La palabra matemáticas proviene del término griego mathematiké o ciencia por excelencia, pues los sabios de Grecia opinaban que todas las leyes de la vida y del mundo físico se podían expresar por medio de los números.

Las matemáticas son una ciencia experimental que basa su desarrollo en la intuición y la lógica.

¿Te has preguntado alguna vez por qué la nombramos en plural: las matemáticas? Como habrás observado en cursos pasados, esta ciencia se puede dividir en varias ramas: geometría, álgebra, etc.

La aritmética es la ciencia de los números y está fundamentada en las relaciones que se pueden establecer entre ellos mediante operaciones, y en sus propiedades.

En esta unidad vas a aprender a:

1. Clasificar los números naturales dentro de los enteros y éstos dentro de los racionales. 2. Conocer las operaciones entre los números enteros y los racionales, así como sus propiedades. 3. Clasificar la expresión decimal de un número racional. 4. Hallar la fracción generatriz de la expresión decimal de un número racional. 5. Aprender las propiedades de las potencias de base entera y racional con exponente natural, cero y negativo, así como las operaciones que se pueden realizar con ellas. 6. Utilizar correctamente los números enteros y racionales en situaciones cotidianas (porcentajes, grifos...)

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LOS NÚMEROS RACIONALES

1

PARA EMPEZAR 1.

Calcula: a) b) c) d) e)

2.

⎡⎣12 (−4 )+ 3 (1− 2 ⋅3 )⎤⎦ (3 − 6 )=

−7 − ⎡⎣ − (4 − 7 )⋅5 − 4 ⋅(6 −9 )⎤⎦ =

−2 − 3 ⋅ ⎡⎣ −7 ⋅ (−5 + 4 )− (−5 )⋅ (−3 + 5 )⎤⎦ =

6 − 2⋅ ⎡⎣5 − 3 − (4 − 7 )⎤⎦: (−2 ) =

Representar los siguientes números en la recta real: 0

3.

18 − ⎡⎣(3 + 6 + 9 ): (6 −9 )⎤⎦ =

-4/3

4/3

-2/5

1/3

5/2

Calcular: a) b) c) d) e) f) g) h)

2 1 ⋅ = 3 2 2 ⎛1 2⎞ ⋅⎜ ⋅ ⎟ = 3 ⎝2 3⎠ ⎛2 1⎞ ⎛1 3 ⎞ ⎜ 3 − 2 ⎟ ⋅⎜ 2 + 4 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛2 1⎞ ⎛2 7 ⎞ ⎜ + ⎟ ⋅⎜ − ⎟ = ⎝3 5⎠ ⎝3 2⎠ 3 2 1 − ⋅ = 7 5 2 ⎛1 2⎞ 4 ⎜ 2 + 5 ⎟: 5 = ⎝ ⎠ ⎛2 ⎞ 2 ⎜ 3 + 5 ⎟: 5 = ⎝ ⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎛2 1⎞ ⎜ − ⎟:⎜ − ⎟ = ⎝2 3⎠ ⎝3 2⎠

4.

Si una empresa gana 135.000 € mensuales netos y le aumentan las ganancias un 16 %, ¿cuánto dinero supone la subida?

5.

Un albañil construye 8 m2 de pared en 12 horas de trabajo. Le falta por levantar 24 m2. ¿Cuánto tiempo tardará si trabaja al mismo ritmo?

6.

Si una persona cobra un salario neto de 1517 €, ¿cuál será su salario bruto si los descuentos suponen en total un 18 %?

7.

Escribir en forma de potencia: a)

(-2)4 ⋅(-2) 5 =

d)

(-2)1 ⋅(-2) 0 ⋅(-2) 3

b)

(-8)4 ⋅(-8) 3 =

e)

(-3)7 :(-3) 2 =

c)

⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜ 4 ⎟ :⎜ 4 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f)

⎛ −3 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

3

2

2

LOS NÚMEROS RACIONALES

4

3

⎛ −3 ⎞ :⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠

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PARA RECORDAR 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. Como bien sabes las matemáticas surgen de la necesidad de contar, ordenar, comprar o jugar. De esta manera surgieron los números naturales. ¿Qué números forman el conjunto de los números naturales? ¿Con qué letra se designan?

Con los números naturales se pueden realizar las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. Si cogemos dos números naturales cualesquiera y los sumamos el resultado también es un número natural. ¿Pero que sucede si los restamos? ¿Podrías encontrar dos números naturales cuya resta no lo sea? ¿Por qué crees que sucede esto?

Los números naturales no son suficientes a la hora de expresar ciertas cantidades como las deudas, las temperaturas bajo cero, etc. Por eso tenemos la necesidad de ampliar este conjunto añadiéndole los números negativos. De esta manera obtenemos el conjunto de los números enteros que están formados por los números naturales (positivos), los números negativos y el cero.

¿Con qué letra se designa al conjunto de los números enteros?

Con los números enteros se pueden realizar entonces las operaciones aritméticas de sumar y restar, ¿y qué sucede con la multiplicación y la división? Si multiplicamos dos números enteros cualesquiera, ¿el resultado seguirá siendo un número entero?

¿Y qué sucede si dividimos dos números enteros?

Al dividir números enteros, nos encontramos con una dificultad similar a la de la resta de números naturales. Si consideramos por ejemplo la división 4 : 7 su resultado no corresponde con ninguno de los números que forman el conjunto de los números enteros. Estas divisiones se dejan indicadas de la forma 4 y reciben el 7 nombre de fracciones. El conjunto que resulta de añadir a los números enteros los números fraccionarios se representa con la letra Q y se llama conjunto de los números racionales porque se pueden expresar mediante una razón: a . b Los números racionales son, pues, los que se pueden expresar en forma de fracción. Intenta expresar en forma de fracción los siguientes cocientes de números enteros: -0'3

3'25

2

-1'5

-5

a ¿Crees que puede existir algún número fraccionario de la forma ? Ayúdate de un ejemplo para razonar tu 0 respuesta.

El conjunto de los números naturales es: N = {1, 2, 3, 4,…} El conjunto de los números enteros es el formado por los números naturales (positivos), los números negativos y el cero: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} El conjunto de los números racionales, es el conjunto de los números que se pueden expresar de la forma a , donde a y b son números enteros y b ≠ 0 . b

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LOS NÚMEROS RACIONALES

3

PARA PRACTICAR 8.

Como ves en este diagrama los números enteros son una parte del conjunto de los números racionales. ¿Sabrías explicar por qué?

9.

Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o no.

Q

Z

N

a) Todo número natural es entero. b) Ningún número racional es natural. c) Algún número natural es entero. d) Algún número racional es entero.

10.

¿Cuál es el menor número natural? ¿Y el menor número entero?

11.

Clasifica los siguientes números indicando el conjunto menor al que pertenecen. -3, 8/4, -9/2, 13, -27/9, 5/3, 0

12.

Los números naturales, enteros y racionales se representan sobre una recta numérica eligiendo un punto de origen para el 0. Dibuja una recta y representa sobre ella los números: 4'33, -8/3, 5/10, -1/4, -3, 5, 2'83 Si representamos sobre la recta numérica todos los números racionales, ¿cuántos puntos quedan sin cubrir?

PARA RECORDAR 2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Propiedades de las operaciones: Las operaciones con números enteros presentan las siguientes propiedades. Completa la columna de la derecha comprobando cada propiedad con un ejemplo.

Operación

Propiedad Asociativa

Suma (resta)

Conmutativa Elemento neutro Elemento opuesto Asociativa

Multiplicación (división)

Conmutativa Elemento neutro

Distributiva respecto de la suma

4

LOS NÚMEROS RACIONALES

Expresión analítica

Ejemplo

(a + b )+ c = a + (b +c ) a +b = b +a a+0 = a a + (−a )= 0

(a ⋅b )⋅c = a ⋅ (b ⋅c ) a ⋅b = b ⋅ a a ⋅1= a a ⋅(b + c )= a ⋅b + a ⋅c

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3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Propiedades de las operaciones: Las operaciones con números racionales presentan las siguientes propiedades. Completa la columna de la derecha comprobando cada propiedad con un ejemplo.

Operación

Propiedad Asociativa

Conmutativa Suma (resta) Elemento neutro

Elemento opuesto

Asociativa Multiplicación (división)

Conmutativa

Elemento neutro

Distributiva respecto de la suma

Expresión analítica

Ejemplo

⎛ a c ⎞ e a ⎛c e ⎞ ⎜ + ⎟+ = +⎜ + ⎟ ⎝b d⎠ f b ⎝d f ⎠

a c c a + = + b d d b a a +0 = b b a ⎛ a⎞ +⎜ − ⎟ =0 b ⎝ b⎠ ⎛a c ⎞ e a ⎛c e ⎞ ⎜ ⋅ ⎟⋅ = ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ ⎝b d⎠ f b ⎝d f ⎠

a c c a ⋅ = ⋅ b d d b a a ⋅1= b b a b ⋅ =1 b a

PARA PRACTICAR 13.

Calcula: a)

5 − [7 − 2 − (1− 9) − 3 +12 ]+ 4 =

b)

1− ( −3 + 6 +1 ) − [4 −( 6 −3 +1 ) −2 ]=

c)

6 − ( −9 + 7 −1 ) − [3 −( −5 + 4 + 6) −1]=

d)

28 − [21− (12 −3) − 7 ]=

e)

12 − [14 −(6 − 4) + 2 ]=

f)

[−2 + 3 ⋅(2 − 5):3 ]−[(3 −5 + 2) −2 ⋅(3 −4) ]=

g)

22 − 4 ⋅( 9 − 3 ⋅2 ) + 7 ⋅4 =

h)

8 − [6 − ( −3 + 7) − 6 ]+ 4 =

i)

22 − [4 − 6 − (1− 9) + 6:2 ]+ 8 =

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LOS NÚMEROS RACIONALES

5

14.

15.

Efectúa las siguientes operaciones: a)

3 1 3 3 ⋅ + ⋅ = 11 4 11 4

b)

1 3 1 5 ⋅ + ⋅ = 4 8 4 8

c)

3 2 3 −9 ⋅ + ⋅ = 8 7 8 7

d)

11 3 3 4 ⋅ − ⋅ = 7 10 10 7

Calcula: a)

4 15 3 9 ⋅ − : = 5 6 2 8

b)

3 4 ⎛ 4 3⎞ − ⋅⎜ − ⎟ = 6 5 ⎝ 12 6 ⎠

c)

⎛3 4⎞ ⎛ 4 3⎞ ⎜ − ⎟ ⋅⎜ − ⎟ = ⎝ 6 5 ⎠ ⎝ 12 6 ⎠

d)

4 2⎛6 7⎞ + −2+ ⎟ = 3 5 ⎜⎝ 2 3⎠

PARA APRENDER 4. EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL. Clasificación de las expresiones decimales: a (b ≠ 0 ) lo que representa el b cociente indicado entre dos números enteros. El número racional que representa tiene una expresión

Como hemos visto todo número racional se puede expresar de la forma

decimal. Efectúa el cociente que se indica en los siguientes números fraccionarios: 6 − = 3

5 = 2

1 − = 6

1 = 3

¿Qué similitudes y diferencias encuentras entre los resultados obtenidos?

Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división entre el numerador y el denominador y el cociente puede ser: Número entero

−

5 = 1'25, 4

Decimal exacto

Decimal periódico (No infinito de cifras decimales)

6

18 = −2, 9

Puro

Mixto

LOS NÚMEROS RACIONALES

 2 = 0'6, 3

244 =122 2

El cociente es un número entero.

7 =1' 4 5

Número finito de cifras decimales.

15 o =1'36 11

 105 17 o = 2'83, =1'590 6 66

Una o varias cifras decimales se repiten indefinidamente (periodo). Hay alguna cifra decimal que no forma parte del periodo (anteperiodo).

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PARA PRACTICAR 16.

Clasifica las siguientes expresiones decimales: a) b) c) d) e) f)

3'24 0'0567 5'356356356356… 8'89898989… 2'01001000100001… 5'21323232323…

PARA APRENDER Expresión decimal de un número racional: Hemos visto que para clasificar los números racionales según su expresión decimal tenemos que realizar el cociente que se nos indica. Pero, ¿podríamos saber de antemano, sin hacer la división, si la expresión decimal de un número racional es exacta, periódica pura o periódica mixta? Te damos una serie de pautas para que puedas averiguarlo. 1º Simplifica la fracción. 2º Descompón el denominador en factores y observa los factores que has obtenido:

Factores del denominador

Tipo de decimal

Sólo aparecen potencias de 2 o de 5.

Exacto

No aparece ninguna potencia de 2 o de 5.

Periódico puro

Aparecen potencias de 2 o de 5 junto a alguna distinta de 2 o de 5.

Periódico mixto

PARA PRACTICAR 17.

Indica el conjunto menor al que pertenecen los siguientes números y en caso de que sean racionales indica sin hacer la división si su expresión decimal es un número decimal exacto, periódico puro o mixto. a) 0'777...

j)

b) 3

k) 1'279393...

c) -5

l)

d) 9'27

m) -2985

e) 8'345345...

n) 1034523

f)

o) 2/5

3/4

3'54

2'555...

g) 9/6

p) 25/5

h) 1/9

q) 3/14

i)

r)

1/18

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3’1234...

