GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 2. Integrales y aplicaciones.

2. El teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow. Ahora estudiaremos el teorema fundamental del cálculo que es el resultado central del cálculo integral. Conecta integración y derivación y, junto con la regla de Barrow que es una de sus consecuencias, permite realizar el cálculo de una integral definida usando una primitiva del integrando, evitando así el cálculo de límites con sumas de Riemann. El teorema del valor medio para integrales definidas. Dada una función integrable f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x ) ∈ \

se define su valor medio en el intervalo [ a, b ] como el valor de la integral definida

∫

b

f ( x)dx divi-

a

dida por la longitud b − a del intervalo [ a, b ] . El teorema del valor medio integral asegura que este valor medio siempre se alcanza para algún valor c ∈ [ a, b ] , si la función f es continua en [ a, b ] . TEOREMA (VALOR MEDIO INTEGRAL). Sea f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función continua. Entonces existe c ∈ [ a, b ] tal que f (c) =

1 b−a

∫

b

f ( x)dx.

a

La prueba es una consecuencia inmediata de los teoremas de Weierstarss y Bolzano, teniendo en cuenta las siguientes desigualdades min { f ( x) : x ∈ [ a, b ] } ≤

1 b−a

∫

b

a

f ( x)dx ≤ max { f ( x) : x ∈ [ a, b ] } .

Geométricamente, el teorema del valor medio integral asegura que existe un número c ∈ [ a, b ] tal que el área del rectángulo con base en el intervalo [ a, b ] y altura f (c) tiene el mismo área que la región que limita la gráfica de la función f , el eje OX y el intervalo [ a, b ] . Observa la siguiente figura.

1

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Para cada x ∈ [ a, b ] podemos considerar la integral de la función f en el intervalo [ a, x ] , esto es,

∫

x

f (t )dt. Esta integral permite definir otra función F en el intervalo [ a, b ] de la siguiente forma

a

F : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → F ( x) :=

∫

x

f (t )dt ∈ \.

a

Por ejemplo, si f es positiva, entonces F ( x) es el área que encierra la gráfica de la función f y el eje OX en el intervalo [ a, x ] . Observa la siguiente figura.

La igualdad F ( x) :=

∫

x

f (t )dt que define la función F permite definir nuevas funciones, pero, lo

a

realmente importante es que conecta los procesos de integración y derivación. El teorema fundamental del cálculo asegura que si la función integrando f es continua, entonces la función F es derivable y su derivada coincide con la función f . TEOREMA (FUNDAMENTAL

DEL CÁLCULO).

Sea f : t ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f (t ) ∈ \ una función continua.

Entonces la función F : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → F ( x) :=

F ′( x) = f ( x) para todo x ∈ ( a, b ) .

∫

x

f (t )dt ∈ \ es derivable en ( a, b ) y su derivada

a

DEM. Para la prueba aplicaremos directamente la definición de derivada a la función F ( x). En conF ( x + h) − F ( x ) creto, probaremos que lim = f ( x), cuando x y x + h son puntos del intervalo h →0 h F ( x + h) − F ( x ) . Escribiendo las definiciones de ( a, b ) . Consideramos el cociente incremental h F ( x + h) y F ( x) obtenemos que

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F ( x + h) − F ( x ) 1 ⎛ = ⎜ h h⎝

∫

x+h

a

f (t )dt −

∫

x

a

⎞ 1 f (t )dt ⎟ = ⎠ h

∫

x+h

f (t )dt.

x

El teorema del valor medio integral asegura que existe un valor c, entre x y x + h, tal que 1 h

∫

x+h

f (t )dt = f (c).

x

Cuando h → 0 tenemos que x + h → x y, en consecuencia, c → x. La continuidad de la función f F ( x + h) − F ( x ) = lim f (c) = f ( x), como queríamos probar. asegura entonces que lim h →0 h →0 h ⎧0, − 1 ≤ x ≤ 0, EJEMPLO. Consideremos la función f ( x) = ⎨ En este caso podemos calcular explíci⎩ x, 0 ≤ x ≤ 1. ⎧0, − 1 ≤ x ≤ 0, x ⎪ Se trata de una funf (t )dt. En este caso es F ( x) = ⎨ x 2 tamente la función F ( x) = −1 ≤ ≤ , 0 1. x ⎪ ⎩2 ción derivable, como afirma el teorema fundamental del cálculo. No obstante, la función F puede ser calculada para funciones f que no son necesariamente continuas como, por ejemplo, la función ⎧0, − 1 ≤ x ≤ 0, ⎧0, − 1 ≤ x ≤ 0, escalón f ( x) = ⎨ Se trata de una En este caso obtenemos F ( x) = ⎨ ⎩ x, 0 ≤ x ≤ 1. ⎩1, 0 ≤ x ≤ 1. función continua que no es derivable en x = 0.

