Matem´ aticas III (GIC y GITI, curso 2015–2016)

Lecci´ on 1. DERIVADAS PARCIALES

1. CAMPOS ESCALARES En la asignatura de “Matem´aticas III” estudiaremos el c´alculo diferencial e integral de los campos escalares y de los campos vectoriales. Los campos escalares son funciones que dependen de dos o m´ as variables y que toman valores en R. Los campos vectoriales son funciones que dependen de una o m´as variables y cuyas im´agenes son vectores; veamos algunos ejemplos simples. • La funci´on A(x, y) = xy es el campo escalar que da el ´area del rect´angulo de lados x e y. √ 2 • La funci´on r(x, y, z) = ∥(x, y, z)∥ = x + y 2 + z 2 es el campo escalar que expresa la distancia desde el punto (x, y, z) hasta el origen de coordenadas. • La funci´on ⃗r(x, y, z) = x⃗ı + y⃗ȷ + z⃗k es el campo vectorial que a cada punto (x, y, z) le asigna su vector de posici´ r(x, y, z) es el m´odulo de ⃗r(x, y, z). (on. En consecuencia, ) • La funci´on ⃗r(t) = cos(t), sen(t) , con t ∈ [0, 2π], es un campo vectorial cuya imagen es la circunferencia unidad. • La funci´on ( ) ⃗k x⃗ ı + y⃗ ȷ + z ⃗r(x, y, z) ⃗ F(x, y, z) = −GM m √ = −GM m 3 3 ∥⃗r(x, y, z)∥ (x2 + y 2 + z 2 ) es el campo vectorial que expresa la fuerza de atracci´on que ejerce la Tierra sobre una masa m situada en el punto (x, y, z), siendo M la masa de la Tierra (en cuyo centro se sit´ ua el origen de coordenadas) y G la constante de gravitaci´ on universal de Newton. En las aplicaciones a la geometr´ıa, la f´ısica y otras ciencias, los campos escalares son funciones que representan valores de magnitudes escalares como la longitud, el ´area, el volumen, la densidad, la masa, la energ´ıa o el trabajo desarrollado por una fuerza. Los campos vectoriales son funciones que representan magnitudes vectoriales como la posici´on, la velocidad, la aceleraci´on o la fuerza. Veremos que hay un salto cualitativo con respecto a las funciones de una variable; en general, ni el concepto de derivada, ni los diversos conceptos de integral son simples traslaciones componente a componente de los ya conocidos; ser´a necesario desarrollar ideas y conceptos nuevos. Campo escalar. Un campo escalar de dos variables es una funci´on f que asigna a cada punto (x, y) de un conjunto U ⊂ R2 un u ´nico n´ umero real f (x, y), lo que se suele indicar como f : (x, y) ∈ U ⊂ R2 → f (x, y) ∈ R. El conjunto U en el que f est´ a definido se llama dominio de definici´ on de f . Un campo escalar de tres variables f : (x, y, z) ∈ U ⊂ R3 → f (x, y, z) ∈ R es una funci´on que asigna a cada punto (x, y, z) de su dominio de definici´on U ⊂ R3 , un n´ umero real f (x, y, z). Algunas observaciones sobre la notaci´ on. (1) Como los campos escalares suelen venir dados en funci´on de la posici´on, se usa una notaci´on vectorial en la que se identifica un punto con su vector de posici´ on, o radio-vector, ⃗r = (x, y) = x⃗ı + y⃗ȷ, o bien, ⃗r = (x, y, z) = x⃗ı + y⃗ȷ + z⃗k en el caso tridimensional, y los campos escalares son funciones que asignan a cada ⃗r un valor real f (⃗r). 1

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[ ] x (2) Es habitual, como has visto en “Matem´aticas I”, escribir los vectores en columna, ⃗r = . y Sin embargo, en esta asignatura y mientras no haya posibilidad de confusi´on, mantendremos por comodidad la notaci´ campo escalar f en [on ]como vectores-fila. As´ı, para indicar el valor de ([un]) x x un punto P = ⃗r = , escribiremos f (P ), f (⃗r) o f (x, y), pero no f . No obstante, en y y algunos casos especiales s´ı ser´a importante distinguir entre vectores-fila y vectores-columna, lo que se indicar´a oportunamente. (3) En general, usaremos los campos de dos variables para justificar las definiciones y obtener interpretaciones geom´etricas que se pueden visualizar s´olo con dos variables, pero enunciaremos los principales resultados para campos de tres variables, que es el contexto natural de aplicaci´on de los resultados. Por tanto, casi todo lo que digamos valdr´ a para campos de dos variables, sin m´as que suprimir la variable z. Cuando exista alguna diferencia notable, (por ejemplo, en la noci´on de rotacional), la especificaremos para campos de dos variables y campos de tres. Polinomios. Los campos escalares m´as simples son los polinomios. Un monomio de dos variables x e y es un producto de la forma axm y n , donde m y n son n´ umeros enteros no negativos y a es un coeficiente escalar; el grado del monomio es la suma m + n de los exponentes de las variables. El area de un rect´angulo A(x, y) = xy es un ejemplo de un monomio de grado 2 con dos variables. ´ Para tres variables, un monomio es un producto de la forma axm y n z p ; el grado del monomio es la suma m + n + p de los exponentes de las variables. Un polinomio es una suma de monomios y el grado del polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen; veamos algunos ejemplos. • Los polinomios de grado 0 son las funciones constantes. • El campo escalar f (x, y) = ax + by es un polinomio de grado 1. Si usamos ⃗r = x⃗ı + y⃗ȷ y tomamos el vector constante ⃗c = a⃗ı + b⃗ȷ, entonces f se puede representar mediante el producto escalar f (⃗r) = ⃗c · ⃗r, de manera que f es la transformaci´ on lineal de R2 en R generada por ⃗c, (y an´alogamente en dimensi´on 3). • El campo f (x, y, z) = ax2 + 2bxy + cx2 es un polinomio de grado 2 que podemos escribir [

a b f (x, y) = [x y] b c

][ ] x y

y, como atica generada por la matriz [ se ]ha visto en “Matem´aticas I”, es la forma cuadr´ a b A= . Alternativamente, podemos escribir f (⃗r) = ⃗rT A⃗r = ⃗r · A⃗r. b c An´alogamente, la forma cuadr´atica generada en R3 por una matriz sim´etrica 3 × 3 con esta misma expresi´on es un polinomio de grado 2 en tres variables. • En particular, la funci´on r2 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , que es el cuadrado de la distancia desde (x, y, z) hasta el origen de coordenadas, es un polinomio de grado 2 y tres variables que es la forma cuadr´atica generada en R3 por la matriz identidad. • El campo f (x, y) = 3x3 y 2 − xy 4 + 3xy − 2 es un polinomio de grado 5 en dos variables. • El campo f (x, y, z) = x2 yz +z 2 y −3xy −2z +2 es un polinomio de grado 4 en tres variables. Observaciones. Casi todos los campos que aparecen en la pr´actica se obtienen aplicando a un polinomio en varias variables las operaciones habituales y las funciones elementales de una variable. A veces se trabaja tambi´en con funciones que proporcionan el m´aximo o m´ınimo de un conjunto finito de valores; f (x, y) = m´ax{|x| , |y|}, por ejemplo.

1. Derivadas parciales

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En estos casos tenemos, como regla general, que el dominio de definici´on de un campo escalar de varias variables dado por una o varias f´ormulas es el conjunto m´as grande en el que dichas f´ormulas tienen sentido. Veamos algunos ejemplos: • Los polinomios est´an definidos en todo R2 o R3 seg´ un sean de dos o de tres variables. • El dominio de la funci´on f (x, y) = log(1 + x − y) est´a formado por los puntos (x, y) del plano tales que 1 + x − √ y > 0; es decir, es un semiplano. • La funci´on f (x, y, z) = 1 − x2 − y 2 − z 2 est´a definida para los puntos (x, y, z) tales que x2 + y 2 + z 2 ≤ 1; es decir, su dominio es la esfera unidad de R3 . • La funci´on f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )−1 est´a definida para los puntos (x, y, z) ̸= (0, 0, 0); es decir, su dominio es todo R3 salvo el origen. Algunas nociones geom´ etricas intuitivas. Los dominios de las funciones de una variable son, casi siempre, intervalos en R que pueden ser finitos (es decir, de longitud finita) o infinitos y en los que, como mucho, se suele distinguir si el intervalo de definici´on es abierto, cerrado o semiabierto, es decir, si contiene o no alguno de sus extremos. Los dominios de las funciones de varias variables son m´as complicados y es necesario introducir algunas nociones geom´etricas intuitivas que extienden a espacios de dimensi´on dos o tres los conceptos de punto interior o extremo de un intervalo, y los de intervalo abierto, cerrado o semiabierto. Conjunto acotado. Al igual que en R se distingue entre intervalos finitos e intervalos infinitos, en el plano distinguiremos entre conjuntos acotados y conjuntos no acotados. Se dice que un conjunto U es acotado cuando existe una cota m > 0 tal que ∥A∥ ≤ m para cualquier punto A ∈ U ; es decir, cuando el conjunto U se queda totalmente contenido en un c´ırculo de radio m centrado en el origen. Cuando U no es un conjunto acotado hay puntos de U cuya distancia al origen se hace tan grande como queramos, es decir, el conjunto contiene puntos que se alejan al infinito. Los rect´angulos y los c´ırculos son ejemplos t´ıpicos de conjuntos acotados. Una recta, un semiplano o una regi´on angular son ejemplos de conjuntos no acotados. Puntos interiores y puntos de la frontera. Se dice que un punto A es interior a un conjunto plano U ⊂ R2 si existe un c´ırculo centrado en A y de radio positivo que se queda totalmente contenido en U . Se dice que un punto B est´a en la frontera de un conjunto U ⊂ R2 si en todo c´ırculo centrado en B hay puntos que est´an en U y puntos que no est´an en U .

