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La palabra matemáticas proviene del término griego mathematiké o ciencia por excelencia, pues los sabios de Grecia opinaban que todas las leyes de la vida y del mundo físico se podían expresar por medio de los números.
Las matemáticas son una ciencia experimental que basa su desarrollo en la intuición y la lógica. ¿Te has preguntado alguna vez por qué la nombramos en plural: las matemáticas? Como habrás observado en cursos pasados, esta ciencia se puede dividir en varias ramas: geometría, álgebra, etc. La aritmética es la ciencia de los números y está fundamentada en las relaciones que se pueden establecer entre ellos mediante operaciones, y en sus propiedades.
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LOS NÚMEROS RACIONALES
1
PARA EMPEZAR 1.
Calcula: a) b) c) d) e)
2.
⎡⎣12 (−4 )+ 3 (1− 2 ⋅3 )⎤⎦ (3 − 6 )=
−7 − ⎡⎣ − (4 − 7 )⋅5 − 4 ⋅(6 −9 )⎤⎦ =
−2 − 3 ⋅ ⎡⎣ −7 ⋅ (−5 + 4 )− (−5 )⋅ (−3 + 5 )⎤⎦ =
6 − 2⋅ ⎡⎣5 − 3 − (4 − 7 )⎤⎦: (−2 ) =
Representar los siguientes números en la recta real: 0
3.
18 − ⎡⎣(3 + 6 + 9 ): (6 −9 )⎤⎦ =
-4/3
4/3
-2/5
1/3
5/2
Calcular: a) b) c) d) e) f) g) h)
2 1 ⋅ = 3 2 2 ⎛1 2⎞ ⋅⎜ ⋅ ⎟ = 3 ⎝2 3⎠ ⎛2 1⎞ ⎛1 3 ⎞ ⎜ 3 − 2 ⎟ ⋅⎜ 2 + 4 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛2 1⎞ ⎛2 7 ⎞ ⎜ + ⎟ ⋅⎜ − ⎟ = ⎝3 5⎠ ⎝3 2⎠ 3 2 1 − ⋅ = 7 5 2 ⎛1 2⎞ 4 ⎜ 2 + 5 ⎟: 5 = ⎝ ⎠ ⎛2 ⎞ 2 ⎜ 3 + 5 ⎟: 5 = ⎝ ⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎛2 1⎞ ⎜ − ⎟:⎜ − ⎟ = ⎝2 3⎠ ⎝3 2⎠
4.
Si una empresa gana 135.000 € mensuales netos y le aumentan las ganancias un 16 %, ¿cuánto dinero supone la subida?
5.
Un albañil construye 8 m2 de pared en 12 horas de trabajo. Le falta por levantar 24 m2. ¿Cuánto tiempo tardará si trabaja al mismo ritmo?
6.
Si una persona cobra un salario neto de 1517 €, ¿cuál será su salario bruto si los descuentos suponen en total un 18 %?
7.
Escribir en forma de potencia: a)
(-2)4 ⋅(-2) 5 =
d)
(-2)1 ⋅(-2) 0 ⋅(-2) 3
b)
(-8)4 ⋅(-8) 3 =
e)
(-3)7 :(-3) 2 =
c)
⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜ 4 ⎟ :⎜ 4 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
f)
⎛ −3 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
3
2
2
LOS NÚMEROS RACIONALES
4
3
⎛ −3 ⎞ :⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠
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PARA RECORDAR 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. Como bien sabes las matemáticas surgen de la necesidad de contar, ordenar, comprar o jugar. De esta manera surgieron los números naturales. ¿Qué números forman el conjunto de los números naturales? ¿Con qué letra se designan? Con los números naturales se pueden realizar las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. Si cogemos dos números naturales cualesquiera y los sumamos el resultado también es un número natural. ¿Pero que sucede si los restamos? ¿Podrías encontrar dos números naturales cuya resta no lo sea? ¿Por qué crees que sucede esto? Los números naturales no son suficientes a la hora de expresar ciertas cantidades como las deudas, las temperaturas bajo cero, etc. Por eso tenemos la necesidad de ampliar este conjunto añadiéndole los números negativos. De esta manera obtenemos el conjunto de los números enteros que están formados por los números naturales (positivos), los números negativos y el cero. ¿Con qué letra se designa al conjunto de los números enteros? Con los números enteros se pueden realizar entonces las operaciones aritméticas de sumar y restar, ¿y qué sucede con la multiplicación y la división? Si multiplicamos dos números enteros cualesquiera, ¿el resultado seguirá siendo un número entero? ¿Y qué sucede si dividimos dos números enteros? Al dividir números enteros, nos encontramos con una dificultad similar a la de la resta de números naturales. Si consideramos por ejemplo la división 4 : 7 su resultado no corresponde con ninguno de los números que forman el conjunto de los números enteros. Estas divisiones se dejan indicadas de la forma 4 y reciben el 7 nombre de fracciones. El conjunto que resulta de añadir a los números enteros los números fraccionarios se representa con la letra Q y se llama conjunto de los números racionales porque se pueden expresar mediante una razón: a . b Los números racionales son, pues, los que se pueden expresar en forma de fracción. Intenta expresar en forma de fracción los siguientes cocientes de números enteros: -0'3
3'25
2
-1'5
-5
a ¿Crees que puede existir algún número fraccionario de la forma ? Ayúdate de un ejemplo para razonar tu 0 respuesta.
El conjunto de los números naturales es: N = {1, 2, 3, 4,…} El conjunto de los números enteros es el formado por los números naturales (positivos), los números negativos y el cero: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} El conjunto de los números racionales, es el conjunto de los números que se pueden expresar de la forma a , donde a y b son números enteros y b ≠ 0 . b
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LOS NÚMEROS RACIONALES
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PARA PRACTICAR 8.
Como ves en este diagrama los números enteros son una parte del conjunto de los números racionales. ¿Sabrías explicar por qué?
9.
Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o no.
Q
Z
N
a) Todo número natural es entero. b) Ningún número racional es natural. c) Algún número natural es entero. d) Algún número racional es entero.
10.
¿Cuál es el menor número natural? ¿Y el menor número entero?
11.
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto menor al que pertenecen. -3, 8/4, -9/2, 13, -27/9, 5/3, 0
12.
Los números naturales, enteros y racionales se representan sobre una recta numérica eligiendo un punto de origen para el 0. Dibuja una recta y representa sobre ella los números: 4'33, -8/3, 5/10, -1/4, -3, 5, 2'83 Si representamos sobre la recta numérica todos los números racionales, ¿cuántos puntos quedan sin cubrir?
PARA RECORDAR 2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Propiedades de las operaciones: Las operaciones con números enteros presentan las siguientes propiedades. Completa la columna de la derecha comprobando cada propiedad con un ejemplo.
Operación
Propiedad Asociativa
Suma (resta)
Conmutativa Elemento neutro Elemento opuesto Asociativa
Multiplicación (división)
Conmutativa Elemento neutro
Distributiva respecto de la suma
4
LOS NÚMEROS RACIONALES
Expresión analítica
Ejemplo
(a + b )+ c = a + (b +c ) a +b = b +a a+0 = a a + (−a )= 0
(a ⋅b )⋅c = a ⋅ (b ⋅c ) a ⋅b = b ⋅ a a ⋅1= a a ⋅(b + c )= a ⋅b + a ⋅c
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3. OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS. Propiedades de las operaciones: Las operaciones con números racionales presentan las siguientes propiedades. Completa la columna de la derecha comprobando cada propiedad con un ejemplo. Operación
Propiedad Asociativa
Conmutativa Suma (resta) Elemento neutro
Elemento opuesto
Asociativa Multiplicación (división)
Conmutativa
Elemento neutro
Elemento inverso
Distributiva respecto de la suma
Expresión analítica
Ejemplo
⎛ a c ⎞ e a ⎛c e ⎞ ⎜ + ⎟+ = +⎜ + ⎟ ⎝b d⎠ f b ⎝d f ⎠
a c c a + = + b d d b a a +0 = b b a ⎛ a⎞ +⎜ − ⎟ =0 b ⎝ b⎠ ⎛a c ⎞ e a ⎛c e ⎞ ⎜ ⋅ ⎟⋅ = ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ ⎝b d⎠ f b ⎝d f ⎠
a c c a ⋅ = ⋅ b d d b a a ⋅1= b b a b ⋅ =1 b a a ⎛c e ⎞ a c a e ·⎜ + ⎟ = · + · b ⎝d f ⎠ b d b f
PARA PRACTICAR 13.
Calcula: a)
5 − [7 − 2 − (1− 9) − 3 +12 ]+ 4 =
b)
1− ( −3 + 6 +1 ) − [4 −( 6 −3 +1 ) −2 ]=
c)
6 − ( −9 + 7 −1 ) − [3 −( −5 + 4 + 6) −1]=
d)
28 − [21− (12 −3) − 7 ]=
e)
12 − [14 −(6 − 4) + 2 ]=
f)
[−2 + 3 ⋅(2 − 5):3 ]−[(3 −5 + 2) −2 ⋅(3 −4) ]=
g)
22 − 4 ⋅( 9 − 3 ⋅2 ) + 7 ⋅4 =
h)
8 − [6 − ( −3 + 7) − 6 ]+ 4 =
i)
22 − [4 − 6 − (1− 9) + 6:2 ]+ 8 =
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LOS NÚMEROS RACIONALES
5
14.
15.
Efectúa las siguientes operaciones: a)
3 1 3 3 ⋅ + ⋅ = 11 4 11 4
b)
1 3 1 5 ⋅ + ⋅ = 4 8 4 8
c)
3 2 3 −9 ⋅ + ⋅ = 8 7 8 7
d)
11 3 3 4 ⋅ − ⋅ = 7 10 10 7
Calcula: a)
4 15 3 9 ⋅ − : = 5 6 2 8
b)
3 4 ⎛ 4 3⎞ − ⋅⎜ − ⎟ = 6 5 ⎝ 12 6 ⎠
c)
⎛3 4⎞ ⎛ 4 3⎞ ⎜ − ⎟ ⋅⎜ − ⎟ = ⎝ 6 5 ⎠ ⎝ 12 6 ⎠
d)
4 2⎛6 7⎞ + −2+ ⎟ = 3 5 ⎜⎝ 2 3⎠
PARA APRENDER 4. EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL. Clasificación de las expresiones decimales: a (b ≠ 0 ) lo que representa el b cociente indicado entre dos números enteros. El número racional que representa tiene una expresión
Como hemos visto todo número racional se puede expresar de la forma
decimal. Efectúa el cociente que se indica en los siguientes números fraccionarios: 6 − = 3
5 = 2
1 − = 6
1 = 3
¿Qué similitudes y diferencias encuentras entre los resultados obtenidos?
Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división entre el numerador y el denominador y el cociente puede ser: Número entero
−
5 = 1'25, 4
Decimal exacto Decimal periódico (Nº infinito de cifras decimales)
6
18 = −2, 9
Puro Mixto
LOS NÚMEROS RACIONALES
) 2 = 0'6, 3
244 =122 2
El cociente es un número entero.
7 =1' 4 5
Número finito de cifras decimales.
15 =1'36 11
) 105 17 = 2'83, =1'590 6 66
Una o varias cifras decimales se repiten indefinidamente (periodo). Hay alguna cifra decimal que no forma parte del periodo (anteperiodo).
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PARA PRACTICAR 16.
Clasifica las siguientes expresiones decimales: a) b) c) d) e) f)
3'24 0'0567 5'356356356356… 8'89898989… 2'01001000100001… 5'21323232323…
PARA APRENDER Expresión decimal de un número racional: Hemos visto que para clasificar los números racionales según su expresión decimal tenemos que realizar el cociente que se nos indica. Pero, ¿podríamos saber de antemano, sin hacer la división, si la expresión decimal de un número racional es exacta, periódica pura o periódica mixta? Te damos una serie de pautas para que puedas averiguarlo. 1º Simplifica la fracción. 2º Descompón el denominador en factores y observa los factores que has obtenido:
Factores del denominador
Tipo de decimal
Sólo aparecen potencias de 2 o de 5.
Exacto
No aparece ninguna potencia de 2 o de 5.
Periódico puro
Aparecen potencias de 2 o de 5 junto a alguna distinta de 2 o de 5.
Periódico mixto
PARA PRACTICAR 17.
Indica el conjunto menor al que pertenecen los siguientes números y en caso de que sean racionales indica sin hacer la división si su expresión decimal es un número decimal exacto, periódico puro o mixto. a) 0'777...
j)
b) 3
k) 1'279393...
c) -5
l)
d) 9'27
m) -2985
e) 8'345345...
n) 1034523
f)
o) 2/5
3/4
3'54
2'555...
g) 9/6
p) 25/5
h) 1/9
q) 3/14
i)
r)
1/18
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3’1234...
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PARA APRENDER 5. PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN. En ocasiones nos interesará obtener la fracción que nos ha originado un número decimal. A esta fracción se le llama fracción generatriz. A continuación vamos a ver como se puede hallar.
Paso de decimal exacto a fracción: Obtén la fracción generatriz de los siguientes números decimales exactos: 2'45
0'3
-7'235
Paso de decimal periódico puro a fracción: Ejemplo: Obtén la fracción generatriz de 3'24 . N = 3'242424... ⎫ ⎬ 100 · N = 324'2424... ⎭
Re s tando:
100 · N = 324'2424... ⎫ ⎬ N = 3'242424... ⎭ 99 N = 324 - 3 N = 3'24 =
(En la práctica basta con hacer la última operación)
324 - 3 321 = 99 99 ↑ fracción generatriz
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal periódico puro al número sin coma se le resta la parte entera y se divide entre tantos nueves como cifras tiene el periodo.
Paso de decimal periódico mixto a fracción: Ejemplo: Obtén la fracción generatriz de 2' 456 . N=
2'4565656... ⎫ ⎪ 10 · N = 24'565656... ⎬ Re s tando : ⎪ 1000 · N = 2456'5656... ⎭
1000 · N = 2456'5656... ⎫ ⎬ 10 · N = 24'565656... ⎭ 990 N = N = 2'456 =
2456 −24 2456-24 2432 = 990 990 ↑ fracción generatriz
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto al número sin coma se le resta lo anterior al periodo y se divide entre tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo.
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LOS NÚMEROS RACIONALES
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PARA PRACTICAR 18.
Hallar la fracción generatriz de: a) 0'8666...
d) 2'22
g) 9'27333...
b) 3'2727...
e) 2'222...
h) 3'2424...
c) 8'27
f) 2'31222...
i) 15'34
PARA RECORDAR 6. POTENCIACIÓN. Potencias de exponente natural:
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. - El número que se repite (a) se llama base. - El número de veces que se repite la base (n) se llama exponente. - a n es el resultado y se llama potencia. an = a ⋅4 a 244 ⋅ ... ⋅3 a 14 n veces
Ejemplo: a)
5 6 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅5
b)
(−3 ) = (−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )
c)
⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3 ⎟⋅ ⎜ 3 ⎟ ⋅⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
5
3
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LOS NÚMEROS RACIONALES
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Signo de una potencia: - Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.
⎧ y el exponente par, la potencia es positiva.
- Si la base es negativa, ⎨
⎩ y el exponente impar, la potencia es negativa.
Ejemplo: a)
−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )= 3 4 (−3 ) = (suuuuuuuuuu r suuuuuuuuuur
b)
−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 )⋅(−3 ) = −3 5 (−3 ) = (suuuuuuuuuu r suuuuuuuuuur suuur
4
+
+
5
+
+
−
Operaciones con potencias: Producto de potencias de la misma base.
am ⋅ an = am+n
32 ⋅ 33 = 3 ⋅ 3r ⋅ 3 ⋅3 ⋅3 = 3 5 suuu suuuuur
Cociente de potencias de la misma base.
am : an = am-n
35 : 3 3 =
Potencia de un producto (mismo exponente).
(a ⋅ b )
= am ⋅ b m
Potencia de un cociente (mismo exponente).
(a : b )
m
m
m
Potencia de una potencia.
= a :b
(a ) = a m n
m⋅ n
m
3/ ⋅ 3/ ⋅ 3/ ⋅ 3 ⋅ 3 =32 3/ ⋅ 3/ ⋅ 3/
33 ⋅ 43 = 3suuuuur ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4suuuuuu ⋅ 4 ⋅ 4r = 3suuu ⋅ 4r ⋅3 ⋅4r ⋅3 ⋅4r = 12 suuu suuu
3 ⋅3 ⋅3 3 3 3 ⎛ 3 ⎞ 3 :4 = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ 4⋅4⋅4 4 4 4 ⎝ 4 ⎠ 3
3
3
(2 ) = 2 2 3
3
2
⋅ 22 ⋅ 22 = 2 ⋅ 2r ⋅ 2 ⋅ 2r ⋅ 2 ⋅ 2r = 2 6 suuu suuu suuu
Ejemplo: a)
(-4 ) : (-4 )
b)
⎛ 3⎞ ⎜- ⎟ ⎝ 4⎠
5
3
5
= (-4 ) = 4 2 2
-3
2
⎛ 3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛3 ⎞ ⋅⎜- ⎟ = ⎜- ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝4 ⎠
c)
(-11) : (-11)
d)
⎡⎛ -3 ⎞4 ⎤ ⎛ -3 ⎞12 ⎛ 3 ⎞ 12 ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠
7
4
= (-11) = -113 3
3
2
Potencias de exponente cero:
Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad: a0=1 Demostración:
1=
ab = ab :ab = a b−b = a 0 ab
Ejemplo: a)
1=
32 = 32 :3 2 = 3 2− 2 = 3 0 32
10 LOS NÚMEROS RACIONALES
0
b)
⎛ 2⎞ ⎜ − ⎟ =1 ⎝ 7⎠
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Potencias de exponente negativo: Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por esa misma potencia con exponente positivo: a -n =
1 an
Demostración: a −n = a 0−n = a 0 :a n =
a0 1 = an a n
Ejemplo: a)
3 −2 = 3 0−2 = 3 0 :3 2 =
b)
1 = 54 5 −4
30 1 = 32 3 2
−6
c)
6
⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛2⎞ ⎜ − ⎟ =⎜ − ⎟ =⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝3⎠
6
PARA PRACTICAR 19.
20.
Calcular: 23 =
b)
(-23 ) =
d)
22.
⎛8⎞ ⎜3⎟ = ⎝ ⎠ 0
⎛6⎞ ⎜7⎟ = ⎝ ⎠ Escribir en forma de una sola potencia:
e)
c)
(-2-3 ) =
a)
⎡(−2 )3 ⎤ = ⎣ ⎦
b)
⎡⎛ 2 ⎞ −3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
c)
⎛3⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠
d)
⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ 7 ⎟ ⋅⎜ 7 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−4
6
−−4
e)
⎡(−2 )−2 ⎤ ⎣ ⎦
f)
⎡⎛ 3 ⎞2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎥⎦
g)
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 4 ⎟ ⋅⎜ 4 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
h)
⎛ −2 5 ⎞ ⎜ 7 ⋅2 ⎟ = ⎝ ⎠
5
21.