LOS NÚMEROS RACIONALES

7

PARA APRENDER 5. PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN. En ocasiones nos interesará obtener la fracción que nos ha originado un número decimal. A esta fracción se le llama fracción generatriz. A continuación vamos a ver como se puede hallar.

Paso de decimal exacto a fracción: Obtén la fracción generatriz de los siguientes números decimales exactos: 2'45

0'3

-7'235

Paso de decimal periódico puro a fracción: Ejemplo: o . Obtén la fracción generatriz de 3'24 N = 3'242424... ⎫ ⎬ 100 · N = 324'2424... ⎭

Re s tando:

⎫ ⎬ 3'242424... ⎭

100 · N = 324'2424... N = 99 N =

324 - 3

o = 324 - 3 = 321 N = 3'24 99 99 ↑ fracción generatriz (En la práctica basta con hacer la última operación)

Para hallar la fracción generatriz de un número decimal periódico puro al número sin coma se le resta la parte entera y se divide entre tantos nueves como cifras tiene el periodo.

Paso de decimal periódico mixto a fracción: Ejemplo: o . Obtén la fracción generatriz de 2' 456

N= 2'4565656...⎫ ⎪ 10 · N = 24'565656... ⎬ ⎪ 1000 · N = 2456'5656... ⎭

Re s tando:

1000 · N = 2456'5656... ⎫ ⎬ 10 · N = 24'565656...⎭ 990 N =

2456 − 24

o = 2456-24 = 2432 N = 2'456 990 990 ↑ fracción generatriz

Para hallar la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto al número sin coma se le resta lo anterior al periodo y se divide entre tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo.

8

LOS NÚMEROS RACIONALES

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PARA PRACTICAR 18.

Hallar la fracción generatriz de: a) 0'8666...

d) 2'22

g) 9'27333...

b) 3'2727...

e) 2'222...

h) 3'2424...

c) 8'27

f) 2'31222...

i) 15'34

PARA RECORDAR 6. POTENCIACIÓN. Potencias de exponente natural:

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. - El número que se repite (a) se llama base. - El número de veces que se repite la base (n) se llama exponente. - a n es el resultado y se llama potencia. an = a ⋅ a  ⋅ ... ⋅

a  n veces

Ejemplo: a)

5 6 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅5

b)

(−3 ) = (−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )

c)

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3 ⎟⋅ ⎜ 3 ⎟ ⋅⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

5

3

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LOS NÚMEROS RACIONALES

9

Signo de una potencia: - Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.

⎧ y el exponente par, la potencia es positiva.

- Si la base es negativa, ⎨

⎩ y el exponente impar, la potencia es negativa.

Ejemplo: a)

−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )= 3 4 (−3 ) = (HJJJJJJJJJJ G HJJJJJJJJJJG

b)

−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 ) = −3 4 (−3 ) = (HJJJJJJJJJJ G HJJJJJJJJJJG HJJJG

4

+

+

5

+

+

−

Operaciones con potencias:

Producto de potencias de la misma base.

am ⋅ an = am+n

32 ⋅ 33 = 3 ⋅ 3G ⋅ 3 ⋅3 ⋅3 = 3 5 HJJJ HJJJJJG

Cociente de potencias de la misma base.

am : an = am-n

35 : 3 3 =

Potencia de un producto (mismo exponente).

(a ⋅ b )

= am ⋅ b m

Potencia de un cociente (mismo exponente).

(a : b )

m

m

m

Potencia de una potencia.

= a :b

(a ) = a m n

m⋅ n

m

3/ ⋅ 3/ ⋅ 3/ ⋅ 3 ⋅ 3 =32 3/ ⋅ 3/ ⋅ 3/

33 ⋅ 43 = 3HJJJJJJ ⋅ 3 ⋅ 3G ⋅ 4HJJJJJJ ⋅ 4 ⋅ 4G = 3HJJJ ⋅ 4G ⋅ 3 ⋅ 4G ⋅ 3 ⋅ 4G = (3 ⋅ 4 ) = 123 HJJJ HJJJ 3

3 ⋅3 ⋅3 3 3 3 ⎛ 3 ⎞ 3 :4 = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ 4⋅4⋅4 4 4 4 ⎝ 4 ⎠ 3

(2 ) = 2 2 3

3

3

2

⋅ 22 ⋅ 22 = 2 ⋅ 2G ⋅ 2 ⋅ 2G ⋅ 2 ⋅ 2G = 2 6 HJJJ HJJJ HJJJ

Ejemplo: a)

(-4 ) : (-4 )

b)

⎛ 3⎞ ⎜- ⎟ ⎝ 4⎠

5

3

5

= (-4 ) = 4 2 2

-3

2

⎛ 3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛3 ⎞ ⋅⎜- ⎟ = ⎜- ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝4 ⎠

c)

(-11) : (-11)

d)

⎡⎛ -3 ⎞4 ⎤ ⎛ -3 ⎞12 ⎛ 3 ⎞ 12 ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠

7

4

= (-11) = -113 3

3

2

Potencias de exponente cero:

Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad: a0=1 Demostración:

1=

ab = ab :ab = a b−b = a 0 ab

Ejemplo: a)

1=

32 = 32 :3 2 = 3 2− 2 = 3 0 32

10 LOS NÚMEROS RACIONALES

0

b)

⎛ 2⎞ ⎜ − ⎟ =1 ⎝ 7⎠

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Potencias de exponente negativo: Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por esa misma potencia con exponente positivo: a -n =

1 an

Demostración: a −n = a 0−n = a 0 :a n =

a0 1 = an a n

Ejemplo: a)

3 −2 = 3 0−2 = 3 0 :3 2 =

b)

1 = 54 5 −4

−6

30 1 = 32 3 2

c)

6

⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛2⎞ ⎜ − ⎟ =⎜ − ⎟ =⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝3⎠

6

PARA PRACTICAR 19.

20.

Calcular: 23 =

b)

(-23 ) =

d)

0

(-2-3 ) =

a)

⎡(−2 )3 ⎤ = ⎣ ⎦

b)

⎡⎛ 2 ⎞ −3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦

c)

⎛3⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠

d)

⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ 7 ⎟ ⋅⎜ 7 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e)

−4

6

−−4

e)

⎡(−2 )−2 ⎤ ⎣ ⎦

f)

⎡⎛ 3 ⎞2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎥⎦

g)

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 4 ⎟ ⋅⎜ 4 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

h)

⎛ −2 5 ⎞ ⎜ 7 ⋅2 ⎟ = ⎝ ⎠

=

f)

⎛ −2 ⎞ ⎜ 6 ⎟ = ⎝ ⎠

g)

(−2 )

i)

⎡(−3 )−2 ⎤ = ⎣ ⎦

j)

⎡ ⎛ 2 ⎞ −3 ⎤ ⎢⎜ − ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦

k)

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 3 ⎟ :⎜ 3 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

l)

⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎜ 3 ⎟ :⎜ 3 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−6

−2

−3

⎛3⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝5⎠ −6

22.

⎛8⎞ ⎜3⎟ = ⎝ ⎠

⎛6⎞ ⎜7⎟ = ⎝ ⎠ Escribir en forma de una sola potencia:

c)

5

21.

−2

−3

a)

−4

−4

=

−4

2

−2

−3

−5

−3

−2

4

Efectúa las operaciones siguientes: a)

35 ⋅ 3 7 ⋅ 3 4 =

e)

23 ⋅33 ⋅5 3 =

b)

25 − (−2 ) =

f)

(−8 ) :25 =

c)

(−3 ) : (−3 )

g)

(−8 )

d)

25 ⋅ 27 ⋅ 2 4 =

h)

2 4 − 23 =

3

5

3

=

5

5

− 25 =

Calcula. a)

(−2 ) ⋅5 + (1− 3 ) :4 − 6 =

b)

(2⋅3 + 5 )(5 − 33 + 6 ): (3 − 4 ) =

c)

7 − (−5 )⋅ ⎡⎣ 4 − (1− 4 )⎤⎦ =

d)

2 3 − (−2 )⋅ ⎡⎢ −3 − (−3 + (−2 )) ⎤⎥ = ⎣ ⎦

e)

2 − 3 ⎡⎣5 − 4 (4 − 6 )⎤⎦ + 8 2 :4 =

4

3

2

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LOS NÚMEROS RACIONALES

11

PARA RECORDAR 7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. A continuación te proponemos una serie de problemas en los que queremos que utilices lo que has aprendido hasta ahora de los números racionales en la resolución de problemas relacionados con situaciones cotidianas como porcentajes, proporciones, grifos, etc. Recuerda que hay una herramienta que facilita la resolución de muchos problemas: la regla de tres.

PROBLEMA 1: ¿Qué porcentaje debe subir el sueldo de una persona que gana 1100 €, para que el nuevo sueldo sea 1232 €?

PROBLEMA 2: En una caja, 2 de cada 5 bolas son azules. Hay 12 bolas azules en la caja. ¿Cuántas bolas tiene la caja?

PROBLEMA 3: Un grifo arroja 8 litros de agua por minuto y otro 12 litros. Abiertos simultáneamente los dos grifos sobre un depósito de 600 litros, ¿cuánto tardarán en llenarlo?

12 LOS NÚMEROS RACIONALES

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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS El ministerio de Economía y Hacienda ha establecido para el cálculo del Número de Identificación Fiscal (NIF), un procedimiento consistente en añadir una letra de control al DNI.

La forma de calcular esta letra es bastante sencilla. Dado un DNI cualquiera (16234521, por ejemplo), lo primero que hay que hacer es obtener el resto de su división por 23, cuyo resultado debe estar comprendido entre 0 y 22. En nuestro ejemplo ese resto es 17.

A continuación se consulta la tabla siguiente, para obtener definitivamente la letra de control a añadir al DNI. Resto obtenido

Letra de control

Resto obtenido

Letra de control

0

T

12

N

1

R

13

J

2

W

14

Z

3

A

15

S

4

G

16

Q

5

M

17

V

6

Y

18

H

7

F

19

L

8

P

20

C

9

D

21

K

10

X

22

E

11

B

El NIF en nuestro ejemplo sería el 16234521V.

Si se produjera un error y se grabara como NIF 16235421V, se detectaría que es incorrecto pues el DNI 16235421 tiene 20 como resto y por tanto la letra debe ser la C, en lugar de la V.

Evitar ese y otros errores usuales es el objetivo que se persigue con la introducción del NIF.

a) Comprueba con tu DNI que tu letra de control se corresponde con la tabla.

b) ¿Es correcto el DNI 12345678D?

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LOS NÚMEROS RACIONALES

13

PARA ENTRENAR 1. Calcula:

{

}

a)

13 − 7 − ⎡⎣5 − 2 ⋅ (5 − 9 )⎤⎦ =

b)

5 − 4 (−6 )+ 10:2 − ⎡⎣5 − (4 + 6 )⎤⎦ =

c)

− ⎡⎣ −3 − 2 ⋅ (−4 + 6 − 3 )− 8 ⎤⎦ =

d)

10 − (−3 )+ 2 ⋅ ⎡⎣(−3 )⋅ (−4 )− (−1)⎤⎦ =

e)

−2 − ⎣⎡ 4 − (−2 )(2 +1)⎦⎤ =

2. Calcular: a)

1 = 1− 1 2

5

c)

5

b)

7= 2

d)

2

3= 3

1 = 7 8

e)

5 12 ⋅ = 6 10

f)

5 10 : = 6 12

3. Calcular:

a)

2⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎛ − ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ −2 − ⎟ 10 5 5 ⎝ ⎠⎝ ⎠= 1 5 − 2 3

b)

⎛3 7⎞ ⎛5 2 ⎞ − ⎜ + ⎟⋅⎜ − ⎟ = ⎝6 2⎠ ⎝2 7⎠

c)

⎛ −6 −1 ⎞ 3 5 1 ⎜ 2 − 5 ⎟: 5 − 4 ⋅ 6 = ⎝ ⎠

d)

7⎞ ⎛2 3⎞ ⎛ ⎜ 7 + 5 ⎟ ⋅ ⎜ −2 + 6 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 1 1− 2

e)

⎛3 2⎞ 4 2 3 ⎜ 2 − 5 ⎟: 7 − 9 ⋅ 7 = ⎝ ⎠

f)

⎛3 7⎞ 5 3 − ⎜ + ⎟⋅ + = ⎝5 2⎠ 2 7

4. Escribe en forma de porcentaje: a) En una clase de 27 alumnos, los 2/3 son niñas. b) De 1000 personas encuestadas, 400 prefieren el pan integral. c) De cada cuatro habitantes del mundo, uno vive en China. d) Los mares y océanos ocupan 361.100.000 kilómetros cuadrados; el área total de la superficie del planeta es de 509.880.000 kilómetros cuadrados. e) 25 es el ___ % de 75.

5. Si un producto cuesta 12.000 € y se le aplica un 6% de IVA, ¿qué cantidad supone el IVA?

14 LOS NÚMEROS RACIONALES

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6. Si al salario de un trabajador se le aplica una retención en concepto de IRPF del 19%, un descuento del 2'5% para la Seguridad Social y un 0'75% para una mutualidad profesional, ¿cuál es su salario neto si su salario bruto es de 3100 €?