El punto A es interior a U , el punto B est´ a en la frontera de U

Cuando U es el dominio de definici´on de un campo escalar, la diferencia esencial es que en un punto interior de U , el campo est´a definido en todo el espacio que lo que rodea, mientras que cerca de un punto de la frontera siempre hay una zona del espacio en la que el campo no est´a definido. Conjuntos abiertos y cerrados. Como hemos dicho, en el caso de las funciones de una variable se suele distinguir, para algunas cuestiones, si el intervalo de definici´on es abierto, cerrado o semiabierto. Por analog´ıa, se dice que un dominio plano U es abierto cuando ning´ un punto de su frontera est´a incluido en U o, equivalentemente, cuando todos sus puntos son interiores y se dice que U es cerrado cuando toda la frontera est´a incluida en U .

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Estas nociones se trasladan a dominios en R3 , cambiando “c´ırculo centrado en A” por “esfera centrada en A” en las definiciones anteriores. En algunos textos se usan los sin´onimos respectivos “discos” y “bolas” en vez de c´ırculos y esferas; en otros, se les llama, gen´ericamente, entornos. Ejemplo. En la mayor´ıa de los casos de inter´es, los conjuntos que aparecen como dominios de definici´on de los campos escalares son el espacio completo, rect´angulos, c´ırculos, tri´angulos, semiplanos, esferas, cubos, etc. y las nociones de interior y de frontera coinciden con lo que nos dice la intuici´ on geom´etrica. Para ilustrar esto, veamos un ejemplo simple que recoge las situaciones m´ as habituales que se pueden dar. Consideremos los siguientes conjuntos del plano: D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} U = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y > 0}

D (todo), U (s´ olo el interior m´ as claro) y C (s´ olo el borde m´ as oscuro)

• D se llama c´ırculo cerrado de radio 1, o bien c´ırculo unidad cerrado, y es un dominio cerrado, sus puntos interiores forman U y su frontera es la circunferencia C. • U se llama c´ırculo abierto de radio 1, o bien c´ırculo unidad abierto, y es un dominio abierto, as´ı que coincide con sus puntos interiores, y su frontera es la circunferencia C. • C es la circunferencia unidad y es un conjunto cerrado que no tiene puntos interiores y que coincide con su frontera. • S es un semic´ırculo cuya frontera est´a formada por el tramo de la circunferencia x2 +y 2 = 1 contenido en el semiplano superior y el intervalo [−1, 1] del eje OX. Por tanto S no es cerrado, porque no incluye a la parte de su frontera del eje OX, ni es abierto, porque s´ı incluye a los puntos de su frontera del semiplano superior. Para distinguir estas dos situaciones, en los dibujos se suele indicar con trazo continuo la parte de la frontera que s´ı pertenece al conjunto y con trazo discontinuo la parte de la frontera que no pertenece al conjunto, como se hace en la figura siguiente.

El semic´ırculo S

Con car´acter general, cuando tengamos un conjunto definido por una o varias desigualdades, ser´a abierto cuando todas las desigualdades sean estrictas; ser´a cerrado cuando ninguna de las desigualdades sea estricta y obtendremos puntos de la frontera cuando se d´e alguna igualdad. Gr´ afica de un campo escalar. Como ya sabes, la gr´afica es una herramienta esencial para estudiar las funciones de una variable y visualizar su comportamiento. Para campos escalares de dos variables tambi´en se da esta conexi´on entre las propiedades algebraicas de las f´ormulas que los definen y las propiedades geom´etricas de sus gr´aficas, que son superficies en el espacio.

1. Derivadas parciales

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Dado un campo escalar de dos variables f : U ⊂ R2 → R, su gr´ afica es el conjunto en R3 dado por {( ) } gr´afica de f = x, y, f (x, y) ∈ R3 : (x, y) ∈ U .

Superficie de ecuaci´ on z = f (x, y)

Este conjunto puede visualizarse como una superficie en R3 que se llama superficie de ecuaci´ on z = f (x, y) y se construye de la siguiente manera: se coloca el dominio U en el (plano del suelo ) y, situado sobre la vertical de cada punto (x, y) ∈ U , el punto de la superficie es x, y, f (x, y) que tiene tercera coordenada z = f (x, y). No obstante, no es f´acil dibujar a mano alzada la gr´afica de un campo escalar de dos variables con la salvedad, quiz´as, de los planos y las cu´adricas estudiadas en “Matem´aticas I”. Las p´aginas web que se recomiendan en la Bibliograf´ıa de la lecci´on permiten dibujar superficies del tipo z = f (x, y) introducidas desde el teclado. Curvas de nivel. Una forma alternativa de visualizar c´omo es una funci´on de dos variables es estudiar sus curvas de nivel, que son las curvas definidas en el plano XY por la ecuaci´on f (x, y) = k para cada n´ umero k ∈ R. Este n´ umero k representa el nivel, la altura de z, de manera que la imagen f (x, y) de todos los puntos de la curva de nivel es la misma k. Geom´etricamente, la curva de nivel f (x, y) = k se obtiene proyectando sobre el plano XY la curva intersecci´ on de la superficie z = f (x, y) con el plano horizontal de ecuaci´on z = k.

Curvas de nivel

El ejemplo t´ıpico de curvas de nivel son los mapas topogr´aficos, donde una curva de nivel indica

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los puntos del terreno que est´an a una misma altura, o los mapas meteorol´ogicos, donde las curvas de nivel, las isobaras, indican los puntos de la superficie sobre los que la presi´on es la misma.

Curvas de nivel para k = 10, 20, . . . , 50 metros

Isobaras

Las p´aginas web que se recomiendan en la Bibliograf´ıa de la lecci´on permiten dibujar las curvas de nivel de funciones f (x, y) definidas desde el teclado. Suele ser com´ un utilizar una graduaci´on de colores, normalmente de los c´alidos a los fr´ıos, para indicar la subida o bajada de nivel. Hay otro tipo de informaci´on que se puede obtener del mapa de curvas de nivel. Por ejemplo, en las zonas en las que las curvas est´an muy juntas, es decir, los intervalos entre niveles son estrechos, la superficie tiene una inclinaci´on acentuada, mientras que en las zonas en las que las curvas de nivel est´ an muy separadas lo que ocurre es que la superficie tiene poca inclinaci´on. Superficies de nivel. No es posible visualizar las superficies definidas por campos de tres variables, digamos w = f (x, y, z), porque son conjuntos de R4 . En este caso, tenemos como alternativa estudiar sus superficies de nivel, que son las superficies definidas de forma impl´ıcita en el espacio por la ecuaci´on f (x, y, z) = k para cada n´ umero k ∈ R. Por ejemplo, las superficies de nivel del campo f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 son esferas centradas en el origen. L´ımite y continuidad de un campo escalar. La noci´on de l´ımite de un campo escalar en un punto es una extensi´on directa del concepto de l´ımite para funciones de una variable; basta sustituir el valor absoluto, que nos da la distancia entre puntos de la recta real, por la norma eucl´ıdea que nos da la distancia entre puntos del plano o del espacio. Sea U el dominio de definici´on de un campo escalar f . Sea A0 un punto interior de U o bien un punto de la frontera de U al que nos podemos acercar tanto como queramos por puntos de U distintos de ´el. Diremos que L es el l´ımite de f (A) cuando A tiende a A0 , lo que escribimos l´ım f (A) = L, si para cada ε > 0 existe un n´ umero δ > 0 tal que |f (A) − L| < ε siempre que A→A0

0 < ∥A − A0 ∥ < δ y A ∈ U . Esto significa que podemos hacer los valores de f (A) tan cercanos a L como queramos en todos los puntos A de U que est´an suficientemente cercanos de A0 pero son distintos de ´el. Debemos hacer notar que en el caso de una variable s´olo nos podemos acercar al punto por la izquierda o la derecha, mientras que en el caso de varias variables nos podemos acercar al punto desde infinitas direcciones. Si A0 ∈ U , se dice que f es continuo en A0 cuando l´ım f (A) = f (A0 ) y se dice que f es un A→A0

campo escalar continuo cuando es continuo en cada punto de su dominio de definici´on. Las propiedades de los l´ımites de las sumas, productos, composiciones, etc., de funciones de dos o tres variables son similares a las de los l´ımites de funciones de una variable y, por tanto, lo mismo ocurre con la continuidad. En particular, los polinomios son funciones continuas y la composici´on