−2
−3
a)
=
f)
⎛ −2 ⎞ ⎜ 6 ⎟ = ⎝ ⎠
g)
(−2 )
i)
⎡(−3 )−2 ⎤ = ⎣ ⎦
j)
⎡ ⎛ 2 ⎞ −3 ⎤ ⎢⎜ − ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
k)
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 3 ⎟ :⎜ 3 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
l)
⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎜ 3 ⎟ :⎜ 3 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−6
−2
⎛3⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝5⎠ −6
−4
−3
−4
=
−4
2
−2
−3
−5
−3
−2
4
Efectúa las operaciones siguientes: a)
35 ⋅ 3 7 ⋅ 3 4 =
e)
23 ⋅33 ⋅5 3 =
b)
25 − (−2 ) =
f)
(−8 ) :25 =
c)
(−3 ) : (−3 )
g)
(−8 )
d)
25 ⋅ 27 ⋅ 2 4 =
h)
2 4 − 23 =
3
5
3
=
5
5
− 25 =
Calcula. a)
(−2 ) ⋅5 + (1− 3 ) :4 − 6 =
b)
(2⋅3 + 5 )(5 − 33 + 6 ): (3 − 4 ) =
c)
7 − (−5 )⋅ ⎡⎣ 4 − (1− 4 )⎤⎦ =
d)
2 3 − (−2 )⋅ ⎡⎢ −3 − (−3 + (−2 )) ⎤⎥ = ⎣ ⎦
e)
2 − 3 ⎡⎣5 − 4 (4 − 6 )⎤⎦ + 8 2 :4 =
4
3
2
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LOS NÚMEROS RACIONALES
11
PARA RECORDAR 7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. A continuación te proponemos una serie de problemas en los que queremos que utilices lo que has aprendido hasta ahora de los números racionales en la resolución de problemas relacionados con situaciones cotidianas como porcentajes, proporciones, grifos, etc. Recuerda que hay una herramienta que facilita la resolución de muchos problemas: la regla de tres. PROBLEMA 1: ¿Qué porcentaje debe subir el sueldo de una persona que gana 1100 €, para que el nuevo sueldo sea 1232 €?
PROBLEMA 2: En una caja, 2 de cada 5 bolas son azules. Hay 12 bolas azules en la caja. ¿Cuántas bolas tiene la caja?
PROBLEMA 3: Un grifo arroja 8 litros de agua por minuto y otro 12 litros. Abiertos simultáneamente los dos grifos sobre un depósito de 600 litros, ¿cuánto tardarán en llenarlo?
12 LOS NÚMEROS RACIONALES
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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS LA LETRA DEL NIF. El ministerio de Economía y Hacienda ha establecido para el cálculo del Número de Identificación Fiscal (NIF), un procedimiento consistente en añadir una letra de control al DNI. La forma de calcular esta letra es bastante sencilla. Dado un DNI cualquiera (16234521, por ejemplo), lo primero que hay que hacer es obtener el resto de su división por 23, cuyo resultado debe estar comprendido entre 0 y 22. En nuestro ejemplo ese resto es 17. A continuación se consulta la tabla siguiente, para obtener definitivamente la letra de control a añadir al DNI. Resto obtenido
Letra de control
Resto obtenido
Letra de control
0
T
12
N
1
R
13
J
2
W
14
Z
3
A
15
S
4
G
16
Q
5
M
17
V
6
Y
18
H
7
F
19
L
8
P
20
C
9
D
21
K
10
X
22
E
11
B
El NIF en nuestro ejemplo sería el 16234521V. Si se produjera un error y se grabara como NIF 16235421V, se detectaría que es incorrecto pues el DNI 16235421 tiene 20 como resto y por tanto la letra debe ser la C, en lugar de la V. Evitar ese y otros errores usuales es el objetivo que se persigue con la introducción del NIF. a) Comprueba con tu DNI que tu letra de control se corresponde con la tabla.
b) ¿Es correcto el DNI 12345678D?
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13
PARA ENTRENAR 1. Calcula:
{
}
a)
13 − 7 − ⎡⎣5 − 2 ⋅(5 − 9 )⎤⎦ =
b)
5 − 4 (−6 )+10:2 − ⎡⎣5 − (4 +6 )⎤⎦ =
c)
− ⎡⎣ −3 − 2⋅ (−4 + 6 − 3 )− 8 ⎤⎦ =
d)
10 − (−3 )+ 2 ⋅ ⎡⎣(−3 )⋅(−4 )− (−1)⎤⎦ =
e)
−2 − ⎡⎣ 4 − (−2 )(2 +1)⎤⎦ =
2. Calcular: a)
b)
1 = 1− 1 2 5
7= 2
5
c)
d)
2
3= 3
1 = 7 8
e)
5 12 ⋅ = 6 10
f)
5 10 : = 6 12
3. Calcular: a)
2⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎛ − ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ −2 − ⎟ 10 5 5 ⎝ ⎠⎝ ⎠= 1 5 − 2 3
b)
⎛3 7⎞ ⎛5 2 ⎞ − ⎜ + ⎟⋅⎜ − ⎟ = ⎝6 2⎠ ⎝2 7⎠
c)
⎛ −6 −1 ⎞ 3 5 1 ⎜ 2 − 5 ⎟: 5 − 4 ⋅ 6 = ⎝ ⎠
d)
7⎞ ⎛2 3⎞ ⎛ ⎜ 7 + 5 ⎟ ⋅ ⎜ −2 + 6 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 1 1− 2
e)
⎛3 2⎞ 4 2 3 ⎜ 2 − 5 ⎟: 7 − 9 ⋅ 7 = ⎝ ⎠
f)
⎛3 7⎞ 5 3 − ⎜ + ⎟⋅ + = ⎝5 2⎠ 2 7
4. Escribe en forma de porcentaje: a) En una clase de 27 alumnos, los 2/3 son niñas. b) De 1000 personas encuestadas, 400 prefieren el pan integral. c) De cada cuatro habitantes del mundo, uno vive en China. d) Los mares y océanos ocupan 361.100.000 kilómetros cuadrados; el área total de la superficie del planeta es de 509.880.000 kilómetros cuadrados. e) 25 es el ___ % de 75. 5. Si un producto cuesta 12.000 € y se le aplica un 6% de IVA, ¿qué cantidad supone el IVA?
14 LOS NÚMEROS RACIONALES
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6. Si al salario de un trabajador se le aplica una retención en concepto de IRPF del 19%, un descuento del 2'5% para la Seguridad Social y un 0'75% para una mutualidad profesional, ¿cuál es su salario neto si su salario bruto es de 3100 €?
7. Clasificar los siguientes números en N, Z y Q (indicando si son decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos cuando proceda). a) 0'2301111...
d) 565'11111...
g) 152'444...
b) 2'2564
e) 152'152
h) 256'023333...
c) 12'0232323...
f)
i)
15'454545...
-25
8. Hallar la fracción generatriz de: a) 12'23
c) 65'02444...
e) 56'151515...
b) 25'333...
d) 45'25
f)
48'25666...
o)
(−3 ) : (−3 )
9. Calcular el valor de las siguientes potencias: 2
a)
⎡⎣(−2 )+ 2 + (−3 )⎤⎦ =
b)
⎡(−12 )2 − (−7 )3 + 9 ⎤ = ⎣ ⎦
2
10. Expresa como una única potencia: a)
(−2 ) ⋅(−2 ) ⋅(−2 )= 3
4
−5 −3
b)
⎡(2 ) ⎤ = ⎣ ⎦
c)
⎛2⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠
d)
⎡⎛ 3 ⎞ −2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
e)
⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ 3 ⎟:⎜ 3 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠
f)
⎡ ⎛ −2 ⎞ 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
g)
⎡(−1)−4 ⎤ = ⎣ ⎦
3
h)
−3
−2
=
−2
i)
⎡(−3 )3 ⎤ = ⎣ ⎦
j)
⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜ 2 ⎟ ⋅⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k)
⎡⎛ −3 ⎞ −2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎥⎦
l)
⎛ −5 ⎞ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠
−2
⎛2⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝5⎠
(3 ) ⋅ (3 )
−7
−4
3
⎛5⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝2⎠
−5
−3
7
⎡(−3 ) ⎤ = ⎣ ⎦
q)
⎛ 1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
r)
⎡⎛ 1 ⎞ −2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
s)
⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎜ 19 ⎟ : ⎜ 19 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
t)
5 ⎧⎡ −2 3 ⎤ ⎫ ⎨ ⎢ −2 ⎬ = ⎦⎥ ⎭ ⎩⎣
u)
(−1) : (−1)
9
⎛ −5 ⎞ :⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠
6
6
3
−4
⎛ 1⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝2⎠
12
3
(−5 ) : (−5 )
=
3 2 −
−3
⎡⎛ 5 ⎞ −2 ⎤ m) ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
n)
4
p)
−5
3
6
=
(
− 10
3
)
2
=
6
=
11. El 6 % de los tornillos que hace una máquina son defectuosos. Un día, fabricó 48 tornillos defectuosos. ¿Cuántos tornillos fabricó ese día?
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LOS NÚMEROS RACIONALES
15
12. Calcular: 3
a)
⎡⎛ 1 ⎞ 2 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ 5 ⎥⎦
b)
⎡⎣ 2 ⋅5 ⋅ (−3 )⎤⎦ =
c)
⎡ ⎛ −1 ⎞ 3 6 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⋅ (−5 )⎥ = ⎣⎢⎝ 3 ⎠ 5 ⎦⎥
d)
⎛3 5⎞ ⎜ 4:6 ⎟ = ⎝ ⎠
e)
⎡ ⎛ −3 ⎞ 2 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ 4 ⎦⎥
f)
⎡ 32 ⋅ (−2 )2 ⎤ ⎢ ⎥ = 6 ⎢⎣ ⎥⎦
g)
⎡ (−2 )⋅ (−3 )3 ⎤ ⎢ ⎥ = 9 ⎣⎢ ⎦⎥
h)
⎡ 23 2 ⋅ (−3 )2 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ (−3 )⋅ 20 ⎥ ⎣ ⎦
i)
(−3 ) ⋅(−3 ) 8 (−3 )
3
4
3
5
2
2
2
( ) 5
3
=
13. Expresa en forma general la propiedad asociativa de la suma de fracciones y demuéstrala con un ejemplo.
14. Calcula: a)
3 ⋅ 6 − ⎡⎣(−5 + 2 )− (2 − 6 )⋅ (−2 + 3 )⎤⎦ =
b)
(−2 )(−5 )− ⎡⎣(3 + 5 )− (4 + 2 )⎤⎦ − ⎡⎣(5 −6 )− (5 + 4 )⎤⎦ =
c)
(−6 + 3 )− (4 − 5 + 2 )⋅(−3 − 6 + 2 )− ⎡⎣(5 − 7 )+ (2 −3 − 4 )⎤⎦ =
d)
⎡⎣(4 − 6 + 3 )− (5 − 7 + 2 )⎤⎦ − ⎡⎣(4 − 2 +1)− (3 −6 +2 )⎤⎦ =
e)
⎡⎣(5 − 6 + 2 − 5 )+ (3 − 4 + 2 )− (3 −7 + 6 )⎤⎦ − ⎡⎣(3 −5 )− (4 +3 )⎤⎦ =
f)
22 − 4 ⋅( 9 − 3 ⋅2 ) + 7 ⋅4 =
g)
4 ⋅(10 − 2 − 3) − 2 ( −3 −15:3) +(9 −2) =
16 LOS NÚMEROS RACIONALES
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15. Calcula: a)
2 4 3 + ⋅ = 5 7 5
b)
1 3 3 3 +5 −9 = 4 6 2 6 8 5
c)
1 3 2 + + 4 6 5= 2 4 2 − + 5 6 3
d)
⎛ 4 5 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ −3 2 ⎞ ⎜ 3 : 2 ⎟ ⋅ ⎜ 7 ⋅ 5 ⎟ + ⎜ 2 + 6 ⋅3 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e)
⎛ 5 3 ⎞ ⎛ 1 3 3 ⎞ ⎛2 6 3 ⎞ ⎜ 4 − 5 ⎟ − ⎜ 2 + 5 ⋅ 6 ⎟ + ⎜ 3 ⋅ 2 ⋅6 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
f)
2 1 ⎡ 7 ⎛ 1 ⎞⎤ − + ⋅ ⎢ − − (−2 )⋅ ⎜ − 3 ⎟ ⎥ = 3 3 ⎣ 3 ⎝ 4 ⎠⎦
16. Una persona tiene un sueldo bruto mensual de 2400 €. ¿Cuál será su nuevo sueldo si el sueldo anterior se incrementa un 4 %?
17. Se adquiere una mercancía cuyo precio es 123.000 €. Si dicho precio debe ser recargado con un 6 % por pago aplazado y un 2 % por transporte, ¿cuál será el precio final de la mercancía?
18. Una persona ha pagado 1020 € por un artículo cuyo precio era 1200 €. ¿Qué % de descuento le han hecho?
19. Calcular:
a)
b)
⎡ 2 ⎛ −1 ⎞ ⎤ ⎢ 3 ⋅ ⎜ 4 ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟:⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠
2
2
=
2 ⎞ ⎛ −11 ⎞ ⎛ ⎜5 − ⎟ : ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ = 7 1 − : 6 7
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LOS NÚMEROS RACIONALES
17
20. Calcula: a)
25 ⋅ 3 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 81⋅ 5 23 ⋅ (−3 ) ⋅ 4 2 2
b)
63 ⋅ 9 2
=
c)
3 ⋅ a5b 6c 7 = 2 ⋅ 34 ⋅ a3
d)
2−4 ⋅ 4 2 ⋅ 3 ⋅ 9 − 1 = 2 −5 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 3 2
e)
⎡ (a3 ⋅ a 5 )2 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ (a ⋅ a 2 )2 ⋅ a ⎥ ⎣ ⎦
f)
⎡ a −3 ⋅ b 2 ⎤ ⎢ b3 ⋅ a ⎥ = ⎣ ⎦
3
2
21. Expresa las siguientes expresiones mediante una única potencia: a)
2 −3 =
b)
(−3 )
c)
⎡ a5 2 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ a6 ⎥ ⎣ ⎦
d)
⎡(−5 )3 ⎤ = ⎣ ⎦
−2
=
( )
e)
1−3 =
f)
(−5 )
g)
⎡ a6 2 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ = 4 9 a
h)
⎡ −4 2 3 ⎤ = ⎥⎦ ⎣⎢
9
4
−3
=
( ) ( )
( )
i)
3 −2 =
j)
(−2 )
k)
⎡⎛ 1 ⎞2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ −3 ⎠ ⎦⎥
l)
(−7 )
3
5
−1
= −5
−1
=
22. Efectúa: a)
3 3 1 + + 5 10 2 = 1 4+ 3
b)
1+
c)
1 2+
=
1 3+
1 4
1 5 1+ 5= 7 : 1+ 1 5 1+ 5
1+
2
2
d)
⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 5 ⎠ = 1 1 + 3 5
e)
1 ⎛1 ⎞ 2 + 3⎜ − 2⎟ + 5 ⎝4 ⎠ 7= ⎛1 2 2⎞ 1 ⎜ ⋅ − ⎟: ⎝5 3 3⎠ 4
f)
3⎞ 1 ⎛ ⎜2− ⎟⋅ 4⎠ 5 ⎝ = 1 2 : 6 3
18 LOS NÚMEROS RACIONALES
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23. Calcula, simplificando cuando sea posible: a)
1 ⎛3 ⎞ − −1 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = 3 +1 4
b)
⎛3 1⎞ −3 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝5 3⎠ = ⎛4 6⎞ −2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝3 5⎠
c)
3 2⎛ 1⎞ 2 − ⎜ 1− ⎟ − 3 ⋅ = 5 5⎝ 3⎠ 9
d)
⎛ 1⎞ ⎛3 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 1+ 3 ⎟ − ⎜ 4 + 2 ⎟ ⋅ ⎜ 3 − 4 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
e)
2 ⎛3 1⎞ 1 ⎛5 1⎞ ⋅ − − ⋅ − = 3 ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠ 6 ⎜⎝ 6 3 ⎟⎠
f)
⎛2 ⎞ ⎛1 1⎞ 5: ⎜ + 1⎟ − 3: ⎜ − ⎟ = ⎝4 ⎠ ⎝2 4⎠
g)
5 3= 5 3+ 3
h)
1 3 − 4 5 = 7 3 − 10 4
i)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎜ 6 −1⎟ ⋅ ⎜ 3 − 5 ⎟ − ⎜ 3 − 2 ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝
j)
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1⎞ 2: ⎜ + ⎟ − 3: ⎜ 1+ ⎟ = ⎝6 2⎠ ⎝ 2⎠
k)
3 ⎡ 3 ⎛ 17 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ − ⋅ ⎢1− − ⎜ −1 ⋅ − 3 ⎟ ⎥ = 8 ⎣ 5 ⎝ 20 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎠⎦
2
l)
3−
2 ⎡⎛ 2 1 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎤ ⎛1 ⎞ 13 1 − + − ⎢⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎥: ⎜ 3 −1⎟ = ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠ ⎣⎢⎝ 3 9 ⎠ −2
−1
3 3 1 7 m) ⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ = ⎝2 4⎠ ⎝3 9 ⎠
n)
5 ⎛1 5⎞ 3 ⎛4 7 ⎞ ⋅ + : ⋅ − = 7 ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠ 5 ⎜⎝ 5 10 ⎟⎠ 4
o)
2 3 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎤ ⎢⎜ 2 − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ −2
p)
⎡⎛ −1 ⎞2 ⎛ −5 ⎞ ⎤ ⎛ 4 ⎞ 2 ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ −1⎟ = ⎣⎢⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 5 ⎠
q)
⎡⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎢⎜ 1− ⎟ + ⎜ − 3 ⎟ ⎥ + ⎜ 2 − ⎟ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 5 ⎠
r)
⎡ ⎛ −1 ⎞ 3 ⎛ 6 ⎞ 4⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ (−2 ) ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎦⎥
−1
2
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LOS NÚMEROS RACIONALES
19
24. Calcula: 3
a)
⎛2 5⎞ ⎜ 3:6 ⎟ = ⎝ ⎠
b)
⎡ 5 2 ⋅ (−2 )⎤ ⎢ ⎥ = ⎣ 10 ⎦
c)
⎡ 43 ⋅3 ⎤ ⎢ 26 ⋅ 9 ⎥ = ⎣ ⎦
d)
⎡ (−2 )⋅ (−4 )2 ⎤ ⎢ ⎥ = 23 ⎢⎣ ⎥⎦
e)
⎡ ⎛ −1 ⎞ 2 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎥ = ⎢⎣⎝ 2 ⎠ 4 ⎥⎦
f)
5 2 ⋅ 7 −3 ⋅ 5 − 4 = 7 2 ⋅ 5 −2 ⋅ 7 − 1
g)
1 1 1 1 1 − ⋅ + : = 2 3 4 5 6
h)
⎛ 1 1⎞ 1 1 1 ⎜ 2 − 3 ⎟⋅ 4 + 5 : 6 = ⎝ ⎠
i)
⎛1 1 1⎞ 1 1 ⎜ 2 − 3 ⋅ 4 ⎟+ 5 : 6 = ⎝ ⎠
j)
⎛1 1 1 1⎞ 1 ⎜ 2 − 3 ⋅ 4 + 5 ⎟: 6 = ⎝ ⎠
2
2
3
4
25. Realiza las siguientes operaciones: a)
−48 +12 ⋅(−3 + 5 )− (−6 ) : (−3 ) ⋅2 =
b)
7 − 4 ⋅ −2 + (−3 )⋅ ⎡⎣5 +10: (−2 )⎤⎦ =
c)
2 − 6:3 ⋅4 −5 ⋅(−1)− ⎡⎣(−4 )⋅(−3 )−18: (−9 )⎤⎦ =
d)
− ⎡⎣13 − 2 ⋅ (1− 3 )⎤⎦ +15: (−3 )+ (−5 )(−2 )=
e)
(−2 )
f)
2 + (−2 )⋅(−7 )− ⎡⎣3 ⋅(−4 )− (2 + 8: (−2 ))⎤⎦ =
3
{
3
2
}
+ 3 (4 −18:6 )(4 − (−5 )⋅4 )=
26. Si el precio del kilo de pan, que antes costaba 15 €, vale ahora 18 €, ¿cuál es el porcentaje de incremento?
20 LOS NÚMEROS RACIONALES
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PARA APRENDER MÁS 1. Halla la fracción opuesta de -2/5 . 2. Escribe la propiedad distributiva respecto de la suma de fracciones. 3. ¿Qué clase de decimales son los siguientes números racionales? a) 2'533 b) 2'515151… c) 0'010010001…
d) 3'4555… e) 345'2 f) 4'12123123412345…
g) 7'05 h) 4'521313…
4. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales: a) 12’3 b) 7’60777...
c) 0’97626262... d) 32’575757...
e) 3’333...