∫

La regla de Barrow. La regla de Barrow, que es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo, nos permitirá calcular una integral de forma efectiva. Si f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ es

una función continua, se dice que una función derivable G : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → F ( x) ∈ \ es una primitiva de f en el intervalo [ a, b ] si G′( x) = f ( x) para todo ( a, b ) . OBSERVACIÓN. (1) El teorema fundamental del cálculo asegura que la función F : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → F ( x) :=

∫

x

f (t )dt ∈ \

a

es una primitiva de la función f en el intervalo [ a, b ] . (2) Una consecuencia inmediata que se deduce del teorema del valor medio de Lagrange es que dos primitivas, digamos G1 y G2 , de una misma función f en el intervalo [ a, b ] , se diferencian en una constante, es decir, G1 ( x) = G2 ( x) + C para todo x ∈ [ a, b ] , donde C es una constante. TEOREMA (REGLA

DE

BARROW). Supongamos que f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ es una función

continua y sea G : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → G ( x) ∈ \ una primitiva de f en el intervalo [ a, b ] . Entonces

∫

b

f ( x)dx = G (b) − G (a ).

a

3

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DEM. Consideremos la función F ( x) :=

∫

x

f (t )dt , definida para todo x ∈ [ a, b ] . El teorema funda-

a

mental del cálculo junto con la observación anterior aseguran que existe una constante C tal que F ( x) = G ( x) + C para todo x ∈ [ a, b ] . Como F (a) = 0, tenemos que F ( x) = G ( x) − G (a ) para todo x ∈ [ a, b ] . Entonces

∫

b

a

f ( x)dx = F (b) = G (b) − G (a ) := ( G ( x) ]a . b

OBSERVACIÓN. La regla de Barrow reduce el cálculo de una integral definida a la obtención de una primitiva de la función integrando. Como sabes, existen algunas técnicas que permiten obtener primitivas de funciones continuas dependiendo de la estructura de estas funciones. Aunque hoy en día existen potentes lenguajes de cálculo simbólico, como MATHEMATICA o MAPLE, para obtener primitivas de funciones, debes recordar y conocer, al menos, los métodos básicos para obtener primitivas de funciones continuas. Al final de esta sección encontrarás una relación de ejercicios que te ayudarán a conseguir estas destrezas. Otras consecuencias del teorema fundamental del cálculo. Otros dos resultados de interés sobre integrales definidas que usaremos con mucha frecuencia son el teorema del cambio de variable y el teorema de integración por partes.

TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLE). Sea ϕ : t ∈ [ a, b ] ⊆ \ → ϕ (t ) ∈ \ una función derivable con deriva ϕ ′ continua en [ a, b ] y sea f : x ∈ ϕ ([a, b]) ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función continua. Entonces se verifica que

∫

ϕ (b)

ϕ (a)

f ( x)dx =

∫

b

f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt.

a

DEM. Consideremos la función definida por F ( x) :=

∫

x

f (u )du en el intervalo ϕ ([a, b]) . Por el

ϕ (a)

teorema fundamental del cálculo tenemos que F ′( x ) = f ( x ) para todo x ∈ ϕ ([a, b]) . Consideremos ahora la función g (t ) := F (ϕ (t )) definida para t ∈ [a, b]. Observemos que g (a) = F (ϕ (a)) = 0. Por otra parte, se verifica que g ′(t ) = F ′(ϕ (t ))ϕ ′(t ) = f (ϕ (t ))ϕ ′(t ), luego

∫

ϕ (b )

ϕ (a)

f ( x)dx = F (ϕ (b)) − F (ϕ (a)) = g (b) =

∫

b

a

g ′(t )dt =

∫

b

f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt.

a

EJEMPLO. Ahora calculamos el área encerrada por una elipse de semiejes a > 0 y b > 0, cuya ecuax2 y 2 + = 1. Un caso particular se obtiene poniendo en la ecuación a = b = r > 0, en cuyo a 2 b2 caso obtenemos el círculo con centro en el origen y radio r. No es demasiado complicado dibujar su gráfica observando que, si despejamos la variable y de la ecuación de la elipse obtenemos b 2 y = y ( x) = ± a − x 2 , donde − a ≤ x ≤ a. a Debido a la simetría que tiene esta curva (es simétrica respecto del eje OX y también respecto del eje OY ), obtenemos que el área encerrada por la elipse está dada por ción es