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de funciones continuas es continua, esto significa que casi todas las funciones que se utilizan en la pr´ actica resultan ser continuas. Salvo en alg´ un caso aislado de especial inter´es, no entraremos en el estudio de l´ımites de funciones de varias variables cuando tenemos indeterminaciones 0/0 o ∞/∞. ´ 1 EJERCICIOS DE LA SECCION Ejercicio 1. Para cada uno de los siguientes campos escalares, determina su dominio de definici´on, indicando su frontera y si son acotados, abiertos o cerrados, y razona si los campos son continuos. √ (1) f (x, y) = 3x2 y − x2 + y (2) f (x, y) = (9 − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 1) (3) f (x, y) = 2x/(x2 − y 2 ) (4) f (x, y) = el ´angulo√polar de (x, y) (5) f (x, y, z) = log(4 − x + 2y + z) (6) f (x, y, z) = 4y − z xz Ejercicio 2. Describe c´omo son las curvas de nivel de las siguientes superficies y dib´ ujalas: 2 2 (1) El paraboloide de revoluci´ on de ecuaci´on z = x + y . √ (2) El cono de ecuaci´on z = x2 + y 2 . ¿Qu´e parecidos y diferencias observas con respecto a las del apartado (1)? (3) El paraboloide hiperb´olico de ecuaci´on z = x2 − y 2 . (4) El plano z = 1 + x − y. (5) La superficie de ecuaci´on z = log(1 + x − y). ¿Qu´e parecidos y diferencias observas con respecto a las del apartado (4)? Ejercicio 3. Utiliza alguna de las p´aginas web recomendadas en la Bibliograf´ıa para dibujar las gr´ aficas de los campos que se dan a continuaci´ on y sus curvas de nivel. (1) f (x, y) = cos(x) + sen(y) (2) f (x, y) = xy (3) f (x, y) = 5 − x3 + xy √ 2 2 (4) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2 (5) f (x, y) = e−(x +y )/3 (6) f (x, y) = 2x2 + 1 + y 2 √ (7) f (x, y) = (3x + y) cos(xy) (8) f (x, y) = 64 − x2 (9) f (x, y) = e−x (2y 2 − x2 ) Ejercicio 4. Clasifica las superficies de nivel de (1) f (x, y, z) = x2 + y 2 (3) f (x, y, z) = z 2 − 2x2 − 2y 2 (5) f (x, y, z) = 5 − x + 2y + 3z

los siguientes campos de tres variables. (2) f (x, y, z) = z + xy 2 2 (4) f (x, y, z) = x √ + 3y − z (6) f (x, y, z) = 2x2 + 3z + 8y 2

Ejercicio 5. El campo escalar definido por { xy

si (x, y) ̸= (0, 0), x2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0); es un ejemplo de un campo escalar no continuo en el origen. Para comprobarlo, calcula el l´ımite del campo escalar cuando (x, y) se acerca al origen siguiendo la direcci´on de una l´ınea recta de la forma y = mx y comprueba que el valor del l´ımite depende de la inclinaci´on m. f (x, y) =

Ejercicio 6. Considera el campo escalar definido por  2  2x y si (x, y) ̸= (0, 0), x2 + y 2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0). Aunque se parece al del ejercicio anterior, este campo s´ı es continuo en el origen. Para comprobar este hecho, prueba que xy ≤ (x2 + y 2 )/2 (desarrollando la desigualdad (x − y)2 ≥ 0) y utiliza esto para acotar f superiormente y deducir que l´ım f (x, y) = 0. (x,y)→(0,0)

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2. DERIVADAS PARCIALES El objetivo principal de esta lecci´on es explicar c´omo se extiende el concepto de derivada de una funci´ on de una variable a campos escalares de varias variables. El concepto de derivada de una funci´ on f (x) surge como soluci´on del problema de trazar la recta tangente a la curva de ecuaci´on y = f (x) en un punto de la misma. Para un campo de dos variables f (x, y) nos plantearemos, en la siguiente secci´on, el problema de hallar el plano tangente a la superficie de ecuaci´on z = f (x, y) en un punto de dicha superficie y veremos que de dicho planteamiento surge, de manera natural y por analog´ıa con la definici´on de derivada, la noci´on de diferencial de un campo escalar de dos variables. En esta analog´ıa desempe˜ nan un papel fundamental las derivadas parciales que son las que se obtienen derivando una funci´on de varias variables con respecto a una de ellas cuando se dejan las dem´as constantes. En esta secci´on estudiamos las derivadas parciales y su interpretaci´ on geom´etrica. Derivadas parciales. Sea f : U ⊂ R2 → R una funci´on de dos variables y sea (a, b) un punto interior al conjunto U . La derivada parcial de f con respecto a x en el punto (a, b) es, si existe el l´ımite, el n´ umero ∂f f (x, b) − f (a, b) (a, b) = l´ım . x→a ∂x x−a O sea, la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) se calcula derivando la funci´on f con respecto a su variable x mientras mantenemos su variable y constante e igual a b. An´ alogamente, la derivada parcial de f con respecto a y en el punto (a, b) es, si existe el l´ımite, el n´ umero ∂f f (a, y) − f (a, b) (a, b) = l´ım . y→b ∂y y−b O sea, la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) se calcula derivando f con respecto a y mientras mantenemos x = a constante. En algunos libros se emplean los incrementos de las variables, ∆x = x − a, ∆y = y − b, en los l´ımites que definen las derivadas parciales: ∂f f (a + ∆x, b) − f (a, b) (a, b) = l´ım ∆x→0 ∂x ∆x

∂f f (a, b + ∆y) − f (a, b) (a, b) = l´ım . ∆y→0 ∂y ∆y

∂f ∂f ∂f , , como los valores que se ∂x ∂y ∂z obtienen al derivar con respecto a una de ellas manteniendo las otras dos constantes; por ejemplo Para el caso de tres variables, se definen las derivadas parciales

f (a, b, c + ∆z) − f (a, b, c) ∂f f (a, b, z) − f (a, b, c) (a, b, c) = l´ım = l´ım . z→c ∆z→0 ∂z z−c ∆z Ejemplo. En la pr´actica, para calcular una derivada parcial no se aplica el l´ımite que la define, sino que se emplean las reglas habituales de derivaci´ on de funciones de una variable con la variable con respecto a la cual queremos derivar parcialmente, manteniendo constantes las dem´as variables. Por ejemplo, si tenemos el campo f (x, y) = sen(x2 y) + x − x3 y y queremos hallar sus derivadas parciales en el punto (1, −2) hacemos lo siguiente: para hallar la derivada parcial con respecto a x, suponemos que la y es constante y derivamos como funci´on de x: ∂f = 2xy cos(x2 y) + 1 − 3x2 y ∂x

luego

∂f (1, −2) = −4 cos(−2) + 7 ≈ 8.66. ∂x

1. Derivadas parciales

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Para hallar su derivada parcial con respecto a y, suponemos que la x es constante y derivamos como funci´on de y: ∂f = x2 cos(x2 y) − x3 ∂y

luego

∂f (1, −2) = cos(−2) − 1 ≈ −1.42. ∂y

Otras notaciones. Hay otras notaciones muy extendidas para denotar las derivadas parciales. Por ejemplo, si expresamos una variable u como funci´on de x, y, z, digamos u = f (x, y, z), entonces las derivadas parciales pueden aparecer escritas en diversos textos de las siguientes maneras: ∂u ∂f = fx = Dx f = ux = ; ∂x ∂x

∂f ∂u = fy = Dy f = uy = ; ∂y ∂y

∂f ∂u = fz = Dz f = u z = . ∂z ∂z

∂f Nosotros casi siempre usaremos o fx . En algunos casos se manejan campos escalares u(x, y, z, t) ∂x que dependen de tres variables espaciales x, y, z y del tiempo t. En estos casos, para la derivada ∂u parcial con respecto a t se emplea a veces la notaci´on de Newton con un punto sobreescrito: u˙ = . ∂t Interpretaci´ on geom´ etrica de las derivadas parciales. Si consideramos el punto P = (a, b, c) en la gr´afica de f , de manera que c = f (a, b), y cortamos dicha superficie con el plano de ecuaci´on y = b, obtenemos una curva C1 en dicho plano. Entonces la derivada parcial fx (a, b) es la pendiente de la recta ( tangente)a esta curva en P . La curva C1 viene dada, por ejemplo, por la parametrizaci´on ⃗r1 (t) = t, b, f (t, b) , con lo que P = ⃗r1 (a) y el vector tangente a esta curva en el punto P es ( ) ⃗ 1 = ⃗r′ (a) = 1, 0, fx (a, b) . T 1

Interpretaci´ on geom´ etrica de

∂f ∂f (izquierda) y de (derecha) ∂x ∂y

An´ alogamente, la derivada parcial fy (a, b) es la pendiente de la recta tangente en el punto P a la curva C2 que resulta de cortar la gr´afica( de f con )el plano x = a. La curva C2 viene dada, por ejemplo, por la parametrizaci´on ⃗r2 (t) = a, t, f (a, t) , con lo que P = ⃗r2 (b) y el vector tangente en ( ) ⃗ 2 = ⃗r′ (b) = 0, 1, fy (a, b) . P es T 2 En la siguiente secci´on usaremos estas interpretaciones de las derivadas parciales como las terceras ⃗1 y T ⃗ 2 para resolver el problema de hallar el plano tangente a la componentes de los vectores T superficie z = f (x, y) en P .