5. Representa sobre la recta numérica 5/6, -9/4, 7/3, -5/2, -3/5, -15/4. 6. Un supermercado hace la oferta "pague dos y lleve tres". ¿A qué descuento equivale esta oferta? 7. Simplifica y calcula: a)
⎡⎛ −1 ⎞2 ⎛ −4 ⎞ 2 ⎤ 2 ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : (−2 ) = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎦⎥
b)
⎡ 1 ⎛ −3 ⎞ 5 ⎤ ⎢9 ⋅⎜ 2 ⎟ ⋅ 2⎥ = ⎠ ⎦ ⎣ ⎝
i)
⎛ 3 1⎞ 4 ⎜ − ⎟ : +1 ⎝4 2⎠ 3 = 1 3 5 − + 2 4 8
j)
3 3 ⎛3 4⎞ ⎜ + ⎟⋅2 + : 2 3 5 2 ⎝ ⎠ = 4 +2:2 3
2
2
c)
⎡ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎢⎜ 2 ⎟ ⋅ ⎜ 2 ⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ ⎥ = ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
d)
⎡⎛ 1 ⎞ 4 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎤ ⎛ 9 ⎞ ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 5 ⎠
e)
⎧⎪ ⎡⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ 5 ⎤ ⎛ 1 ⎞ 3 ⎫⎪ ⎛ −1 ⎞ ⎨ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : ⎜ ⎟ ⎬ : ⎜ ⎟ = ⎩⎪ ⎣⎢⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 5 ⎠ ⎭⎪ ⎝ 25 ⎠
f)
⎡⎛ 1 ⎞ 4 ⎛ 3 ⎞3 ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ : ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
4
2
h)
l)
2
4
g)
1 4 ⎛ 3⎞ 3 + ⋅ + 2 ⋅ ⎜1+ ⎟ 2 3 ⎝ 2 ⎠ :2+ 1 = k) 3 2 2+ 4
2 ⎡ 1 2 ⎛ −3 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⋅ ⋅ : ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢ 3 5 ⎜ 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎢ ⎝ 5 ⎠ ⎦⎥ ⎣
⎛3 5⎞ 2 ⎛4 ⎞ 2 ⋅ ⎜ − ⎟ : ⋅ ⎜ + 1⎟ ⎝ 4 2⎠ 3 ⎝5 ⎠ = ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎢1 − 2 ⋅ ⎜ 1 + 4 ⎟ ⎥ ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣
⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ : + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ −1 3 7 4⎠ ⎝ 3 ⎠ m) ⎝ = ⎛ −3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ −1 + ⎜ ⎟:⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 4 ⎠
3 5 3 ⎛ 1⎞ : − ⋅ ⎜ 1− ⎟ + 2 4 8 2 ⎝ 3⎠ = 1 4 3 3 ⋅ + : 4 5 5 10
n)
5 1 1 − ⋅3 + 3 4 6= 2 3
o)
⎛2 3⎞ 3 2 ⎜ 4 : 5 ⎟ − 8 ⋅ 6 + 1= ⎝ ⎠
p)
1 1 1+ 2: 2= 3 1 2− 4− 4 4
q)
3⎞ ⎤ 1 ⎡⎛ 1 1 ⎢⎜ 3 + 2 ⋅ 4 − 5 ⎟ ⋅10 ⎥: 3 = ⎠ ⎦ ⎣⎝
r)
1 3 2 4 + − ⋅ −1 3 4 3 5 = 2 15
s)
⎛ 1 2⎞ ⎛1 3⎞ ⎜ 4 − 3 ⎟: ⎜ 3 − 4 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠
t)
⎛ 11 ⎞ ⎜ 2 − 5 ⎟ ⋅5 − 2 ⎝ ⎠ = 1 1− 4
1−
8. Halla el valor de: a)
3 2 3 5⎫ 2 4 ⎧⎡ ⎪ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎤ ⎛ −3 ⎞ ⎪ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⋅ − ⋅ : ⎨⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎪⎩ ⎣⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 5 ⎠ ⎪⎭ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠
b)
2 2 2 ⎪⎧ ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎪⎫ ⎡ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −4 ⎞⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎥ : ⎜ +5 ⎟ = ⎨ ⎢ ⎜ + 1⎟ ⋅ ⎜ 1+ ⎟ ⎥ : ⎜ 2 − ⎟ ⎬ + ⎢ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎠ ⎩⎪ ⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎭⎪ ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎥⎦ ⎝ 4
c)
⎡⎛ 3 2⎞ ⎞ ⎛ 8 ⎞ 1⎤ ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎢⎜ 2 − 4 ⎟ : ⎜1− 3 ⎟ + 2 ⎥ − ⎜ 1+ 3 ⎟ : ⎜ 2 − 3 ⎟ = ⎠⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎝
4
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2
2
LOS NÚMEROS RACIONALES
21
9. Halla la fracción generatriz de: a) 0'65 b) 3'47888…
c) 3'222… d) 1'234234234…
e) 8'676767… f) 0'5444…
10. Calcula: ⎛ 1⎞ ⎜− 2 ⎟ = ⎝ ⎠
c)
(12 − 4 ⋅3 )
d)
7−3 ⋅ 7−5 =
2
=
e)
2 ⋅2 ⋅2 =
f)
(a ⋅a ) =
3
−2 3
g)
(x
h)
8 −7 ⋅8 2 =
i)
⎡(−5 )3 ⎤ = ⎣ ⎦
4
⋅ x −1
)
−2
4
=
a’)
(−a )
=
t)
(−2 )
=
b’)
(−a )
=
u)
⎛ 1⎞ ⎜2⎟ = ⎝ ⎠
c’)
⎛ −1 ⎞ ⎜a ⎟ = ⎝ ⎠
v)
⎛2⎞ ⎜3⎟ = ⎝ ⎠
w)
⎛ −3 ⎞ ⎜ 4 ⎟ = ⎝ ⎠
e’)
⎛ −1 ⎞ ⎜a ⎟ = ⎝ ⎠
x)
(−1)
f’)
y)
(−a )
⎛ −1 ⎞ ⎜ 2⎟ = ⎝ ⎠
k)
4 −2 = 4 −3
l)
(a ) =
m)
(3 ⋅ 2 )
−3
2
(−2 ) =
s)
−1
b)
(−a )
(−2 )
j)
⎛ 2− 2 ⎞ ⎜ 5 ⎟ = ⎝ ⎠
z)
r)
3
−1
a)
n)
⎛ 35 ⎞ ⎜ 2⎟ = ⎝3 ⎠
⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
5
o)
(−2 )
p)
(−2 )
q)
(−2 )
=
=
−2
3
1
4
=
=
3
−2
−1
=
−6
⎛ −1 ⎞ d’) ⎜ ⎟ = ⎝a ⎠ 5
−2
8
1573
−5
−2
−4
⎛3⎞ ⋅⎜ ⎟ = ⎝2⎠
0
=
−1
−4 6
0
−1
−4
= =
11. Calcula simplificando siempre que sea posible: a)
b)
1 ⎡⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞⎤ 1 ⎛ 4 3 ⎞ − ⋅ ⎢⎜ + ⎟ ⋅3 − 4 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ − ⋅ ⎜ + ⎟ = 3 ⎣⎝ 2 6 ⎠ ⎝ 4 8 ⎠⎦ 5 ⎝ 7 6 ⎠
2
e)
2 ⎛3⎞ 3 9 − 1+ + 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 4 = − 2 2 3 + −1 ⎛ 2 ⎞ + 9 ⎜3⎟ 4 3 2 ⎝ ⎠
f)
⎛3 1⎞ 4 ⎜ 4 − 2 ⎟ : 3 +1 ⎝ ⎠ = 1 3 5 − + 2 4 8
g)
3 5 3 ⎛ 1⎞ : − ⋅ 1− + 2 4 8 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = 1 4 3 3 ⋅ + : 4 5 5 10
⎡ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1⎞ 1⎤ − ⎟ ⋅⎜ − ⎟ + ⎜ 3: ⎟ : ⎥ = ⎣⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 ⎦
(3 − 4 )⎢⎛⎜
c)
⎡ 3 1 ⎛ 1 ⎞ 3 1 ⎤ ⎡ ⎛ 2 −5 ⎞ ⎤ ⎢ 5 − 3 ⋅ ⎜ 1− 2 ⎟ − 4 + 3 ⎥: ⎢ − ⎜ − 5 ⋅ 3 ⎟ ⎥ = ⎝ ⎠ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
d)
⎡⎛ 1 2 ⎞ 1 1⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎤ ⎛ 5 ⎢⎜ 2 + 3 ⎟ ⋅ 4 − 2 ⋅ ⎜ 4 + 3 ⎟ ⎥: ⎜ 6 − 4 + 4 ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣⎝
12. Un alumno se lamenta de que en su clase han aprobado 2 de cada 3. Su amigo le contesta que no se queje, que en su clase han aprobado 3 de cada 7. ¿Dónde hay más suspensos? ¿Por qué? 13. Un agricultor vende 1/3 de su cosecha y luego 4/7 de lo restante. Si le quedan aún 120 kg, ¿cuánto cosechó? 14. Dibuja en la recta numérica los números: 9/2, -3/2, 5/3, -8/7. 15. ¿En qué porcentaje debe subir el sueldo de una persona para que ésta pase de ganar 1500 € a cobrar 1750 €? 16. Si un instituto ha pasado de tener 612 alumnos a tener 578, ¿qué porcentaje de variación ha sufrido el número de alumnos? 17. En un depósito hay 3360 litros de agua. Dos fuentes vierten 16 y 25 litros por minuto, mientras que por una boca de riego salen 85 litros por minuto. Calcula la cantidad de agua que hay en el depósito al cabo de 1 hora.
22 LOS NÚMEROS RACIONALES
COLEGIO VIZCAYA
18. Calcular aplicando las propiedades de las potencias: a)
(-3 )
b)
(-3 )
c) d)
5
0
=
e)
⎡⎛ 1 ⎞ 4 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ 5 ⎠ ⎦⎥
-25 =
f)
32 =
-2-5 =
g)
(-3 ) =
−5
=
4
h)
⎡ ⎛ 1 ⎞3 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
i)
⎡⎛ 3 ⎞7 ⎛ 3 ⎞ 3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦
3
2
2
3
19. Calcula, simplificando: k)
(x (x
c)
a 2 ⋅ a −3 ⋅a − 4 = a 2 ⋅ a −2 ⋅a − 1
l)
⎡ p 3 q− 3 ⎢⎣
d)
2-4 ⋅ 42 ⋅3 ⋅9 −1 ⋅3 − 2 = 2 −5 ⋅ 8 ⋅ 3 − 3 ⋅ 9
m)
2−1 − 5 ⋅3 − 2 +
n)
⎡⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞3 ⎛ −1 ⎞ 4 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
o)
⎡ ⎛ 1 ⎞ −1 ⎛ 2 ⎞ 4 ⎛ 2 ⎞ 4 ⎤ ⎢⎜ 1− ⎟ ⋅⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ +1⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
p)
⎡⎛ y 2 z ⎞−1 ⎛ xz − 1 ⎞−3 ⎤ ⎛ x 2 ⎞− 3 ⎢⎜ −3 ⎟ : ⎜ − 1 ⎟ ⎥ : ⎜ −3 ⎟ = ⎢⎣⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎥⎦ ⎝ y z ⎠
a)
a3 ⋅b5 ⋅a −7 ⋅b − 2 =
b)
a 2 ⋅b 3 ⋅ c 4 = a ⋅b 2 ⋅c 3
e)
3
2
2
(ab )
−3
f) g)
x 4 y 6 x −3 x 2 y − 2 = y 3 y 2 xy −1y 3y − 2
h)
−4
−1 − 3
y z−4
(
) )
−1
−2
=
) (p q ) ⎤⎥⎦ 2
2 −2
3
−4
=
3 −3 ⋅ 6 ⎡ − 1 − 1 − 2 3 ⋅4 4 −1 ⋅3 −2 ⎣⎢
(
−1 −1
)
⎤ = ⎦⎥
−2
3
⎡(xy )2 ⎤ = ⎣ ⎦
3
y −2 z − 3
−2
(a b ) (ab ) = 2
−2
−1
5
6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅5 = 63 ⋅5 ⋅6 −5 ⋅5 3 2
i)
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎢⎜ −1⎟ + ⎜ 2 − ⎟ ⎥ + ⎜ −1⎟ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 2 ⎠
j)
b5 :b 4 = b ⋅b 2 ⋅b −1
2
−1
q)
(a
r)
(3
s)
⎡⎛ 1 ⎞2 ⎛ −2 ⎞ 3 ⎤ ⎢⎜ 2 − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
2
)(
⋅a −3 ⋅a 4 : a 5 :a 6 3
2
a ⋅ a ⋅a 3
)( 2
⋅3 2 : 3 3 :3 2
)=
)= 5
4
20. Sin hacer la división, di qué tipo de decimal son los siguientes cocientes indicados: 3 27 7 3 5 7 13 9 2 3 , , , , , , , , , 4 5 12 16 24 27 36 75 15 36
21. Dos amigos van de excursión y el primer día recorren 2/5 del trayecto. El segundo día 1/3, y el tercero, el resto que son 24 km. ¿Cuál es el trayecto de la excursión? 22. De un bidón se saca primero la mitad de su contenido. Después se saca la quinta parte, quedando así 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón? 23. Un grifo arroja 6 litros por minuto y otro 8 litros. Pero hay un agujero y se escapan 4 litros por minuto. Abiertos los tres conductos, ¿en cuánto tiempo llenarán 500 litros? 24. Simplifica: a)
7 = 2 ⋅ 73
d)
3a3b 4 = 2a 2b5
g)
3 5 ⋅ 3 −7 = 32
b)
23 ⋅ 5 2 = 2 5 ⋅5
e)
62 ⋅ 35 = 93
h)
62 = 2⋅3 2
c)
2m2 = 8m4n2
f)
34 ⋅ 3 2 ⋅ 3 0 = 36
i)
24 ⋅ 4 −2 = 82
COLEGIO VIZCAYA
LOS NÚMEROS RACIONALES
23
25. Simplifica: a)
52 ⋅ 8 2 ⋅5 ⋅ 5 3 ⋅ 2 2 = 53 ⋅ 4 2
c)
2−5 ⋅ 4 2 ⋅ 3 2 = 23 ⋅ 9 −1
b)
9 ⋅ 3 −7 = 10 −2 ⋅ 27 2
d)
2−5 ⋅ 10 −3 ⋅ 5 − 4 = 128 ⋅ 5 2 ⋅10 −1
26. Calcula: 3
a)
2 ⎡⎛ −1 ⎞2 ⎛ −1 ⎞ 2 ⎤ 0 ⎡⎛ 2 ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : (−2 ) ⋅ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ −1
b)
2 4 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 7 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ : − + − 1 2 ⎢ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 6 ⎠ ⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎣⎝ 4
c)
d)
3 ⎫ ⎡ ⎛ −2 ⎞ − 2 ⎤ 3 −1 ⎛ 2 ⎞ ⎪ ⎪⎧ ⎡ ⎨ ⎣ (−1) ⎤⎦ ⋅ ⎜ ⎟ ⎬ : ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎝ 3 ⎠ ⎪⎭ ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎪⎩ 2 2 ⎡ −2 ⎛ 1 ⎞ ⎛3⎞ ⎤ : 121 3 ⋅ − ⋅ ( ) ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ = ⎝ 11 ⎠ ⎦⎥ ⎝2⎠ ⎣⎢ 3
e)
f)
⎡ ⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎛ −2 ⎞ 2 ⎤ ⎛ 1 ⎞ 7 ⎛ 1 ⎞ − 3 ⎢⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎢⎣⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 −3 ⎧⎡ ⎫ a 4 1⎪ ⎪ 5 ⎛ 1⎞ ⎤ ⎨ ⎢ a ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ (−a ) ⋅ ⎬ + = a⎪ 2 ⎝ a ⎠ ⎦⎥ ⎪⎩ ⎣⎢ ⎭
27. Completa las siguientes frases: a) Los números con infinitas cifras decimales periódicas se llaman números ... b) Los números que no se pueden expresar por medio de una fracción se llaman números ... c) Los números racionales e irracionales al juntarlos forman el conjunto de los números ... 28. ¿Cuántas cifras decimales tienen los números racionales periódicos puros? ¿Y los mixtos? 29. Averigua cuáles de los siguientes números no son racionales: a) 2’75 b) 38 c) 67’134424242... d) 9’021022023024... 30. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Los únicos números que se pueden expresar por medio de una fracción son los números decimales exactos y los decimales periódicos. b) Si un número es racional entonces siempre es un decimal exacto. c) Los números decimales negativos no pueden ser racionales. d) Un número decimal periódico no puede ser racional.
24 LOS NÚMEROS RACIONALES
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Pitágoras vivió en Grecia hacia el año 500 a. C. Él y sus discípulos crearon lo que se conocía como la escuela pitagórica con la que intentaban explicar todos los fenómenos que les rodeaban. Ellos creían que todo es número y que todas las cosas se podían expresar con números enteros y fraccionarios. Sin embargo, su famoso teorema cuestionó esta concepción del mundo. La medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuando los catetos miden 1 es 2 .
h = 12 + 12 = 2
1
1
El cálculo de su expresión decimal nos da lugar a un número con infinitas cifras decimales no periódicas. 2 = 1'4142135623730950488016887242097…
Es decir, no es un número fraccionario ya que su expresión decimal no es exacta ni periódica.
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LOS NÚMEROS REALES 25
PARA EMPEZAR 1. Expresa las siguientes raíces como una potencia de exponente fraccionario. a)
2.
b)
3
32 =
c)
4
c)
4
d)
53 =
7
2
=
e)
5
4 =
Expresa en forma de raíz: a)
3.
2=
1
2
3
=
b)
3
2
3
=
4
5
d)
=
5
1
2
=
e) 7
3
2
=
Calcula expresando en forma de potencia: a)
5
215 =
b)
3
29 ⋅3 27 ⋅5 6 =
c)
58 ⋅114 = 22 ⋅316
4.
Calcula por aproximación con dos decimales:
5.