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4

∫

a

0

b y ( x)dx = 4 a

∫

= 4ab

a

⎡ x = a sen t , dx = a cos tdt ⎤ ⎥ =4b a − x dx = ⎢ π ⎢ x = 0, t = 0; x = a, t = ⎥ a 2 ⎦ ⎣ 2

0

∫

π 2

0

∫

2

1 ⎡ ⎤ cos tdt = ⎢cos 2 t = (1 + cos(2t ) ) ⎥ = 2ab 2 ⎣ ⎦ 2

∫

π 2

π 2

a 2 − a 2 sen 2 ta cos tdt

0

(1 + cos(2t ) ) dt

0

π

π ⎛ sen(2t ) ⎤ 2 = 2ab ⎜ t + = 2ab = π ab. ⎥ 2 ⎦0 2 ⎝ TEOREMA (FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES). Sean f y g dos funciones derivables en el intervalo [ a, b ] con derivadas f ′ y g ′ continuas en [ a, b ] . Entonces

∫

b

a

∫

f ( x) g ′( x)dx = ( f ( x) g ( x) ]a − b

b

f ′( x) g ( x)dx.

a

DEM. La prueba de este resultado se basa en la regla de Barrow y la regla de derivación del producto. Recuerda que la derivada de la función producto f ⋅ g viene dada por

( f ( x) g ( x) )′ =

f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x).

Entonces, integrando y usando la regla de Barrow en la parte izquierda de la igualdad, obtenemos

∫

( f ( x) g ( x)]a = b

b

f ′( x) g ( x)dx +

a

∫

b

f ( x) g ′( x)dx,

a

que es equivalente a la fórmula del enunciado. OBSERVACIÓN. A veces, la igualdad

∫

b

a

f ( x) g ′( x)dx = ( f ( x) g ( x) ]a − b

∫

b

f ′( x) g ( x)dx se escribe con

a

otra notación. Si llamamos u = f ( x) y v = g ( x), entonces la igualdad anterior queda

∫

b

a

u ⋅ dv = ( u ⋅ v ]a − b

∫ v ⋅ du. b

a

∫ xe dx. Usaremos la fórmula de integración por partes. ⎡u = x, du = dx ⎤ Entonces xe dx = ⎢ ⎥ = ( xe ⎤⎦ − ∫ e dx = e − ( e ⎤⎦ = e − e + 1 = 1. ∫ ⎣ dv = e , v = e ⎦ 1

x

EJEMPLO. Vamos a calcular la integral

0

1

x

0

x

x

x 1

1

0

0

x

x 1

0

EJERCICIO 1. En este ejercicio, debes resolver las integrales que lo forman, pensadas para que se resuelvan usando el denominado método de integración por cambio de variable. Este método (también llamado método de sustitución) tiene especial interés cuando una parte del integrando, que figura como factor, es la derivada de otra parte del integrando. Es lo que ocurre en las cinco primeras integrales (si las observas con cuidado).

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1.

∫

(2 x + 3) x 2 + 3xdx, 4.

∫

2.

∫

cos x sen 2 xdx,

sen x + cos x dx, sen x − cos x

5.

3

3.

∫

1 − x2 dx, arcsen 3 x

∫ x log x log ( log x ) dx. 1

A veces, una parte no es claramente la derivada de otra, pero mediante sencillas manipulaciones (como multiplicar y dividir por algo, sumar y restar un término, sacar factor común,…) puede llegar a serlo. Asegúrate de que en las integrales propuestas de la seis a la once se da esta circunstancia. 6. 9.

∫

∫

30 x 2 ( 5 x3 + 9 ) dx, 15

tan x + tan 3 x dx, 2 + tan x

10.

∫ ( tan

7.

∫

3

x + tan 5 x ) dx,

⎛ x 1⎞ 2 ⎜ − ⎟ x − 2 xdx, ⎝2 2⎠

11.

8.

∫

ex

2

∫ tan

+ 4sen x + 5

2

xdx,

( x + 2 cos x ) dx.

Cuando no es evidente que un factor del integrando sea, o pueda transformarse en, la derivada de otra parte del integrando, puede dar resultado elegir por intuición o por simple tanteo una parte del integrando, derivarla y observar si lo que se obtiene, aparece como factor en ese mismo integrando. Practica esta táctica con las integrales doce a la catorce.

12.