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Derivadas parciales segundas. Cuando existen las derivadas parciales de un campo escalar f en cada punto del dominio U se pueden definir las funciones derivadas parciales de f dadas por ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f :A ∈ U → (A) ∈ R, :A ∈ U → (A) ∈ R, :A ∈ U → (A) ∈ R. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z En el ejemplo del campo f (x, y) = sen(x2 y) + x − x3 y, vimos que ∂f ∂f (x, y) = 2xy cos(x2 y) + 1 − 3x2 y, (x, y) = x2 cos(x2 y) − x3 . ∂x ∂y Las derivadas parciales de una funci´on se suelen llamar derivadas parciales de primer orden porque s´ olo se deriva una vez. A su vez, las funciones derivadas parciales de primer orden podr´ıan ser derivables parcialmente, lo que nos lleva a plantear el proceso de derivaci´ on sucesiva introduciendo los conceptos de derivadas parciales segundas, terceras, etc. Sea f : U ⊂ R2 → R una funci´on definida en un conjunto abierto U para la que existen sus funciones ∂f ∂f ∂f ∂f derivadas parciales primeras , : U → R. Las derivadas parciales de estas funciones y ∂x ∂y ∂x ∂y se llaman, si existen, derivadas parciales segundas de f y pueden ser cuatro, cuyas notaciones habituales damos a continuaci´ on: • Derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces ( ) ∂f ( ) ∂ ∂ ∂f ∂2f ∂x = = = fxx = Dxx f. ∂x ∂x ∂x ∂x2 • Derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de x y luego de y ( ) ∂f ( ) ∂ ∂ ∂f ∂2f ∂x = = = fxy = Dxy f. ∂y ∂y ∂x ∂y∂x • Derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de y y luego de x ( ) ∂f ( ) ∂ ∂ ∂f ∂2f ∂y = = = fyx = Dyx f. ∂x ∂x ∂y ∂x∂y • Derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces ( ) ∂f ( ) ∂ ∂ ∂f ∂2f ∂y = = = fyy = Dyy f. ∂y ∂y ∂y ∂y 2 Volviendo al ejemplo del campo f (x, y) = sen(x2 y) + x − x3 y, tendr´ıamos ∂(2xy cos(x2 y) + 1 − 3x2 y) = 2y cos(x2 y) − (2xy)2 sen(x2 y) − 6xy, ∂x ∂(2xy cos(x2 y) + 1 − 3x2 y) fxy = = 2x cos(x2 y) − (2xy)(x2 ) sen(x2 y) − 3x2 , ∂y ∂(x2 cos(x2 y) − x3 ) fyx = = 2x cos(x2 y) − x2 (2xy) sen(x2 y) − 3x2 , ∂x ∂(x2 cos(x2 y) − x3 ) fyy = = −x4 sen(x2 y). ∂y Observemos que se cumple fxy = fyx . Pues bien, veremos luego que esta igualdad se da en todos los casos que aparecen en las aplicaciones habituales. fxx =

1. Derivadas parciales

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Derivadas parciales terceras. Reiterando el proceso, a partir de las derivadas parciales segundas se definen las derivadas parciales terceras de f que son ocho (aunque veremos que las derivadas cruzadas coinciden en general): ∂3f ∂x∂x∂x

∂3f ∂x∂x∂y

∂3f ∂x∂y∂x

∂3f ∂y∂x∂x

∂3f ∂x∂y∂y

∂3f ∂y∂x∂y

∂3f ∂y∂y∂x

∂3f ∂y∂y∂y

En el caso de campos de tres variables, hay tres derivadas parciales primeras, nueve derivadas parciales segundas, 27 derivadas parciales terceras, etc. Funciones de clase C n . Sea f : U → R un campo escalar definido en un conjunto abierto U . Diremos que f es de clase C n (U ) si existen todas las derivadas parciales de orden 1, 2, 3, . . . , n y son continuas en U y que f es de clase C ∞ (U ) si existen sus derivadas parciales de todos los ordenes y son continuas, el caso habitual en las aplicaciones. ´ Teorema de Schwarz de igualdad de las derivadas cruzadas. Sea f : U ⊂ R2 → R un campo escalar de clase C 2 (U ). Entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales en U , es decir, fxy = fyx en U . Para campos de clase C 2 de tres variables, lo que tenemos es la igualdad entre cada par de derivadas cruzadas: fxy = fyx , fxz = fzx y fyz = fzy . Matriz hessiana de un campo escalar. Si f : U ⊂ R2 → R es un campo escalar de dos variables de clase C 2 (U ), las derivadas parciales segundas de f se agrupan en una matriz  2  ∂2f ∂ f  ∂x2 ∂y∂x   D2 f =   ∂2f ∂2f  ∂x∂y ∂y 2 que es sim´etrica por el teorema de Schwarz y se llama matriz hessiana de f o, en algunos textos, diferencial segunda de f . Cuando estudiemos la diferenciabilidad de los campos vectoriales veremos que D2 f es, precisamente, la diferencial del campo vectorial Df . Cuando el campo escalar depende de tres variables y es de clase C 2 , su matriz hessiana es  2  ∂2f ∂2f ∂ f  ∂x2 ∂y∂x ∂z∂x   2  2 2   ∂ f ∂ f ∂ f  D2 f =   ∂x∂y  2 ∂y ∂z∂y   2 2 2  ∂ f ∂ f ∂ f  ∂x∂z ∂y∂z ∂z 2 que tambi´en es sim´etrica por el teorema de Schwarz. ´ 2 EJERCICIOS DE LA SECCION Ejercicio 1. Calcula las funciones derivadas parciales de las siguientes funciones y su valor en el origen de coordenadas y el punto (1, 2) (1) (3) (5) (7) (9)

f (x, y) = cos(x) + sen(y) 2 2 f (x, y) = e−(x +y )/3 f (x, y) = (3x + y) cos(xy) f (x, y) = e−x((2y 2 − x2)) f (x, y) = sen π(x + y)

(2) (4) (6) (8) (10)

f (x, y) = xy 2 2 f (x, y) = x √ + 2xy + 3y f (x, y) = 64 − x2 f (x, y) = x2 + 2xy − y 2 f (x, y) = log(1 + 2x2 + 3y 2 )

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Ejercicio 2. Sean ⃗r = (x, y, z) el vector de posici´on de un punto en R3 y r = ∥⃗r∥ su distancia al origen. Determina las derivadas parciales de los siguientes campos. (1) f (⃗r) = rn para n = ±1, ±2, . . . en su dominio de definici´on (en el caso n = 1, hay que estudiar con detenimiento qu´e pasa en el origen de coordenadas). (2) La aplicaci´on lineal f (⃗r) = ⃗c · ⃗r, siendo ⃗c un vector constante. (3) La forma cuadr´atica f (⃗r) = ⃗r · A⃗r, siendo A una matriz 3 × 3 constante. Ejercicio 3. Calcula las matrices hessianas de los campos escalares del Ejercicio 1. Ejercicio 4. Calcula las matriz hessiana de una forma cuadr´atica. Ejercicio 5. Calcula las tres derivadas parciales primeras y las nueve derivadas parciales segundas de los campos f1 (x, y, z) = xyz f2 (x, y, z) = cos(zx) + sen(xy) xz 2 f3 (x, y, z) = e − z xy + cos(x + y) f4 (x, y, z) = 2 + xz − 3xyz + xz 2 + 2y 2 zx Ejercicio 6. Prueba que las siguientes funciones cumplen las ecuaciones que se indican. 2 ∂u −t 2∂ u (1) u(x, t) = e cos(x/c) cumple la ecuaci´ on del calor =c (c es una constante). ∂t ∂x2 2 2 ∂ u 2∂ u (2) u(x, t) = (x − ωt)2 cumple la ecuaci´ on de ondas = ω (ω es una constante). ∂t2 ∂x2 ∂2u ∂2u (3) u(x, t) = sen(nx) cos(nωt) cumple la ecuaci´on de ondas 2 = ω 2 2 (ω es una constante ∂t ∂x y n un n´ umero entero). ∂2u ∂2u (4) u(x, y) = x2 − y 2 + xy cumple la ecuaci´ on de Laplace + 2 = 0. ∂x2 ∂y 3. CAMPOS ESCALARES DIFERENCIABLES El problema del plano tangente. Dados f : U ⊂ R2 → R un campo escalar (de dos variables y ) (a, b) un punto interior al conjunto U , tomamos el correspondiente punto P = a, b, f (a, b) de la gr´ afica de f , la superficie z = f (x, y). ¿Existe el plano tangente a la gr´afica de f en P y, en ese caso, cu´al es su ecuaci´on?