Calcula las siguientes raíces: a)
28 − 2 81 =
b)
4 ⋅ 4 − 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 25 −5 ⋅ 49 =
c)
83,
58' 4,
d)
3
a12 :b18 =
e)
4
x 16 :y 20 =
111
5 + 13 + 9 =
PARA APRENDER 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. El conjunto de los números más grande que conocemos hasta el momento es el conjunto de los números racionales que se pueden escribir como el cociente indicado de números enteros a , b ≠ 0 o bien como un b número decimal si hacemos el cociente que se nos indica. Además habíamos observado cómo ese cociente podía ser un decimal exacto (nº finito de cifras decimales) o un decimal periódico (infinitas cifras decimales pero periódicas). Tomemos el siguiente número decimal: 1'7320508075688772935274463415059… a) ¿Cuántas cifras decimales tiene? b) ¿Es un número periódico? Existe un tipo de números que tienen un número infinito de cifras decimales que no son periódicas y que no se pueden expresar mediante una fracción, es decir, no podemos calcular la fracción generatriz de dichos números como hacíamos con los decimales periódicos. Como los números racionales son los que se pueden expresar por medio de una fracción (razón), los números que no se pueden expresar con una fracción se llaman números irracionales. Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas y designa con la letra I. El conjunto que resulta de unir el conjunto de los números racionales (Q) con el de los irracionales (I) se llama conjunto de los números reales, se denota con la letra R y llenan la recta numérica si los representamos todos. 26 LOS NÚMEROS REALES
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Ejemplo: Los números
π = 3,1415926535897932384626433832795… 2 = 1'4142135623730950488016887242097… 3 = 1'7320508075688772935274463415059…
y en general todas las raíces cuadradas, cúbicas…no exactas de números enteros son irracionales. Las operaciones con números reales son las mismas que con los números racionales y se cumplen las mismas propiedades: asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento opuesto y distributiva respecto de la suma.
PARA PRACTICAR 6.
7.
Realiza un dibujo mediante el cual expliques qué conjuntos forman los números reales y qué conjuntos están incluidos en otros.
Clasificar los siguientes números: a) b) c) d) e) f)
3 -745 2'5 3'2727… 1'123456… 3
g) 4 h) 23'5666… i)
3 5
j)
−
k) l) m) n) o) p)
10 2
23'121121112… 23'121212… 23'1121212… -52 372 8'23
PARA APRENDER 2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Vamos a representar sobre la recta numérica 2 . El número 2 = 1'4142135… como es irracional y tiene infinitas cifras decimales es imposible representarlo en la recta numérica con exactitud como hacemos con los demás números. Sin embargo hay un método que nos permite representarlo con exactitud. Sabemos que 2 se corresponde con la hipotenusa de un triángulo rectángulo de cateto 1.
h = 12 + 12 = 2
1
1
Dibujamos sobre la recta numérica un cuadrado de 1 de lado.
-2
COLEGIO VIZCAYA
-1
0
1
2 LOS NÚMEROS REALES
27
Ahora basta con trazar con la ayuda de un compás un arco de circunferencia de centro 0 y radio la diagonal.
-2
-1
0
1
2
2
Para representar 3 , 5 , …construiremos triángulos rectángulos cuya hipotenusa valga 2 ,
-1
0
1
2
3 2
3, …
3
5
3. EL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL. El valor absoluto de un número real es la distancia que lo separa del cero. Siempre es positivo y se representa entre barras n .
-3'5 = 3'5
-5
-4
-3
-2
-1
4'75 = 4'75
0
1
2
3
4
5
PARA PRACTICAR 8.
Representa sobre la recta real el número 10.
9.
Entre dos números enteros, ¿cuántos racionales hay? ¿Y cuántos irracionales?
10.
¿Cuántos números irracionales hay comprendidos entre dos racionales?
11.
Si sobre la recta numérica representamos todos los números reales, ¿cuántos puntos quedarán sin pintar?
12.
Los lados de un rectángulo miden
13.
El lado de un cuadrado mide 2 cm. ¿Su área es un número irracional?
28 LOS NÚMEROS REALES
2 cm y 3 cm. ¿Su área es un número irracional?
COLEGIO VIZCAYA
14.
15.
16.
Calcula: a)
8 −3 =
c)
−8 − 3 =
b)
3 −8 =
d)
8 (−3 ) =
Razona si son verdaderas o falsas las siguientes relaciones: a)
3+7 = 3 + 7
e)
−5 = − 5
b)
3−7 = 3 − 7
f)
0−7 = 7
c)
3⋅7 = 3 ⋅ 7
g)
4 −8 = 4 −8
d)
−3 ⋅ 7 = −3 ⋅ −7
h)
12 −15 = 12 − 15
Calcula el valor de x que cumple: a)
x = 10
b)
x +3 =5
c)
x −3 = 6
PARA APRENDER 4. APROXIMACIÓN Y ERROR. Aproximación: Como la expresión decimal de muchos números tiene infinitas cifras decimales, nos resulta imposible escribirlos al completo. Por esta razón para realizar operaciones con ellos tomamos un número limitado de cifras decimales, es decir, tomamos una aproximación del número dado. Por ejemplo, si tomamos el número π = 3,1415926535897932384626433832795… los números π π π π
= = = =
3,1 3,14 3,142 3,1416
son aproximaciones de π . Las aproximaciones π = 3,1 y π = 3,14 son aproximaciones por defecto (el nº aproximado es menor que el exacto) y las aproximaciones π = 3,142 y π = 3,1416 son aproximaciones por exceso (el nº aproximado es mayor que el exacto). Llamamos aproximación de un número a cualquier otro número cercano a él. A la hora de aproximar un número se suelen utilizar normalmente las técnicas de truncamiento y redondeo. Truncamiento: Se eliminan las cifras hasta el orden que se quiera. Redondeo: Para redondear un número hasta un orden, se ponen las cifras anteriores a ese orden y la cifra del orden se deja igual si la que le sigue es < 4 y se le aumenta una unidad si la que le sigue es ≥ 5. El resto de cifras se eliminan. Ejemplo: Aproxima el número
5 = 2'2360679774997896964091736687313...
Truncamiento
Redondeo
Hasta las décimas
2’2
2’2
Hasta las centésimas
2’23
2’24
Hasta las milésimas
2’236
2’236
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LOS NÚMEROS REALES
29
Error: Cuando aproximamos un número, como no estamos trabajando con el número exacto se cometen errores. El error será más pequeño cuanto más cifras decimales consideremos. Si aproximamos 7 = 2'6457513110645905905016157536393… hasta las milésimas por redondeo: a) ¿Cuál es el error que estamos cometiendo? b) ¿Puede ser un número negativo?
Se llama error absoluto de una aproximación a la distancia que lo separa del número exacto. Ea = nº -aprox.
Cuando calculamos el error absoluto, es interesante calcular también lo que se llama error relativo. El error relativo nos indica cuál es el error que se comete por unidad, es decir, no es lo mismo equivocarse en 1 m cuando medimos el perímetro de una moneda que cuando medimos la circunferencia de un planeta.
Se llama error relativo de una aproximación al error que se comete por unidad. Se calcula dividiendo el error absoluto entre el número. Er =Ea :n
Ejemplo: Calcula el error absoluto y relativo que se comete al aproximar: a)
π = 3,14159... por 3'14. Ea = 3'14159... −3'14 = 0'00159... Er =0'00159... : 3'14159... = 0'000506...
b)
1 = 0'09 por 0'09. 11 1 1 1 9 100 −99 1 − 0'09 = − = = = 11 11 100 1100 1100 1100 1 1 1 Er = = 0'01 = 1% : = 1100 11 100 Ea =
c)
) 2 = 0' 6 por 0'67. 3 Ea =
2 2 67 200 − 201 1 −1 − 0' 67 = − = = = 3 3 100 300 300 300
Ea =
1 2 3 1 : = = = 0'005 = 0'5% 300 3 600 200
30 LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO VIZCAYA
PARA PRACTICAR 17.
Hallar aproximaciones hasta las centésimas por truncamiento y redondeo de los siguientes números. a) 2'3567 b) 8'2392 c) 8'521
18.
d) 93'8003 e) 57'5432 f) -105'2352
Halla los errores que se cometen al aproximar: a) 5/3 por 1'67
b) 4/9 por 0'444
c) 7/9 por 0'77
d) 1/3 por 0'33
e) 4/7 por 0571
f)
19.
5/7 por 1'66
22 Si el diámetro de una circunferencia mide 28 m, y se aproxima π con la fracción , ¿cuánto 7 mide su longitud? Compara este resultado con el que se obtiene tomando π = 3'1416 y calcula los errores.
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LOS NÚMEROS REALES
31
PARA RECORDAR 5. RADICACIÓN. Raíz de índice n: En la unidad anterior hemos trabajado con potencias y hemos estudiado las propiedades de las operaciones con ellas. Como bien sabes existe una operación que es la inversa a la de elevar un número a una potencia: calcular su raíz cuadrada, cúbica, cuarta… La raíz de índice n de un nº es otro número tal que el 2º elevado a la potencia n da el 1º. - A b se le llama radicando. n
b =a
porque a n =b
- a n se le llama índice de la raíz. - a es la raíz y
se llama radical.
A las raíces de índice n se les suele denominar radicales sin más, con el fin de abreviar su nombre. Teniendo en cuenta la definición, completa el siguiente recuadro. Radical
Índice
Radicando
Raíz
Potencia
4 3 4
8b3
81 b 4
Potencias de exponente fraccionario: Normalmente trabajamos con potencias de exponente entero, sin embargo ¿qué podría significar la potencia 1/2? ¿Y la potencia 2/3? Intentemos descubrirlo. Vamos a tomar la siguiente igualdad que todos conocemos: 49 = 72 Ahora elevamos los dos miembros de la igualdad a la potencia 1/2:
1
Teniendo en cuenta las propiedades que hemos estudiado de las potencias: 1
Luego parece ser que tanto (49 ) 2 como
1
(49 ) 2 = (72 ) 2 1
(49 ) 2 = (72 ) 2 = 7 1
2⋅ 1
2
2
=7 2 =7
49 dan como resultado 7.
Hemos encontrado dos formas diferentes de representar la raíz cuadrada. a) ¿Cómo se representará la raíz cúbica de un número en forma de exponente fraccionario? b) ¿Cómo representaremos la potencia 2/3 con una raíz?
Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz de índice el denominador y de radicando una potencia de la misma base cuyo exponente es el numerador. n
32 LOS NÚMEROS REALES
ab = a
b
n
porque
( )=a a
b
n
n
b
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PARA PRACTICAR 20.
Escribir en forma de potencia: a)
3
b) c) 21.
5
3=
d)
a2 =
g)
7=
e)
b3 =
h)
8=
f)
a9 =
8
6
a7 = a 4b3c 2 =
Expresar en forma de raíz: 1
a)
3 2=
b)
10 5 =
2
1
c)
5 4=
d)
a 3=
e)
7
b 2=
2
PARA APRENDER 6. OPERACIONES CON RADICALES. A la hora de operar con radicales lo podemos hacer tanto en forma de radical como potencia de exponente fraccionario. Si vamos a trabajar con potencias de exponente fraccionario, las reglas a seguir son las mismas que hemos visto para las potencias, por ejemplo: a)
3
1 2
2
· 3 3 =3
1 2 + 2 3
=3
7 6
b)
5
1 2
:5
1 4
= 5
1 1 2 4
= 5
1 4
c)
(2 ) 3
2 5
= 2
3⋅
2 5
6
= 25
Radicales iguales o equivalentes: Los radicales
3,
4
32 ,
6
3 3,
10
3 5 tienen todos la misma raíz 1'41421…
Aunque a simple vista parezcan radicales diferentes todos ellos son iguales o equivalentes. Para comprobar que los radicales anteriores son iguales los vamos a expresar en forma de potencia de exponente fraccionario: 1
2
3
5
3 2 , 3 4 , 3 6 , 3 10
a) ¿Qué puedes decir de las potencias que aparecen en los exponentes?
Propiedad fundamental de los radicales: Si se multiplican o dividen por un número el exponente del radicando y el índice de la raíz, el resultado de la raíz no varia.
Ejemplo: a) c)
6
a 4 = 3 a 2 = 12 a 8 ↑ :2
10
↑ ⋅4
x 8 = 5 x 4 = 30 x 24 ↑ :2
↑ ⋅6
b)
3a = 4 3 2 a 2 = 12 3 6 a 6 ↑ ⋅2
d) 10
↑ ⋅3
x4 x2 x 12 5 30 = = y2 y y6 ↑ :2
↑ ⋅6
Esta propiedad nos permite ampliar radicales (multiplicando) o simplificar radicales (dividiendo).
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LOS NÚMEROS REALES
33
PARA PRACTICAR 22.
Calcula por ampliación tres radicales equivalentes a: a)
23.
3
c)
22 =
4
b3 =
Completa: a)
24.
b)
a=
9
a6 = 3
=6
= 45
b)
4
a3 = 12
= 40
= 24
Descompón el radicando en factores y simplifica: a)
15
64 =
c)
6
b)
6
1000 =
d)
24
100 = 1000000 =
PARA APRENDER Introducción y extracción de radicales: Ejemplo: 1) Siempre que el exponente del radicando sea mayor que el índice de la raíz, se pueden extraer factores de la siguiente forma: a)
4
24 ⋅3 6 ⋅5 3 = 4 2 4 ⋅3 4 ⋅3 2 ⋅5 3 = 2 ⋅3 ⋅ 4 3 2 ⋅5 3
b)
3
2 ⋅ x 4 ⋅ y 8 = 3 2 ⋅ x 3 ⋅x ⋅y 3 ⋅y 3 ⋅y 2 = x ⋅y 2 ⋅ 3 2 ⋅x ⋅y 2
2) Si el exponente del radicando es menor que el índice de la raíz, entonces descomponemos el radicando en factores: a)
3
144 = 3 2 4 ⋅3 2 = 3 2 3 ⋅2 ⋅3 2 = 2 ⋅ 3 2 ⋅3 2
b)
3
32 ⋅a 4 ⋅ y 3 = 3 2 5 ⋅a 4 ⋅y 3 = 3 2 3 ⋅2 2 ⋅a 3 ⋅a ⋅y 3 = 2 ⋅a ⋅y ⋅ 3 2 2⋅a
3) Al igual que hemos extraído factores fuera del radical, también podemos introducir factores actuando de forma inversa. ¿Serías capaz de introducir los factores en los siguientes radicales? a)
3a
b)
2
c)
52 x
3
2= 2 ⋅a 2 = 4
3xy =
PARA PRACTICAR 25.
Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales: a)
18 =
h)
3 ⋅ 81x 3 y 4 =
b)
3 ⋅ 48 =
i)
1 ⋅ 49x 3 y 7 = 7
c)
3
16 =
d)
9a 3 =
j)
1 ⋅ 108a 5b 7 = 2
e)
50a 2b =
k)
f)
98a 3b 5c 7 =
1 ⋅ 27a 5m 7 = 3
g)
2 ⋅ 75x 4 y 5 =
l)
3 ⋅ 125mn 6 = 5
34 LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO VIZCAYA
26.
27.
Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él: a)
3⋅ 5 =
g)
3a 2 ⋅ 3 a 2b =
b)
2⋅ 3 =
h)
5x 2 y ⋅ 3 =
c)
23 ⋅ a =
d)
i)
5a ⋅ b =
ab 2 ⋅ 3 a 2b =
j)
4m ⋅ 3 2m 2 =
k)
2a ⋅ 4 8ab 3 =
e)
3a ⋅ 2a =
f)
1 ⋅ 2= 2
2
2
Simplifica y extrae todos los factores que se pueda: a)
a2 =
c)
b)
a6 =
d)
3
b6 =
e)
a9 =
f)
b15 = 4
b6 =
PARA APRENDER Reducción de radicales a índice común (homogeneizar): Para multiplicar y dividir radicales va a ser necesario que tengan el mismo índice, si esto no es así, hay una serie de pasos muy sencillos que nos permiten obtener radicales equivalentes que tengan el mismo índice. A este proceso se le llama reducir radicales a índice común o homogeneizar radicales. 2a 4 ,
Vamos a considerar los siguientes radicales:
6
3ax 2 ,
4
53
Primero se halla el m.c.m. de los índices, que será el índice común a todos los radicales. Índices: 2, 4, 6 Para escribir
m.c.m. (2, 4, 6) = 12
2a 4 con índice 12, dividimos 12 entre el índice del radical (12:2 = 6) y lo amplificamos por 6:
( )
2a 4 = 2⋅6 2a 4
6
= 12 2 6a 24
Se opera análogamente con los otros radicales: 6
(
3ax 2 = 6⋅2 3ax 2
)
2
= 12 3 2a 2x 4
4
5 3=
4⋅ 3
(5 )
3 3
= 12 5
9
Como ves hemos obtenido tres radicales equivalentes a los primeros pero todos ellos con el mismo índice. Si te has dado cuenta, reducir radicales a índice común es similar a escribir fracciones con común denominador (recuerda que los radicales se pueden escribir como una potencia de exponente fraccionario).
Reducir radicales a índice común (homogeneizar) es obtener otros radicales semejantes a ellos pero con el mismo índice.
PARA PRACTICAR 28.
Reducir a índice común los siguientes radicales: a)
4
3, 3 7, 5
b)
3
3x, 5a 2 , 6 4m
c)
5x, 3 4x 2y, 6 7a 3b
d)
2 ⋅ 3 a, 3 ⋅ 2b, 4 ⋅ 4 5x 2
e)
6
15a 3x 2 , 2a, 3 3a 2b
COLEGIO VIZCAYA
LOS NÚMEROS REALES
35
PARA APRENDER Multiplicación y división de radicales: Para multiplicar o dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice, si no es así, tendremos que reducirlos a índice común.
Las reglas a seguir a la hora de multiplicar y dividir radicales son las siguientes: n
a ⋅ n b = n a ⋅b
n
a : n b = n a:b
Ejemplo: a) b)
5
3 ⋅ 5 7 = 5 3 ⋅7 = 5 21
c)
6
a 7 : 6 a 2 = 6 a 7 :a 2 = 6 a 5
3 ⋅ 6 2 = 6 33 ⋅ 6 2 = 6 3 3 ⋅2 = 6 54
d)
3
a 2 : 4 a 3 = 12 a 8 : 12 a 9 = 12 a 8 :a 9 = 12 a − 1 = 12
↑ m.c.m.(2, 6) = 6
↑ m.c.m.(3, 4) =12
1 a
PARA PRACTICAR 29.
Realiza las siguientes operaciones: a)
2 3 3 3 ⋅ 4⋅ ⋅ 6 = 3 4
b)
3 2⋅ a2x ⋅ ⋅ a 3 = 2
c)
3
d)
2 3 4 3 1 3 ⋅ x y ⋅ ⋅ 2xy 4 ⋅ 3 4x 7y 6 = 3 4
e)
3
9x 2y : 3 81x 5 =
2x 4 4x 5 3 : = 25y 5 5y
f)
2⋅3 2⋅4 2 =
g)
a ⋅ 3 ab ⋅ 6 a 2b 3 =
h)
3 x 3 ⋅ 2 3 x ⋅5 4 x =
i)
x ⋅ 3 2x 2 =
j)
3 ⋅ 2ab ⋅ 4 ⋅ 4 8a 3 =
k)
8
l)
5 ⋅ 2a ⋅ 3 4a 2b =
m)
3
9x 2y ⋅ 6 81x 5 =
n)
3
a 2b 2 ⋅ 2 ⋅ 4 3a 3b =
o)
4
25x 2y 3 ⋅ 6 125x 2 =
p)
5
2ab3 : 2ab =
q)
3 2 4 ⋅ 4m2 ⋅ ⋅ 5 16m 4n = 3 4
r)
a5 : 4 a 3 =
3a3b : 3 6a 2b =
36 LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER Radicales semejantes: Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice. Para ver si dos radicales son semejantes tenemos que extraer fuera del radical todos los factores posibles y simplificar si se puede.
Ejemplo: a) Los radicales 3 3 2 y 5a 3 2 son semejantes (índice 3, radicando 2). b) Los radicales 8 y 2 a simple vista parece que no son semejantes, sin embargo a se le pueden extraer factores fuera.
