LECCIÓN 15

Lección 15: Líneas , ángulos y circulos En esta lección revisaremos algunos conceptos que usted muy probablemente conoce bien.

Líneas y ángulos Una línea puede ser curva, como la de la izquierda, o recta, como la de la derecha. En el segundo caso decimos que tenemos una línea recta, o, simplemente, una recta.

Las líneas se extienden por ambos lados indefinidamente. A veces se recuerda esto con flechas en ambos extremos, como se muestra enseguida con la recta m: m

Un segmento es una porción de línea recta que está limitada por dos puntos que son sus extremos. Por ejemplo, los extremos del siguiente segmento son los puntos A y B:

A

B

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MATEMÁTICAS I Como las líneas se extienden indefinidamente, no se pueden medir. Los segmentos sí se pueden medir. Cuando dos segmentos tienen la misma medida se dice que son congruentes. Por ejemplo, los segmentos CD y EF son congruentes: C F E D También puede haber porciones de línea recta que sólo estén limitadas en un extremo. En este caso se habla de semi- rectas. Por ejemplo, la siguiente semi-recta está limitada por el punto P y se extiende indefinidamente hacia el otro lado:

P Dos rectas que están en el mismo plano y nunca se cruzan son paralelas, como las siguientes:

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LECCIÓN 15 Dos rectas que no son paralelas se cruzan en un punto (también se dice que se cortan en ese punto), y entonces forman cuatro ángulos. Si O es el punto en el que se cortan las rectas, A y B son dos puntos en una de las rectas y C y D son dos puntos en la otra, los ángulos se pueden denotar así: AOC, COB, BOD y DOA.

O

A C

D B

Se puede entonces considerar a un ángulo como dos semi-rectas que parten del mismo punto; a ese punto se le denomina vértice del ángulo. Los ángulos son más grandes o más pequeños, dependiendo de la apertura que guardan entre sí las dos semi-rectas. Por ejemplo, en el dibujo de arriba los ángulos AOD y BOC (marcados con dos pequeños arcos) son más grandes que los ángulos COA y DOB (marcados con un solo arco). Cuando los cuatro ángulos que se forman entre dos rectas son iguales, se dice que las dos rectas son perpendiculares, como en el siguiente ejemplo:

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MATEMÁTICAS I Al ángulo que forman entre sí dos semi-rectas perpendiculares se le llama ángulo recto; se suele denotar con un cuadrito junto al vértice:

Consideremos ahora una recta y un punto P en ella. El punto P se puede considerar como el vértice de un ángulo entre dos semi-rectas, y al ángulo que se forma se le llama ángulo llano:

P Un ángulo que es menor que un ángulo recto se denomina ángulo agudo, como el que tiene vértice en el punto A de la siguiente figura. Un ángulo que es mayor que un ángulo recto pero menor que un ángulo llano se denomina ángulo obtuso, como el que tiene vértice en el punto B de la siguiente figura. Un ángulo que es mayor que un ángulo llano se denomina ángulo entrante, como el que tiene vértice en el punto C de la siguiente figura.

C A

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B

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Indique cómo son los siguientes ángulos:

a)

c) b)

d) e)

f)

Medición de ángulos Las categorías de ángulos agudos, rectos, obtusos y entrantes permiten describir qué tan pequeños o grandes son los ángulos. Sin embargo, con mucha frecuencia es necesario hacer mediciones más finas. Para hacer esto, se acostumbra dividir el círculo en 360 ángulos iguales, que se denominan grados. Así, un ángulo recto tiene 90 grados, lo que se acostumbra escribir así: 90º. Análogamente, un ángulo llano mide 180º. Para medir ángulos se utiliza un transportador, que es un instrumento en forma de semicírculo con la graduación de grados de 0 a 180 y a veces también en sentido inverso. Algunos transportadores son circulares y tienen la graduación de 0 a 360. Observe que el transportador tiene en su parte inferior (o en la parte media, si es circular) una línea recta cuyos extremos

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MATEMÁTICAS I van a dar a las graduaciones de 0º y 180º, a la mitad de la cual hay una pequeña marca, generalmente en forma de cruz. Para usar el transportador se hace coincidir el vértice del ángulo que se desea medir con esa marca, y se hace coincidir uno de los lados del ángulo con la línea recta.

Por ejemplo, el ángulo de la izquierda mide 120º. Usted puede comprobarlo utilizando su transportador como se ha indicado. Cuando los lados del ángulo no están marcados suficientemente largos, usted puede alargarlos utilizando su regla: esto no modifica el tamaño del ángulo, puesto que no cambia su apertura.