7. Clasificar los siguientes números en N, Z y Q (indicando si son decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos cuando proceda). a) 0'2301111...

d) 565'11111...

g) 152'444...

b) 2'2564

e) 152'152

h) 256'023333...

c) 12'0232323...

f)

i)

15'454545...

-25

8. Hallar la fracción generatriz de: a) 12'23

c) 65'02444...

e) 56'151515...

b) 25'333...

d) 45'25

f)

48'25666...

o)

(−3 ) : (−3 )

9. Calcular el valor de las siguientes potencias: a)

⎡⎣(−2 )+ 2 + (−3 )⎤⎦ =

b)

⎡(−12 )2 − (−7 )3 + 9 ⎤ = ⎣ ⎦

2

2

10. Expresa como una única potencia: a)

(−2 ) ⋅(−2 ) ⋅(−2 )= 3

4

−5 −3

b)

⎡(2 ) ⎤ = ⎣ ⎦

c)

⎛2⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠

d)

⎡⎛ 3 ⎞ −2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦

e)

⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ 3 ⎟:⎜ 3 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠

f)

⎡ ⎛ −2 ⎞ 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦

g)

⎡(−1)−4 ⎤ = ⎣ ⎦

3

h)

−3

−2

=

−2

i)

⎡(−3 )3 ⎤ = ⎣ ⎦

j)

⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜ 2 ⎟ ⋅⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k)

⎡⎛ −3 ⎞ −2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎥⎦

l)

⎛ −5 ⎞ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠

−2

⎛2⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝5⎠

(3 ) ⋅ (3 ) −4

−7

3

⎛5⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝2⎠

−5

−3

7

⎡(−3 ) ⎤ = ⎣ ⎦

q)

⎛ 1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

r)

⎡⎛ 1 ⎞ −2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦

s)

⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎜ 19 ⎟ : ⎜ 19 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

t)

5 ⎧⎡ −2 3 ⎤ ⎫ ⎨ ⎢ −2 ⎬ = ⎦⎥ ⎭ ⎩⎣

u)

(−1) : (−1)

9

⎛ −5 ⎞ :⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠

6

6

3

−4

⎛ 1⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝2⎠

12

3

(−5 ) : (−5 )

=

3 2 −

−3

⎡⎛ 5 ⎞ −2 ⎤ m) ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦

n)

4

p)

−5

3

6

=

(

− 10

3

)

2

=

6

=

11. El 6 % de los tornillos que hace una máquina son defectuosos. Un día, la máquina ha sacado 48 tornillos defectuosos. ¿Cuántos tornillos fabricó ese día?

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LOS NÚMEROS RACIONALES

15

12. Calcular: 3

a)

⎡⎛ 1 ⎞ 2 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ 5 ⎥⎦

b)

⎡⎣ 2 ⋅5 ⋅ (−3 )⎤⎦ =

c)

⎡ ⎛ −1 ⎞ 3 6 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⋅ (−5 )⎥ = ⎣⎢⎝ 3 ⎠ 5 ⎦⎥

d)

⎛3 5⎞ ⎜ 4:6 ⎟ = ⎝ ⎠

e)

⎡ ⎛ −3 ⎞ 2 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ 4 ⎦⎥

f)

⎡ 32 ⋅ (−2 )2 ⎤ ⎢ ⎥ = 6 ⎢⎣ ⎥⎦

g)

⎡ (−2 )⋅ (−3 )3 ⎤ ⎢ ⎥ = 9 ⎣⎢ ⎦⎥

h)

⎡ 23 2 ⋅ (−3 )2 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ (−3 )⋅ 20 ⎥ ⎣ ⎦

i)

(−3 ) ⋅(−3 ) 8 (−3 )

3

4

3

5

2

2

2

( ) 5

3

=

13. Expresa en forma general la propiedad asociativa de la suma de fracciones y demuéstrala con un ejemplo.

14. Calcula: a)

3 ⋅ 6 − ⎡⎣(−5 + 2 )− (2 − 6 )⋅ (−2 + 3 )⎤⎦ =

b)

(−2 )(−5 )− ⎡⎣(3 + 5 )− (4 + 2 )⎤⎦ − ⎡⎣(5 −6 )− (5 + 4 )⎤⎦ =

c)

(−6 + 3 )− (4 − 5 + 2 )⋅(−3 − 6 + 2 )− ⎡⎣(5 − 7 )+ (2 −3 − 4 )⎤⎦ =

d)

⎡⎣(4 − 6 + 3 )− (5 − 7 + 2 )⎤⎦ − ⎡⎣(4 − 2 +1)− (3 −6 +2 )⎤⎦ =

e)

⎡⎣(5 − 6 + 2 − 5 )+ (3 − 4 + 2 )− (3 −7 + 6 )⎤⎦ − ⎡⎣(3 −5 )− (4 +3 )⎤⎦ =

f)

22 − 4 ⋅( 9 − 3 ⋅2 ) + 7 ⋅4 =

g)

4 ⋅(10 − 2 − 3) − 2 ( −3 −15:3) +(9 −2) =

16 LOS NÚMEROS RACIONALES

COLEGIO VIZCAYA

15. Calcula: a)

2 4 3 + ⋅ = 5 7 5

b)

⎛3 1⎞ ⎛3 2 ⎞ ⎜ 4 + 3 ⎟⋅ ⎜ 6 − 3 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠

c)

1 3 3 3+5−9 = 4 6 2 6 8 5

d)

1 3 2 + + 4 6 5= 2 4 2 − + 5 6 3

e)

⎛ 4 5 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ −3 2 ⎞ ⎜ 3 : 2 ⎟ ⋅ ⎜ 7 ⋅ 5 ⎟ + ⎜ 2 + 6 ⋅3 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f)

⎛ 5 3 ⎞ ⎛ 1 3 3 ⎞ ⎛2 6 3 ⎞ ⎜ 4 − 5 ⎟−⎜ 2 + 5 ⋅6 ⎟+ ⎜ 3 ⋅2 ⋅6 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g)

2 1 ⎡ 7 ⎛ 1 ⎞⎤ − + ⋅ ⎢ − − (−2 )⋅ ⎜ − 3 ⎟ ⎥ = 3 3 ⎣ 3 ⎝ 4 ⎠⎦

16. Una persona tiene un sueldo bruto mensual de 2400 €. ¿Cuál será su nuevo sueldo si el sueldo anterior se incrementa un 4 %?

17. Se adquiere una mercancía cuyo precio es 123.000 €. Si dicho precio debe ser recargado con un 6 % por pago aplazado y un 2 % por transporte, ¿cuál será el precio final de la mercancía?

18. Una persona ha pagado 1020 € por un artículo cuyo precio era 1200 €. ¿Qué % de descuento le han hecho?

19. Calcular: 3

a)

⎡⎛ 1 ⎞2 ⎛ 3 ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦

b)

⎡ ⎛ −3 ⎞ 2 ⎛ 3 ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦⎥

c)

⎡ ⎛ −1 ⎞ 3 6 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⋅ (−5 )⎥ = ⎣⎢⎝ 3 ⎠ 5 ⎦⎥

5

4

2

d)

e)

⎡ 2 ⎛ −1 ⎞ ⎤ ⎢ 3 ⋅ ⎜ 4 ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ = 2 ⎛5⎞ ⎛5⎞ : ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ 2 ⎞ ⎛ −11 ⎞ ⎛ ⎜5 − ⎟ : ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ = 7 1 − : 6 7

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LOS NÚMEROS RACIONALES

17

20. Calcula: a)

25 ⋅ 3 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 81⋅ 5 23 ⋅ (−3 ) ⋅ 4 2 2

b)

63 ⋅ 9 2

=

c)

3 ⋅ a5b 6c 7 = 2 ⋅ 34 ⋅ a3

d)

2−4 ⋅ 4 2 ⋅ 3 ⋅ 9 − 1 = 2 −5 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 3 2

e)

⎡ (a3 ⋅ a 5 )2 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ (a ⋅ a 2 )2 ⋅ a ⎥ ⎣ ⎦

f)

⎡ a −3 ⋅ b 2 ⎤ ⎢ b3 ⋅ a ⎥ = ⎣ ⎦

3

2

21. Expresa las siguientes expresiones mediante una única potencia: a)

2 −3 =

b)

(−3 )

c)

⎡ a5 2 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ a6 ⎥ ⎣ ⎦

d)

⎡(−5 )3 ⎤ = ⎣ ⎦

−2

=

( )

e)

1−3 =

f)

(−5 )

g)

⎡ a6 2 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ = 4 9 a

h)

⎡ −4 2 3 ⎤ = ⎥⎦ ⎣⎢

9

4

−3

=

( ) ( )

( )

i)

3 −2 =

j)

(−2 )

k)

⎡⎛ 1 ⎞2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ −3 ⎠ ⎦⎥

l)

(−7 )

3

5

−1

= −5

−1

=

22. Efectúa: a)

3 3 1 + + 5 10 2 = 1 4+ 3

b)

1+

c)

1 2+

=

1 3+

1 4

1 5 1+ 5= 7 : 1+ 1 5 1+ 5

1+

2

2

d)

⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 5 ⎠ = 1 1 + 3 5

e)

1 ⎛1 ⎞ 2 + 3⎜ − 2⎟ + 5 ⎝4 ⎠ 7= ⎛1 2 2⎞ 1 ⎜ ⋅ − ⎟: ⎝5 3 3⎠ 4

f)

3⎞ 1 ⎛ ⎜2− ⎟⋅ 4⎠ 5 ⎝ = 1 2 : 6 3

18 LOS NÚMEROS RACIONALES

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23. Calcula, simplificando cuando sea posible:

a)

1 ⎛3 ⎞ − −1 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = 3 +1 4

b)

⎛3 1⎞ −3 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝5 3⎠ = ⎛4 6⎞ −2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝3 5⎠

c)

3 2⎛ 1⎞ 2 − ⎜ 1− ⎟ − 3 ⋅ = 5 5⎝ 3⎠ 9

d)

⎛ 1⎞ ⎛3 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 1+ 3 ⎟ − ⎜ 4 + 2 ⎟ ⋅ ⎜ 3 − 4 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

e)

2 ⎛3 1⎞ 1 ⎛5 1⎞ ⋅ − − ⋅ − = 3 ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠ 6 ⎜⎝ 6 3 ⎟⎠

f)

⎛2 ⎞ ⎛1 1⎞ 5: ⎜ + 1⎟ − 3: ⎜ − ⎟ = ⎝4 ⎠ ⎝2 4⎠

g)

5 3= 5 3+ 3

h)

1 3 − 4 5 = 7 3 − 10 4

i)

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎜ 6 −1⎟ ⋅ ⎜ 3 − 5 ⎟ − ⎜ 3 − 2 ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

j)

⎛ 1 1⎞ ⎛ 1⎞ 2: ⎜ + ⎟ − 3: ⎜ 1+ ⎟ = ⎝6 2⎠ ⎝ 2⎠

k)

3 ⎡ 3 ⎛ 17 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ − ⋅ ⎢1− − ⎜ −1 ⋅ − 3 ⎟ ⎥ = 8 ⎣ 5 ⎝ 20 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎠⎦

2

l)

3−

2 ⎡⎛ 2 1 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎤ ⎛1 ⎞ 13 1 − + − ⎢⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎥: ⎜ 3 −1⎟ = ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠ ⎣⎢⎝ 3 9 ⎠ −2

−1

3 3 1 7 m) ⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ = ⎝2 4⎠ ⎝3 9 ⎠

n)

5 ⎛1 5⎞ 3 ⎛4 7 ⎞ ⋅ + : ⋅ − = 7 ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠ 5 ⎜⎝ 5 10 ⎟⎠ 4

o)

2 3 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎤ ⎢⎜ 2 − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝

p)

⎡⎛ −1 ⎞2 ⎛ −5 ⎞ ⎤ ⎛ 4 ⎞ 2 ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ −1⎟ = ⎣⎢⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 5 ⎠

q)

⎡⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎢⎜ 1− ⎟ + ⎜ − 3 ⎟ ⎥ + ⎜ 2 − ⎟ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 5 ⎠

r)

⎡ ⎛ −1 ⎞ 3 ⎛ 6 ⎞ 4⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ (−2 ) ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎦⎥

−2

−1

2

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LOS NÚMEROS RACIONALES

19

24. Calcula: 3

a)

⎛2 5⎞ ⎜ 3:6 ⎟ = ⎝ ⎠

b)

⎡ 5 2 ⋅ (−2 )⎤ ⎢ ⎥ = ⎣ 10 ⎦

c)

⎡ 43 ⋅3 ⎤ ⎢ 26 ⋅ 9 ⎥ = ⎣ ⎦

d)

⎡ (−2 )⋅ (−4 )2 ⎤ ⎢ ⎥ = 23 ⎢⎣ ⎥⎦

e)

⎡ ⎛ −1 ⎞ 2 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎥ = ⎢⎣⎝ 2 ⎠ 4 ⎥⎦

f)

5 2 ⋅ 7 −3 ⋅ 5 − 4 = 7 2 ⋅ 5 −2 ⋅ 7 − 1

g)

1 1 1 1 1 − ⋅ + : = 2 3 4 5 6

h)

⎛ 1 1⎞ 1 1 1 ⎜ 2 − 3 ⎟⋅ 4 + 5 : 6 = ⎝ ⎠

i)

⎛1 1 1⎞ 1 1 ⎜ 2 − 3 ⋅ 4 ⎟+ 5 : 6 = ⎝ ⎠

j)

⎛1 1 1 1⎞ 1 ⎜ 2 − 3 ⋅ 4 + 5 ⎟: 6 = ⎝ ⎠

2

2

3

4

25. Realiza las siguientes operaciones: a)

−48 +12 ⋅ (−3 + 5 )− (−6 ) : (−3 ) ⋅2 =

b)

7 − 4 ⋅ −2 + (−3 )⋅ ⎡⎣5 +10: (−2 )⎤⎦ =

c)

2 − 6:3 ⋅ 4 − 5 ⋅(−1)− ⎡⎣(−4 )⋅ (−3 )−18: (−9 )⎤⎦ =

d)

− ⎡⎣13 − 2 ⋅(1− 3 )⎤⎦ +15: (−3 )+ (−5 )(−2 ) =

e)

(−2 )

f)

2 + (−2 )⋅ (−7 )− ⎡⎣3 ⋅ (−4 )− (2 + 8: (−2 ))⎤⎦ =

3

{

3

2

}

+ 3 (4 −18:6 )(4 − (−5 )⋅4 )=

26. Si el precio del kilo de pan, que antes costaba 15 €, vale ahora 18 €, ¿cuál es el porcentaje de incremento?

20 LOS NÚMEROS RACIONALES

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PARA APRENDER MÁS 1. Halla la fracción opuesta de -2/5 . 2. Escribe la propiedad distributiva respecto de la suma de fracciones. 3. ¿Qué clase de decimales son los siguientes números racionales? a) 2'533 b) 2'515151… c) 0'010010001…

d) 3'4555… e) 345'2 f) 4'12123123412345…

g) 7'05 h) 4'521313…

4. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales: a) 12’3 b) 7’60777...

c) 0’97626262... d) 32’575757...

e) 3’333...