8
8 = 23 = 2 2
Entonces
8 =2 2 y
2 son semejantes (índice 2, radicando 2).
c) Los radicales 3 4 x y 8 x 2 parece que tampoco son semejantes pero 8 x 2 se puede simplificar por 2: 8 x 2 = 4 x , así que sí son semejantes (índice 4 y radicando x).
PARA PRACTICAR 30.
De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogéneos y los que sean semejantes: a)
2,
4
4,
6
8
b)
2,
4
9,
6
27
c)
1 4
6 , 36 , 15
d) e)
1 8
a, 5
1 5
4
a2 ,
,25
1 10
f)
a b2 ,
g)
2a b3 ,
6
1 4
a3
, 20
a 2 b,
1 5
b 3,
4a 2 b 2,
a 3 b 2, 8a b 5,
a 3b
4
32a 3 b 5
PARA APRENDER Suma y resta de radicales: Para poder sumar y restar radicales, estos tienen que ser semejantes. Antes de operar hay que extraer todos los factores que se pueda y simplificar, después la forma de actuar a la hora de operar es similar a la de sumar y restar monomios. Ejemplo: a)
3 2 + 7 2 − 5 2 = (3 + 7 −5 ) 2 =5 2
b)
8 3 x − 7 3 x − 3 3 x = (8 −7 −3 ) 3 x = −4 3 x
c)
3 12a − 4 3a +5 27a = 3 22 ⋅3a − 4 3a + 5 3 3a = 3 ⋅ 2 3a − 4 3a + 5 ⋅3 3a = 6 3a − 4 3a +15 3a = 17 3a
COLEGIO VIZCAYA
LOS NÚMEROS REALES
37
PARA PRACTICAR 31.
Sumar los siguientes radicales: a) b)
98 + 18 + 8 = 3
c) d)
54 − 3 24 − 3 16 = 3 + 27 + 48 =
3
e)
875 + 3 448 + 3 189 = 45 − 80 + 180 − 20 =
f)
3
g)
5 75 − 8 48 + 3 27 =
h)
2 8 + 5 72 − 7 18 − 50 =
i)
1 1 1 12 + 27 + 75 = 2 3 5
j)
3 2 1 5 28 + 63 + 700 + 448 = 2 3 10 8
k)
3 3 128 + 2 3 2 + 3 3 54 −5 316 =
l)
2 8b3 − 18b 3 + 4 128b 3 −2 32b 3 − 288b 3 =
40 + 3 1029 − 3 625 =
PARA APRENDER Potencia y raíz de un radical: La potencia p de un radical, es otro radical del mismo índice cuyo radicando está elevado a la potencia p. n p n p p 1 p a = a porque a n =a n
( )
( )
La raíz r de un radical es otro radical con el mismo radicando y cuyo índice es el producto de los índices. 1 1 1 r n a n r = a nr a = r⋅n a porque
( )
Ejemplo:
( 2a ) =
a)
3
6
5
3
(2a ) = 6 5
3
2 5a 30 = 2a 10 3 2 2
4 3
b)
3a 2 = 12 3a 2
PARA PRACTICAR 32.
Realiza las siguientes operaciones: a) b) c)
3
a4 =
g)
( a )= ( a b c) = 9
3
4
3
2
6
h) i)
e) f)
⎛ 3 a3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5
a2 =
a5 =
( a )= ( a b c )= 6
7
4
5 3
2
5
2
2
d)
4
j) k)
⎛ 3 4 2a 3b 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
(a a ) = 3
a12 =
38 LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER Racionalización: En las operaciones con radicales y denominadores, para simplificar algunas expresiones es necesario que en los denominadores no aparezcan radicales. El proceso por el cual se obtiene un radical sin raíces en el denominador se llama racionalización. Veamos unos ejemplos muy sencillos: Ejemplo: 3
a)
2
=
3⋅ 2 2⋅ 2
=
3 2 22
=
3 2 2
b)
3 y 3
x
=
3 y ⋅ 3 x2 3
x ⋅ 3 x2
=
36 y3 ⋅ 6 x 4 3
x3
=
3 6 y 3 ⋅x 4 x
PARA PRACTICAR 33.
¿Qué es racionalizar el denominador de una fracción?
34.
Racionaliza: a) b) c)
1 2 1 3 2 6 2
d)
g)
3 2
j) k) l)
35.
= =
=
1 3
=
9x 5
3
4a 2 1
h) i)
=
7
e) f)
=
=
3
3c 2 3
=
9c
=
6ab 3
4a 2b 5
=
2 6 5⋅
3
=
3x
=
¿Son iguales
COLEGIO VIZCAYA
2 5
y
2 5 ? Razona tu respuesta 5
LOS NÚMEROS REALES
39
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS DOS NÚMEROS CON NOMBRE. Hasta el momento has conocido un número que aparte de su importancia en las matemáticas, como muchos irracionales, lo nombramos con una letra porque no se puede escribir con todas sus cifras, ese número es π = 3'14159… y nos relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro. ( π = longitud circunferencia / diámetro). Este número tiene infinitas cifras decimales no periódicas, es decir, es un número irracional como puedes comprobar en el siguiente desarrollo: 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628 0348253421170679821480865i3282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938 52110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856 69234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917 15364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117 38193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065 66430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320 00568271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922 79689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978 04995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313 78387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519 57781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153 38182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069 59508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583 61603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684 25906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647 32639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385 05494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753 56636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721477235 01414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835 69485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967 97668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221 06611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326 45995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482 60147699090264013639443745530506820349625245174939965143142980919065925093722169646151 5709858387410597885959772975498930I617539284681382686838689427741559918559252459539594 31049972524680845987273644695848653836736222... Hoy en día se han calculado ya más de un millón de cifras decimales de π .
Pitágoras y el número de oro. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació en el 582 a. C. en la isla de Samos, situada en el Mar Egeo y fue instruido entre otros por Thales de Mileto (624 a. C.-547 a. C). Hacia el 530 a. C. tuvo que exiliarse y se instaló en una colonia en Crotona, al sur de Italia. Allí aglutinó a un círculo cerrado de discípulos entre los que podían ingresar mujeres (en ese entonces y durante mucho tiempo las mujeres no eran admitidas en las escuelas). Esta nueva asociación se conoce como la escuela pitagórica. Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran el estudio de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados. Desde el punto de vista de la aritmética, cultivaron el concepto de número, y es así como llegaron a atribuirles propiedades físicas e incluso divinas a las cantidades y magnitudes. En el campo de la geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el conocido Teorema de Pitágoras.
40 LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO VIZCAYA
El pentágono estrellado fue el símbolo elegido por los seguidores de Pitágoras que pensaban que en el mundo sólo había cabida para los números fraccionarios. La casualidad hizo que no sólo su famoso Teorema diera origen a los números irracionales si no que en su propio símbolo se encuentra un número irracional: el número de oro. Al trazar las 5 diagonales en un pentágono regular se forma otro pentágono semejante a él. La relación de semejanza que hay entre los dos pentágonos se conoce como proporción áurea y su razón de semejanza es el número de oro que se designa con la letra griega Φ ('fi'): 1+ 5 = 1' 6180339887498948482045868343656... 2 La relación que hay entre la diagonal del pentágono y su lado también es el número de oro. Φ=
El número de oro en el arte y en la naturaleza. El número de oro aparece en muchas de las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, plantas y animales. A lo largo de la historia, muchos artistas han apreciado la belleza y armonía de la proporción áurea pintando y construyendo grandes cuadros y obras arquitectónicas como el Partenón de Atenas, la pirámide de Keops, el Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci…
El Partenón de Atenas. Se puede comprobar que ancho / altura = Φ
Las pirámides de Keops. La altura de una cara / mitad de la base = Φ
Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci. En ese dibujo se propone un Hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes del cuerpo son proporciones áureas. La altura del cuerpo y la longitud entre los extremos de los brazos cuando están extendidos, la altura del hombre y la distancia del ombligo a la punta de las manos, las falanges de los dedos, la longitud de la cabeza y su anchura…
COLEGIO VIZCAYA
LOS NÚMEROS REALES
41
En la naturaleza, también aparece la proporción áurea en el crecimiento de las plantas, piñas, girasoles, distribución de las hojas en los tallos, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.
1. El Partenón es un edificio que se encuentra en la Acrópolis de Atenas. Su fachada es un rectángulo que tiene la propiedad de que el cociente de sus dimensiones es el número áureo. Si la altura, que es el lado menor, mide 18 m, ¿cuánto mide la anchura de la fachada? Utiliza la aproximación centesimal de Φ .
2. Las tarjetas de crédito y los documentos de identidad tienen forma rectangular y el cociente de sus dimensiones es el número de oro. Si el lado menor mide 54 mm, ¿cuánto mide el lado mayor? Utiliza la aproximación hasta las milésimas de Φ .
3. La hoja DIN-A4 tiene dimensiones tales que la longitud es igual a la anchura por 2 . Si el lado pequeño mide 21 cm, ¿cuánto mide el lado mayor? Utiliza la aproximación centesimal de la raíz cuadrada.
4. El número π se ha expresado clásicamente por medio de aproximaciones fraccionarias 157 1440 227 (Arquímedes, 230 a. C.), (Liu Hui, 260 d. C.), ) (Fibonacci, 1220 d. C.). 50 71 458'3 Compara estos valores con el de π = 3'14159… y di cuál es el orden del error cometido.
42 LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO VIZCAYA
PARA ENTRENAR 1. Clasifica los siguientes números: a) 125 b) 1/2 c) 2'1212333…
d) -422 e) 7/3 f) 5'79215…
g) 2'111… h) 18/9 i) 2
j) 2'111 k) 5/6
2. De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogéneos y los que sean semejantes: a)
5,
20,
125,
b)
a b3 ,
a 3 b,
c)
5a b 4 ,
4b,
d)
25,
e)
144,
6,
24
a 4 b 5, 16a 4 b 5,
72,
a 6b
7
25a 6 b
7
162
5 7, − 4 7, −9a 4 49
3. Halla el error absoluto y relativo que se cometen al aproximar: a) 4/7
por 0'571
b) 5/3 por 1'66
c) 2/11 por 0'18.
d) 7/3 por 2'33.
e) 8/3
por 2'67.
4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales: a)
2a ⋅ 44a 3b 7c 9 =
g)
2 ⋅ 4 243 =
b)
2 ⋅ 3 16x 2 y 7 =
h)
4
c)
4 ⋅ 3 250a3b8 =
i)
3 ⋅ 4 5x 8 y 14 z 16 =
d)
1 3 ⋅ 128 = 2
j)
3 4 ⋅ 32mn8 = 2
e)
2xy ⋅ 3 128x 2y 8 =
k)
5a ⋅ 3 160x 7y 9z 13 =
f)
2 3 ⋅ 27m 2n8 = 3
l)
27a 6m 3n 2 = 392b 9c 2
80a 4b 5c 12 =
5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él: a)
5mn2p 3 ⋅ 2m 3np 2 =
d)
2a 2bc 3 ⋅ 3 7c =
g)
3 5=
b)
3 3a =
e)
2 7=
h)
5xy 3 x 2y 2 =
c)
2 6= 3
f)
1 5= 5
i)
2a a = b b
COLEGIO VIZCAYA
LOS NÚMEROS REALES
43
6. Reducir a índice común los siguientes radicales: a)
3, 6 32, 3 5
b)
2, 3 3, 4 5, 6 7
c)
4
3x, 5 4x 2 , 15x 3
d)
3
4ab, 6 3a 2b, 9 9a 3b 2
e)
4
8a 2x 3 , 6 3a 5m 4
f)
2m, 3 ⋅ 5 a 3x 4 , 2 ⋅10 x 7y 2
7. Sumar los siguientes radicales indicados: a)
45 − 27 − 20 =
b)
75 − 147 + 675 − 12 =
c)
175 + 243 − 63 −2 ⋅ 75 =
d)
80 − 2 ⋅ 252 +3 ⋅ 405 −3 ⋅ 500 =
e)
2 ⋅ 450 + 9 ⋅ 12 −7 ⋅ 48 −3 ⋅ 98 =
f)
7 ⋅ 450 − 4 ⋅ 320 +3 ⋅ 80 −5 ⋅ 800 =
g)
1 20 + ⋅ 45 + 2 ⋅ 125 = 3
h)
1 1 1 ⋅ 80 − ⋅ 63 − ⋅ 180 = 4 6 9
i)
5 ⋅ 50 +
j)
3 1 2 ⋅ 45 − ⋅ 125 − ⋅ 180 = 4 2
3 1 ⋅ 98 − ⋅ 162 = 14 3
8. Calcula: a)
8
a5 : 4 a 3 =
b)
5
2ab3 : 2ab =
c)
ab : 3 ab 2 =
d)
3a3b : 3 6a 2b =
e)
6
f)
a5 : 4 a = 9x : 3 3x 2 =
g)
3
8a 3b : 4 4a 2 =
h)
3
5m2n : 5 m 3n 2 =
i)
3
3m4 : 9 27m 2 =
j)
6
18x 3 y 4z 5 : 4 3x 2y 2z 3 =
k)
3 3ab ⋅ 4 a 3b 2 ⋅ ⋅ 3 a 2b = a
l)
1 3 − ⋅ 4 abc ⋅ −2 ⋅ 3 bc ⋅ ⋅ a 3c 5 = 3 2
m)
4
n)
4 3 x 7 ·5 x 3 ·6 4 x 2 =
(
)
ac 5 3 a 6b 6 ⋅ = b c2
44 LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO VIZCAYA
9. Racionaliza: 3 a) = 15 b) c) d)
6 4
=
3 3
4
9a
f)
27x
2
12
=
h)
=
6 1 5
=
7 33
g)
=
x 4
e)
33
= 1
5a ⋅
4
25x 3
=
10. Comprueba pasando a potencia de exponente fraccionario las igualdades: a)
4
36 = 3 3
b)
15
a10 = 3 a2
11. Calcula: a) b) c)
h)
81 = x 12 = 4
64 =
5
x10 =
i)
16a 4 =
j)
16x 4b 8 =
d)
n3 · 4 n 2 · 3 n =
k)
2x·3 2x 2 · 4 2x 3 =
e)
4
l)
2 2 2=
x 12a10 = 165 =
f) g)
( 4 )= 3
5
m)
3
2x 2 y 4 3xy : = 5 2
12. Sabiendo que 13 = 32 + 22, representa 13 en la recta real.
13. ¿Cuál es el perímetro del trapecio de la figura? 27 12
3 48
14. Calcula: a) 18 − 3 12 + 5 50 + 4 27 = b)
3 3 54 + 3 16 − 7 3 250 =
c)
1 45 3 2 6 2 4 9 ⋅ x y z : 4x y z = 4 2
d)
2 1 5 5+ 45 − 20 = 3 4 6
e)
55 x4 ⋅
34 7 x a ⋅2 x 625 = 5
COLEGIO VIZCAYA
LOS NÚMEROS REALES
45
PARA APRENDER MÁS 1. Simplifica y extrae: 64b5 =
a) b) c)
6 3a 2 2 3 6 3a3
a7
e)
=
2 27a 5
128a 5b 7c 2 =
d)
f)
=
g) h)
=
a
3 3 500ab 3 3
4a
243a 9 = 6a5 54a
=
=
2. Clasifica los siguientes números: a) - 6 b) 15 c) - 23
d) 0'8777... e) 9'222... f) 3'52
g) 2'7193... h) 3/5 i) 4/9
j) 2/12 k) 5 l) 34'58473972….
3. De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogéneos y los que sean semejantes: a)
5
2, 1 2
5
3,
5
1 2
6 1 2
b)
5 , b , (ab)
c)
2 7, 3 7, − a 4 49
d)
2, 4 4, 3 8 16
e)
1 4
6 , 36 , 14
f)
5
3,
1 8
10
1 4
g)
3,
h)
1 2
4
6,
3 , (ab)
6 7
27 ,2
14
3
6
6, 6 5 3
4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales: a)
4
a10 =
f)
7
b)
6
9 13
ab =
g)
3
c)
5
a8b 2 =
h)
d)
ab 6c 3 =
i)
e)
125x 3 = 96y 3
j)
32 =
4
a =
l)
5
64a b =
q)
3
a 20 =
m)
3
8=
r)
3
81x 3 y 6 =
10
a8b12 =
n)
3
1000 =
s)
5
16a 2b 6c 9 =
625ab 7 = a5b3
o)
4
32a 4b 8c =
t)
3
81x 10y 4z =
4
6
p)
5
k)
a 38 =
16a 5 = 3 10
324a 5b 2c =
5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él: a)
5a 2 ⋅ 4 a =
e)
5xy 5 ⋅ x 3y =
h)
3n3p ⋅ 4 2m =
b)
7b2 ⋅ 3 3a =
f)
20a 3b 2 ⋅ 3 2b 2 =
i)
a-5 x -1 ⋅ a 3 x -2 =
g)
1 2 3 3 a m ⋅ axm 3 = 10
j)
1 -2 3 a b ⋅ 4abx = 2
c) d)
1 3 ⋅ 8= 2 1 3 2 3 a x b ⋅ 1000a 5bx 3 = 10
6. Reducir a común denominador los siguientes radicales: a)
3
2mn, 5 3m 2p,
b)
6
2y 3 , 3 x 2 , 9 5m 7
15
5m 3p 2
c)
4
d)
e)
a 2b3 , ab
a, 4 a 2b 2 , 6 a 3b 4
xy, 3 x 2y 2 , 4 x 3y 3
7. Calcula: a) b)
1 1 3 1 ⋅ 12 − ⋅ 18 + ⋅ 48 + ⋅ 72 = 2 3 4 6 3 2 1 1 ⋅ 176 − ⋅ 45 + ⋅ 320 + ⋅ 275 = 4 3 8 5
g) h)
1 1 1 1 ⋅ 147 − ⋅ 700 + ⋅ 28 + ⋅ 2187 = 7 5 10 3 1 1 3 ⋅ 3 − 27 + ⋅ 108 − ⋅ 300 = 2 3 5
c)
3 ⋅ 3 -24 − 4 ⋅ 3 -81 − 3 -375 =
i)
3
81 − 3 ⋅ 3 375 + 3 686 +2 ⋅ 3 648 =
d)
2 ⋅ 3 250 − 4 ⋅ 3 24 −6 ⋅ 3 16 + 3 2187 =
j)
3
4a 2 : 4 2a =
e)
−
f)
1 3 12 3 4 5 10 2 7 14 12 a b ⋅ 3a b c ⋅ a b c = 3 3 ⎛ 1 ⎞ 1 3x 5 y 4 : ⎜ − ⋅ 3 x 2y 3 ⎟ = ⎜ x ⎟ 3 ⎝ ⎠
46 LOS NÚMEROS REALES
k) l)
1 3 3 2 x ⋅5 ⋅ 2xy 4 ⋅ 6 x 4y 4 = 2 3
(2a⋅
4
3x 2 y
) : (6a ⋅
2 6
)
x 5y 2 =
COLEGIO VIZCAYA
8. Razionaliza: a)
3 4⋅
b)
5 2a 2ax
=
c)
=
d)
1 5
8a
2x ⋅ 3 4y 3y ⋅
2x
a
e)
=
4
=
f)
6
16
12
g)
=
b 2
8a 2b 3
6
a 5b 6c 2
h)
=
=
5
=
9. Realiza las siguientes operaciones: a)
n)
3 + 18 − 2 8 =
2 48 + 3 12 + 75 + 300 =
b)
5 20 − 2 245 +3 5 =
o)
c)
5 ⋅ 3 48 − 3 ⋅ 3 3645 −2 ⋅ 3 384 +4 ⋅ 31715 =
p)
4 ⋅ 3 -320 −10 ⋅ 3 -40 −2 ⋅ 3 -54 +3 ⋅ 3-1024 =
d)
9 2 − ⋅10 b5 x 9 y 3 z 7 ⋅ ⋅ 4 a 2x 2y 2z ⋅6 ⋅ 5 a 4b 2x 4z 3 = 4 3
q)
3 ⋅ 3 108 +
e)
1 3 2 3 1 ⋅ 24 − ⋅ 3 54 + ⋅ 3 375 − ⋅ 3 128 = 2 3 5 4
r)
3 3 3 1 3 ⋅ 625 − ⋅ 3 192 + ⋅ 3 1715 − 31536 5 2 7 8
f)
1 94 5 6 3 1 4 8 ⋅ a b z ⋅ ab c ⋅3 ⋅ 6 a 5c 3z 4 = 2 3 3 9
s)
4
t)
2 8 + 4 72 − 7 18 =
u)
⎛1 ⎞ ⎛1 6 4 ⎜ ⋅ 2x ⎟: ⎜ ⋅ 16x ⎝2 ⎠ ⎝4
g) h) i) j) k)
24 − 54 + 150 = 1 9 3 2 1 ⎛ 2 4 4 3⎞ ⋅ a x y : ⎜ − ⋅ a xz ⎟ = 5 ⎝ 3 ⎠ 3
1 2 3 4 5 2 3 x y z ⋅ 3 x y z ⋅ 8xy 6z 2 = 2
v)
3 2 + 4 8 − 32 + 50 = 3
a7 2 3 4 5 − a 27 + 3 b 6c 3a = 8 3 3 4x 3 y 2 3 x 2y = :⋅ 2mz mz 5
l)
− 25
m)
2 8a 3 + 3 128a 3 − 72a 3 −2 32a 3 =
32 − 18 + 98 = 1 3 1 ⋅ 625 + ⋅ 3 1715 −4 ⋅ 332 = 10 7
2 2 2 18 − 3 18 + 6 − = 25 9 3 16
36x +
⎞ ⎟= ⎠
5 3 x 9x 3 − = 2 5 4
w)
10 2a 2 − 3 8a 2 − 32a 2 − 2 18a 2 =
x)
4 1 1 3 ⋅ 5 4m3p 4 ⋅ ⋅ m 4p 2x 3 ⋅ ⋅ 10 2mp 5x 2 = 5 2 6
y)
1 25 2 49 − = 2 8 3 18
z)
3 3 a7 + a 2 3 a − 5a 3 a 4 −3a 2 27a =
10. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones: a)
3
b)
7 6 x 5 ·4 x 4 ·25 4 x 5 = 25b ⋅ 3 a 5b 2
c) d)
b2a5 ⋅ 4 a 2b 3 =
6 3
4
4a b
3
a2bc· bc 3 3
a5 c 4
g)
4
h)
6 3 a 2b 2 :3 ab =
=
i)
=
j)
3
x 3 y 2 : xy =
abc· 3 ab 3 ab
3
=
c 2b5 ⋅ 4 a 3b 2c 4 ac 3
=
e)
3
32a5b 4 54a 4c 6 : = 81c 7 9b 5
k)
3
f)
( a ⋅ a ) : ( a a )=
l)
15 4 a 2b 3c 4 :3 abc =
3
2
3
a 4b3 a 6c 3 ⋅ = c7 b4
11. Redondea los siguientes números: a) 4'89 hasta las décimas. b) 5'286 hasta las centésimas. c) 1'1362 hasta las milésimas. d) 4'26177 hasta las diezmilésimas. e) 1'2716251 hasta las millonésimas.