Plano tangente

Si usamos la interpretaci´ on geom´etrica de las derivadas parciales vista antes, la noci´on intuitiva de plano tangente nos dice que las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 deben quedar (contenidas en) ⃗ 1 = 1, 0, fx (a, b) dicho plano. Por tanto, el vector normal al plano tangente debe ser ortogonal a T ( ) ⃗ 2 = 0, 1, fy (a, b) . as´ı que podemos tomar como vector normal el producto vectorial yaT ) ( ) ( ) ( ∂f ∂f ∂f ∂f ⃗ ⃗ ⃗n = T1 × T2 = 1, 0, (a, b) × 0, 1, (a, b) = − (a, b), − (a, b), 1 ∂x ∂y ∂x ∂y

1. Derivadas parciales

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con lo que( el plano tangente debe ser el que tiene vector normal ⃗n = (−fx (a, b), −fy (a, b), 1) y pasa ) por P = a, b, f (a, b) , cuya ecuaci´on es z = f (a, b) +

( ) ∂f ( ) ∂f (a, b) x − a + (a, b) y − b . ∂x ∂y

Vectores en el plano tangente

Ejemplo. Consideremos el punto (1, 2, 2) en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 9. De acuerdo con lo que sabemos de geometr´ıa, el plano tangente a la esfera en dicho punto es el que tiene√como vector normal el radio-vector (1, 2, 2) del propio punto. Si escribimos la superficie como z = 9 − x2 − y 2 y calculamos las derivadas parciales obtenemos ∂z −2x (1, 2) = −1/2 (1, 2) = √ ∂x 2 9 − x2 − y 2

∂z −2y (1, 2) = −1 (1, 2) = √ ∂y 2 9 − x2 − y 2

con lo que, seg´ un lo visto antes, el vector normal es ⃗n = (−(−1/2), −(−1), 1) = (1/2, 1, 1) que, efectivamente, es paralelo a (1, 2, 2). Ejemplo patol´ ogico. De acuerdo con los argumentos previos, siempre que las derivadas ( existan ) ( ) parciales de f en (a, b) es posible construir el plano z = f (a, b) + fx (a, b) x − a + fy (a, b) y − b y este(plano es el)u ´nico candidato a ser el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P = a, b, f (a, b) . Sin embargo, esta construcci´on no siempre proporciona un plano tangente satisfactorio. Consideremos la superficie de ecuaci´on z = f (x, y) siendo f el campo escalar  

2x2 y x2 + y 2 f (x, y) =  0

si (x, y) ̸= (0, 0), si (x, y) = (0, 0).

Este campo escalar es continuo en todo el plano (v´ease el Ejercicio 6 de la primera secci´on), as´ı que tiene sentido plantearse cu´al es plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el origen (0, 0). Para ello, calculamos las derivadas parciales f (x, 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım = 0, x→0 ∂x x

∂f f (0, y) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = 0, y→0 ∂y x

con lo que la ecuaci´on del plano tangente saldr´ıa z = 0, o sea, el plano XY .

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Matem´ aticas III (GIC y GITI, 2015–2016)

La superficie z =

2x2 y y la recta x = y = z (en rojo) (x2 + y 2 )

Ahora bien, como se aprecia en el dibujo, cuando nos acercamos al origen por una direcci´on distinta a la del eje OX o a la del eje OY , la superficie parece seguir una recta inclinada y no se pega al plano tangente cerca del origen. Por ejemplo, la recta dada por x = y = z est´ a contenida en la superficie y pasa por el origen, por lo que deber´ıa estar contenida en el plano tangente z = 0. Sin embargo, esto no ocurre, lo que va en contra de la idea intuitiva de qu´e propiedades debe tener un plano tangente. Discusi´ on. En resumen, si existen las derivadas parciales, entonces el plano de ecuaci´on z = f (a, b) +

( ) ∂f ( ) ∂f (a, b) x − a + (a, b) y − b ∂x ∂y

es el u ´nico candidato a ser el plano tangente a la gr´afica de f en P = (a, b, f (a, b)) pero hay que imponer condiciones adicionales a la mera existencia de las derivadas parciales para que la definici´ on de plano tangente sea satisfactoria. Para funciones de una variable, la recta tangente es la recta que mejor se aproxima a la funci´on cerca del punto de tangencia. La idea clave es imponer una condici´on que refleje la noci´on intuitiva de que el plano tangente debe aproximarse bien a la superficie cerca del punto P . Para ello, observemos que la definici´on de derivada para funciones de una variable, f (x) − f (a) x→a x−a

f ′ (a) = l´ım puede ser reescrita de la siguiente forma

( ) f (x) − f (a) + f ′ (a)(x − a) = 0. l´ım x→a |x − a| Esta igualdad nos dice que la diferencia entre los valores de las ordenadas de la curva f (x) y de la recta tangente f (a) + f ′ (a)(x − a) se aproximan a cero a una velocidad mayor que la diferencia x − a entre los valores de la abscisa. Si sustituimos la ecuaci´on de la recta tangente por la ecuaci´on del plano tangente y el valor absoluto, que es la medida de la distancia en la recta, por la distancia eucl´ıdea en el plano, obtenemos la definici´on de campo escalar diferenciable.

1. Derivadas parciales

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Campo escalar diferenciable de dos variables. Se dice que un campo escalar f es diferenciable en un punto (a, b) interior a su dominio de definici´on si existen sus derivadas parciales en ese punto y se cumple [ ( ) ( )] f (x, y) − f (a, b) + fx (a, b) x − a + fy (a, b) y − b √ l´ım = 0. (x,y)→(a,b) (x − a)2 + (y − b)2 Observemos que lo que aparece entre corchetes en el numerador es, precisamente, el valor de la coordenada z que proporciona el candidato a plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P = (a, b, f (, b)). Veremos en la secci´on siguiente que, en efecto, cuando f es diferenciable, este plano contiene los vectores tangentes a todas las curvas regulares contenidas en la superficie z = f (x, y) que pasan por P . Plano tangente. Si f es diferenciable en (a, b), entonces el plano de ecuaci´on z = f (a, b) +

( ) ∂f ( ) ∂f (a, b) x − a + (a, b) y − b ∂x ∂y

es el plano tangente a la gr´ afica de f en el punto P = (a, b, f (a, b)). Resuelto el problema de la existencia y c´alculo del plano tangente, vamos a explorar con m´as detalle el concepto de campo escalar diferenciable y, en particular, c´omo podemos extender este concepto a campos que dependen de m´as variables. Diferencial de un campo escalar. Supongamos que f es un campo escalar de dos variables diferenciable en un punto (a, b) interior a su dominio de definici´on. Entonces se cumple [ ( ) ( )] f (x, y) − f (a, b) + fx (a, b) x − a + fy (a, b) y − b √ l´ım = 0. (x,y)→(a,b) (x − a)2 + (y − b)2 Ahora, si escribimos esta igualdad como )] [ ( ( ) x−a f (x, y) − f (a, b) + fx (a, b), fy (a, b) · y−b

( ) l´ım =0

(x,y)→(a,b) x − a, y − b y comparamos esta expresi´ visto para funciones de una variable, observamos ( on con la que hemos ) que el vector Df (a, b) = fx (a, b), fy (a, b) formado por las derivadas parciales interpreta, en la definici´ on de funci´on diferenciable de dos variables, el papel correspondiente a f ′ (a) en la definiici´on de derivada de una funci´on de una variable. Esto se ve a´ un m´as claramente si escribimos, por ejemplo, A0 = (a, b) y A = (x, y), entonces el campo escalar f es diferenciable en un punto A0 interior a su dominio de definici´on si se cumple [ ] f (A) − f (A0 ) + Df (A0 ) · (A − A0 ) = 0. l´ım A→A0 ∥A − A0 ∥ ( Por ello el vector Df (A0 ) =