5. Representa sobre la recta numérica 5/6, -9/4, 7/3, -5/2, -3/5, -15/4. 6. Un supermercado hace la oferta "pague dos y lleve tres". ¿A qué descuento equivale esta oferta? 7. Simplifica y calcula: a)

⎡⎛ −1 ⎞2 ⎛ −4 ⎞ 2 ⎤ 2 ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : (−2 ) = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎦⎥

i)

⎛ 3 1⎞ 4 ⎜ − ⎟ : +1 ⎝4 2⎠ 3 = 1 3 5 − + 2 4 8

j)

3 3 ⎛3 4⎞ ⎜ + ⎟⋅2 + : 2 3 5 2 ⎝ ⎠ = 4 +2:2 3

2

b)

⎡ 1 ⎛ −3 ⎞ 5 ⎤ ⎢9 ⋅⎜ 2 ⎟ ⋅ 2⎥ = ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 2

c)

⎡ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎢⎜ 2 ⎟ ⋅ ⎜ 2 ⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ ⎥ = ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

d)

⎡⎛ 1 ⎞ 4 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎤ ⎛ 9 ⎞ ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 5 ⎠

e)

⎧⎪ ⎡⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ 5 ⎤ ⎛ 1 ⎞ 3 ⎫⎪ ⎛ −1 ⎞ ⎨ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : ⎜ ⎟ ⎬ : ⎜ ⎟ = ⎩⎪ ⎣⎢⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 5 ⎠ ⎭⎪ ⎝ 25 ⎠

f)

⎡⎛ 1 ⎞ 4 ⎛ 3 ⎞3 ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ : ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎦⎥

g)

2 ⎡ 1 2 ⎛ −3 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⋅ ⋅ : ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢ 3 5 ⎜ 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎢ ⎝ 5 ⎠ ⎦⎥ ⎣

h)

3 5 3 ⎛ 1⎞ : − ⋅ ⎜ 1− ⎟ + 2 4 8 2 ⎝ 3⎠ = 1 4 3 3 ⋅ + : 4 5 5 10

4

1 4 ⎛ 3⎞ 3 + ⋅ + 2 ⋅ ⎜1+ ⎟ 2 3 ⎝ 2 ⎠ :2+ 1 = k) 3 2 2+ 4

2

l)

2

4

⎛3 5⎞ 2 ⎛4 ⎞ 2 ⋅ ⎜ − ⎟ : ⋅ ⎜ + 1⎟ ⎝ 4 2⎠ 3 ⎝5 ⎠ = ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎢1 − 2 ⋅ ⎜ 1 + 4 ⎟ ⎥ ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣

⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ : + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ −1 3 7 4⎠ ⎝ 3 ⎠ m) ⎝ = ⎛ −3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ −1 + ⎜ ⎟:⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 4 ⎠

n)

5 1 1 − ⋅3 + 3 4 6= 2 3

o)

⎛2 3⎞ 3 2 ⎜ 4 : 5 ⎟ − 8 ⋅ 6 + 1= ⎝ ⎠

p)

1 1 1+ 2: 2= 3 1 2− 4− 4 4

q)

3⎞ ⎤ 1 ⎡⎛ 1 1 ⎢⎜ 3 + 2 ⋅ 4 − 5 ⎟ ⋅10 ⎥: 3 = ⎠ ⎦ ⎣⎝

r)

1 3 2 4 + − ⋅ −1 3 4 3 5 = 2 15

s)

⎛ 1 2⎞ ⎛1 3⎞ ⎜ 4 − 3 ⎟: ⎜ 3 − 4 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠

t)

⎛ 11 ⎞ ⎜ 2 − 5 ⎟ ⋅5 − 2 ⎝ ⎠ = 1 1− 4

1−

8. Halla el valor de: a)

3 2 3 5⎫ 2 4 ⎧⎡ ⎪ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎤ ⎛ −3 ⎞ ⎪ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⋅ − ⋅ : ⎨⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎪⎩ ⎣⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 5 ⎠ ⎪⎭ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠

b)

2 2 2 ⎪⎧ ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎪⎫ ⎡ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −4 ⎞⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎥ : ⎜ +5 ⎟ = ⎨ ⎢ ⎜ + 1⎟ ⋅ ⎜ 1+ ⎟ ⎥ : ⎜ 2 − ⎟ ⎬ + ⎢ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎠ ⎩⎪ ⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎭⎪ ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎥⎦ ⎝ 4

c)

⎡⎛ 3 2⎞ ⎞ ⎛ 8 ⎞ 1⎤ ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎢⎜ 2 − 4 ⎟ : ⎜1− 3 ⎟ + 2 ⎥ − ⎜ 1+ 3 ⎟ : ⎜ 2 − 3 ⎟ = ⎠⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎝

4

COLEGIO VIZCAYA

2

2

LOS NÚMEROS RACIONALES

21

9. Halla la fracción generatriz de: a) 0'65 b) 3'47888…

c) 3'222… d) 1'234234234…

e) 8'676767… f) 0'5444…

10. Calcula:

c)

(12 − 4 ⋅3 )

d)

7−3 ⋅ 7−5 =

e)

2 ⋅2 ⋅2 =

f)

(a ⋅a ) =

2

3

=

g)

(x

h)

8 −7 ⋅8 2 =

i)

⎡(−5 )3 ⎤ = ⎣ ⎦

4

⋅ x −1

)

−2

4

=

=

t)

(−2 )

=

b’)

(−a )

=

u)

⎛ 1⎞ ⎜2⎟ = ⎝ ⎠

c’)

⎛ −1 ⎞ ⎜a ⎟ = ⎝ ⎠

v)

⎛2⎞ ⎜3⎟ = ⎝ ⎠

w)

⎛ −3 ⎞ ⎜ 4 ⎟ = ⎝ ⎠

x)

(−1)

y)

(−a )

l)

(a ) =

m)

(3 ⋅ 2 )

n)

−2 3

(−a )

k)

−3

2

a’)

4 −2 = 4 −3

−1

b)

(−2 ) =

s)

j)

⎛ 2− 2 ⎞ ⎜ 5 ⎟ = ⎝ ⎠

(−a )

(−2 )

3

⎛ 1⎞ ⎜− 2 ⎟ = ⎝ ⎠

z)

r)

−1

a)

⎛ 35 ⎞ ⎜ 2⎟ = ⎝3 ⎠

⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

5

o)

(−2 )

p)

(−2 )

q)

(−2 )

=

=

−2

3

1

4

=

=

3

−2

−1

=

−6

⎛ −1 ⎞ d’) ⎜ ⎟ = ⎝a ⎠

−2

8

1573

−5

−2

−4

⎛3⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝2⎠

0

=

−1

−4 6

0

−1

5

e’)

⎛ −1 ⎞ ⎜a ⎟ = ⎝ ⎠

f’)

⎛ −1 ⎞ ⎜ 2⎟ = ⎝ ⎠

−4

= =

11. Calcula simplificando siempre que sea posible: a)

b)

1 ⎡⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞⎤ 1 ⎛ 4 3 ⎞ − ⋅ ⎢⎜ + ⎟ ⋅3 − 4 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ − ⋅ ⎜ + ⎟ = 3 ⎣⎝ 2 6 ⎠ ⎝ 4 8 ⎠⎦ 5 ⎝ 7 6 ⎠

2

e)

2 ⎛3⎞ 3 9 − 1+ + 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 4 = − 2 2 3 + −1 ⎛ 2 ⎞ + 9 ⎜3⎟ 4 3 2 ⎝ ⎠

f)

⎛3 1⎞ 4 ⎜ 4 − 2 ⎟ : 3 +1 ⎝ ⎠ = 1 3 5 − + 2 4 8

g)

3 5 3 ⎛ 1⎞ : − ⋅ 1− + 2 4 8 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = 1 4 3 3 ⋅ + : 4 5 5 10

⎡ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1⎞ 1⎤ − ⎟ ⋅⎜ − ⎟ + ⎜ 3: ⎟ : ⎥ = ⎣⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 ⎦

(3 − 4 )⎢⎛⎜

c)

⎡ 3 1 ⎛ 1 ⎞ 3 1 ⎤ ⎡ ⎛ 2 −5 ⎞ ⎤ ⎢ 5 − 3 ⋅ ⎜ 1− 2 ⎟ − 4 + 3 ⎥: ⎢ − ⎜ − 5 ⋅ 3 ⎟ ⎥ = ⎝ ⎠ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝

d)

⎡⎛ 1 2 ⎞ 1 1⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎤ ⎛ 5 ⎢⎜ 2 + 3 ⎟ ⋅ 4 − 2 ⋅ ⎜ 4 + 3 ⎟ ⎥: ⎜ 6 − 4 + 4 ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣⎝

12. Un alumno se lamenta de que en su clase han aprobado 2 de cada 3. Su amigo le contesta que no se queje, que en su clase han aprobado 3 de cada 7. ¿Dónde hay más suspensos? ¿Por qué? 13. Un agricultor vende 1/3 de su cosecha y luego 4/7 de lo restante. Si le quedan aún 120 kg, ¿cuánto cosechó? 14. Dibuja en la recta numérica los números: 9/2, -3/2, 5/3, -8/7. 15. ¿En qué porcentaje debe subir el sueldo de una persona para que ésta pase de ganar 1500 € a cobrar 1750 €? 16. Si un instituto ha pasado de tener 612 alumnos a tener 578, ¿qué porcentaje de variación ha sufrido el número de alumnos? 17. En un depósito hay 3360 litros de agua. Dos fuentes vierten 16 y 25 litros por minuto, mientras que por una boca de riego salen 85 litros por minuto. Calcula la cantidad de agua que hay en el depósito al cabo de 1 hora.