COLEGIO VIZCAYA
LOS NÚMEROS REALES
47
12. Racionaliza el denominador: a) b) c)
1 3
22 2
=
d)
=
e)
3 2 a = 3 a
f)
6 3
2
2b a = a a
5
=
53 3
g)
3 1
h)
ab c
5
7
6
a 4b 5c 2
4
l)
=
27mn 4 2
k)
= 3n
i)
=
2 3
5
3mn
j)
=
7
2
2 ⋅3 3 18x
=
=
32x 3y 2
=
13. Calcula: a)
3
c)
b2 =
4 3
e)
a18 =
12
3
4
g)
a=
2
4 5 3
a 2bc 3 =
7
12 ⎛ ⎞ ⎞ d) ⎛⎜ 4 32a 4 ⎞⎟ = f) ⎛⎜ 3 83 ⎞⎟ = h) ⎛ 3 ab ⎟ = abc ⎜ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 14. ¿Qué operación previa es preciso realizar para multiplicar o dividir radicales de distinto índice? ¿Cómo se efectúa?
b)
15. ¿Qué propiedad se emplea en la simplificación de radicales? 16. ¿Qué se entiende por radicales semejantes? Dí si se pueden transformar en semejantes 5x 2y xy,
9x 5y 3.
17. ¿Son iguales? a)
5y
3
b)
25.
9y
5
c)
234.
2y
4
d)
4.
8 y 2 2.
18. Razona si son ciertas las siguientes igualdades: a)
3
2=9 8
14 ⋅
b)
2 = 4 =2 7
c)
49 − 48 = 49 − 48 = 1 =1
19. Calcula la raíz séptima de 1280000000. 20. Realiza las siguientes operaciones: a)
x·3 x 2 ·x 2 · x =
b)
⎛ 3 4 16x 3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
c)
2 m 3 n 2p 4 ⋅
d)
3 28 1 2 64 343 + − = 4 25 3 5 4
4
f)
g) 15 2 4 7 38 2 mn p ⋅ mn= 5 8
3x : 4 3x =
a3b· 4 ab 3 · 3 a 2b 2 =
i)
2· 4 4· 8 =
j)
−
1 2 2 4 3 5 m n y : 16m 5n 3y 2 = 3 5
k)
1 1 4 − = 27 5 3
4
3x 2 ·y 3 : 3xy =
l)
⎛ 3 4 16x 3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
e) 8
14 3 5 32 − 4 162 + 4 1250 = 2 4 4
4
h)
21. Indica si son ciertas las siguientes igualdades razonando tu respuesta: a) Todo número racional es un decimal exacto. b) Todo número irracional es un decimal no periódico. c) Todo número real es un decimal ilimitado periódico o un decimal ilimitado no periódico. 22. Escribe en cada caso, si es posible, un número que verifique las siguientes condiciones: a) No racioanl, real, mayor que 0 y menor que 1. b) Racional, negativo y periódico puro. c) No real, entero y menor que 0. d) Racional que no tenga expresión fraccionaria. 23. Responde razonadamente: a) ¿Puede ser negativo el error absoluto? b) ¿Es cierto que el redondeo del número 0’9999... a cualquier cifra es siempre 1? c) ¿Puede suceder que dos números diferentes tengan el mismo redondeo? d) ¿Es posible que un número tenga dos aproximaciones distintas a un mismo orden de unidad? e) ¿Cuál es el error máximo cometido si se redondea un número a las milésimas? 48 LOS NÚMEROS REALES
COLEGIO VIZCAYA
Una sucesión es un conjunto de números ordenados. Conoces muchas sucesiones, como la de los números naturales 1,2,3,4,5…; los números pares 2,4,6,8…; o los múltiplos de cinco 5,10,15,20,25… En la evolución de la matemática las sucesiones son tan antiguas como los números naturales y sirven para estudiar, representar y predecir fenómenos que ocurren en el tiempo de forma intermitente. Una de las sucesiones más famosas que existen es la llamada sucesión de Fibonacci. Esta sucesión surgió cuando el matemático italiano Leonardo de Pisa (1180-1250), conocido como Fibonacci ("hijo de Bonaccio") planteó el siguiente problema en su libro Liber abaci ("Libro del ábaco"): Fibonacci.
"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrará cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?" Si hacemos un recuento de los conejos que tenemos cada mes obtenemos la siguiente sucesión:
Pares de conejos
1 1º mes 2º mes 3º mes 4º mes 5º mes
1 2 3 5 8
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Como puedes observar cada término es igual a la suma de los dos anteriores. Esta sucesión es muy importante ya que aparece con mucha frecuencia en la naturaleza. Por ejemplo: - Cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coinciden con dos términos de la sucesión de Fibonacci. - Las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas en esta sucesión.
COLEGIO VIZCAYA
SUCESIONES
49
PARA EMPEZAR 1.
Calcula el valor de las siguientes potencias: a)
2.
(−4 )
3
0
=
b)
⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ 32 ⎠
4
c)
3
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝3 ⎠
d)
⎛ 1⎞ ⎜− ⎟ = ⎝ 5⎠
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: a) 6 (n - 1) - 5
para n = 8
b) - 5n - 2
para n = 10
c) 2 · 3n
para n = 4
PARA APRENDER 1. SUCESIONES DE TÉRMINOS REALES. Observa las siguientes colecciones de números ordenados, ¿serías capaz de deducir cuáles van a ser los siguientes tres números? a) 1,2,3,4,5,6,…
d) 1,4,9,16,25,36,…
b) 2,4,6,8,10,12,…
e) 1,1,2,3,5,8,13,…
c) 3,5,7,9,11,13,… A estas colecciones de números que se comportan siempre cumpliendo un determinado orden, es decir, guardan una regularidad les llamamos sucesiones. Cada uno de los números que forman la sucesión se llama término y se designan mediante una letra con un subíndice que indica el lugar que ocupa en la sucesión: a) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, a6 = 6,… b) a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10, a6 = 12,… c) a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 9, a5 = 11, a6 = 13,… d) a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16, a5 = 25, a6 = 36,… e) a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8,…
Una sucesión de números reales es un conjunto infinito de números ordenados, cada uno de los cuales recibe el nombre de término de la sucesión.
2. TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN. Vamos a considerar la sucesión de los números pares 2,4,6,8,10,12,… y vamos a determinar la regla general que nos permite calcular todos sus términos: a1 = 2 = 2 · 1 a2 = 4 = 2 · 2 a3 = 6 = 2 · 3 a4 = 8 = 2 · 4 a5 = 10 = 2 · 5 a6 = 12 = 2 · 6 ………………. an = 2 · n
Término general
Esta última expresión se conoce como término general de la sucesión. 50 SUCESIONES
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Consideremos ahora la siguiente sucesión, ¿serías capaz de determinar la regla general que sigue esta sucesión? a1 = 1 = 12 a2 = 4 = 22 a3 = 9 = 32 a4 = 16 = 42 a5 = 25 = 52 a6 = 36 = 62 ………………. an =
Término general
El término general de una sucesión, an, es la expresión algebraica que permite calcular cualquier término a partir del lugar que ocupa.
Ejemplo: Encuentra el término general de las siguientes sucesiones y calcula a10: a)
{3,5,7,9,11,...} a1 = 3 = 2 · 1 + 1 a2 = 5 = 2 · 2 + 1 a3 = 7 = 2 · 3 + 1 a4 = 9 = 2 · 4 + 1 a 5 = 11 = 2 · 5 + 1 ………….....……. an = 2 n + 1
b)
a10 = 2 · 10 + 1 = 21
{2, 5,10,17, 26,...} a1 = 2 = 12 + 1 a2 = 5 = 22 + 1 a3 = 10 = 32 + 1 a4 = 17 = 42 + 1 2 a 5 = 26 = 5 + 1 ...………………. an = n2 + 1
c)
Para encontrar el término general debes encontrar una regla que relacione el valor de cada término con el lugar que ocupa.
a1 = 3 = 2 · 1 + 1 a2 = 5 = 2 · 2 + 1 a3 = 7 = 2 · 3 + 1 a4 = 9 = 2 · 4 + 1 a5 = 11 = 2 · 5 + 1 ............................. an = 2 · n + 1
a10 = 102 + 1 = 101
⎧ 3 4 5 6 ⎫ ⎨2, , , , ,... ⎬ ⎩ 2 3 4 5 ⎭
2 1+ 1 = 1 1 3 2 +1 a2 = 2 = 2 4 3 +1 a3 = 3 = 3 5 4 +1 a4 = 4 = 4 6 5 +1 a5 = 5 = 5 ………………. n+1 an = n
a1 =
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a10 =
10 + 1 11 = 10 10
SUCESIONES
51
PARA PRACTICAR 3.
Di cuáles son los términos a1, a3 y a6 de las siguientes sucesiones: a) b) c) d) e) f)
4.
Escribe la expresión del término general de las siguientes sucesiones: a) b) c) d)
5.
{6, 7, 8, 9,10,...} {0, −2, −4, −6, −8,...} {1, 0.1, 0.01, 0.001, 0 .0001,...} {−1, −1, −1, −1, −1,...} {−2, −4, −8, −16, −32,...} {1, 2, 3, 5, 8,...}
{1, 4, 9,16, 25,...} {2, 4, 6, 8,10,...} ⎧1 3 5 7 9 ⎫ ⎨ , , , , ,... ⎬ ⎩4 5 6 7 8 ⎭ {1, −1,1, −1,1,...}
Construye una sucesión que cumpla: a) El primer término es 5 y cada uno de los siguientes es la suma del anterior más 3. b) El primer término es 12 y cada uno de los siguientes es el anterior multiplicado por 3.
6.
Calcula los términos a5, a7 y a10 en las sucesiones definidas por estos términos generales: a) b) c) d)
7.
n2 + 2n n3 n2 n +1 2 (n − 2 )
Haz una sucesión con términos a1 = 2, a2 = 3 y a3 = 4, siendo los siguientes términos la suma de los tres anteriores.
8.
Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión con término general: a) b) c) d)
9.
10.
an = n2 − 3n + 2 n+4 an = 2n + 1 n an = n +1 n −1 an = n
Obtén los cuatro primeros términos de cada sucesión: a) a1 = −1, a n = n + a n− 1 b)
a1 = 2, a n = 2a 2n− 1 − 3n
Escribe el término general de estas sucesiones: a) b) c) d)
{2, 3, 4, 5, 6,...} {3, 6, 9,12,15,...} {5,10,15, 20, 25,...} {8,11,14,17, 20,...}
52 SUCESIONES
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PARA APRENDER 3. PROGRESIONES ARITMÉTICAS. ¿Qué es una progresión aritmética? Uxue está en muy baja forma física y ha decidido que este año va a hacer algo de ejercicio. Se ha propuesto correr una carrera ciclista y para ello se ha puesto un plan de entrenamiento. El primer día va a correr 6 km, el segundo 10 km, el tercero 14 km, y así sucesivamente irá añadiendo 4 km cada día. Si anotamos los km que recorre Uxue cada día obtenemos una sucesión:
{6,10,14,18, 22,...} Como vemos la diferencia entre los km recorridos en dos días consecutivos es siempre 4. Las sucesiones en las que los términos se calculan sumándole una cantidad fija al término anterior se llaman progresiones aritméticas.
Una progresión aritmética es una sucesión de números reales en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo d, que se llama diferencia.
Ejemplo: Di si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y en tal caso indica la diferencia. a)
{2, 7,12,17, 22,...} a1 = 2 ⎫ a2 = 7 = 2 + 5 ⎪ ⎪⎪ a 3 =12 = 7 +5 ⎬ a 4 = 17 = 12 + 5 ⎪ ⎪ a5 = 22 = 15 + 5 ⎪⎭
b)
c)
Es una progresión aritmética de diferencia d = 5
{7, 4,1, −2, −5,...} a1 = 7 ⎫ a2 = 4 = 7 − 3 ⎪ ⎪⎪ a 3 = 1= 4 −3 ⎬ a 4 = −2 = 1 − 3 ⎪ ⎪ a5 = −5 = −2 − 3 ⎪⎭
Es una progresión aritmética de diferencia d = -3
a1 = 2 ⎫ a2 = 5 = 2 + 3 ⎪ ⎪⎪ a 3 = 9 = 5 +4 ⎬ a 4 = 14 = 9 + 5 ⎪ ⎪ a5 = 20 = 14 + 6 ⎪⎭
No es una progresión aritmética
{2, 5, 9,14, 20,...}
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SUCESIONES
53
PARA APRENDER Término general de una progresión aritmética. En una progresión aritmética cada uno de sus términos es igual al anterior más la diferencia d, entonces podemos escribir: a1 = a1 a2 = a1 + d = a 1 + (2 − 1) ⋅ d a3 = a 2 + d = (a 1 + d ) + d = a 1 + 2d = a 1 + (3 −1) ⋅d
a 4 = a 3 + d = (a 1 + 2d ) + d = a 1 + 3d = a 1 + (4 −1) ⋅d a5 = a 4 + d = (a 1 + 3d ) + d = a 1 + 4d = a 1 + (5 −1) ⋅d
a6 = a 5 + d = (a 1 + 4d ) + d = a 1 + 5d = a 1 + (6 −1) ⋅d ……………………………………………………… an = a1 + (n − 1)⋅ d
El término general de una progresión aritmética es: an = a 1 + (n − 1)⋅ d
Ejemplo: Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas. ¿Cuál es el término 20?
{2, 5, 8,11,14,...}
a)
a1 = 2 ⎫ ⎬ → a n = 2 + (n −1 )⋅3 = 2 +3n −3 =3n − 1 d=3 ⎭ Luego a 20 = 3 ⋅ 20-1=59
b)
{−2, 2, 6,10,14,...} a1 = −2 ⎫ ⎬ → a n = −2 + (n −1 )⋅4 = −2 + 4n − 4 = 4n − 6 d=4 ⎭ Luego a 20 = 4 ⋅ 20-6=74
c)
{6, 4, 2, 0, −2, −4,...} a1 = 6 ⎫ ⎬ → a n = 6 + (n −1 )⋅ (−2 ) = 6 −2n +2 = −2n + 8 d = −2 ⎭ Luego a 20 = − 2 ⋅ 20 + 8=−32
PARA PRACTICAR 11.
Encuentra el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a)
{5,9,13,17,...}
b)
{6,3,0, −3,...}
c)
⎧ 2 1 −1 ⎫ ⎨ , ,0, ,... ⎬ 3 ⎭ ⎩3 3
d)
⎧1 3 ⎫ ⎨ ,1, ,2,... ⎬ ⎩2 2 ⎭
54 SUCESIONES
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12.
Halla los siete primeros términos de una progresión aritmética: a) Cuyo primer término es 5 y su diferencia 3. b) Cuyo primer término es - 4 y su diferencia 2. c) Cuyo tercer término es 7 y su diferencia 3. d) Cuyo quinto término es 17 y su diferencia - 3.
13.
Halla el término general de una progresión aritmética si su primer término es 5 y su diferencia es 3.
14.
Halla el término general de una progresión aritmética si sus dos primeros términos son 4 y 9. Halla también el vigésimo.
15.
Calcula el término que ocupa el lugar 30 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a -2 y la diferencia es 3.
16.
Halla el primer término de una progresión aritmética donde a15 = 28 y d = -2.
17.
En una progresión aritmética se sabe que a1 = -2, a32 = 91 y a16 = 43. Halla a17.
18.
Halla el noveno término de la progresión aritmética {7, 10, 13, 16,...}.
19.
Calcula la diferencia de una progresión aritmética donde a1 = 3 y a6 = 8.
20.
¿Cuál es el término general de una progresión aritmética cuyo primer término es 2 y el a11 es 52?