) ∂f ∂f (A0 ), (A0 ) se llama diferencial de f en A0 . ∂x ∂y

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Campo escalar diferenciable de tres variables. Si queremos definir el concepto de campo escalar diferenciable para tres variables, no es f´acil visualizar la noci´on de tangencia a una superficie en R4 . Sin embargo, dado un punto A0 = (a, b, c) interior al dominio de definici´on de un campo f (A), con A = (x, y, z), tiene perfecto sentido plantearse si se cumple [ ] f (A) − f (A0 ) + Df (A0 ) · (A − A0 ) l´ım = 0. A→A0 ∥A − A0 ∥ (

siendo Df (A0 ) =

) ∂f ∂f ∂f (A0 ), (A0 ), (A0 ) . ∂x ∂y ∂z

Cuando se cumpla que dicho l´ımite es cero diremos que el campo escalar f es diferenciable en el punto A0 y que su vector diferencial es el vector Df (A0 ) dado por las derivadas parciales con respecto a sus tres variables. Observaci´ on. Hemos visto que si f es un campo escalar diferenciable en un punto A, entonces las derivadas parciales de f en A forman el vector diferencial Df (A). Por tanto, para comprobar si un campo escalar es diferenciable en un punto A, lo primero que se deber´ıa hacer es calcular sus derivadas parciales en dicho punto para formar Df (A) y, luego, determinar si se verifica que [ ] f (A) − f (A0 ) + Df (A0 ) · (A − A0 ) l´ım = 0. A→A0 ∥A − A0 ∥ Este procedimiento es complicado y suele ser muy dif´ıcil; afortunadamente, hay un resultado que nos permite deducir, en todos los casos de inter´es en la pr´actica, que una funci´on es diferenciable. Este resultado se conoce como la condici´on suficiente de diferenciabilidad. Condici´ on suficiente de diferenciabilidad. Sea f : U → R un campo escalar de clase C 1 en un conjunto abierto U . Entonces f es diferenciable en todos los puntos de U . Teorema del valor medio. Sea f : U → R una funci´on de clase C 1 (U ) y sean A y B dos puntos de U tales que el segmento que une A con B est´ a contenido en U . Entonces existe un punto C en dicho segmento tal que f (B) − f (A) = Df (C) · (B − A). Operaciones con campos diferenciables. Sean f, g: U → R campos escalares diferenciables en un punto A interior a U , α, β ∈ R y n ∈ N. Entonces los campos αf + βg, f g, f n y, si g(A) ̸= 0, f /g son diferenciables en A y se verifica: D(αf + βg)= αDf + βDg, Df n = nf n−1 Df,

D(f g)= f Dg + gDf, gDf − f Dg D(f /g)= g2

donde las funciones y sus diferenciales est´an evaluados en A. Observemos que entre estas operaciones falta la composici´on. A ella le dedicaremos la siguiente secci´ on, donde veremos la regla de la cadena para campos escalares. Usando la regla de la cadena junto con las operaciones aritm´eticas que acabamos de ver se comprueba que la pr´actica totalidad de los campos escalares que aparecen en los ejemplos habituales y en las aplicaciones a la geometr´ıa y otras ciencias son diferenciables de clase C ∞ (U ).

1. Derivadas parciales

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´ 3 EJERCICIOS DE LA SECCION Ejercicio 1. Usando los resultados del Ejercicio 1 de la secci´on anterior, determina si los siguientes campos son diferenciables en su dominio de definici´on y, en ese caso, el vector diferencial correspondiente. (1) (3) (5) (7) (9)

f (x, y) = cos(x) + sen(y) 2 2 f (x, y) = e−(x +y )/3 f (x, y) = 5 − x3 + xy f (x, y) = e−x((2y 2 − x2)) f (x, y) = sen π(x + y)

(2) (4) (6) (8) (10)

f (x, y) = xy 2 2 f (x, y) = x √ + 2xy + 3y f (x, y) = 64 − x2 f (x, y) = x2 + 2xy − y 2 f (x, y) = log(1 + 2x2 + 3y 2 )

Ejercicio 2. Determina, en los siguientes casos, la ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P . (1) (3)

z = x − 3y + 4; P = (1, 0, 5) z = 5 − x2 − y 2 ; P = (1, 1, 3)

(2) (4)

z = xy; P = (0, 0, 0) z = e−2x + cos(y); P = (0, 0, 2)

Ejercicio 3. Prueba que el campo escalar del ejemplo patol´ogico (p´agina 13) no es diferenciable en el origen. 4. LA REGLA DE LA CADENA Las reglas de la cadena nos permiten calcular las derivadas parciales de una funci´on cuando cambiamos las variables independientes, lo que, como en el caso de una variable, puede simplificar algunos c´alculos. Veremos que los cambios de variable son una herramienta de gran utilidad en, por ejemplo, la integraci´ on. El caso m´as simple es cuando tenemos un campo escalar f de dos o tres variables y ahora hacemos depender dichas variables de una nueva variable independiente t; esto es lo que ocurre, por ejemplo, cuando nos interesa conocer el efecto de f sobre una curva. Regla de la cadena para una variable independiente. Sea f un campo escalar de tres variables diferenciable en su( dominio U . Sean de t tales ) x = x(t), y = y(t), z = z(t) funciones ( ) derivables ( ) que los puntos ⃗r(t) = x(t), y(t), z(t) est´ an en U . Entonces ψ(t) = f ⃗r(t) = f x(t), y(t), z(t) es una funci´on derivable y se verifica  ′  ( ) x (t) ( ) ∂f ∂f ∂f dψ ∂f dx ∂f dy ∂f dz  , , = + + = · y ′ (t)  = Df ⃗r(t) · ⃗r ′ (t). ∂x ∂y ∂z dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt z ′ (t) Si f depende s´olo de dos variables, entonces esta f´ormula es v´alida suprimiendo la coordenada z. Propiedad de tangencia a las curvas del plano tangente a una superficie. Con la regla de la cadena podemos comprobar que si f es un campo escalar de dos variables y f es diferenciable, entonces, como anunciamos en la secci´on anterior, los planos tangentes tienen la propiedad de contener los vectores tangentes a todas las curvas regulares contenidas en la superficie z = f (x, y) que pasan por el punto de tangencia. ( ) Para verlo, supongamos que C es una curva regular ⃗r(t) = x(t), y(t), z(t) totalmente contenida en la superficie z = f (x, y) y que pasa por un punto P = (a, b, f (a, b)), o sea, a = x(t0 ) y b = y(t0 ) para

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Matem´ aticas III (GIC y GITI, 2015–2016)

( ) alg´ un valor t0 , y z(t) = f x(t), y(t) para cada t. Consideremos el campo g(x, y, z) = z − f (x, y). Este campo es cero sobre todos los puntos de la curva, luego la regla de la cadena nos dice que ( ) ) d ( 0= g ⃗r(t) = Dg(⃗r(t0 )) · ⃗r ′ (t0 ). dt (t=t0 ) ( ) Ahora bien, Dg(⃗r(t0 )) = Dg(P ) = −fx (a, b), −fy (a, b), 1 = ⃗n que, como vimos en la secci´on anterior es el vector normal al plano tangente en P = ⃗r(t0 ). Por tanto, tenemos que, efectivamente, ⃗n = Dg(⃗r(t0 )) es ortogonal al vector tangente a C en P , que viene dado por ⃗r ′ (t0 ). Derivadas de orden superior. Si f y x = x(t), y = y(t), z = z(t) pueden derivarse m´as veces, entonces se puede usar la regla de la cadena para hallar las derivadas de orden superior. Volveremos sobre esto con m´as detalle cuando veamos, en la siguiente lecci´on, la derivaci´ on impl´ıcita. Vamos a ver ahora las reglas de la cadena cuando cambiamos las dos o tres variables independientes por otras nuevas; primero lo hacemos para dos variables y luego para tres. Estas reglas de la cadena son importantes porque en ciertas ocasiones permiten simplificar los c´alculos o proporcionar nuevas interpretaciones f´ısicas; en las siguientes lecciones analizaremos m´as a fondo los cambios de variable m´ as importantes y otras implicaciones de las reglas de la cadena. Regla de la cadena para dos variables independientes. Sea f (x, y) un campo escalar de clase C 1 (U ). Sean x = x(u, v) e y = y(u, v) funciones diferenciables ( ) con respecto a las nuevas variables u y v. Entonces la composici´on g(u, v) = f x(u, v), y(u, v) es diferenciable y se verifica ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y = + y = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v Observaci´ on sobre la notaci´ on. A veces se utiliza la misma letra para denotar la funci´on dependiente, sin tener en cuenta qu´e variables independientes estamos considerando en cada momento; por eso, a menudo, la regla de la cadena se escribe, usando sub´ındices, como fu = fx xu + fy yu

y

fv = fx xv + fy yv .

Se˜ nalemos el doble papel que juega f en esta expresi´on como funci´on que depende de x e y, en primer lugar, y de u y v tras el cambio. Regla de la cadena para coordenadas polares. El cambio a coordenadas polares es, seguramente, el cambio m´as importante en el plano. Veamos qu´e nos dice la regla de la cadena cuando pasamos de cartesianas a polares y viceversa. Si f (x, y) es un campo escalar dado inicialmente en variables cartesianas y hacemos el cambio a coordenadas polares, de manera que x = r cos(θ) e y = r sen(θ), entonces, de acuerdo con la regla de la cadena, las derivadas parciales de f como funci´on de las coordenadas cartesianas (x, y) est´an relacionadas con las derivadas parciales de f como funci´on de las coordenadas polares (r, θ) de la siguiente manera: ∂f ∂f ∂f xfx + yfy = cos(θ) + sen(θ) = √ ∂r ∂x ∂y x2 + y 2 ∂f ∂f ∂f = − r sen(θ) + r cos(θ) = −yfx + xfy . ∂θ ∂x ∂y Si ahora tenemos el campo f (r, θ) dado inicialmente en coordenadas polares, entonces las derivadas parciales de f como funci´on de las coordenadas cartesianas (x, y) vienen dadas por ∂f ∂f ∂f sen(θ) ∂f ∂f ∂f cos(θ) = cos(θ) − y = sen(θ) + . ∂x ∂r ∂θ r ∂y ∂r ∂θ r