22 LOS NÚMEROS RACIONALES

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18. Calcular aplicando las propiedades de las potencias: a)

(-3 )

b)

(-3 )

c) d)

5

0

=

e)

⎡⎛ 1 ⎞ 4 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ 5 ⎠ ⎦⎥

-25 =

f)

32 =

-2-5 =

g)

−5

=

4

h)

⎡ ⎛ 1 ⎞3 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦

i)

⎡⎛ 3 ⎞7 ⎛ 3 ⎞ 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦

3

2

(-3 ) = 2

3

19. Calcula, simplificando: a)

a3 ⋅b5 ⋅ a −7 ⋅b − 2 =

b)

a ⋅b ⋅ c = a ⋅b 2 ⋅ c 3

c)

5 2 ⋅ 7 −3 ⋅5 − 4 = 7 2 ⋅ 5 −2 ⋅ 7 − 1

d)

2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 9 ⋅3 2−5 ⋅8 ⋅3 −3 ⋅9

2

3

-4

−1

2

−2

3

⎡(xy ) ⎤ = ⎣ ⎦

g)

x 4 y 6 x −3x 2y − 2 = y 3 y 2xy −1y 3y − 2

h)

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅5 = 63 ⋅ 5 ⋅ 6 − 5 ⋅ 5 3

(

=

−4 2 −2 3

) (p q ) ⎤⎦⎥

m)

2−1 − 5 ⋅ 3 − 2 +

n)

⎡⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞3 ⎛ −1 ⎞ 4 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥

o)

⎡⎛ 1 ⎞ −1 ⎛ 2 ⎞ 4 ⎛ 2 ⎞ 4 ⎤ ⎢⎜ 1− ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 1⎥ = ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥

p)

⎡⎛ y 2 z ⎞ −1 ⎛ xz − 1 ⎞−3 ⎤ ⎛ x 2 ⎞− 3 ⎢⎜ −3 ⎟ : ⎜ − 1 ⎟ ⎥ : ⎜ −3 ⎟ = ⎢⎣⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎥⎦ ⎝ y z ⎠

2

=

3 −3 ⋅ 6 ⎡ − 1 − 1 − 2 3 ⋅4 4 −1 ⋅3 −2 ⎢⎣

(

−1 −1

)

⎤ = ⎥⎦

−1

5

2

q)

−1

⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎢⎜ − 1⎟ + ⎜ 2 − ⎟ ⎥ + ⎜ −1⎟ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 2 ⎠ 2

j)

y z

−2

3

−4

−1 −3 − 4 −2

⎡ p3 q−3 ⎣⎢

(ab )

3

y z

l)

−3

2

) )

−2 − 2 − 3 −1

−2

2 2

f)

i)

=

(a b ) (ab ) = 2

e)

k)

4

(x (x

b5 :b 4 = b ⋅ b 2 ⋅ b −1

(a

2

)(

⋅ a − 3 ⋅a 4 : a 5 :a 6 a3 ⋅ a 2 ⋅ a

r)

(3

s)

2 3 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎤ 2 − ⋅ ⎢⎜ ⎥ = 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝

3

)( 2

⋅3 2 : 3 3 :3 2

)=

)= 5

4

20. Sin hacer la división, di qué tipo de decimal son los siguientes cocientes indicados: 3 27 7 3 5 7 13 9 2 3 , , , , , , , , , 4 5 12 16 24 27 36 75 15 36

21. Dos amigos van de excursión y el primer día recorren 2/5 del trayecto. El segundo día 1/3, y el tercero, el resto que son 24 km. ¿Cuál es el trayecto de la excursión? 22. De un bidón se saca primero la mitad de su contenido. Después se saca la quinta parte, quedando así 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón? 23. Un grifo arroja 6 litros por minuto y otro 8 litros. Pero hay un agujero y se escapan 4 litros por minuto. Abiertos los tres conductos, ¿en cuánto tiempo llenarán 500 litros? 24. Simplifica: a)

7 = 2 ⋅ 73

d)

3a3b 4 = 2a 2b5

g)

3 5 ⋅ 3 −7 = 32

b)

23 ⋅ 5 2 = 2 5 ⋅5

e)

62 ⋅ 35 = 93

h)

62 = 2⋅3 2

c)

2m2 = 8m4n2

f)

34 ⋅ 3 2 ⋅ 3 0 = 36

i)

24 ⋅ 4 −2 = 82

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LOS NÚMEROS RACIONALES

23

25. Simplifica: a)

52 ⋅ 8 2 ⋅5 ⋅ 5 3 ⋅ 2 2 = 53 ⋅ 4 2

c)

2−5 ⋅ 4 2 ⋅ 3 2 = 23 ⋅ 9 −1

b)

9 ⋅ 3 −7 = 10 −2 ⋅ 27 2

d)

2−5 ⋅ 10 −3 ⋅ 5 − 4 = 128 ⋅ 5 2 ⋅10 −1

26. Calcula: 3

a)

2 ⎡⎛ −1 ⎞2 ⎛ −1 ⎞ 2 ⎤ 0 ⎡⎛ 2 ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : (−2 ) ⋅ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎦⎥

b)

2 4 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 7 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ : − + − 1 2 ⎢ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 6 ⎠ ⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎣⎝

c)

3 ⎫ ⎡ ⎛ −2 ⎞ − 2 ⎤ 3 −1 ⎛ 2 ⎞ ⎪ ⎪⎧ ⎡ ⎨ ⎣ (−1) ⎤⎦ ⋅ ⎜ ⎟ ⎬ : ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎝ 3 ⎠ ⎪⎭ ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎪⎩

d)

2 2 ⎡ −2 ⎛ 1 ⎞ ⎛3⎞ ⎤ : 121 3 ⋅ − ⋅ ( ) ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ = ⎝ 11 ⎠ ⎦⎥ ⎝2⎠ ⎣⎢

e)

⎡ ⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎛ −2 ⎞ 2 ⎤ ⎛ 1 ⎞ 7 ⎛ 1 ⎞ − 3 ⎢⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎢⎣⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

f)

4 −3 ⎧⎡ ⎫ a 4 1⎪ ⎪ 5 ⎛ 1⎞ ⎤ ⎨ ⎢ a ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ (−a ) ⋅ ⎬ + = a⎪ 2 ⎝ a ⎠ ⎦⎥ ⎪⎩ ⎣⎢ ⎭

−1

4

3

24 LOS NÚMEROS RACIONALES

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Pitágoras vivió en Grecia hacia el año 500 a. C. Él y sus discípulos crearon lo que se conocía como la escuela pitagórica con la que intentaban explicar todos los fenómenos que les rodeaban. Ellos creían que todo es número y que todas las cosas se podían expresar con números enteros y fraccionarios. Sin embargo, su famoso teorema cuestionó esta concepción del mundo. La medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuando los catetos miden 1 es 2 .

h = 12 + 12 = 2

1

1

El cálculo de su expresión decimal nos da lugar a un número con infinitas cifras decimales no periódicas. 2 = 1'4142135623730950488016887242097…

Es decir, no es un número fraccionario ya que su expresión decimal no es exacta ni periódica.

En esta unidad vas a aprender a:

1. Conocer el conjunto de los números reales. 2. Expresar aproximaciones de los números utilizando las técnicas de redondeo y truncamiento. 3. Hallar los errores que se cometen al aproximar números racionales expresados en forma fraccionaria. 4. Conocer la equivalencia entre radicales y potencias de exponente fraccionario. 5. Distinguir entre radicales semejantes y homogéneos. 6. Realizar correctamente operaciones con radicales.

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LOS NÚMEROS REALES 25

PARA EMPEZAR 1. Expresa las siguientes raíces como una potencia de exponente fraccionario. 2=

a)

2.

3

32=

c)

4

53=

d)

7

2

=

e)

5

e)

7

4 =

Expresa en forma de raíz: a)

3.

b)

2

1

3

=

b)

3

2

3

=

c)

4

4

5

=

d)

5

1

2

=

3

2

=

Calcula expresando en forma de potencia: a)

5

215 =

b)

3

29 ⋅3 27 ⋅5 6 =

c)

58 ⋅114 = 22 ⋅316

4.

Calcula por aproximación con dos decimales:

5.

Calcula las siguientes raíces: a)

28 − 2 81 =

b)

4 ⋅ 4 − 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 25 −5 ⋅ 49 =

c)

83,

58' 4,

d)

3

a12 :b18 =

e)

4

x 16 :y 20 =

111

5 + 13 + 9 =

PARA APRENDER 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. El conjunto de los números más grande que conocemos hasta el momento es el conjunto de los números racionales que se pueden escribir como el cociente indicado de números enteros a , b ≠ 0 o bien como un b número decimal si hacemos el cociente que se nos indica. Además habíamos observado cómo ese cociente podía ser un decimal exacto (nº finito de cifras decimales) o un decimal periódico (infinitas cifras decimales pero periódicas). Tomemos el siguiente número decimal: 1'7320508075688772935274463415059… a) ¿Cuántas cifras decimales tiene? b) ¿Es un número periódico? Existe un tipo de números que tienen un número infinito de cifras decimales que no son periódicas y que no se pueden expresar mediante una fracción, es decir, no podemos calcular la fracción generatriz de dichos números como hacíamos con los decimales periódicos. Como los números racionales son los que se pueden expresar por medio de una fracción (razón), los números que no se pueden expresar con una fracción se llaman números irracionales. Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas y designa con la letra I. El conjunto que resulta de unir el conjunto de los números racionales (Q) con el de los irracionales (I) se llama conjunto de los números reales, se denota con la letra R y llenan la recta numérica si los representamos todos.

26 LOS NÚMEROS REALES

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Ejemplo: Los números

π = 3,1415926535897932384626433832795… 2 = 1'4142135623730950488016887242097… 3 = 1'7320508075688772935274463415059…

y en general todas las raíces cuadradas, cúbicas…no exactas de números enteros son irracionales. Las operaciones con números reales son las mismas que con los números racionales y se cumplen las mismas propiedades: asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento opuesto y distributiva respecto de la suma.

PARA PRACTICAR 6.

7.

Realiza un dibujo mediante el cual expliques qué conjuntos forman los números reales y qué conjuntos están incluidos en otros.

Clasificar los siguientes números: a) b) c) d) e) f)

3 -745 2'5 3'2727… 1'123456… 3

g) 4 h) 23'5666… i)

3 5

j)

−

k) l) m) n) o) p)

10 2

23'121121112… 23'121212… 23'1121212… -52 372 8'23

PARA APRENDER 2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Vamos a representar sobre la recta numérica 2 . El número 2 = 1'4142135… como es irracional y tiene infinitas cifras decimales es imposible representarlo en la recta numérica con exactitud como hacemos con los demás números. Sin embargo hay un método que nos permite representarlo con exactitud. Sabemos que 2 se corresponde con la hipotenusa de un triángulo rectángulo de cateto 1.

h = 12 + 12 = 2

1

1

Dibujamos sobre la recta numérica un cuadrado de 1 de lado.

-2

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-1

0

1

2

LOS NÚMEROS REALES 27

Ahora basta con trazar con la ayuda de un compás un arco de circunferencia de centro 0 y radio la diagonal.

-2

-1

0

1

2

2

Para representar 3 , 5 , …construiremos triángulos rectángulos cuya hipotenusa valga 2 ,

-1

0

1

2

3 2

3, …

3

5

3. EL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL. El valor absoluto de un número real es la distancia que lo separa del cero. Siempre es positivo y se representa entre barras n .

-3'5 = 3'5

-5

-4

-3

-2

-1

4'75 = 4'75

0

1

2

3

4

5

PARA PRACTICAR 8.

Representa sobre la recta real el número 10.

9.

Entre dos números enteros, ¿cuántos racionales hay? ¿Y cuántos irracionales?

10.

¿Cuántos números irracionales hay comprendidos entre dos racionales?

11.

Si sobre la recta numérica representamos todos los números reales, ¿cuántos puntos quedarán sin pintar?

12.

Los lados de un rectángulo miden

13.

El lado de un cuadrado mide 2 cm. ¿Su área es un número irracional?

28 LOS NÚMEROS REALES

2 cm y 3 cm. ¿Su área es un número irracional?

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14.

15.

16.

Calcula: a)

8 −3 =

c)

−8 − 3 =

b)

3 −8 =

d)

8 (−3 ) =

Razona si son verdaderas o falsas las siguientes relaciones: a)

3+7 = 3 + 7

e)

−5 = − 5

b)

3−7 = 3 − 7

f)

0−7 = 7

c)

3⋅7 = 3 ⋅ 7

g)

4 −8 = 4 −8

d)

−3 ⋅ 7 = −3 ⋅ −7

h)

12 −15 = 12 − 15

Calcula el valor de x que cumple: a)

x = 10

b)

x +3 =5

c)

x −3 = 6

PARA APRENDER 4. APROXIMACIÓN Y ERROR. Aproximación: Como la expresión decimal de muchos números tiene infinitas cifras decimales, nos resulta imposible escribirlos al completo. Por esta razón para realizar operaciones con ellos tomamos un número limitado de cifras decimales, es decir, tomamos una aproximación del número dado. Por ejemplo, si tomamos el número π = 3,1415926535897932384626433832795… los números π π π π

= = = =

3,1 3,14 3,142 3,1416

son aproximaciones de π . Las aproximaciones π = 3,1 y π = 3,14 son aproximaciones por defecto (el nº aproximado es menor que el exacto) y las aproximaciones π = 3,142 y π = 3,1416 son aproximaciones por exceso (el nº aproximado es mayor que el exacto). Llamamos aproximación de un número a cualquier otro número cercano a él. A la hora de aproximar un número se suelen utilizar normalmente las técnicas de truncamiento y redondeo. Truncamiento: Se eliminan las cifras hasta el orden que se quiera. Redondeo: Para redondear un número hasta un orden, se ponen las cifras anteriores a ese orden y la cifra del orden se deja igual si la que le sigue es < 4 y se le aumenta una unidad si la que le sigue es ≥ 5. El resto de cifras se eliminan. Ejemplo: Aproxima el número

5 = 2'2360679774997896964091736687313...

Truncamiento

Redondeo

Hasta las décimas

2’2

2’2

Hasta las centésimas

2’23

2’24

Hasta las milésimas

2’26

2’236

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LOS NÚMEROS REALES 29

Aproximación: Cuando aproximamos un número, como no estamos trabajando con el número exacto se cometen errores. El error será más pequeño cuanto más cifras decimales consideremos. Si aproximamos 7 = 2'6457513110645905905016157536393… hasta las milésimas por redondeo: a) ¿Cuál es el error que estamos cometiendo? b) ¿Puede ser un número negativo?

Se llama error absoluto de una aproximación a la distancia que lo separa del número exacto. Ea = nº -aprox.

Cuando calculamos el error absoluto, es interesante calcular también lo que se llama error relativo. El error relativo nos indica cuál es el error que se comete por unidad, es decir, no es lo mismo equivocarse en 1 m cuando medimos el perímetro de una moneda que cuando medimos la circunferencia de un planeta.