∫

2x x2 − 1 arctan dx, x4 + 1 x2 + 1

13.

x − 1 ⎛ 1 ⎞ −2 ⎜1 − ⎟ x dx, x ⎝ x⎠

∫

14.

∫

x 2 dx. x2 + 2

arctan

Finalmente, piensa en cómo podrías aplicar el método de sustitución para las cinco últimas integrales. Antes de calcular las correspondientes primitivas, analiza el dominio de definición de los correspondientes integrandos. 15.

∫

x2 dx, 16. x6 + 1

∫

ee

x

+x

dx, 17.

∫x

1 1 − log x 2

dx, 18.

∫

ex dx, 19. ( e2 x + 1)( e x − 1)

∫

1 dx. cos x

EJERCICIO 2. Las integrales que siguen están pensadas para que se calculen usando el denominado método de integración por partes. Este método tiene interés cuando el integrando se puede descomponer en dos factores o partes, de los cuales uno tiene una derivada sencilla y el otro una primitiva también sencilla. Prueba esta técnica con las cuatro primeras integrales.

1.

∫ x sen xdx,

2.

∫ xe

5x

dx,

3.

∫ e cos(2x)dx, x

4.

∫ x log xdx.

Hay ocasiones en que el integrando sólo tiene un factor. En esos casos, si se emplea el método de integración por partes, es ese factor el que hay que derivar, y el factor dx que está siempre presente es el que se integra. Es lo que ocurre con las integrales cinco y seis. 5.

∫ log xdx,

6.

∫ arctan xdx.

Como el método de integración por partes reduce el cálculo de una integral al de otra integral presuntamente más sencilla, no hay ningún inconveniente en volver a aplicar el método a esta segunda integral, y a la que resulte de ésta, y a todas las que se considere oportuno. Si se eligen adecuadamente las partes, y se aplica el método de esta forma reiterada, hay integrales que se van reduciendo a otras cada vez más simples. Compruébalo con las integrales siete a la diez.

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7.

∫ log

4

xdx,

8.

∫ x e dx, 4 x

9.

∫ x arctan xdx, 2

10.

∫ x log xdx. 2

Cuando se aplica el método de integración por partes a integrales que contienen la función seno o coseno como factor, la integral que aparece en segundo lugar contiene la función coseno o seno, ello implica que si se vuelve a aplicar el método, reaparezca la misma función seno o coseno que al principio. Esta propiedad resulta útil porque en algunas integrales, al aplicar dos veces el método, aparece una integral idéntica a la primera, lo que permite reunirlas en el mismo miembro de la igualdad y despejarla, obteniéndose así la primitiva buscada. Las integrales once a la catorce pueden calcularse por este procedimiento. Siendo a, b > 0 calcula las siguientes integrales 11.

∫e

ax

cos(bx)dx,

12.

∫e

ax

sen(bx)dx,

13.

∫ sen(ax) sen(bx)dx,

∫

14. sen(ax) cos(bx)dx

La propiedad repetitiva de algunas integrales cuando se les aplica reiteradamente el método de integración por partes, permite establecer ciertas fórmulas recurrentes para el cálculo de determinadas integrales. Las integrales quince a la diecisiete son un buen ejemplo de este fenómeno. 1 n −1 15. Siendo I n := sen n xdx, con n ≥ 0, demuestra que I n = − sen n −1 x cos x + I n − 2 para n ≥ 2. n n

∫

x n +1 ( −1 + (n + 1) log x ) , para n ≥ 0. (n + 1) 2

16. Demuestra la identidad

∫

17. Demuestra la identidad

∫ x sen xdx = − x cos x + nx

x n log xdx = n

n

n −1

∫

sen x − n( n − 1) x n − 2 sen xdx, para n ≥ 2.

Finalmente, proponemos cuatro integrales para ensayar las técnicas descritas 18.

∫

log 2 x dx, x2

19.

∫

log

1− x dx, 1+ x

20.

∫ ( 3x

2

+ 5 ) log 2 xdx,

21.

∫

sen x dx. ex

EJERCICIO 3. En este ejercicio se describe una técnica básica para el cálculo de primitivas de funciones racionales sencillas que se llama descomposición en fracciones simples.

(1) Sean α , a y b números reales. Escribe la derivada (respecto de x ) de cada una de las siguientes funciones: log( x − a), ( x − a )α , log ( ( x − a ) 2 + b 2 ) y arctan ( ( x − a ) 2 + b 2 ) .

