Α | Ι) p ( Α | ΒΙ ) = p( Α | Ι) = ≥ p ( Α | Ι) p (Β | Ι ) p (Β | Ι )

Si A implica B, A es más plausible cuando B es cierto.

Teorema de Bayes A partir de las reglas de la probabilidad se puede deducir el teorema de Bayes: p ( X , Y | I ) = p ( X | Y , I ) p (Y | I )

p (Y | X , I ) =

p (Y , X | I ) = p (Y | X , I ) p ( X | I )

p( X | Y , I ) p(Y | I ) p( X )

Este resultado cobra especial interés si sustituimos X por D (datos) e Y por H (hipótesis): p( D | H , I ) p( H | I ) p ( H | D, I ) = p( D)

Teorema de Bayes p ( H | D, I ) =

p( D | H , I ) p( H | I ) p( D)

p ( H | I ) se denomina probabilidad prior y representa el nivel de

confianza en la hipótesis sin utilizar los datos p( D | H , I ) se denomina verosimilitud y representa lo verosímiles que

son los datos si la hipótesis es cierta La verosimilitud sirve para transformar la probabilidad prior en posterior: p( H | D, I ) se denomina probabilidad posterior y representa el nivel de

confianza en la hipótesis a la luz de los datos p( D | I ) se denomina evidencia y en muchas aplicaciones solo

cumple una función de normalización, pues no depende de H

El problema del taxi Problema propuesto por Daniel Kahneman y Amos Tversky *: Un taxi golpea a una persona de noche y huye. En la ciudad operan don compañías de taxis: la verde y la azul. El 85% de los taxis de la ciudad son verdes y el 15% restante, azules. ¿Cuál es la probabilidad de que el taxi del accidente fuera azul? * D. Kahneman and A. Tversky, eds. Judgement under Uncertainty: Heuristics and biases. New York: Cambridge Univ. Press,. 1982.

El problema del taxi con testigo Un taxi golpea a una persona de noche y huye. En la ciudad operan don compañías de taxis: la verde y la azul. El 85% de los taxis de la ciudad son verdes y el 15% restante, azules. Una testigo identifica el taxi como azul. El jurado estima la fiabilidad de la testigo en un 80%. ¿Cuál es la probabilidad de que el taxi del accidente fuera azul?

Probabilidades a priori Las probabilidades a priori sin disponer del testimonio de la testigo son: p(Η = v) = 0.85 p(Η = a) = 0.15

Buscamos la probabilidad a posteriori de que la compañía sea azul, conociendo la identificación de la testigo: ¿ p(H = v | D = a) ?

Verosimilitud La verosimilitud es fácil de calcular: p(D = a | Η = v) = 0.20

p(D = a | Η = a ) = 0.80

El dato de que disponemos es que la testigo afirma que la compañía responsable es la azul. Este dato es más verosímil cuando aceptamos la hipótesis de que la compañía azul es responsable (80% frente a 20%). Si nuestro criterio fuera optimizar la verosimilitud, concluiríamos que la compañía responsable es la azul.

Probabilidades a posteriori p( D = a | H = v) p( H = v) 0.2 × 0.85 = p(D = a) p(D = a) p(D = a | H = a) p(H = a) 0.8 × 0.15 p(H = a | D = a) = = p(D = a) p(D = a) p(H = v | D = a) =

p(D = a) = 0.2 × 0.85 + 0.8 × 0.15 = 0.17 + 0.12 = 0.29

0.17 p(H = v | D = a) = = 0.59 0.29 0.12 p(H = a | D = a) = = 0.41 0.29

Probabilidades a posteriori Sin embargo, la probabilidad a posteriori de que la compañía responsable sea la azul (H=a) es tan solo del 41%. Método de máxima verosimilitud: La maximización de la verosimilitud conduce al resultado opuesto. La razón de la discrepancia es el valor de las probabilidades a priori.

Algunos comentarios finales sobre probabilidad Las probabilidades representan conexiones lógicas, no causales. Consideremos una urna con 5 bolas rojas y 7 negras. Si en la primera extracción se ha eliminado una bola roja, ¿cuál es la prob. de extraer una bola roja en una segunda extracción? Cualquiera afirmaría que es 4/11. Por el contrario, supongamos que la segunda extracción ha sido roja, ¿cuál es la prob. de que la primera fuera roja también? Aunque la segunda extracción no puede tener una influencia causal en la primera, sí la tiene lógica. Esto se ve bien claro en el caso en que la bolsa contiene una sola bola roja: en este caso, la probabilidad de que la primera fuera roja es 0.