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SUCESIONES
55
PARA APRENDER Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Consideramos la siguiente sucesión de números pares:
{2, 4, 6, 8,10,...}
Queremos sumar los números de esta sucesión que están comprendidos entre 2 y 100, y para ello vamos a colocarlos de la siguiente forma: S = S =
2+ 1 00+
2S =
4+ 98+
6+ ……….. + 96+ 96+ ……….. + 6+
98+ 4+
100 2
102+ 102+
102+ ……….. + 102+
102+
102
2 S = 102 · 50
S=
102 ⋅ 50 = 2550 2
Luego la suma de los 50 primeros pares es 2550. Este proceso que acabamos de realizar, lo podemos generalizar para calcular la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética {an} cualquiera que denotaremos Sn. Sn = Sn =
a1 an
+ +
a2 an-1
+ +
a3 an-2
+ ……….. + + ……….. +
an-2 a3
+ +
an-1 a2
+ +
an a1
2 Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ……….. + (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1) Pero como hemos comprobado en el ejemplo todos los sumandos anteriores son iguales, por tanto: 2 Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ……….. (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) 2 Sn = (a1 + an) · n
Sn =
(a1 + a n )⋅ n 2
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es: Sn =
(a1 + an )⋅ n 2
Ejemplo: a) Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 3,8,13,18... a1 = 3 ⎫ ⎬ → an = 3 + (n − 1)⋅ 5 = 3 + 5n − 5 = 5n − 2 d=5 ⎭ a1 = 5 ⋅ 1 − 2 = 3 (3 + 97 )⋅ 20 ⎫ = 1000 ⎬ → Sn = a20 = 5 ⋅ 20 − 2 = 97 ⎭ 2
b) Iñaki tiene un jardín en el que quiere plantar 10 filas de rosales de tal manera que en la primera fila haya 2 rosales, y en las siguientes filas 3 rosales más que en la anterior. Si cada rosal cuesta 2,5 €, ¿cuánto le costará toda la plantación? Como en cada fila hay 3 rosales más que en la anterior tenemos que el número de rosales en cada fila forman una progresión aritmética. a1 = 2 ⎫ ⎬ → an = 2 + (n − 1)⋅ 3 = 2 + 3n − 3 = 3n −1 d=3 ⎭ Luego tiene que comprar S 10 =
→
a
10
(a1 + a10 )⋅10 (2 + 29 )⋅10 2
=
2
= 3 ⋅10 −1 = 29 =155 rosales
155 · 2,5 = 387,5 € le costará la plantación.
56 SUCESIONES
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PARA PRACTICAR 21.
Suma los veinte primeros términos de la progresión: -5,4,13,22,31,40...
22.
Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión: 3,7,11,15,19,23,…
23.
Dada la progresión aritmética con an = 10 - 5n, halla la suma de los 25 primeros términos.
24.
Calcula la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que el tercer término es 24 y el décimo 66.
25.
Eduardo sale en bicicleta todos los días, de modo que cada día recorre 3 km más que el día anterior. Si el quinto día ha recorrido 24 km, ¿cuántos kilómetros recorrió el primer día? Calcula el término general.
26.
En un jardín hay 6 filas de árboles. Cada fila tiene 3 árboles más que la anterior. La fila tercera tiene 11 árboles. Halla los árboles que hay en la primera fila, en la última y el número total de árboles.
27.
Una persona compra a plazos un televisor. El primer mes paga 132 euros, el segundo 120 euros, el tercero 108 euros, hasta el último mes que paga 24 euros, con lo que el televisor queda totalmente pagado. ¿Cuántos meses fueron necesarios para pagar el televisor?
28.
Un carro que baja por un plazo inclinado recorre un metro en el primer segundo, 3 metros en el segundo segundo, 5 metros en el tercero y así sucesivamente. Se desea saber: a) ¿Cuánto recorrerá en los 30 primeros segundos?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer los 2.500 m que tiene de longitud el plano inclinado?
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SUCESIONES
57
PARA APRENDER 4. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. ¿Qué es una progresión geométrica?
{4, 20,100, 500, 2500 ,...}
Observa la siguiente sucesión:
a1 a2 a3 a4 a5
= = = = =
4=4 20 = 4 · 5 100 = 20 · 5 500 = 100 · 5 2500 = 500 · 5
Cada término se obtiene multiplicando el anterior por 5. Este tipo de sucesiones se llaman progresiones geométricas y la cantidad fija por la que multiplicamos se llama razón (r = 5).
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, r, que se llama razón.
Ejemplo: Di si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y en tal caso indica su razón. a)
{1, 5, 25,125, 625 ,...} a1 = 1 ⎫ ⎪ a2 = 5 = 1⋅ 5 ⎪⎪ a 3 = 25 = 5 ⋅5 ⎬ a 4 = 125 = 25 ⋅ 5 ⎪ ⎪ a5 = 625 = 125 ⋅5 ⎪⎭
b)
Es una progresión geométrica de razón r = 5
{4, −8,16, −32, 64,...} ⎫ ⎪ = −8 = 4 ⋅ (−2 ) ⎪ ⎪ =16 = −8 ⋅ (−2 ) ⎬ = −32 = 16 ⋅ (−2 )⎪⎪ = 64 = −32 ⋅ (−2 )⎪⎭
a1 = 4 a2 a3 a4 a5
c)
Es una progresión geométrica de razón r = -2
1 1 ⎫ ⎧ ⎨ 4, 2,1, , ,... ⎬ 2 4 ⎭ ⎩ ⎫ ⎪ ⎪ 1 = 2 = 4⋅ ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪⎪ =1 = 2 ⋅ ⎬ 2 ⎪ 1 1 ⎪ = = 1⋅ ⎪ 2 2 ⎪ 1 1 1⎪ = = ⋅ 4 2 2 ⎪⎭
a1 = 4 a2 a3 a4 a5
58 SUCESIONES
Es una progresión geométrica de razón r =
1 2
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Término general de una progresión geométrica. Como en una progresión geométrica cada uno de sus términos es igual al anterior por la razón r, podemos escribir: a1 = a1 a2 = a1 ⋅ r a3 = a 2 ⋅ r = (a 1 ⋅ r )⋅ r = a 1 ⋅r 2 = a 1 ⋅r 3− 1
a 4 = a 3 ⋅ r = (a 1 ⋅ r 2 )⋅r = a 1 ⋅r 3 = a 1 ⋅r 4− 1
a5 = a 4 ⋅ r = (a 1 ⋅ r 3 )⋅ r = a 1 ⋅ r 4 = a 1 ⋅r 5− 1
a6 = a 5 ⋅ r = (a 1 ⋅ r 4 )⋅ r = a 1 ⋅r 5 = a 1 ⋅r 6− 1 ………………………………………… an = a 1 ⋅ r n − 1
El término general de una progresión geométrica es: an = a 1 ⋅ r n−1
Ejemplo: Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas. ¿Cuál es el término 10? a)
{9, 36,144, 576,...} a1 = 9 ⎫ n −1 ⎬ → a n = 9 ⋅4 r=4 ⎭ Luego
b)
a 10 = 9 ⋅ 49 =2359296
3 3 ⎫ ⎧ ⎨6, 3, , ,... ⎬ 2 4 ⎭ ⎩ a1 = 6 ⎫ n −1 ⎪ ⎛ 1⎞ 1 ⎬ →a n = 6 ⋅ ⎜ ⎟ r= ⎪ ⎝2⎠ 2 ⎭ 9
Luego
c)
⎛ 1⎞ 3 a 10= 6 ⋅ ⎜ ⎟ = 8 ⎝2⎠ 2
{2, −4, 8, −16, 32,...} a1 = 2 ⎫ n −1 ⎬ → a n = 2 ⋅ (−2 ) r = (−2 )⎭ Luego
a 10 = 2 ⋅ (−2 ) = − 210 = −1024 9
PARA PRACTICAR 29.
Encuentra el término general de las siguientes progresiones geométricas: a)
{5,15, 45,135,...}
b)
3 3 ⎫ ⎧ ⎨6, 3, , ,... ⎬ 2 4 ⎭ ⎩
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SUCESIONES
59
30. Determina si son progresiones geométricas y en tal caso indica su razón.
31.
a)
{1, 5, 25,125, 625 ,...}
b)
{7,14, 28, 56,112,...}
c)
{−1, −2, −4, −8, −16,...}
d)
{3, 9, 24, 33,...}
e)
{4, 4, 4, 4, 4,...}
Dada la sucesión 2, 3, 4.5, 6.75, 10.125... : a) Comprueba que es una progresión geométrica. Halla su razón. b) Calcula su término general. c) Halla la suma de los 10 primeros términos.
32.
Calcula el noveno término de la progresión geométrica 2, 8, 32...
33.
Halla el término general de una progresión geométrica de razón 3 y cuyo primer término es 2. Halla también el séptimo término.
34.
Halla el término general de una progresión geométrica cuyo segundo y tercer término son 6 y 12, respectivamente. ¿Cuál es su octavo término?
35.
Construye la progresión geométrica que empieza por 25 y en la que cada término es los 2/5 del anterior.
36.
El noveno término de una progresión geométrica es 64/2187 y su razón es 2/3. Hallar el primer término.
37.
Escribe el término general de una progresión geométrica en la que a3 = 75 y a4 = 375.
38.
Calcula la razón y el término general de la progresión geométrica definida por a5 = 0´16.
60 SUCESIONES
a2 = 20 y
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PARA APRENDER Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Consideramos la siguiente progresión geométrica de razón r = 3:
{2, 6,18, 54,162, 486 ,1458 ,...} Queremos sumar las seis primeros términos de esta progresión. Para ello los colocamos de la siguiente forma: S 6 = 2 + 6 + 18 + 54 +162 + 486 .⋅3 ↓
3 ⋅ S 6 = 6 + 18 + 54 +162 + 486 +1458
Restando:
3 ⋅ S6 = 6 + 18 + 54 +162 + 486 +1458 S 6 = 2 + 6 + 18 + 54 +162 + 486 3 ⋅ S 6 − S 6 = 1458 − 2 2 ⋅ S 6 = 1456
→
S6=
1456 =728 2
Si generalizamos este proceso para calcular la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica {an} cualquiera obtenemos: S n = a 1 + a 2 + .......... + a n− 1 + a n ↓ r ⋅ Sn = a1 ⋅ r + a 2 ⋅r + .......... + a n− 1 ⋅r + a n ⋅r
.⋅r
r ⋅ Sn = a 2 + a 3 + .......... + a n + a n+ 1
Restando: r ⋅ Sn = a 2 + a 3 + .......... + a n + a n+ 1 Sn = a1 + a 2 + .......... + a n− 1 + a n r ⋅ Sn − S n = a n+ 1 − a 1
(r-1)⋅ Sn = a n+1 − a 1 = a 1 ⋅r
n
− a 1 = a 1 ⋅ (r −1) n
→
S n=
a1 ⋅ (r n − 1) r-1
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es: Sn =
n an+1 - a 1 a1 ⋅ (r − 1) = r -1 r -1
Ejemplo: a) Calcula la suma de los 8 primeros términos de la progresión geométrica: 5, 15, 45, 135... a1 ⋅ (r 8 − 1) 5 ⋅ (3 8 − 1) S8 = = = 16400 r -1 3 -1
b) Una determinada bacteria se reproduce por bipartición de manera que este proceso se repite cada media hora. Si al principio tenemos una bacteria, ¿cuántas tendremos al cabo de 10 horas? Cada media hora el número de bacterias se multiplica por dos, por lo que el número de bacterias genera una progresión geométrica de razón r = 2 cuyo primer término es a1 = 1. Luego al cabo de 10 horas tendremos: S20 =
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a1 ⋅ (r 20 − 1) 1⋅ (2 20 −1) 20 = = 2 −1= 1.048.575 bacterias r -1 2 -1
SUCESIONES
61
PARA PRACTICAR 39.
Calcula la suma de los 10 primeros términos de las siguientes progresiones geométricas: a)
{2,14, 98, 686 ,...}
b)
{3, −6,12, −24,...}
40.
Halla la suma de los 12 primeros múltiplos de 5. Siendo el primero 5.
41.
Halla el quinto término de una progresión geométrica si a1 = 2 y r = 1/2, y la suma de los cinco primeros términos.
42.
En una progresión geométrica el quinto término es 81 y el segundo es -3. Halla el término general y la suma de los seis primeros términos.
43.
Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica de razón 3 sabiendo que su primer término es 1/9.
44.
En cierta ciudad un ciudadano se enteró casualmente de un chisme sobre el alcalde. Al cabo de una hora lo había contado a otras 5 personas. Cada una de estas, a su vez, lo cuenta a otras 5 en la siguiente hora y así sucesivamente. ¿Cuántos habitantes conocían el chisme al cabo de 7 horas?
45.
Una persona envía una copia de una carta a dos amigos suyos, rogándoles a su vez que cada uno de ellos envíe otra copia a otros dos amigos con el mismo ruego. Después de 12 envíos, ¿cuántas copias se han enviado?
46.
Una empresa de fabricación de automóviles vende 100.000 automóviles el primer año y cada año triplica sus ventas. ¿Cuántos coches vendió durante los cinco primeros años de funcionamiento?
47.
A las ocho de la mañana un alumno de un instituto cuenta un rumor a dos de sus compañeros. Un minuto después cada uno de éstos se lo cuenta a otros dos que no lo conocen y así, sucesivamente, de manera que cada alumno que conoce el rumor lo cuenta una sola vez a dos que no lo conocen. ¿A qué hora conocerán el rumor los 2047 alumnos del centro?
62 SUCESIONES
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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS EL TABLERO DE AJEDREZ. Aunque hay fuertes indicios de que los orígenes de Ajedrez se remontan a Egipto en el tercer milenio a.C., muchas leyendas señalan que se inventó en la India en el Siglo V. La leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India que quedó tan fascinado por el ingenio del juego que decidió recompensarle generosamente, para lo que le dijo: "Pídeme lo que quieras, que te lo daré". El inventor del ajedrez formuló su petición de la manera siguiente: "Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, 16 por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64" Cuando los matemáticos del reino comunicaron al príncipe la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor, se dieron cuenta de que no había suficiente trigo en el mundo para complacer la petición del inventor. ¿Cuánto trigo debía dar el príncipe al inventor? Para responder a esta pregunta responde a lo siguiente: a) Escribe la sucesión que representan los granos que había que colocar en cada casilla.
b) ¿Qué tipo de sucesión es? Calcula su término general.
c) Calcula la suma de los granos de las 64 casillas.
d) Actualmente se estima que la producción mundial de trigo en un año está por el orden de 600 millones de toneladas . Sabiendo que en 1 kg de trigo hay aproximadamente 25000 granos de trigo, ¿cuántos granos de trigo hay en la producción mundial de un año?
e) ¿Cuántos años se necesitarían actualmente para satisfacer la solicitud del inventor del ajedrez?
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PARA ENTRENAR 1. Halla término general de las siguientes progresiones indicando si son aritméticas o geométricas: 1 1 a) 10, 20, 40, 80, ... f) 5,1, , ,... 5 25 b) - 7, - 4, - 1, 2, 5, ... g) 0, 3, 6, 9, ... c) 1, 2, 3, 4, ...
h) 0, 2, 4, 6, ...
d) 2, 4, 6, 8, ...
i) 2, 4, 8, 16, ...
e) 1, 3, 5, 7, 9, ... 2. Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones: a) b) c) d)
an = n2 an = 2n + 1 1 an = n an = (−1) ⋅ n
n +1 n
3. Halla el término general de las siguientes sucesiones: a)
3 4 5 6 2, , , , ,... 2 3 4 5
b)
1,
c)
4 8 16 32 , , , ,... 9 5 1 −3
3 5 7 9 , , , ,... 2 3 4 5
4. Halla el término general y el 50 de las siguientes sucesiones: a)
2 4 6 8 , , , ,... 5 9 13 17
b)
3 9 12 , 1, , ,... 5 7 8
c)
1 3 4 5 , , , ,... 3 8 10 12
5. Halla el término general y el décimo término de las siguientes sucesiones indicando si alguna de ellas es progresión: a) 128, 64, 32, … b) 72, 68, 64, … c) 24, 48, 96, … d) 3, 7, 11, … 6. Indica si es cierta o falsa cada una de las siguientes afirmaciones: a) Las progresiones aritméticas son siempre crecientes, es decir, cada término es mayor que el anterior. b) Las sucesiones constantes como 5, 5, 5, 5, 5… se pueden considerar como progresiones aritméticas y como progresiones geométricas.
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7. Averigua la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 27 y el cuarto es 8.
8. Suma los diez primeros términos de una progresión geométrica en la que a1 = 1/3 y r = 2.
9. La diferencia de una progresión aritmética es 1/2 y su cuarto término es 7. Halla el valor del trigésimo término.
10. Halla el término general de las siguientes sucesiones: a) {4, 7, 10, 13, 16,...} b) {0, 3, 8,15, 24,...} c) {1, 3, 9, 27, 81,...} d)
{4, 6, 8,10,12,...}
e) {1, 3, 5, 7, 9,...} ⎧1 2 3 4 ⎫ f) ⎨ , , , ,... ⎬ ⎩2 3 4 5 ⎭
11. Un hortelano disponible de 59049 litros de agua de un estanque para regar. Un día utilizó la mitad del contenido; al día siguiente usó la mitad de lo que le quedaba, y así sucesivamente cada día. ¿Cuántos litros de agua empleó hasta el octavo día?
12. Los lados de un pentágono están en progresión aritmética de diferencia 5. Si su perímetro es 65 cm, ¿cuánto miden sus lados?
13. Calcula el primer término de una progresión aritmética si sabemos que a6 = 36 y a10 = 12.
14. ¿Qué número de campanadas da un reloj diariamente si está programado para que suene cada hora?
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15. Colocamos unas bolas de billar en una regleta en forma de triángulo equilátero, si tuviéramos 10 bolas en cada lado de la regleta, ¿cuántas bolas habría?
16. Queremos formar un gran triángulo en el patio del instituto para sacar una foto de recuerdo de los alumnos de 3º de ESO. Si somos 78 alumnos y nos colocamos de tal forma que en la primera fila, hay una persona, en la segunda 2, en la tercera, 3, y así sucesivamente, ¿cuántas filas podremos formar?
17. Un coro de 100 personas se quiere colocar de la siguiente forma en la próxima actuación: uno en la primera fila, 3 en la segunda, 5 en la tercera, etc. ¿Cuántos cantantes tiene la décima fila? ¿Cuántas filas hay?
18. Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión con término general: a)
an = n2 − 3n + 2
b)
an =
n+4 2n + 1
19. Obtén los cuatro primeros términos de cada sucesión: a)
a1 = −1, a n = n + a n− 1
b)
a1 = 2, a n = 2a 2n− 1 − 3n
20. Escribe el término general de estas sucesiones: a)
{2, 3, 4, 5, 6,...}
b)
{3, 6, 9,12,15,...}
c)
{5,10,15, 20, 25,...}
d)
{8,11,14,17, 20,...}
21. Determina si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas. En tal caso indica su diferencia: a)
{1, 0, −1, −2,...}
b)
{4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
c)
{2, 4, 7,11,16,...}
d)
{1, 4, 9,16, 25,...}
e)
{11,10, −1, −2,...}
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22. En una progresión aritmética, a1 = 4'8 y a2 = 5'6. Calcula la diferencia d y el término a8.
23. En una progresión aritmética, el término a4 = 12 y la diferencia d = -3. Calcula a1 y a8.
24. Halla el término general de estas progresiones aritméticas: a)
⎧1 3 5 ⎫ ⎨ ,1, , 2, ,... ⎬ ⎩2 2 2 ⎭
b)
{25, 22,19,16,...}
c)
⎧2 4 8 ⎫ ⎨ , , ,... ⎬ ⎩ 3 15 45 ⎭
25. En una progresión aritmética, el primer término es 5 y la diferencia -2. Determina an.
26. En una progresión aritmética, el tercer término es 9 y la diferencia 7. Halla el primer término y el término general.