(2) Sean α ≠ −1, a, b, M y N números reales. Escribe una primitiva de cada una de las siguienMx + N x−a 1 , ( x − a)α , tes funciones: . y 2 2 ( x − a)2 + b 2 x−a ( x − a) + b (3) Calcula una primitiva de la función racional R ( x) = calcula la integral

x 6 − 2 x 5 + 7 x 4 − 3 x3 − 4 x 2 + x − 12 , es decir, x 5 − 2 x 4 + 2 x3 + 8 x 2 − 19 x + 10

∫ R( x)dx. Para ello, sigue los siguientes pasos.

Paso 1. Divide el polinomio P( x) entre el polinomio Q( x), siendo

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⎧⎪ P( x) := x 6 − 2 x5 + 7 x 4 − 3 x3 − 4 x 2 + x − 12, ⎨ 5 4 3 2 ⎪⎩Q( x) := x − 2 x + 2 x + 8 x − 19 x + 10. D( x) , siendo C ( x) un polinomio y D( x) un polinomio de grado menor Q ( x) D( x) que Q( x). Entonces tenemos que R( x)dx = C ( x)dx + dx. Q( x) y expresa R ( x) = C ( x) +

∫

∫

∫

Paso 2. Calcula las raíces del polinomio Q ( x ). Paso 3. Si las raíces que has calculado en el paso anterior son: a1 con multiplicidad α1 , a2 con multiplicidad α 2 , … y a ± bi es la pareja de raíces complejas de Q( x), expresa el cociente

Aα1 Bα 2 D( x) A A2 B1 B2 Mx + N = 1 + + + + + + + +" + . " " α1 α2 2 2 Q( x) x − a1 ( x − a1 ) ( x − a1 ) x − a2 ( x − a2 ) ( x − a2 ) ( x − a)2 + b 2 Calcula los coeficientes Ak , Bk , …, M y N . Paso 4. Usa la descomposición anterior para calcular la integral

∫ Q( x) dx. D( x)

Aplica estos pasos para calcular las siguientes primitivas (1)

∫

x 5 − 2 x 4 + 7 x3 − 10 x 2 + 4 x + 5 dx, (2) x 4 − 2 x3 + 5 x 2 − 8 x + 4

∫

x 4 + x3 + 6 x 2 + 5 x − 4 dx, (3) x 4 + x3 + 2 x − 4

∫

x2 + 6x + 6 dx. x3 + 5 x 2 + 8 x + 4

EJERCICIO 4. (1) Calcula el área que limita la curva y = b ( a 2 − x 2 ) con el eje OX en el intervalo

[ − a, a ] ,

siendo a > 0 y b > 0.

(2) Calcula el área de la región comprendida entre el eje OX y la parábola que pasa por los puntos ( x0 , 0) y (0, y0 ), siendo x0 > 0 e y0 > 0, y cuyo eje de simetría es la recta OY . EJERCICIO 5. Supongamos que g es una función diferenciable cuya gráfica aparece en la figura

y que la posición de una partícula que se mueve a través de un eje viene dada, en el instante t (me-

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dido en segundos) por la igualdad s = s (t ) :=

∫ g ( x)dx. Usa la gráfica de la función g para respont

0

der razonadamente a las siguientes cuestiones: 1) ¿Qué velocidad tiene la particula en el instante t = 3 ? 2) La aceleración en el instante t = 3 es ¿positiva o negativa? 3) ¿Cuál es la posición de la partícula en el instante t = 3 ? 4) ¿Cuándo pasa la partícula por el origen? 5) ¿Cuándo la partícula se está separando del origen? Y, ¿cuando se está acercando? 6) ¿En qué lado del origen (positivo o negativo) está la partícula en el instante t = 9 ? EJERCICIO 6. Supongamos que f es una función derivable, con f ′( x) > 0 para todo x, y f (1) = 0.

¿Cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas para la función g ( x) :=

∫

x

f (t )dt ? Razona la res-

0

puesta. Caso de no ser cierta debes poner un ejemplo. 1) g es una función diferenciable. 2) g es una función continua. 3) la gráfica de g tiene tangente horizontal en x = 1. 4) g tiene un mínimo relativo en x = 1. 5) g tiene un máximo relativo en x = 1. 6) g tiene un punto de inflexión en x = 1. 7) la gráfica de g ′ corta al eje OX en x = 1. EJERCICIO 7. Establece las siguientes formulas de recurrencia:

∫ z sen z dz = − z cos z + n∫ z ∫ z cos z dz = − z sen z − n∫ z y calcula la integral

∫

n

n

n −1

cos z dz , n = 1, 2,...

n

n

n −1

sen z dz , n = 1, 2,...

π

x 2 sen 2 x dx.

0

9