Se llama error relativo de una aproximación al error que se comete por unidad. Se calcula dividiendo el error absoluto entre el número. Er =Ea :n

Ejemplo: Calcula el error absoluto y relativo que se comete al aproximar: a)

π = 3,14159... por 3'14. Ea = 3'14159... −3'14 = 0'00159... Er =0'00159... : 3'14159... = 0'000506...

b)

c)

1 o por 0'09. = 0'09 11 Ea =

1 1 1 9 100 − 99 1 − 0'09 = − = = = 11 11 100 1100 1100 1100

Er =

1 1 1 : = = 0'01 = 1% 1100 11 100

 2 = 0' 6 por 0'67. 3 Ea =

2 2 67 200 − 201 1 −1 − 0' 67 = − = = = 3 3 100 300 300 300

Ea =

1 2 3 1 : = = = 0'005 = 0'5% 300 3 600 200

30 LOS NÚMEROS REALES

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PARA PRACTICAR 17.

Hallar aproximaciones hasta las centésimas por truncamiento y redondeo de los siguientes números. a) 2'3567 b) 8'2392 c) 8'521

18.

d) 93'8003 e) 57'5432 f) -105'2352

Halla los errores que se cometen al aproximar: a) 5/3 por 1'67

b) 4/9 por 0'444

c) 7/9 por 0'77

d) 1/3 por 0'33

e) 4/7 por 0571

f)

19.

5/7 por 1'66

22 Si el diámetro de una circunferencia mide 28 m, y se aproxima π con la fracción , ¿cuánto 7 mide su longitud? Compara este resultado con el que se obtiene tomando π = 3'1416 y calcula los errores.

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LOS NÚMEROS REALES 31

PARA RECORDAR 5. RADICACIÓN. Raíz de índice n: En la unidad anterior hemos trabajado con potencias y hemos estudiado las propiedades de las operaciones con ellas. Como bien sabes existe una operación que es la inversa a la de elevar un número a una potencia: calcular su raíz cuadrada, cúbica, cuarta…

La raíz de índice n de un nº es otro número tal que el 2º elevado a la potencia n da el 1º. - A b se le llama radicando. n

b =a

porque a n =b

- a n se le llama índice de la raíz. - a es la raíz y

se llama radical.

A las raíces de índice n se les suele denominar radicales sin más, con el fin de abreviar su nombre. Teniendo en cuenta la definición, completa el siguiente recuadro. Radical

Índice

Radicando

Raíz

Potencia

4 3 4

8b3

81 b 3

Potencias de exponente fraccionario: Normalmente trabajamos con potencias de exponente entero, sin embargo ¿qué podría significar la potencia 1/2? ¿Y la potencia 2/3? Intentemos descubrirlo. Vamos a tomar la siguiente igualdad que todos conocemos: 49 = 72

Ahora elevamos los dos miembros de la igualdad a la potencia 1/2:

(49 ) 2 = (72 ) 2 1

Teniendo en cuenta las propiedades que hemos estudiado de las potencias: Luego parece ser que tanto (49 ) 2 como 1

1

(49 ) 2 = (72 ) 2 = 7 1

1

2⋅ 1

2

2

=7 2 =7

49 dan como resultado 7.

Hemos encontrado dos formas diferentes de representar la raíz cuadrada. a) ¿Cómo se representará la raíz cúbica de un número en forma de exponente fraccionario?

b) ¿Cómo representaremos la potencia 2/3 con una raíz?

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz de índice el denominador y de radicando una potencia de la misma base cuyo exponente es el numerador. n

32 LOS NÚMEROS REALES

ab = a

b

n

porque

( )=a a

b

n

n

b

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PARA PRACTICAR 20.

Escribir en forma de potencia: a)

3

b) c) 21.

5

3=

d)

7= 8=

a2 =

g)

e)

b3 =

h)

f)

a9 =

8

6

a7 = a 4b3c 2 =

Expresar en forma de raíz: 1

a)

3 2=

b)

10 5 =

2

1

c)

5 4=

d)

a 3=

e)

7

b 2=

2

PARA APRENDER 6. OPERACIONES CON RADICALES. A la hora de operar con radicales lo podemos hacer tanto en forma de radical como potencia de exponente fraccionario. Si vamos a trabajar con potencias de exponente fraccionario, las reglas a seguir son las mismas que hemos visto para las potencias, por ejemplo: 2

1

a)

3 2 ⋅ 3 3 =3

1 2 + 2 3

=3

7 6

b) 5

1 2

:5

1 4

=5

1 1 − 2 4

=5

1 4

c)

(2 ) 3

2 5

=2

3⋅

2 5

=2

6 5

Radicales iguales o equivalentes: Los radicales

3,

4

32 ,

6

3 3,

10

3 5 tienen todos la misma raíz 1'41421…

Aunque a simple vista parezcan radicales diferentes todos ellos son iguales o equivalentes. Para comprobar que los radicales anteriores son iguales los vamos a expresar en forma de potencia de exponente fraccionario: 1

2

3

5

3 2 , 3 4 , 3 6 , 3 10

a) ¿Qué puedes decir de las potencias que aparecen en los exponentes?

Propiedad fundamental de los radicales: Si se multiplican o dividen por un número el exponente del radicando y el índice de la raíz, el resultado de la raíz no varia.

Ejemplo: a)

c)

6

a 4 = 3 a 2 = 12 a 8 ↑ :2

10

↑ ⋅4

x 8 = 5 x 4 = 30 x 24 ↑ :2

↑ ⋅6

3a = 4 3 2 a 2 = 12 3 6 a 6

b)

↑ ⋅2

d) 10

↑ ⋅3

x4 x2 x 12 5 30 = = y2 y y6 ↑ :2

↑ ⋅6

Esta propiedad nos permite ampliar radicales (multiplicando) o simplificar radicales (dividiendo).

COLEGIO VIZCAYA

LOS NÚMEROS REALES 33

PARA PRACTICAR 22.

Calcula por ampliación tres radicales equivalentes a: a=

a) 23.

3

22 =

c)

4

b3 =

Completa: 9

a) 24.

b)

a6 = 3

=6

= 45

b)

a3 = 12

4

= 40

= 24

Descompón el radicando en factores y simplifica: 100 =

64 =

c)

6

1000 =

d)

24

a)

15

b)

6

1000000 =

PARA APRENDER Introducción y extracción de radicales: Ejemplo: 1) Siempre que el exponente del radicando sea mayor que el índice de la raíz, se pueden extraer factores de la siguiente forma: a)

4

24 ⋅3 6 ⋅5 3 = 4 2 4 ⋅3 4 ⋅3 2 ⋅5 3 = 2 ⋅3 ⋅ 4 3 2 ⋅5 3

b)

3

2 ⋅ x 4 ⋅ y 8 = 3 2 ⋅ x 3 ⋅x ⋅y 3 ⋅y 3 ⋅y 2 = x ⋅y 2 ⋅ 3 2 ⋅x ⋅y 2

2) Si el exponente del radicando es menor que el índice de la raíz, entonces descomponemos el radicando en factores: a)

3

144 = 3 2 4 ⋅3 2 = 3 2 3 ⋅2 ⋅3 2 = 2 ⋅ 3 2 ⋅3 2

b)

3

32 ⋅a 4 ⋅ y 3 = 3 2 5 ⋅a 4 ⋅y 3 = 3 2 3 ⋅2 2 ⋅a 3 ⋅a ⋅y 3 = 2 ⋅a ⋅y ⋅ 3 2 2⋅a

3) Al igual que hemos extraído factores fuera del radical, también podemos introducir factores actuando de forma inversa. ¿Serías capaz de introducir los factores en los siguientes radicales? a)

3a

b)

2

c)

52 x

3

2= 2 ⋅a 2 = 4

3xy =

PARA PRACTICAR 25.

Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales: a)

18 =

h)

3 ⋅ 81x 3 y 4 =

b)

3 ⋅ 48 =

i)

1 ⋅ 49x 3 y 7 = 7

c)

3

16 =

d)

9a 3 =

j)

1 ⋅ 108a 5b 7 = 2

e)

50a 2b =

k)

f)

98a 3b 5c 7 =

1 ⋅ 27a 5m 7 = 3

g)

2 ⋅ 75x 4 y 5 =

l)

3 ⋅ 125mn 6 = 5

34 LOS NÚMEROS REALES

COLEGIO VIZCAYA

26.

27.

Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él: a)

3⋅ 5 =

g)

3a 2 ⋅ 3 a 2b =

b)

2⋅ 3 =

h)

5x 2 y ⋅ 3 =

c)

23 ⋅ a =

i)

d)

5a ⋅ b =

ab 2 ⋅ 3 a 2b =

e)

3a ⋅ 2a =

j)

4m ⋅ 3 2m 2 =

f)

1 ⋅ 2= 2

k)

2a ⋅ 4 8ab 3 =

2

2

Simplifica y extrae todos los factores que se pueda: a)

a2 =

c)

b)

a6 =

d)

3

b6 =

e)

a9 =

f)

b15 = 4

b6 =

PARA APRENDER Reducción de radicales a índice común (homogeneizar): Para multiplicar y dividir radicales va a ser necesario que tengan el mismo índice, si esto no es así, hay una serie de pasos muy sencillos que nos permiten obtener radicales equivalentes que tengan el mismo índice. A este proceso se le llama reducir radicales a índice común o homogeneizar radicales. 2a 4 ,

Vamos a considerar los siguientes radicales:

6

3ax 2 ,

4

53

Primero se halla el m.c.m. de los índices, que será el índice común a todos los radicales. Índices: 2, 4, 6 Para escribir

m.c.m. (2, 4, 6) = 12

2a 4 con índice 12, dividimos 12 entre el índice del radical (12:2 = 6) y lo amplificamos por 6:

( )

2a 4 = 2⋅6 2a 4

6

= 12 2 6a 24

Se opera análogamente con los otros radicales: 6

(

3ax 2 = 6⋅2 3ax 2

)= 2

12

3 2a 2x 4

4

5

3

=

4⋅ 3

(5 )

3 3

= 12 5 9

Como ves hemos obtenido tres radicales equivalentes a los primeros pero todos ellos con el mismo índice. Si te has dado cuenta, reducir radicales a índice común es similar a escribir fracciones con común denominador (recuerda que los radicales se pueden escribir como una potencia de exponente fraccionario).

Reducir radicales a índice común (homogeneizar) es obtener otros radicales semejantes a ellos pero con el mismo índice.

PARA PRACTICAR 28.

Reducir a índice común los siguientes radicales: a)

4

3, 3 7, 5

b)

3

3x, 5a 2 , 6 4m 5x, 3 4x 2y, 6 7a 3b

c) d)

2 ⋅ 3 a, 3 ⋅ 2b, 4 ⋅ 4 5x 2

e)

6

15a 3x 2 , 2a, 3 3a 2b

COLEGIO VIZCAYA

LOS NÚMEROS REALES 35

PARA APRENDER Multiplicación y división de radicales: Para multiplicar o dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice, si no es así, tendremos que reducirlos a índice común.

Las reglas a seguir a la hora de multiplicar y dividir radicales son las siguientes: n

a ⋅ n b = n a ⋅b

n

a : n b = n a:b

Ejemplo: a) b)

5

3 ⋅ 5 7 = 5 3 ⋅7 = 5 21

c)

6

a 7 : 6 a 2 = 6 a 7 :a 2 = 6 a 5

3 ⋅ 6 2 = 6 33 ⋅ 6 2 = 6 3 3 ⋅2 = 6 54

d)

3

a 2 : 4 a 3 = 12 a 8 : 12 a 9 = 12 a 8 :a 9 = 12 a − 1 = 12

↑ m.c.m.(2, 6) = 6

↑ m.c.m.(3, 4) =12

1 a

PARA PRACTICAR 29.

Realiza las siguientes operaciones: a)

2 3 3 3 ⋅ 4⋅ ⋅ 6 = 3 4

b)

3 2⋅ a2x ⋅ ⋅ a 3 = 2

c)

3

d)

2 3 4 3 1 3 ⋅ x y ⋅ ⋅ 2xy 4 ⋅ 3 4x 7y 6 = 3 4

e)

3

9x 2y : 3 81x 5 =

2x 4 4x 5 3 : = 25y 5 5y

f)

2⋅3 2⋅4 2 =

g)

a ⋅ 3 ab ⋅ 6 a 2b 3 =

h)

3 x 3 ⋅ 2 3 x ⋅5 4 x = x ⋅ 3 2x 2 =

i) j)

3 ⋅ 2ab ⋅ 4 ⋅ 4 8a 3 =

k)

8

l)

5 ⋅ 2a ⋅ 3 4a 2b =

m)

3

9x 2y ⋅ 6 81x 5 =

n)

3

a 2b 2 ⋅ 2 ⋅ 4 3a 3b =

o)

4

25x 2y 3 ⋅ 6 125x 2 =

p)

5

2ab3 : 2ab =

q)

3 2 4 ⋅ 4m2 ⋅ ⋅ 5 16m 4n = 3 4

r)

a5 : 4 a 3 =

3a3b : 3 6a 2b =

36 LOS NÚMEROS REALES

COLEGIO VIZCAYA

PARA APRENDER Radicales semejantes:

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice. Para ver si dos radicales son semejantes tenemos que extraer fuera del radical todos los factores posibles y simplificar si se puede.