1. Derivadas parciales

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Regla de la cadena para tres variables independientes. Sea f (x, y, z) un campo escalar de clase C 1 (U ). Sean x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) y z = (z(u, v, w) funciones diferenciables ) con respecto a las variables u, v y w. Entonces g(u, v, w) = f x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) es diferenciable y se verifica ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z = + + , ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z = + + , ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z = + + . ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z ∂w ´ 4 EJERCICIOS DE LA SECCION Ejercicio 1. Comprueba la igualdad de la regla de la cadena para f (x, y) = x2 + y 2 − xy + 1 en el punto (2, −1) al hacer el cambio de variables x = 2t e y = −t. Ejercicio 2. Comprueba la igualdad de la regla de la cadena para f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )n al hacer los siguientes cambio de variables: (1) x(t) = t, y(t) = t, z(t) = t. (2) x(t) = t2 , y(t) = 1 − 2t, z(t) = t + t2 − 1 (3) x(t) = 2 cos(t), y(t) = − sen(t), z(t) = sen(2t). (4) x(t) = cos(t), y(t) = sen(t), z(t) = t. Ejercicio 3. Calcula las derivadas parciales con respecto a las nuevas coordenadas (u, v) del campo escalar dado en coordenadas cartesianas por f (x, y) = xy cuando se hace el cambio de variables x(u, v) = u + v, y(u, v) = u − v. ∂z ∂z −y = 0 en t´erminos ∂y ∂x de las coordenadas cartesianas. Aplica la regla de la cadena para hallar en qu´e se transforma esta ecuaci´ on cuando pasamos a coordenadas polares. Ejercicio 4. Sea z un campo escalar de dos variables que cumple x

∂z ∂z + = 0. Si ∂x ∂y cambiamos las variables independientes x e y por las variables u = x + y, v = x − y, ¿qu´e igualdad verifica z como funci´on de las nuevas variables u y v? Ejercicio 5. Sea z = z(x, y) un campo escalar de dos variables que verifica

∂2z ∂2z − = 0. Si ∂x2 ∂y 2 cambiamos las variables independientes x e y por las variables u = x + y, v = x − y, ¿qu´e igualdad verifica z como funci´on de las nuevas variables u y v? Ejercicio 6. Sea z = z(x, y) un campo escalar de dos variables que verifica

Ejercicio 7. Supongamos que el polinomio at2 + bt + c tiene dos ra´ıces reales α, β. Aplica el cambio de variables u = x + αy, v = x + βy para transformar la ecuaci´on en derivadas parciales ∂2z ∂2z ∂2z + b + c = 0. ∂y 2 ∂x∂y ∂x2 Aplica lo obtenido en los siguientes casos: (1) La ecuaci´on de ondas a = 1, b = 0, c = −k 2 . (2) a = 2, b = 3, c = 1. a

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Ejercicio 8. Si y = ψ(x) es una curva definida para x ∈ R, siendo ψ dos veces derivable y la variable t representa el tiempo, entonces la funci´on u(t, x) = ψ(x−at) representa el desplazamiento de la gr´afica de ψ que se desliza como una onda hacia la derecha a velocidad a. 2 ∂2u 2∂ u (1) Prueba que u es una soluci´on de la ecuaci´on de ondas = a . ∂t2 ∂x2 (2) ¿Pasa lo mismo con ψ(x + at), c´omo se interpreta esta funci´on? Ejercicio 9. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann ligan las derivadas parciales de dos campos diferenciables u, v de la siguiente manera ∂u ∂v = ∂x ∂y

y

∂u ∂v =− . ∂y ∂x

(1) Prueba que u = x2 − y 2 y v = 2xy cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. (2) Prueba que u = ex cos(y) y v = ex sen(y) cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. (3) Prueba que si dos campos u, v de clase C 2 cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ∂2u ∂2u entonces cumplen la ecuaci´on de Laplace + 2 = 0. ∂x2 ∂y (4) Prueba que si f (u, v) cumple la ecuaci´on de Laplace para sus variables u, v y hacemos 2 un cambio de variables u = u(x, y), v = v(x, ( y) de clase) C que cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces g(x, y) = f u(x, y), v(x, y) tambi´en cumple la ecuaci´on de Laplace para sus variables x, y. Ejercicio 10. Sea z(x, y) un campo escalar de clase C 2 (R2 ). Halla un cambio de variables de la forma u = ax + by y v = cx + dy que transforme la ecuaci´on de ondas zyy = ω 2 zxx en la ecuaci´on zuv = 0 (ω es una constante). 5. EL TEOREMA DE TAYLOR PARA CAMPOS ESCALARES Hemos visto en “Matem´aticas II” que, para obtener aproximaciones de los valores de una funci´on de una variable cerca de un punto que sean mejores que las dadas por la recta tangente, se introducen los polinomios de Taylor como los polinomios en los que coinciden el valor de la funci´on y de sus derivadas en un punto dado. En el caso de varias variables, los polinomios de Taylor son los polinomios en los que coinciden el valor de la funci´on y de sus derivadas parciales en un punto dado y su utilidad principal tambi´en es la de proporcionar valores aproximados de un campo escalar cerca de dicho punto mejores que las aproximaciones dadas por el plano tangente; que dichas aproximaciones son buenas viene garantizado por el teorema de Taylor, que nos dir´a c´omo es el error que se comete. Este teorema ser´a tambi´en una de las herramientas que usaremos en la Lecci´ on 3 para la determinaci´on de m´aximos y m´ınimos de funciones de varias variables. En esta secci´on trabajaremos con dos variables por comodidad y razones de espacio; es muy f´acil extender la formulaci´ on para el caso de tres variables, lo que se propone como ejercicio. Polinomio de Taylor de grado 1 de un campo escalar. Sea f : U ⊂ R2 → R un campo escalar y sea (x0 , y0 ) un punto interior al conjunto U . Si f es de clase C 1 (U ), el polinomio de Taylor de grado 1 de f en (x0 , y0 ) es [ ] x − x0 p1 (x, y) = f (x0 , y0 ) + Df (x0 , y0 ) y − y0 ∂f ∂f = f (x0 , y0 ) + (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ). ∂x ∂y

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Observemos que z = p1 (x, y) es la ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = f (x, y). Si escribimos A0 = (x0 , y0 ), A = (x, y), entonces tenemos p1 (A) = f (A0 ) + Df (A0 )(A − A0 ) que es la misma estructura que tiene el polinomio de Taylor para funciones de una variable. De hecho, es f´acil ver que el polinomio de Taylor de grado 1 de f en (x0 , y0 ) es el u ´nico polinomio p1 (x, y) = a+bx+cy de grado 1 que cumple que el valor del polinomio y de sus derivadas parciales primeras coinciden con los de f en (x0 , y0 ). La funci´on r1 (x, y) = f (x, y) − p1 (x, y) se llama resto de Taylor de orden 1 de f y sabemos, de la definici´ on de diferenciabilidad, que la aproximaci´ on es buena cerca del punto; concretamente, √ r1 (x, y) = f (x, y) − p1 (x, y) = ε(x, y) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 f (x, y) − p1 (x, y) donde ε(x, y) = √ cumple l´ım ε(x, y) = 0. (x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 Como en el caso de funciones de una variable, es posible dar una expresi´on del resto en t´erminos de las derivadas parciales segundas, pero esto no vamos a verlo aqu´ı. Polinomio de Taylor de grado 2 de un campo escalar. Si f ∈ C 2 (U ) entonces podemos mejorar la aproximaci´ on lineal obtenida con el plano tangente mediante un polinomio de grado 2 usando la matriz hessiana de f  2  ∂2f ∂ f  ∂x2 ∂y∂x  . D2 f =   ∂2f ∂2f  ∂x∂y

∂y 2

Se define el polinomio de Taylor de grado 2 de f en A0 = (x0 , y0 ) como 1 p2 (A) = f (A0 ) + Df (A0 )(A − A0 ) + (A − A0 )T D2 f (A0 )(A − A0 ) 2 o, de forma extendida, como ∂f ∂f (x − x0 ) + (y − y0 ) ∂x ∂y ∂2f 1 ∂2f 1 ∂2f 2 (x − x ) + (x − x )(y − y ) + (y − y0 )2 , + 0 0 0 2 ∂x2 ∂x∂y 2 ∂y 2

p2 (x, y) = f +

donde f y sus derivadas parciales est´an evaluadas en el punto (x0 , y0 ). Observemos que el polinomio de Taylor de grado 2 se obtiene a˜ nadiendo al de grado 1 la forma cuadr´atica asociada a la mitad de la matriz hessiana evaluada en A − A0 . De nuevo, es f´acil ver que el polinomio de Taylor de grado 2 de f en A0 es el u ´nico polinomio de grado 2 en dos variables p2 (x, y) = a+ bx +cy + dx2 +exy +f y 2 tal que su valor y los de sus derivadas parciales primeras y segundas coinciden con los de f en A0 . Teorema de Taylor para un campo escalar. La diferencia r2 (x, y) = f (x, y) − p2 (x, y) se llama resto de Taylor de orden 2 de f y cumple que l´ım (x,y)→(x0 ,y0 )

r2 (x, y) 2

∥(x − x0 , y − y0 )∥

= 0,

lo que nos da garant´ıas de que la aproximaci´ on que se obtiene con p2 (x, y) es buena cuando estamos suficientemente cerca del punto. Geom´etricamente, la gr´afica del polinomio de grado 2