La medición de un ángulo entrante utilizando un transportador semicircular se puede realizar de dos maneras. Una es medir el complemento del ángulo (la parte del círculo que no está marcada) y restar el resultado a 360º. La otra es prolongar uno de los lados del ángulo más allá del vértice, medir el ángulo que forman esta prolongación y el otro lado, y agregar 180º al resultado. Por ejemplo, el ángulo de la izquierda mide 228º. Verifíquelo utilizando su transportador.

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LECCIÓN 15

Mida en grados los ángulos del ejercicio 1.

¿Cuánto miden los ángulos de las escuadras de un juego de geometría?

Exprese cuántos grados, o bien entre cuántos y cuántos grados, miden: a) Un ángulo agudo.

d) Un ángulo llano.

b) Un ángulo recto.

e) Un ángulo entrante.

c) Un ángulo obtuso.

f) Todo el círculo.

Trace ángulos que midan: a) 45º

b) 60º

c) 30º

d) 120º

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MATEMÁTICAS I

En cada uno de los siguientes incisos, mida los ángulos en los que se ha repartido el círculo. Después, considerando a 360 como el 100%, exprese la medición de los ángulos como porcentaje del total. a)

b)

Trace un círculo como los del ejercicio anterior, en el que los sectores midan, respectivamente, una tercera parte, una octava parte, tres octavas partes y una sexta parte del total.

Circunferencia y círculo Una circunferencia es una línea cerrada en la que todos los puntos están a la misma distancia de otro punto, que no pertenece a ella. circunferencia A ese punto se le centro denomina centro de la circunferencia. El interior de la circunferencia recibe el nombre de círculo círculo.

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LECCIÓN 15 En la vida cotidiana se utiliza frecuentemente la palabra círculo para referirnos por igual al círculo y a la circunferencia. Algunos segmentos y algunas líneas rectas, relacionadas con un círculo, merecen particular atención. Un radio de una circunferencia (o de un círculo) es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento que va de un punto de la circunferencia a otro. Un diámetro es un segmento que va de un punto de la circunferencia a otro, pasando por el centro. Una tangente a una circunferencia es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto. E

m A

C O

D

arco

B

En la figura anterior, el punto O es el centro del círculo, el segmento OA es un radio, el segmento BC es una cuerda, el segmento DE es un diámetro, y la recta m es una tangente a la circunferencia. Un diámetro separa el círculo en dos porciones iguales, denominadas semicírculos. Una cuerda separa la circunferencia en dos porciones; a la menor de las dos se la denomina arco de circunferencia; así, podemos hablar del arco BC de la figura anterior.

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MATEMÁTICAS I La manera usual de trazar una circunferencia es utilizando un compás. Cuando lo hacemos así, colocamos la punta de metal en el centro, y giramos la punta de lápiz hasta volver a encontrar el punto inicial. El hecho de mantener constante la apertura del compás garantiza que todos los puntos que pintamos están a la misma distancia del centro. Hay otras maneras de trazar circunferencias; por ejemplo utilizando un objeto circular (como un vaso o una moneda) y dibujando su entorno. Para trazar circunferencias más grandes, como la de la parte central de una cancha de futbol, o el contorno de la fuente de una plaza, se clava en el centro un pivote alrededor del cual se amarra un cordón, y en el otro extremo del cordón se coloca lo que va a pintar, por ejemplo, un bote con cal; la distancia entre el bote y el pivote es igual a la longitud del radio.

a) Si el radio de una circunferencia mide 4 cm., ¿cuánto mide el diámetro? b) En general, ¿cuál es la relación entre la longitud del radio y la del diámetro? Si r es la longitud del radio y d es la longitud del diámetro, exprese esta relación con una fórmula.

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Trace con un compás una circunferencia y llame r a la longitud de su radio y da la longitud de su diámetro. a) ¿Es posible trazar una cuerda que mida menos que r? Si, sí lo es, trácela. b) ¿Es posible trazar una cuerda que mida lo mismo que r? Si, sí lo es, trácela. c) ¿Es posible trazar una cuerda que mida más que r y menos que d? Si, sí lo es, trácela. d) ¿Es posible trazar una cuerda que mida lo mismo que d? Si, sí lo es, trácela. e) ¿Es posible trazar una cuerda que mida más que d? Si, sí lo es, trácela. f) ¿Cuánto mide la cuerda más grande que se puede trazar?

Utilice el ejercicio anterior para encontrar un procedimiento que permita ubicar el centro de una moneda.

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