Ejemplo: a) Los radicales 3 3 2 y 5a 3 2 son semejantes (índice 3, radicando 2). b) Los radicales 8 y 2 a simple vista parece que no son semejantes, sin embargo a se le pueden extraer factores fuera.

8

8 = 23 = 2 2

8 =2 2 y

Entonces

2 son semejantes (índice 2, radicando 2).

c) Los radicales 3 4 x y 8 x 2 parece que tampoco son semejantes pero 8 x 2 se puede simplificar por 2: 8 x 2 = 4 x , así que sí son semejantes (índice 4 y radicando x).

PARA PRACTICAR 30.

De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogéneos y los que sean semejantes: a)

2,

4

4,

6

8

b)

2,

4

9,

6

27

c)

1 4

6 , 36 , 15

d) e)

1 8

a, 5

1 5

4

a2 ,

,25

1 10

f)

a b2 ,

g)

2a b3 ,

6

1 4

a3

, 20

a 2 b,

1 5

b 3,

4a 2 b 2,

a 3 b 2, 8a b 5,

a 3b

4

32a 3 b 5

PARA APRENDER Suma y resta de radicales: Para poder sumar y restar radicales, estos tienen que ser semejantes. Antes de operar hay que extraer todos los factores que se pueda y simplificar, después la forma de actuar a la hora de operar es similar a la de sumar y restar monomios. Ejemplo: a)

3 2 + 7 2 − 5 2 = (3 + 7 −5 ) 2 =5 2

b)

8 3 x − 7 3 x − 3 3 x = (8 −7 −3 ) 3 x = −4 3 x

c)

3 12a − 4 3a +5 27a = 3 22 ⋅3a − 4 3a + 5 3 3a = 3 ⋅ 2 3a − 4 3a + 5 ⋅3 3a = 6 3a − 4 3a +15 3a = 17 3a

COLEGIO VIZCAYA

LOS NÚMEROS REALES 37

PARA PRACTICAR 31.

Sumar los siguientes radicales: 98 + 18 + 8 =

a) b)

3

3 + 27 + 48 =

c) d)

54 − 3 24 − 3 16 =

3

e)

875 + 3 448 + 3 189 = 45 − 80 + 180 − 20 = 40 + 3 1029 − 3 625 =

f)

3

g)

5 75 − 8 48 + 3 27 =

h)

2 8 + 5 72 − 7 18 − 50 =

i)

1 1 1 12 + 27 + 75 = 2 3 5

j)

3 2 1 5 28 + 63 + 700 + 448 = 2 3 10 8

k)

3 3 128 + 2 3 2 + 3 3 54 −5 316 =

l)

2 8b3 − 18b 3 + 4 128b 3 −2 32b 3 − 288b 3 =

PARA APRENDER Potencia y raíz de un radical: La potencia p de un radical, es otro radical del mismo índice cuyo radicando está elevado a la potencia p. p p 1 p n a = n ap porque a n =a n

( )

( )

La raíz r de un radical es otro radical con el mismo radicando y cuyo índice es el producto de los índices. 1 1 1 r n a = r⋅n a porque a n r = a nr

( )

Ejemplo:

( 2a ) = 3

a)

6

5

3

(2a ) = 6 5

3

2 5a 30 = 2a 10 3 2 2

4 3

b)

3a 2 = 12 3a 2

PARA PRACTICAR 32.

Realiza las siguientes operaciones: a) b) c)

a4 =

3

g)

( a )= ( a b c) = 9

3

4

3

h)

2

6

i)

( a )= ( a b c )= 6

7

4

5 3

2

5

2

2

d)

⎛ 3 a3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

j)

e)

5

a2 =

k)

f)

a5 =

4

⎛ 3 4 2a 3b 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(a a ) = 3

a12 =

38 LOS NÚMEROS REALES

COLEGIO VIZCAYA

PARA APRENDER Racionalización: En las operaciones con radicales y denominadores, para simplificar algunas expresiones es necesario que en los denominadores no aparezcan radicales. El proceso por el cual se obtiene un radical sin raíces en el denominador se llama racionalización. Veamos unos ejemplos muy sencillos: Ejemplo: 3

a)

2

=

3⋅ 2 2⋅ 2

=

3 2 22

=

3 2 2

b)

3 y 3

x

=

3 y ⋅ 3 x2 3

x ⋅ 3 x2

=

36 y3 ⋅ 6 x 4 3

x3

=

3 6 y 3 ⋅x 4 x

PARA PRACTICAR 33.

¿Qué es racionalizar el denominador de una fracción?

34.

Racionaliza: a) b) c)

1 2 1 3 2 6 2

d)

3 2

g)

35.

= =

5 3

4a 2 1

3c 2 3

=

=

3

9c

=

6ab 3

l)

=

9x

j) k)

=

1 3

h) i)

=

7

e) f)

=

4a 2b 5

=

2 6 5⋅

3

=

3x

=

¿Son iguales

COLEGIO VIZCAYA

2 5

y

2 5 ? Razona tu respuesta 5

LOS NÚMEROS REALES 39

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS DOS NÚMEROS CON NOMBRE. Hasta el momento has conocido un número que aparte de su importancia en las matemáticas, como muchos irracionales, lo nombramos con una letra porque no se puede escribir con todas sus cifras, ese número es π = 3'14159… y nos relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro. ( π = longitud circunferencia / diámetro). Este número tiene infinitas cifras decimales no periódicas, es decir, es un número irracional como puedes comprobar en el siguiente desarrollo: 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628 0348253421170679821480865i3282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938 52110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856 69234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917 15364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117 38193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065 66430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320 00568271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922 79689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978 04995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313 78387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519 57781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153 38182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069 59508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583 61603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684 25906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647 32639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385 05494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753 56636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721477235 01414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835 69485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967 97668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221 06611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326 45995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482 60147699090264013639443745530506820349625245174939965143142980919065925093722169646151 5709858387410597885959772975498930I617539284681382686838689427741559918559252459539594 31049972524680845987273644695848653836736222... Hoy en día se han calculado ya más de un millón de cifras decimales de π .

Pitágoras y el número de oro. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació en el 582 a. C. en la isla de Samos, situada en el Mar Egeo y fue instruido entre otros por Thales de Mileto (624 a. C.-547 a. C). Hacia el 530 a. C. tuvo que exiliarse y se instaló en una colonia en Crotona, al sur de Italia. Allí aglutinó a un círculo cerrado de discípulos entre los que podían ingresar mujeres (en ese entonces y durante mucho tiempo las mujeres no eran admitidas en las escuelas). Esta nueva asociación se conoce como la escuela pitagórica. Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran el estudio de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados. Desde el punto de vista de la aritmética, cultivaron el concepto de número, y es así como llegaron a atribuirles propiedades físicas e incluso divinas a las cantidades y magnitudes. En el campo de la geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el conocido Teorema de Pitágoras.

40 LOS NÚMEROS REALES

COLEGIO VIZCAYA

El pentágono estrellado fue el símbolo elegido por los seguidores de Pitágoras que pensaban que en el mundo sólo había cabida para los números fraccionarios. La casualidad hizo que no sólo su famoso Teorema diera origen a los números irracionales si no que en su propio símbolo se encuentra un número irracional: el número de oro. Al trazar las 5 diagonales en un pentágono regular se forma otro pentágono semejante a él. La relación de semejanza que hay entre los dos pentágonos se conoce como proporción áurea y su razón de semejanza es el número de oro que se designa con la letra griega Φ ('fi'): 1+ 5 = 1' 6180339887498948482045868343656... 2 La relación que hay entre la diagonal del pentágono y su lado también es el número de oro. Φ=

El número de oro en el arte y en la naturaleza. El número de oro aparece en muchas de las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, plantas y animales. A lo largo de la historia, muchos artistas han apreciado la belleza y armonía de la proporción áurea pintando y construyendo grandes cuadros y obras arquitectónicas como el Partenón de Atenas, la pirámide de Keops, el Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci…

El Partenón de Atenas. Se puede comprobar que ancho / altura = Φ

Las pirámides de Keops. La altura de una cara / mitad de la base = Φ

Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci. En ese dibujo se propone un Hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes del cuerpo son proporciones áureas. La altura del cuerpo y la longitud entre los extremos de los brazos cuando están extendidos, la altura del hombre y la distancia del ombligo a la punta de las manos, las falanges de los dedos, la longitud de la cabeza y su anchura…

COLEGIO VIZCAYA

LOS NÚMEROS REALES 41

En la naturaleza, también aparece la proporción áurea en el crecimiento de las plantas, piñas, girasoles, distribución de las hojas en los tallos, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.

1. El Partenón es un edificio que se encuentra en la Acrópolis de Atenas. Su fachada es un rectángulo que tiene la propiedad de que el cociente de sus dimensiones es el número áureo. Si la altura, que es el lado menor, mide 18 m, ¿cuánto mide la anchura de la fachada? Utiliza la aproximación centesimal de Φ .

2. Las tarjetas de crédito y los documentos de identidad tienen forma rectangular y el cociente de sus dimensiones es el número de oro. Si el lado menor mide 54 mm, ¿cuánto mide el lado mayor? Utiliza la aproximación hasta las milésimas de Φ .

3. La hoja DIN-A4 tiene dimensiones tales que la longitud es igual a la anchura por 2 . Si el lado pequeño mide 21 cm, ¿cuánto mide el lado mayor? Utiliza la aproximación centesimal de la raíz cuadrada.

4. El número π se ha expresado clásicamente por medio de aproximaciones fraccionarias 157 1440 227 (Arquímedes, 230 a. C.), (Liu Hui, 260 d. C.),  (Fibonacci, 1220 d. C.). 50 71 458'3 Compara estos valores con el de π = 3'14159… y di cuál es el orden del error cometido.

42 LOS NÚMEROS REALES

COLEGIO VIZCAYA

PARA ENTRENAR 1. Clasifica los siguientes números: a) 125 b) 1/2 c) 2'1212333…

d) -422 e) 7/3 f) 5'79215…

g) 2'111… h) 18/9 i) 2

j) 2'111 k) 5/6

2. De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogéneos y los que sean semejantes: a)

5,

20,

125,

b)

a b3 ,

a 3 b,

c)

5a b 4 ,

4b,

d)

25,

e)

144,

6,

24

a 4 b 5, 16a 4 b 5,

72,

a 6b

7

25a 6 b

7

162

5 7, − 4 7, −9a 4 49

3. Halla el error absoluto y relativo que se cometen al aproximar: a) 4/7

por 0'571

b) 5/3 por 1'66

c) 2/11 por 0'18.

d) 7/3 por 2'33.

e) 8/3

por 2'67.

4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales: 2 ⋅ 4 243 =

a)

2a ⋅ 44a 3b 7c 9 =

g)

b)

2 ⋅ 3 16x 2 y 7 =

h)

c)

4 ⋅ 3 250a3b8 =

i)

3 ⋅ 4 5x 8 y 14 z 16 =

d)

1 3 ⋅ 128 = 2

j)

3 4 ⋅ 32mn8 = 2

e)

2xy ⋅ 3 128x 2y 8 =

k)

5a ⋅ 3 160x 7y 9z 13 =

f)

2 3 ⋅ 27m 2n8 = 3

l)

27a 6m 3n 2 = 392b 9c 2

4

80a 4b 5c 12 =

5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él: a)

5mn2p 3 ⋅ 2m 3np 2 =

d)

2a 2bc 3 ⋅ 3 7c =

g)

3 5=

b)

3 3a =

e)

2 7=

h)

5xy 3 x 2y 2 =

c)

2 6= 3

f)

1 5= 5

i)

2a a = b b

COLEGIO VIZCAYA

LOS NÚMEROS REALES 43

6. Reducir a índice común los siguientes radicales: a)

3, 6 32, 3 5

b)

2, 3 3, 4 5, 6 7

c)

4

3x, 5 4x 2 , 15x 3

d)

3

4ab, 6 3a 2b, 9 9a 3b 2

e)

4

8a 2x 3 , 6 3a 5m 4 2m, 3 ⋅ 5 a 3x 4 , 2 ⋅10 x 7y 2

f)

7. Sumar los siguientes radicales indicados: a)

45 − 27 − 20 =

b)

75 − 147 + 675 − 12 =

c)

175 + 243 − 63 −2 ⋅ 75 =

d)

80 − 2 ⋅ 252 +3 ⋅ 405 −3 ⋅ 500 =

e)

2 ⋅ 450 + 9 ⋅ 12 −7 ⋅ 48 −3 ⋅ 98 =

f)

7 ⋅ 450 − 4 ⋅ 320 +3 ⋅ 80 −5 ⋅ 800 =

g)

1 20 + ⋅ 45 + 2 ⋅ 125 = 3

h)

1 1 1 ⋅ 80 − ⋅ 63 − ⋅ 180 = 4 6 9

i)

5 ⋅ 50 +

j)

3 1 2 ⋅ 45 − ⋅ 125 − ⋅ 180 = 4 2

3 1 ⋅ 98 − ⋅ 162 = 14 3

8. Calcula: a)

8

a5 : 4 a 3 =

b)

5

2ab3 : 2ab =

c)

ab : 3 ab 2 =

d)