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es una cu´adrica (generalmente un paraboloide el´ıptico o hiperb´olico) que se aproxima bien a la gr´ afica de f cerca del punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

La superficie z = (1 + x2 + y 2 )−1 y el paraboloide z = p2 (x, y) = 1 − x2 − y 2

Usando las derivadas parciales terceras, cuartas, . . . , pueden construirse los polinomios de Taylor de grado superior con los que se van mejorando las aproximaciones. Observaciones pr´ acticas. Para calcular los polinomios de Taylor debemos, en principio, hallar las derivadas parciales en el punto y construir el polinomio usando la f´ormula correspondiente. Sin embargo, en algunos casos pueden ahorrarse algunos c´alculos. (1) Si p(x, y) es un polinomio de grado tres o superior, entonces el polinomio de grado 2 de p se calcula suprimiendo de la expresi´on de p los t´erminos de orden superior. Por ejemplo, para hallar el polinomio de grado 2 de p(x, y) = 1 − 2x+ y + xy − 2y 2 + x3 −3x2 y − xy 2 en el origen, suprimimos los t´erminos de grado 3 y obtenemos p2 (x, y) = 1 − 2x + y + xy − 2y 2 . (2) Si en la expresi´on de f aparecen funciones de una variable, podemos usar sus polinomios de Taylor. Por ejemplo, para hallar el polinomio de Taylor de grado 2 de f (x, y) = ex+y sen(x − y) en el origen, usamos que 1 + t + t2 /2 es el polinomio de Maclaurin grado 2 de et y que t es el polinomio de Maclaurin grado 2 de sen(t). Sustituyendo t = x + y en el polinomio de Maclaurin de la exponencial y t = x − y en el del seno, el producto de estos polinomios queda (

) x3 + x2 y − xy 2 − y 3 1 + (x + y) + (x + y)2 /2 (x − y) = x − y + x2 − y 2 + . 2

Finalmente, suprimimos los t´erminos de orden superior a 2 y obtenemos p2 (x, y) = x − y + x2 − y 2 . ´ 5 EJERCICIOS DE LA SECCION En los ejercicios 1, 2 y 3, utiliza alguno de los programas que se recomiendan en la Bibliograf´ıa para dibujar la superficie y la gr´afica del polinomio de Taylor. Ejercicio 1. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de f (x, y) = 1 + (x + y)ey en el origen. Ejercicio 2. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de f (x, y) = y 2 /x3 en el punto (1, −1).

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Ejercicio 3. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de los siguientes campos en (0, 0) y en (1, 2). (1) (2) (3) (4) (5) (6)

f (x, y) = x2 − y 2 + xy f (x, y) = 1 + 2x − y + x2 + y 2 + 2xy + 3x3 − x2 y f (x, y) = x2 + y 2 + 3x2 y + y 3 + ex cos(y) f (x, y) = sen(x + y) + cos(x − y) f (x, y) = x sen(y) + y sen(x) f (x, y) = (x + y)(xy + 1)(x2 − 2y)

Ejercicio 4. Sea f (A) un campo escalar de tres variables A = (x, y, z) de clase C 2 (U ) y sea A0 = (x0 , y0 , z0 ) un punto interior de U . (1) El polinomio de Taylor de grado 1 de f en A es el u ´nico polinomio p1 (A) de grado 1 en tres variables que cumple que el valor del polinomio y de sus derivadas parciales primeras coinciden con los de f en A0 . Prueba que p1 viene dado por la aproximaci´ on lineal dada por la diferencial: p1 (A) = f (A0 ) + Df (A0 )(A − A0 ). (2) El polinomio de Taylor de grado 2 de f en A es el u ´nico polinomio p2 (A) de grado 2 en tres variables que cumple que el valor del polinomio, de sus derivadas parciales primeras y de sus derivadas parciales segundas coinciden con los de f en A0 . Prueba que p2 viene dado por 1 p2 (A) = f (A0 ) + Df (A0 )(A − A0 ) + (A − A0 )T D2 f (A0 )(A − A0 ). 2 (3) Halla el polinomio de Taylor de grado 2 en el origen y en el punto (−1, 0, 1) de las siguientes funciones (a) f (x, y, z) = x + 2y + 3z + xyz (b) f (x, y, z) = xyz + z 3 − x2 z + xz + yz + 2z − 1 (c) f (x, y, z) = xyz + log(x2 z) (d) f (x, y, z) = zex+y cos(xz) (e) f (x, y, z) = sen(πx + y − 2πz) + log(xy + z) Algunas notas hist´ oricas. Las primeras funciones de dos variables que aparecen son las ecuaciones impl´ıcitas que definen curvas en el plano utilizadas por R. Descartes y hay algunas trazas del empleo de derivadas parciales por parte de I. Newton, G.W. Leibniz y sus seguidores a finales del siglo xvii y comienzos del xviii. A lo largo de dicho siglo se plantean problemas con funciones que dependen de varias variables, como el problema de la cuerda vibrante: hallar, en funci´ on de su abscisa x y el tiempo t, la ordenada y(x, t) de cada punto (x, y) de una cuerda que vibra en un plano. Fue N. Bernoulli quien, estudiando en 1716 el problema de las trayectorias ortogonales a una familia de curvas, defini´ o espec´ıficamente el concepto b´ asico de derivada parcial para funciones que dependen de varias variables y la noci´ on de diferencial y fue, asimismo, el primero en indicar, en 1721, el hecho de que las derivadas parciales cruzadas son iguales. La primera demostraci´ on rigurosa de la igualdad de las derivadas cruzadas, bajo las condiciones adecuadas que hemos visto, fue dada por H.A. Schwarz en 1873. A partir de los trabajos de N. Bernoulli, L. Euler y el grupo de matem´ aticos franceses del siglo xviii A. Clairaut, A. Fontaine y J.L. Lagrange aplicaron las nociones de derivada parcial, derivada direccional, plano tangente, etc., en la resoluci´ on de varios problemas, como iremos viendo a lo largo de esta asignatura. Ser´ a a lo largo del siglo xix cuando se establezcan los fundamentos y resultados principales del c´ alculo diferencial e integral de funciones de varias variables; resultados que se obtuvieron, en su mayor parte, en el contexto del desarrollo de la f´ısica, especialmente del electromagnetismo, y est´ an asociados a los nombres de K.F. Gauss, G. Green, A.L. Cauchy (a quien se debe la extensi´ on del teorema de Taylor a los campos escalares obtenida en 1829), M. Ostrogradski, B. Riemann, W.R. Hamilton, y C.G. Jacobi, O. Hesse (que introdujo la noci´ on de matriz hessiana de un campo escalar en 1857) y, ya a principios del xx, W.H. Young y H. Lebesgue. Sin embargo, el concepto de qu´ e es una funci´ on diferenciable no fue formulado con claridad hasta bien entrado el siglo xix; parece haber sido el matem´ atico alem´ an J.C. Thomae el primero en cuestionar, en 1873, si para una

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funci´ on de dos variables puede decirse leg´ıtimamente que es diferenciable cuando simplemente existen sus derivadas parciales. Fueron matem´ aticos de finales del siglo xix quienes, poco a poco, lograron cristalizar el concepto de diferenciabilidad aclarando la necesidad e importancia de la hip´ otesis de que las derivadas parciales sean continuas. La primera definici´ on de funci´ on diferenciable como la que hemos visto, parece haber sido dada por el matem´ atico alem´ an O. Stolz en 1887. Trabajos posteriores, ya a comienzos del siglo xx, de J. Pierpoint y W.H. Young, en los que aparece por primera vez la continuidad de las derivadas pacricales como condici´ on suficiente para la diferenciabilidad, y M. Fr´ echet llevan a ´ este u ´ ltimo a definir en 1911 la noci´ on de funci´ on diferenciable en espacios generales que se usa hoy en d´ıa. La extensi´ on a conjuntos generales de la noci´ on de punto interior o punto frontera dio lugar, tras los trabajos pioneros de G. Cantor a finales del siglo xix y, sobre todo, el de F. Hausdorff en 1914, a la rama de las matem´ aticas conocida como topolog´ıa (el “estudio de los lugares”).

BIBLIOGRAF´IA G.L. Bradley y K.J. Smith, C´ alculo, vol. 2, Cap´ıtulo 12. R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, C´ alculo, vol. 2, Cap´ıtulo 12. G.B. Thomas, Jr., C´ alculo, varias variables, Cap´ıtulo 14. P´ aginas web de inter´es para el dibujo de gr´aficas, curvas de nivel y derivadas parciales: http://www.wolframalpha.com http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.02/f07/tools/FunctionsTwoVariables.html http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm http://www.zweigmedia.com/RealWorld/threeDgraph/threedgrapher.html