27. En una progresión aritmética, a6 = 17 y a9 = 23. Calcula a1 y el término general.
28. Quiero colocar 7 filas de macetas de tal manera que en la primera fila pondré 3 macetas, y cada una de las siguientes filas tendrá 3 macetas más que la anterior. ¿Cuántas macetas colocaré en total?
29. En una progresión geométrica a2 = 2 y a4 = 1/2. Calcula an y a5.
30. El número de usuarios de un polideportivo los fines de semana comenzó siendo de 150 personas y aumentó en 30 personas cada fin de semana a partir de entonces. ¿Cuántos usuarios hubo en la semana 12? ¿Y en las 10 primeras semanas?
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31. Iratxe ha comprado un caballo y quiere herrarlo. Para ello tienen que ponerle 20 clavos, el primero de los cuales cuesta 1 céntimo de euro y cada uno de los restantes vale un céntimo más que el anterior. ¿Cuánto le costará herrar al caballo?
32. En un aparcamiento de unos grandes almacenes cobran 0,25 € por la primera hora de estacionamiento y, por cada hora siguiente, el doble de lo cobrado en la hora anterior. ¿Cuánto pagaremos por estar estacionados ocho horas?
33. Un árbol de rápido crecimiento multiplica su altura por 1,2 cada año. Si al comenzar el año medía 0,75 cm, ¿qué altura tendrá dentro de 10 años?
34. Dejamos caer una pelota desde una altura de 1 metro, y en cada uno de los botes que da sube a una altura igual a la mitad del bote anterior. ¿A qué altura llegará en el quinto bote?
35. Halla la profundidad de un pozo sabiendo que por la excavación del primer metro se han pagado 20 €, y por cada uno de los restantes, se pagan 5 € más que en el anterior, siendo el coste total de 1350 €.
36. Una bióloga está estudiando la evolución de una determinada especie de insectos. Si el número inicial de insectos es de 50 y, cada 10 días, la población de insectos se cuadruplica, halla el término general de la progresión formada por el número de insectos cada 10 días. a) ¿Cuántos insectos habrá a los 50 días? b) Si el precio del alimento para los insectos el primer día es de un euro, y cada día aumenta 2 céntimos más, halla el término general de la progresión. c) Determina el valor del alimento el día 20. d) Calcula el valor del alimento en los 40 primeros días.
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37. En la progresión 5,9,13,17…, ¿qué término vale 49?
38. Calcula la suma de los 25 primeros términos de la progresión aritmética cuyo término general es an = 2n + 6.
39. Calcula la suma de los 12 primeros términos de la progresión aritmética cuyo término general es: an =
3n +2 2
40. Dada una progresión geométrica cuyo primer término es a1 = 4 y la razón r = 5, calcula a6, a10 y an.
41. En la progresión geométrica 2,4,8,16,32…,¿qué término vale 1024?
42. Encuentra la razón de la progresión geométrica que tiene a4 = 135 y a6 = 1215.
43. Encuentra el término general de las siguientes sucesiones indicando si alguna de ellas es progresión aritmética o geométrica:
{−7, −3,1,...} {−3, 6, −12,...}
a)
{7,11,15,...}
g)
b)
{6,12, 24,...}
h)
c)
{3, −2, −7,...}
i)
d)
⎧3 1 1 ⎫ ⎨ , − , ,... ⎬ ⎩4 2 3 ⎭
j)
⎧1 ⎫ ⎨ ,1, 3,...⎬ 3 ⎩ ⎭
e)
⎧ 3 3 6 ⎫ ⎨ − , , ,... ⎬ ⎩ 5 10 5 ⎭
k)
⎧1 3 ⎫ ⎨ , , 1,... ⎬ ⎩2 4 ⎭
f)
⎧11 35 13 ⎫ ⎨ , , ,... ⎬ ⎩ 3 12 6 ⎭
l)
⎧3 1 1 ⎫ ⎨ , − , ,... ⎬ ⎩4 2 3 ⎭
⎧5 1 3 ⎫ ⎨ , , ,... ⎬ ⎩ 6 2 10 ⎭
44. Calcula el término que ocupa el lugar 100 en la progresión: 13 11 ⎫ ⎧ ⎨ −5, − , − ,... ⎬ 3 3 ⎭ ⎩
45. Calcula la suma de los 15 primeros múltiplos positivos de 6.
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46. Calcula la suma de los primeros 100 números impares.
47. Un vehículo avanza 5 metros en un segundo y sigue avanzando de forma que cada segundo avanza 2 metros más que en el segundo anterior. ¿Cuánto recorrerá en un minuto?
48. Un agente comercial recibe el primer día de trabajo una gratificación de 10 €. En los días sucesivos, esta gratificación va aumentando en 1,5 €, de manera que, en su última jornada, cobra 143,5 €. ¿Cuántos días trabajó y cuánto cobró en total por las gratificaciones?
49. El precio de la primera entrega de una colección de minerales es de 2 €. En las siguientes entregas el precio sube 0,03 € más que en la anterior. Si la colección consta de 100 entregas, ¿cuánto costará toda la colección?
50. Joseba cobra 18 € semanales de paga y decide ahorrar 1,8 € el primer mes y aumentar cada mes 0,75 € más que el anterior. ¿Cuánto ahorrará en un año?
51. Se ha comprado un electrodoméstico a plazos de tal manera que el primer mes se pagan 5 € y en cada uno de los meses siguientes se van pagando 4 € más que en el anterior. Si se paga en 30 mensualidades, ¿a cuánto asciende el valor de la factura?
52. Un comprador quiere pagar a plazos una lavadora. El primer mes paga 120 € y cada uno de los siguientes 12 € más que el anterior. Si cuesta 720 €, ¿cuántos meses tardará en pagarla?
53. En un cyber cobran una cantidad fija por conectarse a Internet, más 0,5 € por cada cuarto hora de conexión. Si a la hora y media han cobrado a un cliente 8,5 €, ¿cuál es la cuota fija de conexión? ¿Cuánto cobrarán por 7 horas?
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54. Alex y Maider se han propuesto ahorrar, pero cada uno a su manera. Así Alex guardará en su hucha 1 € la primera semana, 2 € la segunda, 3 € la tercera, y así sucesivamente. Por su parte Maider ahorrará 2 céntimos la primera semana, 4 céntimos la segunda, 8 céntimos la tercera, y así sucesivamente. ¿Cuánto habrán ahorrado cada uno en la novena semana? ¿Y en la vigésima?
55. Halla la suma de los 200 primeros términos de una progresión aritmética de primer término 7 y de diferencia 5.
56. Halla la suma de los 15 primeros de una progresión geométrica de primer término 12 y razón 2.
57. Para ponerse en forma, un nadador comienza el 1 de julio a nadar haciendo 6 largos de piscina. Si aumenta en 2 largos por día, ¿cuántos largos tendrá que hacer el último día del mes? ¿Cuántos habrá hecho en total en todo el mes?
58. Una empresaria estudia la evolución de los ingresos de su empresa durante los últimos 12 meses. El primer mes fueron de 3 millones de euros, el segundo de 4,5 millones de euros, y el tercero de 6 millones de euro. Si se mantuvo el aumento de los ingresos, ¿cuánto gano el último mes? ¿Cuánto ganó en total en todo el año?
59. Una granja desea prever las necesidades de pienso para las aves, las cuales aumentarán en progresión aritmética a medida que las aves vayan creciendo. Si la primera semana necesitan 100 kg de pienso, y la tercera, 140 kg, ¿cuántos kilos necesitarán durante 15 semanas?
60. Para preparar un examen, Erlantz se ha propuesto un plan de estudios: el primer día quiere estudiar un cuarto de hora, el segundo día media hora, el tercero tres cuartos de hora. ¿Cuántos días tendrá que estudiar para llegar a 4 horas? ¿Cuánto tiempo habrá estudiado en total?
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61. Dos clases de 3º de ESO están haciendo construcciones con canicas en forma de pirámide triangular. Los de 3º A ponen en la fila de abajo 58 canicas y en cada fila una canica menos, y los de 3º B ponen en la fila de abajo 151 canicas y en cada fila 3 canicas menos. Los dos grupos acaban poniendo en la última fila una sola canica. ¿Cuántas canicas ha colocado cada grupo? ¿Cuántos pisos tiene cada pirámide?
62. Calcula el término general de las siguientes sucesiones. Señala aquellas que sean progresiones aritméticas o geométricas: a)
{2, 6,18, 54,...}
j)
{7, 21, 63,...}
b)
{2, 3, 4, 5,...}
k)
{40, 37, 34, 31,...}
c)
{−3, −5, −7, −9,...}
l)
{4, 8,12,16,...}
d)
{3, 8,15, 24,...}
m)
{500,100, 20 , 4 ,...}
e)
{2, −2, 2, −2,...}
n)
{−2, −4, −6, −8,...}
f)
{1, 8, 27, 64,...}
o)
{144, 36, 9,...}
g)
{−30, −28, −26, −24 ,...}
p)
{100, 50, 0, −50,...}
h)
⎧5 5 5 5 ⎫ ⎨ , , , ,... ⎬ ⎩ 3 9 27 81 ⎭
q)
⎧1 3 5 7 ⎫ ⎨ , , , ,... ⎬ ⎩2 3 4 5 ⎭
i)
⎧2 1 3 9 ⎫ ⎨ , , , ,... ⎬ 3 2 8 32 ⎩ ⎭
r)
⎧3 7 9 ⎫ ⎨ ,1, , ,... ⎬ ⎩5 5 5 ⎭
63. Calcula la razón de una progresión geométrica sabiendo que a3 = 16 y a7 = 1.
64. Un chico cuenta un secreto a tres amigos, los cuales a los cinco minutos ya se lo han contado a otros tres amigos cada uno. Si se repite la misma operación cada cinco minutos indefinidamente, ¿cuánto tardarán en saber el secreto los 729 alumnos de un colegio?
65. Un afortunado jugador de bingo gana el primer día 30 euros; el segundo día 90 euros; el tercer día, 150 euros, y así, durante seis días. Sabiendo que el primer día jugó 3 euros, el segundo 12 euros, el tercero 48 euros y así sucesivamente, hacer el balance a los seis días.
66. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica de 9 términos, sabiendo que a9 = 192 y a1 = 12? Calcula la suma de sus términos y el quinto término.
72 SUCESIONES
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67. Un mendigo pidió hospitalidad a un avaro haciéndole la siguiente proposición: Yo le pagare 6 euros el primer día, 12 euros el segundo, 18 euros el tercero y así sucesivamente durante 30 días, en cambio usted me dará 0'01 euro el primer día, 0'02 euros el segundo, 0'04 el tercero y así sucesivamente. El avaro encontró interesante la proposición y consintió en este arreglo. Liquidad la cuenta al cabo de 30 días.
68. El perímetro de un triángulo rectángulo es 1'8 m. Calcula la longitud de sus lados sabiendo que están en progresión aritmética.
69. Un coronel que manda 2.485 soldados los quiere formar en triángulo, de tal forma, que la primera fila tenga un soldado, la segunda 2, la tercera 3, y así sucesivamente. ¿Cuántas filas podrá formar?
70. Un avión de papel avanza en línea recta y cada segundo progresa la mitad de lo recorrido en el segundo anterior. Si sabes que en el primer segundo avanzó 10 m. ¿Llegará a tocar una pared que está a 18 m de distancia?
71. Carlos quiere colocar su colección de 5050 soldados de plomo en un tablero formando un triángulo de la siguiente manera: en la primera coloca uno, en la segunda dos, en la tercera tres, y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá el triangulo?
72. Pepe y Juan deciden apuntarse al maratón de su ciudad. Con el fin de conseguir una buena forma física, deciden realizar el siguiente entrenamiento: recorrer el primer día 4 km e ir aumentando sucesivamente 3 km cada día. Busca una expresión que nos dé los kilómetros recorridos según el número de días.
73. Un coche deportivo costó inicialmente 48000 €. Al cabo de dos años se vendió por la mitad de precio; pasados otros dos años se volvió a vender a la mitad del último precio, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó el coche al décimo propietario? ¿Qué cantidad se pago en total por los seis primeros propietarios?
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SUCESIONES
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PARA ENTRENAR 1. Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas: a) 3,9,15,21... b) 3,9,27,81... c) 3,9,15,27... 2. Halla la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas: a) 3, 9, 15, 21... b) a3 = 2 y a5 = 6 3. Halla la razón de las siguientes progresiones geométricas: a) 3,9,27,81... b) a3 = 2 y a5 = 6 4. Determina el término general de las progresiones aritméticas siguientes: a) 3,9,15,21... b) a3 = 2 y a5 = 6 c) d = 4 y a4 = 5 5. Determina el término general de las progresiones geométricas siguientes: a) 3,9,27,81... b) a3 = 9 y a5 = 81 c) r = 4 y a4 = 128 6. La sucesión 1,2,3,4,5… tiene por término general an = n. La sucesión 2,4,8,16… tiene por término general an = 2n. Halla el término general de estas sucesiones: a)
⎧ 1 1 1 ⎫ ⎨1, , , ,... ⎬ ⎩ 2 3 4 ⎭
b)
⎧ 5 6 7 ⎫ ⎨ 4, , , ,... ⎬ ⎩ 2 3 4 ⎭
c)
⎧1 1 1 1 ⎫ ⎨ , , , ,... ⎬ ⎩ 2 4 8 16 ⎭
d)
⎧ 1 3 7 15 ⎫ ⎨ , , , ,... ⎬ ⎩ 2 4 8 16 ⎭
⎧2 2 2 2 ⎫ 7. Dada la sucesión : ⎨ , , , ,... ⎬ ⎩ 3 9 27 81 ⎭ a) Comprueba que es una progresión geométrica. b) Calcula el término 10.
8. Entre las siguientes progresiones, identifica las aritméticas y las geométricas. Indica en cada caso cuál es la diferencia o la razón: a) 2, 4, 8, 16… b) 4, 12, 36, 108… c) 20, 40, 60, 80… d)
2 4 8 16 , , , ... 3 9 27 81
e) 2, -4, 8, -16, 32… f) 6, 3, … g) 2, -2, 2, -2… h)
2 , 2, 2 2 , 4...
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19. Comprueba que la sucesión de término general an = 4n - 5 es una progresión aritmética y halla su diferencia. ¿Es 395 un término de la progresión? ¿Qué lugar ocupa? ¿Es 900 un término de la progresión? 10. Escribe una progresión aritmética cualquiera. Después multiplica cada término por un número distinto de cero. Prueba que obtienes otra progresión aritmética indicando la nueva diferencia. 11. Considera las progresiones aritméticas: an = {4, 7,10,13,16,19, 22, 25 }
bn = {1, 3, 5, 7, 9,11,13,15}
a) Escribe las progresiones opuestas, es decir, -an y bn. Comprueba que también son progresiones aritméticas. ¿Cuál es la diferencia de cada una? b) Suma an + bn sumando los términos del mismo orden. ¿Es la suma otra progresión aritmética? c) ¿Cuál es la diferencia de la progresión an - bn? 12. ¿Existe una progresión aritmética que empiece por 5 y cuyo sexto término sea 7? 13. Calcula el número de pisos de un hotel sabiendo que la primero planta tiene una altura de 4 m, que la azotea está a 37 m del suelo y que la altura de cada piso es de 2'75 m. 14. Calcula la distancia que recorre un peón que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles de un lado de la calzada, sabiendo que el primer árbol dista del pozo 10 m. y entre sí distan 6 m. y al final deja el cubo al lado del pozo. 15. En una población que cuenta con 29524 habitantes mayores de siete años, uno de ellos se entera de una noticia en un cierto instante. Al cabo de un minuto lo ha comunicado a tres de sus amigos. Cada uno de estos lo comunica en otro minuto a otra tres personas distintas, las cuales continúan extendiendo la noticia de igual modo, y así sucesivamente. ¿Al cabo de cuanto tiempo se habrán enterado todos los habitantes mayores de siete años? 16. ¿Cuánto dinero llevó Mercedes a sus vacaciones si el primer día gastó 200 euros, cada día que pasaba gastaba menos a razón de 5 euros diarios y el dinero le duró 20 días? 17. Halla los tres primeros términos de las siguientes sucesiones: a)
an = n2 + 3
b)
an =
c)
an =
d)
an = an− 2 − 2 ⋅ a n− 1; a 1 = 3 y a 2 = 1
3n − 2 6n
(−1)
2
n
n +1
18. Se ha remodelado una carretera entre dos ciudades y se quieren situar 5 gasolineras en ella. En el kilómetro 135 se sitúa la primera y en el kilómetro 335 se localiza la última gasolinera. ¿Dónde deberán situarse las otras gasolineras si las cinco deben encontrarse a la misma distancia? 19. En el año 1970 por el alquiler de una casa se acuerda pagar 15000 pesetas al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 pesetas mensuales. ¿Cuánto dinero se pagará mensualmente en el año 1990? ¿Cuánto dinero se habrá pagado desde el inicio del alquiler hasta el final del año 2000? 20. Se cuenta que hace muchos años un tratante de ganado propuso a un señor el siguiente negocio: "Yo le vendo este caballo a condición de que usted me pague un céntimo por el primer clavo de la herradura del caballo, dos céntimos por el segundo clavo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente hasta llegar al clavo 32, que es el último". Averigua el precio del caballo.
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SUCESIONES
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21. En el laboratorio de Ciencias Naturales se realiza un experimento para observar el crecimiento de las bacterias XY34 que se reproducen por bipartición (es decir, cada bacteria al cabo de 30 segundos se divide en dos nuevas bacterias). Partiendo a las doce del mediodía de un cultivo de 100 bacterias, intenta escribir la cantidad de bacterias que debe haber al cabo de medio minuto, un minuto y cinco minutos. ¿Cuántas bacterias habrá aproximadamente a las doce y media? 22. Alberto decide ahorrar y guarda en la hucha 1€ la primera semana, 1'25 € la segunda y 1'5 € la tercera y así sucesivamente. ¿Cuánto tiene ahorrado al cabo de 20 semanas? 23. En una prueba de laboratorio se ha comprobado que el número de bacterias crece en progresión geométrica a medida que pasan los días. Si al iniciarse el experimento había 250.000 y el sexto día 8.000.000, ¿cuántas bacterias había los días 2º, 3º, 4º y 5º? 24. En una granja hay 200 pollos y cada día nacen 15. ¿Cuántos hay al cabo de 20 días si no ha muerto ninguno? 25. Un buscador de oro encuentra el primer día 3 g de dicho metal y cada día consigue doble cantidad que el día anterior. ¿Cuánto oro reunió en 15 días? 26. Halla los cinco primeros términos de las sucesiones cuya ley de recurrencia es: a)
a1 = 2; a n = a n− 1 + 2n (n > 1)
b)
a1 = a 2 = 1; a n = a n− 1 + a n− 2 (n > 2)
27. Halla el término general de las sucesiones: a) -3, -1, 1, 3, 5… b) 1, 8, 27, 64… c) 2, 5, 10, 17, 26… d) -1, 2, -3, 4, -5… e)
1 8 27 64 , , , ... 3 5 7 9
f)
3 6 9 12 15 , , , , ... −3 1 5 9 13
g)
5 10 17 26 37 , , , , ... 3 4 5 6 7
28. Una caminante ha de recorrer 500 Km. El primer día hace 10 Km. y va aumentando cada día 2 Km. más. ¿Cuánto tardará en hacer los 500 Km.?
76 SUCESIONES
COLEGIO VIZCAYA