3a3b : 3 6a 2b =

e)

6

a5 : 4 a = 9x : 3 3x 2 =

f) g)

3

8a 3b : 4 4a 2 =

h)

3

5m2n : 5 m 3n 2 =

i)

3

3m4 : 9 27m 2 =

j)

6

18x 3 y 4z 5 : 4 3x 2y 2z 3 =

k)

3 3ab ⋅ 4 a 3b 2 ⋅ ⋅ 3 a 2b = a

l)

1 3 − ⋅ 4 abc ⋅ −2 ⋅ 3 bc ⋅ ⋅ a 3c 5 = 3 2

m)

4

n)

4 3 x 7 ·5 x 3 ·6 4 x 2 =

(

)

ac 5 3 a 6b 6 ⋅ = b c2

44 LOS NÚMEROS REALES

COLEGIO VIZCAYA

9. Racionaliza: 3 a) = 15 b) c)

6 4

=

3 3

4

9a

f) =

x

d) 4

e)

27x

2

12

=

6 1 5

=

7 33

g)

33 =

h)

= 1

5a ⋅

4

25x 3

=

10. Comprueba pasando a potencia de exponente fraccionario las igualdades: a)

4

36 = 3 3

b)

15

a10 = 3 a2

11. Calcula: 81 =

a) b) c)

h)

x 12 = 64 =

4

5

x10 =

i)

16a 4 =

j)

16x 4b 8 =

d)

n3 · 4 n 2 · 3 n =

k)

2x·3 2x 2 · 4 2x 3 =

e)

4

x 12a10 =

l)

2 2 2=

165 =

f) g)

( 4 )=

m)

3

2x 2 y 4 3xy : = 5 2

5

3

12. Sabiendo que 13 = 32 + 22, representa 13 en la recta real.

13. ¿Cuál es el perímetro del trapecio de la figura? 27 12

3 48

14. Calcula: a) 18 − 3 12 + 5 50 + 4 27 = b)

3 3 54 + 3 16 − 7 3 250 =

c)

1 45 3 2 6 2 4 9 ⋅ x y z : 4x y z = 4 2

d)

2 1 5 5+ 45 − 20 = 3 4 6

e)

55 x4 ⋅

34 7 x a ⋅2 x 625 = 5

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LOS NÚMEROS REALES 45

PARA APRENDER MÁS 1. Simplifica y extrae: 64b5 =

a) b)

6 3a 2 2 3

c)

=

2 27a 5 6 3a3

128a 5b 7c 2 =

d)

a7

e)

=

a =

f)

g) h)

6a5 54a

3 3 500ab 3 3

243a 9 =

4a

=

=

2. Clasifica los siguientes números: a) - 6 b) 15 c) - 23

d) 0'8777... e) 9'222... f) 3'52

g) 2'7193... h) 3/5 i) 4/9

j) 2/12 k) 5 l) 34'58473972….

3. De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogéneos y los que sean semejantes: a)

5

2, 1 2

5

3,

5

1 2

6 1 2

b)

5 , b , (ab)

c)

2 7, 3 7, − a 4 49

d)

2, 4 4, 3 8 16

e)

1 4

6 , 36 , 14

f)

5

3,

1 8

10

1 4

g)

3,

h)

1 2

4

6

6,

3 , (ab)

7

27 ,2

14

3

6

6, 6 5 3

4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales: 32 =

a)

4

a10 =

f)

7

a 38 =

k)

4

16a 5 =

p)

b)

6

9 13

ab =

g)

3

a =

l)

5

64a b =

q)

c)

5

a8b 2 =

h)

3

a 20 =

m)

3

8=

r)

3

81x 3 y 6 =

d)

ab 6c 3 =

i)

10

a8b12 =

n)

3

1000 =

s)

5

16a 2b 6c 9 =

e)

125x 3 = 96y 3

j)

625ab 7 = a5b3

o)

4

32a 4b 8c =

t)

3

81x 10y 4z =

4

6

3 10

5

324a 5b 2c =

5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él: a)

5a 2 ⋅ 4 a =

e)

5xy 5 ⋅ x 3y =

h)

3n3p ⋅ 4 2m =

b)

7b2 ⋅ 3 3a =

f)

20a 3b 2 ⋅ 3 2b 2 =

i)

a-5 x -1 ⋅ a 3 x -2 =

g)

1 2 3 3 a m ⋅ axm 3 = 10

j)

1 -2 3 a b ⋅ 4abx = 2

c) d)

1 3 ⋅ 8= 2 1 3 2 3 a x b ⋅ 1000a 5bx 3 = 10

6. Reducir a común denominador los siguientes radicales: a)

3

2mn, 5 3m 2p,

b)

6

2y 3 , 3 x 2 , 9 5m 7

15

5m 3p 2

c)

4

d)

a 2b3 , ab

e)

a, 4 a 2b 2 , 6 a 3b 4

xy, 3 x 2y 2 , 4 x 3y 3

7. Calcula: a) b)

1 1 3 1 ⋅ 12 − ⋅ 18 + ⋅ 48 + ⋅ 72 = 2 3 4 6 3 2 1 1 ⋅ 176 − ⋅ 45 + ⋅ 320 + ⋅ 275 = 4 3 8 5

g) h)

1 1 1 1 ⋅ 147 − ⋅ 700 + ⋅ 28 + ⋅ 2187 = 7 5 10 3 1 1 3 ⋅ 3 − 27 + ⋅ 108 − ⋅ 300 = 2 3 5

c)

3 ⋅ 3 -24 − 4 ⋅ 3 -81 − 3 -375 =

i)

3

81 − 3 ⋅ 3 375 + 3 686 +2 ⋅ 3 648 =

d)

2 ⋅ 3 250 − 4 ⋅ 3 24 −6 ⋅ 3 16 + 3 2187 =

j)

3

4a 2 : 4 2a =

e)

−

f)

1 3 12 3 4 5 10 2 7 14 12 a b ⋅ 3a b c ⋅ a b c = 3 3 ⎛ 1 ⎞ 1 3x 5 y 4 : ⎜ − ⋅ 3 x 2y 3 ⎟ = ⎜ x ⎟ 3 ⎝ ⎠

46 LOS NÚMEROS REALES

k) l)

1 3 2 x ⋅5 ⋅ 3 2xy 4 ⋅ 6 x 4y 4 = 2 3

(2a ⋅

4

)(

)

3x 2y : 6a 2 ⋅ 6 x 5y 2 =

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8. Razionaliza: a)

3 4⋅

b)

5 2a 2ax

=

c)

=

d)

1 5

8a

=

4

2x ⋅ 3 4y 3y ⋅

2x

a

e) =

=

b 2

f)

6

16

12

g) =

=

5

8a 2b 3

6

a 5b 6c 2

h)

=

9. Realiza las siguientes operaciones: a)

3 + 18 − 2 8 =

n)

20 − 245 + 3 5 =

b)

20 − 245 + 3 5 =

o)

32 − 18 + 98 =

c)

5 ⋅ 3 48 − 3 ⋅ 3 3645 −2 ⋅ 3 384 +4 ⋅ 31715 =

p)

4 ⋅ 3 -320 −10 ⋅ 3 -40 −2 ⋅ 3 -54 +3 ⋅ 3 -1024 =

d)

9 2 − ⋅10 b5 x 9 y 3z 7 ⋅ ⋅ 4 a 2x 2y 2z ⋅6 ⋅ 5 a 4b 2x 4z 3 = 4 3

q)

3 ⋅ 3 108 +

e)

1 3 2 3 1 ⋅ 24 − ⋅ 3 54 + ⋅ 3 375 − ⋅ 3 128 = 2 3 5 4

r)

3 3 3 1 3 ⋅ 625 − ⋅ 3 192 + ⋅ 3 1715 − 31536 5 2 7 8

f)

1 94 5 6 3 1 4 8 a b z ⋅ ab c ⋅3 ⋅ 6 a 5c 3z 4 = ⋅ 2 3 3 9

s)

4

t)

2 8 + 4 72 − 7 18 =

u)

⎛1 ⎞ ⎛1 6 4 ⎞ ⎜ 2 ⋅ 2x ⎟: ⎜ 4 ⋅ 16x ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠

24 − 54 + 150 =

g) h)

1 9 3 2 1 ⎛ 2 4 4 3⎞ ⋅ a x y : ⎜ − ⋅ a xz ⎟ = 5 ⎝ 3 ⎠

i)

3

j)

3 2 + 4 8 − 32 + 50 =

k)

3

l)

− 25

m)

2 8a3 + 3 128a 3 − 72a 3 −2 32a 3 =

1 2 3 4 5 2 3 x y z ⋅ 3x y z ⋅ 8xy 6z 2 = 2

v)

a7 2 3 4 5 − a 27 + 3 b 6c 3a = 8 3 3 4x 3 y 2 3 x 2y = :⋅ mz 5 2mz

1 3 1 ⋅ 625 + ⋅ 3 1715 −4 ⋅ 332 = 10 7

2 2 2 18 − 3 18 + 6 − = 25 9 3 16

36x +

5 3 x = 9x 3 − 2 5 4

w)

10 2a 2 − 3 8a 2 − 32a 2 − 2 18a 2 =

x)

4 1 1 3 ⋅ 5 4m3p 4 ⋅ ⋅ m 4p 2x 3 ⋅ ⋅ 102mp 5x 2 = 5 2 6

y)

1 25 2 49 − = 2 8 3 18

z)

3 3 a 7 + a 2 3 a − 5a 3 a 4 −3a 2 27a =

10. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones: b2a 5 ⋅ 4 a 2b 3 =

a)

3

b)

7 6 x 5 ·4 x 4 ·25 4 x 5 = 25b ⋅ 3 a5b 2

c)

6 3

d)

3

a5c 4

h)

6 3 a 2b 2 :3 ab =

i)

=

j)

4a b

a 2bc· bc 3

4

=

4 3

x 3 y 2 : xy =

g)

3

abc· 3 ab 3 ab

3

=

c 2b5 ⋅ 4 a 3b 2c 4 ac 3

=

e)

3

32a5b 4 54a 4c 6 : = 81c 7 9b 5

k)

3

f)

( a ⋅ a ):( a a )=

l)

15 4 a 2b 3c 4 :3 abc =

3

2

3

a 4b3 a 6c 3 ⋅ = c7 b4

11. Redondea los siguientes números: a) 4'89 hasta las décimas. b) 5'286 hasta las centésimas. c) 1'1362 hasta las milésimas. d) 4'26177 hasta las diezmilésimas. e) 1'2716251 hasta las millonésimas.

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LOS NÚMEROS REALES 47

12. Racionaliza el denominador: a) b) c)

1 3

22 2

=

d)

=

e)

3 2 a = 3 a

6 3

2

2b a = a a

f)

5

=

g) h) =

2 3

ab c

53 3 3 1 5

5

=

j)

=

7

27mn 4 2

k) 4

3n

i)

3mn 6

a 4b 5c 2

=

l) 7

2 ⋅3 3 18x 2

=

=

32x 3y 2

=

13. Calcula: 3

a)

b2 =

4 3

c)

a18 =

e)

12

3

4

g)

a=

2

4 5 3

a 2bc 3 =

12 ⎛ ⎞ ⎞ d) ⎛⎜ 4 32a 4 ⎞⎟ = f) ⎛⎜ 3 83 ⎞⎟ = h) ⎛ 3 ab ⎟ = abc ⎜ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 14. ¿Qué operación previa es preciso realizar para multiplicar o dividir radicales de distinto índice? ¿Cómo se efectúa?

7

b)

15. ¿Qué propiedad se emplea en la simplificación de radicales? 16. ¿Qué se entiende por radicales semejantes? Dí si se pueden transformar en semejantes 5x 2y xy,

9x 5y 3.

17. ¿Son iguales? a)

5y

3

b)

25.

9y

5

c)

234.

2y

4

d)

4.

8 y 2 2.

18. Razona si son ciertas las siguientes igualdades: a)

3

2=9 8

b)

14 ⋅

2 = 4 =2 7

c)

49 − 48 = 49 − 48 = 1 =1

19. Calcula la raíz séptima de 1280000000. 20. Realiza las siguientes operaciones: a)

3x : 4 3x =

g)

b)

x·3 x 2 ·x 2· x =

h)

8

c)

14 3 5 32 − 4 162 + 4 1250 = 2 4 4

i)

2 m3n2p 4 ⋅

j)

3 28 1 2 64 − 343 + = 4 25 3 5 4

k)

−

1 2 2 4 3 5 m n y : 16m 5n 3y 2 = 3 5

l)

4

3x 2 ·y 3 : 3xy =

1 1 4 − = 27 5 3

d)

a3b· 4 ab 3 · 3 a 2b 2 = 2· 4 4· 8 = 15 2 4 7 38 2 mnp ⋅ mn= 5 8

8

e)

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ 16x ⎟ = ⎟ ⎠

f)

⎛ 3 4 16x 3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2

4

21. Indica si son ciertas las siguientes igualdades razonando tu respuesta: a) Todo número racional es un decimal exacto. b) Todo número irracional es un decimal no periódico. c) Todo número real es un decimal ilimitado periódico o un decimal ilimitado no periódico.

48 LOS NÚMEROS REALES

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